4.2弧度制 课件-2025-2026学年高一上学期高教版中职数学基础模块（上册）

4.2 弧度制 第4章 三角函数 角度：小明从家骑车到学校，自行车轮子转了689圈，转过的角度是多少？ 角是如何度量的？角度的单位是什么？ 角度制 是否有其它的单位制使得表示更为方便简单？ 一、弧度制 把弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。记作：1 弧度 或1 rad 1弧度 r l=r O A B 设弧AB的长为l : 若l=r,则∠AOB= l r = 1弧度 若l=2r,则∠AOB= l r = 2 rad 3 rad 若l=3r,则∠AOB= l r = 思考：若圆心角∠AOB表示一个顺时针方向旋转的角，且它所对的弧的长为3r,则∠AOB的弧度数是？ l r = 3 l=3r O A B r -3弧度 即∠AOB=－ l r = －3 rad |∠AOB |= 定义： 我们规定，正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度数的绝对值： ︱α︱= l r 其中：l —— 以角α为圆心角所对的弧长 r —— α角所在圆的半径 的正负由角的终边的旋转方向决定 这种用“弧度” 做单位来度量角的制度，叫做弧度制。 二、弧度与角度的换算 思考： 1.若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是多少？ 2.若弧是一个半圆，其圆心角的弧度数是多少？ 2π rad (1)l=2 π r,则∠AOB= l r = (2)l=π r, 则∠AOB= l r = π rad 360°= 2π rad 180°= π rad l=2 π r O （B） r 问题2： 180°= π rad 由公式 你可推算出： 1°等于多少弧度么？ 1弧度又等于多少度呢？ 1°= —— rad≈ 0．01745 rad 180 π 1 rad =（——）°≈ 57．30°= 57°18′ π 180 结论： 三、例题 （1） 把 67°30′化成弧度。 （2) 把 — π 化成度。 5 3 解： 解： 注: 1.用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字或“rad” 通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省。 2.用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形式, 如无特别要求，不用将π化成小数。 例2.请写出一些特殊角的弧度数 度 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º 弧度数 四、练习: 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例3 扇形的圆心角为α(0＜α＜2π) ，半径为r，弧长为l，扇形面积为S，求证：(1) l=αr ; (2) 证明 (1) 即l=αr. (2)因为圆心角为1 rad的扇形面积为 所以圆心角为α的扇形面积为 13 例4 如图，求公路弯道部分AB的长l（精确到 0．1m．图中长度单位：m）． 先将圆心角换算为弧度制． 再用弧长=圆心角×半径求解 弧 度 制 例5.已知扇形的周长为8cm，圆心角为2rad， 求该扇形的面积。 应用知识 强化练习 1.若扇形的半径为10cm，圆心角为60°，则该扇形的弧长和扇形面积是多少? 2.已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角的弧度数. 3.已知1°的圆心角所对的弧长为1m，那么这个圆的半径是多少米． 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 将圆周的 圆弧所对的圆心角叫做1度角，记作1°． 1度等于60分（1°=60′），1分等于60秒（1′=60″）． 以度为单位来度量角的单位制叫做角度制． 例1 把下列各角度换算为弧度(精确到0．001)： ⑴ 15°； ⑵ 8°30′； ⑶ －100°． 把下列各弧度换算为角度（精确到1′）： ⑴ ； ⑵ 2.1； ⑶ -3.5． 1． 把下列各角从角度化为弧度： ⑴ 22°30′； ⑵ -210°； ⑶ 1200°． 2． 把下列各角从弧度化为角度： ⑴ ；⑵ ；⑶ ． 3. 用弧度表示： (1)终边在x轴上的角的集合; (2)终边在y轴上的角的集合; (3)第一象限角的集合. $