专题02 一元二次方程（期末复习讲义）九年级数学上学期湘教版

该初中数学一元二次方程期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点，将定义解法、根的判别式、韦达定理、实际应用等内容按“考点-目标-考情”对应呈现，配合知识点框架图明确定义、方法步骤及易错点，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层题型设计与解题方法指导，如根的判别式综合题强调分类讨论培养推理能力，动态几何问题通过设参数列方程发展模型意识。典例与变式题结合基础通关、重难突破、综合拓展练习，助力不同层次学生提升，教师可据此实施精准复习教学。

专题02 一元二次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的定义与解法 1. 能识别一元二次方程的标准形式（ax²+bx+c=0，a≠0）。 2. 掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的适用条件及步骤。 1. 选择题（30%）：判断方程类型或解法适用性。 2. 填空题（20%）：直接求解简单方程（如x²=9）。 易错点：忽略a≠0或漏解（如x²=4的解为±2）。 根的判别式（Δ=b²-4ac） 1. 根据Δ值判断根的情况（Δ>0两实根，Δ=0重根，Δ<0无实根）。 2. 逆向应用：已知根的情况求参数范围（如k为何值时方程有实根）。 1. 高频考点（80%概率出现），常见于选择题和解答题。 2. 易混淆Δ=0与Δ≥0的情况，需注意题目要求（如“有实根”包含Δ=0）。 根与系数的关系（韦达定理） 1. 掌握x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a的应用。 2. 能求解对称式（如x₁²+x₂²）或构造新方程。 1. 解答题（50%）：与实际问题或综合题结合（如已知两根之和求参数）。 2. 易错点：符号错误（-b/a漏负号）或未验证Δ≥0的前提。 一元二次方程的实际应用 1. 列方程解几何问题（面积、勾股定理）、增长率问题、利润问题。 2. 检验解的合理性（如边长>0、增长率≤100%）。 1. 压轴题常见（占30%），多与几何、经济问题结合。 2. 易错点：未舍去不合实际的解（如时间为负值）。 知识点01 一元二次方程的基本概念 1.定义: 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程 2.一般形式: (a，b，c为常数，a≠0) 3.项数和系数: (a，b，c为常数，a≠0) 二次项: ;二次项系数:a 一次项: ;二次项系数:b 常数项:c 4.注意事项: (1)含有一个未知数;(2)未知数的最高次数为2;(3)二次项系数不为0;(4)整式方程 示例：判断方程类型： ① （是） ② （否，最高次非2） 易错点：忽略二次项系数 知识点02 解一元二次方程的方法 各种一元二次方程的解法及使用类型 示例：解方程 （直接开平方法） 答案： 易错点：1. 漏解（如的解为） 2. 配方时符号错误 知识点03 一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程(a≠0)的根的判别式 原方程有两个不相等实数根 原方程有两个相等实数根 原方程有两个相等实数根 示例：1.方程的Δ=1>0，有两个不等实根 2.若方程有实根，求k范围 答案：或 易错点：1. 混淆Δ>0（两实根）与Δ≥0（有实根） 2. 计算Δ时漏写负号（如时Δ=） 知识点4 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的两根为，则两根与系数a，b，c的关系是: 注意:根与系数的关系的前提是:方程是一元二次方程，即二次项系数a≠0，且. 示例：1.已知方程的两根为，求 解：， ∴ 2.构造新方程，使两根为原方程根的倒数 解：新方程为 易错点：1. 符号错误（漏负号） 2. 未验证Δ≥0的前提条件 知识点5 一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤 答、审、设、列、解、检 (1)审题:通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系 (2)设元:就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法(3)列方程:就是建立已知量与未知量之间的等量关系，列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题 (4)解方程:正确求出方程的解并注意检验其合理性， (5)作答:即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语 示例：增长率问题：某厂2月产50吨，4月产60.5吨，求月均增长率 解：设增长率r，列方程，解得r=10% 易错点：1. 未舍去不合实际的解（如时间为负、增长率>100%） 2. 单位不统一导致计算错误 题型一 根的判别式综合题 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 看到含参数的一元二次方程，优先计算Δ（判别式），判断根的情况（两实根、重根、无实根）。 怎么做？ 1. 列判别式Δ = b² - 4ac。 2. 根据题目要求（如“有实根”“无实根”）列不等式。 解不等式时注意二次项系数是否为0（需分类讨论）。 易｜错｜点｜拨 忽略二次项系数为0的情况（如方程(k-1)x² + 2x -1=0需讨论k=1时是否为一次方程）。 混淆Δ>0（两不等实根）与Δ≥0（有实根）。 【典例1】（25-26九年级上·河南·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式1】（25-26九年级上·新疆·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【变式2】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【变式3】（24-25八年级下·安徽·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)若此方程有两个相等实数根，请求出这个实数根． 题型二 韦达定理 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 已知两根之和/积，求代数式（如x₁² + x₂²）或构造新方程。 怎么做？ 1. 用x₁ + x₂ = -b/a，x₁x₂ = c/a。 2. 变形公式：x₁² + x₂² = (x₁+x₂)² - 2x₁x₂。 构造新方程时，两根和/积与原方程相反或倒数。 易｜错｜点｜拨 忘记验证Δ≥0的前提条件。 符号错误（如x₁ + x₂ = -b/a漏负号）。 【典例1】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）下列一元二次方程中，两个实数根的和为1的方程是（      ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）已知是方程的两根，则 ． 【变式2】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 【变式3】（24-25九年级上·全国·期末）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求m的取值范围． (2)当时，求m的值． 题型三 动态几何问题 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 动点问题中，设参数表示边长，利用勾股定理或面积公式列方程。 怎么做？ 1. 设动点位置（如运动时间为t）。 2. 用t表示相关线段长度或面积。 解方程时注意t的范围限制。 易｜错｜点｜拨 忽略几何图形存在条件（如三角形两边之和>第三边）。 未分类讨论多解情况。 【典例1】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，动点P从点C出发，以2的速度沿方向运动；同时动点Q从点B出发，以1的速度沿方向运动．则运动 秒后 P、Q两点相距25． 【典例2】（24-25八年级下·安徽·期末）如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动，问几秒后，点P和点Q的距离是？ 【变式1】（24-25八年级上·湖南湘西·期末）如图，在长方形中，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿线段向点C以的速度移动，点P，Q分别从A，B两点同时出发了t秒钟，直至两个动点中某一点到达端点后停止． (1)经过几秒钟后， 的面积等于？ (2)经过几秒钟后，的长度等于？ (3)若的面积为S，写出的面积S关于t的函数关系式，要求写出自变量的取值范围． 【变式2】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，在矩形中，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．点同时出发，当两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．则几秒后，可使的面积为矩形面积的？ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·湖北·期末）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（） A．3，2 B．2，3 C．3， D．3，4 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）方程有实数根，则k的值可以是 ．（写出一个即可） 4．（24-25九年级上·广东清远·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 5．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）青山村种的水稻2022年平均每公顷产，2024年平均每公顷产． (1)求水稻每公顷产量的年平均增长率． (2)按照这样的增长方式，预计2025年平均每公顷产多少？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 2．（24-25九年级上·山东临沂·期末）反比例函数的图象与直线有个交点，且两交点横坐标的积为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中点在第三象限，点在第一象限．若线段的中点坐标为，则实数的值为 ． 4．（23-24八年级下·广西南宁·期末）解方程：． 5．（2024·福建龙岩·模拟预测）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024·江苏南京·中考真题）已知是关于的方程（是有理数，）的一个根，则该方程的另外两个根分别是 ， ． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ． 4．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点． (1)求的值； (2)若，求点坐标； (3)双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标． 5．（2023·湖北黄石·中考真题）关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； (2)已知实数a，b满足：，且，求ab的值； (3)已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的定义与解法 1. 能识别一元二次方程的标准形式（ax²+bx+c=0，a≠0）。 2. 掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的适用条件及步骤。 1. 选择题（30%）：判断方程类型或解法适用性。 2. 填空题（20%）：直接求解简单方程（如x²=9）。 易错点：忽略a≠0或漏解（如x²=4的解为±2）。 根的判别式（Δ=b²-4ac） 1. 根据Δ值判断根的情况（Δ>0两实根，Δ=0重根，Δ<0无实根）。 2. 逆向应用：已知根的情况求参数范围（如k为何值时方程有实根）。 1. 高频考点（80%概率出现），常见于选择题和解答题。 2. 易混淆Δ=0与Δ≥0的情况，需注意题目要求（如“有实根”包含Δ=0）。 根与系数的关系（韦达定理） 1. 掌握x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a的应用。 2. 能求解对称式（如x₁²+x₂²）或构造新方程。 1. 解答题（50%）：与实际问题或综合题结合（如已知两根之和求参数）。 2. 易错点：符号错误（-b/a漏负号）或未验证Δ≥0的前提。 一元二次方程的实际应用 1. 列方程解几何问题（面积、勾股定理）、增长率问题、利润问题。 2. 检验解的合理性（如边长>0、增长率≤100%）。 1. 压轴题常见（占30%），多与几何、经济问题结合。 2. 易错点：未舍去不合实际的解（如时间为负值）。 知识点01 一元二次方程的基本概念 1.定义: 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程 2.一般形式: (a，b，c为常数，a≠0) 3.项数和系数: (a，b，c为常数，a≠0) 二次项: ;二次项系数:a 一次项: ;二次项系数:b 常数项:c 4.注意事项: (1)含有一个未知数;(2)未知数的最高次数为2;(3)二次项系数不为0;(4)整式方程 示例：判断方程类型： ① （是） ② （否，最高次非2） 易错点：忽略二次项系数 知识点02 解一元二次方程的方法 各种一元二次方程的解法及使用类型 示例：解方程 （直接开平方法） 答案： 易错点：1. 漏解（如的解为） 2. 配方时符号错误 知识点03 一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程(a≠0)的根的判别式 原方程有两个不相等实数根 原方程有两个相等实数根 原方程有两个相等实数根 示例：1.方程的Δ=1>0，有两个不等实根 2.若方程有实根，求k范围 答案：或 易错点：1. 混淆Δ>0（两实根）与Δ≥0（有实根） 2. 计算Δ时漏写负号（如时Δ=） 知识点4 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的两根为，则两根与系数a，b，c的关系是: 注意:根与系数的关系的前提是:方程是一元二次方程，即二次项系数a≠0，且. 示例：1.已知方程的两根为，求 解：， ∴ 2.构造新方程，使两根为原方程根的倒数 解：新方程为 易错点：1. 符号错误（漏负号） 2. 未验证Δ≥0的前提条件 知识点5 一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤 答、审、设、列、解、检 (1)审题:通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系 (2)设元:就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法(3)列方程:就是建立已知量与未知量之间的等量关系，列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题 (4)解方程:正确求出方程的解并注意检验其合理性， (5)作答:即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语 示例：增长率问题：某厂2月产50吨，4月产60.5吨，求月均增长率 解：设增长率r，列方程，解得r=10% 易错点：1. 未舍去不合实际的解（如时间为负、增长率>100%） 2. 单位不统一导致计算错误 题型一 根的判别式综合题 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 看到含参数的一元二次方程，优先计算Δ（判别式），判断根的情况（两实根、重根、无实根）。 怎么做？ 1. 列判别式Δ = b² - 4ac。 2. 根据题目要求（如“有实根”“无实根”）列不等式。 解不等式时注意二次项系数是否为0（需分类讨论）。 易｜错｜点｜拨 忽略二次项系数为0的情况（如方程(k-1)x² + 2x -1=0需讨论k=1时是否为一次方程）。 混淆Δ>0（两不等实根）与Δ≥0（有实根）。 【典例1】（25-26九年级上·河南·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；通过将方程化为标准形式，计算判别式Δ的值，根据Δ的符号判断根的情况即可． 【详解】解：∵原方程为， ∴化为标准形式：， 其中，，， ∴判别式， ∵， ∴方程有两个相等的实数根； 故选B． 【变式1】（25-26九年级上·新疆·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的根的情况求参数．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，需满足二次项系数不为零且判别式大于零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵方程 有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， 即， ∴， ∴ ， 综上，且， 故选：C 【变式2】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键． 由根的判别式可得且，然后求解即可解答． 【详解】解：由题意得，且， 解得：且． 故选：D． 【变式3】（24-25八年级下·安徽·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)若此方程有两个相等实数根，请求出这个实数根． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）根据一元二次方程根的定义和判别式得出，，根据二次根式有意义的条件得出，解不等式即可； （2）根据方程有两个相等的实数根得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：原方程可变为， ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又，， 解得，， ∴且； （2）解：根据题意知：， 解得：， 则方程为，即， 则， ∴， 解得． 题型二 韦达定理 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 已知两根之和/积，求代数式（如x₁² + x₂²）或构造新方程。 怎么做？ 1. 用x₁ + x₂ = -b/a，x₁x₂ = c/a。 2. 变形公式：x₁² + x₂² = (x₁+x₂)² - 2x₁x₂。 构造新方程时，两根和/积与原方程相反或倒数。 易｜错｜点｜拨 忘记验证Δ≥0的前提条件。 符号错误（如x₁ + x₂ = -b/a漏负号）。 【典例1】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）下列一元二次方程中，两个实数根的和为1的方程是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，对于方程 ，两根之和为．计算各选项的该值，判断是否等于1． 【详解】解：A．，，； B．，，； C．，，； D．，，； 只有D选项的两根之和为1． 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）已知是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系．一元二次方程的根与系数的关系：，．根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴， 解得． 【变式3】（24-25九年级上·全国·期末）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求m的取值范围． (2)当时，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，根与系数的关系，因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是熟练一元二次方程的基础知识． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 解得； （2）由根与系数的关系可得：， 由可得 即，化简可得： 解得， 又∵ ∴ 题型三 动态几何问题 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 动点问题中，设参数表示边长，利用勾股定理或面积公式列方程。 怎么做？ 1. 设动点位置（如运动时间为t）。 2. 用t表示相关线段长度或面积。 解方程时注意t的范围限制。 易｜错｜点｜拨 忽略几何图形存在条件（如三角形两边之和>第三边）。 未分类讨论多解情况。 【典例1】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，动点P从点C出发，以2的速度沿方向运动；同时动点Q从点B出发，以1的速度沿方向运动．则运动 秒后 P、Q两点相距25． 【答案】10 【分析】本题考查了动点问题、勾股定理及解一元二次方程，根据题意用时间准确表示出，的长并找到等量关系是解题的关键．设运动时间为x秒，则，，根据图形知，根据勾股定理列出方程，解出即可． 【详解】解：设运动x秒后P、Q两点相距25， 则，， 由题意，得， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去， 故答案为： 【典例2】（24-25八年级下·安徽·期末）如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动，问几秒后，点P和点Q的距离是？ 【答案】或后点P和点Q的距离是 【分析】作交于E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键． 【详解】解：过点P作交于E．则， 设运动时间为t秒， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形和是矩形， ∴，，， 在中，， 可得：， 解得． 答：P、Q两点从出发开始或后，点P和点Q的距离是． 【变式1】（24-25八年级上·湖南湘西·期末）如图，在长方形中，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿线段向点C以的速度移动，点P，Q分别从A，B两点同时出发了t秒钟，直至两个动点中某一点到达端点后停止． (1)经过几秒钟后， 的面积等于？ (2)经过几秒钟后，的长度等于？ (3)若的面积为S，写出的面积S关于t的函数关系式，要求写出自变量的取值范围． 【答案】(1)1秒 (2)2秒 (3) 【分析】（1）由题意得，t秒后，，，根据，列方程求出t的值即可； （2）在中，, , , ，根据勾股定理列方程，求出t的值即可； （3）根据，将，代入化简即可． 【详解】（1）解：由题意得，t秒后，，， ∵， ∴， 解得，． 由题意得P点从A点运动到B点需要秒，Q点从B点运动到C点需要秒， ∴， ∴不合题意，舍去． ∴经过1秒钟后，的面积等于4cm2． （2）解：在中，, , , ， ∴， ∴， 解得（舍去）, ． ∴经过2秒钟后，的长度等于5cm． （3）解：由题意得 ． 【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，根据题意表示出线段和的长是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，在矩形中，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．点同时出发，当两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．则几秒后，可使的面积为矩形面积的？ 【答案】2秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设t秒后，可使的面积为矩形面积的，可得到关于t的方程，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， 由题意知：，，其中， ∴， ∴， 解得：， 答：2秒后，可使的面积为矩形面积的 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·湖北·期末）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（） A．3，2 B．2，3 C．3， D．3，4 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，一元二次方程中，二次项系数是a，一次项系数是b，常数项是c． 【详解】解：对于方程，二次项系数为3，一次项系数为． 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法，解答时熟练掌握配方法的步骤是关键．先将常数项移到等号的右边，在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成一个完全平方式即可． 【详解】解：移项，得 配方，得 即 故答案为：C． 3．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）方程有实数根，则k的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】1（大于等于1的数均可） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，先把原方程化为一般式，再由题意可得判别式大于等于0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴k的值可以是1， 故答案为：1（大于等于1的数均可）． 4．（24-25九年级上·广东清远·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）青山村种的水稻2022年平均每公顷产，2024年平均每公顷产． (1)求水稻每公顷产量的年平均增长率． (2)按照这样的增长方式，预计2025年平均每公顷产多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设水稻每公顷产量的年平均增长率为，根据2022年及2024年该村水稻平均每公顷的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用2025年平均每公顷产量年平均每公顷产量（增长率），列式计算即可． 【详解】（1）解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为， 则有：， 解得：，（应舍去）， 故水稻每公顷产量的年平均增长率为； （2）解：， 答：预计2025年平均每公顷产． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：①二次项系数不为零，②在有实数根下必须满足，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：且， 故选：D． 2．（24-25九年级上·山东临沂·期末）反比例函数的图象与直线有个交点，且两交点横坐标的积为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题，将两个解析式联立，得出整式方程，由图象有两个交点，可得有两个不相等的实数根，由两交点横坐标的积为负数，可得，求不等式组的解集即可． 【详解】解：将与联立，得：， 化为整式方程，得：， 反比例函数的图象与直线有个交点，且两交点横坐标的积为负数， 有两个不相等的实数根，且， ， 解得， 故选：B． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中点在第三象限，点在第一象限．若线段的中点坐标为，则实数的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，中点的坐标，一元二次方程根与系数的关系，设点A的坐标为，点B的坐标为，根据中点坐标得到，由与联立得到，由根与系数关系得到，得到，由得到，即可得到答案． 【详解】解：设点A的坐标为，点B的坐标为， ∵线段的中点坐标为， ∴， 即 ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，∴，， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：1． 4．（23-24八年级下·广西南宁·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了利用公式法求解一元二次方程，熟练掌握公式法定义是解题的关键． 根据公式法的定义先求得根的判别式的值，再利用公式求解即可． 【详解】解： ，，， ， ， ，． 5．（2024·福建龙岩·模拟预测）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)50 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题综合考查了整式与配方法，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当，时，整式M为， 当时，整式M不可能为单项式， 当时， ，，…，为正整数， 整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确； 当时，， 当时，， 则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，， 当时，， 则故会有一种情况，对应的整式M为， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 满足条件的所有整式M的和为，故②错误； 多项式为二次三项式， ， ， 因为多项式为三项式，故， 当时，， 则有两种， ，， 两种都满足条件， 当时，， 则有一种， ， 满足条件， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确， 其中正确的个数是个， 故选：C． 2．（2024·江苏南京·中考真题）已知是关于的方程（是有理数，）的一个根，则该方程的另外两个根分别是 ， ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据中或，再根据是关于的方程的根，从而得出的另一个根，关键是掌握一元二次方程解的情况． 【详解】解：关于的方程（是有理数，）中，或， 即或， ，且 是有理数， ，中的一个为， 也是关于的方程（是有理数，）的一个根， 该方程的另外两根分别是2和． 故答案为：2，． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分、两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式求解即可． 【详解】解：当时，． 当时，可得，解得：，符合题意； 当时，可得，解得：，不符合题意； 当时， ，则 ∴． ∵关于x的方程的所有根都是比1小的正实数， ∴，解得：，，解得：，即． 综上可得，实数m的取值范围是或． 故答案为：或． 4．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点． (1)求的值； (2)若，求点坐标； (3)双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标． 【答案】(1) (2) (3)射线绕点旋转后与的交点坐标为或. 【分析】（1）点在反比例函数上，可得，即，将代入正比例函数中，进一步求解即可； （2）设，结合过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．可得，可得，再解方程进一步求解即可； （3）求解，如图，由旋转可得：，，过作轴于，过作轴于，证明，可得，证明在的图象上；结合反比例函数是中心对称图形可得：，从而可得答案. 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴，即， 将代入正比例函数中， 得， 解得：； （2）解：∵在直线上， 设， ∵过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点． ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴； （3）解：∵双曲线关于轴对称的图象为， ∴， 如图， 由旋转可得：，， 过作轴于，过作轴于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， ∴在的图象上； 由反比例函数是中心对称图形可得：， ∴射线绕点旋转后与的交点坐标为或. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，中心对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的作出图形利用函数性质解题是关键. 5．（2023·湖北黄石·中考真题）关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； (2)已知实数a，b满足：，且，求ab的值； (3)已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 【答案】(1) (2)2 (3)0 【分析】（1）依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解； （2）依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解； （3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解． 【详解】（1）依据题意， 将代入得， 解得， ∵黄金分割数大于0， ∴黄金分割数为． （2）∵， ∴， 则． 又∵， ∴，是一元二次方程的两个根， 则， ∴． （3）∵，； ∴； 即； ∴． 又∵； ∴； 即． ∵，为两个不相等的实数， ∴， 则， ∴． 又∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $