第五单元 简易方程（15种类型75道）期末专项训练-2025-2026学年五年级上册数学（人教版）

第五单元 简易方程 （15种类型75道） 目录 题型一：用字母表示数、数量关系 1 题型二：用字母表运算定律及计算公式 3 题型三：用字母表示稍微复杂的数量关系 5 题型四：含有字母式子的化简与求值 7 题型五：等式的认识及列等量关系式 9 题型六：方程的认识 10 题型七：列简易方程 12 题型八：等式的性质1 14 题型九：等式的性质2 15 题型十：应用等式的性质解方程 18 题型十一：解等号两边都有未知数的方程 21 题型十二：方程的检验 25 题型十三：列方程解含有一个未知数的问题 29 题型十四：列方程解含有两个未知数的问题 31 题型十五：列方程解决稍复杂的实际问题 34 题型一：用字母表示数、数量关系 1．聪聪比明明小，聪聪今年a岁，明明今年b岁，2年后，聪聪比明明小( )岁。（用含有字母的式子表示） 【答案】b－a 【分析】不管经过几年，明明和聪聪的年龄差是不变的。所以直接用明明今年年龄减去聪聪今年年龄即可。 【详解】根据分析，聪聪比明明小，聪聪今年a岁，明明今年b岁，2年后，聪聪比明明小（b－a）岁。 2．一本书有250页，小明每天看10页，看了b天。10b表示( )；当b＝15时，还剩下( )页。 【答案】 b天一共看的页数 100 【分析】10b是每天看的页数（10页）与看的天数（b天）的乘积，表示b天一共看的页数。 书的总页数为250页，已看页数为10b页，剩余页数为（250－10b）页。当b＝15时，代入计算即可求出剩余页数。 【详解】当b＝15时， 250－10b ＝250－10×15 ＝250－150 ＝100 所以，10b表示b天一共看的页数；当b＝15时，还剩下100页。 3．一根50厘米长的铁丝围成一个正方形后，还余下a厘米。围成的正方形的边长可用字母表示为( )厘米。 【答案】 【分析】用总长减去a厘米，可得正方形的周长，再根据正方形的周长＝边长×4，即可用字母表示出正方形的边长。 【详解】正方形的周长为（50－a）厘米，围成的正方形的边长可用字母表示为厘米。 4．如图空白部分是一个正方形，涂色部分的面积是( )（用字母表示）。 【答案】ab－a2 【分析】长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长。观察图形可知，大长方形的宽与空白部分正方形的边长相等，即为a。则大长方形的面积为ab，空白部分正方形的面积为a2，则涂色部分的面积＝大长方形的面积－空白部分正方形的面积。据此用字母表示即可。 【详解】大长方形的面积是：ab。 正方形的面积是：a2。 涂色部分的面积是：ab－a2。 如图空白部分是一个正方形，涂色部分的面积是ab－a2（用字母表示）。 5．徽州毛豆腐是黄山一带的传统名菜，已知1千克黄豆可以制作a千克的毛豆腐，那么10.5千克黄豆可以制作( )千克毛豆腐。制作10.5千克毛豆腐需要( )千克黄豆；当a＝3时，制作10.5千克毛豆腐需要( )千克黄豆。 【答案】 10.5a 10.5÷a 3.5 【分析】根据题意，1千克黄豆可以制作a千克毛豆腐，求10.5千克黄豆可以制作多少千克毛豆腐，应用黄豆质量乘a。 已知毛豆腐质量，求黄豆质量，应用毛豆腐质量除以a，列式为10.5÷a。 将a＝3代入10.5÷a，计算出具体的数值。 【详解】10.5千克的黄豆可以制作10.5a千克毛豆腐； 制作10.5千克毛豆腐需要10.5÷a千克黄豆； 将a＝3代入10.5÷a，10.5÷3＝3.5（千克），制作10.5千克毛豆腐需要3.5千克黄豆。 题型二：用字母表运算定律及计算公式 6．一个正方形的边长为a米，它的周长是( )米，面积是( )平方米；如果a＝8，那么它的周长是( )米，面积是( )平方米。 【答案】 4a a2 32 64 【分析】已知一个正方形的边长为a米，根据正方形的周长＝边长×4，正方形的面积＝边长×边长，用含字母a的式子表示正方形的周长和面积；再把a＝8代入式子中，求出正方形的周长、面积。 【详解】正方形的周长：4a（米） 正方形的面积：a2（平方米） 当a＝8时，4a＝4×8＝32（米） 当a＝8时，a2＝48×8＝64（平方米） 一个正方形的边长为a米，它的周长是4a米，面积是a2平方米；如果a＝8，那么它的周长是32米，面积是64平方米。 7．用字母表示长方形的面积是S＝( )，周长是C＝( )。 【答案】 ab 2（a＋b） 【分析】根据用字母表示数的规则：数字与字母，字母与字母之间的乘号可以省略，也可以用小圆点“·”表示；字母与数字相乘时，省略乘号，并且把数字放在字母的前面。据此可以将长方形的面积和周长公式用字母来表示。 长方形的面积＝长×宽，长＝a，宽＝b，则面积S＝a×b，因为字母与字母之间的乘号可以省略，所以S＝ab；长方形的周长＝（长＋宽）×2，长＝a，宽＝b，则周长C＝（a＋b）×2，因为字母与数字相乘时，省略乘号，并且把数字放在字母的前面，所以C＝2（a＋b）。 【详解】用字母表示长方形的面积是S＝ab，周长是C＝2（a＋b）。 8．a×7.5＋7.5×b＝7.5×( )    1.25×m×0.8＝m×( ) 【答案】 a＋b 1.25×0.8 【分析】a×7.5＋7.5×b，逆用乘法分配律，先算（a＋b），再与7.5相乘； 1.25×m×0.8，利用乘法交换结合律，交换前两个乘数的位置，先算（1.25×0.8），再与m相乘。 【详解】a×7.5＋7.5×b＝7.5×（a＋b）＝7.5（a＋b） 1.25×m×0.8＝m×（1.25×0.8）＝ m×1＝m 9．小军把27×（m－0.3）错算成27×m－0.3，他计算的结果与正确结果相差( )。 【答案】7.8 【分析】采用赋值法进行分析，假设m＝1，分别计算出27×（m－0.3）和27×m－0.3的结果，求差即可。含有字母的式子求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【详解】假设m＝1。 27×（m－0.3） ＝27×（1－0.3） ＝27×0.7 ＝18.9 27×m－0.3 ＝27×1－0.3 ＝27－0.3 ＝26.7 26.7－18.9＝7.8 小军把27×（m－0.3）错算成27×m－0.3，他计算的结果与正确结果相差7.8。 10．用2个边长为a厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 6a 2a2 【分析】 如图，长方形的长为2a厘米，宽为a厘米，根据长方形周长＝（长＋宽）×2，长方形面积＝长×宽，用字母表示出周长和面积即可。 【详解】（2a＋a）×2 ＝3a×2 ＝6a（厘米） 2a×a＝2a2（平方厘米） 这个长方形的周长是6a厘米，面积是2a2平方厘米。 题型三：用字母表示稍微复杂的数量关系 11．甲数是a，乙数比甲数的3倍多b，表示乙数的式子是（    ）。 A．3a－b B．3a＋b C．3÷a－b D．a÷3＋b 【答案】B 【分析】根据题意，“乙数比甲数的3倍多b”，则甲数的3倍加上b就是乙数，列式算出答案。 【详解】a×3＋b ＝3a＋b 表示乙数的式子是3a＋b。 故答案为：B 12．数学课上，各小组同学合作探究一道实践作业。第一组同学用了x分钟完成，第二组同学用的时间比第一组同学的3倍多8分钟，第三组同学用的时间比第二组同学少7分钟。第三组同学用了（    ）分钟。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知“第二组同学用的时间比第一组同学的3倍多8分钟”，则第二组同学用的时间＝第一张同学用时×3＋8分钟；“第三组同学用的时间比第二组同学少7分钟”，则第三组同学用的时间＝第二组同学用时－7分钟，据此将第一组同学用时x分钟代入等量关系中即可。 【详解】第一组同学用了x分钟完成，则第二组同学用了（3x＋8）分钟完成，所以第三组同学用了（3x＋8－7）分钟完成。 3x＋8－7 ＝3x＋（8－7） ＝3x＋1 所以数学课上，各小组同学合作探究一道实践作业。第一组同学用了x分钟完成，第二组同学用的时间比第一组同学的3倍多8分钟，第三组同学用的时间比第二组同学少7分钟。第三组同学用了3x＋1分钟。 故答案为：C 13．观察下面的图案，每个图案都是用正六边形和小正三角形拼成的，继续拼下去，第5个图案要用( )个小正三角形，第n个图案要用( )个小正三角形。 【答案】 22 4n＋2 【分析】观察图形可知，第1个图案有6个小正三角形，第2个图案有10个小正三角形，第3个图形有14个小正三角形……发现规律：每增加一个图案，小正三角形的数量增加4个，据此规律解答。 【详解】第1个图案有6个小正三角形，6＝4×1＋2； 第2个图案有10个小正三角形，10＝4×2＋2； 第3个图案有14个小正三角形，14＝4×3＋2； …… 第n个图案有小正三角形（4n＋2）个。 当n＝5时 4n＋2 ＝4×5＋2 ＝20＋2 ＝22（个） 第5个图案要用（22）个小正三角形，第n个图案要用（4n＋2）个小正三角形。 14．一套运动服里有一件上衣和一条裤子，田径队买了12套，共用去m元，如果一件上衣的价钱是n元，那么一条裤子的价钱是（    ）元。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据总价＝单价×数量，用一件上衣的价钱×12，求出买12件上衣的钱数，再用共用去的钱数－12件上衣的钱数，求出12条裤子的钱数，再除以12，即可求出一条裤子的钱数。 【详解】（m－12×n）÷12 ＝（m－12n）÷12（元） 一套运动服里有一件上衣和一条裤子，田径队买了12套，共用去m元，如果一件上衣的价钱是n元，那么一条裤子的价钱是（m－12n）÷12元。 故答案为：C 15．观察下图，每个黑色圆周围都有6个白色圆。照这样的规律画下去，当画完第5个黑色圆时，一共画了( )个白色圆；当画完第n个黑色圆时，一共画了( )个白色圆。 【答案】 22 4n＋2 【分析】观察图形可知，1、2、3个黑色圆周围分别有6、10、14个白色圆，发现每增加一个黑色圆周围的白色圆就增加4个，据此得出白色圆的个数与黑色圆的个数之间的关系：白色圆的个数＝黑色圆的个数×4＋2，用含字母的式子表示数量关系，并求出第5个黑色圆周围白色圆的个数。 【详解】观察图形可知： 第1个黑色圆周围有6个白色圆，6＝4×1＋2； 第2个黑色圆周围有10个白色圆，10＝4×2＋2； 第3个黑色圆周围有14个白色圆，14＝4×3＋2； …… 规律：第n个黑色圆周围有（4n＋2）个白色圆。 当n＝5时 4n＋2 ＝4×5＋2 ＝20＋2 ＝22（个） 照这样的规律画下去，当画完第5个黑色圆时，一共画了（22）个白色圆；当画完第n个黑色圆时，一共画了（4n＋2）个白色圆。 题型四：含有字母式子的化简与求值 16．下面与（）相等的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用字母表示数时，数字和字母相乘中间的乘号可以省略，把数字写在字母的前面，表示两个相乘，即，表示两个相加，即，据此逐项分析。 【详解】A．＝，因为≠，所以与不相等； B．＝，因为≠，所以与不相等； C．＝＝，则与相等； D．＝，因为≠，所以与不相等。 综上所述，与（）相等的是。 故答案为：C 17．直接写出得数。 0.16×4＝         5.72÷10＝        0.6＋0.25＝          42÷4＝          3.2÷0.08＝       5c－2c＝          0.37×2＋2＝        10×6.3＝ 【答案】0.64；0.572；0.85；10.5； 40；3c；2.74；63 【解析】略 18．直接写出得数。 2.8×40＝          0.24÷0.3＝              12.5×4＝           0.55÷0.11＝ 0.22＝           100×0.65＝          0÷2.5×4＝        3.5x－x＝ 【答案】112；0.8；50；5 0.04；65；0；2.5x 【详解】略 19．直接写得数。 3a＋6a＝         1.5x－0.7x＝         2.4×5＝         0.77÷1.1＝ x＋x＋x＝         2.8÷0.07＝         35×0.01＝         1.52＝ 7÷1.4＝                    0.4×0.2÷0.4×0.2＝ 【答案】9a；0.8x；12；0.7 3x；40；0.35；2.25 5；0.04 【详解】略 20．超市原有大米750千克，卖出18包大米，每包大米重x千克，现在超市还剩下( )千克大米；当x＝25时，超市还剩下大米( )千克。 【答案】 750－18x 300 【分析】根据题意，超市原有大米的质量－卖出18包大米的质量＝还剩大米的质量，18包大米的质量＝18x，由此列出用x表示还剩大米的质量，当x＝25时，代入750－18x求出即可。 【详解】现在超市还剩下：（750－18x）千克 当x＝25时 750－18×25 ＝750－450 ＝300 所以现在超市还剩下（750－18x）千克大米；当x＝25时，超市还剩下大米300千克。 题型五：等式的认识及列等量关系式 21．1只鸡的质量等于2条鱼的质量，2条鱼的质量等于6个足球的质量。1只鸡的质量等于( )个足球的质量。 【答案】6 【分析】根据题意可知：1只鸡的质量＝2条鱼的质量，2条鱼的质量＝6个足球的质量，所以1只鸡的质量＝6个足球的质量，据此解答。 【详解】根据分析可知，1只鸡的质量等于2条鱼的质量，2条鱼的质量等于6个足球的质量。1只鸡的质量等于6个足球的质量。 22．方程一词，最早出现在我国古代数学书籍《九章算术》中，下列的式子中（    ）是方程。 A．5x－3 B．2＋x＞1 C．0.4＋3＝3.4 D．x－1＝0 【答案】D 【分析】等式是指用等号连接的式子；方程是指含有未知数的等式，所有的方程都是等式，但等式不一定是方程，据此逐一判断即可。 【详解】由分析可得： A．5x－3不是等式，所以也不是方程； B．2＋x＞1，不是等式，所以也不是方程； C．0.4＋3＝3.4没有未知数，是等式，不是方程； D．x－1＝0，是含有未知数的等式，是方程； 故答案为：D 23．根据“妈妈比张虹大19岁”，填写下面的数量关系。 ( )的年龄＋19＝( )的年龄；( )的年龄－19＝( )的年龄。 【答案】 张虹 妈妈 妈妈 张虹 【分析】根据题意“妈妈比张虹大19岁”可知，张虹的年龄＋19岁＝妈妈的年龄；妈妈的年龄－19岁＝张虹的年龄，据此解答。 【详解】根据分析可知，根据“妈妈比张虹大19岁”，填写下面的数量关系。 张虹的年龄＋19＝妈妈的年龄；妈妈的年龄－19＝张虹的年龄。 【点睛】弄清楚妈妈和张虹年龄之间的关系是解答本题的关键。 24．天平左边放2瓶墨水，右边放1个铅笔盒，此时天平( )，说明两边物体的质量( )；如果设1瓶墨水重c克，1个铅笔盒重d克，则它们的质量关系可以用一个等式来表示：( )。 【答案】 平衡 相等 2c＝d 【分析】根据天平平衡原理可知，天平的指针指向0时，左右托盘质量相等，据此解答。 【详解】由分析得， 天平左边放2瓶墨水，右边放1个铅笔盒，此时天平平衡，说明两边物体的质量相等；如果设1瓶墨水重c克，1个铅笔盒重d克，则它们的质量关系可以用一个等式来表示：2c＝d。 【点睛】此题考查的是天平的原理应用，明确运用平衡的天平推导出等式是解题关键。 25．学校舞蹈队有女生36人，女生人数比男生人数的2倍多10人。题中的等量关系式是 。 【答案】女生人数＝男生人数×2＋多的人数 【分析】根据“女生人数比男生人数的2倍多10人”这一描述，利用加法列等量关系式即可。 【详解】题中的等量关系式是女生人数＝男生人数×2＋多的人数。 【点睛】本题考查了列等量关系式，正确理解题意即可。 题型六：方程的认识 26．下面式子中，（    ）是方程。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】含有未知数的等式叫作方程，由方程的意义可知，方程必须同时满足以下两个条件：（1）是等式；（2）含有未知数；两个条件缺一不可，据此判断。 【详解】A．式子中含有未知数x，但不是等式，所以不是方程； B．是等式，但式子中没有未知数，所以不是方程； C．式子中含有未知数x，但不是等式，所以不是方程； D．式子中含有未知数x和y，并且是等式，所以是方程。 故答案为：D 27．在10－2x＝3x、10y＝20、2x＞y＋4和14＋60＝74四个式子当中，属于方程的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】方程必须具备两个条件：①必须含有未知数；②必须是等式；据此解答。 【详解】10－2x＝3x、10y＝20，含有未知数，而且是等式，所以是方程； 14＋60＝74不含有未知数，是等式，但不是方程； 2x＞y＋4含有未知数，但不是等式，所以不是方程； 所以方程有2个。 故答案为：B 28．下面式子中，是方程的是（    ）。 ①2.7＋x＝8    ②6.1÷2.3＜3      ③6÷2＝3 ④x－9      ⑤4×3.7＝14.8      ⑥9a＋5b＝21 A．①② B．①③⑤ C．①④⑥ D．①⑥ 【答案】D 【分析】方程必须满足两个条件（缺一不可）：含有未知数，且是等式。①⑥是方程，其他不是。 【详解】①2.7＋x＝8含有未知数，是等式，是方程。 ②6.1÷2.3＜3不是等式，不是方程。 ③6÷2＝3不含有未知数，不是方程。 ④x－9不是等式，不是方程。 ⑤4×3.7＝14.8不含有未知数，不是方程。 ⑥9a＋5b＝21含有未知数，是等式，是方程。 ①⑥是方程。 故答案为：D 29．2x＋8.5＞12，因为该式子中含有字母，所以它是方程。( ) 【答案】× 【分析】含有未知数的等式叫做方程。根据方程的意义可知，方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。据此判断。 【详解】2x＋8.5＞12，虽然该式子中含有字母，但它不是等式，所以它不是方程。 原题说法错误。 故答案为：× 30．①3＋x＝5、②4＋7＝11、③a＋b＝20、④5m－3、⑤7x＜9、⑥6×9在以上式子中，( )是等式，( )是方程。（填序号） 【答案】 ①②③ ①③ 【分析】含有等号的式子叫等式。方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。 【详解】①3＋x＝5、②4＋7＝11、③a＋b＝20、④5m－3、⑤7x＜9、⑥6×9在以上式子中，①②③是等式，①③是方程。 题型七：列简易方程 31．一个数的小数点向右移动两位，结果比原来增加了39.6，原来这个数是 。 【答案】 0.4 【分析】一个数的小数点向右移动两位，说明扩大到原来的100倍，设原数为x，则移动后的数为100x。根据题意，移动后的数比原数增加了39.6，即100x－x＝39.6。解方程即可求出原数。 【详解】解：设原来的数为x。 100x－x＝39.6 99x＝39.6 99x÷99＝39.6÷99 x＝0.4 所以原来这个数是0.4。 32．故宫博物院面积是72万平方米，比天安门广场面积的2倍少16万平方米。天安门广场的面积是多少万平方米？解：设天安门广场的面积是x万平方米。根据等量关系( )可以列出方程“2x－72＝16”。 【答案】天安门广场面积×2－故宫博物院面积＝16万平方米 【分析】设天安门广场的面积是x万平方米。根据等量关系：天安门广场面积×2－故宫博物院面积＝16，列方程即可。 【详解】解：设天安门广场的面积是x万平方米。 根据等量关系：天安门广场面积×2－故宫博物院面积＝16可以列出方程“2x－72＝16”。 33．笑笑买了5支钢笔，每支x元，一共花了( )元；付给售货员50元，找回15元，求每支钢笔多少元？可列方程为( )。 【答案】 5x 5x＋15＝50 【分析】总价＝单价×数量。由题意得，笑笑买了5支钢笔，每支x元，求一共花了多少元，用乘法计算，列式为：x×5。 付给售货员50元，找回了15元，据此列出等量关系式：5支钢笔的价钱＋找回的钱数＝一共付的钱，根据等量关系式列出方程即可。 【详解】x×5＝5x（元） 根据等量关系式列出方程：5x＋15＝50。 笑笑买了5支钢笔，每支x元，一共花了5x元；付给售货员50元，找回15元，求每支钢笔多少元？可列方程为5x＋15＝50。 34．看图列方程。 方程： 【答案】3x＋5＝41 【分析】看图，图中有3盒笔加上5只笔，共计41只笔。据此列方程即可。 【详解】方程：3x＋5＝41。 【点睛】本题考查了简易方程，能根据等量关系正确列方程即可。 35．看图列方程。     方程： 【答案】x＋0.25＝0.4 【分析】看图易知，一个苹果和一个菠萝的重量恰好等于一个小南瓜的重量。据此列方程。 【详解】方程：x＋0.25＝0.4。 【点睛】本题考查了列方程，能从图中找出等量关系是解题的关键。 题型八：等式的性质1 36．如果a＝b，根据等式的性质填空。 (1)a＋( )＝b＋x。 (2)a÷3.5＝b÷( )。 【答案】(1)x (2)3.5 【分析】（1）等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；即，等式两边同时加上x，等式不变； （2）等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。即，等式两边同时除以3.5，等式不变。据此解答即可。 【详解】如果a＝b，根据等式的性质。 （1）a＋x＝b＋x （2）a÷3.5＝b÷3.5 填x；3.5。 37．如果，那么、两数相差( )。 【答案】11.36 【分析】等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；求解、两数相差的值需要将等式变形为等于某个数的形式，则首先将等式两边同时减并加上即可将等式变形。 【详解】 即、两数相差11.36。 38．根据等式的性质，a＝b（a，b都不为0）变式后错误的是（    ）。 A．a＋1.8＝b＋1.8 B．a×2.5＝b÷2.5 C．a8＝b8 D．a2＝ab 【答案】B 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式的性质2：等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式，据此解答。 【详解】A．等式a＝b变成a＋1.8＝b＋1.8，利用等式的性质1，正确； B．等式a＝b变成a×2.5＝b÷2.5，左右两边的变化不相同，错误； C．等式a＝b变成a－8＝b－8，利用等式的性质1，正确； D．等式a＝b变成a2＝ab，利用等式的性质2，正确； 故答案为：B 39．请根据129＋x＝200＋y，判断x和y的大小。 【答案】x＞y 【分析】根据等式的性质1，等式两边同时减去129，再进行解答。 【详解】129＋x＝200＋y 129＋x－129＝200＋y－129 x＝y＋71 所以x＞y。 40．根据等式的性质在圆圈里填运算符号，在括号里填数：如果x＋3＝9，那么x＋3－3＝9○（    ）。 【答案】－；3 【分析】根据等式的性质1，等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式，进行填空。 【详解】如果x＋3＝9，那么x＋3－3＝9－3 题型九：等式的性质2 41．如果x＝y，根据等式的性质填空。 x÷5＝y÷( )              x－( )＝y－30 【答案】 5 30 【分析】根据等式的性质，等式的两边乘或除以相同的数（不为0），左右两边仍然相等。 根据等式的性质，等式的两边加上或减去相同的数，左右两边仍然相等。 【详解】根据分析： 左边除以5，要使等式成立，右边也要除以5； 右边减去30，要使等式成立，左边也要减去30； 42．如果a等于b，根据等式的性质填空。 a×( )＝b×1.7 a－( )＝b－2.7 【答案】 1.7 2.7 【分析】等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 如果a＝b，b乘1.7，根据等式的性质2可知，a也要乘1.7； 如果a＝b，b减2.7，根据等式的性质1可知，a也要减2.7。 【详解】如果a等于b，根据等式的性质填空： a×1.7＝b×1.7 a－2.7＝b－2.7 43．算式（    ）能用“90÷18”求□的值。 A．□×18＝90 B．□＋18＝90 C．□－90＝18 【答案】A 【分析】“90÷18”是除法运算，根据等式性质1：等式两边加或减同一个数，等式仍成立；等式性质2：等式两边乘或除以同一个不为0的数，等式仍成立。分析各选项，进而得出正确答案。 【详解】A．□×18＝90，根据等式性质2，两边同时除以18，□×18÷18＝90÷18，即□＝90÷18，所以该选项能用“90÷18”求□的值。 B．□＋18＝90，根据等式性质1，两边同时减18，□＋18－18＝90－18，即□＝90－18，不能用“90÷18”求□的值。 C．□－90＝18，根据等式性质1，两边同时加90，□－90＋90＝18＋90，即□＝18＋90，不能用“90÷18”求□的值。 所以算式“□×18＝90”能用“90÷18”求□的值。 故答案为：A 44．在横线上填上运算符号，在（    ）里填上数。 (1)如果x＋5＝8，那么x＋5－5＝8－( )。 (2)如果x－11＝29，那么x－11＋11＝29 ( )。 (3)如果3x＝9，那么3x÷3＝9 ( )。 【答案】(1)5 (2) ＋ 11 (3) ÷ 3 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个数（0除外），等式仍然成立； （1）根据等式的性质1，方程两边同时减去5即可； （2）根据等式的性质1，方程两边同时加上11即可； （3）根据等式的性质2，方程两边同时除以3即可。 【详解】（1）如果x＋5＝8，那么x＋5－5＝8－5 （2）如果x－11＝29，那么x－11＋11＝29＋11。 （3）如果3x＝9，那么3x÷3＝9÷3。 45．根据等式的性质填空。 (1)已知3m＋4＝6，那么3m＝( )。 (2)已知6a＋4b＝80，那么3a＋2b＝( )。 (3)已知a＋3＝2b，那么( )＝8b。 【答案】(1)2 (2)40 (3)4a＋12 【分析】（1）根据等式的性质，在方程两边同时减去4即可； （2）根据等式的性质，在方程两边同时除以2即可； （3）根据等式的性质，在方程两边同时乘4即可。 【详解】（1）3m＋4＝6 3m＋4－4＝6－4 3m＝2 则已知3m＋4＝6，那么3m＝2。 （2）6a＋4b＝80 （6a＋4b）÷2＝80÷2 3a＋2b＝40 已知6a＋4b＝80，那么3a＋2b＝40。 （3）a＋3＝2b （a＋3）×4＝2b×4 4a＋12＝8b 已知a＋3＝2b，那么4a＋12＝8b。 【点睛】本题考查等式的性质，熟记等式的性质是解题的关键。 题型十：应用等式的性质解方程 46．解方程。 （1）x÷0.5＝4.6           （2）5x－39＝61         （3）（3x－6）×3＝81 【答案】（1）x＝2.3；（2）x＝20；（3）x＝11 【分析】（1）方程两边同时乘0.5。 （2）方程两边同时加上39，然后方程两边再同时除以5。 （3）方程两边同时除以3，然后方程两边再同时加上6，最后方程两边同时除以3。 【详解】（1）x÷0.5＝4.6 解：x÷0.5×0.5＝4.6×0.5 x＝2.3 （2）5x－39＝61 解：5x－39＋39＝61＋39 5x＝100 5x÷5＝100÷5 x＝20 （3）（3x－6）×3＝81 解：（3x－6）×3÷3＝81÷3 3x－6＝27 3x－6＋6＝27＋6 3x＝33 3x÷3＝33÷3 x＝11 47．解方程。       4（—3.5）＝1.8          1.8＋6＝39                —0.36＝16 【答案】3.95；6.2；25 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 （1）方程两边先同时除以4，再同时加上3.5，求出方程的解； （2）方程两边先同时减去1.8，再同时除以6，求出方程的解； （3）先把方程化简成0.64x＝16，然后方程两边同时除以0.64，求出方程的解。 【详解】（1）4（—3.5）＝1.8     解：4（—3.5）÷4＝1.8÷4 —3.5＝0.45 —3.5＋3.5＝0.45＋3.5 ＝3.95 （2）1.8＋6＝39 解：1.8＋6—1.8＝39—1.8 6＝37.2 6÷6＝37.2÷6 ＝6.2 （3）—0.36＝16 解：0.64＝16 0.64÷0.64＝16÷0.64 ＝25 48．解下列方程。 20＋4x＝26               x－0.7x＝9.6 【答案】x＝1.5；x＝32 【分析】20＋4x＝26，根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时减去20，再同时除以4即可； x－0.7x＝9.6，先将左边合并为0.3x，然后根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以0.3即可。 【详解】20＋4x＝26 解：20＋4x－20＝26－20 4x＝6 4x÷4＝6÷4 x＝1.5 x－0.7x＝9.6 解：0.3x＝9.6 0.3x÷0.3＝9.6÷0.3 x＝32 49．解方程。                   【答案】； ； 【分析】（1）利用等式的性质1，方程两边同时加上6.3即可求解； （2）利用等式的性质2，方程两边同时乘12即可求解； （3）利用等式的性质2，方程两边同时除以3.4即可求解； （4）先利用等式的性质1，方程两边同时减去5，再利用等式的性质2，方程两边同时除以3即可求解。 【详解】 解： 解： 解： 解： 50．解方程。 5.5＋x＝9.3          3x－4.8＝16.2 x÷2.4＝7.5          6×8.4＋4x＝87.2 【答案】x＝3.8；x＝7 x＝18；x＝9.2 【分析】（1）利用等式的性质1，等式两边同时减去5.5； （2）先利用等式的性质1，等式两边同时加上4.8，再利用等式的性质2，等式两边同时除以3； （3）利用等式的性质2，等式两边同时乘2.4； （4）先计算出6×8.4＝50.4，再利用等式的性质1，等式两边同时减去50.4，再利用等式的性质2，等式两边同时除以4； 【详解】5.5＋x＝9.3 解：5.5＋x－5.5＝9.3－5.5 x＝3.8 3x－4.8＝16.2 解：3x－4.8＋4.8＝16.2＋4.8 3x＝21 3x÷3＝21÷3 x＝7 x÷2.4＝7.5 解：x÷2.4×2.4＝7.5×2.4 x＝18 6×8.4＋4x＝87.2 解：50.4＋4x＝87.2 50.4＋4x－50.4＝87.2－50.4 4x＝36.8 4x÷4＝36.8÷4 x＝9.2 题型十一：解等号两边都有未知数的方程 51．解方程。 ①x÷12＝2.4       ②5x＝3x＋6       ③2（8.5＋x）＝30 【答案】①x＝28.8；②x＝3；③x＝6.5 【分析】①方程左右两边同时乘12，求出方程的解； ②方程左右两边同时减去3x，再把方程左右两边同时除以2，求出方程的解； ③先把方程左右两边同时除以2，再把方程左右两边同时减去8.5，求出方程的解。 【详解】①x÷12＝2.4 解：x÷12×12＝2.4×12 x＝28.8 ②5x＝3x＋6 解：5x－3x＝3x＋6－3x 2x＝6 2x÷2＝6÷2 x＝3 ③2（8.5＋x）＝30 解：2（8.5＋x）÷2＝30÷2 8.5＋x＝15 8.5＋x－8.5＝15－8.5 x＝6.5 52．学校组织春游，需租用汽车若干辆，如果每辆汽车坐40人，则有20人没有上车；如果每辆汽车坐45人，则可空出一辆汽车，并且有一辆车还可再坐10人。问有多少辆汽车？共有多少名学生？ 【答案】15辆车；620名 【分析】根据题意可知，学生的总人数一定，可以假设有x辆汽车。可得出等量关系：40×汽车的辆数＋20＝45×（汽车的辆数－1）－10，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设有辆汽车。 40＋20＝45（－1）－10 40＋20＝45－45－10 40＋20＝45－55 40＋20－40＝45－55－40 20＝5－55 5－55＝20 5－55＋55＝20＋55 5＝75 5÷5＝75÷5 ＝15 共有学生： 40×15＋20 ＝600＋20 ＝620（名） 答：有15辆汽车，共有620名学生。 53．小军原有书的本数是小力的3倍，小军买来7本书，小力买来6本书后，小军所有的书是小力的2倍，小力原来有多少本书？ 【答案】5本 【分析】根据“小军原有书的本数是小力的3倍”，可以设小力原来有本，那么小军原来有3本； 根据“小军所有的书是小力的2倍”，可得出等量关系：（小力原有书的本数＋6）×2＝小军原有书的本数＋7，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设小力原来有本，那么小军原来有3本。 2（＋6）＝3＋7 2＋12＝3＋7 2＋12－2＝3＋7－2 12＝＋7 ＋7＝12 ＋7－7＝12－7 ＝5 答：小力原来有5本书。 54．育才小学组织全体师生进行郊游，租用了若干辆小巴，其中一辆坐了25人，其余每辆小巴坐了30人。途中一辆小巴发生故障无法载人，学校决定其中一辆小巴坐19人，其余每辆小巴坐32人。学校共有师生 人。 【答案】595 【分析】无论小巴车的人数如何换，小巴车的数量和师生的人数不发生改变。在小巴没有发生故障之前，其中一辆坐了25人，其余的小巴车的数量是总小巴车的数量－1，则师生人数＝一辆的25人＋30×（小巴车数量－1）。途中小巴发生故障后，一辆小巴车坐19人，其余小巴车的数量是小巴车的总数量－1，则师生的总人数＝19＋32×（小巴车的数量－2）。两种情况的师生人数的数量是相等的，设小巴车的数量为x，再根据数量关系式一辆的25人＋30×（小巴车数量－1）＝19＋32×（小巴车的数量－2）列出方程求出方程的解。 【详解】解：设一共有x辆小巴。 25＋30×（x－1）＝19＋32（x－2） 25＋30x－30＝19＋32x－64 30x－5＝32x－45 32x－30x＝45－5 2x＝40 x＝40÷2 x＝20 25＋30×（20－1） ＝25＋30×19 ＝25＋570 ＝595（人） 则学校共有师生595人。 55．如下图，天平平衡，请你根据图意列出方程：( )，m＝( )。 【答案】 3m＝12.6＋m 6.3 【分析】观察可知，天平左右两边相等，左边3个m等于右边12.6和m的和，据此列出方程；根据等式的性质1和2，两边先同时－m，再同时÷2，即可求出m的值。 【详解】3m＝12.6＋m 解：3m－m＝12.6＋m－m 2m＝12.6 2m÷2＝12.6÷2 m＝6.3 列出的方程为：3m＝12.6＋m，m＝6.3。 【点睛】列方程根据等量关系，解方程根据等式的性质。 题型十二：方程的检验 56．解下列方程，带*的要检验。                            * 【答案】；； 【分析】根据等式的性质1和2，在方程两侧同时减去23，再方程两侧同时除以6即可解方程； 先计算12.5与8的乘积，根据等式的性质1，在方程两侧同时加上，再同时方程两侧减去63.5即可解方程； 根据等式的性质1和2，在方程两侧同时除以4，然后方程两侧同时加5，最后方程两侧同时除以6即可解方程，验算时把x的值代入方程计算即可。 【详解】 解： 解： 解： 将代入； 右侧 左边＝右边 所以是原方程的解。 57．解方程，带※号的要检验。 （1）x＋24＝59                 ※（2）11x＝12.1 【答案】（1）35；（2）1.1 【分析】（1）等式的基本性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。根据等式的基本性质1求方程的解。 （2）等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以一个不为0的数，左右两边仍然相等。根据等式的基本性质2求方程的解。 【详解】（1）x＋24＝59 解：x＋24－24＝59－24 x＝35 （2）11x＝12.1 解：11x÷11＝12.1÷11 x＝1.1 验算： 方程的左边＝11x ＝11×1.1 ＝12.1 ＝方程的右边 所以，x＝1.1是方程的解。 58．解方程。（带△的要检验）                         △ 【答案】x＝1.55； x＝18.1； x＝5.9 【分析】，先将左边进行合并，再根据等式的性质2解方程； ，根据等式的性质1和2，两边先同时－4，再同时÷0.9即可； △，根据等式的性质1和2，两边先同时÷3，再同时＋2即可。 方程的检验：要将求出的未知数值代入原方程，分别计算等号左右两边的结果，如果两边相等，则为原方程的解；如不相等，则不是原方程的解。 【详解】 解：1.2x÷1.2＝1.86÷1.2 x＝1.55 解：0.9x＋4－4＝20.29－4 0.9x÷0.9＝16.29÷0.9 x＝18.1 △ 解：3（x－2）÷3＝11.7÷3 x－2＋2＝3.9＋2 x＝5.9 检验：方程的左边＝3（x－2） ＝3×（5.9－2） ＝3×3.9 ＝11.7 ＝方程的右边 所以x＝5.9是方程的解。 59．解下列方程。 2.1÷x＝3（检验）            2x－0.8x＝4.8 3x＋8＝13.4（检验）          3（x＋2.1）＝12.6 【答案】x＝0.7；x＝4 x＝1.8；x＝2.1 【分析】等式的性质：等式的左右两边加上或减去同一个数，等式左右两边仍然相等；等式的左右两边乘或除以同一个不为0的数，等式左右两边仍然相等； 含有相同字母的式子，可以利用乘法分配律进行化简，据此解方程即可。 【详解】2.1÷x＝3（检验） 解：3x＝2.1 x＝0.7 检验：方程左边＝2.1÷x ＝2.1÷0.7 ＝3＝方程右边 所以x＝0.7是原方程的解。 2x－0.8x＝4.8 解：1.2x＝4.8 x＝4 3x＋8＝13.4（检验） 解：3x＝5.4 x＝1.8 检验：方程左边＝3x＋8 ＝3×1.8＋8 ＝5.4＋8 ＝13.4＝方程右边 所以x＝1.8是原方程的解。 3（x＋2.1）＝12.6 解：x＋2.1＝4.2 x＝2.1 60．解方程。（带★的要写出检验过程） 2x－97＝34.2    ★2x＋1.5x＝17.5     【答案】x＝65.6；x＝5；x＝28 【分析】2x－97＝34.2，根据等式的性质1和2，两边先同时＋97，再同时÷2即可； ★2x＋1.5x＝17.5，先将左边进行合并，再根据等式的性质2解方程；将求出的未知数值代入原方程，分别计算等号左右两边的结果，如果两边相等，则为原方程的解；如不相等，则不是原方程的解。 ，根据等式的性质1和2，两边同时×2，再写成3x＋16＝100的形式，两边同时－16，再同时÷3即可。 【详解】2x－97＝34.2 解：2x－97＋97＝34.2＋97 2x÷2＝131.2÷2 x＝65.6 ★2x＋1.5x＝17.5 解：3.5x÷3.5＝17.5÷3.5 x＝5 检验：方程的左边＝2x＋1.5x ＝2×5＋1.5×5 ＝10＋7.5 ＝17.5 ＝方程的右边，所以x＝5是方程的解。 解： 100－3x＝16 3x＋16－16＝100－16 3x÷3＝84÷3 x＝28 题型十三：列方程解含有一个未知数的问题 61．甲、乙两列火车从相距950千米的两地同时相向开出。甲车每小时行105千米，乙车每小时行85千米。经过几小时两车相遇？（用方程解答） 【答案】5小时 【分析】设经过x小时两车相遇；根据路程＝速度×时间；甲车每小时行105千米，x小时行驶105x千米；乙车每小时行驶85千米，x小时行驶85x千米；得出等量关系：甲车行驶的路程＋乙车行驶的路程＝两地的距离，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设经过x小时两车相遇。 105x＋85x＝950 190x＝950 190x÷190＝950÷190 x＝5 答：经过5小时两车相遇。 62．今年4月30日马拉松比赛中共有2258名志愿者为保马护航，比10月22日的半程马拉松志愿者的2倍还多58名，今年半程马拉松志愿者共多少名？ 【答案】1100名 【分析】设10月22日的半程马拉松志愿者有名，根据等量关系式“10月22日的半程马拉松志愿者人数×2＋58＝4月30日的马拉松志愿者人数”代入数值列出方程并求解。 【详解】解：设10月22日的半程马拉松志愿者有名。 答：今年半程马拉松志愿者共1100名。 63．春节快到了，各超市开始陆续谋划采购年货，某特色店购进了900幅年画，比购进中国结数量的2倍还多20，该特色店购进了多少个中国结？（列方程解答） 【答案】440个 【分析】由题意可知等量关系式：中国结数量×2＋20＝年画的数量，据此列方程解答即可。 【详解】解：设该特色店购进了x个中国结。 2x＋20＝900 2x＝900－20 2x＝880 x＝880÷2 x＝440 答：该特色店购进了440个中国结。 64．甲、乙两艘船同时从上海出发开往青岛。经过18小时后，甲船比乙船少行57.6千米。乙船每小时行35.7千米，甲船每小时行多少千米？（用方程解答） 【答案】32.5千米 【分析】首先根据题意，设甲船每小时行x千米，根据“速度差×经过时间＝路程差”，可以列出数量关系式：（乙船每小时行的路程－甲船每小时行的路程）×18＝甲船比乙船少行的路程，然后根据数量关系式列出方程，求出甲船每小时行多少千米即可解答。 【详解】解：设甲船每小时行x千米。 （35.7－x）×18＝57.6 （35.7－x）×18÷18＝57.6÷18 35.7－x＝3.2 35.7－x＋x＝3.2＋x 3.2＋x＝35.7 3.2＋x－3.2＝35.7－3.2 x＝32.5 答：甲船每小时行32.5千米。 65．有着2000年历史的欧亚大陆通道“丝绸之路”在甘肃省境内总长达1600千米，比兰州至西安的铁路长2.2倍还多170千米，兰州至西安的铁路长多少千米？（列方程解答） 【答案】650千米 【分析】已知丝绸之路在甘肃省境内总长达1600千米，比兰州至西安的铁路长2.2倍还多170千米，设兰州至西安的铁路长x千米，根据兰州至西安的铁路长的2.2倍加170千米是1600千米，列方程求解。 【详解】解：设兰州至西安的铁路长x千米。 2.2x＋170＝1600 2.2x＋170－170＝1600－170 2.2x＝1430 2.2x÷2.2＝1430÷2.2 x＝650 答：兰州至西安的铁路长650千米。 题型十四：列方程解含有两个未知数的问题 66．某服装厂加工车间有54名工人。每个工人每天可以加工8件上衣或10条裤子。如何分配这些工人，才能使每天生产的上衣和裤子能够完美地配套？ 【答案】30人加工上衣；24人加工裤子 【分析】把加工上衣的人数设为未知数，加工裤子的人数＝总人数－加工上衣的人数，如果上衣和裤子能够完美地配套，那么上衣和裤子的数量相等，等量关系式：加工上衣的人数×每人每天加工上衣的数量＝加工裤子的人数×每人每天加工裤子的数量，据此列方程解答。 【详解】解：设x人加工上衣，（54－x）人加工裤子。 8x＝10×（54－x） 8x＝10×54－10x 8x＝540－10x 8x＋10x＝540－10x＋10x 18x＝540 18x÷18＝540÷18 x＝30 54－30＝24（人） 答：30人加工上衣，24人加工裤子，才能使每天生产的上衣和裤子能够完美地配套。 【点睛】分析题意设出未知数并根据等量关系式准确列出方程是解答题目的关键，注意题目中的隐含条件“上衣和裤子的数量相等”。 67．某车间加工机轴和轴承。每个工人每天平均可以加工15个机轴或10个轴承。该车间共有80名工人。一根机轴和两个轴承可以组成一套。如何分配工人来加工机轴和轴承，才能使每天生产的机轴和轴承能够完美地配套？ 【答案】机轴：20名；轴承：60人 【分析】设分配x名工人加工机轴，则（80－x）名工人加工轴承；每个工人每天平均加工15个机轴，x名工人加工15x个机轴；每个工人每天平均加工10个轴承，（80－x）名工人加工10×（80－x）个轴承；一根机轴和两个轴承可以组成一套，由此可知，两个机轴＝两个轴承，列方程：2×15x＝10×（80－x），解方程，即可解答。 【详解】解：设分配x名工人加工机轴，则（80－x）名工人加工轴承。 2×15x＝10×（80－x） 30x＝10×80－10x 30x＝800－10x 30x＋10x＝800－10x＋10x 40x＝800 40x÷40＝800÷40 x＝20 加工轴承人数：80－20＝60（名） 答：加工机轴20名和轴承60名才能使每天生产的机轴和轴承能够完美地配套。 68．包装厂有42名工人，他们可以生产圆形铁片和长方形铁片。每个工人每小时平均可以生产120张圆形铁片或80张长方形铁片。如果将两张圆形铁片和一张长方形铁片组合在一起，就可以制作出一个密封圆桶。如何安排工人的生产任务，才能使圆形和长方形铁片的配套合理？ 【答案】24名工人生产圆形铁片；18名工人生产长方形铁片 【分析】因为制作一个密封园桶需两张圆形铁片和一张长方形铁片，所以圆形铁片数量与长方形铁片数量存在圆形铁片数量＝长方形铁片数量×2的配套关系。设安排x名工人生产圆形铁片，那么总人数42名减去生产圆形铁片的x名工人，剩下的（42－x）名工人就是生产长方形铁片的。根据每人每小时生产铁片数量和人数，分别得出圆形铁片总数为120x张，长方形铁片总数为80×（42－x）张，再依据配套关系列方程：120x＝2×80×（42－x）。 【详解】设安排x名工人生产圆形铁片，则生产长方形铁片的工人有 （42－x）名 120x＝2×80×（42－x） 120x＝160×（42－x） 210x＝6720－160x 120x＋160x＝6720－160x＋160x 280x＝6720 280x÷280＝6720÷280 x＝24 生产长方形铁片的工人数为：42－24＝18（名） 答：安排24名工人生产圆形铁片，18名工人生产长方形铁片。 69．某车间有28名工人，他们生产螺栓和螺母。每个工人每小时平均能生产12个螺栓或18个螺母。如何分配工人来生产螺栓和螺母，使它们能够完美地搭配（一个螺栓需要两个螺母）？ 【答案】12名工人生产螺栓；16名工人生产螺母 【分析】明确配套关系：一个螺栓需要两个螺母，即螺母数量是螺栓数量的2倍。设未知数：设安排x名工人生产螺栓，则（28－x）名工人生产螺母，表示出产品数量：生产螺栓数量为12个，生产母数量为18×（28－ x）个。根据配套关系列方程：依据螺母数量＝螺栓数量×2，列出方程求解，2×12x＝18×（28－x）。 【详解】设安排x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人有（28 –x）名 根据螺母数量是螺栓数量的2倍，可列方程： 2×12x＝18×（28－x） 24x＝504－18x 24x＋18x＝504－18x＋18x 42x＝504 42x÷42＝504÷42 x＝12 生产螺母的工人数：28－12＝16（名） 答：安排12名工人生产螺栓，16名工人生产螺母。 70．毕业在即，六年级某班为纪念师生情谊，班委决定花800元班费买两种不同单价的留念册，分别给50位同学和10位任课教师每人一本纪念，其中送给任课教师的留念册单价比给同学的单价多8元，请问，这两种不同留念册的单价分别是多少？ 【答案】同学：12元；任课教师：20元 【分析】设同学留念册的单价是x元，送给任课教师的留念册单价比给同学的单价多8元，则任课教师的留念册的单价是（x＋8）元；同学有50位，需要买留念册的钱数是50x元；任课教师有10位，需要买留念册的钱数是10×（x＋8）元；同学留念册的钱数＋任课老师留念册的钱数＝800元，列方程：50x＋10×（x＋8）＝800，解方程，即可解答。 【详解】解：设同学留念册的单价是x元，则任课教师的留念册单价是（x＋8）元。 50x＋10×（x＋8）＝800 50x＋10x＋10×8＝800 60x＋80＝800 60x＋80－80＝800－80 60x＝720 60x÷60＝720÷60 x＝12 任课教室的留念册：12＋8＝20（元） 答：同学留念册的单价是12元，任课老师留念册的单价是20元。 题型十五：列方程解决稍复杂的实际问题 71．已知被减数、减数和差的和为592，其中减数比差的2倍还多2，求减数。 【答案】198 【分析】从“减数比差的2倍还多2”可知：设差为 ，减数则为2＋2。又被减数＝差＋减数，那么用592÷2＝296即求出被减数是296，也是减数和差的和是296。根据差＋减数＝296，列方程求出的值，即求出了差是多少，再用296减去差，即可求出减数是多少。据此解答。 【详解】592÷2＝296 解：设差为。 ＋2＋2＝296 3＋2＝296 3＋2－2＝296－2 3＝294 3÷3＝294÷3 ＝98 296－98＝198 答：减数是198。 72．有一个五位数，在它后面写上一个7，得到一个六位数；在它前面写上一个7，也得到一个六位数。如果第二个六位数是第一个六位数的5倍，那么这个五位数是多少？ 【答案】14285 【分析】假设这个五位数是x，那么第一个六位数是10x＋7，第二个六位数是700000＋x。根据第二个六位数是第一个六位数的5倍，列方程解答。 【详解】解：设这个五位数是x。 5×（10x＋7）＝700000＋x 50x＋35＝700000＋x 50x－x＋35－35＝700000＋x－x－35 49x＝699965 49x÷49＝699965÷49 x＝14285 答：这个五位数是14285。 【点睛】本题考查列方程解决实际问题。解题关键是弄清楚在五位数的最前面和最后面加上一个数后，这个六位数数值的大小。在这个五位数后面加一个数7，相当于这个五位数扩大了10倍再加上7。在这个五位数前面加一个数7，相当于这个五位数加上了700000。 73．小华第一次买3个篮球和5个足球共用去480元，第二次买同样的6个篮球和3个足球共用去519元。篮球和足球的单价各是多少元？ 【答案】篮球的单价是55元，足球的单价是63元。 【分析】根据题目信息，找到数量关系：3个篮球的价钱＋5个足球的价钱＝480元，6个篮球的价钱＋3个足球的价钱＝519元，我们发现两次购买的篮球和足球数量都不相同，只有消去其中一个未知数才能帮助解题。再观察两次购买的篮球数量，第二次买的篮球个数是第一次买的个数的两倍，若把第一次购买的篮球和足球数及钱数扩大2倍，就可以消去一种一个未知量。此时：（3×2）个篮球的价钱＋（5×2）个足球的价钱＝（480×2）元，即6个篮球和10个足球共用去960元，其中6个篮球和3个足球用去519元，可得7个足球的总价，进而求出足球的单价。再根据小华的条件求出篮球的单价。据此解答。 【详解】（480×2－519）÷（5×2－3） ＝（960－519）÷（10－3） ＝441÷7 ＝63（元） （480－63×5）÷3 ＝（480－315）÷3 ＝165÷3 ＝55（元） 答：篮球的单价是55元，足球的单价是63元。 74．为了响应国家绿色出行的号召，甲、乙、丙三人由开车出行改为步行出行。甲、乙从A地，丙从B地同时出发，相向而行。甲每小时行，乙每小时行，丙每小时行，丙遇到乙后12分钟又遇到甲，求A、B两地相距多少千米？ 【答案】 【分析】丙与乙相遇时，两人合起来走完了全程，丙与甲相遇时也合起来走完了全程，利用这个等量关系列出方程，可以求出丙与乙相遇的时间，再乘丙与乙的速度和就能求出两地的距离。 【详解】12分时 解：设丙与乙经过x小时相遇。 答：A、B两地相距。 【点睛】本题的叙述中难以找到突破口，只有先利用能利用的条件。比如我们可以发现丙与乙相遇时恰好走完了全程，丙与甲相遇时也合起来走完了全程，这个等量关系对我们来说很重要。因为如果不能逆向思维得到答案，可以借助方程顺向思维解答。通过方程，我们建立起等量关系，并假设丙与乙相遇用了x个小时，这样得出的解就是相遇时间，再乘乙丙速度和就是A、B两地相距多少千米。 75．某校六年级（1）班学生举行春游，若租用45座客车，则有15人没有座位，若租用同样数目的60座客车，则一辆客车空车．已知45座客车租金220元，60座客车租金300元． 问：（1）这个学校六年级（1）班学生多少人？（请用方程解） （2）如果你是班长，你认为应该怎样租车，最经济合算？ 【答案】（1）240人   （2）租用45座客车4辆60座客车1辆最经济合算 【分析】此题考查的基本的数量关系为：每辆车的乘坐的人数45×车辆的数目+剩余的15人=每辆车乘坐的人数60×车辆的数目﹣多余的人数，由此列方程解决问题． 要求六年级（1）班学生多少人，必须先求出租用几辆车，由题干可知，租用的两种车数目相同．由此可得出等量关系式：每辆车的乘坐的人数45×车辆的数目+剩余的15人=每辆车乘坐的人数60×车辆的数目﹣多余的人数（即空余的座位），设六年级（1）班租用x辆车．列方程解答后再代入即可． 【详解】（1）①设六年级（1）班租用x辆车， 60×（x﹣1）﹣45x=15 60x﹣45x=60+15                                  15x=75                                    x=75÷15                             x=5； 将x=5代入算式： 60×5﹣60 =300﹣60 =240（人） （2）①若租用45座客车须租用5+1辆，220×6=1320（元）； ②若租用60座客车须总用5﹣1辆，300×4=1200（元）； ③若租用45座客车4辆，60座客车1辆，220×4+300=1180（元）； 1180元＜1200元＜1320元； 答：这个学校六年级（1）班学生240人，租用45座客车4辆60座客车1辆最经济合算． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 简易方程 （15种类型75道） 目录 题型一：用字母表示数、数量关系 1 题型二：用字母表运算定律及计算公式 2 题型三：用字母表示稍微复杂的数量关系 2 题型四：含有字母式子的化简与求值 3 题型五：等式的认识及列等量关系式 3 题型六：方程的认识 4 题型七：列简易方程 4 题型八：等式的性质1 5 题型九：等式的性质2 5 题型十：应用等式的性质解方程 6 题型十一：解等号两边都有未知数的方程 7 题型十二：方程的检验 8 题型十三：列方程解含有一个未知数的问题 9 题型十四：列方程解含有两个未知数的问题 10 题型十五：列方程解决稍复杂的实际问题 11 题型一：用字母表示数、数量关系 1．聪聪比明明小，聪聪今年a岁，明明今年b岁，2年后，聪聪比明明小( )岁。（用含有字母的式子表示） 2．一本书有250页，小明每天看10页，看了b天。10b表示( )；当b＝15时，还剩下( )页。 3．一根50厘米长的铁丝围成一个正方形后，还余下a厘米。围成的正方形的边长可用字母表示为( )厘米。 4．如图空白部分是一个正方形，涂色部分的面积是( )（用字母表示）。 5．徽州毛豆腐是黄山一带的传统名菜，已知1千克黄豆可以制作a千克的毛豆腐，那么10.5千克黄豆可以制作( )千克毛豆腐。制作10.5千克毛豆腐需要( )千克黄豆；当a＝3时，制作10.5千克毛豆腐需要( )千克黄豆。 题型二：用字母表运算定律及计算公式 6．一个正方形的边长为a米，它的周长是( )米，面积是( )平方米；如果a＝8，那么它的周长是( )米，面积是( )平方米。 7．用字母表示长方形的面积是S＝( )，周长是C＝( )。 8．a×7.5＋7.5×b＝7.5×( )    1.25×m×0.8＝m×( ) 9．小军把27×（m－0.3）错算成27×m－0.3，他计算的结果与正确结果相差( )。 10．用2个边长为a厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 题型三：用字母表示稍微复杂的数量关系 11．甲数是a，乙数比甲数的3倍多b，表示乙数的式子是（    ）。 A．3a－b B．3a＋b C．3÷a－b D．a÷3＋b 12．数学课上，各小组同学合作探究一道实践作业。第一组同学用了x分钟完成，第二组同学用的时间比第一组同学的3倍多8分钟，第三组同学用的时间比第二组同学少7分钟。第三组同学用了（    ）分钟。 A． B． C． D． 13．观察下面的图案，每个图案都是用正六边形和小正三角形拼成的，继续拼下去，第5个图案要用( )个小正三角形，第n个图案要用( )个小正三角形。 14．一套运动服里有一件上衣和一条裤子，田径队买了12套，共用去m元，如果一件上衣的价钱是n元，那么一条裤子的价钱是（    ）元。 A． B． C． D． 15．观察下图，每个黑色圆周围都有6个白色圆。照这样的规律画下去，当画完第5个黑色圆时，一共画了( )个白色圆；当画完第n个黑色圆时，一共画了( )个白色圆。 题型四：含有字母式子的化简与求值 16．下面与（）相等的是（    ）。 A． B． C． D． 17．直接写出得数。 0.16×4＝         5.72÷10＝        0.6＋0.25＝          42÷4＝          3.2÷0.08＝       5c－2c＝          0.37×2＋2＝        10×6.3＝ 18．直接写出得数。 2.8×40＝          0.24÷0.3＝              12.5×4＝           0.55÷0.11＝ 0.22＝           100×0.65＝          0÷2.5×4＝        3.5x－x＝ 19．直接写得数。 3a＋6a＝         1.5x－0.7x＝         2.4×5＝         0.77÷1.1＝ x＋x＋x＝         2.8÷0.07＝         35×0.01＝         1.52＝ 7÷1.4＝                    0.4×0.2÷0.4×0.2＝ 20．超市原有大米750千克，卖出18包大米，每包大米重x千克，现在超市还剩下( )千克大米；当x＝25时，超市还剩下大米( )千克。 题型五：等式的认识及列等量关系式 21．1只鸡的质量等于2条鱼的质量，2条鱼的质量等于6个足球的质量。1只鸡的质量等于( )个足球的质量。 22．方程一词，最早出现在我国古代数学书籍《九章算术》中，下列的式子中（    ）是方程。 A．5x－3 B．2＋x＞1 C．0.4＋3＝3.4 D．x－1＝0 23．根据“妈妈比张虹大19岁”，填写下面的数量关系。 ( )的年龄＋19＝( )的年龄；( )的年龄－19＝( )的年龄。 24．天平左边放2瓶墨水，右边放1个铅笔盒，此时天平( )，说明两边物体的质量( )；如果设1瓶墨水重c克，1个铅笔盒重d克，则它们的质量关系可以用一个等式来表示：( )。 25．学校舞蹈队有女生36人，女生人数比男生人数的2倍多10人。题中的等量关系式是 。 题型六：方程的认识 26．下面式子中，（    ）是方程。 A． B． C． D． 27．在10－2x＝3x、10y＝20、2x＞y＋4和14＋60＝74四个式子当中，属于方程的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 28．下面式子中，是方程的是（    ）。 ①2.7＋x＝8    ②6.1÷2.3＜3      ③6÷2＝3 ④x－9      ⑤4×3.7＝14.8      ⑥9a＋5b＝21 A．①② B．①③⑤ C．①④⑥ D．①⑥ 29．2x＋8.5＞12，因为该式子中含有字母，所以它是方程。( ) 30．①3＋x＝5、②4＋7＝11、③a＋b＝20、④5m－3、⑤7x＜9、⑥6×9在以上式子中，( )是等式，( )是方程。（填序号） 题型七：列简易方程 31．一个数的小数点向右移动两位，结果比原来增加了39.6，原来这个数是 。 32．故宫博物院面积是72万平方米，比天安门广场面积的2倍少16万平方米。天安门广场的面积是多少万平方米？解：设天安门广场的面积是x万平方米。根据等量关系( )可以列出方程“2x－72＝16”。 33．笑笑买了5支钢笔，每支x元，一共花了( )元；付给售货员50元，找回15元，求每支钢笔多少元？可列方程为( )。 34．看图列方程。 方程： 35．看图列方程。     方程： 题型八：等式的性质1 36．如果a＝b，根据等式的性质填空。 (1)a＋( )＝b＋x。 (2)a÷3.5＝b÷( )。 37．如果，那么、两数相差( )。 38．根据等式的性质，a＝b（a，b都不为0）变式后错误的是（    ）。 A．a＋1.8＝b＋1.8 B．a×2.5＝b÷2.5 C．a8＝b8 D．a2＝ab 39．请根据129＋x＝200＋y，判断x和y的大小。 40．根据等式的性质在圆圈里填运算符号，在括号里填数：如果x＋3＝9，那么x＋3－3＝9○（    ）。 题型九：等式的性质2 41．如果x＝y，根据等式的性质填空。 x÷5＝y÷( )              x－( )＝y－30 42．如果a等于b，根据等式的性质填空。 a×( )＝b×1.7 a－( )＝b－2.7 43．算式（    ）能用“90÷18”求□的值。 A．□×18＝90 B．□＋18＝90 C．□－90＝18 44．在横线上填上运算符号，在（    ）里填上数。 (1)如果x＋5＝8，那么x＋5－5＝8－( )。 (2)如果x－11＝29，那么x－11＋11＝29 ( )。 (3)如果3x＝9，那么3x÷3＝9 ( )。 45．根据等式的性质填空。 (1)已知3m＋4＝6，那么3m＝( )。 (2)已知6a＋4b＝80，那么3a＋2b＝( )。 (3)已知a＋3＝2b，那么( )＝8b。 题型十：应用等式的性质解方程 46．解方程。 （1）x÷0.5＝4.6           （2）5x－39＝61         （3）（3x－6）×3＝81 47．解方程。       4（—3.5）＝1.8          1.8＋6＝39                —0.36＝16 48．解下列方程。 20＋4x＝26               x－0.7x＝9.6 49．解方程。                   50．解方程。 5.5＋x＝9.3          3x－4.8＝16.2 x÷2.4＝7.5          6×8.4＋4x＝87.2 题型十一：解等号两边都有未知数的方程 51．解方程。 ①x÷12＝2.4       ②5x＝3x＋6       ③2（8.5＋x）＝30 52．学校组织春游，需租用汽车若干辆，如果每辆汽车坐40人，则有20人没有上车；如果每辆汽车坐45人，则可空出一辆汽车，并且有一辆车还可再坐10人。问有多少辆汽车？共有多少名学生？ 53．小军原有书的本数是小力的3倍，小军买来7本书，小力买来6本书后，小军所有的书是小力的2倍，小力原来有多少本书？ 54．育才小学组织全体师生进行郊游，租用了若干辆小巴，其中一辆坐了25人，其余每辆小巴坐了30人。途中一辆小巴发生故障无法载人，学校决定其中一辆小巴坐19人，其余每辆小巴坐32人。学校共有师生 人。 55．如下图，天平平衡，请你根据图意列出方程：( )，m＝( )。 题型十二：方程的检验 56．解下列方程，带*的要检验。                            * 57．解方程，带※号的要检验。 （1）x＋24＝59                 ※（2）11x＝12.1 58．解方程。（带△的要检验）                         △ 59．解下列方程。 2.1÷x＝3（检验）            2x－0.8x＝4.8 3x＋8＝13.4（检验）          3（x＋2.1）＝12.6 60．解方程。（带★的要写出检验过程） 2x－97＝34.2    ★2x＋1.5x＝17.5     题型十三：列方程解含有一个未知数的问题 61．甲、乙两列火车从相距950千米的两地同时相向开出。甲车每小时行105千米，乙车每小时行85千米。经过几小时两车相遇？（用方程解答） 62．今年4月30日马拉松比赛中共有2258名志愿者为保马护航，比10月22日的半程马拉松志愿者的2倍还多58名，今年半程马拉松志愿者共多少名？ 63．春节快到了，各超市开始陆续谋划采购年货，某特色店购进了900幅年画，比购进中国结数量的2倍还多20，该特色店购进了多少个中国结？（列方程解答） 64．甲、乙两艘船同时从上海出发开往青岛。经过18小时后，甲船比乙船少行57.6千米。乙船每小时行35.7千米，甲船每小时行多少千米？（用方程解答） 65．有着2000年历史的欧亚大陆通道“丝绸之路”在甘肃省境内总长达1600千米，比兰州至西安的铁路长2.2倍还多170千米，兰州至西安的铁路长多少千米？（列方程解答） 题型十四：列方程解含有两个未知数的问题 66．某服装厂加工车间有54名工人。每个工人每天可以加工8件上衣或10条裤子。如何分配这些工人，才能使每天生产的上衣和裤子能够完美地配套？ 67．某车间加工机轴和轴承。每个工人每天平均可以加工15个机轴或10个轴承。该车间共有80名工人。一根机轴和两个轴承可以组成一套。如何分配工人来加工机轴和轴承，才能使每天生产的机轴和轴承能够完美地配套？ 68．包装厂有42名工人，他们可以生产圆形铁片和长方形铁片。每个工人每小时平均可以生产120张圆形铁片或80张长方形铁片。如果将两张圆形铁片和一张长方形铁片组合在一起，就可以制作出一个密封圆桶。如何安排工人的生产任务，才能使圆形和长方形铁片的配套合理？ 69．某车间有28名工人，他们生产螺栓和螺母。每个工人每小时平均能生产12个螺栓或18个螺母。如何分配工人来生产螺栓和螺母，使它们能够完美地搭配（一个螺栓需要两个螺母）？ 70．毕业在即，六年级某班为纪念师生情谊，班委决定花800元班费买两种不同单价的留念册，分别给50位同学和10位任课教师每人一本纪念，其中送给任课教师的留念册单价比给同学的单价多8元，请问，这两种不同留念册的单价分别是多少？ 题型十五：列方程解决稍复杂的实际问题 71．已知被减数、减数和差的和为592，其中减数比差的2倍还多2，求减数。 72．有一个五位数，在它后面写上一个7，得到一个六位数；在它前面写上一个7，也得到一个六位数。如果第二个六位数是第一个六位数的5倍，那么这个五位数是多少？ 73．小华第一次买3个篮球和5个足球共用去480元，第二次买同样的6个篮球和3个足球共用去519元。篮球和足球的单价各是多少元？ 74．为了响应国家绿色出行的号召，甲、乙、丙三人由开车出行改为步行出行。甲、乙从A地，丙从B地同时出发，相向而行。甲每小时行，乙每小时行，丙每小时行，丙遇到乙后12分钟又遇到甲，求A、B两地相距多少千米？ 75．某校六年级（1）班学生举行春游，若租用45座客车，则有15人没有座位，若租用同样数目的60座客车，则一辆客车空车．已知45座客车租金220元，60座客车租金300元． 问：（1）这个学校六年级（1）班学生多少人？（请用方程解） （2）如果你是班长，你认为应该怎样租车，最经济合算？ 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $