4.2.2等差数列的前n项和公式过关检测卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.2等差数列的前n项和公式过关检测卷 （2025-2026学年第一学期高二数学选择性必修第二册第四章（2019）人教A版） 一.单选题 1．设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 2．已知等差数列的前项和为，若与是方程的两根，则（   ） A．41 B．42 C．43 D．44 3．已知等差数列的前项和为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高考·全国2）记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 5．（2024高考·全国甲）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 6．已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则下列选项中不正确的是（ ） A． B．当且仅当时，取得最小值 C． D．数列中第5项的值最大 二、多选题 7．设等差数列的前n项的和为，若，，则（ ） A． B． C．当时，取最大值 D．数列是递减数列 8．等差数列，的前项和分别为，，，则下列说法正确的有（    ） A．数列是递增数列 B． C． D． 三、填空题 9．（2025高考·上海）己知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ． 10．正项数列的前n项和满足，则数列的通项公式为 . 四、解答题 11．已知是等差数列的前n项和，，. (1)求； (2)求的最大值. 12．已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 13．等差数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式. (2)若数列满足.求数列的通项公式. 14．（2023高考·全国乙）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 解析 一.单选题 1．设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 答案：A 分析：设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，即可求解. 解析：设等差数列的公差为，因为且， 可得，解得. 故选：A. 2．已知等差数列的前项和为，若与是方程的两根，则（   ） A．41 B．42 C．43 D．44 答案：D 分析：根据等差数列的性质即可求解. 解析：由于与是方程的两根，故，即，得， 因此，故选：D 3．已知等差数列的前项和为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：A 分析：由题意可知，再解不等式即可. 解析：因为，看作关于的二次函数，其图象是过原点的抛物线。 由可知，该抛物线开口向下，所以公差。 又，若，结合可知，与矛盾，故 所以 ,即 , 所以， 所以的取值范围是， 故选：A. 4．（2025高考·全国2）记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 答案：B 分析：由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 解析：设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 5．（2024高考·全国甲）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 答案：D 分析：可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 解析：方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 6．已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则下列选项中不正确的是（ ） A． B．当且仅当时，取得最小值 C． D．数列中第5项的值最大 答案：B 分析：根据等差数列的通项公式、与的关系，结合二次函数的性质逐一判断即可. 解析：A：因为是公差为1的等差数列，所以， 因此，所以A正确； B：由上可知：， 因为，所以当或6时，取得最小值，因此B不正确； C：由上可知：， 于是当时，， 显然，符合，所以C正确； D：由上可知：， 令，显然当时，因为， 所以，而， 显然数列中第5项的值最大，故D正确，故选：B 二、多选题 7．设等差数列的前n项的和为，若，，则（ ） A． B． C．当时，取最大值 D．数列是递减数列 答案：ACD 分析：根据等差数列性质可得，.对于A：根据通项公式可得，；对于B：根据等差数列性质可得，即可判断；对于C：分析数列的符号性，进而判断的最值；对于D：整理可得，结合数列单调性的定义分析判断. 解析：因为，，则， 对于选项A：可得公差，，故A正确； 对于选项B：可得，故B错误； 对于选项C：因为等差数列为递减数列， 当时，；当时，；所以当时，取最大值，故C正确； 对于选项D：因为，则， 所以数列是递减数列，故D正确； 故选：ACD. 8．等差数列，的前项和分别为，，，则下列说法正确的有（    ） A．数列是递增数列 B． C． D． 答案：AB 分析：A选项，作差法得到，A正确；B、C选项，由等差数列求和公式和性质得到，从而得到，；D选项，举出反例，D错误. 解析：A选项，， 由于，所以是递增数列，A正确； B选项，， 令得，所以，B正确； C选项，由B选项，令得，故，C错误； D选项，当时，，D错误． 故选：AB 三、填空题 9．（2025高考·上海）己知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ． 答案： 分析：直接根据等差数列求和公式求解. 解析：根据等差数列的求和公式，. 故答案为： 10．正项数列的前n项和满足，则数列的通项公式为 . 答案： 分析：，，两式相减得到，当时，解得，得到通项公式. 解析：，， 两式相减得到，正项数列，故，得到， 当时，，解得或（舍去）， 故数列为首项为1公差为1的等差数列，故. 故答案为： 四、解答题 11．已知是等差数列的前n项和，，. (1)求； (2)求的最大值. 分析：（1）设数列的公差为，然后根据题意列方程组可求出和，从而可求出通项公式； （2）由（1）可求出，对其配方后可求出其最大值. 解析：（1）设等差数列的公差为， 由，得，所以，① 由，得，所以，② 由①②解得，，所以； （2）因为，，所以 ， 当时，最大，最大值为. 12．已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 分析：（1）设出等差数列的公差后，根据题目所给条件列出方程即可求出，进而得解； （2）利用裂项相消法求和即可. 解析：（1）设等差数列的公差为， 则由，可得， 因，代入解得，则， 因此. （2）由， 得 . 13．等差数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式. (2)若数列满足.求数列的通项公式. 分析：（1）由等差数列下标的性质，等差中项和等差数列的求和公式列方程组可得，，再由基本量法可求； （2）由题设得即可分析计算求解. 解析：（1）由题意可得，解得，， 所以. （2）由（1）可得① 则， 当时，② ①②得：，当时也符合，故. 14．（2023高考·全国乙）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 分析：（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 解析：（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $