随机变量及其分布、一元线性回归分析-河北省2026年对口升学一轮复习《数学考点双析卷》第109卷 教师讲解卷

编写说明：河北省2026年对口升学《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是河北省2026年对口升学《数学考点双析卷》的第109卷，主要考查概率与统计章节中随机变量及其分布、一元线性回归分析的掌握情况。 河北省2026年对口升学《数学考点双析卷》 第109卷 随机变量及其分布、一元线性回归分析 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列具有相关关系的两个变量是（    ） ①球的半径与表面积        ②人的睡眠时间与身体健康状况 ③学生的数学成绩与物理成绩    ④人的体重与眼睛近视的度数 A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①④ 【答案】B 【分析】利用函数关系与相关关系的定义逐一判断即可得解. 【详解】①球的半径与表面积为函数关系，； ②人的睡眠时间与身体健康状况为相关关系； ③学生的数学成绩与物理成绩为相关关系； ④人的体重与眼睛近视的度数不具有相关关系. 故选：B. 2．已知两个变量x，y之间具有线性相关关系，统计分析它们四组数据的离散图（如图所示），则它们对应的y对x的回归直线方程中的回归系数关系正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据回归直线中回归系数的几何意义，分析求解即可. 【详解】回归直线方程中的回归系数表示回归直线斜率的估计值， 图一：随的增加而减小，成负相关，则 ， 又因为图中点分布较陡峭，则较大； 图二：随的增加而减小，成负相关，则 ， 又因为图中点分布较图一更平缓，则比小，则； 图三：随的增加而增加，成正相关，则 ， 又因为图中点分布较陡峭，则较大； 图四：随的增加而增加，成正相关，则 ， 又因为图中点分布较图三更平缓，则比大，则， 综上：， 故选：C. 3．已知与之间的一组数据 0 1 2 3 1 3 5 7 若与线性相关，则与的回归直线方程必过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据回归直线必过点求解. 【详解】，， 回归直线必过点. 故选：D. 4．已知随机变量的分布列如下： ξ 3 5 7 P a b a 则ξ的期望为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意结合分布列的性质及期望公式即可得解. 【详解】由分布列可知，， 期望， 故选：. 5．为了解某地区某种水果的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：万元/吨）的影响，对近五年该水果的年产量和价格统计如下表： x 300 350 400 450 500 y 1.8 1.7 1.5 1.4 1.1 若y关于x的回归直线方程为，则（ ） A．2.82 B．2.86 C．2.88 D．2.92 【答案】B 【分析】根据线性回归直线必过样本点中心即可求解； 【详解】由表可知，，， 所以，解得， 故选：B 6．已知离散型随机变量服从二项分布，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项分布的概率公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：A. 7．袋中装有大小相同的5个球，分别标有五个号码，在有放回的条件下依次取出2个球，设2个球的号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】由离散型随机变量的可能取值分析即可. 【详解】第一次取球可能取出的号码为， 第二次取球可能取出的号码为， 则2个球的号码之和为共个， 故选：D. 8．已知离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列的性质，列出方程求得的值，再利用概率的加法公式计算即可. 【详解】根据分布列的性质，有，则. 所以. 故选：D. 9．若随机变量服从正态分布，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据标准正态分布的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以对称轴，进而. 因为，所以，进而. 故选：A. 10．某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示： 身高 160 165 170 175 180 体重 63 66 70 72 74 根据上表可得回归直线方程，据此模型预测身高为的高三男生的体重为（   ） A．70.09 B．70.12 C．70.29 D．65.79 【答案】B 【分析】根据回归直线过求出，得出回归直线方程，将代入可得答案. 【详解】，． 又回归直线过，，， 回归直线为， 当时，，即预测身高为的高三男生的体重为70.12． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．已知随机变量的分布列如下表所示，则 ． 1 2 【答案】1 【分析】根据分布列的性质求出值，代入期望公式即可得解. 【详解】由题意得，解得， 则． 故答案为：. 12．已知变量y与x线性相关，回归直线方程为.若，，则 . 【答案】 【分析】将，代入方程即可求解. 【详解】由题意得，，解得. 故答案为：. 13．小明射击一次击中环的概率是，则小明连续射击3次恰好击中环1次的概率是 . 【答案】/ 【分析】利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率计算公式求解即可. 【详解】小明连续射击3次恰好击中环1次的概率为 . 故答案为：. 14．已知小明投篮10次，每次投篮的命中率为0.7.记10次投篮中命中的次数为，则 . 【答案】2.1 【分析】由题意知，由此能求出. 【详解】解：由题意知，， 则. 故答案为：2.1. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．某中学高二数学备课组对学生的记忆力判断力进行统计分析，所得数据如下表所示： 4 6 8 10 2 3 5 6 (1)请根据上表提供的数据，求出关于的回归直线方程； (2)根据（1）中求出的回归直线方程，预测记忆力为9的学生的判断力． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用线性回归系数公式算出，，再代入求回归直线方程. （2）将代入回归方程，求. 【详解】（1）由表中数据可得，， ， ， ， ， 所以． （2）当时，． 16．某职业技术大学招收的8名机械工程专业新生中有2名优秀生，现随机将这8名新生平均分配到甲、乙两个班中. (1)求2名优秀生被分配到同一个班的概率； (2)设随机变量表示分配到甲班的优秀生的人数，求的概率分布； (3)求随机变量的期望和方差. 【答案】(1) (2)见解析 (3)期望：；方差： 【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解即可； （2）写出随机变量所有可能的取值，根据古典概型的概率公式求出每一取值的概率，列出表格，即可得的概率分布； （3）利用数学期望与方差公式求解即可. 【详解】（1）将这8名新生平均分配到甲、乙两个班中，有种分法， 2名优秀生被分配到同一个班的分法有种， 设2名优秀生被分配到同一个班为事件， 所以. （2）依题意，随机变量所有可能的取值有， ，，， 所以的概率分布为： （3）随机变量的期望， 方差. 17．在某次数学考试中，考生的成绩 (1)求考试成绩位于区间内的概率； (2)若此次考试共有20000名考生，试估计成绩在区间内的考生人数. 【答案】(1) (2)19088 【分析】（1）根据题意得到值，根据正态变量的性质分析计算即可． （2）首先求得内的概率，然后用总人数乘概率即可． 【详解】（1）因为，所以. 所以. 所以考试成绩位于区间内的概率. （2）因为， 所以20000名考生成绩在区间内的考生人数为. 即成绩在区间内的考生人数为19088. 18．某企业从一批产品中随机选取部分产品检测质量指标值，并将其作为样本，已知质量指标值范围为，将所得数据分成6组：，，…，，，并绘制出如下频率分步直方图．    (1)求频率分布直方图中的值； (2)已知样本质量指标值在内产品频数为20，求样本容量； (3)该企业计划从这一批产品中随机选取3件进一步检测，视样本频率为概率，求其中恰有2件产品的质量指标值不低于60的概率． 【答案】(1)0.008 (2)100 (3)0.415872 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1求解； （2）根据频数，频率与样本容量的关系求解； （3）根据独立重复试验的概率公式求解． 【详解】（1）的频率为；的频率为； 的频率为；的频率为； 的频率为；的频率为， ∵频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1， ∴，解得． （2）设样本容量为， ∵内产品频数为20，频率为0.2， ∴，解得． （3）∵质量指标值不低于60的频率为， ∴从这批产品中随机选取1件，质量指标值不低于60的概率为， ∴从这批产品中随机选取3件，恰有2件产品的质量指标值不低于60的概率为 ． 试卷第6页，共7页 试卷第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：河北省2026年对口升学《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是河北省2026年对口升学《数学考点双析卷》的第109卷，主要考查概率与统计章节中随机变量及其分布、一元线性回归分析的掌握情况。 河北省2026年对口升学《数学考点双析卷》 第109卷 随机变量及其分布、一元线性回归分析 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列具有相关关系的两个变量是（    ） ①球的半径与表面积        ②人的睡眠时间与身体健康状况 ③学生的数学成绩与物理成绩    ④人的体重与眼睛近视的度数 A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①④ 2．已知两个变量x，y之间具有线性相关关系，统计分析它们四组数据的离散图（如图所示），则它们对应的y对x的回归直线方程中的回归系数关系正确的是（   ）    A． B． C． D． 3．已知与之间的一组数据 0 1 2 3 1 3 5 7 若与线性相关，则与的回归直线方程必过点（    ） A． B． C． D． 4．已知随机变量的分布列如下： ξ 3 5 7 P a b a 则ξ的期望为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．为了解某地区某种水果的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：万元/吨）的影响，对近五年该水果的年产量和价格统计如下表： x 300 350 400 450 500 y 1.8 1.7 1.5 1.4 1.1 若y关于x的回归直线方程为，则（ ） A．2.82 B．2.86 C．2.88 D．2.92 6．已知离散型随机变量服从二项分布，则（ ） A． B． C． D． 7．袋中装有大小相同的5个球，分别标有五个号码，在有放回的条件下依次取出2个球，设2个球的号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是（    ） A． B． C． D．9 8．已知离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 则（    ） A． B． C． D． 9．若随机变量服从正态分布，，则=（    ） A． B． C． D． 10．某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示： 身高 160 165 170 175 180 体重 63 66 70 72 74 根据上表可得回归直线方程，据此模型预测身高为的高三男生的体重为（   ） A．70.09 B．70.12 C．70.29 D．65.79 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．已知随机变量的分布列如下表所示，则 ． 1 2 12．已知变量y与x线性相关，回归直线方程为.若，，则 . 13．小明射击一次击中环的概率是，则小明连续射击3次恰好击中环1次的概率是 . 14．已知小明投篮10次，每次投篮的命中率为0.7.记10次投篮中命中的次数为，则 . 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．某中学高二数学备课组对学生的记忆力判断力进行统计分析，所得数据如下表所示： 4 6 8 10 2 3 5 6 (1)请根据上表提供的数据，求出关于的回归直线方程； (2)根据（1）中求出的回归直线方程，预测记忆力为9的学生的判断力． 16．某职业技术大学招收的8名机械工程专业新生中有2名优秀生，现随机将这8名新生平均分配到甲、乙两个班中. (1)求2名优秀生被分配到同一个班的概率； (2)设随机变量表示分配到甲班的优秀生的人数，求的概率分布； (3)求随机变量的期望和方差. 17．在某次数学考试中，考生的成绩 (1)求考试成绩位于区间内的概率； (2)若此次考试共有20000名考生，试估计成绩在区间内的考生人数. 18．某企业从一批产品中随机选取部分产品检测质量指标值，并将其作为样本，已知质量指标值范围为，将所得数据分成6组：，，…，，，并绘制出如下频率分步直方图．    (1)求频率分布直方图中的值； (2)已知样本质量指标值在内产品频数为20，求样本容量； (3)该企业计划从这一批产品中随机选取3件进一步检测，视样本频率为概率，求其中恰有2件产品的质量指标值不低于60的概率． 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $