2025—2026学年湘教版八年级上册数学第三次月考模拟试卷拔尖卷

湘教版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考模拟试卷拔尖卷 （测试范围第一章因式分解到第四章三角形） 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 第I卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应为，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．变为原来的3倍 B．变为原来的 C．变为原来的 D．不变 4．对于任意整数a，多项式都能(    ) A．被整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除 5．相邻两边长为的长方形的周长为14，面积为10，则的值为（   ） A．260 B．290 C．360 D．390 6．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 7．如图，等边的边长为4，平分，点在的延长线上，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．如果 是一个完全平方式，那么k是(  ) A．6 B．-6 C．6 D．18 9．如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 10．设，，，则值为（   ） A． B． C． D． 第9题图 第7题图 第16题图 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11．比较大小： （填“”、“”或“”）． 12．一个正数的两个平方根分别为3x+2和5x+6，则这个正数为 13．若分式的值为零，则x的值为 ． 14．已知，的周长为，如果，， ． 15．若m，n为实数，且，则的值为 . 16．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为 ． 第II卷 湘教版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考模拟试卷拔尖卷 （测试范围第一章因式分解到第四章三角形） 姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________ 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空题 11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______ 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．化简： (1) (2) 18．先化简，再求值：，其中a＝－． 19．如图，在中，是的垂直平分线，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．如图，，点D在边上，和相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的度数． 21．长沙市北雅中学拟举办“青春似火，激情无限”运动会．为展现学生的青春活力和蓬勃朝气，使学生之间、师生之间和谐融洽的情谊得到进一步发展，计划选购一批篮球与足球，每个篮球的价格比每个足球的价格高20元，用480元单独购进篮球的件数与320元单独购进足球的件数相同． （1）足球与篮球的单价分别为多少元？ （2）若学校计划购买这种足球与篮球共40个，且投入的经费不超过2100元，要使购买的篮球数量大于足球数量，则共有几种购买方案？ 22．观察下列算式， 第一个式子；  第二个式子； 第三个式子； 第四个式子；…… 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第n个式子： （n为正整数）． (2) （n，m为正整数且）． (3)若，试求的值． 23．如图，是等边三角形外部一点，连接，，且，过点作交于点，交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)连接，若，，求的长． 24．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”． (1)在正整数①46、②40、③68中，是“双奇差数”的是______．（填序号） (2)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中k为正整数． ①求证：“双奇差数”都能被8整除． ②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，请给出验证． (3)若m、n为正整数，且，若是“双奇差数”，求的最小值． 25．如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如：分式，，，则M与N互为“和整分式”，且“和整值”为1． (1)已知分式，，A与B互为“和整分式”，且“和整值”为3，若x为正整数，分式B的值为正整数． ①C所代表的代数式为________； ②求x的值． (2) 已知分式，互为“和整分式”，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C C B C B C A B 二、填空题 11． 12． 13． 14．13 15．2 16． 三、解答题 17．【解】（1）解： ； （2）解： ． 18．【解】解：原式 ， 当时，． 19．【解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 20．【解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中，     ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，且，， ∴． 21．【解】解：（1）设足球每个x元，则篮球每个(x+20)元，由题意得 解得 x=40， 经检验x=40符合题意， 40+20=60元， 答：足球每个40元，篮球每个60元； （2）设购买足球a个，则购买篮球(40-a)个，由题意得 ， 解得 15≤a<20， ∴当a=15时，40-a=25； 当a=16时，40-a=24； 当a=17时，40-a=23； 当a=18时，40-a=22； 当a=19时，40-a=21； ∴共有5种购买方案． 22．【解】（1）解：第n个式子为： ， 故答案为：． （2）解：设 ∴ 令，则 令，则 ∴ 故答案为：. （3）解：∵ ∴， 解得， ∴ . 23．【解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 24．【解】（1）解：①46不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意； ②，能表示为两个连续奇数的平方差，故符合题意； ③68不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意； 故答案为：②； （2）解：①， 因为k为正整数，所以能被8整除， 因此：“双奇差数”都能被8整除． ②设四个连续奇数为、、、， ， ， ， ，， 所以任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数． （3）解：因为m、n为正整数，且， ， 因为是“双奇差数”， 所以，其中k为正整数，所以， 因为，即，所以当最小时，有最小值， 所以当最小时，有最小值， 当时，，不是完全平方数； 当时，，不是完全平方数； 当时，，由得，， ∴的最小值为7． 25．【解】（1）解：①，， ． 与B互为“和整分式”，且“和整值”为3， ， ． ②，且x为正整数，分式B的值为正整数， 或， （舍去）． （2）解：由题意，得， ， ， 整理，得． 方程无解， 或， 当时，解得； 当，时，， 解得． 综上，m的值为1或． 学科网（北京）股份有限公司 $