（易错复习讲义）常考易错知识点专题突破（七大专题35个突破点）-2025-2026学年五年级上册数学期末复习（人教版）

该小学数学讲义通过七大专题35个易错点系统构建五年级上册知识体系，以目录框架梳理小数乘法、位置等核心内容，用专题划分呈现知识脉络，明确各模块重难点及内在联系。 讲义亮点在于“易错专练”分层设计，如小数乘法估算解决购物费用问题培养应用意识，位置专题数对与平移结合强化空间观念，每个易错点配典型例题和变式练习，助力不同学生突破难点，教师可据此实施精准复习教学。

常考易错知识点专题突破 2025-2026学年五年级上册数学 （七大专题35个突破点） 目录 专题一小数乘法 3 易错点1：计算时应先计算出结果，再点小数点 3 易错点2：注意小数乘法中当积中小数位数不够时，应用“0”补足 5 易错点3：求积的近似数时，近似数末尾的0不能省略 7 易错点4：运用乘法分配律进行简便计算时，应将两个加数分别与因数相乘。注意不要漏掉。 10 易错点5：运用小数的估算解决实际问题时选错估算方法导致结果错误 13 易错点6：解决分段计费问题要注意考虑所有部分，漏掉会导致计算错误 16 专题二位置 20 易错点1：用数对表示位置时,不能将行和列的位置颠倒。 20 易错点2：平移后坐标计算错误​ 25 易错点3：对称点坐标错误。 31 易错点4：方向与坐标结合错误。 36 专题三小数除法 41 易错点1：在小数除法计算过程中除到某一位不够除时 ,应商0占位。 41 易错点2：小数除以整数时，商的小数点定位错误​ 44 易错点3：被除数和除数的小数点移动的位数要相同。 48 易错点4：循环小数的表示方法错误或认识错误。 51 易错点5：取近似数时,要根据实际情况采用“进一法”或“去尾法”。 53 易错点6：逆向思维问题（已知总费用求数量）。 54 专题四可能性 59 易错点1：对“可能”、“一定”、“不可能”的理解和使用不准确。 59 易错点2：混淆“可能性大小”与实际操作的“不确定性”。 62 易错点3：事件发生的可能性的大小与数量有关,个体在总体中所占数量越多,可能性越大。 65 易错点4：可能性的实际应用中错误。 67 专题五简易方程 70 易错点1：用字母表示数的书写不规范 70 易错点2：解方程时，等式的性质运用错误。 73 易错点3：列方程解决实际问题时，等量关系找错。 81 专题六多边形的面积 86 易错点1：面积公式混淆或记忆错误。 86 易错点2：运用平行四边形的面积公式计算时，高与底没有对应。 89 易错点3：三角形面积和平行四边形的面积的关系运用错误。 91 易错点4：利用面积公式反求底或高时，忘记乘以2或除以2。 93 易错点5：计算组合图形面积时，方法繁琐或数据使用错误。 94 易错点6：估算面积时，未能正确算出格子数量。 98 易错点7：实际问题未去除非面积部分。 102 专题七数学广角—植树问题 105 易错点1：情况混淆，公式张冠李戴。 105 易错点2：对“间隔数”的理解和计算错误。 107 易错点3：对“两旁”、“两侧”、“两边”植树问题处理错误。 109 易错点4：将“植树问题”模型迁移到其他类似场景时识别错误。 111 易错点5：“封闭图形”与“直线型”植树问题混淆，错误地加1或减1。 113 专题一小数乘法 易错点1：计算时应先计算出结果，再点小数点 【易错专练1】列竖式计算。 700×0.256＝ 【答案】179.2 【分析】整数乘小数的竖式计算，先按照整数乘法的计算方法计算出两个数这乘积，即转化为700×256。将700后面的两个0先不看，则7和256的个位6对齐，算出乘积是179200。然后，查看乘数中有几位小数，在乘积的右边开始数出几位小数。即乘数中是3位小数，在乘积的右边来数出3位小数，小数末尾有0，根据小数的基本性质只需要去掉小数末尾的0即可。 【解答】700×0.256＝179.2 【易错专练2】用竖式计算。  0.35×600＝ 【答案】210 【分析】小数乘整数，先按整数乘法算出积，再看两个因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点，积的小数部分的末尾有0的要去掉。 【解答】 0.35×600＝210    【易错专练3】用竖式计算。 170×5.03＝ 【答案】855.1 【分析】小数乘法的计算方法：按照整数乘法的法则算出积，再看因数中一共有几位小数，就从得数的右边起数出几位，点上小数点，小数末尾的0一般去掉。 【解答】0.45＋2.79＝3.24 10.3－2.94＝7.36 170×5.03＝855.1                           【易错专练4】列竖式计算下面各题。 0.86×7＝        3.3×16＝         12.8×42＝         0.19×40＝ 【答案】6.02；52.8；537.6；7.6 【分析】小数乘法法则：（1）按整数乘法的法则先求出积；（2）看因数中一个有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 【解答】0.86×7＝6.02       3.3×16＝52.8        12.8×42＝537.6       0.19×40＝7.6          【易错专练5】竖式计算。 216×0.03＝        3.6×12＝        0.72×80＝ 2.08×15＝        12.4×11＝        4.25×13＝ 【答案】6.48；43.2；57.6 31.2；136.4；55.25 【分析】小数乘法法则： （1）按整数乘法的法则先求出积； （2）看因数中一个有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 【解答】216×0.03＝6.48        3.6×12＝43.2        0.72×80＝57.6                        2.08×15＝31.2        12.4×11＝136.4        4.25×13＝55.25                    易错点2：注意小数乘法中当积中小数位数不够时，应用“0”补足 【易错专练1】列竖式计算。 0.38×0.25＝ 【答案】0.095 【分析】根据小数乘法的计算法则，直接列竖式计算即可，注意当积中小数位数不够时，应用“0”补足。 【解答】0.38×0.25＝0.095 【易错专练2】列竖式计算。 4.05×0.18＝ 【答案】0.729 【分析】小数乘法法则：按整数乘法的法则先求出积，看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点，当积中小数位数不够时，应用“0”补足。 【解答】4.05×0.18＝0.729 【易错专练3】竖式计算。 20.5×0.012＝        0.25×0.25＝         【答案】0.246；0.0625 【分析】根据小数乘法的计算方法解答，注意小数乘法列竖式计算是末位对齐，当积中小数位数不够时，应用“0”补足。 【解答】 20.5×0.012＝0.246；0.25×0.25＝0.0625 【易错专练4】竖式计算。  0.052×0.25＝ 【答案】0.013 【分析】根据小数乘法的计算方法解答，注意小数乘法列竖式计算是末位对齐，当积中小数位数不够时，应用“0”补足。 【解答】0.052×0.25＝0.013 【易错专练5】竖式计算。 3.14×0.25＝ 【答案】0.785 【分析】根据小数乘法的计算方法解答，注意小数乘法列竖式计算是末位对齐，当积中小数位数不够时，应用“0”补足。 【解答】  3.14×0.25＝0.785     易错点3：求积的近似数时，近似数末尾的0不能省略 【易错专练1】求出下面各题积的近似值。 （1）得数保留一位小数：7.2×0.09    0.86×3.2 （2）得数保留两位小数：0.28×0.7    5.89×3.6 【答案】（1）0.6；2.8 （2）0.20；21.20 【分析】小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位 根据“四舍五入法求积的近似数，找到要求保留的数位，看下一位；如果下一位的数字大于或等于5，要往前进一；如果下一位的数字小于5，要舍去。据此解答。 【解答】（1）得数保留一位小数： 7.2×0.09 ≈0.6                0.86×3.2≈2.8                           （2）得数保留两位小数： 0.28×0.7 ≈0.20                      5.89×3.6≈21.20                                 【易错专练2】得数保留两位小数。 4.53×0.82≈        17.08×4.6≈        0.488×0.21≈        2.6×0.57≈ 【答案】3.71；78.57；0.10；1.48 【分析】小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。 根据“四舍五入”法求积的近似数，找到要求保留的数位，看下一位；如果下一位的数字大于或等于5，要往前进一；如果下一位的数字小于5，要舍去。 【解答】4.53×0.82≈3.71 17.08×4.6≈78.57                       0.488×0.21≈0.10            2.6×0.57≈1.48             【易错专练3】得数保留一位小数。 6.3×1.05≈        5.64×0.73≈        1.28×3.4≈        12.5×0.29≈ 【答案】6.6；4.1；4.4；3.6 【分析】小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。 根据“四舍五入”法求积的近似数，找到要求保留的数位，看下一位；如果下一位的数字大于或等于5，要往前进一；如果下一位的数字小于5，要舍去。 【解答】6.3×1.05≈6.6 5.64×0.73≈4.1                                       1.28×3.4≈4.4            12.5×0.29≈3.6                    【易错专练4】按要求计算下面各题。（得数保留两位小数。） 0.86×1.6≈           2.34×0.15≈            1.05×0.26≈ 【答案】1.38；0.35；0.27 【分析】（1）小数乘小数的计算方法：①按照整数乘法的计算方法算出积；②看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；③积的小数位数如果不够，要先在前面用0补位，再点小数点；④积的小数部分末尾有0的可以把0去掉。 （2）截取积的近似数的方法：求积的近似数，先算出积，然后看要保留的小数位数下一位上的数字，最后按照“四舍五入”的方法求出结果。 【解答】0.86×1.6≈1.38           2.34×0.15≈0.35    1.05×0.26≈0.27                       【易错专练5】6.8×6      （得数保留整数）   0.8×0.9       （得数保留一位小数）        1.7×0.45      （得数保留两位小数） 【答案】41；0.7；0.77 【分析】小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。 根据“四舍五入”法求积的近似数，找到要求保留的数位，看下一位；如果下一位的数字大于或等于5，要往前进一；如果下一位的数字小于5，要舍去。 【解答】6.8×6≈41       0.8×0.9≈0.7    1.7×0.45≈0.77                              易错点4：运用乘法分配律进行简便计算时，应将两个加数分别与因数相乘。注意不要漏掉。 【易错专练1】怎样简便就怎样计算。            【答案】38； 【分析】观察题目发现两项中都含有3.8的倍数关系，把76×0.38可转换为7.6×3.8，即3.8×2.4＋7.6×3.8，然后利用乘法分配律，变原式为：3.8×（2.4＋7.6）进行简便计算。 【解答】3.8×2.4＋76×0.38 ＝3.8×2.4＋7.6×3.8 ＝3.8×（2.4＋7.6） ＝3.8×10 ＝38 【易错专练2】计算下面各题。（能简算的要简算） 6.7×99＋6.7         78×0.11＋8.9×7.8 【答案】670；78 【分析】6.7×99＋6.7，逆用乘法分配律，先算（99＋1）的积，再与6.7相乘； 78×0.11＋8.9×7.8，将8.9×7.8转化成0.89×78，逆用乘法分配律，先算（0.11＋0.89），再与78相乘。 【解答】                       6.7×99＋6.7 ＝6.7×（99＋1） ＝6.7×100 ＝670 78×0.11＋8.9×7.8               ＝78×0.11＋0.89×78         ＝78×（0.11＋0.89）           ＝78×1                       ＝78 【易错专练3】计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 （1）    （2） 【答案】63.63；72 【分析】（1）0.63×101把101改写成100＋1，再运用乘法分配律简便计算。 （2）3.6×17.3＋0.27×36把3.6×17.3改写成36×1.73，再运用乘法分配律简便计算。 【解答】（1）0.63×101 ＝0.63×（100＋1） ＝0.63×100＋0.63×1 ＝63＋0.63 ＝63.63 （2）3.6×17.3＋0.27×36 ＝36×1.73＋0.27×36 ＝36×（1.73＋0.27） ＝36×2 ＝72 【易错专练4】怎样简便怎样计算。 7.8×1.26＋8.74×7.8          0.875×101－0.875 【答案】78；87.5 【分析】（1）根据乘法分配律，将原式变成7.8×（1.26＋8.74），即可简算。 （2）根据乘法分配律，将原式变成0.875×（101－1），即可简算。 【解答】7.8×1.26＋8.74×7.8 ＝7.8×（1.26＋8.74） ＝7.8×10 ＝78 0.875×101－0.875 ＝ 0.875×（101－1） ＝0.875×100 ＝87.5 【易错专练5】计算下面各题，能简算的要简算。 1.8×5.6＋4.4×1.8              （8＋0.8）×1.25 【答案】18；11 【分析】1.8×5.6＋4.4×1.8，逆用乘法分配律，先算（5.6＋4.4），再与1.8相乘； （8＋0.8）×1.25，利用乘法分配律，括号里的数分别与1.25相乘，再相加。 【解答】1.8×5.6＋4.4×1.8 ＝（5.6＋4.4）×1.8 ＝10×1.8 ＝18 （8＋0.8）×1.25 ＝8×1.25＋0.8×1.25 ＝10＋1 ＝11 易错点5：运用小数的估算解决实际问题时选错估算方法导致结果错误 【易错专练1】中国二十四节气中的“冬至”有吃汤圆的传统习俗，“圆”意味着“团圆”“圆满”。学校食堂计划买14袋花生汤圆和4袋芝麻汤圆，200元够吗？请你写出思考过程。 类别 净含量 价格 花生汤圆 200克 9.6元/袋 芝麻汤圆 320克 14.6元/袋 【答案】够；见详解 【分析】把1袋花生汤圆9.6元看作10元，1袋芝麻汤圆14.6元看作15元；根据“单价×数量＝总价”，分别求出14袋花生汤圆、4袋芝麻汤圆大约需要的钱数，再相加，即是大约需要的总钱数，因为把单价估大了，如果估算的总钱数小于或等于200元，那么200元就够。 【解答】1袋花生汤圆不到10元，1袋芝麻汤圆不到15元。 总共不到： 10×14＋15×4 ＝140＋60 ＝200（元） 答：200元够。 【易错专练2】某超市里每袋大米57.9元，每斤牛肉28.8元，估一估妈妈买1袋大米和两斤牛肉120元钱够吗？ 【答案】够 【分析】根据题意，可以把57.9估成和它相近的整数58，把28.8估成整十数30，据此用乘法算出2斤牛肉的钱数，再加上1袋大米的钱数即可算出估算的总钱数，最后和120比较大小即可。 【解答】57.9≈58 28.8≈30 58＋30×2 ＝58＋60 ＝118（元） 118＜120 答：妈妈买1袋大米和两斤牛肉120元够。 【易错专练3】张老师带了150元钱，买了29千克大米和0.95千克肉之后，请你估一估，剩下的钱够买3千克的鸡蛋吗？ 食品 大米 肉 鸡蛋 单价（元/千克） 3元 28元 9.8 【答案】够 【分析】把29千克大米估成30千克，把0.95千克肉估成1千克，把单价9.8元的鸡蛋估成10元，都往大估，然后根据“总价＝单价×数量”，分别求出买大米、肉、鸡蛋大约需要的钱数，再相加，即是大约需要的总钱数，与150元进行比较，因为是估大了，所以实际付的钱数要比估计的钱数少，由此判断剩下的钱是否够买3千克的鸡蛋。 【解答】29＜30，0.95＜1，9.8＜10； 29×3＋28×0.95＋9.8×3 ≈30×3＋28×1＋10×3 ＝90＋28＋30 ＝148（元） 148＜150 答：买这些东西不到148元，所以剩下的钱够买3千克的鸡蛋。 【易错专练4】妈妈带100元到超市购物，买了2千克鸡蛋，单价是6.9元/千克，又买了2箱牛奶，单价是29.8元/箱。 （1）估计一下，妈妈大约用去多少元？ （2）超市的大米有两种规格的包装，大袋的单价是35.4元/袋，小袋的单价是24.6元/袋。剩下的钱还够买一袋大米吗？能买大袋的，还是小袋的？ 【答案】（1）74元 （2）够；小袋 【分析】（1）根据题意，先把6.9元看作7元，29.8元看作30元，然后根据“单价×数量＝总价”分别求出买2千克鸡蛋和2箱牛奶大约花的钱数，再相加，即是妈妈大约用去的钱数。 （2）用带的总钱数减去大约用去的钱数，即是大约剩下的钱数，再与大袋米和小袋米的单价比较，得出结论。 【解答】（1）6.9≈7 29.8≈30 7×2＋30×2 ＝14＋60 ＝74（元） 答：妈妈大约用去74元。 （2）大约剩下：100－74＝26（元） 24.6＜26＜35.4 答：剩下的钱够买一袋大米，能买小袋的。 【易错专练5】“美团外卖”已经成为年轻人比较喜欢的饮食消费方式。午饭时间到了，小王和几个同事准备在公司一块儿点外卖下单。某商家网上价格如下： 黄焖鸡米饭 珍珠奶茶 黄焖排骨饭 烤香肠 22.8元/份 7元/杯 24.2元/份 4.5元/根 （1）小王在这个商家点了3份黄焖鸡米饭、2杯珍珠奶茶和5根烤香肠。支付120元够吗？ （2）公司距离下单商家6.8千米处。根据下面的外卖配送收费标准，小王还需要支付多少元外卖配送费？ 【答案】（1）够； （2）11元 【分析】（1）黄焖鸡米饭每份按23元计算，烤肠每根按5元计算，根据“总价＝单价×数量”分别求出黄焖鸡米饭、珍珠奶茶、烤香肠需要的钱数，最后求出它们的总钱数并和120元比较大小； （2）6.8千米按7千米计算，3千米以内收费5元，超过的（7－3）千米按每千米1.5元收费，根据“总价＝单价×数量”求出超出部分需要付的钱数，最后加上3千米以内的5元，据此解答。 【解答】（1）22.8元≈23元，4.5元≈5元。 23×3＋7×2＋5×5 ＝69＋14＋25 ＝108（元） 因为108元＜120元，所以120元够。 答：支付120元够。 （2）6.8千米≈7千米 （7－3）×1.5＋5 ＝4×1.5＋5 ＝6＋5 ＝11（元） 答：小王还需要支付11元外卖配送费。 【点评】本题主要考查小数的估算和分段计费，理解不同路程对应的不同收费标准是解答题目的关键。 易错点6：解决分段计费问题要注意考虑所有部分，漏掉会导致计算错误 【易错专练1】实验小学开展读书活动，五（1）班杨老师要给25名学生每人买一本《海底两万里》，买书时，杨老师需要付多少元钱？ 【答案】539元 【分析】先求出超过10本的数量，再乘18.6求出超出的10本数量的钱数，再求出10本数的钱数，相加即可。 【解答】（25－10）×18.6＋10×26 ＝15×18.6＋10×26 ＝279＋260 ＝539（元） 答：杨老师需要付539元钱。 【易错专练2】石家庄出租车起步价8元，含3千米里程，超过3千米部分每千米1.6元（不足1千米按1千米计算），红红和妈妈从家打车到科技馆共行驶5.8千米，应付多少元车费？ 【答案】12.8元 【分析】红红和妈妈从家打车到科技馆共行驶5.8千米，5.8千米按6千米计算，超出3千米的路程是6－3＝3（千米），根据单价×路程＝总价，用超出3千米的路程乘超过3千米部分每千米的收费1.6元，求出超出3千米的收费，再加上3千米以内的收费即可解答。 【解答】5.8千米≈6千米 （6－3）×1.6＋8 ＝3×1.6＋8 ＝4.8＋8 ＝12.8（元） 答：应付12.8元车费。 【易错专练3】综合与实践——家庭用电调查。 为了减少能源的浪费，重庆市2022年1月1日起针对不同用电量的居民执行不同的阶梯电价分档如下： 第一档：年用电量为2400千瓦时（含）以内，0.52元/千瓦时； 第二档：年用电量为2401~4800千瓦时（含）以内0.57元/千瓦时； 第三档：年用电量为4801千瓦时（含）以上0.82元/千瓦时 王阿姨家一年的用电量是3900千瓦时，算一算她家一年的电费多少元？ 【答案】2103元 【分析】3900＜4800，王阿姨家一年用电量在第二档内；用3900－2400，求出超出第一档的用电量，再乘0.57，求出超出部分的电费；再用2400×0.52，求出第一档的电费，再把它们相加，即可解答。 【解答】（3900－2400）×0.57＋2400×0.52 ＝1500×0.57＋2400×0.52 ＝855＋1248 ＝2103（元） 答：她家一年的电费2103元。 【易错专练4】下表是一个停车场的收费表（不足1小时的按1小时算）。如果张叔叔在这个停车场从14：30停车到20：00，需要付停车费多少元？ 上午7：00～下午5：00 第一小时 6元 第二小时开始 4.5元/时 下午5：00～上午7：00 15元/次 【答案】30元 【分析】张叔叔需要支付的停车费分为两部分，从14：30停车到下午5：00（17：00）和从下午5：00到20：00。从14：30停车到17：00共计2小时30分，按3小时计算，第一小时收费6元，后两个小时每小时收费4.5元。从下午5：00到20：00收费按照每次15元计算，据此解答。 【解答】下午5时＝17时 17时－14时30分＝2时30分 不足1小时的按1小时算，2小时30分按3小时计算 （3－1）×4.5＋6＋15 ＝2×4.5＋6＋15 ＝9＋6＋15 ＝15＋15 ＝30（元） 答：需要付停车费30元。 【易错专练5】（1）王老师从北京出发去随州旅游，在特产店里买了一些特产，下面是某特产店的部分商品价格。王老师在店里买了15盒蜜枣（每盒0.2千克）和6箱泡泡青（每箱1.5千克），付221元够吗？ （2）王老师为减轻行李的重量，准备将购买的这些特产用快递寄回家，选用的快递公司收费标准见下表，共需付多少元快递费？ 收费标准 2千克及以内 超过2千克的部分 省内市外 8元 每千克3.6元 省外 12元 每千克5.5元 【答案】（1）够 （2）67元 【分析】（1）用够买的产品的单价乘购买的数量求出每种总价，相加后再进行比较即可，即分别用乘法计算15个7.2和6个18.8是多少，再相加，结果比221大，则不够，结果比221小则够。据此解答。 （2）由题意可知，王老师寄回家属于省外，先用乘法分别计算15盒蜜枣的重量和6箱泡泡青的重量，再相加求出总重量，总重量减2，再乘5.5，求出超过2千克的部分的价格，再加12即可得解。 【解答】（1） （元） 答：付221元够。 （2） （元） 答：共需付67元快递费。 专题二位置 易错点1：用数对表示位置时,不能将行和列的位置颠倒。 【易错专练1】体育课上，明明站在第4列第2行，用数对表示，亮亮站在明明的正前方，亮亮的位置用数对表示是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知：用数对表示位置时，括号内的第一个数字表示列，第二个数字表示行，则明明的位置用数对表示为（4，2）；亮亮站在明明的正前方，说明亮亮和明明在同一列，即亮亮也在第4列。因为亮亮在明明的正前方，那么亮亮的排数比明明少1，明明在第2排，则亮亮在第1排。 【解答】明明站在第4列第2行，亮亮站在明明的正前方，亮亮的位置用数对表示是（4，1）。 故答案为：C 【易错专练2】下面诗句中，“新”字的位置用数对表示是（    ）。 4 空 山 新 雨 后 3 天 气 晚 来 秋 2 明 月 松 间 照 1 清 泉 石 上 流 1 2 3 4 5 A．（3，4） B．（4，3） C．（4，4） 【答案】A 【分析】用数对表示位置时，第一个数字表示列，第二个数字表示行，在图中数出“新”字所在的列数与行数即可。 【解答】由图可知，“新”字在第3列、第4行，所以“新”字的位置用数对表示是（3，4）。 故答案为：A 【易错专练3】如图，的位置是（2，3），的位置是（    ）。 A．（4，5） B．（5，4） C．（3，2） D．无法确定 【答案】B 【分析】 的位置是（2，3），表示第2列，第3行，即第一个数表示列，第二个数表示行，据此找出在第几列第几行即可解答。 【解答】 在第5列，第4行，所以的位置是（5，4）。 故答案为：B 【易错专练4】下五子棋时，黑方一子落下（如图中“×”的位置），同时形成两个或两个以上的“四”的情况，那么下一步黑棋应该落在哪个位置？这个位置用数对表示为（    ）。 A．（D，5） B．（6，D） C．（5，D） D．（D，6） 【答案】A 【分析】数对的第一个数表示列，第二个数表示行，如下图，要使盘中棋局成为“四四禁手”，下一步黑棋应该落在红“×”位置，这个位置用数对表示为（D，5），据此即可解答。 【解答】根据分析可知，下五子棋时，黑方一子落下，同时形成两个或两个以上的“四”的情况，那么下一步黑棋应该落的位置用数对表示为（D，5）。 故答案为：A 【易错专练5】在一个方格图里，如果点A用数对（3，3）表示，点B用数对（6，7）表示，点C用数对（3，7）表示，那么三角形ABC一定是（    ）三角形。 A．等腰 B．直角 C．锐角 D．钝角 【答案】B 【分析】用数对表示位置时，前一个数表示第几列，后一个数表示第几行，在一个方格里，如果点A用数对（3，3）表示，点B用数对（6，7）表示，点C用数对（3，7）表示。由此可知，A和C在同一列，B和C在同一行，所以三角形ABC一定是直角三角形。据此解答。 【解答】根据分析可知，在一个方格图里，如果点A用数对（3，3）表示，点B用数对（6，7）表示，点C用数对（3，7）表示，那么三角形ABC一定是直角三角形。 故答案为：B 【易错专练6】小强在教室的位置用数对表示是（4，6），小松坐在与他同一列的位置上，小松的位置可能是（    ）。 A．（6，5） B．（3，6） C．（4，2） 【答案】C 【分析】用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行。 已知小强在教室的位置用数对表示是（4，6），即小强在第4列第6行，小松坐在与他同一列的位置上，即小松在第4列；从三个选项中找出表示第4列的位置的数对即可能是小松的位置。 【解答】A．（6，5）在第6列第5行，不符合题意； B．（3，6）在第3列第6行，不符合题意； C．（4，2）在第4列第2行，符合题意； 小松的位置可能是（4，2）。 故答案为：C 【易错专练7】学校组织观看《生命至上》安全教育宣传片，欢欢坐在报告厅（1，2）的位置上，明明坐在（1，4）的位置上，壮壮与他俩坐在同一条直线上，壮壮可能坐在（    ）的位置上。 A．（1，3） B．（2，4） C．（2，1） D．（4，1） 【答案】A 【分析】用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。欢欢坐在报告厅（1，2）的位置上，即第1列，第2行；明明坐在（1，4）的位置上，即第1列第4行。壮壮与他俩坐在同一条直线上，那么壮壮应该在第1列。据此逐项分析解答。 【解答】A．（1，3）表示第1列，第3行，与欢欢和明明在同一列； B．（2，4）表示第2列，第4行； C．（2，1）表示第2列，第1行； D．（4，1）表示第4列，第1行。 壮壮可能坐在（1，3）的位置上。 故答案为：A 【易错专练8】五子棋是全国智力运动会竞技项目之一，对弈双方分别使用黑、白两色棋子，先形成五子连珠者获胜。下图是两名同学的对弈情况，最左面白棋的位置记作（B，4），那么下一步黑棋放在（    ）位置就获胜了。 A．（4，G） B．（G，4） C．（F，2） D．（A，4） 【答案】B 【分析】根据题意，先形成五子连珠者获胜，从图中可知，黑棋已有4个连在一起的棋子，只需在最右面黑棋的右边再放一个黑棋，即可连成五子连珠，就获胜，用数对表示这一步黑棋的位置。 用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行。 【解答】如图： 下一步黑棋放在（G，4）位置就获胜了。 故答案为：B 【易错专练9】在学校运动会上若干名运动员组成一个方阵，方阵四个角上的运动员的位置用数对表示分别是（1，1），（1，8），（12，1），（12，8）。这个方阵一共有（    ）名运动员。 A．20 B．144 C．64 D．96 【答案】D 【分析】根据数对表示位置的方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行；由此可知，列数在前，行数在后；根据题意可知，列数是1和12，应该有12－1＋1列；行数是1和8，行数有8－1＋1行，再根据整数乘法的意义，用列数×行数，即可求出这个队伍的人数。 【解答】（12－1＋1）×（8－1＋1） ＝（11＋1）×（7＋1） ＝12×8 ＝96（人） 在学校运动会上若干名运动员组成一个方阵，方阵四个角上的运动员的位置用数对表示分别是（1，1），（1，8），（12，1），（12，8）。这个方阵一共有96人。 故答案为：D 【易错专练10】如图，在长方形ABCD中，点A用数对（3，8）表示，点C用数对（7，6）表示。那么点B的位置用数对表示为（    ）。 A．（3，6） B．（7，8） C．（3，8） D．（7，6） 【答案】A 【分析】据图可知，点B和点 A在同一列，点B和点C在同一行，据此结合数对第一个数表示列数，第二个数表示行数解答即可。 【解答】据图可知，点B和点 A在同一列，即点B的列数为3，点B和点C在同一行，即点B的行数为6，所以点B的位置用数对表示为（3，6）。 故答案为：A 易错点2：平移后坐标计算错误​ 【易错专练1】数对（4，7）是数对（5，4）如何变化来的？ 【答案】向左移动1个单元格，然后再向上移动3个单元格；或向上移动3个单元格，然后再向左移动1个单元格。 【分析】由题意可知数对（5，4）的位置是起点，数对（4，7）的位置是终点。数对（5，4）的列数是5，行数是4，而数对（4，7）的列数是4，行数是7。数对（5，4）的位置要移动到数对（4，7）的位置，则列数要从5列向左移动（5－4）列到4列，行数要从4行向上移动（7－4）行到7行，可以先移动列数再移动行数，也可以先移动行数再移动列数。 【解答】答：数对（4，7）和数对（5，4）的位置如下图： 由图可知，数对（4，7）是数对（5，4）向左移动1个单元格，然后再向上移动3个单元格变化来的；或是数对（5，4）向上移动3个单元格，然后再向左移动1个单元格变化来的。 【易错专练2】数对（6，8）是数对（4，3）如何变化来的？ 【答案】见详解 【分析】）用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。 根据题意，作图如下： 观察平移的方向和距离，从（4，3）出发，终点（6，8），从图中可知，需要向上及向右平移，具体距离可以通过数格子的数量来确认。 【解答】根据分析可知： 数对（4，3）先向上平移5格，再向右平移2格到达数对（6，8）；或者先向右平移2格，再向上平移5格。 【易错专练3】操作。 （1）请在下面的括号里用数对表示出图中各个点的位置。 A（    ），B（    ），C（    ），D（    ），E（    ），F（    ）。 （2）请你画出这条“鱼”向右平移5格后的图形。 【答案】（1）（0，4）；（0，2）；（1，3）；（3，5）；（5，3）；（3，1）； （2）见详解 【分析】（1）用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。据此解答。 （2）作平移后的图形步骤：①找点－找出构成图形的关键点。②定方向、距离－确定平移方向和平移距离。③画线－过关键点沿平移方向画出平行线。④定点－由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置。⑤连点－连接对应点。 【解答】（1）通过分析可得： A（0，4），B（0，2），C（1，3），D（3，5），E（5，3），F（3，1）。 （2） 【易错专练4】（1）在图中标出平行四边形各个顶点的位置。 （2）画出将平行四边形先向右平移4格，再向上平移3格后的图形，并写出平移后得到的图形的顶点的位置。 【答案】（1）（4，1）；（5，3）；（2，3） （2）见详解；（5，4）；（8，4）；（9，6）；（6，6） 【分析】（1）根据用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此在图中标出平行四边形各个顶点的位置。 （2）根据平移的特征，把平行四边形ABCD的各顶点分别先向右平移4格，再向上平移3格，依次连接即可得到平移后的图形。 再根据用数对表示位置的方法写出平移后得到的图形的顶点的位置。 【解答】如图： 【易错专练5】操作题。    （1）用数对表示小房子屋顶三个点的位置。 A    B    C             （2）画出小房子先向上平移4格，再向右平移4格后的位置。 【答案】（1）（2，4）；（1，3）；（3，3） （2）见详解 【分析】（1）用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此用数对表示小房子屋顶三个点的位置。 （2）根据平移的特征，将小房子的各顶点分别先向上平移4格，再向右平移4格，依次连接即可得到平移后的图形。 【解答】（1）A（2，4）；B（1，3）；C（3，3）。 （2）如图： 【易错专练6】   （1）用数对表示出A、B、C的位置；A（    ）、B（    ）、C（    ） （2）画出向下平移6格后的图形。 （3）我发现：图形向下平移时，改变了顶点所在的（    ），没有改变顶点所在的（    ）。 【答案】（1）（1，8）；（6，6）；（4，10）； （2）见详解； （3）行数；列数 【分析】（1）数对的表示方法：（列数，行数），数对的第一个数表示列，第二个数表示行，分别找出A、B、C在方格中对应的列数和行数，再用数对表示出来。 （2）根据平移的特征，将的各顶点分别向下平移6格后，依次连接即可得到平移后的图形。 （3）图形在平移的过程中，数对中的第1个数没变，第2个数变了，说明图形向下平移，改变了顶点所在的行，没有改变顶点所在的列。 【解答】（1）用数对表示出A、B、C的位置；A（1，8）、B（6，6）、C（4，10）。 （2）如图：    （3）平移后A、B、C的位置用数对表示如下： （1，2），（6，0），（4，4） 所以我发现：图形向下平移时，改变了顶点所在的行数，没有改变顶点所在的列数。 【易错专练7】按要求完成下列各题。 （1）网格中的三条线段通过平移使三条线段AB、CD、EF首尾顺次相接组成一个三角形，画出这个三角形。怎样移动三条边？请写出边的移动过程。 （2）组成三角形后各顶点的位置。 （ ， ）、（ ， ）、（ ， ）。 【答案】（1）见详解 （2）（1，0）；（3，3）；（4，1） 【分析】（1）在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的运动叫做图形的平移。 先选择一条线段不动，然后根据平移的特征，将另外两条线段平移并与不动的线段的两个端点相交，使三条线段AB、CD、EF首尾顺次相接组成一个三角形。 （2）根据用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此用数对表示组成的三角形各顶点的位置。 【解答】（1）线段EF不动，把线段AB先向右平移2格，再向下平移3格；把线段CD先向左平移2格，再向下平移4格；这样可以与线段EF组成三角形。 如图： （答案不唯一） （2）组成三角形后各顶点的位置如下： （1，0）、（3，3）、（4，1）。 易错点3：对称点坐标错误。 【易错专练1】如图，四边形ABCD是直角梯形。 （1）点A的位置可以用数对（    ）表示，D的位置可以用数对（    ）表示。 （2）画出梯形ABCD以BC边所在的直线为对称轴的轴对称图形。点A的对应点A'的位置可以用数对（    ）表示。 （3）画出梯形ABCD向上平移4格再向右平移2格后的图形。平移后点A的对应点可以用数对（    ）表示。 【答案】（1）（1，2）；（2，4）； （2）图见详解；（9，2） （3）图见详解；（3，6） 【分析】（1）用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，据此表示出点A和点D的位置即可； （2）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的右边画出梯形ABCD的关键对称点，连接即可；并用数对表示出点A的对应点A'的位置； （3）根据平移图形的特征，把梯形ABCD的四个顶点分别向上平移4格，再向右平移2格，然后首尾连接各点，即可得到梯形ABCD向上平移4格再向右平移2格后的图形；并用数对表示出点A的对应点的位置。 【解答】（1）点A的位置可以用数对（1，2）表示，D的位置可以用数对（2，4）表示。 （2）画轴对称图形见下图； 点A的对应点A'的位置可以用数对（9，2）表示。 （3）画平移后的图形见下图； 平移后点A的对应点可以用数对（3，6）表示。 【易错专练2】（1）下图中点C的位置用数对表示是（5，3），那么点A的位置用数对表示是（    ），点B的位置用数对表示是（    ）。 （2）以L为对称轴，面出三角形ABC关于L成轴对称的图形三角形A'B'C'，那么点A'的位置用数对表示是（    ），点B'的位置用数对表示是（    ）。 【答案】（1）（4，5）；（8，5） （2）图形见详解；（4，1）；（8，1） 【分析】（1）根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此用数对表示出点C和点B的位置； （2）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，画出对应点，然后顺次连接各点即可；再根据用数对表示位置的方法表示出点A'和点B'的位置。 【解答】（1）图中点C的位置用数对表示是（5，3），那么点A的位置用数对表示是（4，5），点B的位置用数对表示是（8，5）。 （2）如图所示： 点A'的位置用数对表示是（4，1），点B'的位置用数对表示是（8，1）。 【易错专练3】操作。 （1）以直线m为对称轴，画出三角形ABC的轴对称图形三角形A1B1C1，三角形A1B1C1三个顶点的位置用数对表示分别是A1（      ），B1（      ），C1（      ）。 （2）只移动点B，让三角形ABC变成直角三角形，那么移动后点B的位置用数对表示是（      ）。 （3）找一点D，与点A、B、C组成一个平行四边形，那么点D的位置用数对表示是（      ）。 【答案】（1）见详解；（8，4）；（10，4）；（11，1） （2）（1，4） （3）（3，1） 【分析】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，找到三角形ABC的各顶点关于对称轴的对称点后，依次连接各点得到三角形A1B1C1。 用数对表示物体的位置，数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行。据此用数对表示三角形A1B1C1三个顶点的位置。 （2）直角三角形的特征：有一个角是直角的三角形；据此只移动点B，让三角形ABC变成直角三角形，并用数对表示移动后点B的位置。 （3）有两组对边分别平行且相等的四边形，叫做平行四边形。根据平行四边形的定义，过点A作BC的平行线，过点C作AB的平行线，两条平行线相交于点D，即可得到平行四边形ABCD，并用数对表示点D的位置。 【解答】（1）三角形ABC的轴对称图形三角形A1B1C1如下图。 三角形A1B1C1三个顶点的位置：A1（8，4），B1（10，4），C1（11，1）。 （2）只移动点B，让三角形ABC变成直角三角形，那么移动后点B的位置用数对表示是（1，4）。（答案不唯一） （3）找一点D，与点A、B、C组成一个平行四边形，那么点D的位置用数对表示是（3，1）。 易错点4：方向与坐标结合错误。 【易错专练1】下面是某城市部分小区的分布示意图。 （1）阳光花园的位置用（7，4）表示，请写出其他小区的位置。 玫瑰城（    ），橡树湾（    ），西苑小区（    ），锦绣城（    ），紫悦城（    ），齐泰花园（    ）。 （2）小艺家在锦绣城以西100米，再往北300米处；外婆家在阳光花园以东400米，再往南200米处。请在图中标出小艺家和外婆家的位置。 【答案】（1）玫瑰城（2，6），橡树湾（8，7），西苑小区（0，3），锦绣城（5，2），紫悦城（2，1），齐泰花园（9，1）； （2）见详解 【分析】（1）用数对表示物体的位置时，先说列，后说行，表示形式为（列数，行数）。据此用数对表示出其他小区的位置。 （2）1格表示100米，根据“上北下南、左西右东”可知：小艺家在锦绣城以西1格，再往北3格处；外婆家在阳光花园以东4格，再往南2格处。即小艺家的位置用数对表示是（4，5），外婆家的位置用数对表示是（11，2） 【解答】（1）玫瑰城在第2列、第6行的交点处，用数对表示是（2，6）； 橡树湾在第8列、第7行的交点处，用数对表示是（8，7）； 西苑小区在第0列、第3行的交点处，用数对表示是（0，3）； 锦绣城在第5列、第2行的交点处，用数对表示是（5，2）； 紫悦城在第2列、第1行的交点处，用数对表示是（2，1）； 齐泰花园在第9列、第1行的交点处，用数对表示是（9，1）。 （2）如下图： 【易错专练2】动手操作并回答问题。 如图是某城市体育场附近的平面图。 （1）书店的位置用数对（2，3）表示，请你用数对表示出其他地方的位置。 银行（    ）；公园（    ）；商场（    ）；邮局（    ）。 （2）小明家在体育场以东600米，再往北200米处，在图中标出它的位置。 （3）周末，小晨的活动路线是（0，0）→（2，3）→（4，4）→（2，5）。你知道这一天他先后去了哪些地方吗？ 【答案】（1）银行（1，4）；公园（2，5）；商场（4，4）；邮局（5，1） （2）见详解 （3）见详解 【分析】（1）根据数对表示位置的方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此解答； （2）根据题意，1格表示200米，先求出体育场东600米的图上距离，再向北200米的图上距离，再根据“上北下南，左西右东”确定图上方向，在图中标出它的位置即可。 （3）根据利用数对表示物体位置的方法，结合行走路线解答即可。 【解答】（1）书店的位置用数对（2，3）表示； 银行（1，4）；公园（2，5）；商场（4，4）；邮局（5，1）。 （2） （2）600÷200＝3（格） 200÷200＝1（格） 小明家在体育场以东600米，再往北200米处，如图： （3）周末，小晨先去体育场，又去书店，再去商场，最后去公园。 【易错专练3】下面是小明绘制的学校附近各场所的位置分布情况图。 （1）体育馆的位置用数对表示，请用数对表示出下面场所的位置。 学校（  ，  ）银行（  ，  ） （2）小明家在学校以东200米，再往北300米处，请用“△”标出小明家的位置。 （3）星期日，小明的活动路线是，他这一天先后去了（    ），（    ），（    ），（    ）。 【答案】（1）0；0；7；7 （2）见详解 （3）公园；图书馆；超市；少年宫 【分析】（1）学校在第0列第0行，银行在第7列第7行。用数对表示位置时，表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。据此解答。 （2）每格长100米，200÷100＝2（格），300÷100＝3（格）。根据图上“上北下南，左西右东”的规定，从学校的位置向右移动2格，再向上移动3格即是小明家的位置。 （3）观察位置分布情况图可知，（1，8）表示第1列第8行，是公园的位置；（4，3）表示第4列第3行，是图书馆的位置；（5，1）表示第5列第1行，是超市；（9，2）表示第9列第2行，是少年宫的位置。据此解答。 【解答】通过分析可得： （1）学校（0，0），银行（7，7）； （2） （3）小明这一天先后去了公园，图书馆，超市，少年宫。 【易错专练4】 （1） 如果碰碰车的位置用（5，1）表示，请你表示出下面两个地点的位置。 跷跷板（    ）    跳跳床（    ） （2）如果过山车的位置是（1，3），秋千在跳跳床以东200米，再往北300米处。请你在图中标出过山车和秋千的位置。 （3）星期天，欢欢在这个游乐园的游玩路线是 （1，3）→（2，5）→（5，5）→（5，1），请你写出欢欢一天先后去了哪些地方。 【答案】（1）（2，5）；（3，2） （2）见详解 （3）过山车；跷跷板；秋千；碰碰车 【分析】（1）用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此用数对表示跷跷板和跳跳床的位置。 （2）以图上的“上北下南，左西右东”为准，图上每个小方格的长度相当于实际长度100米； 已知过山车的位置是（1，3），即过山车在第1列第3行，据此在图中标出过山车的位置； 秋千在跳跳床以东200米，即在跳跳床右边200÷100＝2格处，再往北300米处，即再往上走300÷100＝3格处，据此在图中标出秋千的位置。 （3）根据用数对表示位置的方法分别找出欢欢游玩路线先后去的地方。 【解答】（1）用数对表示位置：跷跷板（2，5），跳跳床（3，2）。 （2）如图： （3）欢欢一天先后去了：过山车→跷跷板→秋千→碰碰车。 【易错专练5】下图是某极地海洋世界的示意图（每个方格的边长表示200m），入口大厅的位置用数对表示是（5，1）。 （1）海洋餐厅北面600米处是（      ），用数对表示是（    ）。 （2）鲨鱼馆在海底寻宝南面200米处，鲨鱼馆的位置用数对表示是（    ）。在图中用“▲”标出鲨鱼管的位置。 （3）欢欢一家的游览路线是（1，3）→（3，4）→（4，3）→（7，1），请依次写出他们去过的地方。 _________→________→__________→__________ 【答案】（1）海洋广场；（7，4） （2）（1，2）；位置见详解 （3）海底寻宝→极地探秘→海豹岛→海洋餐厅 【分析】根据图上表示上北下南，左西右东。确定观测点，方向，根据每个方格的边长表示200m，确定实际距离的图上实际距离，找出相应地点。根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，据此表示各点位置或找出相应地点。据此解答。 【解答】（1）（格） 海洋餐厅北面600米处是海洋广场，用数对表示是（7，4）。 （2）（格） 鲨鱼馆在海底寻宝南面200米处，鲨鱼馆的位置用数对表示是（1，2）。在图中用“▲”标出鲨鱼管的位置如下图。 （3）据分析可知，欢欢一家的游览路线是海底寻宝→极地探秘→海豹岛→海洋餐厅 专题三小数除法 易错点1：在小数除法计算过程中除到某一位不够除时 ,应商0占位。 【易错专练1】用竖式计算。 14.49÷7      2.16÷12      2.1÷14      49.92÷24 【答案】2.07；0.18；0.15；2.08； 【分析】除数是整数的除法：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。 【解答】 14.49÷7＝2.07        2.16÷12＝0.18        2.1÷14＝0.15        49.92÷24＝2.08             【易错专练2】计算下面各题，并用乘法验算。 15.6÷12    328÷16    1.35÷27    0.646÷19 【答案】1.3；20.5；0.05；0.034 【分析】根据除数是整数的小数除法的计算方法：先按照整数除法的计算方法进行计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐，除到被除数的末尾仍有余数时，就在余数后面添0，继续除。 【解答】15.6÷12＝1.3                            328÷16＝20.5 验算：验算： 1.35÷27＝0.05                             0.646÷19＝0.034 验算： 验算： 【易错专练3】列竖式计算。 3.88÷4＝                    2.688÷48＝             26.52÷16＝ 【答案】0.97；0.056；1.6575 【分析】根据除数是整数的小数除法计算法则进行竖式计算，注意商的小数点要与被除数的小数点对齐。 【解答】3.88÷4＝0.97      2.688÷48＝0.056         26.52÷16＝1.6575 【易错专练4】先计算，再用乘法验算。 64.8÷18＝        13÷25＝         1.69÷26＝       3.9÷65＝ 【答案】3.6；0.52； 0.065；0.06 【分析】小数乘法，小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。 除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则进行计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除；然后根据被除数＝除数×商进行验算即可。 【解答】64.8÷18＝3.6                      13÷25＝0.52         验算：    验算： 1.69÷26＝0.065                                                   3.9÷65＝0.06 验算：    验算： 【易错专练5】竖式计算 5.32÷5                 4÷25                 35÷56 0.63÷9                  7.79÷95               43.8÷12 【答案】1.064；0.16；0.625 0.07；0.082；3.65 【分析】除数是整数的小数除法，按照整数除法进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐，被除数的数用完时，在被除数的末尾添“0”继续除。 【解答】5.32÷5＝1.064 4÷25＝0.16       35÷56＝0.625                      0.63÷9＝0.07           7.79÷95＝0.082      43.8÷12＝3.65                        易错点2：小数除以整数时，商的小数点定位错误​ 【易错专练1】列竖式计算，带△的要验算。 95÷25＝        25.2÷8＝        △1.272÷24＝ 【答案】3.8；3.15；0.053 【分析】除数是整数的小数除法，可以按照整数除法的计算方法计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐。除法竖式可以用乘法验算。 【解答】      95÷25=3.8                         25.2÷8=3.15                                    1.272÷24=0.053   验算： 【易错专练2】列竖式计算。 95.6÷4＝        25.68÷6＝        28.21÷13＝        22.5÷15＝ 【答案】23.9；4.28；2.17；1.5 【分析】除数是整数的小数除法，可以按照整数除法的计算方法计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐。 【解答】    95.6÷4=23.9                     25.68÷6=4.28                                               28.21÷13=2.17                               22.5÷15=1.5                              【易错专练3】列竖式计算下面各题。 9.6÷4＝             25.2÷6＝             34.5÷15＝ 【答案】2.4；4.2；2.3 【分析】根据除数是整数的小数除法的运算法则，除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除。据此计算即可。 【解答】9.6÷4＝2.4             25.2÷6＝4.2              34.5÷15＝2.3 【易错专练4】列竖式计算。 25.5÷5＝                40.5÷5＝ 39.6÷11＝             79.26÷6＝ 【答案】5.1；8.1； 3.6；13.21 【分析】除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则进行计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除；据此解答。 【解答】25.5÷5＝5.1                40.5÷5＝8.1             39.6÷11＝3.6               79.26÷6＝13.21            【易错专练5】列竖式计算。 47.2÷4＝       56.5÷5＝       38.4÷6＝ 【答案】11.8；11.3；6.4 【分析】小数除以整数，按整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果有余数，要添“0”继续除。 【解答】47.2÷4＝11.8       56.5÷5＝11.3       38.4÷6＝6.4               易错点3：被除数和除数的小数点移动的位数要相同。 【易错专练1】列竖式计算。 50.4÷0.28＝        0.7÷0.035＝        4÷12.5＝        29.4÷0.28＝ 【答案】180；20；0.32；105 【分析】小数除法法则:先移动除数的小数点，使它变成整数。然后按照除数是整数的除法进行计算， 除数的小数点向右移动几位， 被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。 【解答】50.4÷0.28＝180                         0.7÷0.035＝20                             4÷12.5＝0.32         29.4÷0.28＝105                                  【易错专练2】列竖式计算。 18.6÷0.3＝        4.14÷0.23＝        17.5÷0.7＝        67.6÷2.6＝ 【答案】62；18；25；26 【分析】除数是小数的除法的计算方法：先把除数转化成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动相应的位数，再根据除数是整数的小数除法计算方法即可，最后商的小数点要和被除数移动后的小数点对齐。 【解答】18.6÷0.3=62                       4.14÷0.23=18                                   17.5÷0.7=25                                  67.6÷2.6=26                                     【易错专练3】竖式计算，最后一题要验算。 45.6÷6＝                        ★9.36÷5.2＝ 【答案】7.6；1.8 【分析】除数是整数的小数除法法则：按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面补零，再继续除。 除数是小数的小数除法法则：先看除数中有几位小数，就把被除数的小数点向右移动几位，数位不够的用零补足；然后按照除数是整数的小数除法来除 。 除法的验算可用商乘除数，所得的积与被除数相等，则正确。 【解答】45.6÷6＝7.6                       9.36÷5.2＝1.8                            验算： 【易错专练4】用竖式计算。（带★要验算） 84÷24 ＝        4.68÷1.3＝         ★23.8÷0.17＝ 【答案】3.5；3.6；140 【分析】根据除数是小数的除法的计算方法，先把除数转化成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动相应的位数，再根据除数是整数的小数除法计算方法即可，最后商的小数点要和被除数移动后的小数点对齐。 除数是整数的小数除法的计算方法：根据整数除法的计算方法进行计算，商的小数点和被除数的小数点对齐，除法的验算用乘法，用商×除数＝被除数进行验算。 【解答】84÷24＝3.5             4.68÷1.3＝3.6           23.8÷0.17＝140           验算： 【易错专练5】列竖式计算，带☆号验算。 ☆6.592÷3.2＝            70÷5.6＝ 【答案】2.06；12.5 【分析】小数除法法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。根据乘法和除法互为逆运算的关系，把除数和商相乘，如果乘得的积与被除数相同，那么原计算正确。 【解答】☆6.592÷3.2＝2.06            70÷5.6＝12.5 验算：       易错点4：循环小数的表示方法错误或认识错误。 【易错专练1】6÷11的商是一个（ ）小数，用简便形式写是（ ），保留两位小数约是（ ）。 【答案】循环 0.55 【分析】小数除以整数，按整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果有余数，要添“0”继续除。循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“· ”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。保留两位小数看千分位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一。 【解答】6÷11＝0.5454… 0.5454…＝≈0.55 6÷11的商是一个循环小数，用简便形式写是，保留两位小数约是0.55。 【易错专练2】循环小数2.747474…可以简写成（ ），这个数保留两位小数是（ ）。 【答案】 2.75 【分析】写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 按“四舍五入”规则找到要求保留的数位，看下一位；如果下一位的数字大于或等于5，要往前进一；如果下一位的数字小于5，要舍去。 【解答】2.747474…＝ ≈2.75 循环小数2.747474…可以简写成，这个数保留两位小数是2.75。 【易错专练3】用循环小数的简便形式表示40÷55的商是（ ），保留两位小数是（ ），保留三位小数是（ ）。 【答案】 0.73 0.727 【分析】题目要求将40÷55的商表示为循环小数，并按要求保留小数位数。首先进行除法运算得到循环小数0.7272…，循环节为“72”；然后用循环小数简便记法表示，保留两位小数时千分位7需五入，保留三位小数时万分位2需四舍。 【解答】40÷55＝0.7272……＝ 保留两位小数：≈0.73 保留三位小数：≈0.727 40÷55的商是，保留两位小数是0.73，保留三位小数是0.727。 【易错专练4】循环小数64.864864…用简便方法表示是（ ），保留一位小数约是（ ），保留两位小数约是（ ）。 【答案】 64.9 64.86 【分析】循环小数的简便写法：写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。保留几位小数，就看保留小数的下一位小数，再根据“四舍五入”法进行解答。 【解答】64.864864…＝ 64.864864…≈64.9 64.864864…≈64.86 循环小数64.864864…用简便方法表示是，保留一位小数约是64.9，保留两位小数约是64.86。 【易错专练5】14÷6的商是循环小数，用简便方法可以记作（ ），保留两位小数是（ ）。 【答案】 2.33 【分析】除数是整数的小数除法，与整数除法一样。都是按照整数除法的法则去除，除到哪一位商就写在那一位的上面；商的小数点要和被除数的小数点对齐；遇到整数部分不够商“1”就商“0”；如果除到被除数的末尾仍有余数，添0继续除。除不尽的保留两位小数，即除到小数点后第三位，看小数点后面第三位的数字是几，根据“四舍五入”法取近似数。写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 【解答】14÷6＝2.33…＝ 14÷6≈2.33 14÷6的商是循环小数，用简便方法可以记作，保留两位小数是2.33。 易错点5：取近似数时,要根据实际情况采用“进一法”或“去尾法”。 【易错专练1】科学课上，为了制作火山爆发的模型，同学们准备了小苏打、面粉、红墨水和水的浆状混合物6.6千克，将它倒进小瓶子里，每个瓶子最多可装0.5千克，需要多少个这样的瓶子？ 【答案】14个 【分析】最后无论剩下多少混合物，都得需要一个瓶子来装，混合物的质量÷每个瓶子装的质量，结果用进一法保留近似数即可。 【解答】6.6÷0.5≈14（个） 答：需要14个这样的瓶子。 【易错专练2】一堆货物共35吨，用载重4.5吨的货车运送，至少几次才能运完？ 【答案】8次 【分析】求至少几次才能运完，就是求35里有多少个4.5，用除法计算。计算结果不是整数时，用进一法保留整数，因为无论余下多少吨都要再运一次。据此解答。 【解答】35÷4.5≈8（次） 答：至少8次才能运完。 【易错专练3】李师傅买回50米红绸布为学生做红领巾，计划每条红领巾用布0.21米，实际每条红领巾比计划节约用布0.02米。实际比计划多做红领巾多少条？ 【答案】25条 【分析】先用50÷0.21求出计划做红领巾的条数，商采用“去尾法”保留到整数；用0.21－0.02＝0.19米求出实际每条红领巾用布的米数，再用50米除以0.19求出红领巾实际的条数，商采用“去尾法”保留到整数；最后用红领巾实际的数量减去计划的数量即可。 【解答】50÷0.21≈238（条）     50÷（0.21－0.02） ＝50÷0.19 ≈263（条） 263－238＝25（条） 答：实际比计划多做红领巾25条。 【易错专练4】王叔叔业余时间喜欢编鸟笼，他有一根70米长的铁丝，编一个鸟笼需要10.5米铁丝，最多能编多少个这样的鸟笼？ 【答案】6个 【分析】最后无论剩下多少铁丝，只要不够一个鸟笼的用量，就无法编一个鸟笼，铁丝长度÷编一个鸟笼需要的长度，结果用去尾法保留近似数即可。 【解答】70÷10.5≈6（个） 答：最多能编6个这样的鸟笼。 【易错专练5】王叔叔制作工艺品鹅（如下图），他用12.6米长的钢丝最多能制作多少只工艺品鹅？ 【答案】16只 【分析】求最多能做多少根就是求12.6里面有多少个0.75，用除法计算。计算结果不是整数时，用去尾法保留整数，因为无论余下多长的绳子都不够再制作1只；据此解答。 【解答】12.6÷0.75≈16（只） 答：用12.6米长的钢丝最多能制作16只工艺品鹅。 易错点6：逆向思维问题（已知总费用求数量）。 【易错专练1】为了方便市民行车出行方便，政府规划建造了很多公共停车场。 停车场收费标准 1小时内 收费6元 超过1小时部分 每小时收费2.5元（不足小时按1小时计算） （1）陈叔叔停车193分钟，应交费多少元？ （2）王阿姨交了停车费18.5元，她在这个停车场最多停了几小时？ 【答案】（1）13.5元 （2）6小时 【分析】（1）根据1小时＝60分钟，单位小变大除以进率，因为不足小时按1小时计算，结果用进一法保留整数，先求出超出1小时的部分，乘对应收费标准，再加上1小时内的收费即可。 （2）王阿姨交的停车费先减去1小时内的收费，求出超出1小时的费用，除以对应收费标准，是超出1小时的时间，再加上1小时即可。 【解答】（1）193÷60≈4（小时） （4－1）×2.5＋6 ＝3×2.5＋6 ＝7.5＋6 ＝13.5（元） 答：应交费13.5元。 （2）（18.5－6）÷2.5＋1 ＝12.5÷2.5＋1 ＝5＋1 ＝6（小时） 答：她在这个停车场最多停了6小时。 【易错专练2】目前，能源紧缺和环境污染已成为制约经济社会可持续发展的主要矛盾。对居民用电实行阶梯电价政策，是许多能源紧缺国家为应对能源价格高涨、抑制能源不合理消耗而采取的重要措施之一。某市“阶梯电价”收费标准见表： 月用电量/千瓦时 180及以下 181～260 261及以上 每千瓦时电价/元 0.56 0.61 0.68 李叔叔8月支付电费113元，他家这个月一共用电多少千瓦时？ 【答案】200千瓦时 【分析】根据题意得：先计算出用电180千瓦时的电价，即180×0.56＝100.8（元），即用电量超过180千瓦时；再根据用电量181～260千瓦时，单价为0.61元，超过部分再乘0.61，据此可得出答案。 【解答】用电180千瓦时的电费为：180×0.56＝100.8（元） 总用电量为： （113－100.8）÷0.61＋180 ＝12.2÷0.61＋180 ＝20＋180 ＝200（千瓦时） 答：他家这个月一共用电200千瓦时。 【易错专练3】代驾是指当车主不能自行开车时，由专业驾驶人员代替车主驾驶汽车，将其送到指定地点，并收取一定费用的行为。某平台日常代驾计费标准如下表。 时段 8千米及以内 超过8千米的部分 备注 6：00—21：59 35元 3.5元/千米 行程不足1千米，按1千米计算 22：00—次日6：59 58元 4.5元/千米 叔叔参加聚会22：30结束时，在该平台预约了代驾服务。到达目的地后，他付了89.5元代驾费。这次代驾服务的行驶里程最多是多少千米？ 【答案】15千米 【分析】因为是22：30结束，所以要按表格22：00—次日6：59时间计算；即8千米及以内58元，用付的钱数－58元，求出超出部分需要付的钱数，再用超出部分付出的钱数÷4.5，求出超出8千米以及内的路程，再加上8千米，即可解答。 【解答】（89.5－58）÷4.5＋8 ＝31.5÷4.5＋8 ＝7＋8 ＝15（千米） 答：这次代驾服务的行驶里程最多是15千米。 【易错专练4】某市居民用电按阶梯收费，收费标准如下表。 分档 户月用电量（千瓦时） 电价标准（元/千瓦时） 第一档 1~240 0.49 第二档 241~400 0.53 第三档 400以上 0.79 （1）小明家上月用电440千瓦时，电费是多少？ （2）小聪家上月电费160元，用电多少千瓦时？ 【答案】（1）234元 （2）320千瓦时 【分析】（1）440＞400，小明家是三个档；先用240×0.49＝117.6元，求出第一档电费的钱数；用400－240，求出第二档用电量，再用第二档用电量×0.53，求出第二档电费的钱数，再用440－400，求出第三档的用电量，再用第三档的用电量×0.79，求出第三档电费的钱数，再把它们相加，即可求出电费。 （2）用240×0.49，求出第一档电费的钱数，再和160元比较，如果比160元小；则用（400－240）×0.53，求出第二档电费的钱数；再把第一档和第二档的电费钱数相加，再和小聪家上月电费比较，如果第一档和第二档的电费钱数大于小明家上月电费的钱数，用总电费减去第一档电费的钱数，求出第二档的电费钱数，再除以第二档电价标准，求出第二档用电量，再加上第一档用电量，即可求出小明家上月用电量；如果第一档和第二档的电费钱数小于小明家上月电费的钱数，用总钱数－第一档电费的钱数－第二档电费的钱数，求出第三档电费的钱数，再用第三档电费的钱数除以第三档电价标准，求出第三档用电量，再加上第一档、第二档的用电量，即可解答。 【解答】（1）440＞400，小明家上个月应是三个档。 240×0.49＋（400－240）×0.53＋（440－400）×0.79 ＝117.6＋160×0.53＋40×0.79 ＝117.6＋84.8＋31.6 ＝234（元） 答：电费是234元。 （2）240×0.49＝117.6（元） （400－240）×0.53 ＝160×0.53 ＝84.8 117.6＋84.8＝202.4（元） 202.4＞160，小聪家上月应是2个档。 （160－117.6）÷0.53＋240 ＝42.4÷0.53＋240 ＝80＋240 ＝320（千瓦时） 答：用电320千瓦时。 【易错专练5】某区自来水公司为鼓励节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费。如表所示是某区用水收费标准： 用水量（吨/户） 价格（元/吨） 10吨以下（包括10吨） 2.4 10～20吨（包括20吨） 3.6 20吨以上 4.8 （1）东东家十月份一共用水12吨，需要付多少元水费？ （2）乐乐家十月份一共用水24吨，需要付多少元水费？ （3）小丽家十月份共付水费45.6元，那么小丽家十月份用水多少吨？ 【答案】（1）31.2 （2）79.2元 （3）16吨 【分析】（1）根据题意可知，东东家的水费包含两部分，一部分用10吨以下（包括10吨）的水费，每吨2.4元，2.4×10即可，另一部分是10～20吨（包括20吨）的12－10＝2吨的水费，每吨3.6元，用2×3.6即可，两部分相加就是需要付的水费。 （2）根据题意可知，乐乐家的水费包含三部分，一部分用10吨以下（包括10吨）的水费，每吨2.4元，2.4×10即可，一部分是10～20吨（包括20吨）的10吨的水费，每吨3.6元，用10×3.6即可，第三部分是20吨以上的24－20＝4吨的水费，每吨4.8元，用4×4.8即可，三部分相加就是需要付的水费。 （3）根据题意可知，用10吨以下（包括10吨）的水费是2.4×10＝24元，10～20吨（包括20吨）水的费用是10×3.6＝36元，这两部分总共24＋36＝60元，由此判断小丽家水费45.6元没到20吨的费用，所以用45.6－24＝21.6元求出超过10吨的水费，再用21.6÷3.6＝6吨求出超过的吨数，再加上10吨，就是小丽家用水吨数。 【解答】（1）10×2.4＋（12－10）×3.6 ＝24＋2×3.6 ＝24＋7.2 ＝31.2（元） 答：需要付31.2元水费。 （2）10×2.4＋（20－10）×3.6＋（24－20）×4.8 ＝24＋10×3.6＋4×4.8 ＝24＋36＋19.2 ＝60＋19.2 ＝79.2（元） 答：需要付79.2元水费。 （3）（45.6－10×2.4）÷3.6＋10 ＝（45.6－24）÷3.6＋10 ＝21.6÷3.6＋10 ＝6＋10 ＝16（吨） 答：小丽家十月份用水16吨。 专题四可能性 易错点1：对“可能”、“一定”、“不可能”的理解和使用不准确。 【易错专练1】小梅、乐乐、晓晓各插了一个花篮。小梅说：“我的花篮里找不到兰花。”乐乐说：“你会在我的花篮里找到百合。”晓晓说：“在我的花篮中拿出的都是玫瑰。”根据她们的对话判断，小梅的花篮中（ ）有兰花，乐乐的花篮中（ ）有兰花，晓晓的花篮中（ ）有玫瑰。（括号里填“一定”“可能”或“不可能”） 【答案】不可能 可能 一定 【分析】根据三人的话语，我们判断小梅没有兰花；乐乐有百合花，还可能有其他的花；晓晓的花都是玫瑰，据此解答。 【解答】根据分析，小梅的花篮中不可能有兰花，乐乐的花篮中可能有兰花，晓晓的花篮中一定有玫瑰。 【易错专练2】选择“一定”“可能”或“不可能”填在下面的括号里。 □.5×□.8的积（ ）是两位小数。 □.9÷□.3的商（ ）是整数。 【答案】不可能 可能 【分析】积的位数和因数位数的关系：两个小数相乘，所得的积的小数位数，等于两个因数中小数的位数之和，末尾有0的除外；在□.5×□.8中，两个因数共有两位小数，但十分位上的“5”和“8”相乘时，末位为0，需省略不写，所以积一定是一位小数。 根据除数是小数的小数除法的计算法则，先举例计算出□.9÷□.3的商，再判断即可。 【解答】□.5×□.8的积一定是一位小数，不可能是两位小数； 0.9÷0.3＝3 1.9÷0.3≈6.333… 所以□.9÷□.3的商可能是整数。 【易错专练3】用“可能”“一定”“不可能”填空。 （1）今天星期日，明天（ ）是星期一。 （2）小红的年龄（ ）比她妈妈的年龄大。 （3）下周末（ ）下雨。 【答案】（1）一定 （2）不可能 （3）可能 【分析】无论在什么情况下，都会发生的事件，是“一定”会发生的事件。在任何情况下，都不会发生的事件，是“不可能”事件。在某种情况下会发生，而在其他情况下不会发生的事件，是“可能”事件。据此解答。 【解答】（1）今天星期日，明天一定是星期一。 （2）小红的年龄不可能比她妈妈的年龄大。 （3）下周末可能下雨。 【易错专练4】我会选。 （1）可能摸出白色球的是（ ）号。 （2）可能摸出黑色球的是（ ）号。 （3）一定能摸出白色球的是（ ）号。 【答案】（1）③ （2）③ （3）② 【分析】盒子里全是黑球，一定摸到黑球；盒子里全是白球，一定摸到白球；盒子里有黑球也有白球，可能摸出白球也可能摸出黑球。据此解答。 【解答】（1）可能摸出白色球的是③号。 （2）可能摸出黑色球的是③号。 （3）一定能摸出白色球的是②号 【易错专练5】火眼金睛你最棒。（用数字“1”表示一定发生，“0”表示不可能发生） （1）玻璃杯从很高的地方落在水泥地面上，这玻璃杯破碎的可能性为（ ）。 （2）太阳每天早晨升起的可能性为（ ）。 （3）在深圳，一年四季都下雪的可能性为（ ）。 （4）一粒有1~6共六个数字的骰子，随便怎么投掷，出现数字“7”的可能性为（ ）。 【答案】（1）1（2）1（3）0（4）0 【分析】（1）玻璃杯从很高的地方落在水泥地面上，通常情况下会破碎，所以玻璃杯破碎的可能性为1。 （2）太阳每天都会升起，这是自然规律，是一定会发生的，所以太阳每天早晨升起的可能性为1。 （3）深圳地处亚热带，气候温暖，一年四季都下雪是不可能的，所以在深圳一年四季都下雪的可能性为0。 （4）一粒有1到6共六个数字的骰子，骰子上没有数字“7”，所以随便怎么投掷，出现数字“7”的可能性为0。 据此解答。 【解答】（1）玻璃杯从很高的地方落在水泥地面上，这玻璃杯破碎的可能性为1。 （2）太阳每天早晨升起的可能性为1。 （3）在深圳，一年四季都下雪的可能性为0。 （4）一粒有1~6共六个数字的骰子，随便怎么投掷，出现数字“7”的可能性为0。 易错点2：混淆“可能性大小”与实际操作的“不确定性”。 【易错专练1】一个不透明的盒子里有8个白球和2个黑球，小花连续摸了5次都是白球（每次摸完后把球放回去摇匀），再摸一次，（    ）。 A．摸到黑球的可能性大 B．摸到白球的可能性大 C．一定摸到白球 D．一定摸到黑球 【答案】B 【分析】比较两种颜色球的数量，哪种颜色球的数量多，摸到哪种颜色球的可能性就大；只要盒子里有的球，每摸一次都有可能摸到，只是摸到的可能性有大有小，据此分析。 【解答】A．8＞2，摸到白球的可能性大，选项说法错误； B．8＞2，摸到白球的可能性大，选项说法正确； C．可能摸到白球；选项说法错误； D．可能摸到黑球，选项说法错误。 再摸一次，摸到白球的可能性大。 故答案为：B 【易错专练2】肖老师在课堂上组织摸球活动，具体活动情况如下：在不透明箱子中放入若干只有颜色不同，其它完全相同的白球和红球，前10次摸球的结果记录表如下。则下面描述正确的是（    ）。 种类 白球 红球 次数 5 5 A．红球数一定和白球同样多 B．红球不可能和白球同样多 C．再摸一次可能会摸到白球 D．再摸一次一定能摸到红球 【答案】C 【分析】比较摸出来的白球和红球的次数，摸出来的次数相同，箱子中白球和红球的数量可能相同，也可能不相同；再摸一次，只要箱子里有的颜色都有可能摸到，据此分析。 【解答】前10次摸球，白球摸出5次，红球摸出5次。 A．红球数可能和白球同样多，选项说法错误； B．红球可能和白球同样多，选项说法错误； C．再摸一次可能会摸到白球，说法正确； D．再摸一次可能摸到红球，选项说法错误。 描述正确的是再摸一次可能会摸到白球。 故答案为：C 【易错专练3】从下面盒子中任意摸出一个球，下面说法正确的是（    ）。 A．一定摸到黑球 B．不可能摸到白球 C．摸到黑球的可能性大 D．摸到白球的可能性大 【答案】C 【分析】从图中可以看出，盒子里有7个黑球和1个白球（黑球数量明显多于白球数量）。事件发生的可能性大小与物体数量有关，在总数中所占数量越多，发生的可能性越大；所占数量越少，发生的可能性越小。“一定”“不可能”是确定性事件的描述，“可能性大”“可能性小”是不确定性事件的描述。据此分析各选项，进而确定正确答案。 【解答】A．盒子里有白球，所以不是一定摸到黑球，还有摸到白球的可能。 B．盒子里有白球，所以有可能摸到白球，不是不可能摸到。 C．因为黑球数量比白球多，所以摸到黑球的可能性大。 D．白球数量少，摸到白球的可能性小，不是可能性大。 所以选项C中“摸到黑球的可能性大”表述正确。 故答案为：C 【易错专练4】8个小组研究事件发生的可能性，设计了如下活动：在装有红、黄两种颜色小球的盒子里摸球，每个小组盒子里装的球都一样。每次摸出一个球，记录下颜色，再放回摇匀，重复20次，结果如下。 小组 1 2 3 4 5 6 7 8 合计 摸出红球的次数 15 16 12 18 15 16 14 17 123 摸出黄球的次数 5 4 8 2 5 4 6 3 37 下面是四位同学根据统计结果作出的推断，说法错误的是（    ）。 A．再接着摸一次，可能摸出红球，也可能摸出黄球。 B．红球个数一定比黄球多。 C．红球个数可能比黄球多。 D．如果每个小组再这样重复摸20次，那么摸出黄球的合计次数可能是40次。 【答案】B 【分析】A．盒子里只要有的球，每次摸都有可能摸到； B．摸出的红球次数比较多，有可能是极端情况，不能说明盒子里的红球个数一定比黄球多； C．比较8个小组摸出的红球和黄球的次数，一般情况，摸出的哪种球的数量多，盒子里哪种球的个数可能就多； D．根据现在的次数是37次，每个小组再这样重复摸20次，摸出黄球的次数可能增加，即摸出黄球的合计次数有可能达到40次。 【解答】A．再接着摸一次，可能摸出红球，也可能摸出黄球，说法正确。 B．红球个数可能比黄球多，选项说法错误。 C．红球个数可能比黄球多，说法正确。 D．如果每个小组再这样重复摸20次，那么摸出黄球的合计次数可能是40次，说法正确。 说法错误的是红球个数一定比黄球多。 故答案为：B 【易错专练5】聪聪玩飞镖，如图所示（单位：分）。如果她第一次投中4分，第二次投中2分，第三次投中3分，她要投第四次，下面说法正确的是（    ）。 A．一定能投中4分 B．不可能投中4分 C．一定能投中1分 D．可能投中2分 【答案】D 【分析】玩飞镖，投中几分，与投的次数无关，因此第四次投出后，投中几分是不确定的，依此解答。 【解答】根据分析可知，她投的第四次，可能投中1分，也可能投中2分，也可能投中3分，也可能投4分。 故答案为：D 易错点3：事件发生的可能性的大小与数量有关,个体在总体中所占数量越多,可 能性越大。 【易错专练1】袋里装了1个白球、3个黑球和6个红球，小红从中任意摸出一个球，摸到（ ）球的可能性最大，摸到（ ）球的可能性最小。 【答案】红 白 【分析】根据可能性大小的判断方法，比较盒子里白球、黑球、红球的数量多少，数量最多的，摸到的可能性最大；反之，数量最少的，摸到的可能性就最小。 【解答】6＞3＞1 红球的数量最多，白球的数量最少； 所以，小红从中任意摸出一个球，摸到（红）球的可能性最大，摸到（白）球的可能性最小。 【易错专练2】叶铭抛掷一个小正方体，这个小正方体各个面上写着红、蓝、红、黄、蓝、红，小正方体落地后，朝上一面的汉字可能出现的情况有（ ）种，掷到（ ）字的可能性最大。 【答案】3/三 红 【分析】正方体各面有几种字，就有几种可能出现的结果；比较各种字的数量，哪个字的数量多，掷到哪个字的可能性就大，据此分析。 【解答】小正方体有红、蓝、黄3种字，红有3个，蓝有2个，黄有1个，3＞2＞1，朝上一面的汉字可能出现的情况有3种，掷到红字的可能性最大。 【易错专练3】国庆期间，超市举行抽奖有礼活动。有两个盒子，每个盒子里都放着1、2、3、4、5、6六张卡片，从两个盒子中各抽一张，所得数字之和有（ ）种可能。如果你是顾客，你希望超市选择和是（ ）来作为一等奖。 【答案】11 7 【分析】先确定1个盒子，这个盒子上的每个数字都可与另一个盒子上的数字进行搭配，据此列出所有可能的结果，比较各种和的数量，哪个和的数量最多，抽到哪个和的可能性最大，最容易中奖，据此分析。 【解答】1＋1＝2、1＋2＝3、1＋3＝4、1＋4＝5、1＋5＝6、1＋6＝7 2＋1＝3、2＋2＝4、2＋3＝5、2＋4＝6、2＋5＝7、2＋6＝8 3＋1＝4、3＋2＝5、3＋3＝6、3＋4＝7、3＋5＝8、3＋6＝9 4＋1＝5、4＋2＝6、4＋3＝7、4＋4＝8、4＋5＝9、4＋6＝10 5＋1＝6、5＋2＝7、5＋3＝8、5＋4＝9、5＋5＝10、5＋6＝11 6＋1＝7、6＋2＝8、6＋3＝9、6＋4＝10、6＋5＝11、6＋6＝12 从两个盒子中各抽一张，所得数字之和有2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，共11种，其中2有1个，3有2个，4有3个，5有4个，6有5个，7有6个，8有5个，9有4个，10有3个，11有2个，12有1个，数字之和是7的最多。 所得数字之和有11种可能。选择和是7来作为一等奖。 【易错专练4】如图，有①、②、③、④四个转盘，悟空和八戒玩转盘游戏。游戏规则是：转动一次转盘，指针停在灰色区域，悟空赢，停在白色区域，八戒赢。完成下面的问题。 （1）要让八戒赢的可能性大，应该在（ ）转盘上玩。 （2）要让悟空赢的可能性大，应该在（ ）转盘上玩。 【答案】（1）① （2）④ 【分析】转盘上白色区域的面积越大，八戒赢的可能性越大；转盘上灰色区域的面积越大，悟空赢的可能性越大；转盘上两种颜色的区域面积相等时，他们赢的可能性大小相同，据此解答。 【解答】（1）要让八戒赢的可能性大，应该在①转盘上玩，因为①转盘的白色区域面积大于灰色区域面积。 （2）要让悟空赢的可能性大，应该在④转盘上玩，因为④转盘的灰色区域面积大于白色区域面积。 【易错专练5】元旦联欢会上有一个闯关游戏，将5张画有大象、老虎、牡丹花、蜻蜓、蝴蝶的卡片任意摆放，有图的那面朝下，从中任意翻出一张，如果翻出的图是地上跑的动物，男生赢；如果翻出的图是植物，女生赢；如果翻出的图是昆虫，老师赢。（ ）赢的可能性最小，（ ）和（ ）赢的可能性相等。 【答案】女生 男生 老师 【分析】根据每类卡数量的多少，直接判断可能性的大小即可；哪种类型卡的数量越多，摸到的可能性就越大，据此解答即可。 【解答】由分析可得 大象、老虎、牡丹花、蜻蜓、蝴蝶5张卡片中，地上跑的动物有大象和老虎2张卡片，昆虫有蜻蜓和蝴蝶2张卡片，植物有牡丹花1张卡片。 2＞1，所以摸到植物卡片的人赢的可能性最小，也就是女生赢的可能性最小。 2＝2，所以摸到动物和昆虫卡片的可能性一样，也就是男生和老师赢的可能性一样大。 易错点4：可能性的实际应用中错误。 【易错专练1】乐福超市迎新促销设计了集“福”活动，集福箱中有一些大小、形状相同的福卡，要使摸到“①爱国福”的可能性最大，摸到“②敬业福”的可能性最小，可能摸到“③和谐福”，不可能摸到“④友善福”。如果集福箱至少装6张福卡，分别应装几张？请你写一写（写序号）。 【答案】 【分析】因为不可能摸到“④友善福”，根据可能性的概念，这意味着“④友善福”的数量为0张；由于要使摸到“②敬业福”的可能性最小，在集福箱至少装6张福卡的情况下，“②敬业福”的数量应最少，所以可以设“②敬业福”装1张；因为要使摸到“①爱国福”的可能性最大，所以“③和谐福”的数量不能太多。在已经确定“④友善福”为0张，“②敬业福”为1张的情况下，设“③和谐福”装2张是比较合理的。据此解答即可。 【解答】如图： 【易错专练2】十字路口红绿灯的时间设置为：红灯60秒，绿灯30秒，黄灯3秒。当你随意经过该路口时，遇到（ ）灯的可能性最大。 【答案】红 【分析】根据可能性大小的判断方法，比较红灯、绿灯、黄灯的时间长短，时间最长的，遇到的可能性最大；反之，时间最短的，遇到的可能性就最小。 【解答】60＞30＞3 当你随意经过该路口时，遇到红灯的可能性最大。 【易错专练3】一个箱子里装有除颜色外其他都相同的8个红球和8个白球，每次拿出一个球（不放回），前3次情况如表所示，第4次拿到（ ）的可能性比较大。 次序 第1次 第2次 第3次 颜色 红 红 白 【答案】白 【分析】根据题意可知，每次拿出一个球，不放回去，第1次、第2次各拿出1个红球，红球还剩8－2＝6个，第3次拿出白球，白球还剩8－1＝7个；再比较箱子里剩下的两种球的数量，哪种球剩下的的数量多，摸到哪种球的可能性就大，反之，哪种球剩下的数量少，摸到的可能性就小，据此解答。 【解答】红球： 8－1×2 ＝8－2 ＝6（个） 白球：8－1＝7（个） 6＜7，摸到的白球的可能性大。 一个箱子里装有除颜色外其他都相同的8个红球和8个白球，每次拿出一个球（不放回），前3次情况如表所示，第4次拿到白的可能性比较大。 【易错专练4】一个袋子里面放有16个球，其中有3个红球，2个黄球，8个白球和3个黑球，任意摸一次，摸到（ ）球的可能性最大，摸到（ ）球的可能性最小，摸到（ ）球和（ ）球的可能性一样大，在袋子里（ ）（填“可能”或“不可能”）摸到蓝球。 【答案】白 黄 红 黑 不可能 【分析】只有颜色不同的小球，数量越多被摸到的可能性越大；数量越少被摸到的可能性越小；数量相同被摸到的可能性相同；没有蓝色的小球是不可能摸到这个颜色的小球的。 【解答】8＞3＞2 一个袋子里面放有16个球，其中有3个红球，2个黄球，8个白球和3个黑球，任意摸一次，摸到白球的可能性最大，摸到黄球的可能性最小，摸到红球和黑球的可能性一样大，在袋子里不可能摸到蓝球。 【易错专练5】某商场设计了两个可以转动的转盘，它们每次转动停下后，都有两个数正好相对（如下图）。 获奖规则 三等奖可能性最大，二等奖次之，一等奖可能性最小。 （1）相对两个数的和是6的情况共有（       ）种。 （2）根据转盘上相对两个数和的不同及“获奖规则”，请你为商场设计奖项，将下面表格填写完整。 相对两个数的和 奖项 奖品 一等奖 笔记本电脑 二等奖 台灯 三等奖 签字笔 【答案】（1）5 （2）2，10，3，9 4，5，6，7，8 【分析】（1）列举出相对两个数的和是6的所有情况，数一数即可。 （2）列举出转盘上相对两个数的和的所有情况，把出现次数最少的作为一等奖，出现次数较少的作为二等奖，出现次数多的作为三等奖，据此填表。 【解答】（1）1＋5＝6，2＋4＝6，3＋3＝6，4＋2＝6，5＋1＝6； 相对两个数的和是6的情况共有5种。 （2）和为2的有1种：1＋1＝2 和为3的有2种：1＋2＝3，2＋1＝3 和为4的有3种：1＋3＝4，2＋2＝4，3＋1＝4 和为5的有4种：1＋4＝5，2＋3＝5，3＋2＝5，4＋1＝5 和为6的有5种：1＋5＝6，2＋4＝6，3＋3＝6，4＋2＝6，5＋1＝6 和为7的有4种：2＋5＝7，3＋4＝7，4＋3＝7，5＋2＝7 和为8的有3种：3＋5＝8，4＋4＝8，5＋3＝8 和为9的有2种：4＋5＝9，5＋4＝9 和为10的有1种：5＋5＝10 如下表： 相对两个数的和 奖项 奖品 2，10 一等奖 笔记本电脑 3，9 二等奖 台灯 4，5，6，7，8 三等奖 签字笔 （答案不唯一） 专题五简易方程 易错点1：用字母表示数的书写不规范 【易错专练1】的4.5倍与的和可以表示为（ ）。 【答案】 【分析】用与倍数4.5作乘积，再加上即可表示。 【解答】4.5×m＋n＝4.5m＋n 的4.5倍与的和可以表示为。 【易错专练2】一袋面粉30.5元，a袋面粉需要花（ ）元钱；b元钱能买（ ）袋面粉。 【答案】30.5a b÷30.5 【分析】一袋面粉30.5元，a袋面粉需要花a个30.5元，根据单价×数量＝总价，用a×30.5即可；根据总价÷单价＝数量，用总价b元除以单价30.5即可； 【解答】a×30.5＝30.5a（元） b÷30.5＝b÷30.5（袋） 一袋面粉30.5元，a袋面粉需要花30.5a元钱；b元钱能买b÷30.5袋面粉。 【易错专练3】用含字母的式子表示下表里的未知量。 速度（米/分） 时间（分） 路程（米） v 3 （    ） 6 （    ） s 【答案】见详解 【分析】根据路程＝速度×时间，时间＝路程÷速度，解答即可。 【解答】（米） 分 速度（米/分） 时间（分） 路程（米） 3 （    ） 6 （    ） 【易错专练4】小明有一本他特别喜欢看的故事书，这本书有页，小明每天看5页，看了天，用式子表示还没有看的页数是（ ）页。 【答案】 【分析】用小明每天看书的页数5页乘看书的天数天即可求出a天一共看的页数，用书的总页数减去已经看的页数即可表示没看的页数。 【解答】（页），即还没有看的页数是页。 【易错专练5】高铁G7541从上海驶往杭州，每小时行千米，行1.2小时后距离杭州还有千米。请用含有字母的式子表示从上海到杭州的路程共有（ ）千米，这列高铁到达杭州还需行（ ）小时。 【答案】 【分析】根据速度×时间＝路程，表示出1.2小时行驶的路程千米，再用行驶的路程加剩余千米，就是从上海到杭州的路程； 根据路程÷速度＝时间，剩余路程为，速度为表示出剩余时间。 【解答】①已经行驶路程＝（千米），即上海到杭州的路程共有千米； ②剩余路程为，速度为，即这列高铁到达杭州还需行小时。 【易错专练6】一堆货物有300吨，一辆卡车每次运20吨，已经运了x次，运了（ ）吨，还剩下（ ）吨。 【答案】20x 300－20x 【分析】用这辆卡车每次运的吨数乘运的次数就是已经运的吨数，用这堆货物的总吨数减去已经运的吨数就是剩下的吨数。 【解答】20×x＝20x（吨） 所以运了20x吨，还剩下（300－20x）吨。 【易错专练7】一辆自行车元，一辆公路自行车的价钱是一辆自行车的2.6倍。表示（ ），表示（ ）。 【答案】 一辆公路自行车的价钱 一辆公路自行车的价钱比一辆自行车多多少元 【分析】求一个数的几倍是多少，用这个数乘倍数；由题干可知，一辆公路自行车的价钱＝一辆自行车的价钱×2.6。减法一般计算一个数比另一个数多多少，或者是一个数比另一个数少多少，据此解答。 【解答】根据分析： ，计算的是一辆公路自行车的价钱。 ，计算的是一辆公路自行车的价钱比一辆自行车的价钱多多少元。 综上可知，则一辆自行车元，一辆公路自行车的价钱是一辆自行车的2.6倍。表示一辆公路自行车的价钱，表示一辆公路自行车的价钱比一辆自行车多多少元。 【易错专练8】小丽每天记a个成语，丁丁每天比小丽多记2个成语，丁丁一周记（ ）个成语。 【答案】7（a＋2） 【分析】先求出丁丁每天记的成语个数，再乘7即可求出一周记多少个成语。 【解答】丁丁每天记（a＋2）个成语，一周记（a＋2）×7＝7（a＋2）＝7a＋14（个） 所以，小丽每天记a个成语，丁丁每天比小丽多记2个成语，丁丁一周记7（a＋2）或7a＋14个成语。 【易错专练9】一辆汽车，每小时行驶a千米，上午行驶了4小时，下午行驶了b千米，4a表示（ ），4a＋b表示（ ）。 【答案】上午行驶的路程 这辆汽车一天行驶的总路程 【分析】已知汽车的速度是每小时行驶a千米，上午行驶的时间是4小时，根据速度×时间＝路程，用a×4表示上午行驶的路程，再加上下午行驶的路程b千米，即表示这辆汽车一天行驶的千米数。 【解答】根据分析： 一辆汽车，每小时行驶a千米，上午行驶了4小时，下午行驶了b千米，4a表示上午行驶的路程，4a＋b表示这辆汽车一天行驶的总路程。 【易错专练10】北京大学共有1200名学生担任了2022年冬奥会志愿者，其中担任志愿者的男生有a人，那么担任志愿者的女生有（ ）人。 【答案】1200－a 【分析】根据已知中可知共有1200名学生，其中男生有人，女生的人数＝总人数减男生人数，通过用字母表示数的形式表示女生的人数。 【解答】 所以担任志愿者的女生有（）人。 易错点2：解方程时，等式的性质运用错误。 【易错专练1】解方程。 3.5×6－3x＝11.4          7.4x－3.9＝4.8x＋11.7 【答案】x＝3.2；x＝6 【分析】计算3.5×6得21，然后根据等式的性质，方程两边同时加上3x，交换两边位置，再同时减去11.4，最后同时除以3求解出x； 根据等式的性质，方程两边同时减去4.8x，再同时加上3.9，最后同时除以2.6求解出x。 【解答】3.5×6－3x＝11.4 解：21－3x＝11.4 21－3x＋3x＝11.4＋3x 11.4＋3x＝21 11.4＋3x－11.4＝21－11.4 3x＝9.6 3x÷3＝9.6÷3 x＝3.2 7.4x－3.9＝4.8x＋11.7 解：7.4x－3.9－4.8x＝4.8x－4.8x＋11.7 2.6x－3.9＝11.7 2.6x－3.9＋3.9＝11.7＋3.9 2.6x＝15.6 2.6x÷2.6＝15.6÷2.6 x＝6 【易错专练2】解方程。     【答案】x＝20；x＝2.1 【分析】，根据等式的基本性质1和2，先两边同时减16，计算后两边再同时除以4解答即可。 ，先计算方程左边，原式变为6x＝12.6，根据等式的基本性质2，两边同时除以6解答即可。 【解答】16＋4x＝96 解：4x＝96－16 4x＝80 4x÷4＝80÷4 x＝20 3.2x＋2.8x＝12.6 解：6x＝12.6 6x÷6＝12.6÷6 x＝2.1 【易错专练3】解方程。 0.1（x＋6）＝3.3        9.8－4x＝3.8 【答案】x=27；x=1.5 【分析】根据等式的性质，方程两边同时除以0.1，再同时减去6求解出x； 根据等式的性质，方程两边同时加上4x，然后交换两边位置，两边再同时减去3.8，最后两边同时除以4求解出x。 【解答】0.1（x＋6）＝3.3 解：0.1（x＋6）÷0.1＝3.3÷0.1 x＋6＝33 x＋6－6＝33－6 x＝27 9.8－4x＝3.8 解： 9.8－4x＋4x＝3.8＋4x 9.8＝3.8＋4x 3.8＋4x＝9.8 3.8＋4x－3.8＝9.8－3.8 4x＝6 4x÷4＝6÷4 x＝1.5 【易错专练4】解方程。                      【答案】x＝2.1；x＝3；x＝1.1 【分析】先把方程左边化简为8x，两边再同时除以8； 先把方程左边化简为4.2x，两边再同时除以4.2； 先计算出0.4×6＝2.4，两边再同时减去2.4，最后两边再同时除以3。 【解答】3x＋5x＝16.8 解：8x＝16.8 8x÷8＝16.8÷8 x＝2.1 5.5x－1.3x＝12.6 解：4.2x＝12.6 4.2x÷4.2＝12.6÷4.2 x＝3 0.4×6＋3x＝5.7 解：2.4＋3x＝5.7 2.4＋3x－2.4＝5.7－2.4 3x＝3.3 3x÷3＝3.3÷3 x＝1.1 【易错专练5】解方程。                            【答案】＝4.6；＝2500；＝5 【分析】（1）根据等式的基本性质1，等式两边同时减2.6，计算即可。 （2）根据等式的基本性质2，等式两边同时乘25，计算即可。 （3）先计算左边的，再根据等式的基本性质1，等式两边同时加1，再根据等式的基本性质2，等式两边同时除以2.2，计算即可。 【解答】 解： 解： 解： 【易错专练6】解方程。 3.5x＋2.5×6＝85         12y－5y＝294         x＋2.5x＝24.5 【答案】x＝20；y＝42；x＝7 【分析】根据等式的性质求出方程的解。 （1）先把方程化简成3.5x＋15＝85，然后方程两边先同时减去15，再同时除以3.5，求出方程的解； （2）先把方程化简成7y＝294，然后方程两边同时除以7，求出方程的解； （3）先把方程化简成3.5x＝24.5，然后方程两边同时除以3.5，求出方程的解。 【解答】（1）3.5x＋2.5×6＝85 解：3.5x＋15＝85 3.5x＋15－15＝85－15 3.5x＝70 3.5x÷3.5＝70÷3.5 x＝20 （2）12y－5y＝294 解：7y＝294 7y÷7＝294÷7 y＝42 （3）x＋2.5x＝24.5 解：3.5x＝24.5 3.5x÷3.5＝24.5÷3.5 x＝7 【易错专练7】解方程。 5x＋5.5＝7        6×4－0.5x＝12.8        3（x＋2.1）＝10.5 【答案】x＝0.3；x＝22.4；x＝1.4 【分析】依据等式的性质，方程两边同时减去5.5，再同时除以5求解出x； 首先计算6×4，然后依据等式的性质，方程两边同时加0.5x，同时减去12.8，再同时除以0.5求解出x； 依据等式的性质，方程两边同时除以0.3，再同时减去2.1求解出x。 【解答】5x＋5.5＝7 解：5x＋5.5－5.5＝7－5.5 5x＝1.5 5x÷5＝1.5÷5 x＝0.3 6×4－0.5x＝12.8 解：24－0.5x＝12.8 24－0.5x＋0.5x＝12.8＋0.5x 12.8＋0.5x－12.8＝24－12.8 0.5x＝11.2 0.5x÷0.5＝11.2÷0.5 x＝22.4 3（x＋2.1）＝10.5 解：3（x＋2.1）÷3＝10.5÷3 x＋2.1＝3.5 x＋2.1－2.1＝3.5－2.1 x＝1.4 【易错专练8】解方程。 6.8÷x＝2        x－0.75x＝5               0.3×（18－x）＝4.8 【答案】x＝3.4； x＝20； x＝2 【分析】（1）根据除数＝被除数÷商可得：x＝6.8÷2，再进一步计算即可； （2）先把方程的左边化成0.25x，再根据等式的基本性质2给方程两边同时除以0.25即可； （3）先根据等式的基本性质2给方程两边同时除以0.3即可得到18－x的值，再根据减数＝被减数－差求出x的值即可。 【解答】6.8÷x＝2 解：6.8÷x×x＝2×x 2x＝6.8 2x÷2＝6.8÷2 x＝3.4 x－0.75x＝5 解：0.25x＝5 0.25x÷0.25＝5÷0.25 x＝20 0.3×（18－x）＝4.8 解：0.3×（18－x）÷0.3＝4.8÷0.3 18－x＝16 18－x＋x＝16＋x 16＋x＝18 16＋x－16＝18－16 x＝2 【易错专练9】解方程。 2x＋3.2x＝26        62.4－3x＝24.6        （x－4）÷2＝7.5 【答案】x＝5；x＝12.6；x＝19 【分析】“2x＋3.2x＝26”先计算加法，再将等式两边同时除以5.2，解出x； “62.4－3x＝24.6”将62.4减去24.6，先求出3x的值，再将等式两边同时除以3，解出x； “（x－4）÷2＝7.5”先将等式两边同时乘2，再将等式两边同时加上4，解出x。 【解答】2x＋3.2x＝26 解：5.2x＝26 5.2x÷5.2＝26÷5.2 x＝5 62.4－3x＝24.6 解：3x＝62.4－24.6 3x＝37.8 3x÷3＝37.8÷3 x＝12.6 （x－4）÷2＝7.5 解：（x－4）÷2×2＝7.5×2 x－4＝15 x－4＋4＝15＋4 x＝19 【易错专练10】解方程。 7.6÷＝0.08        8（－20）＝25.6      5＋0.3×8＝7.7 【答案】＝95；＝23.2；＝1.06 【分析】根据等式的性质解方程。 （1）方程两边先同时乘，把方程变成0.08＝7.6，然后方程两边同时除以0.08，求出方程的解； （2）方程两边先同时除以8，再同时加上20，求出方程的解； （3）先把方程化简成5＋2.4＝7.7，然后方程两边先同时减去2.4，再同时除以5，求出方程的解。 【解答】（1）7.6÷＝0.08 解：7.6÷×＝0.08× 0.08＝7.6 0.08÷0.08＝7.6÷0.08 ＝95 （2）8（－20）＝25.6 解：8（－20）÷8＝25.6÷8 －20＝3.2 －20＋20＝3.2＋20 ＝23.2 （3）5＋0.3×8＝7.7 解：5＋2.4＝7.7 5＋2.4－2.4＝7.7－2.4 5＝5.3 5÷5＝5.3÷5 ＝1.06 易错点3：列方程解决实际问题时，等量关系找错。 【易错专练1】甲、乙两辆汽车同时从相距486千米的两地相对开出，经过3.6小时相遇。已知甲车每小时行75千米，乙车每小时行多少千米？（用方程解答） 【答案】60千米 【分析】把乙车的速度设为未知数，由“总路程＝相遇时间×速度和”可知，（甲车速度＋乙车速度）×相遇时间＝总路程，据此列方程解答。 【解答】解：设乙车每小时行千米。 答：乙车每小时行60千米。 【易错专练2】一种大型货车的载货量是18吨，比一种中型货车载货量的3倍还多3吨。这种中型货车的载货量是多少吨？ 【答案】5吨 【分析】理解题意，已知大型货车载货量（18吨）与中型货车载货量是3倍多3吨的关系，将中型货车载货量设为x吨，根据“3倍多3吨”的关系，列出方程3x＋3＝18，再根据等式的性质解方程即可。 【解答】解：设中型货车载货量设为x吨。 3x＋3＝18 3x＋3－3＝18－3 3x＝15 3x÷3＝15÷3 x＝5 答：这种中型货车的载货量是5吨。 【易错专练3】某品牌共享充电宝第1小时收费3元，超过1小时后，每小时收2元（不足1小时按1小时算），1天的封顶价为30元。小周这天用这品牌充电宝充电，花了7元，他这一天充电最长几小时？（列方程解答） 【答案】3小时 【分析】总费用包含首小时的3元加上超过1小时后，每小时收的2元，直接设超过1小时的时间为x小时，即可用x表示出总的费用，从而建立方程。 【解答】解：设超过1小时的时间为x小时。 3＋2x＝7 2x＝7－3 2x＝4 x＝2 2＋1＝3（小时） 答：他这一天充电最长3小时。 【易错专练4】水果店运来79箱苹果，比运来梨的3倍少2箱。水果店运来梨多少箱？（用方程解） 【答案】27箱 【分析】设水果店运来梨x箱，则运来苹果（3x－2）箱，根据等量关系：“梨的箱数的3倍－2＝苹果的箱数”列方程解答即可。 【解答】解：设水果店运来梨x箱。 3x－2＝79 3x－2＋2＝79＋2 3x＝81 3x÷3＝81÷3 x＝27 答：水果店运来梨27箱。 【易错专练5】一辆摩托车每小时行驶的速度是42千米，比一辆自行车每小时行驶的速度的2.5倍少0.5千米，这辆自行车每小时行驶多少千米？（用方程解答） 【答案】17千米 【分析】设这辆自行车每小时行驶x千米，根据等量关系：自行车每小时行驶的速度×2.5倍－0.5千米＝摩托车每小时行驶的速度42千米，列方程解答即可。 【解答】解：设这辆自行车每小时行驶x千米。 2.5x－0.5＝42 2.5x＝42＋0.5 2.5x＝42.5 x＝42.5÷2.5 x＝17 答：这辆自行车每小时行驶17千米。 【易错专练6】爸爸、妈妈带着亮亮和妹妹一起到达梁山风景区，买门票共用去175元。已知身高1.50米以上全票，1.20～1.50米的儿童享受半价票，一张全价和半价票各多少元？ 爸爸身高：1.78米 妈妈身高：1.65米 亮亮身高：1.52米 妹妹身高：1.25米 【答案】全价票：50元；半价票：25元 【分析】设半价票为x元，则全价票为2x元；爸爸身高、妈妈身高、亮亮身高都高于1.50米，都是全价票，所以爸爸、妈妈、亮亮的票钱是（3×2x）元，妹妹身高低于1.50米，享受半价票，妹妹的票价为x元，买门票花去175元，列方程：3×2x＋x＝175，解方程，即可解答。 【解答】解：设半价票为x元，则全价票为2x元。 3×2x＋x＝175 6x＋x＝175 7x＝175 7x÷7＝175÷7 x＝25 全价票：2×25＝50（元） 答：一张全价票是50元，一张半价票是25元。 【易错专练7】滇池是云南省最大的淡水湖，有“高原明珠”之称，水域面积有330平方千米，比泸沽湖的7倍少20平方千米，泸沾湖的水域面积是多少平方千米？ 【答案】50平方千米 【分析】假设泸沽湖的水域面积是x平方千米，根据数量关系：泸沽湖的水域面积×7－20＝滇池的水域面积，已知滇池的水域面积是330平方千米，代入数据和未知数，列出方程，求解即可。 【解答】解：设泸沽湖的水域面积为x平方千米。 7x－20＝330 7x＝330＋20 7x＝350 x＝350÷7 x＝50 答：泸沽湖的水域面积为50平方千米。 【易错专练8】几名少先队员去植树。如果每个人植6棵，还有10棵没有人植；如果每个人植4棵，还有22棵没有人植。那么有几名少先队员？一共要植多少棵树？ 【答案】6名；46棵 【分析】设有x名少先队员，如果每人植6棵，x名少先队员植6x棵，再加上10棵，就是要植树的颗数；如果每人植树4棵，x名少先队员植4x棵，再加上22棵，就是植树棵数，由于植树棵数不变，列方程：6x＋10＝4x＋22，解方程，求出少先队员的人数，进而求出植树棵数。 【解答】解：设有x名少先队员。 6x＋10＝4x＋22 6x＋10－10－4x＝4x＋22－4x－10 6x－4x＝22－10 2x＝12 2x÷2＝12÷2 x＝12÷2 x＝6 6×6＋10 ＝36＋10 ＝46（棵） 答：有12名少先队员，一共要植46棵树。 【易错专练9】国家速滑馆是2022年北京冬奥会标志性场馆之一，其外形由3360块美丽的“丝带”曲面玻璃幕墙环绕，因此，又被称为“冰丝带”。甲、乙两个施工队在35天内共同完成了“冰丝带”的玻璃安装任务，甲队平均每天安装45块玻璃，乙队平均每天要安装多少玻璃？ 【答案】51块 【分析】设乙队平均每天要安装x块玻璃，根据甲乙两队每天安装的数量之和×天数＝3360块玻璃，据此列方程解答即可。 【解答】解：设乙队平均每天要安装x块玻璃， （x＋45）×35＝3360 （x＋45）×35÷35＝3360÷35 x＋45＝96 x＋45－45＝96－45 x＝51 答：乙队平均每天要安装51块玻璃。 【易错专练10】“微信运动”可以记录每天的步数。下图显示的是李叔叔今天的步数，他比王叔叔的2倍还多157步。王叔叔今天走了多少步？（先写出等量关系式，再列方程解答） （1）等量关系式：__________。 （2）列方程解答。 【答案】（1）王叔叔的步数×2＋157＝李叔叔的步数； （2）3953步 【分析】分析题目，求一个数的几倍是多少用乘法，比一个数多几就加几，则王叔叔的步数乘2再加上157就是李叔叔的步数，据此写出等量关系式；再设王叔叔今天走了x步，根据等量关系式列出方程，并根据等式的基本性质解出方程即可。 【解答】（1）等量关系式：王叔叔的步数×2＋157＝李叔叔的步数。 （2）解：设王叔叔今天走了x步。 2x＋157＝8063 2x＋157－157＝8063－157 2x＝7906 2x÷2＝7906÷2 x＝3953 答：王叔叔今天走了3953步。 专题六多边形的面积 易错点1：面积公式混淆或记忆错误。 【易错专练1】求下面图的面积。 【答案】300平方厘米 【分析】由图可知，平行四边形的底为25厘米，对应的高为12厘米，根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据解答即可。 【解答】25×12＝300（平方厘米） 图的面积是300平方厘米。 【易错专练2】计算下面图形的面积。 【答案】2.24dm2；1.375m2 【分析】根据平行四边形的面积＝底×高、三角形的面积＝底×高÷2，代入数据即可解答。 【解答】1.6×1.4＝2.24（dm2） 平行四边形的面积是2.24dm2。 2.5×1.1÷2＝1.375（m2） 三角形的面积是1.375m2。 【易错专练3】计算下面各图形的面积。（单位：分米） 【答案】528平方分米；40平方分米；120平方分米 【分析】（1）平行四边形的面积＝底×高，据此把24分米和22分米这一组对应的底和高相乘即可； （2）三角形的面积＝底×高÷2，据此代入数据计算； （3）梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此解答。 【解答】（1）24×22＝528（平方分米） 平行四边形的面积是528平方分米。 （2）（8＋8）×5÷2 ＝16×5÷2 ＝40（平方分米） 三角形的面积是40平方分米。 （3）（8＋16）×10÷2 ＝24×10÷2 ＝120（平方分米） 梯形的面积是120平方分米。 【易错专练4】计算下面图形的面积。 【答案】270cm2；2.56m2；525m2 【分析】第一个图形是平行四边形，根据平行四边形面积公式：面积＝底×高，代入数据，求出面积； 第二个图形是三角形，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，求出面积； 第三个图形是梯形，根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，求出面积。 【解答】18×15＝270（cm2） 平行四边形面积是270cm2 1.6×3.2÷2 ＝5.12÷2 ＝2.56（m2） 三角形面积是2.56m2 （14＋36）×21÷2 ＝50×21÷2 ＝1050÷2 ＝525（m2） 梯形面积是525m2 【易错专练5】求图形的面积。 【答案】980dm2；1476m2 【分析】第一个图形是平行四边形；根据平行四边形面积公式：面积＝底×高，代入数据，即可解答。 第二个图形是梯形；根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，即可解答。 【解答】35×28＝980（dm2） 平行四边形面积是980dm2。 （30＋52）×36÷2 ＝82×36÷2 ＝2952÷2 ＝1476（m2） 梯形面积是1476m2。 易错点2：运用平行四边形的面积公式计算时，高与底没有对应。 【易错专练1】一个平行四边形的两条邻边分别是4分米、6分米，一组对边的距离是5分米。这个平行四边形的面积是（    ）平方分米。 A．20 B．30 C．24 D．无法确定 【答案】A 【分析】由“直角三角形中，斜边大于直角边”，6分米＞5分米＞4分米，得出5分米所对应的底边是4分米，从而依据平行四边形的面积＝底×高即可求出其面积。 【解答】5×4＝20（平方分米），即这个平行四边形的面积是20平方分米。 故答案为：A 【易错专练2】有一个平行四边形，李芳测量出它两条相邻的边长分别是6厘米和8厘米，其中一条底边上的高是7厘米，这个平行四边形的面积是（    ）。 A．42平方厘米 B．56平方厘米 C．48平方厘米 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边大于直角边可知，底边6厘米上的高是7厘米，结合平行四边形的面积公式：平行四边形的面积＝底×高，即可作答。 【解答】6×7＝42（平方厘米） 故答案为：A 【易错专练3】一个平行四边形相邻的两条边的长度分别是10厘米和8厘米，其中一条边上的高是9厘米，这个平行四边形的面积是（    ）平方厘米。 A．90 B．80 C．72 D．90或72 【答案】C 【分析】 如图所示，直角三角形中斜边最长，则9厘米只能是底边8厘米对应的高，利用“”求出这个平行四边形的面积，据此解答。 【解答】分析可知，9厘米是底边8厘米对应的高。 8×9＝72（平方厘米） 所以，这个平行四边形的面积是72平方厘米。 故答案为：C 【易错专练4】一个平行四边形相邻的两条边分别长为20cm、10cm，其中一条高为12cm，这个平行四边形的面积是（    ）cm2。 A．10×12 B．20×12 C．20×10 D．（20＋10）×12÷2 【答案】A 【分析】 如图，平行四边形的高与底边的临边可以组成一个直角三角形，底边的临边是这个直角三角形的斜边，斜边大于直角边，因此平行四边形的高应该小于底边的临边，这个平行四边形对应的底和高是10cm和12cm，根据平行四边形面积＝底×高，列式即可。 【解答】10×12＝120（cm2） 这个平行四边形的面积是（10×12）cm2。 故答案为：A 【易错专练5】如图，计算平行四边形面积的正确算式是（    ）。 A．2×3 B．3×2.4 C．2×2.4 D．2.4×1.6 【答案】C 【分析】根据平行四边形的面积公式：面积＝底×高；高是底边对应的高；底边是2的对应的高是2.4；底边是3的对应的高是1.6，据此解答。 【解答】平行四边形面积的算式是2×2.4或3×1.6。 故答案为：C 易错点3：三角形面积和平行四边形的面积的关系运用错误。 【易错专练1】一个平行四边形的底是6.5分米，高是4分米，它的面积是（ ）平方分米；与它等底等高的三角形面积是（ ）平方分米。 【答案】26 13 【分析】平行四边形的面积公式为：面积＝底×高。已知平行四边形的底是6.5分米，高是4分米，将数值代入公式得6.5×4＝26（平方分米）。因为等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半，即三角形面积＝平行四边形面积÷2。所以三角形面积为26÷2＝13（平方分米）。 【解答】6.5×4＝26（平方分米） 26÷2＝13（平方分米） 平行四边形的面积是26平方分米；与它等底等高的三角形面积是13平方分米。 【易错专练2】一个平行四边形的高是9厘米。一个三角形与这个平行四边形的面积相等，底也相等。那么这个三角形的高是（ ）厘米。 【答案】18 【分析】平行四边形的面积公式为，三角形的面积公式为。当三角形与平行四边形面积相等、底也相等时，三角形的高是平行四边形高的2倍。 【解答】（厘米） 这个三角形的高是18。 【易错专练3】一个三角形与一个平行四边形面积相等。平行四边形的面积是30平方分米，三角形的高是6分米，它的底是（ ）分米。 【答案】10 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据，即可求得三角形的底。 【解答】因为一个三角形与一个平行四边形面积相等，平行四边形的面积是30平方分米，所以三角形的面积是30平方分米。 30×2÷6＝60÷6＝10（分米） 所以三角形的底是10分米。 【易错专练4】一个三角形的面积是30平方分米，与它等底等高的平行四边形的底是10分米，则平行四边形的高是（ ）分米。 【答案】6 【分析】根据三角形和平行四边形的面积公式可知：平行四边形的面积是和它等底等高的三角形面积的2倍，据此用三角形的面积乘2求出平行四边形的面积，再根据平行四边形的高＝面积÷底列式计算即可。 【解答】30×2÷10 ＝60÷10 ＝6（分米） 一个三角形的面积是30平方分米，与它等底等高的平行四边形的底是10分米，则平行四边形的高是6分米。 【易错专练5】一个三角形的底是12dm，高是5dm，它的面积是（ ）dm2，和它等底等高的平行四边形的面积是（ ）dm2。 【答案】30 60 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可求出三角形的面积；根据等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的2倍，用三角形的面积乘2即可求出和它等底等高的平行四边形的面积。 【解答】12×5÷2 ＝60÷2 ＝30（） 30×2＝60（） 所以三角形的面积是30，和它等底等高的平行四边形的面积是60。 易错点4：利用面积公式反求底或高时，忘记乘以2或除以2。 【易错专练1】一个三角形的面积是4平方厘米，它的高是8厘米，底是（ ）厘米。 【答案】1 【分析】三角形的面积公式为“面积＝底×高÷2”，已知面积和高，要求底，可通过公式变形“底＝面积×2÷高”来计算，据此解答。 【解答】根据三角形面积公式变形，底为 4×2÷8 ＝8÷8 ＝1（厘米） 底是1厘米 【易错专练2】一个三角形的面积是3.2dm2，底是1.6dm。这个三角形的高是（ ）dm。 【答案】4 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，则高＝面积×2÷底，代入数据计算即可求出高。 【解答】3.2×2÷1.6＝4（dm） 这个三角形的高是4dm。 【易错专练3】有一个梯形的面积是35平方米，上、下底的和是17.5分米，这个梯形的高是（ ）分米。 【答案】400 【分析】把35平方米转化为3500平方分米，由“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”可知，高＝梯形的面积×2÷（上底＋下底），把题目中的数据代入公式计算，即可求得。 【解答】35平方米＝3500平方分米 3500×2÷17.5 ＝7000÷17.5 ＝400（分米） 所以，这个梯形的高是400分米。 【易错专练4】一个梯形的下底是18cm，如果下底缩短8cm，就成为一个平行四边形，面积减少28cm2，原梯形的高是（ ）cm，面积是（ ）cm2。 【答案】7 98 【分析】分析可知，减少的部分是一个三角形，三角形的面积是28cm2，底是8cm，用三角形的面积乘2除以底，就求出三角形的高，这个高也是梯形的高； 梯形的下底是18cm，上底是18－8，根据：梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，即可得到答案。 【解答】28×2÷8 ＝56÷8 ＝7（cm） （18－8＋18）×7÷2 ＝28×7÷2 ＝14×7 ＝98（cm2） 原梯形的高是7cm，面积是98cm2。 【易错专练5】一个梯形的面积是164dm2，上、下底之和是32dm，这个梯形的高是（ ）dm。 【答案】10.25 【分析】根据梯形的面积公式：梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，可得：梯形的高＝梯形的面积×2÷（上底＋下底），代入数据计算求出这个梯形的高。 【解答】164×2÷32 ＝328÷32 ＝10.25（dm） 这个梯形的高是10.25dm。 易错点5：计算组合图形面积时，方法繁琐或数据使用错误。 【易错专练1】按要求计算。计算组合图形的面积。（单位：厘米） 【答案】600平方厘米 【分析】由图可得，组合图形由一个三角形和一个平行四边形组成，根据三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，代入数据计算即可解答。 【解答】24×10÷2＋24×20 ＝240÷2＋480 ＝120＋480 ＝600（平方厘米） 所以组合图形的面积是600平方厘米。 【易错专练2】计算下面各图形的面积。（单位：厘米） 【答案】200.5平方厘米；420平方厘米 【分析】（1）左边的直角三角形有一个角是45°，所以它是等腰直角三角形，即三角形的两条直角边都是15厘米，该图形的面积等于一个底和高都是15厘米的三角形加上一个上底是7厘米、下底是15厘米、高是8厘米的梯形，三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此列式计算即可； （2）该图形的面积等于一个底是20厘米、高是15厘米的平行四边形的面积加上一个底是20厘米、高是12厘米的三角形的面积，平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，据此列式计算即可。 【解答】15×15÷2＋（7＋15）×8÷2 ＝225÷2＋22×8÷2 ＝112.5＋176÷2 ＝112.5＋88 ＝200.5（平方厘米） 该图形的面积是200.5平方厘米。 20×15＋20×12÷2 ＝300＋240÷2 ＝300＋120 ＝420（平方厘米） 该图形的面积是420平方厘米。 【易错专练3】计算下列图形的面积。（单位：cm） 【答案】15平方厘米；15平方厘米 【分析】三角形面积=底×高÷2；平行四边形面积=底×高；梯形面积=（上底+下底）×高÷2；第一图中，组合图形可分为左侧的平行四边形和右侧的三角形，平行四边形的底是5厘米，高是2厘米，三角形的底是5厘米，高是2厘米；再按面积公式计算。第二图中，可分为上面的梯形与下面的三角形，梯形的上底是3厘米，下底是6厘米，高是2厘米，三角形的底是6厘米，高是（4-2）厘米；再分别按面积公式计算求出组合图形面积。 【解答】5×2＋2×5÷2 ＝10＋5 ＝15（平方厘米） （6＋3）×2÷2＋6×（4－2）÷2 ＝9＋6 ＝15（平方厘米） 【易错专练4】计算下面图形涂色部分的面积。（单位：dm） 【答案】①20.8dm2；②12.9dm2 【分析】，。我们需要根据图形特点，确定底、高、上底、下底等数据，再代入公式计算。 ①观察图形，涂色部分是一个平行四边形，底是5.2dm，高是4dm。根据平行四边形面积公式：，可得面积为（dm2）。 ②观察图形，涂色部分是一个梯形。梯形的上底是6dm，下底是6－3.4＝2.6（dm），高是3dm。根据梯形面积公式：，代入数据可列式为，计算出答案即可。 【解答】①（dm2） ②6－3.4＝2.6（dm） （dm2） 【易错专练5】计算下面图形涂色部分面积。（单位：cm） 【答案】（1）156cm2；（2）79.5cm2 【分析】（1）可视作上底13、下底18、高12的梯形减去一个底12、高5的直角三角形。根据和，代入数据计算即可。 （2）如图：可把图形分成左侧 长9 、宽4的长方形和右侧一个上底3、下底9、高的梯形，用它们的和减去一个底15、高3的三角形面积，根据、和长方形面积＝长×宽，代入数据计算即可。 【解答】（1） （cm2） （2） （cm2） 易错点6：估算面积时，未能正确算出格子数量。 【易错专练1】太谷古称“奥壤”，因“三山为太、九口为谷”而得名，曾享有“中国华尔街”之美誉。图中每一方格代表100平方千米，请你估测一下太谷区的面积大约（ ）平方千米。 【答案】1200 【分析】把太谷区看作一个长为4格，宽为3格的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，求出太谷区的方格的总数，再乘100即可解答。（答案不唯一） 【解答】4×3×100 ＝12×100 ＝1200（平方千米） 所以太谷区的面积大约1200平方千米。（答案不唯一） 【易错专练2】估计下面图形的面积。（每个小方格的面积表示1cm2）    面积约（ ）cm2                    面积约（ ）cm2 【答案】16 26 【分析】不规则图形的面积估算方法：数格子，分别数出满格和不满格的数量，不满格的数量按半格计算，再加上满格的数量，就是不规则图形的格子数，最后乘每个小方格的面积即可。 【解答】左图：满格有7个，不满格有18个； 一共有： 7＋18÷2 ＝7＋9 ＝16（个） 面积：1×16＝16（cm2） 右图：满格有16个，不满格有20个； 一共有： 16＋20÷2 ＝16＋10 ＝26（个） 面积：1×26＝26（cm2） 【易错专练3】如图所示，“小青蛙”的面积大约是（ ）cm2。（每个小方格的边长表示1cm） 【答案】14 【分析】根据题意可知，每个小方格的边长是1cm，根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据求出1小方格的面积；再根据不规则面积的求法：用数小方格的方法估算不规则图形的面积，通常是先数整格数，再数不足格数，整格数按一个面积单位计算，不足格的按半个面积单位计算，据此解答。 【解答】1×1＝1（cm2） 整个的大约有6格，半格大约有16格。 6＋16÷2 ＝6＋8 ＝14（cm2） “小青蛙”的面积大约是14cm2。 【易错专练4】下图中每个小方格的面积是1cm2，计算图形的面积。 （ ）cm2                   （ ）cm2 【答案】24 34 【分析】不规则图形面积的估算方法 1、借助方格图数格子估算不规则图形的面积，也可以把不规则图形看成近似于规则的图形估算面积。 2、用数格子估计不规则图形面积的方法：分别数出整数格数合不完整格数；再定：根据整数格数和所有格数确定面积大小的范围；后估：把不完整格按半格计算加上整数格，估算出面积。 将第一幅图转化成一个近似的长方形，长方形的长是6厘米，宽是4厘米，则长方形的面积＝长×宽得出长方形的面积是24cm2。如下图。 将图形一分为二，数出有25个整格，有18个不是整格，即按照半格算就是9个整格，加上25个整格就是阴影图形的面积。 【解答】6×4＝24（cm2） 25＋18÷2 ＝25＋9 ＝34（cm2） 图形的面积分别是24cm2和34cm2。 【易错专练5】如图，每一小格表示1平方厘米，在括号里填出图中阴影部分的面积。 （ ）平方厘米     （ ）平方厘米      大约是（ ）平方厘米 【答案】12 12 8 【分析】第一个图形的阴影部分是3个三角形的面积和，一个三角形的底是4厘高是3厘米，一个三角形的底是2厘米、高是3厘米，还有一个三角形的底是3厘米、高是2厘米，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据解答即可；中间的图形是由4个底为2厘米、高是2厘米的三角形和边长为2厘米的正方形组成的，根据三角形的面积＝底×高÷2，正方形的面积＝边长×边长解答；第三个图形的阴影部分可以看作长为4厘米、宽为2厘米的近似长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽解答。 【解答】4×3÷2＋2×3÷2＋3×2÷2 ＝12÷2＋6÷2＋6÷2 ＝6＋3＋3 ＝9＋3 ＝12（平方厘米） 2×2÷2×4＋2×2 ＝4÷2×4＋2×2 ＝2×4＋4 ＝8＋4 ＝12（平方厘米） 4×2＝8（平方厘米） 所以第一个图形的阴影部分的面积是12平方厘米，第二个图形的阴影部分的面积是12平方厘米，第三个图形的面积大约是8平方厘米。 易错点7：实际问题未去除非面积部分。 【易错专练1】一块长30米、宽20米的长方形草坪中间有两条宽2米的石子路（如图）。如果铺1平方米草坪需要15元，铺好这块草坪需要多少元？ 【答案】7560元 【分析】根据题意，先计算去掉石子路后草坪的长和宽，长是原来的长减去石子路的宽，宽是原来的宽减去石子路的宽；再计算草坪的面积，即新的长乘新的宽；然后计算总费用，即草坪面积乘每平方米的价格，据此解答。 【解答】30－2＝28（米）   20－2＝18（米） 28×18×15 ＝504×15 ＝7560（元） 答：铺好这块草坪需要7560元。 【易错专练2】绿化草坪是用多年生矮小草本植株密植，并经修剪的人工草地，它是一个城市文明程度的标志之一。下面是伏龙洲公园的一块梯形草坪，草坪中间有一条用石头铺的长方形小路（图中涂色部分）。草坪中实际种草的面积是多少平方米？ 【答案】285平方米 【分析】实际种草的面积＝梯形面积－长方形面积，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，长方形面积＝长×宽，据此列式解答。 【解答】（18＋24）×15÷2－15×2 ＝42×15÷2－30 ＝315－30 ＝285（平方米） 答：草坪中实际种草的面积是285平方米。 【易错专练3】为改善居民的生活环境，全面提升居民的舒适感、幸福度、满意率，凤凰小区在门口的梯形空地上建个“小花园”，种植了一片花卉。同时为了便于居民观赏，修建了两条3米宽的小路（如图），花卉的种植面积是多少平方米？ 【答案】105平方米 【分析】根据图可知，花卉的种植面积等于上底是18米，下底是24米，高是7米的梯形面积，减去2个底是3米，高是7米的平行四边形的面积和；根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，平行四边形面积＝底×高，代入数据，即可解答。 【解答】（18＋24）×7÷2－3×7×2 ＝42×7÷2－3×7×2 ＝294÷2－21×2 ＝147－42 ＝105（平方米） 答：花卉的种植面积是105平方米。 【易错专练4】为贯彻落实“五育并举”、立德树人的根本任务，学校开展了丰富多彩的“劳动教育”实践活动，在校园里开辟了一块菜地。菜地中有一个长11米、宽7米的长方形水池（如图），其余地方种了一些白菜，如果每平方米能收获13千克白菜，这块菜地一共可以收获多少千克的白菜？ 【答案】2145千克 【分析】如图：种白菜的面积＝梯形的面积＋大长方形的面积－长方形水池的面积，根据梯形的面积＝（长＋宽）×高÷2，长方形的面积＝长×宽，据此求出种白菜的面积，然后再乘13千克即可。 【解答】（11＋18）×（15－7）÷2＋18×7－11×7 ＝29×8÷2＋126－77 ＝29×4＋126－77 ＝116＋126－77 ＝242－77 ＝165（平方米） 165×13＝2145（千克） 答：这块菜地一共可以收获2145千克的白菜。 【易错专练5】如下图，有一面墙，中间有一个2.5平方米的窗户，如果砌这面墙平均每平方米用砖185块，一共需要用多少块砖？ 【答案】4070块 【分析】观察图形可知，需用砖砌这面墙的面积＝长方形的面积＋三角形的面积－窗户的面积，根据长方形的面积＝长×宽，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求出用砖砌这面墙的面积，再乘每平方米用砖的块数，即是砌这面墙一共需要用砖的总块数。 【解答】长方形的面积：4×5＝20（平方米） 三角形的面积：5×1.8÷2＝4.5（平方米） 需用砖砌墙的面积：20＋4.5－2.5＝22（平方米） 需用砖的总块数：185×22＝4070（块） 答：一共需要用4070块砖。 专题七数学广角—植树问题 易错点1：情况混淆，公式张冠李戴。 【易错专练1】武汉建成长80.5公里的生态滨水绿道，计划在绿道两侧种植垂柳，每隔5米种一棵（两端都种），一共需要准备多少棵垂柳苗？ 【答案】32202棵 【分析】根据1公里＝1千米，1千米＝1000米，将80.5公里单位换算成米。根据两端都种，用总长除以5米的间隔的商再加1，可求得绿道一侧种植的垂柳苗棵树。再用结果乘2，可求得绿道两侧种植垂柳苗棵树。 【解答】80.5公里＝80.5千米＝80500米 80500÷5＋1 ＝16100＋1 ＝16101（棵） 16101×2＝32202（棵） 答：一共需要准备32202棵垂柳苗。 【易错专练2】园林工人在一条全长800米的公路两旁栽椰子树，每隔25米栽一棵，两端都要栽，一共要栽多少棵椰子树？ 【答案】66棵 【分析】在植树问题中，树的棵数＝间隔数＋1（两端都栽），间隔数＝公路的长度÷间隔长度，据此求出公路一旁椰子树的棵数，再乘2即可求解。 【解答】（800÷25＋1）×2 ＝（32＋1）×2 ＝33×2 ＝66（棵） 答：一共要栽66棵椰子树。 【点评】本题考查植树问题，明确树的棵数与间隔数之间的关系是解题的关键。 【易错专练3】校园里有一条长12米的小路，现在要在这条路的右边每隔2米摆一盆花，路的两头都要摆，一共需要多少盆花？ 【答案】7盆 【分析】根据题意可知，小路的长度除以间隔的距离，等于间隔数，因为两头都要摆，再用间隔数加1，等于一共需要多少盆花。 【解答】12÷2＝6（个） 6＋1＝7（盆） 答：一共需要7盆花。 【易错专练4】学校门前的马路长3千米，在路的某一边每隔6米栽一棵树，两端都栽，学校门前的这条马路某一边共栽多少棵树？ 【答案】501棵 【分析】根据1千米＝1000米进行单位统一，再算出3000÷6＝500（个）间隔。两端都栽树，树的总数比间隔多1，所以这条马路上一边共栽500＋1＝501（棵）树。 【解答】3千米＝3000米 3000÷6＝500（个） 500＋1＝501（棵） 答：学校门前的这条马路某一边共栽501棵树。 【易错专练5】两个班在一条长40米的走廊一侧摆花盆，每隔5米放一盆花，两端都要放，一班摆前20米，二班接着一班摆，二班需要摆多少盆花？ 【答案】4盆 【分析】根据题意，每隔5米放一盆花，可算出除去从起点后要摆8盆花，算上起点的一共要摆9盆，相同的方法算出一班学生摆的盆数，再计算二班需要摆的盆数。 【解答】40÷5＋1－（20÷5＋1） ＝8＋1－5 ＝9－5 ＝4（盆） 答：二班需要摆4盆花。 易错点2：对“间隔数”的理解和计算错误。 【易错专练1】一个果园的一边等距离地栽了18棵桃树，每两棵桃树中间又栽了一棵杏树，一共要栽多少棵杏树？ 【答案】17棵 【分析】根据植树问题的解题方法，两端都植，段数＝棵数－1，18棵桃树有（18－1）个段数，即要栽的杏树棵数。 【解答】18－1＝17（棵） 答：一共要栽17棵杏树。 【易错专练2】有52位少先队员排成两列纵队去看展览，队伍前进的速度是每分钟25米，而且前后两人都相距1米。现在要通过一个75米长的地下通道，需要多长时间？ 【答案】4分钟 【分析】有52位少先队员排成两列纵队，每列纵队有26人，前后两人都相距1米，根据一一间隔排列，有25个1米，每列队伍的总长是25米。队伍要通过一个75米长的地下通道，这支队伍行驶全程是本身的长度加上地下通道的长度，最后根据时间＝路程÷速度得出需要的时间。 【解答】（52÷2－1）×1 ＝（26－1）×1 ＝25×1 ＝25（米） （25＋75）÷25 ＝100÷25 ＝4（分） 答：需要4分钟。 【易错专练3】在一条长180米的公路的一侧植树，每隔3米植一棵。两端都不植，一共植树多少棵？ 【答案】59棵 【分析】根据：两端都不栽，棵数＝段数－1，总长÷间隔长＝段数。由题意知，这条公路长180米，每隔3米植一棵，则180除以3计算出段数，再减1即可计算出一共植树的棵数，据此解决本题。 【解答】180÷3＝60 60－1＝59（棵） 答：一共植树59棵。 【易错专练4】从南镇到北镇的路的一边共有27根电线杆，相邻两根电线杆之间的距离是30米，现在要重新修改，除两端的2根不动，其余的要拆除，重新在中间竖19根。这时相邻两根电线杆之间的平均距离是多少米？ 【答案】39米 【分析】根据植树问题的解题方法，两端都植，段数＝棵数－1，原来间距×原来段数＝总长度，据此先求出总长度；重新修改时，两端的2根不动，属于两端都不植，段数＝棵数＋1，总长度÷修改后的段数＝修改后的平均间距，据此列式解答。 【解答】30×（27－1） ＝30×26 ＝780（米） 780÷（19＋1） ＝780÷20 ＝39（米） 答：这时相邻两根电线杆之间的平均距离是39米。 【点评】关键是掌握植树问题的解题方法，理解棵数和段数之间的关系。 【易错专练5】王林学校旁边的一条路长400米，在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树，开头不种树，一共能种多少棵树？ 【答案】100棵 【分析】由题意知：从头到尾种树，开头不种树，即只栽一端。根据：只栽一端，棵树＝段数，总长÷间隔长＝段数，又知一条路长400米，每隔4米种一棵树，所以用400除以4计算出段数，也就是求出能种多少棵树。 【解答】400÷4＝100（棵） 答：一共能种100棵数。 易错点3：对“两旁”、“两侧”、“两边”植树问题处理错误。 【易错专练1】阳光小学准备在秋季运动会上安排轮滑比赛，赛道长160米。如果每隔4米放一个障碍物，第一个障碍物离起点和最后一个障碍物离终点都是10米，那么需要放多少个障碍物？ 【答案】个 【分析】赛道长160米，第一个障碍物离起点和最后一个障碍物离终点都是10米，用160－10×2＝160－20＝140米，说明是在140米长的跑道上，每隔4米放一个障碍物，两头都放。 根据植树问题，两端都栽，数量关系： 棵数＝间隔数＋1＝全长÷间距＋1。 【解答】160－10×2 ＝160－20 ＝140（米） 140÷4＋1 ＝35＋1 ＝36（个） 答：需要放36个障碍物。 【易错专练2】110米栏属于田径中的一个径赛项目。它要求运动员在110米长的赛道上，以跑跳结合的方式跨越10个栏架并抵达终点。如图，每相邻两个栏架间距离相等，其中第一栏距离起跑线13.72米，最后一栏距离终点线14.02米，那么每相邻两个栏架之间的距离是多少米？ 【答案】9.14米 【分析】分析题目，从起跑线到终点线之间的10个栏架之间有（10－1）个间隔，先用赛道的总长度分别减去第一栏到起跑线的长度、最后一栏到终点线的长度，再除以（10－1）即可求出每相邻两个栏架之间的距离。 【解答】（110－13.72－14.02）÷（10－1） ＝82.26÷9 ＝9.14（米） 答：每相邻两个栏架之间的距离是9.14米。 【易错专练3】元旦到了，学校准备开元旦联欢会。计划在相距100米的两栋教学楼间拉一条彩条，挂19个红灯笼（两端不挂），要求每相邻两个红灯笼之间的距离相等，那么相邻两个红灯笼之间的距离是多少米？ 【答案】5米 【分析】根据题意，相距100米的两栋教学楼间拉一条彩条，挂19个红灯笼（两端不挂），属于植树问题中两端都不栽的情况，则间隔数＝棵数＋1，即19个红灯笼有（19＋1）个间隔；再用两栋教学楼的距离除以间隔数，求出相邻两个红灯笼之间的距离。 【解答】100÷（19＋1） ＝100÷20 ＝5（米） 答：相邻两个红灯笼之间的距离是5米。 【易错专练4】在一条公路的两旁从头到尾一共栽有56棵柏树，相邻两棵柏树之间的距离都是30米。这条公路长多少米？ 【答案】810米 【分析】先求出公路一旁栽的柏树数量，由于从头到尾都栽了柏树，所以间隔数比柏树的数量少1，用公路一旁栽的柏树数量减去1，即可求出间隔数，再用间隔数乘相邻两棵柏树的距离，就能算出公路的长度，据此解答。 【解答】56÷2＝28（棵） （28－1）×30 ＝27×30 ＝810（米） 答：这条公路长810米。 【易错专练5】在一条公路上每隔20米架设一根电线杆，路的一端架设另一端不架设，共用了45根电线杆。这条路全长多少米？ 【答案】900米 【分析】根据植树问题的解题方法，一端植一端不植，棵数＝段数，间距×段数＝全长，据此列式解答。 【解答】45×20＝900（米） 答：这条路全长900米。 易错点4：将“植树问题”模型迁移到其他类似场景时识别错误。 【易错专练1】把2米的木头锯成0.2米长的小段，每锯一次要用1.5分钟，则需要锯多少分钟才能锯完？ 【答案】13.5分钟 【分析】求一个数里面包含几个另一个数，用除法计算，用2除以0.2计算出锯成的总段数；再根据“锯的次数＝总段数－1”计算出需要锯的总次数（植树问题中的两端都栽：间隔数＝棵数－1）；最后用锯的总次数乘每锯一次要用的时间即可计算总共需要的时间。 【解答】（2÷0.2－1）×1.5 ＝（10－1）×1.5 ＝9×1.5 ＝13.5（分钟） 答：需要锯13.5分钟才能锯完。 【易错专练2】将一根10米长的钢筋要全部截成0.6米长的小段，一共可以截成多少段这样的小段？若每截一段需要0.5分钟，截成这些小段一共要多少分钟？ 【答案】16段；8分钟 【分析】用钢筋的长度÷每段的长度，最后无论剩下多长，只要不够小段的长度，就不能截成一小段，结果用“去尾法”解答。 求截成这些小段一共需要的时间，用这样的段数乘截一段需要的时间，据此解答。 【解答】10÷0.6≈16（段） 16×0.5 ＝16×0.5 ＝8（分钟） 答：一共可以截成16段这样的小段，截成这些小段一共要8分钟。 【易错专练3】爸爸要用锯子把一根长4米的木料和一根长5米的钢管分别锯成5段。锯断一次木料所用的时间是3.2分钟，锯断一次钢管所用的时间是6.8分钟，他30分钟能锯完吗？45分钟呢？ 【答案】不能；能 【分析】将“锯木头问题”类比“植树问题中两端都不栽”模型知：把木料锯成5段需要锯：5－1＝4（次），把钢管锯成5段也需要锯：5－1＝4（次）。已知锯断一次木料所用的时间是3.2分钟，锯断一次钢管所用的时间是6.8分钟，就分别求出所需要的时间，将时间相加起来和30分钟和45分钟相比较就可以解决问题。 列出综合算式之后，观察式子建议使用乘法分配律逆运算进行简便运算。 【解答】5－1＝4（次） 3.2×4＋6.8×4 ＝（3.2＋6.8）×4 ＝40（分钟） 35＜40＜45 答：他30分钟锯不完，45分钟能锯完。 【易错专练4】走楼梯的益处很多，有助于活动关节和降压降脂等。小刚家住在9楼，为了锻炼身体，他步行上楼回家。从1楼走到5楼，他用了120秒，如果用同样的速度，小刚走到自己家所在楼层共需要多长时间？ 【答案】240秒 【分析】从1楼走到5楼，需要走（5－1）层楼梯，用120÷（5－1），求出走1层楼梯需要的时间；从1楼走的9楼，需要走（9－1）层楼梯，用走1层楼梯需要的时间×（9－1），即可解答。 【解答】120÷（5－1）×（9－1） ＝120÷4×8 ＝30×8 ＝240（秒） 答：小刚走到自己家所在楼层共需要240秒。 易错点5：“封闭图形”与“直线型”植树问题混淆，错误地加1或减1。 【易错专练1】王爷爷在自家圆形菜地的边缘等距离地搭了40个豇豆架（用于豇豆攀爬生长）。现在他打算拆除豇豆架，在菜地边缘改种茄子苗，每隔6米种一棵，一共种了60棵茄子苗。原来相邻两个豇豆架之间的距离是多少米？ 【答案】9米 【分析】封闭图形里植树，棵数＝段数，茄子苗的间距×段数＝菜地周长，菜地周长÷豇豆架的个数＝豇豆架的间距，据此列式解答。 【解答】6×60÷40 ＝360÷40 ＝9（米） 答：原来相邻两个豇豆架之间的距离是9米。 【易错专练2】学校运动会开幕式上有一个方阵表演，这个方阵有3层，最外层4条边上每边有25人，第二层4条边上每边有15人，中心的一层4条边上每边有5人，这个方阵最少一共有多少人？ 【答案】168人 【分析】已知方阵最外层每边有25人，第二层每边有15人，中心的一层每边有5人，用每条边上的人数乘4，再减去每条边顶点处重复计算的4人，求出每层人数，再相加，就是这个方阵的总人数。 【解答】（25×4－4）＋（15×4－4）＋（5×4－4） ＝（100－4）＋（60－4）＋（20－4） ＝96＋56＋16 ＝168（人） 答：这个方阵最少一共有168人。 【易错专练3】学校100周年校庆的舞台是长方形的，舞台上方每隔3米安装一盏投射灯，四个角都要安装（如图所示），一共安装了36盏投射灯，舞台的面积是多少平方米？ 【答案】720平方米 【分析】观察可知，一条长边有11盏灯，根据植树问题两端都栽，长边两端都有灯，可知长边有个间隔，每个间隔是3米，可用乘法计算长的长度，用，可得到宽除了两端中间有7盏灯，又根据植树问题两端都不栽，可知宽有个间隔，再乘3可得宽的长度，最后根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。 【解答】长：（11－1）×3 ＝10×3 ＝30（米） 宽：（36－11×2）÷2 ＝（36－22）÷2 ＝14÷2 ＝7（盏） （7＋1）×3 ＝8×3 ＝24（米） 面积：30×24＝720（平方米） 答：舞台的面积是720平方米。 【易错专练4】植树节时，五年级同学在正方形空地上栽树（四个角都栽），最外层每边栽了10棵树苗，最外层一共栽了多少棵树苗？整个空地全部栽满，每两棵树的间隔相同，这块空地一共栽了多少棵树苗？ 【答案】36棵；100棵 【分析】将每边栽的数量乘4，再减去四个角上多算了一遍的4棵，求出最外层一共栽了多少棵树苗。整个空地全部栽满，说明栽了10行10列的树苗，那么用10×10，即可计算出这块空地一共栽了多少棵树苗。 【解答】10×4－4 ＝40－4 ＝36（棵）       10×10＝100（棵） 答：最外层一共栽了36棵树苗；这块空地一共栽了100棵树苗。 【易错专练5】为了庆祝国庆节，同学们举行联欢会，他们打算在教室四周挂上气球。教室长8米，宽6米，每隔2米挂一个气球，四角都挂上，共需多少个气球？ 【答案】14个 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，先求出教室一周长度，再根据植树问题的解题方法，封闭图形植树，棵数＝段数，教室一周长度÷气球间距＝气球个数，列式解答即可。 【解答】（8＋6）×2÷2 ＝14×2÷2 ＝14（个） 答：共需14个气球。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 常考易错知识点专题突破 2025-2026学年五年级上册数学 （七大专题35个突破点） 目录 专题一小数乘法 3 易错点1：计算时应先计算出结果，再点小数点 3 易错点2：注意小数乘法中当积中小数位数不够时，应用“0”补足 4 易错点3：求积的近似数时，近似数末尾的0不能省略 5 易错点4：运用乘法分配律进行简便计算时，应将两个加数分别与因数相乘。注意不要漏掉。 6 易错点5：运用小数的估算解决实际问题时选错估算方法导致结果错误 7 易错点6：解决分段计费问题要注意考虑所有部分，漏掉会导致计算错误 9 专题二位置 11 易错点1：用数对表示位置时,不能将行和列的位置颠倒。 11 易错点2：平移后坐标计算错误​ 14 易错点3：对称点坐标错误。 18 易错点4：方向与坐标结合错误。 19 专题三小数除法 22 易错点1：在小数除法计算过程中除到某一位不够除时 ,应商0占位。 22 易错点2：小数除以整数时，商的小数点定位错误​ 24 易错点3：被除数和除数的小数点移动的位数要相同。 25 易错点4：循环小数的表示方法错误或认识错误。 26 易错点5：取近似数时,要根据实际情况采用“进一法”或“去尾法”。 26 易错点6：逆向思维问题（已知总费用求数量）。 28 专题四可能性 30 易错点1：对“可能”、“一定”、“不可能”的理解和使用不准确。 30 易错点2：混淆“可能性大小”与实际操作的“不确定性”。 32 易错点3：事件发生的可能性的大小与数量有关,个体在总体中所占数量越多,可能性越大。 34 易错点4：可能性的实际应用中错误。 35 专题五简易方程 37 易错点1：用字母表示数的书写不规范 37 易错点2：解方程时，等式的性质运用错误。 39 易错点3：列方程解决实际问题时，等量关系找错。 40 专题六多边形的面积 43 易错点1：面积公式混淆或记忆错误。 43 易错点2：运用平行四边形的面积公式计算时，高与底没有对应。 44 易错点3：三角形面积和平行四边形的面积的关系运用错误。 46 易错点4：利用面积公式反求底或高时，忘记乘以2或除以2。 47 易错点5：计算组合图形面积时，方法繁琐或数据使用错误。 48 易错点6：估算面积时，未能正确算出格子数量。 49 易错点7：实际问题未去除非面积部分。 51 专题七数学广角—植树问题 53 易错点1：情况混淆，公式张冠李戴。 53 易错点2：对“间隔数”的理解和计算错误。 54 易错点3：对“两旁”、“两侧”、“两边”植树问题处理错误。 55 易错点4：将“植树问题”模型迁移到其他类似场景时识别错误。 57 易错点5：“封闭图形”与“直线型”植树问题混淆，错误地加1或减1。 58 专题一小数乘法 易错点1：计算时应先计算出结果，再点小数点 【易错专练1】列竖式计算。 700×0.256＝ 【易错专练2】用竖式计算。  0.35×600＝ 【易错专练3】用竖式计算。 170×5.03＝ 【易错专练4】列竖式计算下面各题。 0.86×7＝        3.3×16＝         12.8×42＝         0.19×40＝ 【易错专练五】竖式计算。 216×0.03＝        3.6×12＝        0.72×80＝ 2.08×15＝        12.4×11＝        4.25×13＝ 易错点2：注意小数乘法中当积中小数位数不够时，应用“0”补足 【易错专练1】列竖式计算。 0.38×0.25＝ 【易错专练2】列竖式计算。 4.05×0.18＝ 【易错专练3】竖式计算。 20.5×0.012＝        0.25×0.25＝         【易错专练4】竖式计算。  0.052×0.25＝ 【易错专练五】竖式计算。 3.14×0.25＝ 易错点3：求积的近似数时，近似数末尾的0不能省略 【易错专练1】求出下面各题积的近似值。 （1）得数保留一位小数：7.2×0.09    0.86×3.2 （2）得数保留两位小数：0.28×0.7    5.89×3.6 【易错专练2】得数保留两位小数。 4.53×0.82≈        17.08×4.6≈        0.488×0.21≈        2.6×0.57≈ 【易错专练3】得数保留一位小数。 6.3×1.05≈        5.64×0.73≈        1.28×3.4≈        12.5×0.29≈ 【易错专练4】按要求计算下面各题。（得数保留两位小数。） 0.86×1.6≈           2.34×0.15≈            1.05×0.26≈ 【易错专练五】6.8×6      （得数保留整数）   0.8×0.9       （得数保留一位小数）         1.7×0.45      （得数保留两位小数） 易错点4：运用乘法分配律进行简便计算时，应将两个加数分别与因数相乘。注意不要漏掉。 【易错专练1】怎样简便就怎样计算。            【易错专练2】计算下面各题。（能简算的要简算） 6.7×99＋6.7         78×0.11＋8.9×7.8 【易错专练3】计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 （1）    （2） 【易错专练4】怎样简便怎样计算。 7.8×1.26＋8.74×7.8          0.875×101－0.875 【易错专练五】计算下面各题，能简算的要简算。 1.8×5.6＋4.4×1.8              （8＋0.8）×1.25 易错点5：运用小数的估算解决实际问题时选错估算方法导致结果错误 【易错专练1】中国二十四节气中的“冬至”有吃汤圆的传统习俗，“圆”意味着“团圆”“圆满”。学校食堂计划买14袋花生汤圆和4袋芝麻汤圆，200元够吗？请你写出思考过程。 类别 净含量 价格 花生汤圆 200克 9.6元/袋 芝麻汤圆 320克 14.6元/袋 【易错专练2】某超市里每袋大米57.9元，每斤牛肉28.8元，估一估妈妈买1袋大米和两斤牛肉120元钱够吗？ 【易错专练3】张老师带了150元钱，买了29千克大米和0.95千克肉之后，请你估一估，剩下的钱够买3千克的鸡蛋吗？ 食品 大米 肉 鸡蛋 单价（元/千克） 3元 28元 9.8 【易错专练4】妈妈带100元到超市购物，买了2千克鸡蛋，单价是6.9元/千克，又买了2箱牛奶，单价是29.8元/箱。 （1）估计一下，妈妈大约用去多少元？ （2）超市的大米有两种规格的包装，大袋的单价是35.4元/袋，小袋的单价是24.6元/袋。剩下的钱还够买一袋大米吗？能买大袋的，还是小袋的？ 【易错专练五】“美团外卖”已经成为年轻人比较喜欢的饮食消费方式。午饭时间到了，小王和几个同事准备在公司一块儿点外卖下单。某商家网上价格如下： 黄焖鸡米饭 珍珠奶茶 黄焖排骨饭 烤香肠 22.8元/份 7元/杯 24.2元/份 4.5元/根 （1）小王在这个商家点了3份黄焖鸡米饭、2杯珍珠奶茶和5根烤香肠。支付120元够吗？ （2）公司距离下单商家6.8千米处。根据下面的外卖配送收费标准，小王还需要支付多少元外卖配送费？ 易错点6：解决分段计费问题要注意考虑所有部分，漏掉会导致计算错误 【易错专练1】实验小学开展读书活动，五（1）班杨老师要给25名学生每人买一本《海底两万里》，买书时，杨老师需要付多少元钱？ 【易错专练2】石家庄出租车起步价8元，含3千米里程，超过3千米部分每千米1.6元（不足1千米按1千米计算），红红和妈妈从家打车到科技馆共行驶5.8千米，应付多少元车费？ 【易错专练3】综合与实践——家庭用电调查。 为了减少能源的浪费，重庆市2022年1月1日起针对不同用电量的居民执行不同的阶梯电价分档如下： 第一档：年用电量为2400千瓦时（含）以内，0.52元/千瓦时； 第二档：年用电量为2401~4800千瓦时（含）以内0.57元/千瓦时； 第三档：年用电量为4801千瓦时（含）以上0.82元/千瓦时 王阿姨家一年的用电量是3900千瓦时，算一算她家一年的电费多少元？ 【易错专练4】下表是一个停车场的收费表（不足1小时的按1小时算）。如果张叔叔在这个停车场从14：30停车到20：00，需要付停车费多少元？ 上午7：00～下午5：00 第一小时 6元 第二小时开始 4.5元/时 下午5：00～上午7：00 15元/次 【易错专练五】（1）王老师从北京出发去随州旅游，在特产店里买了一些特产，下面是某特产店的部分商品价格。王老师在店里买了15盒蜜枣（每盒0.2千克）和6箱泡泡青（每箱1.5千克），付221元够吗？ （2）王老师为减轻行李的重量，准备将购买的这些特产用快递寄回家，选用的快递公司收费标准见下表，共需付多少元快递费？ 收费标准 2千克及以内 超过2千克的部分 省内市外 8元 每千克3.6元 省外 12元 每千克5.5元 专题二位置 易错点1：用数对表示位置时,不能将行和列的位置颠倒。 【易错专练1】体育课上，明明站在第4列第2行，用数对表示，亮亮站在明明的正前方，亮亮的位置用数对表示是（    ）。 A． B． C． D． 【易错专练2】下面诗句中，“新”字的位置用数对表示是（    ）。 4 空 山 新 雨 后 3 天 气 晚 来 秋 2 明 月 松 间 照 1 清 泉 石 上 流 1 2 3 4 5 A．（3，4） B．（4，3） C．（4，4） 【易错专练3】如图，的位置是（2，3），的位置是（    ）。 A．（4，5） B．（5，4） C．（3，2） D．无法确定 【易错专练4】下五子棋时，黑方一子落下（如图中“×”的位置），同时形成两个或两个以上的“四”的情况，那么下一步黑棋应该落在哪个位置？这个位置用数对表示为（    ）。 A．（D，5） B．（6，D） C．（5，D） D．（D，6） 【易错专练5】在一个方格图里，如果点A用数对（3，3）表示，点B用数对（6，7）表示，点C用数对（3，7）表示，那么三角形ABC一定是（    ）三角形。 A．等腰 B．直角 C．锐角 D．钝角 【易错专练6】小强在教室的位置用数对表示是（4，6），小松坐在与他同一列的位置上，小松的位置可能是（    ）。 A．（6，5） B．（3，6） C．（4，2） 【易错专练7】学校组织观看《生命至上》安全教育宣传片，欢欢坐在报告厅（1，2）的位置上，明明坐在（1，4）的位置上，壮壮与他俩坐在同一条直线上，壮壮可能坐在（    ）的位置上。 A．（1，3） B．（2，4） C．（2，1） D．（4，1） 【易错专练8】五子棋是全国智力运动会竞技项目之一，对弈双方分别使用黑、白两色棋子，先形成五子连珠者获胜。下图是两名同学的对弈情况，最左面白棋的位置记作（B，4），那么下一步黑棋放在（    ）位置就获胜了。 A．（4，G） B．（G，4） C．（F，2） D．（A，4） 【易错专练9】在学校运动会上若干名运动员组成一个方阵，方阵四个角上的运动员的位置用数对表示分别是（1，1），（1，8），（12，1），（12，8）。这个方阵一共有（    ）名运动员。 A．20 B．144 C．64 D．96 【易错专练10】如图，在长方形ABCD中，点A用数对（3，8）表示，点C用数对（7，6）表示。那么点B的位置用数对表示为（    ）。 A．（3，6） B．（7，8） C．（3，8） D．（7，6） 易错点2：平移后坐标计算错误​ 【易错专练1】数对（4，7）是数对（5，4）如何变化来的？ 【易错专练2】数对（6，8）是数对（4，3）如何变化来的？ 【易错专练3】操作。 （1）请在下面的括号里用数对表示出图中各个点的位置。 A（    ），B（    ），C（    ），D（    ），E（    ），F（    ）。 （2）请你画出这条“鱼”向右平移5格后的图形。 【易错专练4】（1）在图中标出平行四边形各个顶点的位置。 （2）画出将平行四边形先向右平移4格，再向上平移3格后的图形，并写出平移后得到的图形的顶点的位置。 【易错专练5】操作题。    （1）用数对表示小房子屋顶三个点的位置。 A    B    C             （2）画出小房子先向上平移4格，再向右平移4格后的位置。 【易错专练6】   （1）用数对表示出A、B、C的位置；A（    ）、B（    ）、C（    ） （2）画出向下平移6格后的图形。 （3）我发现：图形向下平移时，改变了顶点所在的（    ），没有改变顶点所在的（    ）。 【易错专练7】按要求完成下列各题。 （1）网格中的三条线段通过平移使三条线段AB、CD、EF首尾顺次相接组成一个三角形，画出这个三角形。怎样移动三条边？请写出边的移动过程。 （2）组成三角形后各顶点的位置。 （ ， ）、（ ， ）、（ ， ）。 易错点3：对称点坐标错误。 【易错专练1】如图，四边形ABCD是直角梯形。 （1）点A的位置可以用数对（    ）表示，D的位置可以用数对（    ）表示。 （2）画出梯形ABCD以BC边所在的直线为对称轴的轴对称图形。点A的对应点A'的位置可以用数对（    ）表示。 （3）画出梯形ABCD向上平移4格再向右平移2格后的图形。平移后点A的对应点可以用数对（    ）表示。 【易错专练2】（1）下图中点C的位置用数对表示是（5，3），那么点A的位置用数对表示是（    ），点B的位置用数对表示是（    ）。 （2）以L为对称轴，面出三角形ABC关于L成轴对称的图形三角形A'B'C'，那么点A'的位置用数对表示是（    ），点B'的位置用数对表示是（    ）。 【易错专练3】操作。 （1）以直线m为对称轴，画出三角形ABC的轴对称图形三角形A1B1C1，三角形A1B1C1三个顶点的位置用数对表示分别是A1（      ），B1（      ），C1（      ）。 （2）只移动点B，让三角形ABC变成直角三角形，那么移动后点B的位置用数对表示是（      ）。 （3）找一点D，与点A、B、C组成一个平行四边形，那么点D的位置用数对表示是（      ）。 易错点4：方向与坐标结合错误。 【易错专练1】下面是某城市部分小区的分布示意图。 （1）阳光花园的位置用（7，4）表示，请写出其他小区的位置。 玫瑰城（    ），橡树湾（    ），西苑小区（    ），锦绣城（    ），紫悦城（    ），齐泰花园（    ）。 （2）小艺家在锦绣城以西100米，再往北300米处；外婆家在阳光花园以东400米，再往南200米处。请在图中标出小艺家和外婆家的位置。 【易错专练2】动手操作并回答问题。 如图是某城市体育场附近的平面图。 （1）书店的位置用数对（2，3）表示，请你用数对表示出其他地方的位置。 银行（    ）；公园（    ）；商场（    ）；邮局（    ）。 （2）小明家在体育场以东600米，再往北200米处，在图中标出它的位置。 （3）周末，小晨的活动路线是（0，0）→（2，3）→（4，4）→（2，5）。你知道这一天他先后去了哪些地方吗？ 【易错专练3】下面是小明绘制的学校附近各场所的位置分布情况图。 （1）体育馆的位置用数对表示，请用数对表示出下面场所的位置。 学校（  ，  ）银行（  ，  ） （2）小明家在学校以东200米，再往北300米处，请用“△”标出小明家的位置。 （3）星期日，小明的活动路线是，他这一天先后去了（    ），（    ），（    ），（    ）。 【易错专练4】 （1） 如果碰碰车的位置用（5，1）表示，请你表示出下面两个地点的位置。 跷跷板（    ）    跳跳床（    ） （2）如果过山车的位置是（1，3），秋千在跳跳床以东200米，再往北300米处。请你在图中标出过山车和秋千的位置。 （3）星期天，欢欢在这个游乐园的游玩路线是 （1，3）→（2，5）→（5，5）→（5，1），请你写出欢欢一天先后去了哪些地方。 【易错专练5】下图是某极地海洋世界的示意图（每个方格的边长表示200m），入口大厅的位置用数对表示是（5，1）。 （1）海洋餐厅北面600米处是（      ），用数对表示是（    ）。 （2）鲨鱼馆在海底寻宝南面200米处，鲨鱼馆的位置用数对表示是（    ）。在图中用“▲”标出鲨鱼管的位置。 （3）欢欢一家的游览路线是（1，3）→（3，4）→（4，3）→（7，1），请依次写出他们去过的地方。 _________→________→__________→__________ 专题三小数除法 易错点1：在小数除法计算过程中除到某一位不够除时 ,应商0占位。 【易错专练1】用竖式计算。 14.49÷7      2.16÷12      2.1÷14      49.92÷24 【易错专练2】计算下面各题，并用乘法验算。 15.6÷12    328÷16    1.35÷27    0.646÷19 【易错专练3】列竖式计算。 3.88÷4＝                    2.688÷48＝             26.52÷16＝ 【易错专练4】先计算，再用乘法验算。 64.8÷18＝        13÷25＝         1.69÷26＝       3.9÷65＝ 【易错专练5】竖式计算 5.32÷5                 4÷25                 35÷56 0.63÷9                  7.79÷95               43.8÷12 易错点2：小数除以整数时，商的小数点定位错误​ 【易错专练1】列竖式计算，带△的要验算。 95÷25＝        25.2÷8＝        △1.272÷24＝ 【易错专练2】列竖式计算。 95.6÷4＝        25.68÷6＝        28.21÷13＝        22.5÷15＝ 【易错专练3】列竖式计算下面各题。 9.6÷4＝             25.2÷6＝             34.5÷15＝ 【易错专练4】列竖式计算。 25.5÷5＝                40.5÷5＝ 39.6÷11＝             79.26÷6＝ 【易错专练5】列竖式计算。 47.2÷4＝       56.5÷5＝       38.4÷6＝ 易错点3：被除数和除数的小数点移动的位数要相同。 【易错专练1】列竖式计算。 50.4÷0.28＝        0.7÷0.035＝        4÷12.5＝        29.4÷0.28＝ 【易错专练2】列竖式计算。 18.6÷0.3＝        4.14÷0.23＝        17.5÷0.7＝        67.6÷2.6＝ 【易错专练3】竖式计算，最后一题要验算。 45.6÷6＝                        ★9.36÷5.2＝ 【易错专练4】用竖式计算。（带★要验算） 84÷24 ＝        4.68÷1.3＝         ★23.8÷0.17＝ 【易错专练5】列竖式计算，带☆号验算。 ☆6.592÷3.2＝            70÷5.6＝ 易错点4：循环小数的表示方法错误或认识错误。 【易错专练1】6÷11的商是一个（ ）小数，用简便形式写是（ ），保留两位小数约是（ ）。 【易错专练2】循环小数2.747474…可以简写成（ ），这个数保留两位小数是（ ）。 【易错专练3】用循环小数的简便形式表示40÷55的商是（ ），保留两位小数是（ ），保留三位小数是（ ）。 【易错专练4】循环小数64.864864…用简便方法表示是（ ），保留一位小数约是（ ），保留两位小数约是（ ）。 【易错专练5】14÷6的商是循环小数，用简便方法可以记作（ ），保留两位小数是（ ）。 易错点5：取近似数时,要根据实际情况采用“进一法”或“去尾法”。 【易错专练1】科学课上，为了制作火山爆发的模型，同学们准备了小苏打、面粉、红墨水和水的浆状混合物6.6千克，将它倒进小瓶子里，每个瓶子最多可装0.5千克，需要多少个这样的瓶子？ 【易错专练2】一堆货物共35吨，用载重4.5吨的货车运送，至少几次才能运完？ 【易错专练3】李师傅买回50米红绸布为学生做红领巾，计划每条红领巾用布0.21米，实际每条红领巾比计划节约用布0.02米。实际比计划多做红领巾多少条？ 【易错专练4】王叔叔业余时间喜欢编鸟笼，他有一根70米长的铁丝，编一个鸟笼需要10.5米铁丝，最多能编多少个这样的鸟笼？ 【易错专练5】王叔叔制作工艺品鹅（如下图），他用12.6米长的钢丝最多能制作多少只工艺品鹅？ 易错点6：逆向思维问题（已知总费用求数量）。 【易错专练1】为了方便市民行车出行方便，政府规划建造了很多公共停车场。 停车场收费标准 1小时内 收费6元 超过1小时部分 每小时收费2.5元（不足小时按1小时计算） （1）陈叔叔停车193分钟，应交费多少元？ （2）王阿姨交了停车费18.5元，她在这个停车场最多停了几小时？ 【易错专练2】目前，能源紧缺和环境污染已成为制约经济社会可持续发展的主要矛盾。对居民用电实行阶梯电价政策，是许多能源紧缺国家为应对能源价格高涨、抑制能源不合理消耗而采取的重要措施之一。某市“阶梯电价”收费标准见表： 月用电量/千瓦时 180及以下 181～260 261及以上 每千瓦时电价/元 0.56 0.61 0.68 李叔叔8月支付电费113元，他家这个月一共用电多少千瓦时？ 【易错专练3】代驾是指当车主不能自行开车时，由专业驾驶人员代替车主驾驶汽车，将其送到指定地点，并收取一定费用的行为。某平台日常代驾计费标准如下表。 时段 8千米及以内 超过8千米的部分 备注 6：00—21：59 35元 3.5元/千米 行程不足1千米，按1千米计算 22：00—次日6：59 58元 4.5元/千米 叔叔参加聚会22：30结束时，在该平台预约了代驾服务。到达目的地后，他付了89.5元代驾费。这次代驾服务的行驶里程最多是多少千米？ 【易错专练4】某市居民用电按阶梯收费，收费标准如下表。 分档 户月用电量（千瓦时） 电价标准（元/千瓦时） 第一档 1~240 0.49 第二档 241~400 0.53 第三档 400以上 0.79 （1）小明家上月用电440千瓦时，电费是多少？ （2）小聪家上月电费160元，用电多少千瓦时？ 【易错专练5】某区自来水公司为鼓励节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费。如表所示是某区用水收费标准： 用水量（吨/户） 价格（元/吨） 10吨以下（包括10吨） 2.4 10～20吨（包括20吨） 3.6 20吨以上 4.8 （1）东东家十月份一共用水12吨，需要付多少元水费？ （2）乐乐家十月份一共用水24吨，需要付多少元水费？ （3）小丽家十月份共付水费45.6元，那么小丽家十月份用水多少吨？ 专题四可能性 易错点1：对“可能”、“一定”、“不可能”的理解和使用不准确。 【易错专练1】小梅、乐乐、晓晓各插了一个花篮。小梅说：“我的花篮里找不到兰花。”乐乐说：“你会在我的花篮里找到百合。”晓晓说：“在我的花篮中拿出的都是玫瑰。”根据她们的对话判断，小梅的花篮中（ ）有兰花，乐乐的花篮中（ ）有兰花，晓晓的花篮中（ ）有玫瑰。（括号里填“一定”“可能”或“不可能”） 【易错专练2】选择“一定”“可能”或“不可能”填在下面的括号里。 □.5×□.8的积（ ）是两位小数。 □.9÷□.3的商（ ）是整数。 【易错专练3】用“可能”“一定”“不可能”填空。 （1）今天星期日，明天（ ）是星期一。 （2）小红的年龄（ ）比她妈妈的年龄大。 （3）下周末（ ）下雨。 【易错专练4】我会选。 （1）可能摸出白色球的是（ ）号。 （2）可能摸出黑色球的是（ ）号。 （3）一定能摸出白色球的是（ ）号。 【易错专练5】火眼金睛你最棒。（用数字“1”表示一定发生，“0”表示不可能发生） （1）玻璃杯从很高的地方落在水泥地面上，这玻璃杯破碎的可能性为（ ）。 （2）太阳每天早晨升起的可能性为（ ）。 （3）在深圳，一年四季都下雪的可能性为（ ）。 （4）一粒有1~6共六个数字的骰子，随便怎么投掷，出现数字“7”的可能性为（ ）。 易错点2：混淆“可能性大小”与实际操作的“不确定性”。 【易错专练1】一个不透明的盒子里有8个白球和2个黑球，小花连续摸了5次都是白球（每次摸完后把球放回去摇匀），再摸一次，（    ）。 A．摸到黑球的可能性大 B．摸到白球的可能性大 C．一定摸到白球 D．一定摸到黑球 【易错专练2】肖老师在课堂上组织摸球活动，具体活动情况如下：在不透明箱子中放入若干只有颜色不同，其它完全相同的白球和红球，前10次摸球的结果记录表如下。则下面描述正确的是（    ）。 种类 白球 红球 次数 5 5 A．红球数一定和白球同样多 B．红球不可能和白球同样多 C．再摸一次可能会摸到白球 D．再摸一次一定能摸到红球 【易错专练3】从下面盒子中任意摸出一个球，下面说法正确的是（    ）。 A．一定摸到黑球 B．不可能摸到白球 C．摸到黑球的可能性大 D．摸到白球的可能性大 【易错专练4】8个小组研究事件发生的可能性，设计了如下活动：在装有红、黄两种颜色小球的盒子里摸球，每个小组盒子里装的球都一样。每次摸出一个球，记录下颜色，再放回摇匀，重复20次，结果如下。 小组 1 2 3 4 5 6 7 8 合计 摸出红球的次数 15 16 12 18 15 16 14 17 123 摸出黄球的次数 5 4 8 2 5 4 6 3 37 下面是四位同学根据统计结果作出的推断，说法错误的是（    ）。 A．再接着摸一次，可能摸出红球，也可能摸出黄球。 B．红球个数一定比黄球多。 C．红球个数可能比黄球多。 D．如果每个小组再这样重复摸20次，那么摸出黄球的合计次数可能是40次。 【易错专练5】聪聪玩飞镖，如图所示（单位：分）。如果她第一次投中4分，第二次投中2分，第三次投中3分，她要投第四次，下面说法正确的是（    ）。 A．一定能投中4分 B．不可能投中4分 C．一定能投中1分 D．可能投中2分 易错点3：事件发生的可能性的大小与数量有关,个体在总体中所占数量越多,可 能性越大。 【易错专练1】袋里装了1个白球、3个黑球和6个红球，小红从中任意摸出一个球，摸到（ ）球的可能性最大，摸到（ ）球的可能性最小。 【易错专练2】叶铭抛掷一个小正方体，这个小正方体各个面上写着红、蓝、红、黄、蓝、红，小正方体落地后，朝上一面的汉字可能出现的情况有（ ）种，掷到（ ）字的可能性最大。 【易错专练3】国庆期间，超市举行抽奖有礼活动。有两个盒子，每个盒子里都放着1、2、3、4、5、6六张卡片，从两个盒子中各抽一张，所得数字之和有（ ）种可能。如果你是顾客，你希望超市选择和是（ ）来作为一等奖。 【易错专练4】如图，有①、②、③、④四个转盘，悟空和八戒玩转盘游戏。游戏规则是：转动一次转盘，指针停在灰色区域，悟空赢，停在白色区域，八戒赢。完成下面的问题。 （1）要让八戒赢的可能性大，应该在（ ）转盘上玩。 （2）要让悟空赢的可能性大，应该在（ ）转盘上玩。 【易错专练5】元旦联欢会上有一个闯关游戏，将5张画有大象、老虎、牡丹花、蜻蜓、蝴蝶的卡片任意摆放，有图的那面朝下，从中任意翻出一张，如果翻出的图是地上跑的动物，男生赢；如果翻出的图是植物，女生赢；如果翻出的图是昆虫，老师赢。（ ）赢的可能性最小，（ ）和（ ）赢的可能性相等。 易错点4：可能性的实际应用中错误。 【易错专练1】乐福超市迎新促销设计了集“福”活动，集福箱中有一些大小、形状相同的福卡，要使摸到“①爱国福”的可能性最大，摸到“②敬业福”的可能性最小，可能摸到“③和谐福”，不可能摸到“④友善福”。如果集福箱至少装6张福卡，分别应装几张？请你写一写（写序号）。 【易错专练2】十字路口红绿灯的时间设置为：红灯60秒，绿灯30秒，黄灯3秒。当你随意经过该路口时，遇到（ ）灯的可能性最大。 【易错专练3】一个箱子里装有除颜色外其他都相同的8个红球和8个白球，每次拿出一个球（不放回），前3次情况如表所示，第4次拿到（ ）的可能性比较大。 次序 第1次 第2次 第3次 颜色 红 红 白 【易错专练4】一个袋子里面放有16个球，其中有3个红球，2个黄球，8个白球和3个黑球，任意摸一次，摸到（ ）球的可能性最大，摸到（ ）球的可能性最小，摸到（ ）球和（ ）球的可能性一样大，在袋子里（ ）（填“可能”或“不可能”）摸到蓝球。 【易错专练5】某商场设计了两个可以转动的转盘，它们每次转动停下后，都有两个数正好相对（如下图）。 获奖规则 三等奖可能性最大，二等奖次之，一等奖可能性最小。 （1）相对两个数的和是6的情况共有（       ）种。 （2）根据转盘上相对两个数和的不同及“获奖规则”，请你为商场设计奖项，将下面表格填写完整。 相对两个数的和 奖项 奖品 一等奖 笔记本电脑 二等奖 台灯 三等奖 签字笔 专题五简易方程 易错点1：用字母表示数的书写不规范 【易错专练1】的4.5倍与的和可以表示为（ ）。 【易错专练2】一袋面粉30.5元，a袋面粉需要花（ ）元钱；b元钱能买（ ）袋面粉。 【易错专练3】用含字母的式子表示下表里的未知量。 速度（米/分） 时间（分） 路程（米） v 3 （    ） 6 （    ） s 【易错专练4】小明有一本他特别喜欢看的故事书，这本书有页，小明每天看5页，看了天，用式子表示还没有看的页数是（ ）页。 【易错专练5】高铁G7541从上海驶往杭州，每小时行千米，行1.2小时后距离杭州还有千米。请用含有字母的式子表示从上海到杭州的路程共有（ ）千米，这列高铁到达杭州还需行（ ）小时。 【易错专练6】一堆货物有300吨，一辆卡车每次运20吨，已经运了x次，运了（ ）吨，还剩下（ ）吨。 【易错专练7】一辆自行车元，一辆公路自行车的价钱是一辆自行车的2.6倍。表示（ ），表示（ ）。 【易错专练8】小丽每天记a个成语，丁丁每天比小丽多记2个成语，丁丁一周记（ ）个成语。 【易错专练9】一辆汽车，每小时行驶a千米，上午行驶了4小时，下午行驶了b千米，4a表示（ ），4a＋b表示（ ）。 【易错专练10】北京大学共有1200名学生担任了2022年冬奥会志愿者，其中担任志愿者的男生有a人，那么担任志愿者的女生有（ ）人。 易错点2：解方程时，等式的性质运用错误。 【易错专练1】解方程。 3.5×6－3x＝11.4          7.4x－3.9＝4.8x＋11.7 【易错专练2】解方程。     【易错专练3】解方程。 0.1（x＋6）＝3.3        9.8－4x＝3.8 【易错专练4】解方程。                      【易错专练5】解方程。                            【易错专练6】解方程。 3.5x＋2.5×6＝85         12y－5y＝294         x＋2.5x＝24.5 【易错专练7】解方程。 5x＋5.5＝7        6×4－0.5x＝12.8        3（x＋2.1）＝10.5 【易错专练8】解方程。 6.8÷x＝2        x－0.75x＝5               0.3×（18－x）＝4.8 【易错专练9】解方程。 2x＋3.2x＝26        62.4－3x＝24.6        （x－4）÷2＝7.5 【易错专练10】解方程。 7.6÷＝0.08        8（－20）＝25.6      5＋0.3×8＝7.7 易错点3：列方程解决实际问题时，等量关系找错。 【易错专练1】甲、乙两辆汽车同时从相距486千米的两地相对开出，经过3.6小时相遇。已知甲车每小时行75千米，乙车每小时行多少千米？（用方程解答） 【易错专练2】一种大型货车的载货量是18吨，比一种中型货车载货量的3倍还多3吨。这种中型货车的载货量是多少吨？ 【易错专练3】某品牌共享充电宝第1小时收费3元，超过1小时后，每小时收2元（不足1小时按1小时算），1天的封顶价为30元。小周这天用这品牌充电宝充电，花了7元，他这一天充电最长几小时？（列方程解答） 【易错专练4】水果店运来79箱苹果，比运来梨的3倍少2箱。水果店运来梨多少箱？（用方程解） 【易错专练5】一辆摩托车每小时行驶的速度是42千米，比一辆自行车每小时行驶的速度的2.5倍少0.5千米，这辆自行车每小时行驶多少千米？（用方程解答） 【易错专练6】爸爸、妈妈带着亮亮和妹妹一起到达梁山风景区，买门票共用去175元。已知身高1.50米以上全票，1.20～1.50米的儿童享受半价票，一张全价和半价票各多少元？ 爸爸身高：1.78米 妈妈身高：1.65米 亮亮身高：1.52米 妹妹身高：1.25米 【易错专练7】滇池是云南省最大的淡水湖，有“高原明珠”之称，水域面积有330平方千米，比泸沽湖的7倍少20平方千米，泸沾湖的水域面积是多少平方千米？ 【易错专练8】几名少先队员去植树。如果每个人植6棵，还有10棵没有人植；如果每个人植4棵，还有22棵没有人植。那么有几名少先队员？一共要植多少棵树？ 【易错专练9】国家速滑馆是2022年北京冬奥会标志性场馆之一，其外形由3360块美丽的“丝带”曲面玻璃幕墙环绕，因此，又被称为“冰丝带”。甲、乙两个施工队在35天内共同完成了“冰丝带”的玻璃安装任务，甲队平均每天安装45块玻璃，乙队平均每天要安装多少玻璃？ 【易错专练10】“微信运动”可以记录每天的步数。下图显示的是李叔叔今天的步数，他比王叔叔的2倍还多157步。王叔叔今天走了多少步？（先写出等量关系式，再列方程解答） （1）等量关系式：__________。 （2）列方程解答。 专题六多边形的面积 易错点1：面积公式混淆或记忆错误。 【易错专练1】求下面图的面积。 【易错专练2】计算下面图形的面积。 【易错专练3】计算下面各图形的面积。（单位：分米） 【易错专练4】计算下面图形的面积。 【易错专练5】求图形的面积。 易错点2：运用平行四边形的面积公式计算时，高与底没有对应。 【易错专练1】一个平行四边形的两条邻边分别是4分米、6分米，一组对边的距离是5分米。这个平行四边形的面积是（    ）平方分米。 A．20 B．30 C．24 D．无法确定 【易错专练2】有一个平行四边形，李芳测量出它两条相邻的边长分别是6厘米和8厘米，其中一条底边上的高是7厘米，这个平行四边形的面积是（    ）。 A．42平方厘米 B．56平方厘米 C．48平方厘米 【易错专练3】一个平行四边形相邻的两条边的长度分别是10厘米和8厘米，其中一条边上的高是9厘米，这个平行四边形的面积是（    ）平方厘米。 A．90 B．80 C．72 D．90或72 【易错专练4】一个平行四边形相邻的两条边分别长为20cm、10cm，其中一条高为12cm，这个平行四边形的面积是（    ）cm2。 A．10×12 B．20×12 C．20×10 D．（20＋10）×12÷2 【易错专练5】如图，计算平行四边形面积的正确算式是（    ）。 A．2×3 B．3×2.4 C．2×2.4 D．2.4×1.6 易错点3：三角形面积和平行四边形的面积的关系运用错误。 【易错专练1】一个平行四边形的底是6.5分米，高是4分米，它的面积是（ ）平方分米；与它等底等高的三角形面积是（ ）平方分米。 【易错专练2】一个平行四边形的高是9厘米。一个三角形与这个平行四边形的面积相等，底也相等。那么这个三角形的高是（ ）厘米。 【易错专练3】一个三角形与一个平行四边形面积相等。平行四边形的面积是30平方分米，三角形的高是6分米，它的底是（ ）分米。 【易错专练4】一个三角形的面积是30平方分米，与它等底等高的平行四边形的底是10分米，则平行四边形的高是（ ）分米。 【易错专练5】一个三角形的底是12dm，高是5dm，它的面积是（ ）dm2，和它等底等高的平行四边形的面积是（ ）dm2。 易错点4：利用面积公式反求底或高时，忘记乘以2或除以2。 【易错专练1】一个三角形的面积是4平方厘米，它的高是8厘米，底是（ ）厘米。 【易错专练2】一个三角形的面积是3.2dm2，底是1.6dm。这个三角形的高是（ ）dm。 【易错专练3】有一个梯形的面积是35平方米，上、下底的和是17.5分米，这个梯形的高是（ ）分米。 【易错专练4】一个梯形的下底是18cm，如果下底缩短8cm，就成为一个平行四边形，面积减少28cm2，原梯形的高是（ ）cm，面积是（ ）cm2。 【易错专练5】一个梯形的面积是164dm2，上、下底之和是32dm，这个梯形的高是（ ）dm。 易错点5：计算组合图形面积时，方法繁琐或数据使用错误。 【易错专练1】按要求计算。计算组合图形的面积。（单位：厘米） 【易错专练2】计算下面各图形的面积。（单位：厘米） 【易错专练3】计算下列图形的面积。（单位：cm） 【易错专练4】计算下面图形涂色部分的面积。（单位：dm） 【易错专练5】计算下面图形涂色部分面积。（单位：cm） 易错点6：估算面积时，未能正确算出格子数量。 【易错专练1】太谷古称“奥壤”，因“三山为太、九口为谷”而得名，曾享有“中国华尔街”之美誉。图中每一方格代表100平方千米，请你估测一下太谷区的面积大约（ ）平方千米。 【易错专练2】估计下面图形的面积。（每个小方格的面积表示1cm2）    面积约（ ）cm2                    面积约（ ）cm2 【易错专练3】如图所示，“小青蛙”的面积大约是（ ）cm2。（每个小方格的边长表示1cm） 【易错专练4】下图中每个小方格的面积是1cm2，计算图形的面积。 （ ）cm2                   （ ）cm2 【易错专练5】如图，每一小格表示1平方厘米，在括号里填出图中阴影部分的面积。 （ ）平方厘米     （ ）平方厘米      大约是（ ）平方厘米 易错点7：实际问题未去除非面积部分。 【易错专练1】一块长30米、宽20米的长方形草坪中间有两条宽2米的石子路（如图）。如果铺1平方米草坪需要15元，铺好这块草坪需要多少元？ 【易错专练2】绿化草坪是用多年生矮小草本植株密植，并经修剪的人工草地，它是一个城市文明程度的标志之一。下面是伏龙洲公园的一块梯形草坪，草坪中间有一条用石头铺的长方形小路（图中涂色部分）。草坪中实际种草的面积是多少平方米？ 【易错专练3】为改善居民的生活环境，全面提升居民的舒适感、幸福度、满意率，凤凰小区在门口的梯形空地上建个“小花园”，种植了一片花卉。同时为了便于居民观赏，修建了两条3米宽的小路（如图），花卉的种植面积是多少平方米？ 【易错专练4】为贯彻落实“五育并举”、立德树人的根本任务，学校开展了丰富多彩的“劳动教育”实践活动，在校园里开辟了一块菜地。菜地中有一个长11米、宽7米的长方形水池（如图），其余地方种了一些白菜，如果每平方米能收获13千克白菜，这块菜地一共可以收获多少千克的白菜？ 【易错专练5】如下图，有一面墙，中间有一个2.5平方米的窗户，如果砌这面墙平均每平方米用砖185块，一共需要用多少块砖？ 专题七数学广角—植树问题 易错点1：情况混淆，公式张冠李戴。 【易错专练1】武汉建成长80.5公里的生态滨水绿道，计划在绿道两侧种植垂柳，每隔5米种一棵（两端都种），一共需要准备多少棵垂柳苗？ 【易错专练2】园林工人在一条全长800米的公路两旁栽椰子树，每隔25米栽一棵，两端都要栽，一共要栽多少棵椰子树？ 【易错专练3】校园里有一条长12米的小路，现在要在这条路的右边每隔2米摆一盆花，路的两头都要摆，一共需要多少盆花？ 【易错专练4】学校门前的马路长3千米，在路的某一边每隔6米栽一棵树，两端都栽，学校门前的这条马路某一边共栽多少棵树？ 【易错专练5】两个班在一条长40米的走廊一侧摆花盆，每隔5米放一盆花，两端都要放，一班摆前20米，二班接着一班摆，二班需要摆多少盆花？ 易错点2：对“间隔数”的理解和计算错误。 【易错专练1】一个果园的一边等距离地栽了18棵桃树，每两棵桃树中间又栽了一棵杏树，一共要栽多少棵杏树？ 【易错专练2】有52位少先队员排成两列纵队去看展览，队伍前进的速度是每分钟25米，而且前后两人都相距1米。现在要通过一个75米长的地下通道，需要多长时间？ 【易错专练3】在一条长180米的公路的一侧植树，每隔3米植一棵。两端都不植，一共植树多少棵？ 【易错专练4】从南镇到北镇的路的一边共有27根电线杆，相邻两根电线杆之间的距离是30米，现在要重新修改，除两端的2根不动，其余的要拆除，重新在中间竖19根。这时相邻两根电线杆之间的平均距离是多少米？ 【易错专练5】王林学校旁边的一条路长400米，在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树，开头不种树，一共能种多少棵树？ 易错点3：对“两旁”、“两侧”、“两边”植树问题处理错误。 【易错专练1】阳光小学准备在秋季运动会上安排轮滑比赛，赛道长160米。如果每隔4米放一个障碍物，第一个障碍物离起点和最后一个障碍物离终点都是10米，那么需要放多少个障碍物？ 【易错专练2】110米栏属于田径中的一个径赛项目。它要求运动员在110米长的赛道上，以跑跳结合的方式跨越10个栏架并抵达终点。如图，每相邻两个栏架间距离相等，其中第一栏距离起跑线13.72米，最后一栏距离终点线14.02米，那么每相邻两个栏架之间的距离是多少米？ 【易错专练3】元旦到了，学校准备开元旦联欢会。计划在相距100米的两栋教学楼间拉一条彩条，挂19个红灯笼（两端不挂），要求每相邻两个红灯笼之间的距离相等，那么相邻两个红灯笼之间的距离是多少米？ 【易错专练4】在一条公路的两旁从头到尾一共栽有56棵柏树，相邻两棵柏树之间的距离都是30米。这条公路长多少米？ 【易错专练5】在一条公路上每隔20米架设一根电线杆，路的一端架设另一端不架设，共用了45根电线杆。这条路全长多少米？ 易错点4：将“植树问题”模型迁移到其他类似场景时识别错误。 【易错专练1】把2米的木头锯成0.2米长的小段，每锯一次要用1.5分钟，则需要锯多少分钟才能锯完？ 【易错专练2】将一根10米长的钢筋要全部截成0.6米长的小段，一共可以截成多少段这样的小段？若每截一段需要0.5分钟，截成这些小段一共要多少分钟？ 【易错专练3】爸爸要用锯子把一根长4米的木料和一根长5米的钢管分别锯成5段。锯断一次木料所用的时间是3.2分钟，锯断一次钢管所用的时间是6.8分钟，他30分钟能锯完吗？45分钟呢？ 【易错专练4】走楼梯的益处很多，有助于活动关节和降压降脂等。小刚家住在9楼，为了锻炼身体，他步行上楼回家。从1楼走到5楼，他用了120秒，如果用同样的速度，小刚走到自己家所在楼层共需要多长时间？ 易错点5：“封闭图形”与“直线型”植树问题混淆，错误地加1或减1。 【易错专练1】王爷爷在自家圆形菜地的边缘等距离地搭了40个豇豆架（用于豇豆攀爬生长）。现在他打算拆除豇豆架，在菜地边缘改种茄子苗，每隔6米种一棵，一共种了60棵茄子苗。原来相邻两个豇豆架之间的距离是多少米？ 【易错专练2】学校运动会开幕式上有一个方阵表演，这个方阵有3层，最外层4条边上每边有25人，第二层4条边上每边有15人，中心的一层4条边上每边有5人，这个方阵最少一共有多少人？ 【易错专练3】学校100周年校庆的舞台是长方形的，舞台上方每隔3米安装一盏投射灯，四个角都要安装（如图所示），一共安装了36盏投射灯，舞台的面积是多少平方米？ 【易错专练4】植树节时，五年级同学在正方形空地上栽树（四个角都栽），最外层每边栽了10棵树苗，最外层一共栽了多少棵树苗？整个空地全部栽满，每两棵树的间隔相同，这块空地一共栽了多少棵树苗？ 【易错专练5】为了庆祝国庆节，同学们举行联欢会，他们打算在教室四周挂上气球。教室长8米，宽6米，每隔2米挂一个气球，四角都挂上，共需多少个气球？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $