专题07 平面向量与立体几何- 云南省职教高考五年（2021-2025）《数学真题分类汇编》

专题07 平面向量与立体几何 1.理解平面向量的概念、几何表示及向量相等的含义； 2. 掌握平面向量的加法、减法、数乘运算及几何意义； 3. 熟练进行平面向量的坐标表示与坐标运算（线性运算、内积计算）； 4. 理解向量内积的定义与几何意义，能运用内积判断向量垂直关系； 5. 认识棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等常见几何体，能识别三视图对应的几何体； 6.理解平面的基本性质，掌握空间线线、线面、面面平行与垂直的判定方法； 7.熟练运用棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、球的表面积与体积公式进行计算。 考点01 平面向量 1.（2025云南）向量，，且，则等于（    ） A． B． C． D． 2.（2024云南）已知向量与互相垂直，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 3.（2024云南）已知向量，，，则__________． 4.（2023云南）已知向量与，且，则__________ 5.（2022云南）已知，，且，则（ ）． A. B. C. D. 6.（2021云南）已知四点的坐标分别为，四边形ABCD是（ ）. A. 梯形 B. 长方形 C. 正方形 D. 平行四边形 7.（2021云南）已知向量的夹角，则（ ）. A. 1 B. C. D. 考点02 立体几何 1.（2025云南）如图所示，在三棱锥中，，，，已知． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 2.（2024云南）圆柱的底面积是，轴截面是一个正方形，则圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. D. 3.（2024云南）高为的直三棱柱，它的底面是边长为的正三角形，则直三棱柱的体积是__________． 4.（2023云南）如果一个正方体的体对角线为a，则这个正方体的棱长是（ ） A. B. C. D. 5.（2023云南）已知圆柱体的表面积为，且其底面直径和高相等，则这个圆柱体的体积是__________ 6.（2022云南）已知矩形的两边长分别为、，且满足，矩形分别以其短边和长边所在直线为轴，旋转一周，求所形成几何体的体积之比． 7.（2021云南）已知直角三角形的直角边分别为R、2R，以长为R的直角边所在直线为轴，旋转一周所形成的几何体的体积是（ ）. A. B. C. D. 8.（2021云南）已知正方形的周长为20，以它的一边为轴，求旋转一周后所形成的旋转体的侧面积和体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 平面向量与立体几何 1.理解平面向量的概念、几何表示及向量相等的含义； 2. 掌握平面向量的加法、减法、数乘运算及几何意义； 3. 熟练进行平面向量的坐标表示与坐标运算（线性运算、内积计算）； 4. 理解向量内积的定义与几何意义，能运用内积判断向量垂直关系； 5. 认识棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等常见几何体，能识别三视图对应的几何体； 6.理解平面的基本性质，掌握空间线线、线面、面面平行与垂直的判定方法； 7.熟练运用棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、球的表面积与体积公式进行计算。 考点01 平面向量 1.（2025云南）向量，，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量平行的坐标公式列方程求解即可. 【详解】向量，，且， 则有，解得. 故选：C. 2.（2024云南）已知向量与互相垂直，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直则，列出方程即可得解. 【详解】向量与互相垂直，所以， 则，解得， 故选：. 3.（2024云南）已知向量，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量模长先求未知数，再代入易得向量内积. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以. 故答案：. 4.（2023云南）已知向量与，且，则__________ 【答案】2或. 【解析】 【分析】由向量内积的坐标运算求解参数即可. 【详解】因为向量与，且， 所以， 解得或. 故答案为：2或. 5.（2022云南）已知，，且，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的内积为易得答案. 【详解】因为, 所以. 故选:C. 6.（2021云南）已知四点的坐标分别为，四边形ABCD是（ ）. A. 梯形 B. 长方形 C. 正方形 D. 平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的坐标的关系，确定向量的关系，进而确定图形. 【详解】因为四点的坐标为. 所以. 所以 所以. 所以四边形平行四边形. 故选：D. 7.（2021云南）已知向量的夹角，则（ ）. A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的夹角的坐标公式求解x的值即可 【详解】因为， 所以， ， ， 所以，所以， 两边平方整理得，解得（舍）， 故选：B. 考点02 立体几何 1.（2025云南）如图所示，在三棱锥中，，，，已知． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可求解. （2）由题意可得，，两两相互垂直结合棱锥体积公式即可求解. 【详解】（1）在三棱锥中， 因为，，， 平面，平面， 所以平面. （2）根据题意可得，，两两相互垂直，平面， 又，所以三棱锥的体积为， 即三棱锥的体积为. 2.（2024云南）圆柱的底面积是，轴截面是一个正方形，则圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由底面积求出底面圆半径为，则高为，再根据圆柱侧面积公式求解. 【详解】因为圆柱底面积为，根据圆的面积公式得， 则底面半径， 因为轴截面是一个正方形， 所以高为， 那么圆柱的侧面积为. 故选：D. 3.（2024云南）高为的直三棱柱，它的底面是边长为的正三角形，则直三棱柱的体积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形面积公式及直三棱柱体积公式可求. 【详解】底面是边长为的正三角形，则三角形的高为， 则底面积， 则体积； 故答案为：. 4.（2023云南）如果一个正方体的体对角线为a，则这个正方体的棱长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体棱长与体对角线的关系求解即可 【详解】设正方体棱长为则，则. 故选：A. 5.（2023云南）已知圆柱体的表面积为，且其底面直径和高相等，则这个圆柱体的体积是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱体的表面积公式求出底面直径和高，再求解圆柱体的体积即可. 【详解】设底面半径为r， 因为底面直径和高相等，所以高为， 所以， ，解得， 所以圆柱体的体积为. 故答案为：. 6.（2022云南）已知矩形的两边长分别为、，且满足，矩形分别以其短边和长边所在直线为轴，旋转一周，求所形成几何体的体积之比． 【答案】2:1 【解析】 【分析】分别以其短边和长边所在直线为轴旋转分类讨论，求对应圆柱的体积. 【详解】若以短边为轴进行旋转，形成的圆柱底面半径为，高为, 体积; 若以长边为轴进行旋转，形成的圆柱底面半径为,高为, 体积; 所以，所形成的几何体体积之比为. 7.（2021云南）已知直角三角形的直角边分别为R、2R，以长为R的直角边所在直线为轴，旋转一周所形成的几何体的体积是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转得到所成图形，再由圆锥的体积求解即可. 【详解】由题可知，旋转所形成的几何体为圆锥，且圆锥的高为.底面圆的半径为 所以其体积为. 故选：D. 8.（2021云南）已知正方形的周长为20，以它的一边为轴，求旋转一周后所形成的旋转体的侧面积和体积. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】根据旋转得到图形，再由圆柱的侧面积和体积公式求解即可. 【详解】如图，以正方形的一边为轴，旋转一周所成的旋转体为圆柱. 因为正方形的周长为20，所以其边长为5.即圆柱的高和底面半径为5. 所以.. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $