25.1.2正投影及其性质 课件- 2024--2025学年沪科版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦正投影的定义、三要素及线段、平面图形、几何体的正投影性质，通过复习平行投影特征引出“特殊平行投影”，搭建从已知到未知的学习支架，衔接自然。 其亮点在于以动手操作为核心，让学生用纸板和手电筒模拟投影，结合观察对比培养几何直观与空间观念，分层探究性质并以口诀总结规律，典例联系工程实际强化应用意识，助力学生理解数学本质，也为教师提供高效教学方案。

沪科版数学九年级下册【公开课精做课件】 第24章 圆 25.1.2正投影及其性质 线段的正投影 三角板在光线照射下形成投影，观察下图，它们有什么相同点和不同点？ 观察与思考 25.1.2 正投影及其性质 教学过程 一、复习衔接，导入新课（5分钟） 师：上节课我们学习了平行投影和中心投影，大家还记得平行投影的核心特征是什么吗？（学生回答后，教师小结）在平行投影中，光线的方向会直接影响物体影子的形状和大小。比如太阳光下，当阳光垂直照射地面时，物体的影子会呈现出特殊的形态——能准确反映物体的实际尺寸。这种特殊的平行投影，就是我们今天要深入学习的内容——正投影及其性质。（板书课题） 设计意图：通过复习平行投影的特征，自然引出“特殊平行投影”这一概念，建立知识衔接，明确本节课的学习是对平行投影知识的深化。 二、探究正投影的定义，明确核心内涵（20分钟） 1. 观察对比，感知正投影 师：请大家观察大屏幕上的两组图片（第一组：斜射阳光下车的影子，影子被拉长变形；第二组：正午垂直阳光下车的影子，影子与车身宽度基本一致）。对比这两组平行投影，它们的区别在哪里？（引导学生从光线与投影面的角度分析） 生：第一组光线是斜着照射投影面的，影子变形；第二组光线好像垂直于投影面，影子更真实。 师：非常准确。在平行投影中，我们根据光线与投影面的位置关系，将其分为两类：光线与投影面不垂直的叫做斜投影，就像第一组图片；而光线与投影面垂直的平行投影，叫做正投影。（板书定义）大家要注意，正投影首先是平行投影，满足光线平行的特征，其次是特殊条件——光线与投影面垂直。 2. 动手操作，深化理解 师：请大家拿出准备好的长方形硬纸板（代表物体）和白纸（代表投影面），用手电筒模拟平行光线。先让手电筒光线斜射纸板，观察白纸上的影子；再调整手电筒角度，使光线垂直于白纸照射纸板，再次观察影子。对比两次影子的形状和大小，有什么发现？（学生操作，教师巡视指导） 生1：斜射时，长方形纸板的影子变成了平行四边形，边长和角度都变了；垂直照射时，影子还是长方形，和纸板的形状、长和宽都一样。 师：这个发现很关键。正投影的核心价值就在于它能“真实还原”物体的某些几何特征，这也是它在工程、建筑等领域广泛应用的原因。比如建筑图纸、机械零件图，都是利用正投影绘制的，能让施工者准确把握物体的尺寸。 3. 正投影的三要素 师：结合刚才的操作，我们明确正投影的形成需要三个要素：一是投影线（即平行且垂直于投影面的光线），二是物体，三是投影面。这三个要素缺一不可，其中投影线与投影面垂直是正投影的本质特征，也是区别于斜投影的关键。 三、探究正投影的性质，把握核心规律（25分钟） 1. 线段的正投影性质 师：我们先从简单的几何 情景导入 在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影称为正投影. 知识要点 探究新知 投影 平行投影 中心投影 正投影 斜投影 投射线集中于一点 投射线互相平行，且斜着照射投影面 投射线垂直于投影面 探究新知 准备素材：铅笔，矩形纸板，长方体纸盒 问题1 用一束平行光垂直于水平桌面照射一支铅笔，改变铅笔的位置，观察它在桌面上投影的形状，你能发现线段的正投影的规律吗？ 合作探究 探究新知 H A B A B A B 铅笔可看作线段 AB A' B' A' B' A' (B') H 为投影面 A'B' = AB A'B'＜AB A'B' = 0 平行 倾斜 垂直 探究新知 线段的正投影有如下规律： 平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点. 知识要点 探究新知 H 问题2 用一束平行光垂直于水平桌面照射一张矩形纸板 ABCD，改变纸板的位置，观察它在桌面上投影的形状，你能发现矩形 ABCD 正投影的规律吗？ A B D C 探究新知 H A B D C A' B' C' D' A' B' C' D' A B D C 平行 倾斜 垂直 D'(A') C'(B') A B D C 四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D' 重合 四边形 A'B'C'D' 在大小和形状上已发生改变 四边形 A'B'C'D'变为线段 C'D' (或 A'B') 探究新知 平面图形的正投影有如下规律： 平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段. 知识要点 探究新知 H 问题3 根据平面图形正投影的规律，你能说出长方体ABCD-A1B1C1D1 在投影面 H 上的正投影是什么图形吗？ A1 B1 C1 D1 A B C D A' B' C' D' 长方体在投影面 H 上的正投影就是矩形 A'B'C'D' 探究新知 H A1 B1 C1 D1 A B C D 想一想：若将长方体 ABCD-A1B1C1D1 倾斜放置，它在投影面 H 上的正投影是什么图形？ 长方体的两个面 ABB1A1 与 DCC1D1 垂直于投影面，故这两个面在投影面上的投影为两条线段. 长方体的另外四个面在投影面上的投影都是平面图形. 探究新知 几何体的正投影有如下规律： 一般地，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形. 一个几何体在一个平面上的正投影叫做这个几何体的视图. 知识要点 探究新知 例 圆柱的轴截面平行于投影面，它的正投影是边长为 4 的正方形，则这个圆柱的表面积是______. 4 4 圆柱的底面直径为 4 圆柱的高为 4 典例精析 探究新知 返回 相同 1．当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小________(填 “相同”“不一定相同”或“不相同”)． 考试考法 15 2．[2025滁州模拟]由四个相同的小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的投影是(　　) A 返回 考试考法 16 3．将一个直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周，所得几何体的正投影可能是(　　) A．正方形 B．等腰三角形 C．线段 D．点 返回 B 考试考法 17 4．物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是(　　) A．一条线段 B．一个与原正方形全等的正方形 C．一个邻边不等的平行四边形 D．一个等腰梯形 D 返回 考试考法 18 考试考法 19 【点拨】如图，过点B作BC⊥AA1于点C， ∴∠ACB＝90°.∵A1B1是线段AB在投影面上的正投影， ∴AA1⊥A1B1，BB1⊥A1B1. ∴四边形A1B1BC为矩形． ∴BC＝A1B1，∠B1BC＝90°. ∴∠ABC＝∠ABB1－∠B1BC＝20°. ∴BC＝AB·cos20°.∴A1B1＝AB·cos20°＝a·cos20° cm. 返回 【答案】 A 考试考法 返回 6．(1)当线段AB平行于投影面α时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的正投影的大小关系为AB________A1B1； (2)当线段AB倾斜于投影面α时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的正投影的大小关系为AB______A2B2； (3)当线段AB垂直于投影面α时，它的正投影是一个________． ＝ ＞ 点 考试考法 21 考试考法 22 考试考法 返回 考试考法 8．如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是(　　) C 返回 考试考法 25 9． [2025芜湖模拟]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，M为BC中点，G是斜边AB上靠近B的黄金分割点，D是线段AG上一动点，作射线CD，并将射线CD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到射线l，在射线l上取点E，使得线段CE∶CD＝4∶3， 若点F为点E在线段CM上的正投影， 则点D在运动过程中，FM的最大 值为________． 考试考法 26 考试考法 返回 考试考法 28 正投影及其性质 线段的正投影 平面图形的正投影 几何体的正投影 平行长不变，倾斜长变短，垂直成一点 影长≤线段长 平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段 平面图形 视图 课堂小结 谢谢观看！ 5. 如图，A1B1是线段AB在投影面上的正投影，已知AB＝a cm，∠ABB1＝110°，则投影A1B1的长为(　　) A．a·cos 20° cm B．a·sin 20° cm C．a·cos 110° cm D. cm 3＋4 7． 如图，将一块含30°角的直角三角板AMC的直角顶点C放置于直线n上，点A，M在直线n上的正投影分别为点D，N，若AM＝10，MN＝3，则AM在直线n上的正投影DN的长是________． 【点拨】由题意得AC＝AM＝5，CM＝AM·cos30°＝10×＝5，AD⊥DN，MN⊥DN， ∴CN＝＝＝4， cos∠CMN＝＝＝. ∵∠ACD＋∠MCN＝90°，∠MCN＋∠CMN＝90°， ∴∠ACD＝∠CMN.∴cos∠ACD＝cos∠CMN＝＝.∴＝，解得CD＝3.∴DN＝CD＋CN＝3＋4. ∴AM在直线n上的正投影DN的长是3＋4. 4－8 【点拨】过点D作DN⊥BC于点N，则∠DNC＝90°.∴∠DCN＋∠CDN＝90°.∵∠DCE＝90°，∴∠ECF＋∠DCN＝90°.∴∠ECF＝∠CDN.又∵∠CFE＝∠DNC＝90°，∴△ECF∽△CDN，∴＝＝.∵∠ACB＝90°，DN⊥BC，∴AC∥DN，∴△BND∽△BCA，∴＝，∴＝.在Rt△ABC中，AB＝＝10，∴＝＝. ∵M是BC中点，∴CM＝BC＝4.设BD＝x，则DN＝x，∴CF＝x，∴FM＝4－x.当点F与点M重合时，CF＝CM＝4，则DN＝3，∴BD＝5. ∵D是线段AG上一动点，G是斜边AB上靠近B的黄金分割点，∴x≥10－10×＝15－5，∴FM＝4－x≤4－8，∴FM的最大值是4－8.故答案为4－8. $