16.2 整式的乘法（第2课时） 教学设计 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“单项式与多项式相乘”，通过回顾单项式乘单项式法则搭建支架，结合街心花园绿地面积问题，引导学生从整体与部分两种思路表示面积，实现旧知到新知的自然过渡。 以数形结合驱动法则探究，通过面积等量关系抽象出运算法则，培养几何直观与推理意识，例题分层设计强化符号运算与步骤规范，提升运算能力。助力学生理解本质，为教师提供清晰教学路径，有效突破重难点。

16.2　整式的乘法（第2课时） 教学目标 1．结合图形探究单项式与多项式相乘的法则，理解法则及其依据，感受数形结合的思想和方法． 2．运用法则准确进行单项式乘多项式的运算，发展推理能力和运算能力． 教学重点 单项式与多项式相乘的法则的理解和运用． 教学难点 单项式与多项式相乘的法则的运用． 教学过程 知识回顾 1．单项式与单项式相乘的运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的 系数、同底数幂 分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则 连同它的指数 作为积的一个因式． 2．单项式与单项式的乘法运算要注意： （1）积的系数等于各系数的积，应先确定 积的符号 ，再计算 积的绝对值 ． （2）同底数幂的乘法，按照 “底数不变，指数相加” 进行计算． （3）不要遗漏只在一个单项式里出现的 字母 ，要将其连同它的 指数 一起作为积的一个因式． （4）单项式乘单项式，结果仍为 单项式 ． 3．单项式的个数大于等于3时，单项式与单项式相乘的运算法则 同样适用 ． 【设计意图】通过回顾旧知，为本节课学习“单项式与多项式相乘”奠定基础，让学生在已有知识经验的基础上顺利过渡到新知的学习． 新知探究 【问题】为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长为p m，宽为b m的长方形绿地，向两边分别加宽a m和c m，你能用几种方法表示扩大后的绿地面积？ 【师生活动】学生先独立思考，教师引导学生分析“扩大后的绿地形状”“计算面积的不同思路”，师生共同给出不同表示方法． 【答案】解法1： 先求扩大后的绿地的边长，再求面积，即 p(a＋b＋c)． ① 解法2： 先分别求原来绿地的面积和新增绿地的面积，再求它们的和，即 pa＋pb＋pc． ② 【设计意图】通过用两种不同的方法表示面积，为进一步探究单项式与多项式相乘的法则作铺垫． 【追问1】这两个表达式都表示扩大后的绿地面积，它们之间有什么数量关系？ 【师生活动】学生很容易达成共识：由于①②表示同一个数量，所以p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc． 【追问2】看到p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc这个式子，你能联想到我们学习过的哪一个运算律？ 【师生活动】学生很容易想到乘法对加法的分配律，即一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与两个数相乘，再把积相加．这里的p，a，b，c都是单项式，而(a＋b＋c)是单项式的和，也就是多项式．教师根据讨论结果，引导学生参考分配律，用自己的语言表述单项式与多项式相乘的法则． 【新知】一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 【提醒】利用这个法则，我们就可以把单项式与多项式相乘，转化为单项式与单项式相乘．也就是说，整式的乘法的关键是单项式乘单项式． 【设计意图】通过实际生活中的绿地面积问题，让学生从“整体”与“部分”两种思路出发，分别推导出面积的表达式，并根据等量关系得到单项式与多项式相乘的法则，同时结合乘法分配律进行类比迁移，从直观上理解法则． 例题精讲 【例1】计算： （1）(－4x2)(3x＋1)； （2）； （3）(x－3y)(xy2)2； （4）x(y－z)－y(z－x)＋z(x－y)． 【师生活动】学生在学习任务单上解答，教师讲评，并提醒学生：①单项式与多项式相乘的问题一般会转化为单项式与单项式相乘来求解；②运算过程中要注意运算顺序；③如果计算结果中出现了同类项，要合并． 【答案】解：（1）(－4x2)(3x＋1) ＝(－4x2)(3x)＋(－4x2)·1 ＝(－4×3)(x2·x)＋(－4x2) ＝－12x3－4x2； （2） ＝ab2·ab＋(－2ab)·ab ＝a2b3－a2b2； （3）(x－3y)(xy2)2 ＝(x－3y)·x2y4 ＝x·x2y4＋(－3y)·x2y4 ＝x3y4－3x2y5； （4）x(y－z)－y(z－x)＋z(x－y) ＝xy＋x(－z)＋(－y)z＋(－y)(－x)＋zx＋z(－y) ＝xy－xz－yz＋yx＋zx－zy ＝2xy－2yz． 【追问】分析上述计算过程，你认为单项式与多项式的乘法运算要注意什么？ 【注意】（1）不要出现漏乘现象． （2）计算时，要注意符号问题．多项式中每一项都包括它前面的符号，单项式分别与多项式的每一项相乘时，同号相乘得正，异号相乘得负． （3）运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减． （4）单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与多项式的项数相同． （5）如果计算结果中有同类项，要合并同类项，化为最简形式． 【例2】先化简，再求值：a2(a＋1)－a(a2－1)，其中a＝5． 【师生活动】学生在学习任务单上进行解答，教师组织全班交流． 【答案】解：a2(a＋1)－a(a2－1) ＝a2·a＋a2＋(－a)·a2＋(－a)·(－1) 　　 ＝a3＋a2－a3＋a 　　 ＝a2＋a． 当a＝5时，原式＝52＋5＝30． 【设计意图】通过例题讲解，帮助学生在计算中加深对算法的理解，将有理数的学习经验迁移到整式的运算中，体会数式通性，提升运算能力． 课堂练习 1．下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1）(－2x)(x2－x)＝－2x3－2x2； （2）a(b－c)＋b(c－a)＋c(a－b)＝0． 【师生活动】学生完成学习任务单上的练习，教师讲评，提醒学生注意符号． 【答案】解：（1）×；(－2x)(x2－x)＝(－2x)·x2＋(－2x)·(－x)＝－2x3＋2x2； （2）√． 2．计算： （1）3a(5a－2b)； （2）－2xy(2xy2－3xy)； （3）(x－3y)(－6x)； （4）(－2ab)2 (2a－b＋1)． 【师生活动】学生完成学习任务单上的练习，教师讲评．针对第（4）题，教师提醒学生：①注意运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减．也就是说要先计算(－2ab)2＝(4a2b2)；②单项式要分别与多项式的每一项相乘，也就是说不能遗漏4a2b2·1． 【答案】解：（1）3a(5a－2b) ＝3a·5a＋3a·(－2b) ＝15a2－6ab； （2）－2xy(2xy2－3xy) ＝(－2xy)(2xy2)＋(－2xy)(－3xy) ＝－4x2y3＋6x2y2； （3）(x－3y)(－6x) ＝x(－6x)＋(－3y)(－6x) ＝－6x2＋18xy； （4）(－2ab)2 (2a－b＋1) ＝(4a2b2)(2a－b＋1) ＝(4a2b2)(2a)＋(4a2b2)(－b)＋(4a2b2)·1 ＝8a3b2－4a2b3＋4a2b2． 3．计算：x(x－1)＋2x(x＋1)－3x(2x－5)． 【师生活动】学生完成学习任务单上的练习，教师讲评． 【答案】解：x(x－1)＋2x(x＋1)－3x(2x－5) ＝x·x＋ x·(－1)＋2x·x＋2x·1＋(－3x)·2x＋(－3x)·(－5) ＝x2－x＋2x2＋2x－6x2＋15x ＝－3x2＋16x． 4．先化简，再求值：x2(x－1)－x(x2＋x－1)，其中 x＝． 【答案】解：x2(x－1)－x(x2＋x－1) ＝x2·x＋x2·(－1)＋(－x)·x2＋(－x)·x＋(－x)·(－1) ＝x3－x2－x3－x2＋x ＝－2x2＋x； 当 x＝时，原式＝－2×＋＝－＋＝0． 【设计意图】从“判断纠错”到“基础计算”，再到“化简求值”，通过练习全面检验学生对法则的掌握情况，及时发现并纠正学生的错误，强化重点、突破难点，进一步巩固运算能力． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1．单项式与多项式相乘的乘法法则是怎样探究出来的？ 2．在运用单项式与多项式的乘法法则时应注意什么？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 完成教材第110～111页习题16.2第2、7（1）题． 学科网（北京）股份有限公司 $