专题10 用频率估计概率 期中期末重难点突破2025-2026学年北师大版九年级数学上册

专题10 用频率估计概率 1．在一个不透明的口袋中，放置3个黄球，1个红球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率（如图所示），则的值最可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的球，其中有6个白球m个篮球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色然后再放回盒子里，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则m的值约为（   ） A．4 B．6 C．9 D．12 3．在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 4．某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出个球，发现个是红球，估计袋中红球的个数是（　　） A． B． C． D． 5．小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率 B．从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率 C．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率 D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率 6．小亮3分钟共投篮80次，进了64个球，则小亮进球的频率是（　    ） A．80 B．64 C．1.2 D．0.8 7．一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回．大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出m的值为（    ） A．25 B．20 C．15 D．10 8．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表，若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（    ） 抛掷次数 100 200 300 400 500 正面朝上的频数 53 98 156 202 244 A．200 B．300 C．500 D．800 9．某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考查某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示： 移植总数 10 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数量 8 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活频率 0.800 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902 估计树苗移植成活的概率是（　　）（结果保留小数点后一位） A．0.81 B．0.8 C．0.9 D．无法计算 10．只有颜色不同的个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在，则袋中红球与白球共有(    ) A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，利用计算机模拟的结果，摸出黑球的频率在0.5附近波动，由此可以估计出n的值是____． 12．圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过万亿位．有学者发现，随着小数部分位数的增加，这个数字出现的频率趋于稳定接近相同，从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是的概率为______． 13．乌鲁木齐市林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该市这种树苗移植成活情况进行了调查统计，并绘制了统计图，根据统计图提供的信息，估计该树苗成活的概率为____________． 14．我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为______． 15．下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有______． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 三、解答题 16．如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明设计了一个如下方法： ①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆． ②在此封闭图形旁边闭上眼晴向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 500 … 小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 59 123 203 … 小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 29 91 176 293 … m∶n 0.689 0.694 0.689 0.706 (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，则m∶n的值越来越接近 （结果精确到0.1）． (2)若以小石子所落的有效区域为总数（即m＋n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）． (3)请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留） 17．自2009年以来，“中国·兴化千垛菜花旅游节”享誉全国．“河有万湾多碧水，田无一垛不黄花”所描绘的就是我市发达的油菜种植业．为了解某品种油菜籽的发芽情况，农业部门从该品种油菜籽中抽取了6批，在相同条件下进行发芽试验，有关数据如下： 批次 1 2 3 4 5 6 油菜籽粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽油菜籽粒数 318 652 793 1604 4005 发芽频率 0.850 0.795 0.815 0.793 0.801 (1)分别求和的值； (2)请根据以上数据，直接写出该品种油菜籽发芽概率的估计值（精确到0.1）； (3)农业部门抽取的第7批油菜籽共有8000粒．请你根据问题（2）的结果，通过计算来估计第7批油菜籽在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数． 18．下面是某学校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 500 1000 1500 2000 3000 4000 发芽的粒数m 471 946 1425 1898 2853 3812 发芽频率 0.942 0.946 0.949 0.953 (1)求表中，的值； (2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率约是多少？（精确到0.01） (3)若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 19．在一个袋子中装有大小相同的个小球，其中个蓝球，个红球，在这个袋中加入个红球，这些球除颜色外其他均相同．进行如下试验：随机摸出个，记下颜色，然后放回搅匀，多次重复这个实验，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，则可以推算出的值大约是多少？ 20．一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，将袋中的球充分摇匀，闭眼从口袋中摸出一个球，经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在． (1)估计摸到黑球的概率是_______； (2)如果袋中原有黑球15个，估计原口袋中共有几个球？ (3)在（2）的条件下，又放入个黑球，再经很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在，估计的值． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 用频率估计概率 1．在一个不透明的口袋中，放置3个黄球，1个红球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率（如图所示），则的值最可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【详解】解：根据图知，经过大量实验，蓝球出现的频率稳定在0.6附近， 则， 当n=4时，，故A不符合题意； 当n=5时，，故B不符合题意； 当n=6时，，故C符合题意； 当n=7时，，故D不符合题意； ∴的值最可能是6， 故选：C． 2．一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的球，其中有6个白球m个篮球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色然后再放回盒子里，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则m的值约为（   ） A．4 B．6 C．9 D．12 【详解】解：由题意可得， ， 解得：． 经检验，是原方程的解． 故选：C． 3．在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【详解】解：由图可知，经过大量实验发现，黄球出现的频率稳定在0.6附近， ∴ 解得 n=3 故选：B． 4．某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出个球，发现个是红球，估计袋中红球的个数是（　　） A． B． C． D． 【详解】摸到红球的频率为， 估计袋中红球的个数是个， 故选：A． 5．小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率 B．从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率 C．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率 D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率 【详解】A、掷一枚硬币，正面朝上的概率为，故A选项错误，不符合题意； B、从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率为，故B选项错误，不符合题意； C、从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球，摸到红球的概率为，故C选项正确，符合题意； D、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率在是50%，故D选项错误，不符合题意； 故选C． 6．小亮3分钟共投篮80次，进了64个球，则小亮进球的频率是（　    ） A．80 B．64 C．1.2 D．0.8 【详解】解：∵小亮共投篮80次，进了64个球， ∴小明进球的频率为：64÷80=0.8． 故选：D． 7．一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回．大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出m的值为（    ） A．25 B．20 C．15 D．10 【详解】解：（个， 所以可以估算出的值为20， 故选：B． 8．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表，若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（    ） 抛掷次数 100 200 300 400 500 正面朝上的频数 53 98 156 202 244 A．200 B．300 C．500 D．800 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到附近， ∴当抛掷硬币的次数为1000时，“正面朝上”的频数最接近次． 故选：C． 9．某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考查某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示： 移植总数 10 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数量 8 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活频率 0.800 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902 估计树苗移植成活的概率是（　　）（结果保留小数点后一位） A．0.81 B．0.8 C．0.9 D．无法计算 【详解】解：由表格中的数据可以估计树苗移植成活的概率是0.9，故选：C． 10．只有颜色不同的个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在，则袋中红球与白球共有(    ) A．个 B．个 C．个 D．个 【详解】解：设袋中白球有个，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 故袋中白球有个，共有个球． 故选：C． 二、填空题 11．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，利用计算机模拟的结果，摸出黑球的频率在0.5附近波动，由此可以估计出n的值是____． 【详解】解：由题意可得，， 解得，n=10． 经检验，n=10是原方程的根， 故估计n的值为10． 故答案为：10． 12．圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过万亿位．有学者发现，随着小数部分位数的增加，这个数字出现的频率趋于稳定接近相同，从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是的概率为______． 【详解】解：随着小数部分位数的增加，这个数字出现的频率趋于稳定接近相同， 从的小数部分随机取出一个数字共有种等可能的结果，其中出现数字的只有种结果， (数字是6)． 故答案为：． 13．乌鲁木齐市林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该市这种树苗移植成活情况进行了调查统计，并绘制了统计图，根据统计图提供的信息，估计该树苗成活的概率为____________． 【详解】解：由统计图可知，该树苗成活的频率在0.9附近摆动， ∴估计该树苗成活的概率为0.9， 故答案为：0.9． 14．我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为______． 【详解】解：第4组的频数为：40-6-12-14=8， 频率为：=0.2， 故答案为：0.2． 15．下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有______． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 【详解】解：①：频率不是概率，频率会随着重复试验的次数变化而变化，而概率是固定的，故①错误； ②：频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故②错误 ③：由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故③正确； ④：概率是客观的，在试验前能确定，故④错误． 故答案为：③． 三、解答题 16．如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明设计了一个如下方法： ①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆． ②在此封闭图形旁边闭上眼晴向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 500 … 小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 59 123 203 … 小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 29 91 176 293 … m∶n 0.689 0.694 0.689 0.706 (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，则m∶n的值越来越接近 （结果精确到0.1）． (2)若以小石子所落的有效区域为总数（即m＋n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）． (3)请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留） （1） 解：20÷29≈0.69； 59÷91≈0.65； 123÷176≈0.70， … 当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近0.7； 故答案为：0.7； （2） 解：观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4， 故答案为：0.4； （3） 解：设封闭图形的面积为a，根据题意得：=0.4， 解得：a=10π， 答：封闭图形的面积为10π平方米． 17．自2009年以来，“中国·兴化千垛菜花旅游节”享誉全国．“河有万湾多碧水，田无一垛不黄花”所描绘的就是我市发达的油菜种植业．为了解某品种油菜籽的发芽情况，农业部门从该品种油菜籽中抽取了6批，在相同条件下进行发芽试验，有关数据如下： 批次 1 2 3 4 5 6 油菜籽粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽油菜籽粒数 318 652 793 1604 4005 发芽频率 0.850 0.795 0.815 0.793 0.801 (1)分别求和的值； (2)请根据以上数据，直接写出该品种油菜籽发芽概率的估计值（精确到0.1）； (3)农业部门抽取的第7批油菜籽共有8000粒．请你根据问题（2）的结果，通过计算来估计第7批油菜籽在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数． （1） a=100×0.850=85，b==0.802； （2） ∵观察表格发现发芽频率逐渐稳定到0.8附近， ∴该品种油菜籽发芽概率的估计值0.8； （3） 8000×0.8=6400， 答：估计第7批油菜籽在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数为6400． 18．下面是某学校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 500 1000 1500 2000 3000 4000 发芽的粒数m 471 946 1425 1898 2853 3812 发芽频率 0.942 0.946 0.949 0.953 (1)求表中，的值； (2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率约是多少？（精确到0.01） (3)若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． （1） 解：；； （2） 解：概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率； 这种种子在此条件下发芽的概率约为0.95． （3） 解：若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600棵， 需要准备（粒种子进行发芽培育． 19．在一个袋子中装有大小相同的个小球，其中个蓝球，个红球，在这个袋中加入个红球，这些球除颜色外其他均相同．进行如下试验：随机摸出个，记下颜色，然后放回搅匀，多次重复这个实验，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，则可以推算出的值大约是多少？ 【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红色小球的频率稳定在， ∴摸到红色小球的概率等于， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意． ∴可以推算出的值大约是． 20．一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，将袋中的球充分摇匀，闭眼从口袋中摸出一个球，经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在． (1)估计摸到黑球的概率是_______； (2)如果袋中原有黑球15个，估计原口袋中共有几个球？ (3)在（2）的条件下，又放入个黑球，再经很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在，估计的值． （1） 解：∵经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在， ∴估计摸到黑球的概率是． 故答案为：． （2） 设原口袋中有m个球，根据题意得： ， 解得：m＝40， 经检验m＝40是分式方程的解，且符合题意， 答：袋中原有40个球． （3） 解：根据题意得：， 解得：n＝60， 经检验n＝60是分式方程的解，且符合题意， ∴n＝60． 答：估计的值为60． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $