精品解析：浙江省绍兴市新昌县潜溪中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025学年第一学期阶段性检测试卷 九年级 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列事件中,是必然事件的是( ) A. 明天太阳从东方升起 B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 2. 下列函数中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列各式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列语句中，正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等；②等弧对等弦；③平分弦的直径垂直于弦；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，在中，，若，则的长是（ ） A. B. C. 7 D. 8 7. 如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 8. 如图，半径为的扇形中，，为上一点，，，垂足分别为、．若为，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是三角形的高线，，，，则三角形的外接圆的直径的长为（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 14 10. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是．下列选项正确的是（ ） ①； ②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是； ③若点和在该抛物线上，则； ④对任意实数n，不等式总成立． A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 圆的内接正多边形中，正多边形的一条边所对的圆心角是，则正多边形的边数是______ 12. 某饮料厂举办促销活动，在一箱（24瓶）饮料中有4瓶的瓶盖内印有“奖”字，小明的爸爸买了一箱这种饮料，但连续打开4瓶均未中奖，那么他打开下一瓶中奖的概率是___________． 13. 若点是线段的黄金分割点，且，，则_____（保留根号） 14. 如图，和是位似三角形，，则___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______． 16. 如图，在中，，，，点，分别在边，上，沿所在的直线折叠，使点的对应点恰好落在边上．若和相似，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 已知a：b＝3：2，求： （1） （2） 18. 如果二次函数的图象过点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）它有最大值还是最小值？求出当x取多少时，最大值或最小值是多少？ 19. 在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． （1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． （2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 20. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E． （1）求证：． （2）若，求的度数． 21. 某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物应设计为多少高度？ 22. “筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？ 23. 如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径． （1）求证：△APE是等腰直角三角形； （2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值． 24. 如图，为了探究某种类型矩形的性质，数学项目学习小组在边上取一点E，连接．经探究发现：当平分时，将沿折叠至，点F恰好落在上．据此解决下列问题： （1）求证：； （2）如图，延长交于点G，交于点H． ①求证：； ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期阶段性检测试卷 九年级 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列事件中,是必然事件的是( ) A. 明天太阳从东方升起 B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 【答案】A 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案． 【详解】A．明天太阳从东方升起是必然事件，故A正确； B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数是随机事件，故B错误； C．射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故C错误； D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故D错误． 故选A． 【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2. 下列函数中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的识别，解题的关键是掌握：形如（、、是常数，）的函数叫做是的二次函数．据此判断即可． 【详解】解：A．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； B．，该函数是关于的二次函数，故此选项符合题意； C．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； D．该函数不是关于的二次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；根据函数图像平移规则：“左加右减”针对自变量x，“上加下减”针对函数值y，然后问题可求解． 【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是； 故选B． 4. 若，则下列各式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设代入选项计算结果，排除错误答案． 【详解】解：设 A. 正确． B. 正确． C. 正确． D.错误． 故选:D 【点睛】考查比例的基本性质，利用换元法进行约分消元求值． 5. 下列语句中，正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等；②等弧对等弦；③平分弦的直径垂直于弦；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键；根据圆的性质，判断每个语句的正确性，考虑同圆或等圆的条件以及弦是否为直径，然后问题可求解． 【详解】解：∵①相等的圆心角所对的弧相等，必须在同圆或等圆中才成立，故①错误； ∵②等弧对等弦，故②正确； ∵③平分弦的直径垂直于弦，当弦为直径时不一定垂直，故③错误； ∵④经过圆心的直线是圆的对称轴，故④正确； ∴ 正确的有②④，共2个； 故选B． 6. 如图，在中，，若，则的长是（ ） A. B. C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由公共角，已知，可证，利用相似比求． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由已知角，公共角的相等关系证明三角形相似，利用相似比列方程求解． 7. 如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠OAB＝25°，∠OAC＝∠OCA＝40°，再根据三角形内角和定理求出∠AOB和∠AOC，再求出答案即可． 【详解】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°， ∴∠OBA＝∠OAB＝25°， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°， ∵OA＝OC，∠OCA＝40°， ∴∠OAC＝∠OCA＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°， 故选：A． 【点睛】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义． 8. 如图，半径为的扇形中，，为上一点，，，垂足分别为、．若为，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题可通过做辅助线，利用矩形性质对角线相等且平分以及等面积性，利用扇形ABC面积减去扇形AOC面积求解本题． 【详解】连接OC交DE为F点，如下图所示： 由已知得：四边形DCEO为矩形． ∵∠CDE=36°，且FD=FO， ∴∠FOD=∠FDO=54°，△DCE面积等于△DCO面积． ． 故选：A． 【点睛】本题考查几何面积求法，在扇形或圆形题目中，需要构造辅助线利用割补法，即大图形面积减去小图形面积求解题目，扇形面积公式为常用工具． 9. 如图，是三角形的高线，，，，则三角形的外接圆的直径的长为（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，连接，根据圆周角定理得到，由此证得，根据对应边成比例，列式计算求出的长． 【详解】解：连接，如图所示， ∵是直径，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴ ∴， 故选：B． 10. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是．下列选项正确的是（ ） ①； ②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是； ③若点和在该抛物线上，则； ④对任意实数n，不等式总成立． A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据对称性可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标是，据此可判断②；可得到当时，，据此可判断①；根据离对称轴越远，函数值越小可判断③；根据对称轴处函数有最大值可判断④． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标是，故②错误； ∴当时，， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵点和在该抛物线上，且， ∴，故③正确； ∵抛物线的对称轴是直线，且开口向下， ∴该函数的最大值为， ∴对任意实数n有， ∴，故④正确； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 圆的内接正多边形中，正多边形的一条边所对的圆心角是，则正多边形的边数是______ 【答案】5 【解析】 【分析】根据正多边形的中心角计算即可． 【详解】解：设正多边形的边数为n． 由题意可得：， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角． 12. 某饮料厂举办促销活动，在一箱（24瓶）饮料中有4瓶的瓶盖内印有“奖”字，小明的爸爸买了一箱这种饮料，但连续打开4瓶均未中奖，那么他打开下一瓶中奖的概率是___________． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率是解题的关键；由于前4瓶打开均未中奖，剩余饮料中中奖瓶数仍为4瓶，总剩余瓶数为20瓶，因此下一瓶中奖的概率为剩余中奖瓶数与剩余总瓶数的比值，然后问题可求解． 【详解】解：已打开4瓶均未中奖，则剩余饮料瓶数为瓶，其中中奖瓶数仍为4瓶， 故打开下一瓶中奖的概率为； 故答案为． 13. 若点是线段的黄金分割点，且，，则_____（保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点，先根据黄金分割点的定义确定较长线段与全长的比例关系，再代入已知线段长度计算较长线段的长度即可，熟练掌握黄金分割点的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，和是位似三角形，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，位似图形的面积之比等于位似比的平方，据此可得答案． 【详解】解：∵和是位似三角形， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，点，分别在边，上，沿所在的直线折叠，使点的对应点恰好落在边上．若和相似，则的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】和相似，分两种情况：①时，， 此时，CD为AB边上的高；②当时，由相似三角形角之间的关系，可以推出与，从而得到，即D为AB的中点． 【详解】解：①如图（1），当时，， ∴， 连接CD，由折叠可得：， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 由三角形面积公式可得：， ∴， ∴； ②如图（2），当时，， 连接CD交EF于点P， 由折叠可得：， ∴， 又∵ ∴， ∴， 即， ∴， 同理， ∴； 综上所述，AD的长为 或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、翻转变换的性质，解题的关键是运用分类讨论及数形结合思想解决问题． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 已知a：b＝3：2，求： （1） （2） 【答案】（1） （2）-1 【解析】 【分析】（1）根据已知条件设a∶b=3：2=k（k≠0），得出a=3k，b=2k，再代入要求的式子进行计算即可得出答案； （2）根据已知条件设a∶b=3：2=k（k≠0），得出a=3k，b=2k，再代入要求的式子进行计算即可得出答案； 【小问1详解】 解：∵a：b＝3：2， ∴设a＝3k，b＝2k（k≠0）， ； 【小问2详解】 解：∵a：b＝3：2， ∴设a＝3k，b＝2k（k≠0）， ． 【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键，较简单． 18. 如果二次函数的图象过点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）它有最大值还是最小值？求出当x取多少时，最大值或最小值是多少？ 【答案】（1）； （2）有最小值，当时，最小值为． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和求二次函数的最值，熟练掌握待定系数法和求二次函数的最值是解题的关键． （1）将已知坐标代入二次函数解析式中求出的值，即可求出这个二次函数的解析式； （2）先根据二次函数的开口方向，可判断这个二次函数有最小值，再将（1）中的解析式利用配方法化为顶点式，求出顶点坐标，即可求得最小值． 【小问1详解】 解：将点代入中得， 解得， 这个二次函数的解析式为； 【小问2详解】 由（1）得，二次函数的解析式为， ，开口向上， 这个二次函数有最小值， ， 顶点坐标为， 当时，有最小值，最小值为． 19. 在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． （1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． （2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下： 由（1）中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有4种， ∴乙获胜的概率为， ∵， ∴甲获胜的概率大于乙获胜的概率， ∴这个游戏规则对甲乙双方不公平． 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性： （1）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两球上的数字之和为奇数的结果数，最后利用概率计算公式求解即可； （2）同（1）求出乙获胜的概率即可得到结论． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为奇数的结果数有8种， ∴甲获胜的概率为； 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对圆周角是直角这一定理，等腰三角形三线合一的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）连接，根据直径所对圆周角是直角，根据三线合一即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质得出，即，然后根据圆周角定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为等腰三角形， ∴， ∴， 又∵为的直径， ∴， ∴的度数是度数的一半， 即． 21. 某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物应设计为多少高度？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设当时的函数解析式为，利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出该函数与y轴的交点坐标即可得到答案． 【详解】解：设当时的函数解析式为， 把代入得，解得， ∴第一象限内的函数解析式为， 在中，当时，， ∴抛物线与y轴交于点， ∴这个装饰物应设计为． 22. “筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？ 【答案】（1）该圆的半径为5米 （2）水面下盛水筒的最大深度为2米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，求圆的半径． （1）作于点，交圆于点，设圆的半径为米，根据勾股定理求解即可； （2）当米时，米，根据勾股定理求出米，即可求出最大深度． 【小问1详解】 解：如图，作于点，交圆于点， 则米，米， 设圆的半径为米， 在中，， ， 解得， 该圆的半径为5米； 【小问2详解】 解：如图，当米时，米， 在中，， ， 米， （米）， 答：水面下盛水筒的最大深度为2米． 23. 如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径． （1）求证：△APE是等腰直角三角形； （2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值． 【答案】 （1）证明：，， ， ， 是直径， ， ， ， 是等腰直角三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）只要证明，即可解决问题； （2）证明，推出，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）．，， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角，勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质，属于中考常考题型． 24. 如图，为了探究某种类型矩形的性质，数学项目学习小组在边上取一点E，连接．经探究发现：当平分时，将沿折叠至，点F恰好落在上．据此解决下列问题： （1）求证：； （2）如图，延长交于点G，交于点H． ①求证：； ②求的值． 【答案】（1）证明： ∵ED平分∠ADC， ∴∠ADE=∠EDC=45°， ∴∠DEC=45°， 根据翻折的性质，有， ∴AB=AF，∠AFD=∠B=90°， ∴AF=AB=DC，∠FAD=∠ADE=45°， ∴， （2）①证明： 过点F作FM⊥BC于M点，过E点作交HC于点N，如图， 则有∠FME=∠NEC=90°=∠FMC， 设EC=a，BE=b， ∴AD=BC=BE+EC=a+b， ∵在（1）有，∴∠ADE=∠EDC=∠DEC=∠FAD=45°， ∴△EFM、△AFD、△DCE均是等腰直角三角形， ∴DC=EC=AB=a，AF=FD=AD=，ED=DC=a， ∴EF=ED-FD=a-=， ∴EM=FM==， ∵根据翻折的性质有AF=AB， ∴a=，即 ∵BE+EM=b+==EC-EM=a-=MC， ∴M点为BC中点， ∵FM⊥BC， ∴， ∴F为HC中点，即FM为△HBC的中位线， ∴BH=2FM=2×=，HF=CF， ∴AH=AB-BH=， ∵MC=，FM=， ∴在Rt△FCM中，有， 在Rt△ABE中，有， ∵， ∴，即有：， 还有，即有， ∴，即， ∵， 又∵， ∴， 即有，结论得证； ② 【解析】 【分析】（1）根据ED平分∠ADC，有∠ADE=∠EDC=45°，即∠DEC=45°，根据翻折的性质，有，即AB=AF，∠AFD=∠B=90°，则有AF=AB=DC，∠FAD=∠ADE=45°，即可得； （2）①过点F作FM⊥BC于M点，过E点作交HC于点N，设EC=a，BE=b，易得△EFM、△AFD、△DCE均是等腰直角三角形，即可求出EM、MF、EF，根据翻折的性质有AF=AB，即可得，利用勾股定理可求出AE、NC、CF，再根据、，即可求出EN、FM、BH、HF，进而求出AG、GE、AH， 即有；②与①的思路相同，即求出GH、GF，再求二者之比即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②在①基础上进行计算， 在Rt△ENC中，， 在Rt△BHC中，， ∴， ∵， ∴，即， 即： ∴GH=HN-GN=， ∴GF=HF-GH=CF-GH=， ∴， ∵， ∴， 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，设EC=a，BE=b，求出AH、AF、AG、CF、GH、GF是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $