第5讲 分数的意义（8个知识点+6个易错点+40题强化练习）五年级数学寒假专项提升（北师大版）

第5讲 分数的意义 （8个知识点+6个易错点+40题强化练习） 知识回顾 知识点一、分数的意义 定义：把单位“1”（一个整体，可以是单个物体、多个物体或一个计量单位）平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。 关键要素：“单位‘1’” 和 “平均分”，二者缺一不可。 例：把6个苹果看作单位“1”，平均分成3份，每份是它的，每份有2个苹果。 知识点二、分数单位 定义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。 特点：一个分数的分母是几，其分数单位就是；分子是几，就有几个这样的分数单位。 例：的分数单位是，它有5个这样的分数单位；的分数单位是，它有3个这样的分数单位。 知识点三、分数与除法的关系 公式：被除数÷除数 = （除数≠0），即 （）。 区别：除法是一种运算，分数是一个具体的数。 例：3个月饼平均分给4人，每人分得（个），其中既表示分得的数量，也表示除法的结果。 知识点四、真分数、假分数与带分数 1.真分数：分子＜分母，如、，真分数＜1。 2.假分数：分子≥分母，如、，假分数≥1。 3.带分数：由整数和真分数组成，如（读作“一又三分之一”），是假分数的另一种形式。 假分数与带分数的互化： 假分数→带分数：分子÷分母，商为整数部分，余数为分子，分母不变（如）。 带分数→假分数：整数×分母+分子=新分子，分母不变（如）。 知识点五、求一个数是另一个数的几分之几 用“一个数÷另一个数”，结果为分率（不带单位）。 例：男生20人，女生25人，男生人数是女生的。 知识点六、求一个数的几分之几是多少 用“这个数×几分之几”，结果为具体量（带单位）。 例：一袋大米25kg，吃了它的，吃了kg。 知识点七、最大公因数（GCD） 1.定义：几个数公有因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 因数与公因数：若a能被b整除，则b是a的因数；几个数共有的因数叫公因数。 例：12的因数有1,2,3,4,6,12；18的因数有1,2,3,6,9,18；12和18的公因数是1,2,3,6，最大公因数是6。 2.求最大公因数的方法： 列举法：列出所有因数，找最大公因数（适用于较小数）。 短除法：用公有质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 特殊情况： 互质数（公因数只有1）：如5和7，最大公因数是1。 倍数关系：如4和8（8是4的倍数），最大公因数是较小数4。 3. 应用：解决“最多”“最大”类问题，如分割正方形、分组等。 例：用长18cm、宽12cm的长方形地砖铺正方形地面，正方形边长最小是多少？（求18和12的最大公因数→6cm，即地砖边长最大为6cm）。 知识点八、最小公倍数（LCM） 1. 定义：几个数公有倍数中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 倍数与公倍数：一个数的倍数是无限的；几个数共有的倍数叫公倍数。 例：4的倍数有4,8,12,16,20,24…；6的倍数有6,12,18,24…；4和6的公倍数是12,24…，最小公倍数是12。 2. 求最小公倍数的方法： 列举法：列出倍数，找最小公倍数（适用于较小数）。 短除法：用公有质因数连续去除，直到商互质，所有除数和商的乘积即为最小公倍数。 特殊情况： 互质数：如5和7，最小公倍数是5×7=35。 倍数关系：如4和8，最小公倍数是较大数8。 3.应用：解决“至少”“最少”类问题，如周期相遇、物品分配等。 例：小明每3天去一次图书馆，小红每4天去一次，两人今天同时去，至少再过几天再次同时去？（求3和4的最小公倍数→12天）。 易错点剖析 易错点一、忽略“平均分”： 错误：把10个苹果分成5份，每份是。（×） 纠正：必须强调“平均分成5份”，每份才是。 易错点二、单位“1”混淆： 错误：一根2米长的绳子，剪去，还剩米。（×） 纠正：剪去的是“单位‘1’（2米）的”，即米，还剩米。 易错点三、概念混淆： 错误：求“最多能分多少组”用最小公倍数。（×） 纠正：“最多分组”“最大边长”等问题用最大公因数；“至少多少时间相遇”“最少数量”等问题用最小公倍数。 易错点四、短除法计算错误： 错误：用短除法求12和18的最大公因数时，除数漏乘（如只取2，忽略3）。（×） 纠正：最大公因数是所有除数的乘积（2×3=6），最小公倍数是除数×商的乘积（2×3×2×3=36）。 易错点五、互质数判断错误： 错误：认为互质数必须都是质数（如8和9不是互质数）。（×） 纠正：互质数是指“公因数只有1”，与是否为质数无关（8和9的公因数只有1，是互质数）。 易错点六、倍数关系漏记： 错误：求6和12的最小公倍数时，用短除法计算（结果仍为12，但步骤冗余）。（×） 技巧：若两数成倍数关系（如12是6的倍数），最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 强化练习 一、选择题 1．4千克桃子共16个，平均装入4个盒子。每个盒子装了这些桃子的（    ）。 A．1千克 B．4个 C． D．千克 【答案】C 【分析】将桃子总个数或总质量看作单位“1”，1÷盒子数＝每个盒子装这些桃子的几分之几，据此列式计算。 【详解】1÷4＝ 每个盒子装了这些桃子的。 故答案为：C 2．黑纸条和白纸条的长度关系如下图所示，白纸条的长度比黑纸条长（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可知：黑纸条被分成4等份，白纸条被分成5等份，假设黑纸条长度为4，白纸条长度为5。求白纸条的长度比黑纸条长几分之几，即求长的部分占黑纸条长度的几分之几。先算白纸条比黑纸条长几，再除以黑纸条的长度即可。 【详解】（5－4）÷4 ＝1÷4 ＝ 所以白纸条的长度比黑纸条长。 故答案为：D 3．苹果的质量比梨多，则苹果的质量是梨的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把梨的质量看成单位“1”，梨有9份，苹果比梨多4份，苹果有4＋9＝13份，则苹果的质量是梨的13÷9＝，据此解答。 【详解】（4＋9）÷9 ＝13÷9 ＝ 则苹果的质量是梨的。 故答案为：B 4．一位小数□，比大，很接近，□最有可能是（    ）。 A．2 B．5 C．7 D．8 【答案】D 【分析】分数化小数：用分子除以分母，据此把和化成小数，再根据＜0.□＜及小数比较大小的方法确定□里的数即可。 【详解】＝1÷4＝0.25 ＝5÷6≈0.83 根据＜0.□＜可得：0.25＜0.□＜0.83，□里可能填3、4、5、6、7、8，根据很接近可知：□最有可能是8。 故答案为：D 5．如图，两张纸条都被遮住了一部分，露出来的部分一样长。两张纸条被遮住的部分相比（    ）。 A．红纸条长 B．黄纸条长 C．一样长 D．无法比较 【答案】B 【分析】根据分数的意义，表示把红纸条平均分成3份，有这样的2份，则遮住的是（份），表示把黄纸条平均分成5份，有这样的3份，则遮住的是（份），观察比较红纸条的1份与黄纸条的2份的长长短即可得解。 【详解】据分析可知，如图，两张纸条都被遮住了一部分，露出来的部分一样长。两张纸条被遮住的部分相比黄纸条长。 故答案为：B 6．一根1米长的绳子，连续对折三次后，每段长（    ）米。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把一根绳子对折一次后，这根绳子被平均分成2份，把一根绳子对折两次后，这根绳子被平均分成4份，把一根绳子对折三次后，这根绳子被平均分成8份，每段绳子的长度＝绳子的总长度÷平均分成的份数，据此解答。 【详解】一根1米长的绳子，连续对折三次后，这根绳子被平均分成8段。 1÷8＝（米） 所以，每段长米。 故答案为：C 7．一堆货物分两次运完，第一次运走它的，第二次运走吨，两次运走的货物相比，（    ）。 A．第一次运走的多 B．第二次运走的多 C．两次运走的一样多 D．无法确定 【答案】B 【分析】把这堆货物看作单位“1”，第一次运走全部的，那么第二次运走全部的（1－），比较两个分数的大小，得出结论。 【详解】1－＝ 因为1＜2，所以＜ 所以第二次运走的多。 故答案为：B 8．甲、乙两款新能源电车用同一个充电桩充电，充电时间相同，甲款电车能够充到电池容量的，乙款电车能够充到电池容量的，两款电车电池容量相比，（    ）。 A．甲款电车电池容量大 B．乙款电车电池容量大 C．两款电车电池容量一样大 D．无法比较 【答案】B 【分析】充电时间相同，那么能充的电量是相等的，所以哪款车充进去的电量占电池总量的分率大，哪款车的容量就小一些。同分子分数比较大小：分子相同，分母大的反而小。 【详解】＞，所以两款电车电池容量相比，乙款电车电池容量大。 故答案为：B 9．南山作为改革开放的前沿阵地，现有技能人才61.5万，其中高技能人才约占。这里的不能与下面的（    ）相当。 A． B．3个 C． D．3÷10 【答案】A 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以同一个数（0除外），分数的大小不变。 分数和除法的关系：被除数相当于分子，除数相当于分母。 一个分数的分子是几，就有几个对应的分数单位。据此解题。 【详解】A．表示3加上，用假分数表示为，所以和不相等； B．的分数单位是，表示3个； C．＝＝； D．3÷10＝； 所以，不能与相当。 故答案为：A 10．吃枇杷的季节到了，下图是妈妈购买一斤小果枇杷的订单。到货后丽丽数了数，6个6个地数或8个8个地数都恰好数完。这斤枇杷共有（    ）个。 A．30 B．26 C．24 D．18 【答案】C 【分析】已知6个6个地数或8个8个地数都能恰好数完，说明枇杷个数是6和8的公倍数。6和8的公倍数有24，48，72…又因为一斤小果数量在20~30个之间，只有24符合要求。 【详解】6和8的公倍数有24，48，72…， 因为一斤小果数量在20~30个之间， 所以这斤枇杷共有24个。 故答案为：C 二、填空题 11．已知45＝3×3×5，60＝2×2×3×5，则45和60的最大公因数是 。 【答案】15 【分析】把45和15的公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数。据此解答。 【详解】因为45＝3×3×5，60＝2×2×3×5 所以45和60的最大公因数是3×5＝15。 12．把一根8m长的钢管锯成长度相等的6段，每段占全长的( )，每段长( )m。 【答案】 【分析】求每段占全长的几分之几，用1除以6即可解答；求每段长多少米，用总长除以段数即可。 【详解】1÷6＝ 8÷6＝（m） 每段占全长的，每段长m。 13．武汉到宜昌的高铁提速后，0.8小时行驶240千米，这辆高铁平均每小时行驶( )千米，行驶1千米需要( )小时。 【答案】 300 【分析】根据速度＝路程÷时间，求高铁平均每小时行驶的路程，用行驶的路程÷行驶的时间，240÷0.8解答；求行驶1千米需要的时间，用行驶的时间÷行驶的路程，即用0.8÷240解答。 【详解】240÷0.8＝300（千米） 0.8÷240＝（小时） 武汉到宜昌的高铁提速后，0.8小时行驶240千米，这辆高铁平均每小时行驶300千米，行驶1千米需要小时。 14．农场里绵羊的数量是山羊数量的，这句话中把( )看作单位“1”，把( )平均分成6份，( )相当于其中的5份。 【答案】 山羊数量 山羊数量 绵羊数量 【分析】分数的意义：把一个整体平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数，分母是分成的份数，分子表示占其中的几份；这个整体就是单位“1”，据此解答。 【详解】农场里绵羊的数量是山羊数量的，这句话中把山羊数量看作单位“1”，把山羊数量平均分成6份，绵羊数量相当于其中的5份。 15．在直线上面的里填上适当的假分数，直线下面的里填上适当的带分数。 【答案】见详解 【分析】观察直线，将“1”平均分成5份，分母表示平均分的份数，分子表示取走的份数，根据分数的意义即能确定箭头所指位置代表的数值。 【详解】 16．的分数单位是( )，再添上( )个这样的分数单位，就得到最小的质数2。 【答案】 10 【分析】分母是几分数单位就是几分之一，将2化成分母是9的假分数，求出两个分子的差，就是需要再添上的分数单位的个数。 【详解】2＝、18－8＝10（个） 的分数单位是，再添上10个这样的分数单位，就得到最小的质数2。 17．如果p＝2×n×m，q＝2×2×3×n，p与q的最大公因数是14，最小公倍数是420，那么n是( )，m是( )。 【答案】 7 5 【分析】两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 已知p＝2×n×m，q＝2×2×3×n，p与q的最大公因数是14，即2n＝14，由此求出n的值；已知p与q的最小公倍数是420，即2×2×3×m×n＝140，同时把n的值代入式子中，求出m的值，据此解答。 【详解】p＝2×n×m q＝2×2×3×n 则p与q的最大公因数是2×n＝2n，最小公倍数是2×2×3×m×n＝12mn； 2n＝14 n＝14÷2 n＝7 12mn＝420 12×m×7＝420     84m＝420 m＝420÷84 m＝5 那么n是7，m是5。 18．北京2022年冬奥会中国队以9金4银2铜的成绩收官，金牌数和奖牌数均创历史新高。其中银牌数是金牌数的( )，金牌数占总奖牌数的( )。 【答案】 【分析】（1）根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，用银牌数除以金牌数即可得解。 （2）总奖牌数是，用金牌数除以总奖牌数即可得解。 【详解】 北京2022年冬奥会中国队以9金4银2铜的成绩收官，金牌数和奖牌数均创历史新高。其中银牌数是金牌数的，金牌数占总奖牌数的。 19．“物不知数”是中国古代著名算题，出自《孙子算经》。孙老师根据原题改编成如下一道题：一堆哈密瓜，2个2个地数剩1个，3个3个地数剩2个，5个5个地数剩1个。这堆哈密瓜至少有( )个。 【答案】11 【分析】已知哈密瓜的数量2个2个地数剩1个，5个5个地数剩1个，说明总数量比2和5的公倍数多1；根据2和5的倍数特征，哈密瓜的数量一定是奇数，且个位一定是1；根据求最小公倍数的方法，可知2和5的最小公倍数是10，10＋1＝11，11除以3正好余2，所以11也是比3的倍数多2。据此11符合题意。 【详解】2×5＝10 10＋1＝11（个） 11÷3＝3……2 11符合题意，所以这堆哈密瓜至少有11个。 【点睛】本题可先从同余入手，从最小公倍数开始分析即可。 20．已知A，B均为非0自然数，若是真分数，A最小是( )；若是假分数，B最大是( )。 【答案】 1 4 【分析】分子比分母小的分数叫真分数，分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫假分数，据此分析。 【详解】已知A，B均为非0自然数，若是真分数，A＜5，A最小是1；若是假分数，4≥B，B最大是4。 三、判断题 21．苹果树棵数的和桃树的棵数相等，这句话中的单位“1”是苹果树的棵数。( ) 【答案】√ 【分析】单位“1”的确定方法是：在分数描述中，通常“的”字前面的量为单位“1”。题目中“苹果树棵数的”中的“的”字前面是“苹果树棵数”，因此单位“1”是苹果树的棵数。 【详解】根据分数的意义，“苹果树棵数的”表示将苹果树的棵数平均分成8份，取其中的5份，此时苹果树的棵数是整体，即单位“1”。题目中桃树的棵数等于苹果树棵数的，因此单位“1”是苹果树的棵数。原题说法正确。 故答案为：√ 22．甲数既是10的因数，又是8的因数，甲数一定是2。( ) 【答案】× 【分析】甲数是10和8的公因数，需找出它们的公因数，再判断是否只有2。 【详解】10的因数有1、2、5、10； 8的因数有1、2、4、8； 10和8的公因数是1和2。 因此，甲数可能是1或2，不一定是2。 故答案为：× 23．两数之积为480，它们的最大公因数为8，则两数的最小公倍数为60。( ) 【答案】× 【分析】根据两个数的乘积等于它们最大公因数与最小公倍数的乘积，用两个数的积除以它们的最大公因数，再根据两个数的最小公倍数是最大公因数的整数倍进行验证，用两个数的最小公倍数除以它们的最大公因数看是否为整数即可验证。 【详解】480÷8＝60 60÷8＝7.5 说明两数的最小公倍数不是两数的最大公因数的整数倍，所以两数之积为480，它们的最大公因数为8，则两数的最小公倍数为60的说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题看似简单，解答本题如果只是用两个数的积除以它们的最大公因数，得出的结果就是最小公倍数，但经过验证发现是错误的。 24．小于大于的分数只有5个。( ) 【答案】 × 【分析】题目中未限定分数的分母，因此考虑所有可能的分母。根据分数的基本性质，任意两个不同分数之间存在无数个分数。例如，将分母扩大后，可构造更多符合条件的分数。据此解答即可。 【详解】假设分母为10：此时符合条件的分数为、、、、，共5个。 考虑分母不为10：例如分母为20，，，则中间分数有到，共11个。若分母更大，符合条件的分数更多。 分数个数取决于分母的大小，分母越大，满足条件的分数个数越多，分母可以取任意整数，因此满足条件的分数有无限多个。原题说法错误。 故答案为：× 25．分数的基本性质相当于除法中的商不变规律。( ) 【答案】 √ 【分析】分数的基本性质是指分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变；而除法中的商不变规律是被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。分数与除法有对应关系（分子相当于被除数，分母相当于除数），因此两者的本质一致。 【详解】根据分数的基本性质，分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。例如：。在除法中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。例如：，若（6×2）÷（3×2）=，商仍为2。由于分数与除法的对应关系，分数的基本性质与商不变规律本质相同。 故答案为：√ 四、计算题 26．把下面各分数化成带分数或整数。 ＝           ＝           ＝ ＝           ＝           ＝ ＝           ＝           ＝ 【答案】；3； 1；；3 ；； 【分析】假分数化成整数，用假分数的分子除以分母，如果没有余数，商就是所要化成的整数。 假分数化成带分数，用假分数的分子除以分母，得到整数商和余数（比除数小）。整数商就是带分数的整数部分，以除数为分母，余数为分子的分数就是带分数的真分数部分。 【详解】11÷7＝1……4，则＝。          ＝36÷12＝3            13÷8＝1……5，则＝。 ＝9÷9＝1            18÷17＝1……1，则＝。            ＝72÷24＝3 33÷7＝4……5，则＝。           43÷12＝3……7，则＝。          13÷3＝4……1，则＝。 27．通分并比较大小。 和         和          和 和       、和      、和 【答案】＝；＝；＜；＝；＞；＝；＝；＞ ＝；＝；＜；＝；＝；＝；＜＜；＝；＝；＝；＜＜ 【分析】把异分母分数化成大小和原来相等的同分母分数叫做通分；再根据同分母分数比较大小的方法：分子大的分数就大，据此解答。 【详解】和 ＝＝ ＝＝ 因为＜，所以＜。 和 ＝＝ 因为＞，所以＞。 和 ＝＝ ＝＝ 因为＞，所以＞。 和 ＝＝ ＝＝ 因为＜，所以＜。 、和 ＝＝ ＝＝ ＝＝ 因为＜＜，所以＜＜。 、和 ＝＝ ＝＝ ＝＝ 因为＜＜，所以＜＜。 28．分数化简。 （1）       （2）     （3）      （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）分子和分母同时除以26即可化成最简分数； （2）分子和分母同时除以12即可； （3）分子和分母同时除以17即可化成最简分数； （4）分子和分母同时除以13即可解答。 【详解】（1）        （2）      （3）      （4） 29．通分。 和              和          、和 【答案】和；和；、和 【分析】根据分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以同一个数（0除外）分数大小不变，找出两个分数分母的最小公倍数，通分即可； 4和5的最小公倍数是20，则通分成分母是20的分数； 9和18的最小公倍数是18，则通分成分母是18的分数； 8、12、16的最小公倍数是48，则通分成分母是48的分数。 【详解】和 ＝＝ ＝ 和 、和 30．找出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 28和7        5和8         8和9 【答案】7，28；1，40；1，72 【分析】因为28÷7＝4，即28和7成倍数关系，根据“当两个数成倍数关系时，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数，较小的那个数，是这两个数的最大公约数；进行解答即可； 5和8，8和9两组是互质数，当两个数是互质数时，这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积；进而解答即可。 【详解】28÷7＝4，28和4是倍数关系，它们的最大公因数是7，最小公倍数是28； 5和8是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是：5×8＝40； 8和9是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是：8×9＝72。 五、解答题 31．用数字3、5、7、8中的3个数字能组成哪些带分数？最大的是多少，最小的是多少？ 【答案】见详解 【分析】带分数的分数部分分子要小于分母。写出全部带分数时要按照一定规律找，不能盲目写。数的大小先看整数部分，整数部分越大的分数越大，据此解答。 【详解】由分析可得：用数字3、5、7、8中的3个数字能组成、、、、、、、、、、；最大的是；最小的是。 32．希望小学五（1）班同学列队做广播操，每行12人或16人都正好是整行，这个班最少有学生多少人？ 【答案】 48人 【分析】五（1）班同学列队做操，每行12人活16人都正好是整行，说明五（1）班人数能够被12或16整除，即五（1）班人数是12和16的最小公倍数。 【详解】12的倍数：12、24、36、48…… 16的倍数：16、32、48…… 12和16的最小公倍数是48 答：这个班最少有学生48人。 33．淘气的妈妈做了一些蛋黄酥，个数在20~40个之间，准备在吃年夜饭时让大家品尝。淘气3个3个地数，多1个；5个5个地数，也多一个，淘气的妈妈一共做了多少个蛋黄酥？ 【答案】31个 【分析】先找出3和5在20到40之间的公倍数，再根据余数条件确定蛋黄酥的个数。因为3和5互质，所以它们的最小公倍数为3×5＝15。15的倍数有15、30、45…，在20到40之间的是30。由于3个3个地数多1个，5个5个地数也多1个，所以蛋黄酥个数为30＋1＝31（个），且31在20到40之间，符合条件。据此解答。 【详解】3×5＝15 15×2＋1 ＝30＋1 ＝31（个） 答：淘气的妈妈一共做了31个蛋黄酥。 34．第三届全民阅读大会在云南开幕。为响应全民阅读号召，乐乐和小伙伴捐了一批书。这批书无论是平均分给2人还是5人，都正好剩1本；如果平均分给3人，那么正好分完。这批书至少有多少本？ 【答案】21本 【分析】根据题意可知，乐乐和小伙伴捐的这一批书的本数是3的倍数，且除以2、除以5都余1，即比2和5相应的公倍数多1。先求出2和5的公倍数，再求出3的倍数，在3的倍数中找出比2和5相应的公倍数多1的最小的数即可。 【详解】2和5的公倍数有：10、20、30…… 比2和5的公倍数多1的数有：11、21、31…… 3的倍数有：3、6、9、12、15、18、21、24…… 由此可知，即是3的倍数，且比2和5相应的公倍数多1的数至少是21。 答：这批书至少有21本。 35．有三张卡片上写了三个分数，它们分别是真分数、假分数和带分数，如果把它们按从小到大排列后，每相邻两个分数间只相差，卡片上的分数各是多少？ 【答案】；； 【分析】真分数：分子小于分母的分数；假分数：分子大于或等于分母的分数；带分数：由一个整数（0除外）和一个真分数合成的数。每相邻两个分数相差，说明它们的分母都是12，据此求出分母是12的最大真分数，最小假分数和最小带分数，即可解答。 【详解】每相邻两个分数相差，说明它们的分母都是12，分母为12的最大真分数是，最小假分数是，最小带分数是。 答：卡片上的分数是，，。 36．人工智能技术正迅速渗透到社会、经济等各个领域，对社会治理思维的转型提出迫切要求。某校请来一名人工智能研究专家在本校开一场相关知识讲座，听讲座的学生不管是分成8人一组，还是9人一组，都正好分完。听讲座的学生至少有多少人？ 【答案】72人 【分析】8人一组，还是9人一组，都正好分完，说明听讲座的人数是8和9的公倍数，求出8和9的最小公倍数就是听讲座的至少人数。两数互质，最小公倍数是两数的积。 【详解】8×9＝72（人） 答：听讲座的学生至少有72人。 37．某校五年级布置一块长是28分米，宽是16分米的长方形宣传展板，展板上要贴满学生的作品，作品规格都是大小相同且边长为整分米数的正方形。作品边长最长是多少分米？ 【答案】4分米 【分析】由题意可知，求出28和16的最大公因数，就是作品边长最大，据此解答即可。 【详解】28＝2×2×7 16＝2×2×2×2 则28和16的最大公因数是2×2＝4 答：作品边长最长是4分米。 38．把一根长彩带剪成长度相等的几段，如果剪成4分米一段的，那么少1分米；如果剪成6分米一段的，那么少1分米；如果剪成8分米一段的，也少1分米。这个长彩带的长度至少是多少分米？ 【答案】23分米 【分析】从题意可知：剪成4分米、6分米或8分米都少1分米，这根彩带的长度比4、6、8的公倍数都少1，从“至少”可知，求最小公倍数。用分解质因数的方法求出4、6和8的全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是4、6和8的最小公倍数。最后用最小公倍数减去1就是这根彩带的长度。据此解答。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 8＝2×2×2 4、6和8的最小公倍数：2×2×2×3＝24 24－1＝23（分米） 答：这个长彩带的长度至少是23分米。 39．父子二人在沙滩上沿同一条直线散步，起步点相同，父亲在前，每步60厘米，儿子在后，每步40厘米。父子二人在120米的散步路程中一共留下了多少个脚印？（重复的脚印算1个） 【答案】401个 【分析】已知父子二人的散步路程是120米，父亲每步60厘米，儿子每步40厘米，那么父子二人的脚印会在60和40的最小公倍数处重合； 根据植树问题的两端都植情况，全长÷步距＝间隔数，间隔数＋1＝脚印的个数；据此分别求出父子二人的脚印个数以及重合的脚印个数； 用父亲留下的脚印个数加上儿子留下的脚印个数，再减去两人重合的脚印个数，就是父子二人在120米内一共留下的脚印个数。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【详解】120米＝12000厘米 60＝2×2×3×5 40＝2×2×2×5 60和40的最小公倍数是：2×2×2×3×5＝120 即每120厘米父子二人的脚印重合。 父亲留下的脚印有： 12000÷60＋1 ＝200＋1 ＝201（个） 儿子留下的脚印有： 12000÷40＋1 ＝300＋1 ＝301（个） 两人重合的脚印有： 12000÷120＋1 ＝100＋1 ＝101（个） 一共：201＋301－101＝401（个） 答：父子二人在120米的散步路程中一共留下了401个脚印。 【点睛】本题考查最小公倍数的实际应用以及植树问题，分析出本题属于植树问题中两端都栽的情况，明确“脚印数＝间隔数＋1”是解题的关键。 40．2024年4月23日是第29个世界读书日，学校开展了一系列读书活动。芳芳选了一套绘本，共有48本，已经看了16本，芳芳已经看了这套绘本的几分之几？ 【答案】 【分析】求一个数是另个数的几分之几用除法，即已经看的本数÷这套书的总本数＝已经看了这套绘本的分率。根据分数和除法的关系，分数的分子是除法的被除数，分母是除数，注意最后的分数要根据分数的基本性质约分成最简分数。 【详解】16÷48＝ 答：芳芳已经看了这套绘本的。 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 分数的意义 （8个知识点+6个易错点+40题强化练习） 知识回顾 知识点一、分数的意义 定义：把单位“1”（一个整体，可以是单个物体、多个物体或一个计量单位）平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。 关键要素：“单位‘1’” 和 “平均分”，二者缺一不可。 例：把6个苹果看作单位“1”，平均分成3份，每份是它的，每份有2个苹果。 知识点二、分数单位 定义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。 特点：一个分数的分母是几，其分数单位就是；分子是几，就有几个这样的分数单位。 例：的分数单位是，它有5个这样的分数单位；的分数单位是，它有3个这样的分数单位。 知识点三、分数与除法的关系 公式：被除数÷除数 = （除数≠0），即 （）。 区别：除法是一种运算，分数是一个具体的数。 例：3个月饼平均分给4人，每人分得（个），其中既表示分得的数量，也表示除法的结果。 知识点四、真分数、假分数与带分数 1.真分数：分子＜分母，如、，真分数＜1。 2.假分数：分子≥分母，如、，假分数≥1。 3.带分数：由整数和真分数组成，如（读作“一又三分之一”），是假分数的另一种形式。 假分数与带分数的互化： 假分数→带分数：分子÷分母，商为整数部分，余数为分子，分母不变（如）。 带分数→假分数：整数×分母+分子=新分子，分母不变（如）。 知识点五、求一个数是另一个数的几分之几 用“一个数÷另一个数”，结果为分率（不带单位）。 例：男生20人，女生25人，男生人数是女生的。 知识点六、求一个数的几分之几是多少 用“这个数×几分之几”，结果为具体量（带单位）。 例：一袋大米25kg，吃了它的，吃了kg。 知识点七、最大公因数（GCD） 1.定义：几个数公有因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 因数与公因数：若a能被b整除，则b是a的因数；几个数共有的因数叫公因数。 例：12的因数有1,2,3,4,6,12；18的因数有1,2,3,6,9,18；12和18的公因数是1,2,3,6，最大公因数是6。 2.求最大公因数的方法： 列举法：列出所有因数，找最大公因数（适用于较小数）。 短除法：用公有质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 特殊情况： 互质数（公因数只有1）：如5和7，最大公因数是1。 倍数关系：如4和8（8是4的倍数），最大公因数是较小数4。 3. 应用：解决“最多”“最大”类问题，如分割正方形、分组等。 例：用长18cm、宽12cm的长方形地砖铺正方形地面，正方形边长最小是多少？（求18和12的最大公因数→6cm，即地砖边长最大为6cm）。 知识点八、最小公倍数（LCM） 1. 定义：几个数公有倍数中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 倍数与公倍数：一个数的倍数是无限的；几个数共有的倍数叫公倍数。 例：4的倍数有4,8,12,16,20,24…；6的倍数有6,12,18,24…；4和6的公倍数是12,24…，最小公倍数是12。 2. 求最小公倍数的方法： 列举法：列出倍数，找最小公倍数（适用于较小数）。 短除法：用公有质因数连续去除，直到商互质，所有除数和商的乘积即为最小公倍数。 特殊情况： 互质数：如5和7，最小公倍数是5×7=35。 倍数关系：如4和8，最小公倍数是较大数8。 3.应用：解决“至少”“最少”类问题，如周期相遇、物品分配等。 例：小明每3天去一次图书馆，小红每4天去一次，两人今天同时去，至少再过几天再次同时去？（求3和4的最小公倍数→12天）。 易错点剖析 易错点一、忽略“平均分”： 错误：把10个苹果分成5份，每份是。（×） 纠正：必须强调“平均分成5份”，每份才是。 易错点二、单位“1”混淆： 错误：一根2米长的绳子，剪去，还剩米。（×） 纠正：剪去的是“单位‘1’（2米）的”，即米，还剩米。 易错点三、概念混淆： 错误：求“最多能分多少组”用最小公倍数。（×） 纠正：“最多分组”“最大边长”等问题用最大公因数；“至少多少时间相遇”“最少数量”等问题用最小公倍数。 易错点四、短除法计算错误： 错误：用短除法求12和18的最大公因数时，除数漏乘（如只取2，忽略3）。（×） 纠正：最大公因数是所有除数的乘积（2×3=6），最小公倍数是除数×商的乘积（2×3×2×3=36）。 易错点五、互质数判断错误： 错误：认为互质数必须都是质数（如8和9不是互质数）。（×） 纠正：互质数是指“公因数只有1”，与是否为质数无关（8和9的公因数只有1，是互质数）。 易错点六、倍数关系漏记： 错误：求6和12的最小公倍数时，用短除法计算（结果仍为12，但步骤冗余）。（×） 技巧：若两数成倍数关系（如12是6的倍数），最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 强化练习 一、选择题 1．4千克桃子共16个，平均装入4个盒子。每个盒子装了这些桃子的（    ）。 A．1千克 B．4个 C． D．千克 2．黑纸条和白纸条的长度关系如下图所示，白纸条的长度比黑纸条长（    ）。 A． B． C． D． 3．苹果的质量比梨多，则苹果的质量是梨的（    ）。 A． B． C． D． 4．一位小数□，比大，很接近，□最有可能是（    ）。 A．2 B．5 C．7 D．8 5．如图，两张纸条都被遮住了一部分，露出来的部分一样长。两张纸条被遮住的部分相比（    ）。 A．红纸条长 B．黄纸条长 C．一样长 D．无法比较 6．一根1米长的绳子，连续对折三次后，每段长（    ）米。 A． B． C． D． 7．一堆货物分两次运完，第一次运走它的，第二次运走吨，两次运走的货物相比，（    ）。 A．第一次运走的多 B．第二次运走的多 C．两次运走的一样多 D．无法确定 8．甲、乙两款新能源电车用同一个充电桩充电，充电时间相同，甲款电车能够充到电池容量的，乙款电车能够充到电池容量的，两款电车电池容量相比，（    ）。 A．甲款电车电池容量大 B．乙款电车电池容量大 C．两款电车电池容量一样大 D．无法比较 9．南山作为改革开放的前沿阵地，现有技能人才61.5万，其中高技能人才约占。这里的不能与下面的（    ）相当。 A． B．3个 C． D．3÷10 10．吃枇杷的季节到了，下图是妈妈购买一斤小果枇杷的订单。到货后丽丽数了数，6个6个地数或8个8个地数都恰好数完。这斤枇杷共有（    ）个。 A．30 B．26 C．24 D．18 二、填空题 11．已知45＝3×3×5，60＝2×2×3×5，则45和60的最大公因数是 。 12．把一根8m长的钢管锯成长度相等的6段，每段占全长的( )，每段长( )m。 13．武汉到宜昌的高铁提速后，0.8小时行驶240千米，这辆高铁平均每小时行驶( )千米，行驶1千米需要( )小时。 14．农场里绵羊的数量是山羊数量的，这句话中把( )看作单位“1”，把( )平均分成6份，( )相当于其中的5份。 15．在直线上面的里填上适当的假分数，直线下面的里填上适当的带分数。 16．的分数单位是( )，再添上( )个这样的分数单位，就得到最小的质数2。 17．如果p＝2×n×m，q＝2×2×3×n，p与q的最大公因数是14，最小公倍数是420，那么n是( )，m是( )。 18．北京2022年冬奥会中国队以9金4银2铜的成绩收官，金牌数和奖牌数均创历史新高。其中银牌数是金牌数的( )，金牌数占总奖牌数的( )。 19．“物不知数”是中国古代著名算题，出自《孙子算经》。孙老师根据原题改编成如下一道题：一堆哈密瓜，2个2个地数剩1个，3个3个地数剩2个，5个5个地数剩1个。这堆哈密瓜至少有( )个。 20．已知A，B均为非0自然数，若是真分数，A最小是( )；若是假分数，B最大是( )。 三、判断题 21．苹果树棵数的和桃树的棵数相等，这句话中的单位“1”是苹果树的棵数。( ) 22．甲数既是10的因数，又是8的因数，甲数一定是2。( ) 23．两数之积为480，它们的最大公因数为8，则两数的最小公倍数为60。( ) 24．小于大于的分数只有5个。( ) 25．分数的基本性质相当于除法中的商不变规律。( ) 四、计算题 26．把下面各分数化成带分数或整数。 ＝           ＝           ＝ ＝           ＝           ＝ ＝           ＝           ＝ 27．通分并比较大小。 和         和          和 和       、和      、和 28．分数化简。 （1）       （2）     （3）      （4） 29．通分。 和              和          、和 30．找出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 28和7        5和8         8和9 五、解答题 31．用数字3、5、7、8中的3个数字能组成哪些带分数？最大的是多少，最小的是多少？ 32．希望小学五（1）班同学列队做广播操，每行12人或16人都正好是整行，这个班最少有学生多少人？ 33．淘气的妈妈做了一些蛋黄酥，个数在20~40个之间，准备在吃年夜饭时让大家品尝。淘气3个3个地数，多1个；5个5个地数，也多一个，淘气的妈妈一共做了多少个蛋黄酥？ 34．第三届全民阅读大会在云南开幕。为响应全民阅读号召，乐乐和小伙伴捐了一批书。这批书无论是平均分给2人还是5人，都正好剩1本；如果平均分给3人，那么正好分完。这批书至少有多少本？ 35．有三张卡片上写了三个分数，它们分别是真分数、假分数和带分数，如果把它们按从小到大排列后，每相邻两个分数间只相差，卡片上的分数各是多少？ 36．人工智能技术正迅速渗透到社会、经济等各个领域，对社会治理思维的转型提出迫切要求。某校请来一名人工智能研究专家在本校开一场相关知识讲座，听讲座的学生不管是分成8人一组，还是9人一组，都正好分完。听讲座的学生至少有多少人？ 37．某校五年级布置一块长是28分米，宽是16分米的长方形宣传展板，展板上要贴满学生的作品，作品规格都是大小相同且边长为整分米数的正方形。作品边长最长是多少分米？ 38．把一根长彩带剪成长度相等的几段，如果剪成4分米一段的，那么少1分米；如果剪成6分米一段的，那么少1分米；如果剪成8分米一段的，也少1分米。这个长彩带的长度至少是多少分米？ 39．父子二人在沙滩上沿同一条直线散步，起步点相同，父亲在前，每步60厘米，儿子在后，每步40厘米。父子二人在120米的散步路程中一共留下了多少个脚印？（重复的脚印算1个） 40．2024年4月23日是第29个世界读书日，学校开展了一系列读书活动。芳芳选了一套绘本，共有48本，已经看了16本，芳芳已经看了这套绘本的几分之几？ 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $