7.2.2平行线的判定 导学案 2025-2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学导学案聚焦平行线的判定，引导学生理解同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等判定方法，通过课前预习回顾三线八角、画平行线操作关联旧知，课堂梳理知识与题型应用构建学习支架。 资料突出数学语言规范书写，题型涵盖单一、综合应用及逆向思维，巩固与拓展练习结合，培养抽象能力、推理意识和应用意识，助力核心素养提升，适合课堂教学与学生自主学习使用。

平行线的判定 一、学习目标 1.理解平行线三种判定方法的逻辑条件与结论， 2.掌握符号语言的规范书写（核心素养：数学语言表达）。 二、课前预习 1. 知识衔接（关联旧知，铺垫新知） （1）如图 ，直线 a、b 被直线 c 所截，形成 8 个角。其中∠1 与∠5 是______角，∠3 与∠5 是______角，∠2与∠5 是______角；若∠1=∠5=110°此时直线 a 与 b 的位置关系可初步判断为______。 （2）回忆：借助直尺和三角板画平行线，保持直尺不动，沿直尺推动三角尺，分别画直线a,b,则a//b. 在此过程中请问三角尺起着怎样的作用？ 三角尺的作用：画出了一对相等的__________ 于是有了“__________相等，两直线________”的基本事实。 文字语言叙述：_______________________________________________________。 简单地说：____________________。 三、课堂学习 （一）知识梳理 1.基本事实 一般地，有如下利用同位角判定两条直线平行的基本事实： 判定方法1:两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行. 图中，除了∠2=∠6，还有哪些角相等也能说明“同位角相等两直线平行”？ _______________________________________________________。 几何语言叙述：∵_____________或者______________ ∴______________（___________________________） 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行. 图中，有哪些内错角相等能说明两直线平行？为什么？ _______________________________________________________。 几何语言叙述：∵_____________或者______________ ∴______________（___________________________） 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行. 图中，有哪些内错角同旁内角互补能说明两直线平行？为什么？ _______________________________________________________。 几何语言叙述：∵_____________或者______________ ∴______________（___________________________） 思考：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗?为什么? 总结：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 填写下表： 判定 方法 图形 文字 表述 符号 语言 判定 1 判定 2 判定 3 补充 （二）题型梳理 题型1：单一判定的方法应用，规范书写 题型2：多判定方法综合应用，加深理解 题型3： 逆向思维，由平行找平行的条件 例 1如图 ，直线MN交AB于 E，交CD于F，∠AEF=110°，∠DFN=70°。求证：AB∥CD。 【分析】本题考查了对顶角，同旁内角互补两直线平行的判定． 【详解】解： ∵， 又∵ ∴， ∴AB//CD． 例 2 如图，(1)∠1=∠A，则____________，依据是 ； ⑵∠3=∠B ，则____________，依据是 ； ⑶∠2+∠A=180°，则____________，依据是 ； ⑷∠1=∠4 , 则____________，依据是 ； ⑸∠C+∠B=180°, 则____________，依据是 ； ⑹∠4=∠A ，则____________，依据是 ； A B F E G D C 1 2 3 4 【分析】平行线的判定． 【详解】解： 如图，(1)∠1=∠A，则GC//AB，依据是 内错角相等，两直线平行； ⑵∠3=∠B ，则EF//AB，依据是 同位角相等，两直线平行； ⑶∠2+∠A=180°，则GC//AB，依据是 同旁内角互补，两直线平行； ⑷∠1=∠4 , 则GC//EF，依据是内错角相等，两直线平行； ⑸∠C+∠B=180°, 则GC//AB依据是 同旁内角互补，两直线平行； ⑹∠4=∠A ，则EF//AB，依据是 同位角相等，两直线平行； ； 例3. 如图所示,已知直线 且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则与c平行吗?�为什么? 答案：平行 【分析】本题考查了平行线的判定及平行的传递性． 【详解】解： 如图，∵∠1=∠2，∴a//b，依据是 内错角相等，两直线平行； 又∵∠3=∠4 ，∴ b//c，依据是 同旁内角互补，两直线平行； ∴a//c 依据是如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 例4 如图，在四边形ABCD中，∠1=∠A,∠3=∠4,那么AB∥CD ，AD∥BC．请说明理由。 【分析】本题考查了平行线的判定及补角的性质、邻补角的性质． 【详解】解： 如图，∵∠1=∠A ∴AB//CD（同位角相等，两直线平行） ∵∠1+∠3，∠2+∠4，（邻补角的定义） 又∵∠3=∠4 ， ∴∠1=∠2（等角的补角想的） ∵∠1=∠A ∴∠A=∠2（等量代换） ∴ AD//BC，依据是 同位角相等，两直线平行； 例5如图，点在的延长线上，给出四个条件：；；；．其中能判断的有 ．（填写所有满足条件的序号） 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，符合题意； ∵， ∴，不符合题意； ∵， ∴，符合题意； ∵， ∴，符合题意； 综上可知，能判断的有， 故答案为：． 4、 巩固练习 1．利用直尺和三角尺画平行线的道理是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．平行于同一直线的两条直线互相平行 【答案】A 【分析】本题考查了利用直尺和三角尺画平行线，熟练掌握利用直尺和三角尺画平行线的方法是解题关键．利用直尺和三角尺画平行线时，通过固定三角尺的角度并沿直尺平移，确保形成的同位角相等，再根据同位角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：利用直尺和三角尺画平行线时，通过固定三角尺的角度并沿直尺平移，确保形成的同位角相等， 所以利用直尺和三角尺画平行线的道理是同位角相等，两直线平行， 故选：A． 2. 能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定条件，熟知平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：A、由可以得到，故本选项不符合题意； B、由可以得到，故本选项符合题意； C、由，可以得到，故本选项不符合题意； D、由，可以得到，故本选项不符合题意， 故选：B． 3．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握“同位角相等、内错角相等或者同旁内角互补，则两直线平行”是解题的关键． 根据平行线的判定定理逐项判定即可． 【详解】选项A：同位角相等，两直线平行，符合题意； 选项B：内错角相等，两直线平行，符合题意； 选项C：两个同位角的和为，无法判断两直线的关系，不符合题意 选项D：， ， 同旁内角互补，两直线平行，符合题意； 故选：C． 4．如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键；根据平行线的判定逐项判断即可． 【详解】解：、，则，故本选项不符合题意； 、由可得，则，故本选项不符合题意； 、，则，故本选项符合题意； 、由可得，则，故本选项不符合题意； 故选：． 5．如图，补全下面的说理过程： （1）因为，所以 （ ）． （2）因为，所以 （ ）． 【答案】 同位角相等，两直线平行 同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． （1）（2）根据“同位角相等，两直线平行”求解即可． 【详解】解：（1）因为，所以（同位角相等，两直线平行）． （2）因为，所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：①，②，③同位角相等，两直线平行，④，⑤，⑥同位角相等，两直线平行． 6．推理填空： 如图：若， 则______ ______（______ ） 若， 则____________（______ ） 当____________时， （______ ） 当____________时，（______） 【答案】；；内错角相等，两直线平行；；；同旁内角互补，两直线平行；；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定和性质： 根据平行线的判定内错角相等，两直线平行即可得到结论； 根据平行线的判定同旁内角互补，两直线平行即可得到结论； 根据平行线的性质两直线平行，同位角相等即可得到结论； 根据平行线的性质两直线平行，同旁内角互补即可得到结论． 【详解】解：， 内错角相等，两直线平行， 故答案为：，，内错角相等，两直线平行； ， 同旁内角互补，两直线平行， 故答案为：，，同旁内角互补，两直线平行； ， 两直线平行，同位角相等， 故答案为：，，两直线平行，同位角相等； ， ， 故答案为：，，两直线平行，同旁内角互补． 7．几何填空题： 完成下列说理过程：如图已知直线被直线所截，，，，试说明． 证明：，（已知） （              ） （      ）（      ）（                              ） 又，（已知） （      ）（      ）（             ） （      ）（      ）（                               ） （                          ） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与传递性，熟练掌握平行线的判定是解题的关键，由可得，再由可得，最后利用平行线的传递性即可求解． 【详解】证明：，（已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） 又，（已知） （同旁内角互补，两直线平行） （平行线的传递性） 8．已知：如图，直线，被直线所截，，，说明：． 解：因为与直线相交于点E，， 所以________． 因为， 所以________， 所以________________（________________）（填推理的依据）． 【答案】；；；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据题中思路解答即可． 【详解】解：因为与直线相交于点E，， 所以． 因为， 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；；；；同旁内角互补，两直线平行． 9．填空：如图， (1)因为， 所以____________（______）． (2)因为______， 所以（______）． (3)因为， 所以____________（______）． 【答案】(1)；；内错角相等，两直线平行 (2)；同位角相等，两直线平行 (3)；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定． （1）根据平行线的判定定理求解即可； （2）根据平行线的判定定理求解即可； （3）根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：；；内错角相等，两直线平行； （2）解：因为， 所以（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；同位角相等，两直线平行； （3）解：因为， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：；；同旁内角互补，两直线平行． 10．如图，直线，被直线所截，平分，，．求证：．    【答案】见解析． 【分析】根据角平分线的定义，可证得，结合，即可证明结论． 【详解】∵平分，， ∴． 又， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义和平行线的判定，牢记平行线判定的方法是解题的关键． 5、 拓展练习 1. 如图，木工常用角尺画平行线，其中的道理是________ 【答案】同位角相等，两直线平行 2．下列图形中，由能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等时，两直线平行）是解题的关键． 依次分析每个选项中能否判定． 【详解】解：选项A，∵ ， ∴ （内错角相等，两直线平行），不能判定． 选项B，∵ ，且的对顶角与是同位角且相等， ∴ （同位角相等，两直线平行）． 选项C，，不能判定． 选项D，，不能判定． 故选：B． 3．如图所示，以下条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，结合同位角相等，两直线平行，即，故，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意； B、∵，∴不能证明，故该选项不符合题意； C、∵，∴不能证明，故该选项不符合题意； D、∵，∴，故该选项符合题意； 故选：D 4．如图，要判定，可以添加的条件是 （写一个即可）． ​ 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，根据平行线判定方法添加条件即可． 【详解】解：要判定， 根据同位角相等，两直线平行，可添：， 根据内错角相等，两直线平行，可添： ， 根据同旁内角互补，两直线平行，可添：，． 故答案为：（答案不唯一）． 5．如图，现给出下列条件：①；②；③；④；能判定的条件有 （填序号）；能判定的条件有 （填序号）． 【答案】 ①③④ ② 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握“同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键． 【详解】①， ． ②， ． ③， ． ④， ． 综上，能判定的条件有①③④；能判定的条件有②． 故答案为：①③④；②． 6．下列命题： ①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直； ②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直； ③内错角相等，则它们的角平分线互相垂直； ④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直．其中正确的是（    ）． A．②④ B．②③ C．①④ D．①③ 【答案】A 【分析】本题主要考查角平分线的定义、邻补角的性质和垂线，利用邻补角的定义、垂直的定义、平行线的性质等知识对各个命题进行判断后即可确定正确的答案． 【详解】解：①、两条直线相交，同角的补角一定相等，这两条直线不一定垂直，错误； ②、两条直线相交，一角与其邻补角互补且相等，则这两条直线垂直；正确． ③、内错角相等，则它们的角平分线互相平行，错误． ④、同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，正确； 故选：A． 7．如图，已知直线a，b，c被d所截，且，．试说明：． 解：因为（已知） （___________） 所以___________=___________（等量代换） 所以______________________（___________） 又因为（已知） 所以______________________（___________） 【答案】对顶角相等，2，3，a，c，同位角相等，两直线平行，b，c，平行于同一直线的两条直线互相平行 【分析】根据对顶角相等得到，从而得到，再根据平行线的判定定理得到，从而根据平行线的推论证得． 【详解】解：因为（已知） （对顶角相等） 所以2=3（等量代换） 所以ac（同位角相等，两直线平行） 又因为（已知） 所以bc（平行于同一直线的两条直线互相平行） 【点睛】此题考查了平行线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握性质定理． 8．完善下面解题步骤，并说明解题依据．如图，已知，，垂足为点B、F，，求证：． 证明：∵，， ∴（    ） ∴（    ）（          ） 又∵， ∴（    ）（    ）（          ） ∴（    ）（    ）（          ） 【答案】；；同位角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；；；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【分析】结合垂直的定义，根据平行线的判定，完成证明过程即可． 【详解】证明：∵，， ∴ ∴（同位角相等，两直线平行） 又∵， ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） 【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的判定，平行线公理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法． 9.如图∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A=∠C，∠B=∠D， 那么AB∥CD ，AD∥BC．请说明理由。 D A B C 【分析】本题考查了同旁内角互补两直线平行的判定． 【详解】解： ∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A=∠C，∠B=∠D， ∴2， ∴， ∴AD//BC 同理：AB//CD． 10.如图，AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD,且∠1+∠2=90°,请说明AB//CD的理由. 【分析】本题考查了同旁内角互补两直线平行的判定和角平分线的定义． 【详解】解： ∵AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD ∴∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2 ∵∠1+∠2=9 ∴， ∴AB//CD． 学科网（北京）股份有限公司 $ 平行线的判定 一、学习目标 1.理解平行线三种判定方法的逻辑条件与结论， 2.掌握符号语言的规范书写（核心素养：数学语言表达）。 二、课前预习 1. 知识衔接（关联旧知，铺垫新知） （1）如图 ，直线 a、b 被直线 c 所截，形成 8 个角。其中∠1 与∠5 是______角，∠3 与∠5 是______角，∠2与∠5 是______角；若∠1=∠5=110°此时直线 a 与 b 的位置关系可初步判断为______。 （2）回忆：借助直尺和三角板画平行线，保持直尺不动，沿直尺推动三角尺，分别画直线a,b,则a//b. 在此过程中请问三角尺起着怎样的作用？ 三角尺的作用：画出了一对相等的__________ 于是有了“__________相等，两直线________”的基本事实。 文字语言叙述：_______________________________________________________。 简单地说：____________________。 三、课堂学习 （一）知识梳理 1.基本事实 一般地，有如下利用同位角判定两条直线平行的基本事实： 判定方法1:两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行. 图中，除了∠2=∠6，还有哪些角相等也能说明“同位角相等两直线平行”？ _______________________________________________________。 几何语言叙述：∵_____________或者______________ ∴______________（___________________________） 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行. 图中，有哪些内错角相等能说明两直线平行？为什么？ _______________________________________________________。 几何语言叙述：∵_____________或者______________ ∴______________（___________________________） 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行. 图中，有哪些内错角同旁内角互补能说明两直线平行？为什么？ _______________________________________________________。 几何语言叙述：∵_____________或者______________ ∴______________（___________________________） 思考：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗?为什么? 总结：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 填写下表： 判定 方法 图形 文字 表述 符号 语言 判定 1 判定 2 判定 3 补充 （二）题型梳理 题型1：单一判定的方法应用，规范书写 题型2：多判定方法综合应用，加深理解 题型3： 逆向思维，由平行找平行的条件 例 1如图 ，直线MN交AB于 E，交CD于F，∠AEF=110°，∠DFN=70°。求证：AB∥CD。 例 2如图， (1)∠1=∠A ，则____________，依据是 ； ⑵∠3=∠B ，则____________，依据是 ； ⑶∠2+∠A=180°，则____________，依据是 ； ⑷∠1=∠4 , 则____________，依据是 ； ⑸∠C+∠B=180°, 则____________，依据是 ； ⑹∠4=∠A ，则____________，依据是 ； A B F E G D C 1 2 3 4 例3. 如图所示,已知直线 且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则与c平行吗?�为什么? 例4 如图，在四边形ABCD中，∠1=∠A,∠3=∠4,那么AB∥CD ，AD∥BC．请说明理由。 例5如图，点在的延长线上，给出四个条件：；；；．其中能判断的有 ．（填写所有满足条件的序号） 4、 巩固练习 1．利用直尺和三角尺画平行线的道理是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．平行于同一直线的两条直线互相平行 2. 能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，补全下面的说理过程： （1）因为，所以 （ ）． （2）因为，所以 （ ）． 6．推理填空： 如图：若， 则______ ______（______ ） 若， 则____________（______ ） 当____________时， （______ ） 当____________时，（______） 7．几何填空题： 完成下列说理过程：如图已知直线被直线所截，，，，试说明． 证明：，（已知） （              ） （      ）（      ）（                              ） 又，（已知） （      ）（      ）（             ） （      ）（      ）（                               ） （                          ） 8．已知：如图，直线，被直线所截，，，说明：． 解：因为与直线相交于点E，， 所以________． 因为， 所以________， 所以________________（________________）（填推理的依据）． 9．填空：如图， (1)因为， 所以____________（______）． (2)因为______， 所以（______）． (3)因为， 所以____________（______）． 10．如图，直线，被直线所截，平分，，．求证：．    5、 拓展练习 1. 如图，木工常用角尺画平行线，其中的道理是________ 2．下列图形中，由能判定的是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，以下条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，要判定，可以添加的条件是 （写一个即可）． ​ 5．如图，现给出下列条件：①；②；③；④；能判定的条件有 （填序号）；能判定的条件有 （填序号）． 6．下列命题： ①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直； ②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直； ③内错角相等，则它们的角平分线互相垂直； ④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直．其中正确的是（    ）． A．②④ B．②③ C．①④ D．①③ 7．如图，已知直线a，b，c被d所截，且，．试说明：． 解：因为（已知） （___________） 所以___________=___________（等量代换） 所以______________________（___________） 又因为（已知） 所以______________________（___________） 8．完善下面解题步骤，并说明解题依据．如图，已知，，垂足为点B、F，，求证：． 证明：∵，， ∴（    ） ∴（    ）（          ） 又∵， ∴（    ）（    ）（          ） ∴（    ）（    ）（          ） 9.如图∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A=∠C，∠B=∠D， 那么AB∥CD ，AD∥BC．请说明理由。 D A B C 10.如图，AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD,且∠1+∠2=90°,请说明AB//CD的理由. 学科网（北京）股份有限公司 $