专题24.2.1 点和圆的位置关系（知识梳理+16个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共57题）-2025-2026学年人教版数学九年级上册同步培优讲练

本讲义聚焦“点和圆的位置关系”核心知识点，系统梳理点与圆位置关系的判定（d与r的关系）、确定圆的条件（不在同一直线上的三点）、三角形外接圆与外心（垂直平分线交点）等内容，构建从基础概念到综合应用的学习支架，衔接圆的基本性质与后续几何知识。 资料以16个分层考点为核心，每个考点配套典例精讲与变式训练，融入尺规作图（如确定圆心）、反证法（假设与推理）等内容，培养几何直观与推理意识。中考真题演练结合基础夯实、培优拔高分层练习，助力课中高效教学，课后精准查漏补缺，提升学生运用数学语言解决问题的能力。

专题24.2.1 点和圆的位置关系 （知识梳理+16个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共57题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：点与圆的位置关系 2 知识点梳理02：确定圆的条件 2 知识点梳理03：三角形的外接圆与外心 2 优选题型 考点讲练 2 考点1 判断点与圆的位置关系 2 考点2 利用点与圆的位置关系求半径 4 考点3 已知半径和圆上两点作圆 5 考点4 点与圆上一点的最值问题 5 考点5 三角形外接圆的概念辨析 5 考点6 求三角形外心坐标 6 考点7 求特殊三角形外接圆的半径 7 考点8 已知外心的位置判断三角形的形状 8 考点9 判断三角形外接圆的圆心位置 9 考点10 判断确定圆的条件 9 考点11 确定圆心（(尺规作图） 10 考点12 求能确定的圆的个数 11 考点13 画圆(尺规作图） 11 考点14 反证法证明中的假设 12 考点15 用反证法证明命题 13 考点16 举反例 13 中考真题 实战演练 14 男滴分层 拔尖冲刺 16 基础夯实 16 培优拔高 19 知识点梳理01：点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点梳理02：确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点梳理03：三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 考点1 判断点与圆的位置关系 【典例精讲】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）在平面直角坐标系中，如果点A的坐标为，点B的坐标为，则称点B为点A的“亲情点” (1)如图1，如果的半径为． ①请你判断，两个点的“亲情点”与的位置关系； ②设与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于点D，C．若点的“亲情点”在直线上，求a的值； (2)如图2，如果的半径为1，且的“亲情点”为，求点到上任一点距离的最小值． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么点D与这条圆弧所在圆的位置关系是（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 考点2 利用点与圆的位置关系求半径 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，三点的坐标分别为：． (1)以点为旋转中心，将沿着顺时针方向旋转90°得到，画出，并写出三点的坐标； (2)以原点为圆心，长为半径，当点六个点中恰好有三个点在的内部时，直接写出的取值范围． 【变式训练】（25-26九年级上·全国·课后作业）在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 考点3 已知半径和圆上两点作圆 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ． 考点4 点与圆上一点的最值问题 【典例精讲】25-26九年级上·山东济宁·期中）已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 【变式训练】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的直径，点是的中点，点是上的任意一点，连接、、，过点作，垂足为，交于点，若，则的最小值为 ． 考点5 三角形外接圆的概念辨析 【典例精讲】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，是锐角三角形的外接圆，，，，垂足分别为D，E，F，连接，，．若，的周长为20，则的长为（   ） A．8 B．4 C．3 D．3.5 【变式训练】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，内接于，．连接并延长，交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的半径为5，，求的长． 考点6 求三角形外心坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，为第一象限内一点，为轴正半轴上一点，，且的最小值为．将线段绕点逆时针旋转得到线段． (1)求点的坐标； (2)已知轴上存在一定点，满足不论点在轴正半轴的何处，都有的大小不变． ①求的大小； ②在数学活动课上，我们探究了圆的内接四边形对角互补的逆命题是真命题，基于这一活动结论，解决下列问题．若，且的三边长均为整数，求点与外心间的距离． 【变式训练】（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，请解答下列问题： (1)画出关于原点成中心对称的； (2)画出绕原点O顺时针旋转的， (3)直接写出外接圆圆心的坐标________． 考点7 求特殊三角形外接圆的半径 【典例精讲】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心； (2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，，，O为的外心，为等边三角形，与相交于D点，连接． (1)求的度数； (2)求的度数． 考点8 已知外心的位置判断三角形的形状 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的内接三角形，将劣弧沿弦折叠后刚好经过弦中点，若，，则的半径为 ． 【变式训练】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）在中，，是上一动点，连接，是三边垂直平分线的交点．连接，，若，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 考点9 判断三角形外接圆的圆心位置 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，则能完全覆盖的最小圆的半径为 ． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为______； (2)这个圆的半径为______； (3)直接判断点与的位置关系．点在______（填内、外、上）． 考点10 判断确定圆的条件 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，若，，三点可以确定一个圆，则n的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点11 确定圆心（(尺规作图） 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点，点，点均为格点．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图． (1)画出圆的圆心． (2)画出的角平分线． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，已知． (1)尺规作图：求作，使经过A，B，C三点； (2)仅用没有刻度的直尺在上找一点D，使，要求：保留作图或画图痕迹，不写作法） 考点12 求能确定的圆的个数 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练】已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 考点13 画圆(尺规作图） 【典例精讲】（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，四边形内接于，平分． (1)在图中画出圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，连接，若，求的度数． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知． (1)尺规作图：作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若的半径为10，点到BC的距离为6，求BC的长． 考点14 反证法证明中的假设 【典例精讲】（25-26九年级上·福建福州·期中）我们知道圆的内接四边形对角互补，反之，若一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点会在同一个圆上吗？小明已经根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”作出的圆心，再证明点也在上，在用反证法证明时，假设结论“点在上”不成立，那么点与圆的位置关系是（    ） A．点只能在内 B．点只能在外 C．点在圆心或在外 D．点在内或外 【变式训练】（25-26九年级上·山西朔州·月考）牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精良的武器之一”．如图，用反证法证明命题“如果，那么”，首先应假设 ． 考点15 用反证法证明命题 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接，下列结论：①，②，③，④，正确的有几项（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】（24-25八年级上·江苏南京·月考）如图，在中，，点，，分别在，，上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)用反证法证明不可能是直角三角形． 考点16 举反例 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江金华·月考）对于命题“如果，那么、都大于”能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D．， 【变式训练】（2025·江苏南通·中考真题）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 【演练1】（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【演练2】（2025·江苏徐州·中考真题）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． (1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”； (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法） 【演练3】（2025·山东威海·中考真题）（1）如图①，将平行四边形纸片的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形．判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，已知能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形，其中，点M在上，点N在上，点P在上，点Q在上．请用直尺和圆规确定点M的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【演练4】（2025·甘肃·中考真题）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为D； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）． 【演练5】（2022·广西柳州·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 ． 基础夯实 1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心作一个半径为6的圆，点P的坐标为，则点P与的位置关系是（） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．点P在上或外 3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）平面内，若的半径为2， ，则点P在（   ） A．外 B．内 C．内或外 D．上 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器刻度线的端点与点重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点，第秒时，点在量角器上对应的读数是（　　） A．度 B．度 C．度 D．度 5．（25-26九年级上·北京·期中）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在中点D处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是 ． 6．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，一圆弧过方格的格点，在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ． 7．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）有下列命题： ①已知的半径为，点P在圆外，则线段的长度取值范围是； ②不在上的点P到上的点的最小距离是4，最大距离是9，则的半径是； ③已知是的两条平行弦，，，的半径为5，则弦与的距离为1或7． 其中真命题的是 （填序号）． 8．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图．弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D， 连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求残片所在圆的半径． 9．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）如图，已知． (1)请作的外接圆，连接并延长交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求的半径． 10．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）（1）小丽家的房前有一块空地，空地上有三棵树A、B、C（如图），小丽想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小丽把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2） 在（1）的条件下，若，，求花坛的半径长． 培优拔高 11．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）下列说法错误的是（   ） A．半径相等的两个半圆是等弧 B．面积相等的两个圆是等圆 C．长度相等的两条弧一定是等弧 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 12．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，是的半径，弦于点D，，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知E是的外心，P、Q分别是、的中点，连接、交于点F、D，若，，，则的面积为（　　） A．18 B．24 C．30 D．36 14．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点是上的动点，点是线段的中点，则线段的最大值是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·河南信阳·期中）直角三角形的两直角边长是一元二次方程 的两根，则该三角形外接圆的半径是 ． 16．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，，点C是平面内一动点，且，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为 ． 17．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，的半径是4，是的弦，点C在外，连接．若，则长的最大值为 ． 18．（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，等腰． (1)尺规作图作出的外接圆；（保留作图痕迹，不写作法）； (2)作直径，证明：平分； (3)的半径=______________． 19．（25-26九年级上·北京·月考）在平面直角坐标系中，的半径为1，若平移d个单位后，使某图形上所有点在内或上，则称d的最小值为对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图，，则对线段的“最近覆盖距离”为3． (1)对点的“最近覆盖距离”为________________； (2)点P是函数图象上一点，且对点P的“最近覆盖距离”为2，则点P的坐标为________； (3)若一次函数的图象上存在点C，使对点C的“最近覆盖距离”为，求k的取值范围； (4)，且，将对线段的“最近覆盖距离”记为d，直接写出d的取值范围． 20．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）【给出定义】 我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 【观察发现】 如图，小莹发现：“任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖”．从而，得到“三角形的外接圆就是覆盖该三角形的最小覆盖圆”的结论． 【问题解决】 (1)结合以上三个图形，你同意小莹的观点吗？若不同意，请写出你的发现； (2)在矩形ABCD中，，，则该矩形的最小覆盖圆的直径为______； (3)如图4，在平面直角坐标系中，已知点，，点C是y轴正半轴上的一个点，且． ①求的最小覆盖圆的半径； ②求点C的坐标． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.2.1 点和圆的位置关系 （知识梳理+16个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共57题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：点与圆的位置关系 2 知识点梳理02：确定圆的条件 2 知识点梳理03：三角形的外接圆与外心 2 优选题型 考点讲练 2 考点1 判断点与圆的位置关系 2 考点2 利用点与圆的位置关系求半径 5 考点3 已知半径和圆上两点作圆 7 考点4 点与圆上一点的最值问题 10 考点5 三角形外接圆的概念辨析 12 考点6 求三角形外心坐标 14 考点7 求特殊三角形外接圆的半径 18 考点8 已知外心的位置判断三角形的形状 20 考点9 判断三角形外接圆的圆心位置 23 考点10 判断确定圆的条件 25 考点11 确定圆心（(尺规作图） 27 考点12 求能确定的圆的个数 29 考点13 画圆(尺规作图） 31 考点14 反证法证明中的假设 33 考点15 用反证法证明命题 34 考点16 举反例 37 中考真题 实战演练 39 男滴分层 拔尖冲刺 44 基础夯实 44 培优拔高 52 知识点梳理01：点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点梳理02：确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点梳理03：三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 考点1 判断点与圆的位置关系 【典例精讲】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）在平面直角坐标系中，如果点A的坐标为，点B的坐标为，则称点B为点A的“亲情点” (1)如图1，如果的半径为． ①请你判断，两个点的“亲情点”与的位置关系； ②设与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于点D，C．若点的“亲情点”在直线上，求a的值； (2)如图2，如果的半径为1，且的“亲情点”为，求点到上任一点距离的最小值． 【答案】(1)①点在外，点在内；② (2) 【思路引导】本题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆上一点的最值问题，一次函数的应用，理解新定义是解题的关键． （1）①根据“亲情点”的定义可得，，即可求解； ②求出直线的解析式，根据“亲情点”的定义可得为，再由点在直线上，即可求解； （2）根据“亲情点”的定义可得的坐标为，可得到点到圆心O的距离，即可求解． 【规范解答】（1）解：①由题意得，点M的“亲情点”为，点N的“亲情点”为， ，， 点在外，点在内； ②设直线的解析式为，将和代入 ， 解得：， ， 根据题意得：点的“亲情点”为， 点在直线上， ， 解得； （2）解：∵的“亲情点”为， ∴的坐标为， 点到圆心O的距离为， 点与上任意一点的最短距离是． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么点D与这条圆弧所在圆的位置关系是（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 【答案】A 【思路引导】因为圆心到A，B，C三点距离相等，所以圆心在的垂直平分线上，根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，比较半径和的长度即可得出结论． 【规范解答】解：∵圆心到A，B，C三点距离相等， ∴圆心在的垂直平分线上， 故如图线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点． 即为圆心， 则， ， ∵， ， 点在这条圆弧所在圆的圆内． 故选：A． 【考点剖析】本题考查了垂直平分线，点和圆的位置关系，实数的比较大小，勾股定理，数形结合是解答此题的关键． 考点2 利用点与圆的位置关系求半径 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，三点的坐标分别为：． (1)以点为旋转中心，将沿着顺时针方向旋转90°得到，画出，并写出三点的坐标； (2)以原点为圆心，长为半径，当点六个点中恰好有三个点在的内部时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)图见解析， (2) 【思路引导】本题考查坐标与图形变换—旋转，点与圆的位置关系，熟练掌握旋转的性质是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出，进而写出三点的坐标即可； （2）求出圆心到各点的距离，根据点与圆的位置关系，进行判断即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求；由图可知：； （2）∵，， ∴， ， ∵点六个点中恰好有三个点在的内部， ∴． 【变式训练】（25-26九年级上·全国·课后作业）在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【思路引导】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【规范解答】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 考点3 已知半径和圆上两点作圆 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了确定圆心的位置，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直平分线上，那么作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧，该弧与线段的垂直平分线的交点个数即为圆的个数，据此作图求解即可． 【规范解答】解：作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧， ∵， ∴该弧与线段的垂直平分线有两个交点， ∴经过两点且半径为3的圆有2个， 故选：C． 【变式训练】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，如图，连接， 取的中点， 连接，， ，，，，利用三角形中位线定理求出，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，则 ，求出 的最大值，可得结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用参数解决问题，熟练掌握知识点的应用． 【规范解答】如图， 连接， 取的中点， 连接，， ，，，， ∵点、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则， ∵， ∴最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 考点4 点与圆上一点的最值问题 【典例精讲】25-26九年级上·山东济宁·期中）已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【思路引导】本题考查点与圆的位置关系，根据点在圆内还是圆外分类讨论是解题关键． 设这个点到圆心距离为，圆的半径为．当这个点在圆外时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为；当这个点在圆内时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为，分别计算出结果即可． 【规范解答】设圆的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ． ∵ 点 到圆上点的最大距离为 ，最小距离为 ． 情况一：点 在圆外时， 有 ，， ∴ 两式相加：，， 代入 ，得 ； 情况二：点 在圆内时， 有 ，， ∴ 两式相加：，． 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的直径，点是的中点，点是上的任意一点，连接、、，过点作，垂足为，交于点，若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【思路引导】如图所示，连接，，，求出，得到点F在以为直径的圆上运动，取的中点Q，连接，过点Q作于点H，连接，求出，得到，然后求出，由得到当点Q，F，B三点共线时，有最小值，即的值，进而求解即可． 【规范解答】解：如图所示，连接，，， ∵是的直径，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的圆上运动， 取的中点Q，连接，过点Q作于点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点Q，F，B三点共线时，有最小值，即的值， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【考点剖析】此题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上定理与性质并确定出点F的运动路径． 考点5 三角形外接圆的概念辨析 【典例精讲】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，是锐角三角形的外接圆，，，，垂足分别为D，E，F，连接，，．若，的周长为20，则的长为（   ） A．8 B．4 C．3 D．3.5 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键．根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可． 【规范解答】解：∵是锐角三角形的外接圆，， ∴点D、E、F分别是的中点， ∴， ∵的周长为20， ∴即， ∴， 故选：D． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，内接于，．连接并延长，交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了外心，垂径定理，勾股定理，垂直平分线的判定与性质等知识．对知识的熟练掌握与灵活运用是解题的关键． （1）如图，连接、，由内接于，可知，再证明，进而可知垂直平分； （2）由（1）知，，，由垂径定理可得，，由勾股定理得，，则，然后根据求解即可． 【规范解答】（1）证明：如图1，连接、， ∵内接于， ∴， ∵， ∴， ∵到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：由（1）知，，， 由垂径定理可得，， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为． 考点6 求三角形外心坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，为第一象限内一点，为轴正半轴上一点，，且的最小值为．将线段绕点逆时针旋转得到线段． (1)求点的坐标； (2)已知轴上存在一定点，满足不论点在轴正半轴的何处，都有的大小不变． ①求的大小； ②在数学活动课上，我们探究了圆的内接四边形对角互补的逆命题是真命题，基于这一活动结论，解决下列问题．若，且的三边长均为整数，求点与外心间的距离． 【答案】(1) (2)①；② 【思路引导】（1）利用点到直线的距离的性质得到轴，设，则，利用勾股定理求得，则点的坐标可得； （2）①利用点的坐标的特征求得，利用等边三角形的判定与性质得到，，再利用全等三角形的判定与性质解答即可； ②过点作于点，利用勾股定理表示出，利用整数的特征求得，利用等边三角形的判定与性质得到，利用对角互补的四边形内接于圆，得到点、、、在同一个圆上，即△外心与四边形的外接圆的圆心重合，设外心为，连接并延长交于点，连接，，利用圆周角定理，等腰三角形的性质和勾股定理解答即可得出结论． 【规范解答】（1）解：为第一象限内一点，为轴正半轴上一点， 轴时，的值最小，如图， 由题意：，， ， ， 设，则， ， ， ， ； （2）解：①由（1）知：， ， ， ， 连接，如图， ，， △为等边三角形， ，， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ； ②过点作于点，如图， ， ，， 设，则， ， ，且的三边长均为整数， ，为正整数， 当或5时，，符合题意， ， ， △为等边三角形， ， 由（2）①知：，， ， ， 对角互补的四边形内接于圆， 点、、、在同一个圆上，即外心与四边形的外接圆的圆心重合， 设外心为，连接并延长交于点，连接，， 则，， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ． 四边形的外接圆的半径为， 点与△外心间的距离为． 【考点剖析】本题主要考查了平面直角坐标系，点的坐标的特征，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质勾股定理，圆的有关性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 【变式训练】（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，请解答下列问题： (1)画出关于原点成中心对称的； (2)画出绕原点O顺时针旋转的， (3)直接写出外接圆圆心的坐标________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查了画关于原点对称的图形、画旋转图形，外接圆的圆心，画出正确的图是解决本题的关键． （1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到、、对应点的位置，再顺次连接即可； （2）先找到、、对应点的位置，再顺次连接即可； （3）先作出边的垂直平分线，两直线的交点即为外接圆圆心，然后写出坐标即可． 【规范解答】（1）解：如下图为所求： （2）解：如下图即为所求： （3）解：如下图点即为所求，其坐标为， 故答案为：． 考点7 求特殊三角形外接圆的半径 【典例精讲】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心； (2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【思路引导】本题考查作图应用与设计作图，三角形的外接圆等知识，解题的关键是理解三角形外接圆的圆心的三边垂直平分线的交点． （1）线段，的垂直平分线的交点即为所求； （2）连接，利用勾股定理求解． 【规范解答】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，，，O为的外心，为等边三角形，与相交于D点，连接． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题主要考查了三角形的外心的性质以及等边三角形的性质等知识，得出是解题关键． （1）连接，通过证得，从而问题得解； （2）利用三角形外心的性质以及利用等腰三角形的性质得出，然后根据三角形内角和得出．再根据，即可求解． 【规范解答】（1）解：连接， ∵O为的外心， ， ， ， ， ， （2）解：∵由（1）得，， ， ∴ 为正三角形， ， ． 考点8 已知外心的位置判断三角形的形状 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的内接三角形，将劣弧沿弦折叠后刚好经过弦中点，若，，则的半径为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，圆周角定理，翻折变换．设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据圆周角定理可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后在中，根据含度角的直角三角形的性质以及勾股定理可求出，的长，从而求出，的长，进而求出的长，最后在中，根据含度角的直角三角形的性质以及勾股定理求出，即可解答． 【规范解答】解：设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ，， 与是等圆， ， ， ， 点是的中点， ， ， 在中，，， ， ，则 的半径为： 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）在中，，是上一动点，连接，是三边垂直平分线的交点．连接，，若，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形外心，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．证明是等腰直角三角形，且，证明是等腰直角三角形，作的垂直平分线l交于点H，则，则，由点E在的垂直平分线上运动得到当点D运动到使得点E到达点H时，即面积最小，即可求出答案． 【规范解答】解：如图， ∵是三边垂直平分线的交点． ∴，是的外心． ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 作的垂直平分线l交于点H，则 ∴， ∵， ∴点E在的垂直平分线上运动， 当点D运动到使得点E到达点H时，即面积最小， 此时． 故选：D． 考点9 判断三角形外接圆的圆心位置 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，则能完全覆盖的最小圆的半径为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外心的确定方法是解题的关键． 作线段的垂直平分线，交于点，再根据勾股定理计算，即可得到答案． 【规范解答】解：作线段的垂直平分线，交于点，如图所示： 则点即为能完全覆盖的最小圆的圆心， 能完全覆盖的最小圆的半径为：， 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为______； (2)这个圆的半径为______； (3)直接判断点与的位置关系．点在______（填内、外、上）． 【答案】(1) (2) (3)内 【思路引导】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，也考查了点与圆的位置关系，勾股定理． （1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，从而得到点的坐标； （2）利用两点间的距离公式计算出即可； （3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系． 【规范解答】（1）解：如图，圆心的坐标为； ； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， 即的半径为； 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴点在内． 故答案为：内． 考点10 判断确定圆的条件 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，若，，三点可以确定一个圆，则n的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查的是确定圆的条件、待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法求出直线的解析式，再根据不在同一直线上的三个点确定一个圆解答． 【规范解答】解：设直线的解析式为： 则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点在直线上， ，， 三点可以确定一个圆时，， 故选：D． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】此题主要考查了垂径定理，四点共圆，勾股定理，作出辅助线判断出点、、、四点共圆是解本题的关键． 先判断出点、、、四点共圆，判断出的最大值为，再求出，然后根据勾股定理即可求出答案． 【规范解答】解：如图， 连接，， 点是的中点， ， ， ， ， ， 点、、、在以为直径的圆上， ， ∵， 在中，，， 根据勾股定理得， 故选：A． 考点11 确定圆心（(尺规作图） 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点，点，点均为格点．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图． (1)画出圆的圆心． (2)画出的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查正方形的性质，垂径定理，外心以及角平分线，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）取格点Q、E，使四边形是正方形，连接，则；取格点得的垂直平分线交于点，即为圆的圆心； （2）取格点，连接，则四边形是正方形，连接交于点，连接，则是的角平分线． 【规范解答】（1）解：如图，点即为圆的圆心； （2）解：如图，是的角平分线． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，已知． (1)尺规作图：求作，使经过A，B，C三点； (2)仅用没有刻度的直尺在上找一点D，使，要求：保留作图或画图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查作图-复杂作图、三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆即可． （2）连接并延长，交于点D，结合圆周角定理可知，则点D即为所求． 【规范解答】（1）解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，则即为所求． （2）解：如图，连接并延长，交于点D，连接，则点D即为所求． 根据作图可知为的直径， ． 考点12 求能确定的圆的个数 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【思路引导】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线的三点确定一个圆是解题的关键．直线上任意两个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【规范解答】解：过以下三点可以画出一个圆：、、；、、；、、；、、；、、；、、． ∴最多可画出圆的个数为个． 故选：D． 【变式训练】已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 【答案】（1）1个；（2）0个；（3）无数个． 【思路引导】（1）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点，据此可得答案； （2）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点； （3）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心． 【规范解答】解：（1）如图1，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点， ∴当直线l与直线AB不垂直时，只能作1个圆； （2）如图2，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点， ∴当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时，不能作圆；   （3）如图3，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心， ∴当直线l是线段AB的垂直平分线时，能作无数个圆． 【考点剖析】本题主要考查确定圆的条件，不在同一直线上的三点确定一个圆．即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 考点13 画圆(尺规作图） 【典例精讲】（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，四边形内接于，平分． (1)在图中画出圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查圆的综合知识，基本作图、圆周角定理、内接四边形对角互补，角平分定义等相关知识，得出是解题关键 （1）作、的垂直平分线，垂直平分线交于点O，则点O为外接圆的圆心，作图即可； （2）由四边形内接于，可得，则，有同弧所对圆周角相等可得的度数． 【规范解答】（1）解：如图（画法不唯一）； （2）解：连接， ∵四边形内接于， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知． (1)尺规作图：作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若的半径为10，点到BC的距离为6，求BC的长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【思路引导】本题考查尺规作图，垂径定理，勾股定理三角形的外接圆与外心等知识， （1）作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心，然后以点O为圆心，以为半径画圆即可； （2）作于利用勾股定理求出，再利用垂径定理可得，求出即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：作于． 在中，，， ， ， ， ． 考点14 反证法证明中的假设 【典例精讲】（25-26九年级上·福建福州·期中）我们知道圆的内接四边形对角互补，反之，若一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点会在同一个圆上吗？小明已经根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”作出的圆心，再证明点也在上，在用反证法证明时，假设结论“点在上”不成立，那么点与圆的位置关系是（    ） A．点只能在内 B．点只能在外 C．点在圆心或在外 D．点在内或外 【答案】D 【思路引导】本题考查反证法，点与圆的位置关系．点D不在圆上时，其位置只能在圆内或圆外，因为圆内包括圆心（距离小于半径），圆外距离大于半径，而圆上距离等于半径． 【规范解答】解：∵ 假设点D不在上， ∴ 点D到圆心O的距离不等于半径， 即点D在内（距离小于半径，包括与圆心重合）或点D在外（距离大于半径）． ∴ 点D与的位置关系是点D在内或外． 故选：D． 【变式训练】（25-26九年级上·山西朔州·月考）牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精良的武器之一”．如图，用反证法证明命题“如果，那么”，首先应假设 ． 【答案】 【思路引导】本题考查反证法，熟记反证法的解题步骤是解决问题的关键． 根据反证法的解题步骤，首先要否定结论，结合题目所给结论直接否定即可得到答案． 【规范解答】解：用反证法证明命题“如果，那么”，首先应假设， 故答案为：． 考点15 用反证法证明命题 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接，下列结论：①，②，③，④，正确的有几项（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】①利用正方形的性质证明即可； ②利用的性质得出相等的角，然后利用等量代换即可求解； ③延长和，相交于点，证明，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解； ④利用反证法进行证明即可． 【规范解答】解：①∵四边形为正方形， ∴， ∴E、F分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴①正确，符合题意； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴②正确，符合题意； ③如图所示，延长和，相交于点， ∵E是的中点， ∴， 又∵,， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴③正确，符合题意； ④假设， 由③得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 显然，矛盾， ∴假设错误， ∴④不符合题意； 综上，正确选项为①②③， 故选：C． 【考点剖析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线定理，反证法，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是能够综合运用上述知识． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏南京·月考）如图，在中，，点，，分别在，，上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)用反证法证明不可能是直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明≌是解题的关键． （1）根据，可知，再利用证明≌，得，即可证明结论； （2）假设是等腰直角三角形，则，由知≌，则，可可得到，则假设不成立． 【规范解答】（1）证明：， ， 又， ， 在与中， ， ≌， ， 是等腰三角形； （2）解：假设是等腰直角三角形， 则， ， 由（1）可知：≌， ∴， ， ， ， 不可能是等腰直角三角形． 考点16 举反例 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江金华·月考）对于命题“如果，那么、都大于”能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【思路引导】根据题意，举一个例子，满足一个大于，一个不大于，且两个角的和大于即可． 本题考查了假命题的反例证明，熟练掌握方法是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，符合题意的是，，其余都不满足， 故选：C． 【变式训练】（2025·江苏南通·中考真题）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 【答案】(1)假命题，见解析； (2)假命题，见解析； (3)真命题，证明见解析； (4)假命题，见解析． 【思路引导】本题考查了真命题与假命题．熟练掌握真命题与假命题的定义是解题的关键．题设成立结论也成立的命题叫做真命题，题设成立结论不成立的命题叫做假命题．判断一个命题是真命题通常由已知条件出发，经过一步步推理，最后推出结论正确；要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例（具备命题的条件，不具备命题的结论的例子）即可 根据真命题和假命题的定义判断并说明即可． 【规范解答】（1）解：是假命题，反例： 当时， ，， ∴结论不成立； （2）解：是假命题，反例： 当时， ， ∴结论不成立； （3）解：是真命题，证明： 设两个连续的正奇数为，（为正整数）， 则 ∵为正整数， ∴是8的倍数， ∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； （4）解：是假命题，反例： 当四边形为等腰梯形时结论不成立． 【演练1】（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，根据垂线段最短和三角形三边关系得到，即可得到点P在时，的值最大为长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可． 【规范解答】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当点P在时，的值最大为长， ∵是正方形， ， ∴， ∴的值最大为， ∴的最大面积是， 故选：C． 【演练2】（2025·江苏徐州·中考真题）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． (1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”； (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)七 (2)见解析 【思路引导】此题考查确定圆的条件、垂径定理等知识． （1）连接一段等弧两端点构造弦，在圆上依次截取相同长度的弦，即可得到答案； （2）先确定两个同心圆的圆心，补全两个同心圆，再依次找到等弧的圆心，即可补全等弧． 【规范解答】（1）解：如图，若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“七连弧纹镜”， 故答案为：七 （2）如图所示，即为所求， 【演练3】（2025·山东威海·中考真题）（1）如图①，将平行四边形纸片的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形．判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，已知能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形，其中，点M在上，点N在上，点P在上，点Q在上．请用直尺和圆规确定点M的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）四边形是矩形，理由见解析；（2）见解析． 【思路引导】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，翻折变换，圆周角定理，解题的关键是掌握平行四边形的性质． （1）四边形是矩形，根据四个角是直角的四边形是矩形证明即可； （2）分别作的中垂线，得到点，连接，作的中垂线，得到的中点，以为圆心，的长为半径画圆，与的交点即为点； 【规范解答】解：（1）四边形是矩形，理由如下： 由折叠的性质可知，，， ， ， ，即， 同理可得：， ∴四边形是矩形； （2）由（1）可知：， 故分别为的中点，点在以为直径的圆上， 同理：点分别为的中点，点在以为直径的圆上， 如图，即为所求． 【演练4】（2025·甘肃·中考真题）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为D； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】图见解析 【思路引导】本题考查尺规作图—复杂作图，熟练掌握尺规作线段，作垂线的方法是解题的关键，根据题干给定的作图步骤，结合尺规作垂线和作线段的方法作图即可． 【规范解答】解：由题意，作图如下，即为所求； 【演练5】（2022·广西柳州·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】如图，由EG＝2，确定在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE， 再证明（SAS）， 可得可得当三点共线时，最短，则最短，再利用勾股定理可得答案． 【规范解答】解：如图，由EG＝2，可得在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE， ∵正方形ABCD， ∴ ∴ ∵DE=DF， ∴（SAS）， ∴ ∴当三点共线时，最短，则最短， ∵位BC 中点， ∴ 此时 此时 所以CF的最小值为： 故答案为： 【考点剖析】本题考查的是正方形的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利用圆的基本性质求解线段的最小值是解本题的关键． 基础夯实 1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【思路引导】本题主要考查三角形的外心，关键是熟练掌握三角形的外心的概念．根据三角形的外心是三边的垂直平分线的交点，再结合图形进行判断即可． 【规范解答】解：三角形的外心是三边的垂直平分线的交点， 三角形的外心到三个顶点的距离相等． 由图可知，设网格中每个小正方形的边长为， 则点到三个顶点的距离均为， 即点到三个顶点的距离相等， 的外心是点． 故选：C． 2．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心作一个半径为6的圆，点P的坐标为，则点P与的位置关系是（） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．点P在上或外 【答案】A 【思路引导】本题考查点与圆的位置关系：点到圆心的距离d与半径r比较，若则点在圆内，若则点在圆上，若则点在圆外． 计算点P到原点O的距离，与圆的半径比较，判断位置关系． 【规范解答】∵点P的坐标为，原点O为， ∴， ∵⊙O的半径， ∴， ∵， ∴， ∴点P在内． 故选：A． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）平面内，若的半径为2， ，则点P在（   ） A．外 B．内 C．内或外 D．上 【答案】A 【思路引导】本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外． 通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径r的大小关系判断． 【规范解答】∵的半径，，且， ∴， ∴点P在外． 故选A． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器刻度线的端点与点重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点，第秒时，点在量角器上对应的读数是（　　） A．度 B．度 C．度 D．度 【答案】C 【思路引导】本题考查了圆周角定理，点和圆的位置关系，连接，由，易得点共圆，然后由圆周角定理可得点在量角器上对应的读数，熟练掌握知识点是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接， ∵， ∴在以点为圆心，为直径的圆上， ∴点共圆， ∵， ∴， ∴点在量角器上对应的读数是， 故选：． 5．（25-26九年级上·北京·期中）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在中点D处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，点与圆的位置关系，根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质得，以点为圆心，长为半径画圆，再根据图形即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， 取中点，连接，则， 以点为圆心，长为半径画圆，如图所示： 由图可知，点都在内， ∴这三栋楼中在该基站覆盖范围内， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，一圆弧过方格的格点，在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查坐标与图形，圆的确定，连接，根据网格特点和三角形的外心的性质，得到的中垂线的交点即为圆心，根据点的坐标，确定圆心的坐标即可． 【规范解答】解：如图，由题意，点即为弧所在圆的圆心，且点恰好是坐标原点， 故弧所在圆的圆心坐标是． 7．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）有下列命题： ①已知的半径为，点P在圆外，则线段的长度取值范围是； ②不在上的点P到上的点的最小距离是4，最大距离是9，则的半径是； ③已知是的两条平行弦，，，的半径为5，则弦与的距离为1或7． 其中真命题的是 （填序号）． 【答案】①③ 【思路引导】本题考查了点与圆的位置关系，垂径定理，勾股定理．根据点与圆的位置关系，圆外点到圆心的距离大于半径；点与圆上点的最小和最大距离需考虑点在圆内或圆外两种情况；平行弦的距离需通过弦心距计算，并分同侧和异侧讨论，据此进行逐项分析，即可作答． 【规范解答】解：对于命题①：点P在外，则半径，故命题①正确； 对于命题②：点P不在上，可能位于圆外或圆内， 若点P在圆外，设，则，解得； 若点P在圆内，则解得； 命题仅给出，忽略另一种情况，故命题②错误； 对于命题③：当弦和在圆心同侧时，如图， 过点O作，垂足为F，交于点E，连接， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴由勾股定理得： ， ∴； ②当弦和在圆心异侧时，如图②， 过点O作于点E，反向延长交于点F，连接， 则， ∴与之间的距离是1或7． 故答案为：①③ 8．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图．弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D， 连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求残片所在圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)7.5 【思路引导】本题主要考查了垂径定理，圆心的位置的确定，勾股定理： （1）作的垂直平分线交的延长线于点O，即可； （2）连接，设圆的半径为r，则，，再由垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理解答即可． 【规范解答】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：如图，连接， 设圆的半径为r，则，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即圆的半径为 9．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）如图，已知． (1)请作的外接圆，连接并延长交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查确定圆心，圆周角定理，直角三角形的性质； （1）分别作和的垂直平分线交于点，则，以为圆心为半径画圆，即为的外接圆，连接并延长交于点，连接． （2）由圆周角和它的推论得到，，再根据直角三角形的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：作的外接圆，连接并延长交于点，连接，如图所示： （2）解：由圆周角和它的推论得到，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（负值舍去）， 即的直径， ∴的半径为． 10．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）（1）小丽家的房前有一块空地，空地上有三棵树A、B、C（如图），小丽想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小丽把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，，求花坛的半径长． 【答案】（1）见解析；（2） 【思路引导】（1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆即可． （2）连接，，由圆周角定理得，则可得，即花坛的半径长为． 【规范解答】解：（1）如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，则即为所求． （2）连接，， ， ， ， 花坛的半径长为． 【考点剖析】本题主要考查三角形外接圆的知识，以及圆周角定理．利用圆周角与圆心角的关系作出辅助线是解题的关键． 培优拔高 11．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）下列说法错误的是（   ） A．半径相等的两个半圆是等弧 B．面积相等的两个圆是等圆 C．长度相等的两条弧一定是等弧 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 【答案】C 【思路引导】本题考查了等弧、等圆的定义以及三角形外心的性质，掌握圆的相关性质是解题关键．根据“等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合”；“等圆半径相等”；“三角形外心到顶点距离相等”逐项判断即可． 【规范解答】解：A、半径相等的两个半圆，所在圆是等圆，半圆弧长相等且能重合，原说法正确，不符合题意； B、圆面积相等则半径相等，故是等圆，原说法正确，不符合题意； C、等弧需在同圆或等圆中能够完全重合，长度相等的两条弧不一定满足此条件，原说法错误，符合题意； D、三角形的外心是垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 12．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，是的半径，弦于点D，，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 【答案】A 【思路引导】本题考查垂径定理，圆周角定理，判断点与圆的位置关系．利用垂径定理求出半径的长，比较的大小关系，即可得出结论． 【规范解答】解：设交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点在内； 故选：A． 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知E是的外心，P、Q分别是、的中点，连接、交于点F、D，若，，，则的面积为（　　） A．18 B．24 C．30 D．36 【答案】B 【思路引导】本题考查了三角形外心的性质，垂直平分线的性质，勾股定理逆定理及三角形面积公式．先根据三角形外心性质及中点条件，得到，，，，从而得到，的长度，由的已知长度可知，三边符合勾股定理的逆定理，从而得到，进而求得的长，最终求得的面积． 【规范解答】解：如图，连接，， ∵E是的外心，P、Q分别是、的中点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 14．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点是上的动点，点是线段的中点，则线段的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】连接，取的中点，连接，由勾股定理求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，由三角形中位线定理得到，由三角形三边关系定理得到，即可得到线段的最大值． 【规范解答】解：连接，取的中点，连接，如图所示： ∵， ， ， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， 的半径为1， ， ∴， 由三角形三边关系可知，， ∴线段的最大值是， 故选：C． 【考点剖析】本题考查动点最值问题，涉及点与圆的位置关系、坐标与图形、三角形中位线的判定与性质、三角形三边关系、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、勾股定理，掌握圆中动点最值问题的基本解法，构造出，进而由三角形三边关系得到是解决问题的关键． 15．（25-26九年级上·河南信阳·期中）直角三角形的两直角边长是一元二次方程 的两根，则该三角形外接圆的半径是 ． 【答案】5 【思路引导】本题考查一元二次方程根与系数的关系，勾股定理和三角形的外接圆，利用韦达定理和代数式变形求出斜边长是解题关键． 直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半．两直角边是方程的两个根，利用根与系数的关系求出两直角边的和与积，再通过勾股定理求出斜边长度，进而得到半径． 【规范解答】解：设两直角边分别为 和 ，则根据根与系数的关系，有 ，． 由勾股定理可得，斜边 ． ∵， ∴ ， ∵直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半， ∴外接圆半径， 故答案为：5． 16．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，，点C是平面内一动点，且，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，求圆外一点到圆上一点的最值，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，证明，得到，进而得到点在以点为圆心，5为半径的圆上运动，得到当点在线段上时，的值最小为的长进行求解即可． 【规范解答】解：将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，则：， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转后得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，5为半径的圆上运动， ∴当点在线段上时，的值最小为的长，即的最小值为. 故答案为：． 17．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，的半径是4，是的弦，点C在外，连接．若，则长的最大值为 ． 【答案】/ 【思路引导】设与交于点D，连接，过点O作于E，连接，由圆周角定理得到，则可证明是等边三角形，得到，则点E是的中点，，由勾股定理得到，再由直角三角形的性质得到，根据，可得当三点共线，且点E在线段上时，有最大值，最大值为． 【规范解答】解：如图所示， 设与交于点D，连接，过点O作于E，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当三点共线，且点E在线段上时，有最大值，最大值为． 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，一点到圆上一点的距离的最值问题，能够正确作出辅助线是解题的关键． 18．（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，等腰． (1)尺规作图作出的外接圆；（保留作图痕迹，不写作法）； (2)作直径，证明：平分； (3)的半径=______________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查的是三角形外接圆的作法、勾股定理等知识点，掌握垂直平分线找到圆心和利用勾股定理构建方程是解答本题的关键． （1）由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，作和的垂直平分线，相交于点O；以O为圆心、长为半径作圆，即可得出的外接圆； （2）的垂直平分线交于点D，则线段即为直径，然后利用三线合一可证平分； （3）连接，利用垂径定理求得，然后在中求得，最后在中利用勾股定理构建方程求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示：是所求作的的外接圆， （2）证明：如图，即为所求作的直径， ∵，， ∴平分； （3）解：如图，设与交于点E，的半径为r， ∵是等腰三角形，，，， ∴ ∴在中，． 在中，∵， ∴， ∴． 故答案为：． 19．（25-26九年级上·北京·月考）在平面直角坐标系中，的半径为1，若平移d个单位后，使某图形上所有点在内或上，则称d的最小值为对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图，，则对线段的“最近覆盖距离”为3． (1)对点的“最近覆盖距离”为________________； (2)点P是函数图象上一点，且对点P的“最近覆盖距离”为2，则点P的坐标为________； (3)若一次函数的图象上存在点C，使对点C的“最近覆盖距离”为，求k的取值范围； (4)，且，将对线段的“最近覆盖距离”记为d，直接写出d的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4) 【思路引导】（1）求出原点到点的距离，再将距离减1即为对该点的“最近覆盖距离”； （2）设点P的坐标为，根据对点P的“最近覆盖距离”为2可列方程求解； （3）根据题意可得，一次函数与x轴的交点为，对和的临界状态进行分类讨论； （4）根据题意可得倾斜角度为，长度为，，对m的取值范围进行分类讨论，列不等式求出d的取值范围． 【规范解答】（1）解：原点到点的距离为，的半径为1， “最近覆盖距离”为， 答：． （2）解：设点， 原点到点的距离为，对点P的“最近覆盖距离”为2， ， ， 解得，，分别代入， 可得点的坐标为或， 答：或． （3）解：如下图，一次函数分别交x、y轴于E、D点，过O做于点C，考虑临界状态，一次函数上存在点C，使对点C的“最近覆盖距离”为， 时， 中，时，，时，， ， ，， 当时， ，， ， ， ， 设，， 由勾股定理得， 解得，（舍去）， ，， 此时，， 经过分析可知，一次函数图像比临界状态更靠近轴时，则存在点C，即． 同理得，当时，， 答：的取值范围为或． （4）解：根据题意可得，且倾斜角度为， 可在圆上找到两条与之平行且相等的弦，， 当在上或在上，有， 当时，， 即； 当时，， 即； 综上，． 答：的取值范围为． 【考点剖析】本题主要考查“最近覆盖距离”问题，掌握圆的基本知识，两点间距离公式，一次函数的图像性质，三角形的相似与判定．找到临界状态并分类讨论是解题关键． 20．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）【给出定义】 我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 【观察发现】 如图，小莹发现：“任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖”．从而，得到“三角形的外接圆就是覆盖该三角形的最小覆盖圆”的结论． 【问题解决】 (1)结合以上三个图形，你同意小莹的观点吗？若不同意，请写出你的发现； (2)在矩形ABCD中，，，则该矩形的最小覆盖圆的直径为______； (3)如图4，在平面直角坐标系中，已知点，，点C是y轴正半轴上的一个点，且． ①求的最小覆盖圆的半径； ②求点C的坐标． 【答案】(1)不同意小莹的观点，若三角形是锐角三角形或直角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆,若钝角三角形,则其最小覆盖原是以三角形最长边为直径的圆； (2) (3)①；② 【思路引导】此题考查外接圆的性质，勾股定理，圆周角定理，矩形的性质， （1）根据外接圆的性质，分别证明即可； （2）连接，交于点O，由矩形的性质得到，，点A、B、C、D四点共圆，由勾股定理求出即可； （3）①取外接圆的圆心O，连接，由圆周角定理得，即可求出，得到的最小覆盖圆的半径是； ②过点M作轴，轴，则四边形是矩形，由等腰直角三角形的性质得到，利用勾股定理求出 ，即可得到点C的坐标． 【规范解答】（1）解：不同意小莹的观点， 在图1中设锐角外接圆圆心为点O，连接， ∴锐角的外接圆是该三角形的最小覆盖圆； 如图，设直角外接圆圆心为点O，连接， 则，且为外接圆的直径， ∴直角的外接圆是该三角形的最小覆盖圆； 在图3中设钝角中， 作以最长边为直径的圆，则由下图可知，点C在此圆内， 故钝角三角形的外接圆不是覆盖该三角形的最小覆盖圆，以最长边为直径的圆是钝角三角形的最小覆盖圆； 综上所述，若三角形是锐角三角形或直角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆,若钝角三角形,则其最小覆盖原是以三角形最长边为直径的圆.故小莹的说法不正确. （2）连接，交于点O， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点A、B、C、D四点共圆， ∴， ∴该矩形的最小覆盖圆的直径为； （3）①取外接圆的圆心M，连接， ∵， ∴， ∴， ∴的最小覆盖圆的半径是； ②过点M作轴，轴，则四边形是矩形， 由①知是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $