专项提升15：数学广角——优化（3大考点）（考点梳理+方法点拨+重难点讲解+巩固提升训练）四年级数学上册（人教版）

该小学数学讲义以人教版四年级上册“数学广角——优化”为核心，通过分类梳理沏茶问题（时间优化）、烙饼问题（效率优化）、田忌赛马问题（策略优化）三大考点，构建系统知识体系。每个考点均以“考点解读-核心思路-名师点拨”框架呈现，结合流程图分解任务逻辑，用表格对比工序时间与策略步骤，清晰呈现重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，既有典型例题拆解工序优化逻辑，又有变式训练融入生活情境，如烙饼问题通过“交替烙法”培养推理意识，田忌赛马用表格呈现对阵策略强化数学语言表达。配套选择、填空、解答题覆盖不同难度，基础学生可掌握步骤方法，优秀学生能深化策略思维，助力教师实施精准分层教学，提升复习效率。

【专项提升】2025-2026学年人教版四年级数学上册 第八单元：数学广角——优化 专项提升15：数学广角——优化 （考点梳理+方法点拨+重难点讲解+巩固提升训练） 考点1：沏茶问题（时间优化） 考点2：烙饼问题（效率优化） 考点3：田忌赛马问题（策略优化） 考点01：沏茶问题（时间优化） 1、考点解读：核心考察在完成多步骤任务时，通过“合理安排同时进行的任务”缩短总时间的优化思路。需准确区分任务的“先后顺序（必须依次完成）”和“并行关系（可同时完成）”，掌握“最短总时间=关键步骤时间（无法并行的核心步骤之和）”的计算逻辑，是时间优化的基础题型。 2、情境特点：多为生活化的“家务劳动”或“日常事务处理”场景，任务包含多个子步骤，且部分子步骤可同步进行。 3、核心思路 （1）梳理任务清单：列出所有需要完成的任务及各自所需时间。 （2）识别关键流程：找到“必须先后进行”的核心任务（如沏茶需先洗水壶→接水→烧水→沏茶，不可颠倒）。 （3）寻找并行任务：在核心任务（如烧水、煮饭）进行的同时，安排无需依赖该任务的其他任务（如烧水时洗茶杯、找茶叶）。 （4）计算最短时间：核心任务总时间（不可并行部分）+无并行可安排的任务时间（若有）。 【名师点拨】解题技巧：先列任务清单→画流程图→标注并行任务→计算总时间。 考点02：烙饼问题（效率优化） 1、考点解读：核心考察在“锅的容量固定（通常最多放2张饼）”的前提下，通过“合理安排饼的正反面烙制顺序”提升锅的利用率，实现最短烙制时间。需掌握不同饼数（1张、2张、3张及以上）的最优烙法，理解“让锅始终有2张饼（满负荷）”是效率最高的关键。 2、情境特点：典型场景为“烙饼”，延伸场景包括“煎鸡蛋、煎牛排”等，核心条件统一。 3、核心思路 （1）明确基本条件：锅容量（最多烙2张）、每张饼面数（2面）、每面烙制时间（设为t）。 （2）双数张饼策略：2张为一组，每组烙2面（先烙正面→再烙反面），每组时间= 2t，总时间=组数×2t。 （3）单数张饼策略：先烙3张（最优“交替烙法”），剩余双数张按双数策略烙制；3张饼交替烙法：①饼1正面+饼2正面（t）→②饼1反面+饼3正面（t）→③饼2反面+饼3反面（t），总时间=3t。 （4）计算总时间： ①基础公式（锅最多烙2张，每张饼2面）：最短时间=饼的张数×每面烙制时间（张数≥1）。 ②拓展公式（锅最多烙n张，每张饼2面）：最短时间=（饼的张数×2÷n）×每面烙制时间。 【名师点拨】解题技巧：双数张分组烙，单数张“先3后双”，牢记“张数×每面时间”（锅烙2张） 考点03：田忌赛马问题（策略优化） 1、考点解读：核心考察在“双方实力有差距但非绝对悬殊”的对抗性场景中，通过“合理搭配对阵策略”实现“以弱胜强”或“最优结果”的策略优化能力。需掌握“用下等马对上等马，中等马对下等马，上等马对中等马”的核心策略逻辑，理解策略选择的前提是“了解对方的实力排序”。 2、情境特点：多为“对抗性比赛”场景，双方各有不同等级的参赛对象（如马、棋子、选手），且同一方的参赛对象实力有明确排序（如上、中、下等马），问题多为“如何安排对阵顺序才能赢”“是否存在赢的可能”“最优策略是什么”。 3、核心思路 （1）明确双方资源等级：将双方资源按实力从强到弱排序。 （2）确定获胜规则：通常为“三局两胜”，需确保至少赢2局。 （3）制定“以弱胜强”策略： 用己方最弱的资源对抗对方最强的资源（牺牲1局）； 用己方中等资源对抗对方最弱的资源（赢1局）； 用己方最强的资源对抗对方中等的资源（赢1局）； 最终以2:1获胜。 【名师点拨】解题技巧：先排序→定牺牲局→保关键局→验证2:1结果。 考点1：沏茶问题（时间优化） 【典型例题】（25-26四年级上·全国·单元测试）制作某种零件共需A、B、C、D、E五道工序，五道工序所需时间如下表。 工序 A B C D E 所需时间/小时 5 6 8 2 7 有些工序可同时进行（B和C工序可同时进行，D和E工序可同时进行），但B、C工序必须在A工序完成后才能进行，D、E工序必须在C工序完成后才能进行。生产这种零件最少需要多少小时？ 【答案】20小时 【分析】由题意得，B、C必须在A完成后才能进行，D、E工序必须在C工序完成后才能进行，所以要最先完成A工序。完成A工序需要5小时，之后同时进行B和C工序。B工序需要6小时，C工序需要8小时。6小时＜8小时，即C工序所需时间更长，那么B、C两个工序都完成需要8小时。完成C工序之后，再同时进行D和E工序。D工序需要2小时，E工序需要7小时，2小时＜7小时，即E工序所需时间更长，那么D、E两个工序都完成需要7小时。直接把三段时间相加即可算出生产这种零件最少需要多少小时。 【详解】5＋8＋7 ＝13＋7 ＝20（小时） 答：生产这种零件最少需要20小时。 【变式训练1】（24-25四年级上·贵州遵义·期末）今天是妈妈的生日，小兰想帮妈妈做顿午饭，她做饭所需的时间如下表所示。小兰11：50开始做饭，最早（     ）可以吃午饭。 洗菜 切菜 炒菜 淘米 电饭煲煮饭 5分钟 8分钟 10分钟 2分钟 30分钟 A．12：32 B．12：22 C．12：42 D．12：20 【答案】B 【分析】由题意得，要想最早吃上午饭，小兰需要合理安排做事情的顺序。她可以先淘米，接着用电饭煲煮饭。在电饭煲煮饭的同时，可以去洗菜、切菜和炒菜,用加法算出做这些事情需要多长时间，然后与煮饭时间比较一下，找出做好午饭至少需要多长时间，最后用11：50加上做午饭时长，即可算出可以吃午饭的时刻。 【详解】5＋8＋10＝23（分钟） 23＜30 2＋30＝32（分钟） 11：50＋32分钟＝12：22，即最早12：22可以吃午饭。 故答案为：B 【变式训练2】（25-26四年级上·全国·单元测试）牧马人骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需要5分钟，乙马过河需要6分钟，丙马过河需要3分钟，丁马过河需要9分钟。赶马过河时，每次最多能通过两匹马过河，要将四匹马都赶至对岸，牧马人应该怎样安排可使所用时间最短？最短需要多少分钟？ 【答案】安排见详解；26分钟 【分析】先比较需要时间的长短，返回时要骑时间少的马，然后把各自的时间相加。 【详解】3＜5＜6＜9， 第一次过河，骑丙马赶甲马：5分钟， 第一次返回骑丙马：3分钟； 第二次过河，骑丙马赶乙马：6分钟， 第二次返回骑丙马：3分钟； 第三次过河，骑丙马赶丁马：9分钟 5＋3＋6＋3＋9 ＝8＋6＋3＋9 ＝14＋3＋9 ＝17＋9 ＝26（分钟）， 答：牧马人第一次过河骑丙马赶甲马，返回时骑丙马；第二次过河骑丙马赶乙马，返回时骑丙马；第三次过河骑丙马赶丁马用时最短，最短需要26分钟。（过河的顺序不唯一） 考点2：烙饼问题（效率优化） 【典型例题】（25-26四年级上·全国·单元测试）两个油漆工要给5块同样的木板的正、反面刷漆，每面需3分钟。怎样安排刷漆的时间最少？最少的时间是多少分钟？请将刷漆的最佳方法表示出来。（①②③④⑤分别表示5块木板） ① ② ③ ④ ⑤ 用时/分钟 第1次 正 第2次 第3次 第4次 第5次 【答案】15分钟；方案见详解 【分析】5块木板编号是：①②③④⑤，两个油漆工可以先刷①②的正面，需要3分钟，再刷①②的反面，需要3分钟；再刷③④的正面，需要3分钟；再刷③的反面和⑤的正面，需要3分钟；最后刷④⑤的反面，需要3分钟。共3×5＝15（分钟）。 【详解】 ① ② ③ ④ ⑤ 用时/分钟 第1次 正 正 3 第2次 反 反 3 第3次 正 正 3 第4次 反 正 3 第5次 反 反 3 3×5＝15（分钟） 答：按照表格安排刷漆的时间最少，最少的时间是15分钟。 【变式训练1】（24-25四年级上·贵州黔西·期末）一个锅里每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面烙2分钟，烙8张饼至少要（ ）分钟。 【答案】16 【分析】计算烙8张饼需要的次数：已知锅里每次最多只能烙2张饼，现在要烙8张饼，则需要烙的次数为：8÷2＝4（次）； 计算每次烙2张饼所需的时间：因为每面烙2分钟，一张饼有两面，所以烙好一张饼需要的时间是2×2＝4（分钟）。 而每次可以同时烙2张饼，这2张饼是同时进行烙制的，所以每次烙2张饼所需要的时间和烙好一张饼的时间是一样的，即每次烙2张饼需要4分钟。 计算烙8张饼至少需要的时间：烙8张饼需要烙4次，每次需要4分钟，那么总共需要的时间为：4×4＝16（分钟） 【详解】8÷2＝4（次） 2×2＝4（分钟） 4×4＝16（分钟） 所以一个锅里每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面烙2分钟，烙8张饼至少要16分钟。 【变式训练2】（24-25四年级上·河南新乡·期末）两个油漆工给5块同样的木板正反面刷漆，每面需2分钟，刷完5块木板至少需要（ ）分钟。 【答案】10 【分析】要使刷完5块木板的时间最少，两个油漆工应同时工作，让工作时间尽可能重叠。 每块木板有正反两面，每面需2分钟。 把5块木板依次编号为1、2、3、4、5。 第一步：两个油漆工同时刷1号木板的正面和2号木板的正面，需要2分钟； 第二步：两个油漆工同时刷1号木板的反面和2号木板的反面，需要2分钟； 第三步：两个油漆工同时刷3号木板的正面和4号木板的正面，需要2分钟； 第四步：两个油漆工同时刷3号木板的反面和5号木板的正面，需要2分钟； 第五步：两个油漆工同时刷4号木板的反面和5号木板的反面，需要2分钟。 这样一共花费2×5＝10分钟。 【详解】2×5＝10（分钟） 两个油漆工给5块同样的木板正反面刷漆，每面需2分钟，刷完5块木板至少需要10分钟。 考点3：田忌赛马问题（策略优化） 【典型例题】（25-26四年级上·全国·单元测试）小英和小红玩扑克牌比大小的游戏，规定：每人每次出一张牌，点数较大的赢；各出3次牌，赢2次者胜。两人抽到的牌如下图： （1）如果小英先出，小红应对合理，获胜者是谁？简要说明理由。 小英出牌 小红出牌 8 5 3 （2）如果小红先出，她可能先出哪张？小英如何应对才能获胜？ 小红出牌 小英出牌 10 7 4 （3）小林和小芳也按照上面的规则玩这个游戏，小林先出牌，小芳第三张牌的点数必须达到几才有可能获胜？记下小芳的应对次序。 【答案】（1）10；7；4 （2）3；8；5 （3）见详解 【分析】观察小红和小英牌的点数，可得小红每张牌的点数都比小英的牌大，小英先出牌，小红总有一张牌大于小英的；根据田忌赛马的故事，假设A和B比赛，用A的最大的数对B最小的数，用A最小的数对B中间的数，用A中间的数对B最大的数，据此进行解答即可。 【详解】（1）如果小英先出，小红应对合理，小红获胜。因为小红的每一张牌都比小英的大。 小英出牌 小红出牌 8 10 5 7 3 4 （2）解：根据田忌赛马的故事，小英能3局2胜获胜。 小红出牌 小英出牌 10 3 7 8 4 5 （3）小芳第三张牌的点数必须达到7才有可能获胜。 根据田忌赛马的故事： 小林出10，小芳出3，小林胜； 小林出6，小芳出7，小芳胜； 小林出4，小芳出5，小芳胜。 【变式训练1】（24-25四年级上·湖北荆州·期末）欢欢和乐乐玩纸牌游戏，三局两胜，每人每次出一张牌，牌面数大的获胜。游戏中欢欢先出，如果乐乐想获胜，未知牌最小是（     ）。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据田忌赛马的道理，让乐乐的3去和欢欢的10比较，输一场，让乐乐的9去和欢欢的6比较，胜一场，最后欢欢剩下4，乐乐要想胜利最小需要5，据此解答即可。 【详解】欢欢和乐乐玩纸牌游戏，三局两胜，每人每次出一张牌，牌面数大的获胜。游戏中欢欢先出，如果乐乐想获胜，未知牌最小是5。 故答案为：B 【变式训练2】（25-26四年级上·全国·单元测试）2024年4月6日，多地举办马拉松赛事响应了全民运动。某小学为了加强学生的体育锻炼，也开展了一百米跑步比赛，下面是两个班级参赛人员的训练成绩： 四年级（1）班 选手 ① ② ③ ④ 最好成绩/秒 20 26 23 18 四年级（2）班 选手 ① ② ③ ④ 最好成绩/秒 22 19 27 25 （1）两两比赛中，采取四局三胜，四年级（2）班应该怎么安排比赛顺序才能获胜？ （2）若四年级（2）班的①号选手和四年级（1）班的④号选手有事无法参加比赛，比赛规则改为三局两胜，那四年级（2）班还能获胜吗？应该怎么安排？ 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）观察表格，只能做到四局三胜，四局四胜不可能，故首先用四年级（2）班的最差选手③对四年级（1）班的最好选手④，败；剩下三局四年级（1）班的①号对四年级（2）班的②号；四年级（1）班的③号对四年级（2）班的①号；四年级（1）班的②号对四年级（2）班的④号，全胜即可； （2）观察表格，只能做到三局两胜，三局三胜不可能，故首先用四年级（2）班的最差选手③对四年级（1）班的最好选手①，败；剩下两局四年级（1）班的②号对四年级（2）班的④号；四年级（1）班的③号对四年级（2）班的②号，全胜即可。 【详解】（1）答：四年级（1）班的④号对四年级（2）班的③号，四年级（1）班胜； 四年级（1）班的①号对四年级（2）班的②号，四年级（2）班胜； 四年级（1）班的③号对四年级（2）班的①号，四年级（2）班胜； 四年级（1）班的②号对四年级（2）班的④号，四年级（2）班胜，这样四年级（2）班就能取胜了。 （2）答：能获胜。 四年级（1）班的①号对四年级（2）班的③号，四年级（1）班胜； 四年级（1）班的②号对四年级（2）班的④号，四年级（2）班胜； 四年级（1）班的③号对四年级（2）班的②号，四年级（2）班胜，这样四年级（2）班就能取胜了。 一、选择题 1．（24-25四年级上·河南信阳·期末）萍萍在家烙饼，锅里每次最多放2张饼，两面都要烙，每面需要2分钟，烙熟5张饼至少需要（     ）分钟。 A．20 B．15 C．10 D．8 【答案】C 【分析】前2张饼先一起烙，按照正常方法烙，共需要2×2＝4（分钟），后三张饼可以这样烙：为了便于说明问题把三张饼分别编号为1、2、3号，可以采用交替烙的办法，先烙1、2号正面，再烙1反面、3正面，最后烙2反面、3反面；这样一共用了2×3＝6（分钟）；两个时间相加即可得解。 【详解】2×2＋2×3 ＝4＋6 ＝10（分钟） 所以烙熟5张饼至少需要10分钟。 故答案为：C 2．（24-25四年级上·天津河北·期末）小华帮助妈妈做家务：扫地6分钟，拖地10分钟，用洗衣机洗衣服30分钟，晾衣服6分钟，小华最快（     ）可以做完这些事情。 A．46分钟 B．40分钟 C．36分钟 D．30分钟 【答案】C 【分析】根据题意，用洗衣机洗衣服的同时可以扫地和拖地，最后晾衣服，所以用洗衣机洗衣服的时间加上晾衣服的时间，即可解题。 【详解】由分析可知： 30＋6＝36（分钟） 所以小华最快36分钟可以做完这些事情。 故答案为：C 3．（24-25四年级上·湖南湘西·期末）乐乐和明明比卡牌大小游戏，采取三局两胜制。乐乐的三张牌分别是3、5、7，明明的三张牌分别是2、4、6，乐乐先出7，明明要想获得最后的胜利应该出（     ）。 A．2 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】按照从小到大的顺序，明明的三张牌分别比乐乐的三张牌小，明明要想获胜，就需要采取田忌赛马的方法进行应对，乐乐出最大的牌7时，明明就要出最小的牌2，乐乐胜，乐乐出牌5时，明明就要出牌6，明明赢，乐乐出牌3时，明明就要出牌4，明明赢，最后明明赢两局，乐乐赢一局，据此解答即可。 【详解】由分析可知，乐乐先出7，明明要想获得最后的胜利应该出2。 故答案为：A 4．（24-25四年级上·江西吉安·期末）妈妈炒一道西红柿炒蛋需要：洗西红柿、切西红柿3分钟；敲蛋、打蛋1分钟；洗锅2分钟；烧热锅3分钟；烧热油2分钟；炒4分钟。妈妈炒好这道菜最短需要（     ）分钟。 A．16 B．11 C．10 D．14 【答案】B 【分析】烧热锅和烧热油的3＋2＝5（分钟），可以洗西红柿，敲蛋用3＋1＝4（分钟），其中的洗锅和炒菜要单独做，所以最少用3＋2＋2＋4＝11（分钟）。 【详解】由分析可知最少用3＋2＋2＋4＝11（分钟） 故答案为：B 5．（24-25四年级上·湖北武汉·期末）周末、小丽跟妈妈学习用平底锅烤面包，共需烤5片面包，正反面都要烤。如果每次最多能放2片，每烤一面需要1分钟，至少要用（     ）分才能烤好所有面包。 A．2 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】根据题意可知，每次最多能放2片，先烤2片面包，用时2分钟；剩下3片面包，先烤第1片和第2片的正面，用时1分钟，再烤第1片的反面和第3片的正面，用时1分钟，最后烤第2片的反面和第3片的反面，用时1分钟。一共用时5分钟。 【详解】周末、小丽跟妈妈学习用平底锅烤面包，共需烤5片面包，正反面都要烤。如果每次最多能放2片，每烤一面需要1分钟，至少要用5分才能烤好所有面包。 故答案为：B 二、填空题 6．（24-25四年级上·河北保定·期末）大年初一的主食除水饺外，也可以吃荷包蛋，寓意是圆圆满满。煎荷包蛋要煎两面，正面需要2分钟，反面需要1分钟，锅里每次最多可以同时煎2个荷包蛋。煎3个荷包蛋至少需要（ ）分钟。 【答案】5 【分析】第一阶段（2分钟）： 同时煎两个荷包蛋的正面（每个正面需2分钟），此时两个蛋的正面完成。第二阶段（2分钟）：第一个1分钟：煎第一个蛋的反面（需1分钟）和第三个蛋的正面（开始煎，需2分钟）。第二个1分钟：取出第一个蛋，放入第二个蛋的反面（需1分钟），同时继续煎第三个蛋的正面剩余1分钟。第三阶段（1分钟）： 单独煎第三个蛋的反面（需1分钟）。 【详解】2分钟（第一阶段）＋ 2分钟（第二阶段）＋ 1分钟（第三阶段）＝5分钟 煎3个荷包蛋至少需要5分钟。 7．（24-25四年级上·河南漯河·期末）用平底锅煎鸡蛋，每次只能放2个鸡蛋，煎一面要2分钟，两面都要煎，那么煎6个鸡蛋要（ ）分钟。 【答案】12 【分析】根据烙饼问题公式：总时间＝饼数×2÷每锅可烙的数量×烙每面的时间，把煎鸡蛋看作是烙饼，代入数据计算即可解答。 【详解】6×2÷2×2 ＝12÷2×2 ＝6×2 ＝12（分钟） 那么煎6个鸡蛋要12分钟。 8．（24-25四年级上·湖南娄底·期末）用一个平底锅煎饼，每次都能煎两个饼，如果煎一个饼需要6分钟（正反面各3分钟），煎10个饼最少需要（ ）分钟。 【答案】30 【分析】为了节省时间，锅里不能有空余；第一次烙饼：第一块正面，第二块正面；第二次烙饼：第三块正面，第四块正面；第三次烙饼：第五块正面，第六块正面；第四次烙饼：第七块正面，第八块正面；第五次烙饼：第九块正面，第十块正面；第六次烙饼：第一块反面，第二块反面；第七次烙饼：第三块反面，第四块反面；第八次烙饼：第五块反面，第六块反面；第九次烙饼：第七块反面，第八块反面；第十次烙饼：第九块反面，第十块反面；根据烙饼的过程可知，首先求出一共有多少个面；然后求出一共需要烙几次；最后用次数乘一次的时间即可求出总时间；所以总时间＝饼数×2÷每锅的可烙的数量×烙每面的时间，把数代入计算即可。 【详解】一共需要煎的面数：（个） 一共需要煎的次数：（次） 总时间：（分） 所以煎10个饼最少需要30分钟。 9．（24-25四年级上·湖南娄底·期末）周末在家，小明完成这些家务：洗水壶2分钟、烧开水15分钟、擦桌子5分钟、洗碗3分钟、拖地2分钟。小明做完这些家务至少需要（ ）分钟。 【答案】17 【分析】要使用的时间最少，那么能同时做的事情就应同时做，利用烧开水的时间同时做其他家务来计算最少用时，首先洗水壶需要2分钟。然后烧开水需要15分钟，在烧开水的同时，可以擦桌子5分钟、洗碗3分钟和拖地2分钟，因为5＋3＋2＝10分钟，10＜15，即在烧开水的时间内可以完成这些家务。所以总共花费的时间就是洗水壶的时间加上烧开水的时间，即2＋15＝17分钟。 【详解】5＋3＋2 ＝8＋2 ＝10（分钟） 10＜15 2＋15＝17（分钟） 则小明做完这些家务至少需要17分钟。 10．（24-25四年级上·湖南株洲·期末）三位同学准备运动会开幕式上用一根跳绳进行表演，他们可以单人跳，也可以双人跳，每人跳两次，每次跳2分钟，三个人都表演完，至少需要（ ）分钟。 【答案】6 【分析】要使时间最少，可以双人跳，第一位同学和第二位同学跳一次，需要2分钟，第二位同学休息，第一位同学和第三位同学一起跳一次，第一位同学跳了两次，用4分钟；第三位同学再和第二位同学跳一次，需要2分钟；据此求出至少需要的分钟数。 【详解】据分析可知： 2×3＝6（分钟） 三位同学准备运动会开幕式上用一根跳绳进行表演，他们可以单人跳，也可以双人跳，每人跳两次，每次跳2分钟，三个人都表演完，至少需要6分钟。 11．（25-26四年级上·海南海口·单元测试）烤面包，每次最多只能烤2片面包，两面都要烤，每面2分钟，烤2片至少需要（ ）分钟。 【答案】4 【分析】每次最多烤2片，每面需要2分钟，将两片面包同时烤正面，再同时烤反面，总时间为2＋2＝4（分钟），据此即可解答。 【详解】将两片面包分别记为A和B。 第一次烤：A的正面和B的正面，用时2分钟。 第二次烤：A的反面和B的反面，用时2分钟。 总时间：2＋2＝4（分钟） 因此，烤2片至少需要4分钟。 12．（24-25四年级上·湖南怀化·期末）张红在家做家务。擦地需要9分钟，洗衣机洗衣服需要25分钟，晾衣服需要5分钟，洗碗筷需要7分钟，整理房间需要10分钟。她至少需要（ ）分钟才能做完。 【答案】31 【分析】由题意得，要想做完这些家务用时最少，张红需要合理安排做这些家务的顺序。她可以先用洗衣机洗衣服，然后在洗衣机洗衣服的同时，去擦地和洗碗筷和整理房间。最后再晾衣服。据此解答。 【详解】9＋7＋10 ＝16＋10 ＝26（分钟） 26＞25，即张红擦地、洗碗筷和整理房间一共的时间比洗衣机洗衣服的时间要长。 26＋5＝31（分钟） 故张红至少需要31分钟才能做完全部家务。 13．（24-25四年级上·湖南株洲·期末）聪聪每天7时10分起床，整理床铺要4分钟，刷牙3分钟，洗脸2分钟，听英文歌曲15分钟，整理书包2分钟。他最快（ ）时（ ）分能做完这些事。 【答案】 7 25 【分析】聪聪起床先听英文歌曲，同时整理床铺、刷牙、洗脸、整理书包，所以最快需要15分钟，因此用他起床的时间加做完这些事情最快需要的时间长即可。 【详解】7时10分＋15分＝7时25分 所以他最快7时25分能做完这些事。 14．（24-25四年级上·湖南株洲·期末）完成下面几件事：扫地3分钟，洗衣机洗衣服25分钟，拖地8分钟，洗碗6分钟，晾衣服5分钟。做完这些事至少要（ ）分钟。 【答案】30 【分析】要使用的时间最少，那么能同时做的事情就应同时做，洗衣机洗衣服的同时可以扫地、拖地、洗碗，晾衣服需等洗衣机洗衣服后完成，据此解答。 【详解】25＋5＝30（分钟） 所以做完这些事至少要30分钟。 15．（24-25四年级上·河南南阳·期末）“铁板烧”烤鱿鱼时，鱿鱼需要烤两面，如果烤一面需要3分钟，那么烤5条鱿鱼至少需要（ ）分钟。（铁板上可同时烤2条鱿鱼） 【答案】15 【分析】第一步：烤①②的正面，将①②两条鱿鱼同时放在铁板上烤正面，因为烤一面需要3分钟，所以这一步用时3分钟。第二步：烤①②的反面，①②的正面烤好后，接着烤它们的反面，同样需要3分钟，此时①②两条鱿鱼已全部烤好，这一步用时3分钟。第三步：烤③④的正面，把③④两条鱿鱼放在铁板上烤正面，用时3分钟。第四步：烤③的反面和⑤的正面，③④的正面烤好后，把④拿出来，将③翻面烤反面，同时放入⑤烤正面，这一步用时3分钟，此时③鱿鱼已烤好。第五步：烤④⑤的反面，把④放入铁板和⑤一起烤反面，用时3分钟，此时④⑤两条鱿鱼也全部烤好。将每一步所用的时间相加，即可求出至少需要多少分钟。 【详解】根据分析： 3＋3＋3＋3＋3 ＝6＋3＋3＋3 ＝9＋3＋3 ＝12＋3 ＝15（分钟） 综上可知，烤5条鱿鱼至少需要15分钟。 16．（24-25四年级上·天津北辰·期末）张阿姨用洗衣机洗衣服要用25分钟，扫地要用6分钟，擦家具要用7分钟，晾衣服要用5分钟。她经过合理安排，做完这些事至少要花（ ）分钟。 【答案】30 【分析】张阿姨要做的这几件事情，用洗衣机洗衣服的同时还可以扫地和擦家具，这两项事情需要的时间是13分钟，小于洗衣服用的时间。最后再晾衣服。即一共需要（25＋5）分钟。据此解答。 【详解】6＋7＝13（分钟） 13分钟＜25分钟 25＋5＝30（分钟） 张阿姨经过合理安排，做完这些事至少要花30分钟。 17．（25-26四年级上·全国·课后作业）森林运动会开始了，场上甲、乙两组选手正在准备200米跑比赛，采取三局两胜制。甲组已经安排好了选手的出场顺序，乙组怎样安排才能获胜？请完成表格。 甲：        乙： 第一局 第二局 第三局 甲组 小鹿 猎豹 狗 乙组 胜出者 【答案】狮子；兔子；羚羊； 狮子；猎豹；羚羊 【分析】结合田忌赛马的相关知识进行解答，用乙组中水平的动物对甲组低水平的动物，乙组高水平的动物对甲组中水平的动物，用乙组低水平的动物对甲组高水平的动物，三局两胜，从而使乙组获得胜利。 【详解】第一局，用乙组的狮子对甲组的小鹿，胜出者是狮子； 第二局，用乙组的兔子对甲组的猎豹，胜出者是猎豹； 第三局，用乙组的羚羊对甲组的狗，胜出者是羚羊； 三局两胜，乙组获胜。 三、解答题 18．（23-24四年级上·云南昆明·期末）两名医生分别负责量身高，验视力。下面三位同学要去做这两项检查，每项检查都要2分钟，他们三人做完这些检查至少要用多长时间？请你把自己的方法表示出来。 【答案】6分钟；东东量身高同时兰兰验视力；东东验视力时红红量身高；兰兰量身高时，红红验视力。 【分析】优化问题时，可以同时两个人进行不同的项目，比如东东量身高时，兰兰验视力，需要2分钟，东东眼视力时，红红量身高，需要2分钟，兰兰量身高时，红红眼视力，需要2分钟。据此解题。 【详解】2×3＝6（分钟） 答：东东量身高同时兰兰验视力；东东验视力时红红量身高；兰兰量身高时，红红验视力，他们三人做完这些检查至少要用6分钟。 19．（25-26四年级上·全国·单元测试）快递员从驿站出发去罗马花园小区取顾客寄出的快递，途中要去A站点和B站点送快递，已知快递员到各个地点所用时间如图，那么快递员从驿站到罗马花园小区至少要用多少分钟？ 【答案】32分钟 【分析】根据两点之间线段最短，计算出各种路径的用时，比较找到时间最少的即可。 【详解】驿站－A站－B站－罗马花园小区最少用时：9＋10＋13＝19＋13＝32（分钟） 驿站－B站－A站－超市－罗马花园小区最少用时：8＋10＋6＋12＝18＋6＋12＝24＋12＝36（分钟） 32＜36 答：快递员从驿站到罗马花园小区至少要用32分钟。 20．（24-25四年级上·河北沧州·期末）芳芳早晨起床后，刷牙洗脸要用2分钟，用电饭锅烧早饭要14分钟，读英语单词要12分钟，吃早饭要用6分钟，请列式计算芳芳起床后最快多少分钟就能去上学。 【答案】20分钟 【分析】芳芳可以用电饭锅烧早饭的同时，刷牙洗脸和读英语单词，然后再吃早饭。据此解题。 【详解】12＋2＝14（分钟） 14＋6＝20（分钟） 答：芳芳起床后最快20分钟就能去上学。 21．（24-25四年级上·全国·单元测试）双休日到了，小佳家要来很多客人，这下小佳可忙了！ （1）趁客人还没有到来，小佳的妈妈用平底锅烙饼，这个锅每次最多能烙4张饼，烙熟1张饼要4分钟（每面各需2分钟），妈妈烙12张饼最少要用多长时间？她是怎样烙的呢？ （2）客人们都到了，爸爸让小佳给客人沏茶。洗茶壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶杯要用4分钟，放茶叶要用1分钟，沏茶要用1分钟。为了使客人早点喝上茶，最合理的安排需要多少分钟就能沏好茶？ 【答案】（1）12分钟；方法见详解 （2）17分钟 【分析】（1）因为每次最多能烙4张饼，每面各需2分钟，那么烙4张饼，先烙正面2分钟，再烙反面2分钟，一共需要2＋2＝4（分钟），计算烙12张饼需要的次数，即12÷4＝3（次），即分3次可以烙完12张饼，那么每次烙4张饼需要4分钟，烙3次，总共需要3×4＝12（分钟），据此解答即可。 （2）因为烧开水的同时可以洗茶杯和放茶叶，所以先洗茶壶，然后烧开水，在烧开水的过程中洗茶杯和放茶叶，最后沏茶，那么总共花费的时间为1＋15＋1＝17（分钟）。 【详解】（1）2＋2＝4（分钟） 12÷4＝3（次） 3×4＝12（分钟） 答：妈妈烙12张饼最少要用12分钟。 方法：第一次烙4张饼的正面，2分钟后翻面烙反面，2分钟后这4张饼烙好；第二次同样烙4张饼，先正面后反面，各2分钟；第三次再烙剩下的4张饼，也是先正面后反面，各2分钟。这样12张饼就全部烙好了。 （2）1＋15＋1＝17（分钟） 答：为了使客人早点喝上茶，最合理的安排需要17分钟就能沏好茶。 22．（24-25四年级上·河南郑州·期末）花园小学四年级趣味运动会开始了，场上四（1）班和四（2）班各派3名选手参加“带球跑”比赛，采取三局两胜制。下表是参赛选手的最好成绩。 四（1）班选手 王阳24.0秒 李林28.5秒 刘乐31.7秒 四（2）班选手 张涛27.2秒 赵凯30.9秒 孙宁32.9秒 如果比赛中每个人都发挥出最好成绩，那么四（2）班应该怎样对阵才能获胜？请完成下表。 场次 四（1）班 四（2）班 获胜班级 第一场 刘乐 第二场 李林 第三场 王阳 【答案】见详解 【分析】如果比赛中每个人都发挥出最好成绩，要使四（2）班能获胜，可以这样对阵： 四（2）班第二名对四（1）班的第三名，31.7＞30.9，此局四（2）胜； 四（2）班第一名对四（1）班的第二名，28.5＞27.2，此局四（2）胜； 四（2）班第三名对四（1）班的第一名，24.0＜32.9，此局四（2）负； 据此方案设计即可。 【详解】四（2）班获胜方案如下： 场次 四（1）班 四（2）班 获胜班级 第一场 刘乐 赵凯 四（2）班 第二场 李林 张涛 四（2）班 第三场 王阳 孙宁 四（1）班 22 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 【专项提升】2025-2026学年人教版四年级数学上册 第八单元：数学广角——优化 专项提升15：数学广角——优化 （考点梳理+方法点拨+重难点讲解+巩固提升训练） 考点1：沏茶问题（时间优化） 考点2：烙饼问题（效率优化） 考点3：田忌赛马问题（策略优化） 考点01：沏茶问题（时间优化） 1、考点解读：核心考察在完成多步骤任务时，通过“合理安排同时进行的任务”缩短总时间的优化思路。需准确区分任务的“先后顺序（必须依次完成）”和“并行关系（可同时完成）”，掌握“最短总时间=关键步骤时间（无法并行的核心步骤之和）”的计算逻辑，是时间优化的基础题型。 2、情境特点：多为生活化的“家务劳动”或“日常事务处理”场景，任务包含多个子步骤，且部分子步骤可同步进行。 3、核心思路 （1）梳理任务清单：列出所有需要完成的任务及各自所需时间。 （2）识别关键流程：找到“必须先后进行”的核心任务（如沏茶需先洗水壶→接水→烧水→沏茶，不可颠倒）。 （3）寻找并行任务：在核心任务（如烧水、煮饭）进行的同时，安排无需依赖该任务的其他任务（如烧水时洗茶杯、找茶叶）。 （4）计算最短时间：核心任务总时间（不可并行部分）+无并行可安排的任务时间（若有）。 【名师点拨】解题技巧：先列任务清单→画流程图→标注并行任务→计算总时间。 考点02：烙饼问题（效率优化） 1、考点解读：核心考察在“锅的容量固定（通常最多放2张饼）”的前提下，通过“合理安排饼的正反面烙制顺序”提升锅的利用率，实现最短烙制时间。需掌握不同饼数（1张、2张、3张及以上）的最优烙法，理解“让锅始终有2张饼（满负荷）”是效率最高的关键。 2、情境特点：典型场景为“烙饼”，延伸场景包括“煎鸡蛋、煎牛排”等，核心条件统一。 3、核心思路 （1）明确基本条件：锅容量（最多烙2张）、每张饼面数（2面）、每面烙制时间（设为t）。 （2）双数张饼策略：2张为一组，每组烙2面（先烙正面→再烙反面），每组时间= 2t，总时间=组数×2t。 （3）单数张饼策略：先烙3张（最优“交替烙法”），剩余双数张按双数策略烙制；3张饼交替烙法：①饼1正面+饼2正面（t）→②饼1反面+饼3正面（t）→③饼2反面+饼3反面（t），总时间=3t。 （4）计算总时间： ①基础公式（锅最多烙2张，每张饼2面）：最短时间=饼的张数×每面烙制时间（张数≥1）。 ②拓展公式（锅最多烙n张，每张饼2面）：最短时间=（饼的张数×2÷n）×每面烙制时间。 【名师点拨】解题技巧：双数张分组烙，单数张“先3后双”，牢记“张数×每面时间”（锅烙2张） 考点03：田忌赛马问题（策略优化） 1、考点解读：核心考察在“双方实力有差距但非绝对悬殊”的对抗性场景中，通过“合理搭配对阵策略”实现“以弱胜强”或“最优结果”的策略优化能力。需掌握“用下等马对上等马，中等马对下等马，上等马对中等马”的核心策略逻辑，理解策略选择的前提是“了解对方的实力排序”。 2、情境特点：多为“对抗性比赛”场景，双方各有不同等级的参赛对象（如马、棋子、选手），且同一方的参赛对象实力有明确排序（如上、中、下等马），问题多为“如何安排对阵顺序才能赢”“是否存在赢的可能”“最优策略是什么”。 3、核心思路 （1）明确双方资源等级：将双方资源按实力从强到弱排序。 （2）确定获胜规则：通常为“三局两胜”，需确保至少赢2局。 （3）制定“以弱胜强”策略： 用己方最弱的资源对抗对方最强的资源（牺牲1局）； 用己方中等资源对抗对方最弱的资源（赢1局）； 用己方最强的资源对抗对方中等的资源（赢1局）； 最终以2:1获胜。 【名师点拨】解题技巧：先排序→定牺牲局→保关键局→验证2:1结果。 考点1：沏茶问题（时间优化） 【典型例题】（25-26四年级上·全国·单元测试）制作某种零件共需A、B、C、D、E五道工序，五道工序所需时间如下表。 工序 A B C D E 所需时间/小时 5 6 8 2 7 有些工序可同时进行（B和C工序可同时进行，D和E工序可同时进行），但B、C工序必须在A工序完成后才能进行，D、E工序必须在C工序完成后才能进行。生产这种零件最少需要多少小时？ 【变式训练1】（24-25四年级上·贵州遵义·期末）今天是妈妈的生日，小兰想帮妈妈做顿午饭，她做饭所需的时间如下表所示。小兰11：50开始做饭，最早（     ）可以吃午饭。 洗菜 切菜 炒菜 淘米 电饭煲煮饭 5分钟 8分钟 10分钟 2分钟 30分钟 A．12：32 B．12：22 C．12：42 D．12：20 【变式训练2】（25-26四年级上·全国·单元测试）牧马人骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需要5分钟，乙马过河需要6分钟，丙马过河需要3分钟，丁马过河需要9分钟。赶马过河时，每次最多能通过两匹马过河，要将四匹马都赶至对岸，牧马人应该怎样安排可使所用时间最短？最短需要多少分钟？ 考点2：烙饼问题（效率优化） 【典型例题】（25-26四年级上·全国·单元测试）两个油漆工要给5块同样的木板的正、反面刷漆，每面需3分钟。怎样安排刷漆的时间最少？最少的时间是多少分钟？请将刷漆的最佳方法表示出来。（①②③④⑤分别表示5块木板） ① ② ③ ④ ⑤ 用时/分钟 第1次 正 第2次 第3次 第4次 第5次 【变式训练1】（24-25四年级上·贵州黔西·期末）一个锅里每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面烙2分钟，烙8张饼至少要（ ）分钟。 【变式训练2】（24-25四年级上·河南新乡·期末）两个油漆工给5块同样的木板正反面刷漆，每面需2分钟，刷完5块木板至少需要（ ）分钟。 考点3：田忌赛马问题（策略优化） 【典型例题】（25-26四年级上·全国·单元测试）小英和小红玩扑克牌比大小的游戏，规定：每人每次出一张牌，点数较大的赢；各出3次牌，赢2次者胜。两人抽到的牌如下图： （1）如果小英先出，小红应对合理，获胜者是谁？简要说明理由。 小英出牌 小红出牌 8 5 3 （2）如果小红先出，她可能先出哪张？小英如何应对才能获胜？ 小红出牌 小英出牌 10 7 4 （3）小林和小芳也按照上面的规则玩这个游戏，小林先出牌，小芳第三张牌的点数必须达到几才有可能获胜？记下小芳的应对次序。 【变式训练1】（24-25四年级上·湖北荆州·期末）欢欢和乐乐玩纸牌游戏，三局两胜，每人每次出一张牌，牌面数大的获胜。游戏中欢欢先出，如果乐乐想获胜，未知牌最小是（     ）。 A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练2】（25-26四年级上·全国·单元测试）2024年4月6日，多地举办马拉松赛事响应了全民运动。某小学为了加强学生的体育锻炼，也开展了一百米跑步比赛，下面是两个班级参赛人员的训练成绩： 四年级（1）班 选手 ① ② ③ ④ 最好成绩/秒 20 26 23 18 四年级（2）班 选手 ① ② ③ ④ 最好成绩/秒 22 19 27 25 （1）两两比赛中，采取四局三胜，四年级（2）班应该怎么安排比赛顺序才能获胜？ （2）若四年级（2）班的①号选手和四年级（1）班的④号选手有事无法参加比赛，比赛规则改为三局两胜，那四年级（2）班还能获胜吗？应该怎么安排？ 一、选择题 1．（24-25四年级上·河南信阳·期末）萍萍在家烙饼，锅里每次最多放2张饼，两面都要烙，每面需要2分钟，烙熟5张饼至少需要（     ）分钟。 A．20 B．15 C．10 D．8 2．（24-25四年级上·天津河北·期末）小华帮助妈妈做家务：扫地6分钟，拖地10分钟，用洗衣机洗衣服30分钟，晾衣服6分钟，小华最快（     ）可以做完这些事情。 A．46分钟 B．40分钟 C．36分钟 D．30分钟 3．（24-25四年级上·湖南湘西·期末）乐乐和明明比卡牌大小游戏，采取三局两胜制。乐乐的三张牌分别是3、5、7，明明的三张牌分别是2、4、6，乐乐先出7，明明要想获得最后的胜利应该出（     ）。 A．2 B．4 C．6 D．5 4．（24-25四年级上·江西吉安·期末）妈妈炒一道西红柿炒蛋需要：洗西红柿、切西红柿3分钟；敲蛋、打蛋1分钟；洗锅2分钟；烧热锅3分钟；烧热油2分钟；炒4分钟。妈妈炒好这道菜最短需要（     ）分钟。 A．16 B．11 C．10 D．14 5．（24-25四年级上·湖北武汉·期末）周末、小丽跟妈妈学习用平底锅烤面包，共需烤5片面包，正反面都要烤。如果每次最多能放2片，每烤一面需要1分钟，至少要用（     ）分才能烤好所有面包。 A．2 B．5 C．6 D．10 二、填空题 6．（24-25四年级上·河北保定·期末）大年初一的主食除水饺外，也可以吃荷包蛋，寓意是圆圆满满。煎荷包蛋要煎两面，正面需要2分钟，反面需要1分钟，锅里每次最多可以同时煎2个荷包蛋。煎3个荷包蛋至少需要（ ）分钟。 7．（24-25四年级上·河南漯河·期末）用平底锅煎鸡蛋，每次只能放2个鸡蛋，煎一面要2分钟，两面都要煎，那么煎6个鸡蛋要（ ）分钟。 8．（24-25四年级上·湖南娄底·期末）用一个平底锅煎饼，每次都能煎两个饼，如果煎一个饼需要6分钟（正反面各3分钟），煎10个饼最少需要（ ）分钟。 9．（24-25四年级上·湖南娄底·期末）周末在家，小明完成这些家务：洗水壶2分钟、烧开水15分钟、擦桌子5分钟、洗碗3分钟、拖地2分钟。小明做完这些家务至少需要（ ）分钟。 10．（24-25四年级上·湖南株洲·期末）三位同学准备运动会开幕式上用一根跳绳进行表演，他们可以单人跳，也可以双人跳，每人跳两次，每次跳2分钟，三个人都表演完，至少需要（ ）分钟。 11．（25-26四年级上·海南海口·单元测试）烤面包，每次最多只能烤2片面包，两面都要烤，每面2分钟，烤2片至少需要（ ）分钟。 12．（24-25四年级上·湖南怀化·期末）张红在家做家务。擦地需要9分钟，洗衣机洗衣服需要25分钟，晾衣服需要5分钟，洗碗筷需要7分钟，整理房间需要10分钟。她至少需要（ ）分钟才能做完。 13．（24-25四年级上·湖南株洲·期末）聪聪每天7时10分起床，整理床铺要4分钟，刷牙3分钟，洗脸2分钟，听英文歌曲15分钟，整理书包2分钟。他最快（ ）时（ ）分能做完这些事。 14．（24-25四年级上·湖南株洲·期末）完成下面几件事：扫地3分钟，洗衣机洗衣服25分钟，拖地8分钟，洗碗6分钟，晾衣服5分钟。做完这些事至少要（ ）分钟。 15．（24-25四年级上·河南南阳·期末）“铁板烧”烤鱿鱼时，鱿鱼需要烤两面，如果烤一面需要3分钟，那么烤5条鱿鱼至少需要（ ）分钟。（铁板上可同时烤2条鱿鱼） 16．（24-25四年级上·天津北辰·期末）张阿姨用洗衣机洗衣服要用25分钟，扫地要用6分钟，擦家具要用7分钟，晾衣服要用5分钟。她经过合理安排，做完这些事至少要花（ ）分钟。 17．（25-26四年级上·全国·课后作业）森林运动会开始了，场上甲、乙两组选手正在准备200米跑比赛，采取三局两胜制。甲组已经安排好了选手的出场顺序，乙组怎样安排才能获胜？请完成表格。 甲：        乙： 第一局 第二局 第三局 甲组 小鹿 猎豹 狗 乙组 胜出者 三、解答题 18．（23-24四年级上·云南昆明·期末）两名医生分别负责量身高，验视力。下面三位同学要去做这两项检查，每项检查都要2分钟，他们三人做完这些检查至少要用多长时间？请你把自己的方法表示出来。 19．（25-26四年级上·全国·单元测试）快递员从驿站出发去罗马花园小区取顾客寄出的快递，途中要去A站点和B站点送快递，已知快递员到各个地点所用时间如图，那么快递员从驿站到罗马花园小区至少要用多少分钟？ 20．（24-25四年级上·河北沧州·期末）芳芳早晨起床后，刷牙洗脸要用2分钟，用电饭锅烧早饭要14分钟，读英语单词要12分钟，吃早饭要用6分钟，请列式计算芳芳起床后最快多少分钟就能去上学。 21．（24-25四年级上·全国·单元测试）双休日到了，小佳家要来很多客人，这下小佳可忙了！ （1）趁客人还没有到来，小佳的妈妈用平底锅烙饼，这个锅每次最多能烙4张饼，烙熟1张饼要4分钟（每面各需2分钟），妈妈烙12张饼最少要用多长时间？她是怎样烙的呢？ （2）客人们都到了，爸爸让小佳给客人沏茶。洗茶壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶杯要用4分钟，放茶叶要用1分钟，沏茶要用1分钟。为了使客人早点喝上茶，最合理的安排需要多少分钟就能沏好茶？ 22．（24-25四年级上·河南郑州·期末）花园小学四年级趣味运动会开始了，场上四（1）班和四（2）班各派3名选手参加“带球跑”比赛，采取三局两胜制。下表是参赛选手的最好成绩。 四（1）班选手 王阳24.0秒 李林28.5秒 刘乐31.7秒 四（2）班选手 张涛27.2秒 赵凯30.9秒 孙宁32.9秒 如果比赛中每个人都发挥出最好成绩，那么四（2）班应该怎样对阵才能获胜？请完成下表。 场次 四（1）班 四（2）班 获胜班级 第一场 刘乐 第二场 李林 第三场 王阳 22 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $