专题06 圆中的重要模型之圆弧的中点模型（几何模型讲义）数学北师大版九年级下册

该初中数学讲义以“圆弧中点模型”为核心，通过知识框架图系统梳理圆中三大模型，整合垂径定理、圆周角定理等知识点，清晰呈现“垂径定理相关模型”“圆周角定理相关母子模型”“两者结合模型”的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于真题驱动的分层练习设计，如结合2025年广东深圳模拟题，通过模型应用例题培养学生推理能力与几何直观，基础题巩固模型应用，综合题提升创新意识，助力教师实施精准教学，学生自主复习时可按需突破。

专题06 圆中的重要模型之圆弧的中点模型 当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面：三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，弧，圆心角，圆周角的关系等等。其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上，还要注意各知识点之间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的综合题型以及压轴题型。 当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.与垂径定理相关的中点模型 6 模型2.与圆周角定理相关的中点模型（母子模型） 9 模型3.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型 12 16 ‌ 圆弧中点是初中数学圆几何中的重要解题工具，主要来源于对圆中垂径定理和圆周角定理的深入应用。该模型通过连接圆心与弧中点，构造垂径关系或利用圆周角性质，解决与切线、相似三角形、线段比例等相关的问题。圆弧中点模型作为几何学中处理弧中点性质的核心工具，其历史演进融合了东西方数学思想。 古希腊数学家托勒密在《天文学大成》中证明的‌托勒密定理，首次隐含圆弧中点对弦长比例的约束作用，为模型提供了早期定量基础。阿拉伯学者的核心突破‌系统完善‌垂径定理‌：严格证明圆弧中点与圆心的连线必垂直平分对应弦，确立“弧中点→弦中点→垂直关系”的逻辑链条。宋代数学家基于弦长与圆心角关系，明确“等弧对等弦”性质，强化圆弧中点的对称应用。 （2025·广东深圳·模拟预测）如图，在Rt中，，点为斜边上一点，以为直径的交于点，交于点，连接，与的延长线相交于点． (1)请从以下条件中：①；②点是弧的中点；③．选择一个能证明是切线的条件，你选择的条件是___________，并写出证明过程； (2)若是的切线，连接，若，，求的长． 【答案】(1)②，证明见解析(2) 【详解】（1）解：选择条件②，证明如下：连接，，则：， ∵点是弧的中点，∴，∴，∴， ∴，∴，∴， 又∵是的半径，∴是切线； （2）∵为直径，∴，∵，∴， ∵是切线，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 在中，，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，即：，∴，∴． （24-25九年级上·湖北荆州·期中）如图，为的直径，点C，D为直径同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作于点E，交于点G，延长，交于点F． (1)如图①，若，求证：；(2)如图②，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析(2)的半径为 【详解】（1）证明：如图①，连接，， ，，， ∵点D为的中点，，，，； （2）解：如图②，连接，，为的直径，，，， ，，，，， 设的半径为r，则，在中，， ，解得，的半径为． 1）与垂径定理相关的中点模型 图1 图2 图3 1）条件：如图1，已知点P是中点，连接OP，结论：OP⊥AB； 2）条件：如图2，已知点P是中点，过点P作MN∥AB，结论：MN是圆O的切线； 3）条件：如图3，点P是中点，连接BP、AP，若∠BPN=∠A，结论：MN是圆O切线。 证明：1）根据垂径定理易得：OP⊥AB； 2）由1）知：OP⊥AB，∵MN∥AB，∴OP⊥MN，∴MN是圆O的切线。 3）由1）知：OP⊥AB，∴∠BPO+∠ABP=90°，∵P是中点，∴，∴∠ABP=∠BAP， ∵∠BPN=∠A，∴∠BPN=∠ABP，∴∠BPO+∠BPN=90°，∴MN是圆O的切线。 2）与圆周角定理相关的中点模型（母子模型） 1）条件：如图1，已知点P是中点，点C是圆上一点，结论：∠PCA=∠PCB． 2）条件：如图2，已知点P是半圆中点，结论：∠PCA=∠PCB=45°． 3）条件：如图3，已知点P是中点，结论：∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB；△PDA∽△PAC； △PDB∽△PBC；△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB。 证明：1）∵P是中点，∴，∴∠PCA=∠PCB， 2）∵P是中点，∴，∴∠PCA=∠PCB， ∵AB是直径，∴∠CPB=90°，∴∠PCA=∠PCB=45°， 3）∵P是中点，∴，∴∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB， ∵∠PCA=∠PAD，∠APD=∠CPA，∴△PDA∽△PAC； ∵∠PCB=∠APB，∠BPD=∠CPB，∴△PDB∽△PBC； ∵，∴∠P=∠B，∵∠PCB=∠ACP，∴△CAP∽△CDB； ∵，∴∠P=∠A，∵∠ACD=∠PCB，∴△CAD∽△CPB。 3）垂径定理与圆周角定理结合的中点模型 条件：如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，连结PB交AC于点F。 结论：AD=PD=FD，PQ=AC，AP2=AD×AC=AH×AB=PF×PB． 证明：1）∵P是中点，∴， ∵AB是直径，PH⊥AB，∴，∴.∴∠APD=∠PAD，∴AD=PD， ∵AB是直径，∴∠APB=90°，∴∠PAD+∠PFA=90°，∠APD+∠FPD=90°， ∴FPD=∠PFA，∴FD=PD，∴AD=PD=FD，∵，∴，∴PQ=AC， ∵，∴∠APQ=∠PCA，∵∠DAP=∠PAC，∴△PAC∽△DAP；∴，∴AP2=AD×AC， ∵，∴∠APQ=∠ABP，∵∠HAP=∠PAB，∴△HAP∽△PAB；∴，∴AP2=AH×AB， ∵，∴∠PAC=∠ABP，∵∠APF=∠BPA，∴△APF∽△BPA；∴，∴AP2=PF×PB， 模型1.与垂径定理相关的中点模型 例1（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在半径为的中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且，下列四个结论：①；②；③扇形的面积为；④四边形是菱形．其中正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：∵点是劣弧的中点，∴，∴， ∵，∴（等腰三角形的三线合一），则结论①正确； 设交于点，∴，∵的半径为，∴， 由圆周角定理得：，∴， ∴，∴，∴，则结论②错误； ∵，∴， ∴扇形的面积为，则结论③正确； ∵，∴是等边三角形，∴，同理可得：， ∴，∴四边形是菱形，则结论④正确； 综上，正确结论的序号是①③④，故选：D． 例2（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，弦与直径交于点，点是圆上一点，点为的中点，过点的切线与延长线交于点，且，若，，则 ， ． 【答案】 1 【详解】解：连接，如图；∵点为的中点，是直径，∴垂直平分， ，   ， 设，则，， ，， 在中，，， 解得（负值不合题意，已经舍去），； 连接，过作于点，是的切线 ，， ，  ，， ，，（同弧所对的圆周角相等）， ，，， 四边形为平行四边形，， 由（1）知，在中，，，， ，，    ，，， ，，．故答案为：1，． 例3（2025·北京·模拟预测）如图，是的直径，弧弧，与交于点，的切线交的延长线于点． (1)求证：；(2)连接并延长，交的延长线于点．若为的中点，的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接，， 弧弧，，又，， 是的切线，，； （2）解：为中点，，， 在中，，， ，，，， 在和中，，， ，，，． 例4（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图是的直径，点C、E在上，E是劣弧的中点，连接，且与交于D点，F是延长线上的一点，且． (1)求证：EF是的切线．(2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接，∵∴ ∵E是劣弧的中点∴ ∵∴ ∵是的直径∴ ∴ ∴∴是的切线 （2）∵的半径为5，∴ 由（1）可知，在中， ∵E是劣弧的中点∴ ∴ 即：∴∴ 由（1）可知∴∴ ∵ ∴ ∴即： 解得： 模型2.与圆周角定理相关的中点模型（母子模型） 例1（2025·山西吕梁·一模）如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，若，则的度数为 °． 【答案】70 【详解】解 ： 连接， ， ∵四边形内接于，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵点C为的中点，，∴，∴，∴， ∵，∴，故答案为：70． 例2（2024·陕西西安·模拟预测）如图，内接于， 点 B 是弧的中点， 是的直径．则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，    ∵是的直径，∴， ∵，∴， ∴，∴，∵点是的中点，∴， ∵，∴即，解得，故选：C． 例3（2025·山东德州·统考二模）如图1，内接于，点是劣弧的中点，且点与点位于的异侧．(1)请用圆规和无刻度直尺在图1中确定劣弧的中点； (2)在图1中，连接交于点，连接，求证； (3)如图2，点是半圆的中点，若⊙O的直径，求和的长．    【答案】(1)见解析(2)见解析(3)， 【详解】（1）解：如图所示，点为所作点：          （2）证明：∵点D是劣弧的中点，∴，∴， ∵，∴∽∴，∴ （3）解：连结BD，∵点D是的中点，∴，∵是的直径，∴ ∴为等腰直角三角形，∴ 由（1）得∽，，即， ∴，∴，解得或（负值舍去）∴． 例4（2025·天津滨海新·二模）在中，为直径，与相切于点，交延长线于点，连接，，且，点为中点． (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，过点作，垂足为点，延长交于点．若，求的长． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：连接，∵与相切于点，∴， 又∵，∴，∴， 又∵为直径，∴，又∵点为中点，∴； （2）解：连接，，设直线交于点，∵，∴， 又∵，∴，∴，， 又∵，，∴是等边三角形，∴， ∴，∴， ∴， ∴，∴， 又∵，，∴， 又∵是直径，∴，又∵，∴， ∴，即，解得：． 模型3.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型 例1（2025·安徽合肥·统考三模）如图，是半圆的直径，是弦，点是的中点，点是的中点，连接、分别交于点和点，连接，则下列结论中错误的是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点是弧的中点，是半径，，∴正确；连接交于，           点是弧的中点，，， ，是的中位线， ，即，且，∴错误，正确； 连接，点是弧的中点，，， ，，∴正确．故选：． 例2（2025·上海·统考二模）如图，已知的内接正方形，点是的中点，与边交于点，那么 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接，交于点，连接， ∵的内接正方形，∴经过点， ∵点是的中点，∴，∴ 设，则∴ ∵,∴ ∵，∴∴，故答案为：． 例3（24-25九年级上·广东肇庆·期中）如图、为的直径，C为上一点，过点C的切线与的延长线交于点，，是弧的中点，弦、相交于点． (1)求的度数；(2)若，求的长． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：∵与相切于点，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，即，∴，∴； （2）解：如图，连接，∵是直径，∴，    ∵点是的中点，∴，∴， 在中，∵，，∴． 例4（2024·北京东城·一模）如图，是的直径，为圆上一点，是劣弧的中点，于，过点作的平行线，连接并延长与相交于点，连接与交于点． (1)求证：是的切线；(2)若，求的值． 【答案】(1)见解析(2)3.5 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵是劣弧的中点，∴，平分，∴ ∵，∴∴， ∵是的半径，∴是的切线； （2）∵是劣弧的中点，∴，∴， ∵是的直径，∴∴， ∵，，∴，∴， ∵是的直径， ∴， ∵，∴，∴ ∴，∴ 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，四边形内接于，， ，，点为的中点，， 是直径，，，故选：D． 2．（24-25·山东·九年级专题练习）如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：如图所示，连接，∵点B是的中点，是的直径， ∴，，∴，∵，∴，∵，∴， 在中，由勾股定理得，∴， ∵点C是的中点，∴，∴，∴，∴，故选D．    3．（25-26九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，为直径，点为上方半圆上的一个动点（不与重合），连接，过点作交于．取弧的中点，连接，交于点，连接，则下列说法正确的有（    ） ①；②当为线段的中点时，；③若点为弧的中点，； ④连接，当点为弧的中点时，的面积取到最大值． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】解：∵点为弧的中点，∴点为的中点， 又∵点为的中点，∴为的中位线，∴，故①正确； 当为线段的中点时，连接，如图所示， ∵，为线段的中点，∴垂直平分，∴， 又∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴， ∵点为弧的中点，∴， ∴，∴，故②正确； 当点为弧的中点时，过点E作于G，如图所示，∴， 又∵，∴此时点D与点O重合；∵点为弧的中点，∴， 又∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∴，∴； ∵，，∴，故③正确； 如图所示，过点E作于G，∴； ∵点为弧的中点，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∴； ∵是直径，∴，∴，∴， 又∵，∴，∴ ， ∴，∴； 设，的半径为，则，同理可证明， 又∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴， 当时，， 当时，， ∵，∴当时，的面积大于时的的面积， ∴当点为弧的中点时，的面积不是取到最大值，故④错误；故选：A． 4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在半径为5的中，弦，D为优弧的中点，C为上点，于点E，于点H，连结．若，则四边形的面积为 ． 【答案】/ 【详解】解：过点作于点G，连接， ∵D为优弧的中点，∴，∴∴是等腰三角形， ∵，，∴， ∵是的外接圆，∴点O在上， ∵的半径为5，∴，∴， ∴，∴， ∵于点H，，∴，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，的半径是，是的优弧的中点，弦，则的长为 ，为上任意一点，动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，若，则与动点的运动时间秒的函数表达式为 ． 【答案】 【详解】解：延长交于G，连接，， ∵是的的中点∴，， ∵的半径是，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴ 当时，， ∴ 当时，， ∴， 综上：故答案为：，． 6．（2024·陕西西安·三模）如图，是的直径，是上一点，是弧的中点，为延长线上一点，且，与交于点．    (1)求证：；(2)若，，求半径的长． 【答案】(1)见解析；(2)． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴； （2）解：连接，∵是的直径，∴，    ∵是的中点，∴，∴，∴， ∵，∴，在中，，∴， ∴，∴． 7．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，是的直径，点，在上，且过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，为下方的半圆弧的中点，交于点，连接，．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：如图，连接，，， ，，， 又，，是的切线； （2）证明：是的直径，，， 由（1）可知是的切线，，， ，，， 又，； （3）解：如图，连接，是半圆弧的中点，， 在中，，，． 8．（2024·山东济南·一模）如图，为的直径，点D为上一点，点E是的中点，连接，过点A的切线与的延长线交于点C，弦相交于点F． (1)求证：；(2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)2 【详解】（1）证明：与相切于点，，， 为的直径，，，， ，，即． （2）解：，， 在中，，， 点是的中点，，，， 在中，，，的长为2． 9．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，是圆O的直径，点D为圆O上一点，连接并延长至点C，使，过点D作的垂线，交圆O于点E，点F为劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点P，连接与交于点G． (1)求证：是圆O的切线；(2)若，，求的长； (3)若圆O的半径为1，设，，试求y关于x的函数表达式． 【答案】(1)见解析(2)；(3)． 【详解】（1）证明：如图，记，，， ∵是的直径，，， ∵由题意得：，，， 又∵是的直径，∴是的切线； （2）解：设，∵，∴，∴， ∵，，∴， ∴，即，解得(负值已舍)，∴， ∵，∴； （3）解：如图，连接， ∵，∴，，∴， ∵，且为的直径，， ，∴， ∵，，∴， ∵，∴，， ∴，∴，设，则， ∴，，∴． 10．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）如图，在⊙O中，是直径，C为圆上一点，为的中点，作交的延长线于点M，交的延长线于点N，连接． (1)求证：是⊙O的切线．(2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：如图，连接， 为的中点， ，, ，，，， ，，又是半径，是的切线． （2）如图，过点作，交于点， ，，为的中点，，， ，，，， ，，， 在中，，，， ． 11．（2024·湖北十堰·二模）如图，是的直径，是的弦，点C是的中点，连接交于点F，过点C作的平行线与的延长线交于点E．(1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积（结果保留π）；(3)若，求的值． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：如图，连接交于点H， 点C是的中点，是半径，， ，，是半径，是的切线； （2）解：如图，连接，， 为直径，，， ，，， ,， 中，， （3），，， 设，则，，， ，，， 12．（2025·安徽合肥·三模）如图①，已知为的弦，为的半径，，与交于点D，连接，，过A点作的切线交的延长线于点E． (1)求证：；(2)如图②，连接并延长交切线于点M，若，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：如解图，连接， 为的切线，，． ，，． ，，． ，； （2）解：如解图，连接，．，，D为的中点． ，，且，，平分， 由（1）知，点为的内心，平分，， ，，，， ，即为等边三角形，． 在中，，则，． 13．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知：如图，为的直径，弦，垂足为E，点H为弧上一点，连接交于点F，过A作，垂足为． (1)如图1，连接，，求证：； (2)如图2，若为弧的中点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）证明：如图1， ，，，， ，，，； （2）证明：如图2，连接，，， 直径，，是弦的垂直平分线， ，，，， ，， 设，点为的中点，， ，，， ，， ，； （3）解：如图3，连接，，， 点为的中点，，， 由（2）得：，，， 如图3，作，连接，，， 在和中，，， ，，为的直径，，， 直径，，， ，由（1）得：，， 即：，，， 由（2）得：，， ， ，，， ，即：，， ，又，， ，， 在中，由勾股定理可得：， 直径，，，即：， ，， ，， 在中，由勾股定理可得：，， 解得：或（不合题意，故舍去），， ，， ，， ， 在中，由勾股定理可得：， ，，， 在中，由勾股定理可得：， ，，． 14．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，为的弦，点C为弧的中点，点D为上一点，连接交弦于点E，连接．(1)如图1，求证：；(2)如图2，过点A作交于点F，连接，求证：；(3)如图3，在的条件下，当为的直径时，与交于点K，若时，求的长， 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：连接． ∵点为弧的中点，∴， ∴ ． ∵是的外角，∴ ，而 ， ∵∴∴ ． （2）证明：∵，∴，∴． ∵点为弧的中点，即 ．∴ ， ∴ ． （3）解：连接、，．由（2）得 ∴即，，∴ ∵是的直径，∴ ． ∴，∴，∴ ． ∵∴， ∵点C为弧的中点，是半径，∴，， ∴，， ∵，，∴ ． ∴即，即 ∴，，∴， ∵，，∴， ∴， ，∴， ∴，∴． 15．（2024·山东潍坊·二模）如图，为的直径，点D为圆周上一点（不与A，B重合），点C为的中点，连接BC并延长至点E，连接AE，AC，恰有AC平分．(1)求证：为的切线；(2)作，，垂足分别为点D，F，若，，求AE的长．    【答案】(1)见解析(2)． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴，则， ∵点C为的中点，∴，，则， ∵AC平分，∴，则， ∴，∴为的切线； （2）解：延长交于点G，延长交于点Ｈ，连接，    ∵，∴，∵，∴， ∵为的直径，∴， ∵，∴，∴四边形为矩形， ∴，在中，，，∴， ∵，，∴， ∴，即，∴，∴． 16．（2025·湖北恩施·统考一模）如图，是的直径，是圆上的一点，为的中点，过点作的切线与的延长线交于点，与的延长线交于点，弦、交于点． (1)求证：；(2)求证：；(3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：连接，，交于， ∵是劣弧的中点，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵是的切线，为半径，∴， ∴，∴，∴； （2）证明：∵D是劣弧的中点∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （3）解：连接， ∵，，∴由（2）可得，∴，∴， ∵是劣弧的中点∴，∴， ∵是的直径，∴，则， ∵，，∴∴， 又∵，∴，∵，∴， ∵是的直径，∴，又∵，∴， ∴，∴，∴，即，又∴． 17．（2024·四川巴中·一模）如图，是半圆O的直径，D为半圆O上的点（不与A，B重合），连接，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点F，连接，交于点E． (1)求证：是半圆O的切线．(2)求证：．(3)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：连接，∵点C为弧的中点，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， 又∵，∴，∴是半圆O的切线； （2）证明：连接，∵是半圆O的直径，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （3）解：∵在中，，， ∴，， ∴，∴，∴，， ∵，，∴是等边三角形， ∴，∴，∴，∴， ∵由（2）可知，，∴，∴圆O的半径为， ． 18．（2024·浙江舟山·三模）如图1，在中，直径于点F，点E为上一点，点C为弧的中点，连接，交于点G．    (1)求证：；(2)如图2，过点C作的切线交BA的延长线于点Q，若，，求的长度；(3)在（2）的基础上，点P为上任一点，连接，的比值是否发生改变？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)的比值不会发生改变， 【详解】（1）∵直径于点F，∴． ∵点C为弧的中点，∴．∴．∴． （2）如图2，连接交于点，设的半径为，则，       由（1）知∵直径于点F，∴． 在中，∵，∴．解得：， ∵点C为弧的中点，∴，．∴． ∵是的切线，∴．∴． ∴，即．∴． （3）的比值不会发生改变，，理由如下： 由（2）知，，，， ①当点与点重合时，； ②当点与点重合时，； ③当点与点、不重合时，如图3，连接， ∵，，∴． 又∵，∴． ∴．∴的比值不会发生改变． 19．（2024·广东惠州·一模）如图，为的直径，点C平分弧，点D为弧上一点，与相交于点F，过C作射线与射线相交于点E，且． (1)求证：与相切；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接， 为的直径，，， ，，而， ，，与相切于点； （2）解：，，， ，，， ，，，， ，，．故的长为． 20．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知为的直径，，C为上一点，连接，． (1)如图1，若C为弧的中点，求的长；(2)如图2，若，为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵为的直径，∴， ∵C为的中点，∴，∴， 在中，根据勾股定理，有， 又，得，∴； （2）解：∵是的切线，∴，即， ∵，垂足为E，∴， 同（1）可得，有，∴， ∴四边形为矩形，∴，于是， 在中，由，得，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆中的重要模型之圆弧的中点模型 当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面：三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，弧，圆心角，圆周角的关系等等。其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上，还要注意各知识点之间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的综合题型以及压轴题型。 当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.与垂径定理相关的中点模型 6 模型2.与圆周角定理相关的中点模型（母子模型） 9 模型3.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型 12 16 ‌ 圆弧中点是初中数学圆几何中的重要解题工具，主要来源于对圆中垂径定理和圆周角定理的深入应用。该模型通过连接圆心与弧中点，构造垂径关系或利用圆周角性质，解决与切线、相似三角形、线段比例等相关的问题。圆弧中点模型作为几何学中处理弧中点性质的核心工具，其历史演进融合了东西方数学思想。 古希腊数学家托勒密在《天文学大成》中证明的‌托勒密定理，首次隐含圆弧中点对弦长比例的约束作用，为模型提供了早期定量基础。阿拉伯学者的核心突破‌系统完善‌垂径定理‌：严格证明圆弧中点与圆心的连线必垂直平分对应弦，确立“弧中点→弦中点→垂直关系”的逻辑链条。宋代数学家基于弦长与圆心角关系，明确“等弧对等弦”性质，强化圆弧中点的对称应用。 （2025·广东深圳·模拟预测）如图，在Rt中，，点为斜边上一点，以为直径的交于点，交于点，连接，与的延长线相交于点． (1)请从以下条件中：①；②点是弧的中点；③．选择一个能证明是切线的条件，你选择的条件是___________，并写出证明过程； (2)若是的切线，连接，若，，求的长． （24-25九年级上·湖北荆州·期中）如图，为的直径，点C，D为直径同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作于点E，交于点G，延长，交于点F． (1)如图①，若，求证：；(2)如图②，若，，求的半径． 1）与垂径定理相关的中点模型 图1 图2 图3 1）条件：如图1，已知点P是中点，连接OP，结论：OP⊥AB； 2）条件：如图2，已知点P是中点，过点P作MN∥AB，结论：MN是圆O的切线； 3）条件：如图3，点P是中点，连接BP、AP，若∠BPN=∠A，结论：MN是圆O切线。 证明：1）根据垂径定理易得：OP⊥AB； 2）由1）知：OP⊥AB，∵MN∥AB，∴OP⊥MN，∴MN是圆O的切线。 3）由1）知：OP⊥AB，∴∠BPO+∠ABP=90°，∵P是中点，∴，∴∠ABP=∠BAP， ∵∠BPN=∠A，∴∠BPN=∠ABP，∴∠BPO+∠BPN=90°，∴MN是圆O的切线。 2）与圆周角定理相关的中点模型（母子模型） 1）条件：如图1，已知点P是中点，点C是圆上一点，结论：∠PCA=∠PCB． 2）条件：如图2，已知点P是半圆中点，结论：∠PCA=∠PCB=45°． 3）条件：如图3，已知点P是中点，结论：∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB；△PDA∽△PAC； △PDB∽△PBC；△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB。 证明：1）∵P是中点，∴，∴∠PCA=∠PCB， 2）∵P是中点，∴，∴∠PCA=∠PCB， ∵AB是直径，∴∠CPB=90°，∴∠PCA=∠PCB=45°， 3）∵P是中点，∴，∴∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB， ∵∠PCA=∠PAD，∠APD=∠CPA，∴△PDA∽△PAC； ∵∠PCB=∠APB，∠BPD=∠CPB，∴△PDB∽△PBC； ∵，∴∠P=∠B，∵∠PCB=∠ACP，∴△CAP∽△CDB； ∵，∴∠P=∠A，∵∠ACD=∠PCB，∴△CAD∽△CPB。 3）垂径定理与圆周角定理结合的中点模型 条件：如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，连结PB交AC于点F。 结论：AD=PD=FD，PQ=AC，AP2=AD×AC=AH×AB=PF×PB． 证明：1）∵P是中点，∴， ∵AB是直径，PH⊥AB，∴，∴.∴∠APD=∠PAD，∴AD=PD， ∵AB是直径，∴∠APB=90°，∴∠PAD+∠PFA=90°，∠APD+∠FPD=90°， ∴FPD=∠PFA，∴FD=PD，∴AD=PD=FD，∵，∴，∴PQ=AC， ∵，∴∠APQ=∠PCA，∵∠DAP=∠PAC，∴△PAC∽△DAP；∴，∴AP2=AD×AC， ∵，∴∠APQ=∠ABP，∵∠HAP=∠PAB，∴△HAP∽△PAB；∴，∴AP2=AH×AB， ∵，∴∠PAC=∠ABP，∵∠APF=∠BPA，∴△APF∽△BPA；∴，∴AP2=PF×PB， 模型1.与垂径定理相关的中点模型 例1（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在半径为的中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且，下列四个结论：①；②；③扇形的面积为；④四边形是菱形．其中正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 例2（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，弦与直径交于点，点是圆上一点，点为的中点，过点的切线与延长线交于点，且，若，，则 ， ． 例3（2025·北京·模拟预测）如图，是的直径，弧弧，与交于点，的切线交的延长线于点．(1)求证：；(2)连接并延长，交的延长线于点．若为的中点，的半径为，求的长． 例4（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图是的直径，点C、E在上，E是劣弧的中点，连接，且与交于D点，F是延长线上的一点，且． (1)求证：EF是的切线．(2)若的半径为5，，求的长． 模型2.与圆周角定理相关的中点模型（母子模型） 例1（2025·山西吕梁·一模）如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，若，则的度数为 °． 例2（2024·陕西西安·模拟预测）如图，内接于， 点 B 是弧的中点， 是的直径．则的长为（   ） A．5 B． C． D． 例3（2025·山东德州·统考二模）如图1，内接于，点是劣弧的中点，且点与点位于的异侧．(1)请用圆规和无刻度直尺在图1中确定劣弧的中点；(2)在图1中，连接交于点，连接，求证；(3)如图2，点是半圆的中点，若⊙O的直径，求和的长．    例4（2025·天津滨海新·二模）在中，为直径，与相切于点，交延长线于点，连接，，且，点为中点． (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，过点作，垂足为点，延长交于点．若，求的长． 模型3.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型 例1（2025·安徽合肥·统考三模）如图，是半圆的直径，是弦，点是的中点，点是的中点，连接、分别交于点和点，连接，则下列结论中错误的是（    ）      A． B． C． D． 例2（2025·上海·统考二模）如图，已知的内接正方形，点是的中点，与边交于点，那么 ． 例3（24-25九年级上·广东肇庆·期中）如图、为的直径，C为上一点，过点C的切线与的延长线交于点，，是弧的中点，弦、相交于点． (1)求的度数；(2)若，求的长． 例4（2024·北京东城·一模）如图，是的直径，为圆上一点，是劣弧的中点，于，过点作的平行线，连接并延长与相交于点，连接与交于点． (1)求证：是的切线；(2)若，求的值． 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25·山东·九年级专题练习）如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．6 D．8 3．（25-26九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，为直径，点为上方半圆上的一个动点（不与重合），连接，过点作交于．取弧的中点，连接，交于点，连接，则下列说法正确的有（    ） ①；②当为线段的中点时，；③若点为弧的中点，； ④连接，当点为弧的中点时，的面积取到最大值． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在半径为5的中，弦，D为优弧的中点，C为上点，于点E，于点H，连结．若，则四边形的面积为 ． 5．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，的半径是，是的优弧的中点，弦，则的长为 ，为上任意一点，动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，若，则与动点的运动时间秒的函数表达式为 ． 6．（2024·陕西西安·三模）如图，是的直径，是上一点，是弧的中点，为延长线上一点，且，与交于点．    (1)求证：；(2)若，，求半径的长． 7．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，是的直径，点，在上，且过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，为下方的半圆弧的中点，交于点，连接，．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)已知，，求的长． 8．（2024·山东济南·一模）如图，为的直径，点D为上一点，点E是的中点，连接，过点A的切线与的延长线交于点C，弦相交于点F． (1)求证：；(2)若，求的长． 9．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，是圆O的直径，点D为圆O上一点，连接并延长至点C，使，过点D作的垂线，交圆O于点E，点F为劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点P，连接与交于点G．(1)求证：是圆O的切线；(2)若，，求的长；(3)若圆O的半径为1，设，，试求y关于x的函数表达式． 10．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）如图，在⊙O中，是直径，C为圆上一点，为的中点，作交的延长线于点M，交的延长线于点N，连接． (1)求证：是⊙O的切线．(2)若，求阴影部分的面积． 11．（2024·湖北十堰·二模）如图，是的直径，是的弦，点C是的中点，连接交于点F，过点C作的平行线与的延长线交于点E．(1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积（结果保留π）；(3)若，求的值． 12．（2025·安徽合肥·三模）如图①，已知为的弦，为的半径，，与交于点D，连接，，过A点作的切线交的延长线于点E． (1)求证：；(2)如图②，连接并延长交切线于点M，若，求的长． 13．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知：如图，为的直径，弦，垂足为E，点H为弧上一点，连接交于点F，过A作，垂足为． (1)如图1，连接，，求证：； (2)如图2，若为弧的中点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 14．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，为的弦，点C为弧的中点，点D为上一点，连接交弦于点E，连接．(1)如图1，求证：；(2)如图2，过点A作交于点F，连接，求证：；(3)如图3，在的条件下，当为的直径时，与交于点K，若时，求的长， 15．（2024·山东潍坊·二模）如图，为的直径，点D为圆周上一点（不与A，B重合），点C为的中点，连接BC并延长至点E，连接AE，AC，恰有AC平分．(1)求证：为的切线；(2)作，，垂足分别为点D，F，若，，求AE的长．    16．（2025·湖北恩施·统考一模）如图，是的直径，是圆上的一点，为的中点，过点作的切线与的延长线交于点，与的延长线交于点，弦、交于点． (1)求证：；(2)求证：；(3)若，，求的长． 17．（2024·四川巴中·一模）如图，是半圆O的直径，D为半圆O上的点（不与A，B重合），连接，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点F，连接，交于点E． (1)求证：是半圆O的切线．(2)求证：．(3)若，，求阴影部分的面积． 18．（2024·浙江舟山·三模）如图1，在中，直径于点F，点E为上一点，点C为弧的中点，连接，交于点G．    (1)求证：；(2)如图2，过点C作的切线交BA的延长线于点Q，若，，求的长度；(3)在（2）的基础上，点P为上任一点，连接，的比值是否发生改变？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律． 19．（2024·广东惠州·一模）如图，为的直径，点C平分弧，点D为弧上一点，与相交于点F，过C作射线与射线相交于点E，且． (1)求证：与相切；(2)若，，求的长． 20．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知为的直径，，C为上一点，连接，． (1)如图1，若C为弧的中点，求的长；(2)如图2，若，为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $