等差数列的基本量运算及性质应用教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

等差数列的基本量运算及性质应用教学设计 【指导思想与理论依据】 本课依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》要求，以发展学生数学核心素养为根本导向，结合“导学流程”设计理念，通过“知识梳理—自主学习—例题精讲—总结提升”的闭环模式，引导学生经历“温故知新—自主探究—应用提升”的学习过程，建立“数列条件—代数表示—性质推演”的转化路径。 在教学中，突出“自主学习与教师引导相结合”，通过填空题、选择题、高考真题等多元题型夯实基础，借助分层例题突破重难点，注重函数与方程、化归与转化思想的渗透，让学生在自主完成知识建构的同时，提升数学运算、逻辑推理和问题解决能力，实现知识掌握与素养发展的统一。 依据建构主义学习理论与认知负荷理论，本课以学生已有知识为起点，通过知识梳理模块激活旧知，自主学习模块降低认知门槛，例题精讲模块逐步提升思维负荷，符合学生“由浅入深、循序渐进”的认知规律，助力学生高效内化等差数列的核心知识体系。 【教学背景分析】 1.知识储备：学生在高二阶段已系统学习等差数列的定义、通项公式、前n项和公式及简单性质，能够解决已知中部分量求其他量的问题，对“基本量法”有初步运用经验。经过不等式、函数等内容的复习，已具备一定的代数运算能力与函数思想基础，能够处理较为复杂的数列关系转化问题。 2.能力现状：具备基础的数学运算能力和初步的逻辑推理能力，能识别并套用等差数列的基本公式解题；对高考中数列基础题的考查形式有一定了解，但在性质综合运用、灵活转化方面仍存在困难，尤其是涉及项与前n项和的综合以及函数观点等内容时易思路固化。 【复习目标】 1.通过自主复习等差数列，进一步理解其定义、通项公式与前n项和公式的基本结构； 2.掌握“基本量法”与“性质法”在解题中的灵活运用，提高解题效率； 3.理解等差数列与一次函数的联系，增强函数观点看待数列问题的意识 【重点】 掌握等差数列通项公式与前n 项和公式的运算 【难点】 灵活运用等差数列性质简化运算，处理复杂条件转化与综合应用题。 【导学流程】 一、知识梳理 等差数列 内容 性质（补充） 应用 定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的________都等于___________，那么这个数列就叫作等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示． 递推公式表达式为： ________________． 等差中项 若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项， 且有A＝________． 递推公式表达式为： ______________________． 通项公式 an＝____________． 已知数列{an}的通项公式是an＝An＋B(其中A，B为常数)，则数列{an}是 数列，且公差为 前n项和公式 Sn＝___________ ＝_____________________. 已知数列{an}的前n项和公式是Sn＝An2＋Bn(其中A，B为常数)，则数列{an}是 数列，且公差为 补充 1.若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ________________． 2.若{an}为等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为________的等差数列． 3.等差数列{an}的前n项和为Sn，数列Sm，S2m－Sm， S3m－S2m，…(m∈N*)是 数列． 4.在Sn＝中， S2n-1= ; S2n= 5.若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列{}也为 数列． 请尝试完成补充性质3,5的证明,并归纳出证明数列的方法. 设计意图：学生通过知识点梳理，完善和熟练知识的漏洞，并清晰知识的使用方向对后续的学习形成基础知识网。通过对性质的证明，巩固证明数列的方式方法，加深对等差数列基本量的理解。 二、自主学习 1.[2025·新高考Ⅱ卷]记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S3＝6，S5＝－5，则S6＝(　　) A．－20 B．－15 C．－10 D．－5 2. [2024·全国甲卷]已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. [2023·全国甲卷]记为等差数列的前项和，若,,则（ ） A. 25 B. 22 C. 20 D. 15 4. [2024·新高考Ⅱ卷]记为等差数列的前项和，若， ，则. 5. [2022·全国乙卷]记为等差数列的前项和，若,则公差_  _   6.[教材原题P23.3] 若S4＝6，S8＝20，则S16=_ __. 设计意图：通过真题的铺垫，使得学生快速定位考点的核心，明确等差数列的基本考察方式，使得复习备考更有针对性。加强学生的对比分析题目题条件能力，是培养学生方程思想和整体代换想的主要载体。 三、例题精讲 例题1：已知等差数列{an} ，其前n项和为Sn . （1）若S4=1, S8=4, 则a17+a18+a19+a20= . （2）若a1=1，S4=S9，求Sn ； 【变式探究】 若将“a1=1”，改为“a1>0”， 问：此时d会如何变化？数列项的符号是怎么变化的？ 追问：Sn的值又有什么特殊性？是否能求出对应的n值？ 思考:你是否还有其它发现?（提示：函数关系） 【变式探究】 设计意图：通过自主学习的基本量运算后，进一步进行典例的设计，在一些项与和的综合情境中找到解决等差数列相关量的计算，也体现性质的应用于函数的综合交汇。题目通过分层的变式设计，利于学习难点的突破。 【当堂诊学】 1.已知等差数列{an} ，其前n项和为Sn，若a1=1，d=2， Sn+2−Sn=24，则n= . 2.（多选题）若数列{an}为等差数列，Sn为其前n 项和，若a1>0,S4=S12 ，则下列说法正确的是( ). A.公差d<0 B.a7+a9<0 C.Sn的最大值为S8 D.使Sn<0的最小正整数n 为16 【课程总结】 （1）本节课复习了哪些知识？是按照怎样的过程学习的？ （2）领悟到了哪些思想方法？是在解决什么问题中领悟到的？ （3）学习中，对今后有启发借鉴意义的学习经验有哪些？ 设计意图：诊学是为了更好的在课堂上发现学生的学习问题设计的三类题目。课程的总结通过三个问题引导学生的思考，利于学生思考回顾整堂课的学习流程。 【课后巩固】 1.(选择性必修第二册P15T4改编)已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4等于（ ） A.－2　　 　 B.4　　 　C.6　　 　D.8 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a4＝4，则S6= . 3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36 ,则a7+a8+a9= ( ). A.63 B.45 C.36 D.27 4.（2023·新高考Ⅰ卷）记Sn为数列{an}的前n项和,设甲：{an} 为等差数列， 乙：{ } 为等差数列,则( ). A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5.(2025·甘肃庆阳模拟)为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小明10月1日运动了5分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前一天多2分钟，则从10月1日到10月的最后一天，小明运动的总时长为 ________分钟． 6.(多选)(2024·辽宁名校联考二模)设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论正确的是(　　) A．d≤0 B．a7＝0 C．S6与S7均为Sn的最大值 D．满足Sn<0的n的最小值为14 7.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 018，−＝6，则S2 025＝________． 8.有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn． ①若，则________； ②若，则＝________． 9.开放性作业： 请同学们按照等差数列的相关条件，自主尝试命制题目，与同学交换完成。 设计意图：设计基础练习，巩固学生运算基础，也设计开放性作业，使得学生对等差数列基本量与性质的思考下，去命制一个能解决的问题，加深对学生知识的利用，也使对学生的评价有了另一种路径。 1 学科网（北京）股份有限公司 $