精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

高一数学12月考 一、单选题 1. 命题，的否定是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用全称量词命题与存在量词命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 可得命题，的否定是：，. 故选：A 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0，列不等式组求解即可. 【详解】要使函数有意义，则，即，解得且， ∴函数的定义域为. 故选：C. 3. 函数过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数恒过定点，整体代入即可求得. 【详解】由于函数恒过点，令，则，， 故函数恒过定点， 故选：C. 4. 下列函数是偶函数且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据选项，逐个判断奇偶性和单调性，然后可得答案． 【详解】对于A，的定义域为，，则为奇函数，不合题意； 对于B，的定义域为，，则为偶函数， 在上，为增函数，符合题意； 对于C，定义域为，故既不是奇函数又不是偶函数，不合题意； 对于D，的定义域为，故既不是奇函数又不是偶函数，不合题意． 故选：B． 5. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数解析式计算即可. 【详解】，，解得. 故选：A. 6. 已知向量，，，若，则实数（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先写出的坐标，再由可求得参数. 【详解】∵向量． ∴， ∵， ∴，解得． 故选：C． 7. 已知向量满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据向量模性质以及向量乘法得结果. 详解：因为 所以选B. 点睛：向量加减乘： 8. 在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案. 【详解】在中，，， 根据余弦定理： 可得 ，即 由 故. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 若为单位向量，且，则 B. 若，，则 C. D. 若平面内有四点，则必有 【答案】ABC 【解析】 【分析】由共线向量的特征可知AB错误；由向量数量积运算的定义可知C错误；由向量线性运算可知D正确. 【详解】对于A，，与同向或反向，或，A错误； 对于B，若，则，，但与可能不共线，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，，D正确. 故选：ABC. 10. 如图，平行四边形的对角线，交于点O，且，点F是上靠近点D的四等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图形中的几何性质，利用向量的线性运算，可得答案. 【详解】由，则，所以，易知，所以， 由点F是上靠近点D的四等分点，则， . 故选：AC. 11. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则有两解 C. 若为钝角三角形，则 D. 若，则面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A；由可判断B；由大边对大角结合余弦定理可判断C；由余弦定理与基本不等式可判断D. 【详解】对于A选项，若，则，由正弦定理可得， 所以，故A正确； 对于B选项，，则， 所以有两解，故B正确； 对于C选项，当为钝角三角形，且C为钝角时，， 可得，若C不为钝角，则得不到，故C错误； 对于D选项，由余弦定理与基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分.） 12. 已知函数（，且）的图象恒过定点，则的坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数型函数的性质求解即可. 【详解】由函数可知，当时，， 即函数的图象恒过点. 故答案为：. 13. 设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，根据图象得出，，满足的条件和范围，再设，将问题代数式用表示，利用二次函数性质从而得出答案. 【详解】作出的图象如下图所示： 不妨设， 当时，，对称轴为， 当时，令，解得， 则， 令，则，， ，则， 则， 由图知，对称轴，则在上单调递增， 则其范围为 故答案为：. 14. 已知，，，则这三个数从小到大的顺序是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的性质并结合中间量1.5和1.6即可比较大小. 【详解】， 则，即， ，即，所以， 综上. 故答案为：. 四、解答题（本题共5个小题，其中15题13分，16题18分，17题15分，18题14分，19题17分，共77分.） 15. 已知集合，集合． （1）若，求的取值范围； （2）若非空，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由题可得，据此可得答案； （2）注意到，又非空，即A不为空集，A中有元素在B中，据此可得答案. 【小问1详解】 由已知有， 故的取值范围是． 【小问2详解】 由已知，集合，非空，则， 解得，故的取值范围． 16. 按要求完成下列各小题. （1）计算：； （2）已知，求. （3）计算 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据诱导公式将各三角函数化为锐角三角函数，再代入特殊角的三角函数值计算. （2）根据已知条件求出的值，再将所求式子化为关于的式子进行计算. （3）先分别运用对于运算法则化简式子的各项，再计算结果. 【小问1详解】 ,,. ， 则. . 然后将化简后的值代入原式计算： . 【小问2详解】 根据，，则，即. 然后将所求式子化为关于的式子：. 【小问3详解】 根据对数换底公式，可得. 根据指数运算法则可得. 因为，所以. 根据，则. 根据， 又因为，所以. 又因为. 然后将化简后的值代入，原式. 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； （2）求样本成绩的众数，中位数和平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【答案】（1），第75百分位数为84； （2）众数为75，中位数为75，平均数为74； （3）平均数为62，方差为37. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求得，结合百分数定义求第75百分位数； （2）根据直方图，及众数、中位数、平均数求法求值； （3）根据已知求样本总均值，再由总方差公式求样本总方差. 【小问1详解】 由每组小矩形的面积之和为1，得，解得， 成绩在内的频率为，在内的频率为， 显然第75百分位数，由，解得， 所以第75百分位数为84. 【小问2详解】 由，得样本成绩的众数为75， 成绩落在[40,70)内的频率为， 成绩落在内的频率为， 故中位数在[70,80)内，由，得样本成绩的中位数为75， 由. 得样本成绩的平均数为74. 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为， 所以， 总方差为. 18. 已知函数． （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，且，求的值． （3）在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围． 【答案】（1）,对称中心为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可； （3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出A的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解． 【小问1详解】 . 令，则，， 函数的对称中心为，. 【小问2详解】 由可知，， 化简得， ，，， . 【小问3详解】 由可得， 即， 又，则，则，所以. 由正弦定理有 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得. 所以，则， 所以，则， 所以的周长的取值范围为. 19. 若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”．已知定义在上的奇函数，当时，． （1）求解析式； （2）若关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； （3）求函数在内的“倒域区间”． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可； （2）整理方程，构造函数，结合二次函数的性质，可得答案； （3）根据题目中的新定义，利用分类讨论，结合函数的单调性，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 当时，则， 由奇函数的定义可得， 所以. 【小问2详解】 当时，方程，即， 设， 由题意知，解得， 则实数m的取值范围为. 【小问3详解】 因为在区间上的值域恰为， 其中且，所以，则， 由题意，， 而在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，所以， 则，所以， 则，解得， 所以在内的“倒域区间”为. 【点睛】方法点睛：与函数的新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学12月考 一、单选题 1. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 函数过定点（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数是偶函数且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若，则（ ） A B. C. 1 D. 2 6. 已知向量，，，若，则实数（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 已知向量满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 8. 在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 若为单位向量，且，则 B. 若，，则 C D. 若平面内有四点，则必有 10. 如图，平行四边形的对角线，交于点O，且，点F是上靠近点D的四等分点，则（ ） A B. C. D. 11. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则有两解 C. 若为钝角三角形，则 D. 若，则面积的最大值为 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分.） 12. 已知函数（，且）的图象恒过定点，则的坐标为________. 13. 设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是________. 14. 已知，，，则这三个数从小到大的顺序是________. 四、解答题（本题共5个小题，其中15题13分，16题18分，17题15分，18题14分，19题17分，共77分.） 15. 已知集合，集合． （1）若，求的取值范围； （2）若非空，求的取值范围． 16. 按要求完成下列各小题. （1）计算：； （2）已知，求. （3）计算 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； （2）求样本成绩的众数，中位数和平均数； （3）已知落在平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 18. 已知函数． （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，且，求的值． （3）在锐角中，角、、分别为、、三边所对角，若，求周长的取值范围． 19. 若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”．已知定义在上的奇函数，当时，． （1）求的解析式； （2）若关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； （3）求函数在内的“倒域区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $