重难点专题18 导数的应用-恒成立或存在性问题（专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

重难点专题18 导数的应用-恒成立或存在性问题 重难点一利用导数研究恒成立问题 恒成立： 1.已知设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 2.已知不等式恒成立，则的最大值为__________． 3.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是          ． 5.已知函数． 求的极值 若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 6.已知函数． 当时，求的极值； 当时， ，求的取值范围． 7.已知函数． 若， 求曲线在点处的切线方程； 求证：函数恰有一个零点； 若对恒成立，求的取值范围． 8.已知且，函数． 当时，求的单调区间； 若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围． 9.已知设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 10.已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 11.函数，若对于区间上的任意，，都有，则实数的最小值是  (    ) A. B. C. D. 12.已知函数，，则下列说法正确的是(    ) A. 在上单调递增 B. ，不等式恒成立，则正实数的最小值为 C. 若有两个零点，，则 D. 若，且，则的最大值为 13.若不等式恒成立，则实数的取值范围是           14.若对任意正实数，都有，则实数的取值范围为          ． 15.已知不等式恒成立，则的最大值为          ． 16.已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，且若在上恒成立，则实数的取值范围为          ． 重难点二利用导数研究存在性问题 存在性：，常结合分离参数法。 1.设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是          ． 3.已知函数，，若对任意，存在，满足，则实数的取值范围为          ． 4.已知函数，若对，，使得，则的取值范围是______． 5.若存在，使得成立，则实数的最小值为          ． 6.若存在两个不等的正实数，，使得成立，则实数的取值范围为          ． 7.设函数，为自然对数的底数，若不等式在有解，则实数的最小值为            ． 8已知函数． 求函数在处的切线方程 证明：在区间内存在唯一的零点； 若对于任意的，都有，求整数的最大值． 9已知函数． 若函数存在两个极值点，求的取值范围； 若在上恒成立，求的最小值． 10已知函数，． 当时，求函数的极值； 若存在，使得成立，求的取值范围． 11.已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是          ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题18 导数的应用-恒成立或存在性问题 重难点一利用导数研究恒成立问题 恒成立： 1.已知设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了函数恒成立问题，属中档题． 不等式在上恒成立，分成两段函数分别恒成立，分离参数，再构造函数求最值可得． 【解答】 解：当时，恒成立； 当时，，恒成立， 令， 当且仅当时取等号， ，． 当时，恒成立， 令，则， 当时，，递增， 当时，，递减， 时，取得最小值， ， 综上的取值范围是． 故选：． 2.已知不等式恒成立，则的最大值为__________． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题． 【解答】 解：不等式变形为：， 因为在单调递增，故，变形得到， 构造，，则，当时，，当时，， 故在处取得极小值，也是最小值，可知，故，的最大值为． 3.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究恒成立与存在性问题，属于较难题． 讨论取值范围，当时，易证不等式恒成立，当时，可整理得对恒成立，可构造，由导数求解即可． 【解答】 解：当时， 恒成立， 当时，恒成立， 当时，可整理得对恒成立， 可构造，求导得，可知在上单调递减， 在上单调递减，，， 则有，此时，整理得， 令，，则， 可知在上单调递增，可知． 综上，实数的取值范围是． 故答案为：． 5.已知函数． 求的极值 若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】解：由函数，可得 ， 令，即，解得 令，即，解得， 故  在 上单调递增，在上单调递减， 所以当  时，  取极小值  ，无极大值； 由  得   ，故  ， 构造函数  则  ， 令  ，则  ， 故当  时，  ，  单调递增，   时，  单调递减， 故当  取极小值也是最小值，  ， 所以  ，即 ， 故的取值范围为   【解析】本题主要考查利用导数求函数的极值以及利用导数研究函数的恒成立问题，属于基础题． 根据已知，先进行求导，根据导数求解单调性，即可求解极值； 将恒成立问题参数分离，构造函数  即可求导求解最值求解． 6.已知函数． 当时，求的极值； 当时， ，求的取值范围． 【答案】解：当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值． ， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故． 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍． 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，．   【解析】本题考查了导数的应用求函数极值以及用导数证明恒成立，属于中档题； 求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值． 求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围． 7.已知函数． 若， 求曲线在点处的切线方程； 求证：函数恰有一个零点； 若对恒成立，求的取值范围． 【答案】解：当时，， ， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为； 证明：由知，， ，且， 当时， 因为，所以 当时， 因为，所以， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为，， ． 所以函数恰有一个零点； 由， 得， 设，， 则， 所以在上单调递减， 因为，， 所以存在唯一， ， 所以与的情况如下： 单调递增 极大 单调递减 所以在区间上的最大值是 ， 当时， 因为，所以， 所以． 所以，符合题意， 当时， 因为，所以， 所以，不合题意， 综上所述，的取值范围是  【解析】本题考查求曲线上一点的切线方程，考查利用导数研究函数的零点、利用导数研究恒成立问题，属于较难题． 利用导数的几何意义即可求解 利用导数求出的单调性，结合零点存在定理即可求证 利用导数求出的单调性和极值，得到在区间上的最大值，然后对进行分类讨论即可求解． 8.已知且，函数． 当时，求的单调区间； 若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围． 【答案】解：时，， ， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减． 由题知在有两个不等实根， ， 令，，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又，当趋近于时，趋近于， 所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是，即，解得且， 所以的取值范围是．  【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题． 求出时的解析式，求导，利用导数与单调性的关系即可求解； 9.已知设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了函数恒成立问题，属中档题． 不等式在上恒成立，分成两段函数分别恒成立，分离参数，再构造函数求最值可得． 【解答】 解：当时，恒成立； 当时，，恒成立， 令， 当且仅当时取等号， ，． 当时，恒成立， 令，则， 当时，，递增， 当时，，递减， 时，取得最小值， ， 综上的取值范围是． 故选：． 10.已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究恒成立与存在性问题，利用导数求函数的最值不含参，属于中档题． 根据题意可得函数在上是增函数，利用导数即可求解． 【解答】 解：由  ，当  时，  恒成立， 即函数  单调递增， 即  在  上恒成立，即  在  上恒成立， 令  ，  ， 故当  时，  ， 当  时，  ， 故  在  上单调递减，在  上单调递增，即  ， 故  ，即  ． 故选：． 11.函数，若对于区间上的任意，，都有，则实数的最小值是  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查利用函数的单调性求值域以及恒成立问题，考查转化能力与运算求解能力，属于中档题． 对于区间上的任意，，都有，等价于对于区间上的任意，都有，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出结论． 【解答】 解：由，得， 令，则或 令，则 所以极大值为，极小值为， 又，， 则，， 由题意知， ，故． 故选：． 12.已知函数，，则下列说法正确的是(    ) A. 在上单调递增 B. ，不等式恒成立，则正实数的最小值为 C. 若有两个零点，，则 D. 若，且，则的最大值为 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查利用导数求函数的单调区间、利用导数研究函数的最值以及利用导数研究函数的零点，属于难题． 判断函数的单调性，由可判断；根据单调性以及参数分离得到对恒成立，构造函数求最值可判断；构造函数，，判断单调性，得到，即可判断；结合推出，则，构造函数求最值即可判断． 【解答】解：，则， 可知函数在上单调递减，在上单调递增， 对于，， 由在上单调递增， 可知在上单调递增，所以A正确； 对于，当时，， 又为正实数，所以， 则不等式即为， 即对恒成立， 令，知， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，则，所以B正确； 对于，在上单调递减，在上单调递增，， 所以， 不妨设，则有， 令，， 则， 即在上递增， 所以，则时，， 即，结合函数的单调性可得， 即，所以C错误； 对于，记，可知， 因为， 所以， 又，所以， 因为，， 所以， 由可得， 则， 令，则， 可知在上单调递增，在上单调递减， 则， 即的最大值为，所以D正确． 故选ABD． 13.若不等式恒成立，则实数的取值范围是           【答案】  【解析】解：设 ， 则 恒成立， 由， 令，则恒成立， 所以为增函数，令得， 当时，，当时，； 所以在递减，在递增，故在处取得最小值， 故最小值，因为，则， 所以恒成立，得， 又因为当且仅当时等号成立， 所以 ， 即 ． 故答案为． 14.若对任意正实数，都有，则实数的取值范围为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的恒成立问题。 运用分离参数求最值，即将原不等式化为  ，换元，再构造函数    ，求其最大值，进而求得结果． 【解答】 解：由于为正实数，对不等式两边同时除以变形可得：  ， 化简得：  ，即：  ， 令    ，则对任意的  ，  ， 所以  ， 设  ，  ， 则  ， 令 所以  ， 所以  在  上单调递减， 又因为  ， 所以  ，  ， 所以  在  上单调递增，在  上单调递减， 所以  ， 所以  ，解得：  ，即：的取值范围为  ． 故答案为：  ． 15.已知不等式恒成立，则的最大值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查利用导数研究恒成立问题中的参数取值问题，属于中档题． 可把原不等式变形为，构造，，利用导函数判断其单调性，得到，再构造，，求出其最小值为，即可得到． 【解答】 解：不等式变形为：， 因为在单调递增，故，变形得到， 构造，，则，当时，，当时，， 故在处取得极小值，也是最小值，可知，故，的最大值为． 16.已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，且若在上恒成立，则实数的取值范围为          ． 【答案】  【解析】解：因为偶函数，则， 对两边求导得，， 在中，用代替得， 由可得，， 联立得，， 则可化简为：， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，故． 则实数的取值范围是． 故答案为：． 重难点二利用导数研究存在性问题 存在性：，常结合分离参数法。 1.设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究存在性问题，涉及利用导数研究函数的单调性及最值、函数图象的应用，属于中档题． 设，，将问题转化为存在唯一的整数使得在直线的下方，研究的单调性及最值，在同一坐标系画出两个函数图象，数形结合可得限制条件，列出关于的不等式求解可得．  【解答】 解：设，， 由题意知存在唯一的整数使得在直线的下方， ， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当时，取最小值， 当时，，当时，， 直线恒过定点且斜率为， 如图，在同一平面直角坐标系中画出函数，的图象： 若存在唯一的整数使得在直线的下方， 由图可知需要：， 且，解得，即的取值范围为． 故选：． 2.已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用参变分离求解参数范围，考查导数求解函数最值，属于中档题． 参变分离可得有解，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围，从而得解． 关键点点睛：本题的关键是参变分离得到有解，再构造函数，利用导数求出． 【解答】 解：由得，显然， 所以有解， 令，则， 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，则，即的最小值是． 故答案为：． 3.已知函数，，若对任意，存在，满足，则实数的取值范围为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用导数研究函数的最值，考查了存在性与恒成立问题，题目较难． 首先对进行求导，利用导数研究函数的最值问题，根据题意对任意，存在，使，只要在区间有解，分离参数求解即可 ． 【解答】 解：由，得， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 对任意，， 则在上有解，在上有解， 函数在上单调递增， ，． 故答案为：． 4.已知函数，若对，，使得，则的取值范围是______． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了函数的单调性与最值，函数存在性问题研究，属于中档题． 求出和的最小值，令，即可得出的范围． 【解答】 解：， 当时，， 在上单调递减， 又在上单调递增， ，， 对，，使得， ，即， 故答案为： 5.若存在，使得成立，则实数的最小值为          ． 【答案】  【解析】解：由题知，，令，即， 因为存在，使得成立， 所以，令， ， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以，即，， 所以实数的最小值． 故答案为：． 6.若存在两个不等的正实数，，使得成立，则实数的取值范围为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数单调性以及导数中的存在性问题，属于中档题． 将已知条件化为，设，进而得到函数在不单调，利用导数求出的最小值即可求解． 【解答】 解：因为， 所以，即， 设， 则存在两个不相等的正实数，，使得， 即存在垂直于轴的直线与函数在的图象有两个公共点， 即函数在不单调． 又， 设， 则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增． 所以． 又时，， 所以，即． 要函数在不单调，则，解得． 故实数的取值范围为． 故答案为． 7.设函数，为自然对数的底数，若不等式在有解，则实数的最小值为            ． 【答案】  【解析】【分析】 本题的易错点是考生不会将不等式解集的问题转化为函数的最值问题，需要正确应用分离参数法，通过构造新函数和求导，判断函数的单调性，用分类讨论法，根据函数单调性求出最小值，属较难题． 首先利用题意变形得，记，，对函数求导，求出函数的最值，然后求出的取值范围． 【解答】 解：不等式变形得， 记， 则， 记，，则， 当，即时，，递减，当，即时，，递增， 所以， 所以在恒成立， 因此当时，，递减，当时，，递增， 所以， 不等式在有解， 则实数的最小值为． 故答案为． 8已知函数． 求函数在处的切线方程 证明：在区间内存在唯一的零点； 若对于任意的，都有，求整数的最大值． 【答案】解：， ，， ， 在处的切线为； 证明：， ， 当时，， 在上单调递增， ，， 在区间内存在唯一的零点． ，且， ， 令，则，， 由知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点， 设该零点为，则， 故当时，，即，在上单调递减， 当时，，即，在上单调递增， ， ， 故整数的最大值为．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 9已知函数． 若函数存在两个极值点，求的取值范围； 若在上恒成立，求的最小值． 【答案】解：，定义域为， 则， 因为函数存在两个极值点， 所以方程有两个不同的解， 所以，解得或， 则的取值范围为； 由在上恒成立，即在上恒成立， 则在上恒成立， 令，，则， 则， 设，且， 易知函数在上均单调递减， 所以在上单调递减， 所以当时，，此时，则在上单调递增， 当时，，此时，则在上单调递减， 所以， 所以， 则的最小值为．   【解析】本题考查利用导数根据函数的极值点求参数，利用导数研究恒成立问题，属于中档题． 由题意，由函数存在两个极值点，等价于有两个不同的解，利用判别式大于零求解即可； 10已知函数，． 当时，求函数的极值； 若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】解：当时，，函数的定义域为，， 当时，，所以，故单调递减； 当时，，所以，故单调递增． 又，所以有极小值，无极大值． ， 令，的定义域为，， 令，解得；令，解得． 所以在上单调递减，在上单调递增， ，当时，， 所以函数的值域为． 由题意可得，所以．  【解析】本题考查导数的应用，考查利用导数研究函数单调性、极值和值域，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于中档题． 先结合导数符号与函数单调性之间的关系求出函数单调性，进而求出函数的极值； ，构造函数，求出函数的值域即的取值范围，进而得到的取值范围． 11.已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用参变分离求解参数范围，考查导数求解函数最值，属于中档题． 参变分离可得有解，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围，从而得解． 关键点点睛：本题的关键是参变分离得到有解，再构造函数，利用导数求出． 【解答】 解：由得，显然， 所以有解， 令，则， 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，则，即的最小值是． 故答案为：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $