专题25.2 用列举法求概率（知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-2025-2026学年人教版数学九年级上册同步培优精编讲练

本讲义聚焦“用列举法求概率”核心知识点，系统梳理枚举法（单一对象、结果少）、列表法（两因素、结果多）、画树状图（两或多因素）的适用范围与步骤，构建从简单到复杂的学习支架，衔接概率计算基础与实际应用。 资料特色在于情境化设计与分层训练，典例及变式融入“垃圾分类”“科技活动”等现实问题，培养数学眼光与模型意识。中考真题与基础、培优分层练习，助力课中教学效率提升，课后学生可针对性巩固，强化数学思维与应用能力。

专题25.2 用列举法求概率 （知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：枚举法 1 知识点梳理02：列表法 1 知识点梳理03：画树状图 1 优选题型 考点讲练 2 考点1 列举法求概率 2 考点2 列表法或树状图法求概率 6 考点3 游戏的公平性 11 中考真题 实战演练 16 难度分层 拔尖冲刺 21 基础夯实 21 培优拔高 29 知识点梳理01：枚举法 适用范围：当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少时 步骤：①列举出所有等可能的结果;②运用公式计算概率 知识点梳理02：列表法 适用范围：当一次试验涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时 步骤：①选一次操作(或一个条件)为横行，另一次操作(或另一个条件)为竖列，列出表格；②运用公式计算概率 知识点梳理03：画树状图 适用范围：当一次试验涉及两个或更多个因素时. 步骤：①画树状图，方法步骤如下： ②运用公式计算概率 注意 (1)用列举法求概率时,各种情况出现的可能性大小必须相同，所有可能出现的结果是有限的; (2)列举出所有可能的结果,各种情况不能重复，也不能遗漏; (3)所求概率是一个准确数，一般用分数表示 (4)列表法不适用涉及三个或三个以上因素的试验 考点1 列举法求概率 【典例精讲】（25-26九年级上·山西朔州·月考）小悦参加山西省剪纸艺术作品展，如图，展区A中剩余1个展位，展区B中剩余两个展位和，小悦有甲、乙两幅作品参展，这两幅作品将随机放入其中两个展位展览，且一个展位只能展出一幅作品． (1)甲作品放在展位展览的概率为　　　　　　． (2)求小悦的两幅作品同在展区B展览的概率． 【答案】(1) (2)两副作品同在展区B展览的概率为 【思路引导】本题考查古典概型的概率计算，列出所有等可能的展位分配结果，再定位目标事件的结果数是解题关键． 列出所有可能的结果，再根据“概率=所求事件包含的结果数÷总结果数”计算概率． 【规范解答】（1）解：甲作品放在展位的可能结果有3种，放在展位有一种， 甲作品放在展位展览的概率为． 答：． （2）解：如图，列举所有可能情况． 一个展位只能展出一幅作品， 除去，，三种情况， 剩余6种有效组合，其中“两幅作品同在展区B展览”的情况有2种， 两幅作品同在展区B展览的概率为． 答：两幅作品同在展区B展览的概率为． 【变式训练1】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）现有四张完全相同的卡片，卡片上分别写有，0，2，3，从这四张卡片中随机抽取两张，得到的数字分别记为，则使得一次函数的图像只经过第一、三象限的概率是 ． 【答案】 【思路引导】题目主要考查一次函数的性质，列举法求概率，理解题意，熟练掌握一次函数的性质及概率的计算是解题关键． 根据题意得出，，然后利用列举法求概率即可． 【规范解答】解：∵一次函数 的图像只经过第一、三象限， ∴，， 从四张卡片（数字为 ）中随机抽取两张，并分别记为 和 ， 所有可能的有序对共有 种， 分别为：， 其中满足 且 的有序对有和，共 2 种， 因此概率为 ， 故答案为：． 【变式训练2】（2025·江苏南京·一模）做投球实验的装置如图所示．实验时，将小球从处投入，通过管道落入甲、乙、丙、丁个盒子．已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的． (1)若投入一个小球，求它通过管道的概率． (2)若投入足够数量的小球直到某个盒子被填满为止，下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） 最先填满的是甲盒； 个盒子中的小球的数量一样多； 甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量； 乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是正确理解列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件． （）依据题意先用列举法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率； （）根据画出树状图，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【规范解答】（1）解：如图， 将第一层的两个管道分别记为，，小球通过两层管道下落，可能出现的结果共有种，即，，，，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足小球通过管道（记为事件）的结果有种，分别是，， ∴； （2）解：如图， 画树状图， ∴落在甲盒的概率为，落在乙盒的概率为，落在丙盒的概率为，落在丙盒的概率为， 最先填满的是乙盒或丙盒，原选项错误； 个盒子中的小球的数量不可能一样多，原选项错误； 甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量，原选项正确； 乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等，原选项正确； ∴正确， 故答案为：． 【变式训练3】（24-25九年级下·陕西西安·期中）爸爸、妈妈、小明三人玩“石头、剪刀、布”的猜拳游戏，游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”． (1)小明出“剪刀”手势的概率为_____； (2)爸爸、妈妈、小明三人玩此游戏，爸爸决定出“石头”，若三人中，有且只有两人手势相同时，小明获胜，请用画树状图或列表的方法：求小明获胜的概率．（其中石头、剪刀、布分别用序号A、B、C表示）． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查列表法与树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）一共有“石头”、“剪刀”、“布”三种手势，根据概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：∵小明每次做手势有“石头”、“剪刀”、“布”三种结果， ∴小明出“剪刀”手势的概率为， 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 共有9种可能出现的结果，其中小明胜出的有2种结果和 ， ∴小明获胜的概率为． 考点2 列表法或树状图法求概率 【典例精讲】（25-26九年级上·广东深圳·期中）某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． (1)甲选择“食品安全”主题的概率为_______； (2)若我们学校现有九年级900人，请你估算出选择交通安全的同学有_______人； (3)请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率（主题可用A、B、C、D表示）． 【答案】(1) (2)225 (3) 【思路引导】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键． （1）根据概率的公式计算即可； （2）先求出选择交通安全的概率，再乘以900即可求解； （3）根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【规范解答】（1）解：共有4种等可能结果，甲选择“食品安全”主题的结果只有1种， ∴甲选择“食品安全”主题的概率为； 故答案为：； （2）解：选择交通安全的概率为， （人）， ∴估算出选择交通安全的同学有225人； 故答案为：225； （3）解：列表如下： 由表格可得，共有16种等可能的结果，甲和乙选择不同主题的情况有12种， ∴甲和乙选择不同主题的概率． 【变式训练1】（25-26九年级上·山东东营·期中）DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的模具设计活动．随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： (1)本次共抽取了________名，学生的模具设计成绩，成绩的中位数是________分，并补全频数分布直方图； (2)请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； (3)学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】(1)50，，见解析 (2)720人 (3) 【思路引导】本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． （1）由D组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，进而可求出B组学生人数，补全频数分布直方图即可； （2）用1200乘以成绩不低于80分的人数占比即可； （3）画出树状图，根据树状图解答即可． 【规范解答】（1）解：， ∴本次共抽取了50名学生的模具设计成绩， 组学生人数为人， ∵成绩由低到高排列，中位数为第25和第26个数据的平均数， ∴中位数分， 补全频数分布直方图如下： 故答案为：50，； （2）解：， 答：估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人； （3）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种结果，所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 【变式训练2】（25-26九年级上·湖南株洲·月考）如图所示，小明和小刚将《将进酒》这首诗中的四句分别写在编号为，，，的4张卡片上，卡片除编号和内容外，其余完全相同，将这4张卡片背面朝上，洗匀放好，玩抽诗句的游戏． (1)小明从中抽取一张卡片，恰好抽到“天生我材必有用”的概率为______； (2)小明先抽一张卡片，接着小刚从剩下的卡片中抽一张，用画树状图或列表的方法求两人所抽卡片上的诗句恰好成联的概率．（注：与为一联，与为一联） 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重不漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式可得答案； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，小明从中抽取一张卡片，恰好抽到“天生我材必有用”的概率为， 故答案为：． （2）解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中两人所抽卡片上的诗句恰好成联的结果有： ，，，，共4种， ∴两人所抽卡片上的诗句恰好成联的概率为． 【变式训练3】小明家客厅里装有一种开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况． (1)若小明任意按下一个开关，小明打开走廊灯的概率是______； (2)若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，刚好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题主要考查了概率的计算，解题的关键分清是简单概率计算还是需要用树状图或者列表求概率； （1）根据简单的概率公式求出概率即可； （2）运用树状图法求出概率即可； 【规范解答】（1）解：按下一个开关这个事件一共有3种结果，其中走廊灯亮的结果一共有1种， ∴小明打开走廊灯的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： ∵共有6种等可能的结果，其中客厅灯和走廊灯同时亮的结果有2种； ∴客厅灯和走廊灯同时亮的概率是． 考点3 游戏的公平性 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽宿州·期中）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（    ） A．公平 B．对小颖有利 C．对小亮有利 D．公平性不可预测 【答案】A 【思路引导】本题考查列表饭计算概率，游戏公平性判断，掌握概率计算方法是解决问题的关键．先用列表法列出两个转盘转动的所有等可能结果，再分别计算小颖（配成紫色）和小亮（未配成紫色）对应的概率，比较概率大小判断规则是否公平． 【规范解答】解： 蓝 蓝 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） 共有六种等可能性结果，其中能配成紫色的有三种，不能配成紫色的有三种， ∴， ∴规则公平． 故选：A． 【变式训练1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）数学兴趣活动课上，小轩和小辉玩抽卡片游戏，如图，他们制作了5张卡片，除正面不同外，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同．小轩将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的是“高陵果子”的概率是______． (2)若规定：小轩从中随机抽取一张卡片（不放回），小辉再从中随机抽取一张卡片，若这两张卡片中没有水果，则小轩赢，否则小辉赢．请你用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平?（注：水果是卡片D，E） 【答案】(1) (2)这个游戏不公平，见解析 【思路引导】本题考查概率的应用，熟练掌握概率的简单计算是解题的关键， （1）利用概率的计算即可得到答案； （2）根据题意画出树状图，分别计算出小轩赢或小辉赢的概率，然后比较即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由概率公式可得，抽到的是“高陵果子”的概率是：， 故答案为：． （2）解：由题可得树状图如下： 小轩赢的情况为：“两张非水果”的概率为：， 小辉赢的情况为：“至少有一张水果” 的概率为：， ∵， ∴这个游戏不公平． 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江·期中）甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲转动转盘一次，乙转动转盘一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则无效．要重新转动转盘． (1)用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由；若不公平，请改动转盘上的一个数字使得游戏公平（不需要写出理由）． 【答案】(1) (2)不公平；甲获胜的概率小于乙获胜的概率；把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平 【思路引导】本题考查了列表法或画树状图求概率，游戏的公平性等知识，正确列表或画出树状图是解题的关键； （1）列表或画树状图，可以求出所有可能事件的总数及事件发生的总数，由概率公式即可求解； （2）根据（1）中列表或树状图可求得乙获胜的概率，若两概率不相等，则改动转盘上的一个数字使得游戏公平即可． 【规范解答】（1）解：列表如下： A      B 2 3 4 1 3 事件所有可能情况为6种，其中指针所在区域的数字之和为偶数的有2种， 则甲获胜的概率为． 答：甲获胜的概率为． （2）解：不公平； 理由如下： 由（1）知，指针所在区域的数字之和为奇数的有4种， 则乙获胜的概率为． 而甲获胜的概率小于乙获胜的概率， 所以游戏不公平． 把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平． 答：游戏不公平；甲获胜的概率小于乙获胜的概率；把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平． 【变式训练3】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表． 垃圾分类知识测试成绩统计表 测试等级 百分比 人数 A．优秀 5% 10 B．良好 30 C．及格 45% m D．不及格 n 请结合统计表，回答下列问题： (1)求本次参与调查的学生人数及m，n的值； (2)如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为3600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数； (3)为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平． 【答案】(1)200人，， (2)720人 (3)不公平，说明见详解 【思路引导】本题考查了统计中的百分比应用，用样本估计总体及概率的计算与游戏公平性判断． （1）先根据A等级的人数和百分比求出总人数，再利用总人数分别计算C等级的人数m和D等级的百分比n的值； （2）先确定“良好及以上”在样本中的比例，再用全校总人数乘以该比例得到估计人数； （3）通过画树状图法分析两人摸球的所有可能结果，计算数字和为奇数的概率和数字和为偶数的概率，若两概率相等则公平，否则不公平． 【规范解答】（1）解：本次参加调查的学生人数为（人）， ，． （2）解：（人）， 即估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为720人． （3）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种， ∴，， ∵， ∴这个游戏规则不公平． 【演练1】（2025·山东德州·中考真题）把英文单词“”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式，解题时要熟练掌握并能根据题意画出树状图是关键． 依据题意，画出树状图，从而可得随机抽取2张共有30种等可能性，其中恰好是字母相同的两张卡片有4种，进而可以计算概率求解． 【规范解答】根据题意，画出树状图如下： 从中随机抽取2张共有30种等可能性，其中恰好是字母相同的两张卡片有4种， 从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡片的概率为． 故答案为：． 【演练2】（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； (2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据简单地概率公式计算解答即可； （2）利用画树状图法或列表法计算概率即可． 本题考查了概率的计算，熟练掌握概率公式和画树状图活列表法计算概率是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为， 故答案为：． （2）解：列表如下： 甲 乙 1 2 3 4 1 － （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） － （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） － （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） － 由上表可知，共有12种等可能的结果， 其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种， ． 【演练3】（2025·西藏·中考真题）某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组： A：；B：；C：；D： ；E： 现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据统计图信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整； (2)若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有多少人？ (3)已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)60，频数分布直方图见详解 (2)1200人 (3) 【思路引导】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了频数分布直方图． （1）由的人数除以所占百分比求出样本容量，进而求出组的人数，将频数分布直方图补充完整即可； （2）由该校学生总人数乘以每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生所占的百分比即可． （3）画树状图，共有 6 种等可能的结果，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 4 种，再由概率公式求解即可； 【规范解答】（1）解：本次调查的样本容量是：， 则组的人数， 将频数分布直方图补充完整如下： （2）解：（人）， 该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有1200人． （3）解：画树状图如图： 共有 6 种等可能的结果，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 4 种， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为， 故答案为：． 【演练4】（2025·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、5、7，这些球除数字外都相同．从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有数字2和3的两个球的概率． 【答案】 【思路引导】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，则可得从袋子中随机摸出2个球的所有等可能的结果，再找出摸出标有数字2和3的两个球的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【规范解答】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，从袋子中随机摸出2个球共有12种等可能的结果，其中，摸出标有数字2和3的两个球有2种， 则摸出标有数字2和3的两个球的概率为， 答：摸出标有数字2和3的两个球的概率为． 【演练5】（2024·青海西宁·中考真题）2024年4月23日是第29个世界读书日，我市某社区开展了以“最美人间四月天，不负韶华读书时”为主题的系列读书活动． (1)为了解西宁市初中生每周的累计读书时长，应采用的调查方式是 （填“全面调查”或“抽样调查”）． (2)该社区某校准备从A，B，C，D四名同学中选择两人作为“好书推荐官”，参加社区的好书推荐活动．请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出A，B两名同学恰好同时被选中的概率． 【答案】(1)抽样调查 (2)见解析， 【思路引导】本题考查调查方式的选取，画树状图求概率等． （1）根据调查方式的定义即可求出本题答案； （2）先画出树状图，后找出符合题意的情况，继而得到本题答案． 【规范解答】（1）解：∵了解西宁市初中生每周的累计读书时长， ∴应采用的调查方式是抽样调查， 故答案为：抽样调查； （2）解：根据题意可得树状图如下所示： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，即 这些结果出现的可能性相等，其中A，B两名同学恰好同时被选中的结果共有2种，即，    ∴（A，B两名同学恰好同时被选中）． 基础夯实 1．（25-26九年级上·北京·月考）2025年，人工智能领域持续升温，成为全球科技和经济的核心驱动力．小全和小华准备在比较热门的，豆包，三个软件中分别随机选择一个下载，他们恰好都选到豆包的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了求概率． 通过列表法列出所有等可能结果，总共有9种情况，两人都选豆包只有1种情况，因此概率为． 【规范解答】解：设为A，豆包为B，为C． 所有可能结果列表如下： A B C A B C ∵总结果数为种， 且两人都选豆包的结果为，只有1种， ∴他们恰好都选到豆包的概率． 故选：D． 2．（25-26九年级上·山西晋中·期中）为深化全民阅读，引领区域阅读新风尚，暑期我区特举办了“学在榆次·榆阅书香”中小学生讲书诵读大赛，小亮计划从《红星照耀中国》、《红岩》、《朝花夕拾》三本书中随机选取两本备战比赛，则选中《红岩》与《朝花夕拾》的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查列表法或树状图法、概率公式，熟练掌握列表法或树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好选中《红岩》与《朝花夕拾》的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【规范解答】解：将《红星照耀中国》、《红岩》、《朝花夕拾》分别记为，画树状图如下： ∴共有6 种等可能的结果，其中恰好选中《红岩》与《朝花夕拾》的结果有 2 种， ∴选中《红岩》与《朝花夕拾》的概率为， 故选：B． 3．（25-26九年级上·山西晋中·期中）用图中两个可自由转动的转盘做“配橙色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出黄色即可配成橙色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成橙色的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查列表法或树状图法以及概率的计算方法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【规范解答】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果如下： 共有6种等可能出现的结果，其中能配成橙色的有1种， 所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成橙色的概率是， 故选：D． 4．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，有一个质地均匀且六个面上分别标有数字：，，，，，的正方体骰子，甲、乙两名同学按照以下游戏规则：每人先掷骰子，骰子朝上的数是几，就将棋子前进几格，并获得格子中的相应物品．现在轮到乙掷骰子，棋子在标有数字“1”的那一格，汽车在第8个格子．他知道无论怎样，掷一次骰子都得不到汽车，申请连续掷两次，他连续掷两次骰子能获得汽车的概率是（） A． B． C．1 D． 【答案】A 【思路引导】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法和树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与能获得“汽车”的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【规范解答】列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 1，1 1，2 1，3 1，4 1，5 1，6 2 2，1 2，2 2，3 2，4 2，5 2，6 3 3，1 3，2 3，3 3，4 3，5 3，6 4 4，1 4，2 4，3 4，4 4，5 4，6 5 5，1 5，2 5，3 5，4 5，5 5，6 6 6，1 6，2 6，3 6，4 6，5 6，6 共有36种等可能的结果，其中和为7（得到“汽车”）的结果有6种， ∴他连续掷两次骰子能获得汽车的概率是， 故选A． 5．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图得出所有等可能的结果数以及小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【规范解答】解：设“立春”用A表示，“立夏”用B表示，“秋分”用C表示，“大寒”用D表示，画树状图如下： 由图可得，一共有12种等可能性的结果，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有2种， ∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是=． 6．（25-26九年级上·山西朔州·月考）第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举办，某体育比赛馆开设了A，B，C三个安检通道．甲、乙两名运动员各随机选一个通道进入，则他们从不同通道进入体育比赛馆的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是用列表法列出所有可能结果，再确定符合条件的结果数． 先通过列表列出甲、乙选择通道的所有可能结果；再从列表中找出他们选择不同通道的结果数；最后用不同通道的结果数除以总结果数得到概率． 【规范解答】解：列表列出甲、乙选择通道的所有结果         甲 乙                    A B C A B C 总结果数为种，其中不同通道的结果有种． 则所求概率为． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）现有4个分别标有汉字“诚”“实”“友”“善”的小球，它们除表面所标汉字不同外其他都相同，将4个小球放在箱子中摇匀，然后随机摸出一个小球，不放回．再随机摸出一个，则这两次摸出的小球上的汉字能组成词语“友善”（不分先后顺序）的概率为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查概率计算；画出树状图，计算两次摸球能组成“友善”的概率即可． 【规范解答】解：树状图如下： 共计12种结果，能组成“友善”的有2种， 因此总概率为． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“苏”“州”四个字卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． (1)从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“苏”的概率是________． (2)一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）根据题意画树状图，再利用概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：从盒子中随机抽取1张卡片，共有4种等可能得情况，其中恰好抽到“苏”的情况有1种， 则恰好抽到“苏”的概率是， 故答案为：； （2）解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中，恰好1张为“美”、1张为“好”的情况有2种， 则抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率为． 9．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）珠海博物馆于年3月5日至4月6日展出四件国宝级文物（清代圆明园海晏堂部分十二生肖兽首文物原件）．小明、小华分别从离博物馆和的两地同时出发前往博物馆，小明、小华的平均速度比是，结果小明比小华提前分钟到达博物馆． (1)求小明、小华的平均速度； (2)进入博物馆后，由于即将闭馆．两人决定在四件兽首A，B，C，D中随机选择其中一件兽首参观，请用列表或画树状图法求出他们选中同一件兽首参观的概率． 【答案】(1)小明的平均速度为 ，小华的平均速度为； (2)． 【思路引导】本题考查列表法与树状图法求概率、分式方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意，设小明的平均速度为，小华的平均速度为，则可列方程为求出x的值，即可得出答案； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及他们选中同一件兽首参观的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【规范解答】（1）解：小明的平均速度为，则小华的平均速度为， 由题意得 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意． ，． ∴小明的平均速度为 ，小华的平均速度为； （2）解：画树状图如答案图： 共有种等可能的结果，其中他们选中同一件兽首参观的结果有4种， ∴他们选中同一件兽首参观的概率为 ． 10．（25-26九年级上·四川泸州·期中）为了倡导“节约用水，从我做起”，贵阳市直属机关200户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭月平均用水量在吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表： 月平均用水量吨 3 4 5 6 7 频数（户数） 4 a 9 10 7 频率 b c 请根据统计表中提供的信息解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)这些家庭中月平均用水量数据的平均数是______，众数是______，中位数是______； (3)根据样本数据，估计该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的有多少户？ (4)市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率． 【答案】(1)20，， (2)，4，5 (3)该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的大约有132户 (4)见解析； 【思路引导】本题考查频数分布表，平均数、中位数、众数，样本估计总体以及列表法和树状图法，掌握频率=频数总数，用树状图法列举等可能出现的结果以及平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的关键． （1）从频数、频率统计表中可得，被抽查的户数中，月用水量为3吨的有4户，占被调查户数的，根据频率=频数总数即可求出被调查的户数，进而确定a、b、c的值； （2）根据平均数、中位数、众数的定义和计算方法进行计算即可； （3）样本估计总体，求出样本中月平均用水量不超过5吨的家庭数所占的百分比，估计总体中月平均用水量不超过5吨的家庭数所占的百分比，由频率=频数总数进行计算即可； （4）用树状图列举从甲、乙、丙、丁四户家庭中任意选取两户，所有等可能出现的结果，再根据概率的大约进行计算即可． 【规范解答】（1）解：（户），（户），，， 故答案为：20，，； （2）解：， 被调查的50户的月平均用水量频数最多的是，共出现20次，因此被调查的50户的月平均用水量的众数是， 将被调查的50户的月平均用水量从小到大排列，处在之间位置的两个数的平均数为，因此被调查的50户的月平均用水量的中位数是， 故答案为：，，； （3）解：（户）， 答：该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的大约有132户； （4）解：从甲、乙、丙、丁四户家庭中任意选取两户，所有等可能出现的结果如下： 共有12种等可能出现的结果，其中恰好选到甲、丙两户的有2种， 所以从甲、乙、丙、丁四户家庭中任意选取两户，恰好选到甲、丙两户的概率为． 培优拔高 11．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）为组建学校秋季田径运动会开幕式彩旗队，九（1）班决定从符合身高条件的3名男生和2名女生中随机抽调两名学生进入彩旗队．则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了用列表法求概率，解题的关键是通过列表列出所有抽取两名学生的可能情况，再找出恰好抽到一男一女的情况数，进而计算概率； 先给学生编号，用列表法枚举所有抽取情况，统计总情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算． 【规范解答】解：将3名男生记为A、B、名女生记为D、E，列出所有抽取两名学生的所有情况： A B C D E A —— B      —— C           —— D                —— E                     —— 共(种)情况； 其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有：共(种)； 则概率为． 故选：B． 12．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，现从袋子中先后摸出两个球（不放回），则两个球颜色不同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查的是利用画树状图与列表的方法求解随机事件的概率，根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小． 【规范解答】解：画树状图如图： 共有20种等可能的结果，而摸到的2个球颜色不相同的情况有12种，所以其概率为． 故选：C 13．（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，将一枚棋子依次沿正方形的四个顶点，，，，，，，…移动．开始时，棋子位于点处，然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到点处，掷得3点就移动3步到点处……）；接着，以移动后棋子所在的位置为新的起点，再进行同样的操作．在第二次掷子后，棋子回到点处的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了树状图或者列表法求概率．要使棋子回到点A处，前两次掷得的点数之和必须为4，8或12．因此，所求事件中可能出现的结果数应该等于两次掷得的点数之和为4的结果数+两次掷得的点数之和为8的结果数+两次掷得的点数之和为12的结果数． 【规范解答】解：随机地掷一枚质地均匀的骰子两次，所有可能出现的结果如下：       第二次 第一次 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 总共有36种可能的结果，每种结果出现的可能性相同． 要使棋子回到点A处，两次掷得的点数之和必须为4，8或12． 两次掷得的点数之和4的结果有3种：，，； 两次掷得的点数之和为8的结果有5种：，，，，； 两次掷得的点数之和为12的结果有1种：， 所以，使棋子回到点A处的可能结果总共有（种）． 因此，棋子回到点A处的概率为． 故选：C． 14．（25-26九年级上·河南安阳·期中）每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月5日，某校采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，测评成绩前四名的学生恰好是1个女生和3个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加市级消防安全知识竞赛，则抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查概率的计算，解题的关键是通过画树状图求出所有可能的结果数和符合条件的结果数，再根据概率公式计算． 画树状图可知，共有种等可能的情况，恰好是一男一女的情况有种，从而求出抽到的个学生恰好是一男生与一女生的概率． 【规范解答】解：设女生为A，个男生分别是，，， 画树状图如下， 共有种机会均等的结果，其中抽到的个学生恰好是一男生与一女生的情况有种． 抽到的个学生恰好是一男生与一女生的概率为． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·江西鹰潭·期中）一个布袋里装有2个红球，2个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，记下颜色不放回．再摸出一个球，则两次摸出的球都是红球的概率是 . 【答案】 【思路引导】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件的结果数是解答本题的关键．先画列表展示所有 种等可能的结果数，再找出两次均摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【规范解答】解：根据题意，列出表格如下： 红1 红2 白1 白2 红1 红2，红1 白1，红1 白2，红1 红2 红1，红2 白1，红2 白2，红2 白1 红1，白1 红2，白1 白2，白1 白2 红1，白2 红2，白2 白1，白2 摸球的结果共有 12种等可能结果，其中两次均摸到红球的有 2 种结果， 所以两次摸出的球都是红球的概率是． 故答案为：． 16．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）已知有四张正面分别标有数字，0，，4的卡片，这四张卡片除正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【规范解答】解：列表如下： 0 4 0 4 由表格可得，共有16种等可能的结果，其中两次抽取卡片上的数字之积为负数的情况有4种， 两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率． 故答案为：． 17．（23-24九年级上·贵州贵阳·月考）小明和小颖用如图所示的两个转盘（转盘B三等分）做配紫色游戏，游戏规则是：分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可以配成紫色（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．同时转动两个转盘，能配成紫色的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【规范解答】解：列表可得： 红 红 白 黄 红，黄 红，黄 白，黄 绿 红，绿 红，绿 白，绿 蓝 红，蓝 红，蓝 白，蓝 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中能配成紫色的情况有种， 故能配成紫色的概率为， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）年国庆黄金周期间，岳阳旅游景点热闹非凡．市文旅局为了进一步提升旅游服务质量，对本次国庆期间到过岳阳游玩的部分游客通过在线调查的方式评选出“您最推荐的景点”，对岳阳市各景点包括：岳阳楼、圣安寺、君山岛、洞庭南路（以下分别用、、、表示，只能选择一类）的情况进行了抽样调查，并将调查结果绘制如图所示不完整的两幅统计图． (1)补全这两幅统计图； (2)若国庆期间岳阳市累计接待了游客约万人，根据抽样调查的结果估计最推荐岳阳楼的游客有多少万人？ (3)某游客准备到岳阳旅游，随机选择、、、四个景点中的两个去游玩，请用画树状图或列表的方法，求该游客恰好选择岳阳楼和洞庭南路这两个景点的概率． 【答案】(1)见解析 (2)万人 (3) 【思路引导】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图和画出树状图是解题的关键； （1）通过已知条件求样本容量，求出各部分数据及占比来补全统计图； （2）利用样本估计总体的方法计算人数； （3）通过画树状图求概率即可． 【规范解答】（1）解：（人）， A：（人）， B：（人），， D：， 补全统计图为： （2）解：（万人）， 答：最推荐岳阳楼的游客有万人 （3）解：画树状图为： 如上图所示共种等可能结果，其中游客恰好选择岳阳楼和洞庭南路这两个景点的结果共有种 ∴． 答：该游客恰好选择岳阳楼和洞庭南路这两个景点的概率为． 19．（25-26九年级上·四川成都·期中）成都市某旅游机构抽样调查了外地游客对A、B、C、D四个景点作为最佳旅游景点的喜爱情况（每人只选一种），并将调查情况绘制成如图两幅不完整的统计图； (1)本次参加抽样调查的游客有_________人，根据题中信息补全条形统计图； (2)若某批次游客有人，请你估计选择C景点作为最佳旅游景点的有_________人； (3)旅游景点举行游客有奖问答活动． 现有2男2女4名游客回答对了问题． 现从这四名游客中随机抽取2名游客发放纪念品，请用列表或画树状图的方法求获得此次纪念品的是一男一女的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】此题考查的是用树状图法求概率，条形统计图和扇形统计图，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由景点的人数除以所占百分比得出本次参加抽样调查的游客，即可解决问题； （2）由某批次游客的人数乘以C景点所占的百分比即可； （3）画树状图，共有种等可能的结果，其中获得此次纪念品的是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：本次参加抽样调查的游客有：（人）， 则景点的人数为：（人）， 景点的人数为：（人）， 故答案为：； 补全条形统计图如下： （2）解：估计选择C作为最佳旅游景点的有：（人， 故答案为：； （3）解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中获得此次纪念品的是一男一女的结果有8种， 获得此次纪念品的是一男一女的概率为． 20．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）某市教育局对某九年一贯制学校做课堂教学满意度情况督导调研．从该校初中部和小学部各随机抽取20名学生对课堂教学满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．初中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图： （数据分成4组：，，，） b．初中部20名学生所评分数在这一组的是： 8.0   8.1   8.2   8.2   8.4   8.5   8.6   8.7   8.8 c．初中部、小学部各20名学生所评分数的平均数、中位数如表： 平均数 中位数 小学部 8.3 8.5 初中部 8.3 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是_________，表中的m值为_________； (2)根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”． ①若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数； ②该学校从被调查的学生中随机抽取三人作为满意度调查访谈对象，所抽取学生的满意度评分情况如下：小明评分9.5分，小强评分8.6分，小琪评分8.2分．实地督导过程中从这3人中随机抽取了2人进行访谈，请求出调查结果一致为“非常满意”的概率． 【答案】(1)， (2)    【思路引导】（1）根据平均数、中位数的定义和计算方法进行计算即可； （2）①利用样本估计总体即可；②先画出树状图，展示从人中任选人所有等可能的结果，再找出调查结果一致为“非常满意”的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【规范解答】（1）解：调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是： （分）， 将抽取的初中部的20名学生的评分从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（分）， 表中的m值为， 故答案为：，； （2）解：①（人）， 若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数约为人； ②从小明、小强、小琪人中任意选择人，所有等可能出现的结果如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中调查结果一致为“非常满意”的结果有种， 调查结果一致为“非常满意”的概率． 【考点剖析】本题主要考查了求平均数，求中位数，频数分布直方图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握平均数、中位数、频数分布直方图的概念及列表法或树状图法求概率是解题的关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.2 用列举法求概率 （知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：枚举法 1 知识点梳理02：列表法 1 知识点梳理03：画树状图 1 优选题型 考点讲练 2 考点1 列举法求概率 2 考点2 列表法或树状图法求概率 4 考点3 游戏的公平性 5 中考真题 实战演练 8 难度分层 拔尖冲刺 10 基础夯实 10 培优拔高 13 知识点梳理01：枚举法 适用范围：当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少时 步骤：①列举出所有等可能的结果;②运用公式计算概率 知识点梳理02：列表法 适用范围：当一次试验涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时 步骤：①选一次操作(或一个条件)为横行，另一次操作(或另一个条件)为竖列，列出表格；②运用公式计算概率 知识点梳理03：画树状图 适用范围：当一次试验涉及两个或更多个因素时. 步骤：①画树状图，方法步骤如下： ②运用公式计算概率 注意 (1)用列举法求概率时,各种情况出现的可能性大小必须相同，所有可能出现的结果是有限的; (2)列举出所有可能的结果,各种情况不能重复，也不能遗漏; (3)所求概率是一个准确数，一般用分数表示 (4)列表法不适用涉及三个或三个以上因素的试验 考点1 列举法求概率 【典例精讲】（25-26九年级上·山西朔州·月考）小悦参加山西省剪纸艺术作品展，如图，展区A中剩余1个展位，展区B中剩余两个展位和，小悦有甲、乙两幅作品参展，这两幅作品将随机放入其中两个展位展览，且一个展位只能展出一幅作品． (1)甲作品放在展位展览的概率为　　　　　　． (2)求小悦的两幅作品同在展区B展览的概率． 【变式训练1】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）现有四张完全相同的卡片，卡片上分别写有，0，2，3，从这四张卡片中随机抽取两张，得到的数字分别记为，则使得一次函数的图像只经过第一、三象限的概率是 ． 【变式训练2】（2025·江苏南京·一模）做投球实验的装置如图所示．实验时，将小球从处投入，通过管道落入甲、乙、丙、丁个盒子．已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的． (1)若投入一个小球，求它通过管道的概率． (2)若投入足够数量的小球直到某个盒子被填满为止，下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） 最先填满的是甲盒； 个盒子中的小球的数量一样多； 甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量； 乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等． 【变式训练3】（24-25九年级下·陕西西安·期中）爸爸、妈妈、小明三人玩“石头、剪刀、布”的猜拳游戏，游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”． (1)小明出“剪刀”手势的概率为_____； (2)爸爸、妈妈、小明三人玩此游戏，爸爸决定出“石头”，若三人中，有且只有两人手势相同时，小明获胜，请用画树状图或列表的方法：求小明获胜的概率．（其中石头、剪刀、布分别用序号A、B、C表示）． 考点2 列表法或树状图法求概率 【典例精讲】（25-26九年级上·广东深圳·期中）某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． (1)甲选择“食品安全”主题的概率为_______； (2)若我们学校现有九年级900人，请你估算出选择交通安全的同学有_______人； (3)请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率（主题可用A、B、C、D表示）． 【变式训练1】（25-26九年级上·山东东营·期中）DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的模具设计活动．随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： (1)本次共抽取了________名，学生的模具设计成绩，成绩的中位数是________分，并补全频数分布直方图； (2)请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； (3)学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【变式训练2】（25-26九年级上·湖南株洲·月考）如图所示，小明和小刚将《将进酒》这首诗中的四句分别写在编号为，，，的4张卡片上，卡片除编号和内容外，其余完全相同，将这4张卡片背面朝上，洗匀放好，玩抽诗句的游戏． (1)小明从中抽取一张卡片，恰好抽到“天生我材必有用”的概率为______； (2)小明先抽一张卡片，接着小刚从剩下的卡片中抽一张，用画树状图或列表的方法求两人所抽卡片上的诗句恰好成联的概率．（注：与为一联，与为一联） 【变式训练3】小明家客厅里装有一种开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况． (1)若小明任意按下一个开关，小明打开走廊灯的概率是______； (2)若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，刚好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明． 考点3 游戏的公平性 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽宿州·期中）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（    ） A．公平 B．对小颖有利 C．对小亮有利 D．公平性不可预测 【变式训练1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）数学兴趣活动课上，小轩和小辉玩抽卡片游戏，如图，他们制作了5张卡片，除正面不同外，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同．小轩将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的是“高陵果子”的概率是______． (2)若规定：小轩从中随机抽取一张卡片（不放回），小辉再从中随机抽取一张卡片，若这两张卡片中没有水果，则小轩赢，否则小辉赢．请你用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平?（注：水果是卡片D，E） 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江·期中）甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲转动转盘一次，乙转动转盘一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则无效．要重新转动转盘． (1)用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由；若不公平，请改动转盘上的一个数字使得游戏公平（不需要写出理由）． 【变式训练3】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表． 垃圾分类知识测试成绩统计表 测试等级 百分比 人数 A．优秀 5% 10 B．良好 30 C．及格 45% m D．不及格 n 请结合统计表，回答下列问题： (1)求本次参与调查的学生人数及m，n的值； (2)如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为3600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数； (3)为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平． 【演练1】（2025·山东德州·中考真题）把英文单词“”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡的概率是 ． 【演练2】（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； (2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 【演练3】（2025·西藏·中考真题）某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组： A：；B：；C：；D： ；E： 现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据统计图信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整； (2)若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有多少人？ (3)已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【演练4】（2025·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、5、7，这些球除数字外都相同．从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有数字2和3的两个球的概率． 【演练5】（2024·青海西宁·中考真题）2024年4月23日是第29个世界读书日，我市某社区开展了以“最美人间四月天，不负韶华读书时”为主题的系列读书活动． (1)为了解西宁市初中生每周的累计读书时长，应采用的调查方式是 （填“全面调查”或“抽样调查”）． (2)该社区某校准备从A，B，C，D四名同学中选择两人作为“好书推荐官”，参加社区的好书推荐活动．请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出A，B两名同学恰好同时被选中的概率． 基础夯实 1．（25-26九年级上·北京·月考）2025年，人工智能领域持续升温，成为全球科技和经济的核心驱动力．小全和小华准备在比较热门的，豆包，三个软件中分别随机选择一个下载，他们恰好都选到豆包的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山西晋中·期中）为深化全民阅读，引领区域阅读新风尚，暑期我区特举办了“学在榆次·榆阅书香”中小学生讲书诵读大赛，小亮计划从《红星照耀中国》、《红岩》、《朝花夕拾》三本书中随机选取两本备战比赛，则选中《红岩》与《朝花夕拾》的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山西晋中·期中）用图中两个可自由转动的转盘做“配橙色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出黄色即可配成橙色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成橙色的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，有一个质地均匀且六个面上分别标有数字：，，，，，的正方体骰子，甲、乙两名同学按照以下游戏规则：每人先掷骰子，骰子朝上的数是几，就将棋子前进几格，并获得格子中的相应物品．现在轮到乙掷骰子，棋子在标有数字“1”的那一格，汽车在第8个格子．他知道无论怎样，掷一次骰子都得不到汽车，申请连续掷两次，他连续掷两次骰子能获得汽车的概率是（） A． B． C．1 D． 5．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 ． 6．（25-26九年级上·山西朔州·月考）第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举办，某体育比赛馆开设了A，B，C三个安检通道．甲、乙两名运动员各随机选一个通道进入，则他们从不同通道进入体育比赛馆的概率是 ． 7．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）现有4个分别标有汉字“诚”“实”“友”“善”的小球，它们除表面所标汉字不同外其他都相同，将4个小球放在箱子中摇匀，然后随机摸出一个小球，不放回．再随机摸出一个，则这两次摸出的小球上的汉字能组成词语“友善”（不分先后顺序）的概率为 ． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“苏”“州”四个字卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． (1)从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“苏”的概率是________． (2)一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率． 9．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）珠海博物馆于年3月5日至4月6日展出四件国宝级文物（清代圆明园海晏堂部分十二生肖兽首文物原件）．小明、小华分别从离博物馆和的两地同时出发前往博物馆，小明、小华的平均速度比是，结果小明比小华提前分钟到达博物馆． (1)求小明、小华的平均速度； (2)进入博物馆后，由于即将闭馆．两人决定在四件兽首A，B，C，D中随机选择其中一件兽首参观，请用列表或画树状图法求出他们选中同一件兽首参观的概率． 10．（25-26九年级上·四川泸州·期中）为了倡导“节约用水，从我做起”，贵阳市直属机关200户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭月平均用水量在吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表： 月平均用水量吨 3 4 5 6 7 频数（户数） 4 a 9 10 7 频率 b c 请根据统计表中提供的信息解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)这些家庭中月平均用水量数据的平均数是______，众数是______，中位数是______； (3)根据样本数据，估计该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的有多少户？ (4)市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率． 培优拔高 11．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）为组建学校秋季田径运动会开幕式彩旗队，九（1）班决定从符合身高条件的3名男生和2名女生中随机抽调两名学生进入彩旗队．则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，现从袋子中先后摸出两个球（不放回），则两个球颜色不同的概率为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，将一枚棋子依次沿正方形的四个顶点，，，，，，，…移动．开始时，棋子位于点处，然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到点处，掷得3点就移动3步到点处……）；接着，以移动后棋子所在的位置为新的起点，再进行同样的操作．在第二次掷子后，棋子回到点处的概率是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·河南安阳·期中）每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月5日，某校采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，测评成绩前四名的学生恰好是1个女生和3个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加市级消防安全知识竞赛，则抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率是 ． 15．（25-26九年级上·江西鹰潭·期中）一个布袋里装有2个红球，2个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，记下颜色不放回．再摸出一个球，则两次摸出的球都是红球的概率是 . 16．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）已知有四张正面分别标有数字，0，，4的卡片，这四张卡片除正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 ． 17．（23-24九年级上·贵州贵阳·月考）小明和小颖用如图所示的两个转盘（转盘B三等分）做配紫色游戏，游戏规则是：分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可以配成紫色（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．同时转动两个转盘，能配成紫色的概率是 ． 18．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）年国庆黄金周期间，岳阳旅游景点热闹非凡．市文旅局为了进一步提升旅游服务质量，对本次国庆期间到过岳阳游玩的部分游客通过在线调查的方式评选出“您最推荐的景点”，对岳阳市各景点包括：岳阳楼、圣安寺、君山岛、洞庭南路（以下分别用、、、表示，只能选择一类）的情况进行了抽样调查，并将调查结果绘制如图所示不完整的两幅统计图． (1)补全这两幅统计图； (2)若国庆期间岳阳市累计接待了游客约万人，根据抽样调查的结果估计最推荐岳阳楼的游客有多少万人？ (3)某游客准备到岳阳旅游，随机选择、、、四个景点中的两个去游玩，请用画树状图或列表的方法，求该游客恰好选择岳阳楼和洞庭南路这两个景点的概率． 19．（25-26九年级上·四川成都·期中）成都市某旅游机构抽样调查了外地游客对A、B、C、D四个景点作为最佳旅游景点的喜爱情况（每人只选一种），并将调查情况绘制成如图两幅不完整的统计图； (1)本次参加抽样调查的游客有_________人，根据题中信息补全条形统计图； (2)若某批次游客有人，请你估计选择C景点作为最佳旅游景点的有_________人； (3)旅游景点举行游客有奖问答活动． 现有2男2女4名游客回答对了问题． 现从这四名游客中随机抽取2名游客发放纪念品，请用列表或画树状图的方法求获得此次纪念品的是一男一女的概率． 20．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）某市教育局对某九年一贯制学校做课堂教学满意度情况督导调研．从该校初中部和小学部各随机抽取20名学生对课堂教学满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．初中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图： （数据分成4组：，，，） b．初中部20名学生所评分数在这一组的是： 8.0   8.1   8.2   8.2   8.4   8.5   8.6   8.7   8.8 c．初中部、小学部各20名学生所评分数的平均数、中位数如表： 平均数 中位数 小学部 8.3 8.5 初中部 8.3 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是_________，表中的m值为_________； (2)根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”． ①若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数； ②该学校从被调查的学生中随机抽取三人作为满意度调查访谈对象，所抽取学生的满意度评分情况如下：小明评分9.5分，小强评分8.6分，小琪评分8.2分．实地督导过程中从这3人中随机抽取了2人进行访谈，请求出调查结果一致为“非常满意”的概率． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $