专题01 平衡模型（七类）（模型与方法讲义）（全国通用）2026年高考物理二轮复习讲练测

该高中物理讲义聚焦高考平衡模型专题，系统整合七类核心模型，涵盖静态平衡（含直角、已知夹角、几何关系类）与动态平衡（矢量三角形、相似三角形等），通过模型情境联想、方法总结（合成法、正交分解等）、高考真题讲解（如2025海南卷）及分层演练，构建“考点-方法-应用”复习体系，助力学生突破平衡问题难点。 讲义突出科学思维与模型建构，如动态平衡中用矢量三角形法分析力的动态变化，“衣钩”模型通过对称思想简化问题，设置基础演练与综合题分层训练，强化科学推理能力，可帮助教师精准把控复习节奏，高效提升学生解决平衡问题的应考能力。

专题01 平衡模型（七类） 目录 【模型一】 三个力中，有两个力互相垂直，第三个力角度（方向）已知的静态平衡模型 1 【模型二】三个力互相不垂直，但夹角（方向）已知的静态平衡模型 3 【模型三】三个力互相不垂直，且夹角（方向）未知但存在几何边长的变化关系的静态平衡模型。 7 【模型四】应用矢量三角形法类解的动态态平衡模型。 10 【模型五】应用相似三角形法求解的动态态平衡模型。 11 【模型六】应用单位圆或正弦定理法求解的动态态平衡模型。 14 【模型七】“衣钩”模型-----“Y”字型平衡模型。 18 【模型一】 三个力中，有两个力互相垂直，第三个力角度（方向）已知的静态平衡模型 1.模型情境联想 2.解决该类模型常用的方法有以下三种 ①力的合成法 ②力的正交分解法 ③正弦定理（力的三角形）法 【典例1】如图所示，重物的质量为m，轻细绳AO和BO的A端、B端是固定的，平衡时AO是水平的，BO与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小分别为多少？ 【模型演练1】如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心，一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点。设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g。求：F、FN。 【模型二】三个力互相不垂直，但夹角（方向）已知的静态平衡模型 1.模型情境联想 2.解决该类模型常用的方法有以下二种 ①力的正交分解法 ②正弦定理（力的三角形）法 【典例2】（2025·海南·高考真题）如图所示，光滑圆弧竖直固定，用轻绳连接两个小球P、Q，两小球套在圆环上且均处于平衡状态，两小球与圆弧的圆心连线夹角分别为和，则两球质量之比为（    ） A． B． C． D． 【模型演练2】（2024·河北·高考真题）如图，弹簧测力计下端挂有一质量为的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为，挡板与斜面夹角为．若弹簧测力计位于竖直方向，读数为取,挡板对球体支持力的大小为（    ） A． B． C． D． 【模型演练3】．（2024·湖北·高考真题）如图所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为f，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为（　　） A． B． C．2f D．3f 【模型三】三个力互相不垂直，且夹角（方向）未知但存在几何边长的变化关系的静态平衡模型。 1.模型情境联想 2.解决该类模型常用的方法有以下二种 ①相似三角形法法 ②解析法 【典例3】如图所示，质量分别为和的两个小球A、B都套在一个竖直大圆环上，大圆环固定在地面上。长为L的细绳的两端分别拴在小球A、B上，然后将细绳绕过小滑轮，位于大圆环环心O的正上方。所有摩擦都不计，当它们都静止时，求： (1)大圆环对A、B的作用力之比； (2)段绳长。 【模型演练2】如图所示，表面光滑为R的半球固定在水平地面上，球心O的正上方Oˊ处有一个无摩擦定 滑轮，轻质细绳两端各系一个小球挂在定滑轮上，两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为，m2 m1 l2 l1 Oˊ O .则这两个小球的质量之比∶为(不计小球大小)m2 m1 l2 l1 Oˊ O A．24∶1 B．25∶1 C．24∶25 D．25∶24 【模型演练3】如图所示，质量均为m的小球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B球用长为L的细绳悬于O点，A球固定在O点正下方L处，当小球B平衡时，绳子所受的拉力为FT1，弹簧的弹力为F1；现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k2(k2>k1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为FT2，弹簧的弹力为F2.下列关于FT1与FT2、F1与F2大小之间的关系，正确的是( ) A. FT1>FT2 B. FT1＝FT2 C. F1<F2 D. F1＝F2 【模型四】应用矢量三角形法类解的动态态平衡模型。 1.模型情境联想 2.该类模型的基本特点 （1）、三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变） （2）、另一个力方向不变，大小可变， （3）、第三个力大小方向均可变， 方法：矢量三角形法分析第三个力的方向变化引起的物体受力的动态变化情况。 【典例3】(多选)如图，物体的重力为G，保持细绳AO的位置不变，让细绳BO的B端沿四分之一圆弧从D点缓慢向E点移动，在此过程中(　　) A.AO绳上的张力一直在增大 B.AO绳上的张力先减小后增大 C.BO绳上的张力先减小后增大 D.BO绳上的张力一直在减小 【典例4】 如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有一光滑挡板A，在挡板和斜面之间夹一质量为m的重球B，开始挡板A处于竖直位置，现使其下端绕O沿逆时针方向缓缓转至水平位置，分析重球B对斜面和对挡板压力的变化情况是(　　) A.对斜面的压力逐渐减小，对挡板的压力也逐渐减小 B.对斜面的压力逐渐变大，对挡板的压力则逐渐减小 C.对斜面的压力逐渐减小，对挡板的压力先变小后变大 D.对斜面的压力逐渐减小，对挡板的压力先变大后变小 【模型演练3】如图所示，一铁球用一轻绳悬挂于O点，用力F拉住小球，要使轻绳与竖直方向保持60°角不变，且F最小，则F与竖直方向的夹角θ应为(　　) A. 90° B. 60° C. 30° D. 0° 【模型五】应用相似三角形法求解的动态态平衡模型。 1.模型情境联想 2.该类模型的基本特点 （1）三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变） （2）其余两个力方向、大小均在变 （3）有明显长度变化关系 方法：相似三角形法 【典例5】．如图所示，木板B放置在粗糙水平地面上，O为光滑铰链。轻杆一端与铰链O固定连接，另一端固定连接一质量为m的小球A。现将轻绳一端拴在小球A上，另一端通过光滑的定滑轮由力F牵引，定滑轮位于O的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力F的大小使小球A和轻杆从图示位置缓慢运动到正下方，木板始终保持静止，则在整个过程中（　　） A．外力F大小不变 B．轻杆对小球的作用力大小变小 C．地面对木板的支持力逐渐变小 D．地面对木板的摩擦力逐渐减小 【模型演练2】．如图所示，质量为100g的带电小球A和不带电滑环B用绕过光滑定滑轮的不可伸长的轻绳连接，滑环B套在与竖直方向成的粗细均匀的固定杆上，滑环和杆间的动摩擦因数，连接滑环B的绳与杆垂直并在同一竖直平面内，杆下端固定带电小球C，，由于空气潮湿小球带电量逐渐减小为零，滑环B始终静止。设滑环和杆间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，带电小球可看作点电荷。（）则（    ） A．绳子拉力逐渐变小 B．滑环B的质量不超过0.05kg C．固定杆给滑环B的弹力方向垂直于杆向上 D．滑环B受到的摩擦力逐渐变小 【模型演练3】如图所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物。现施加一拉力F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前，下列说法正确的是（ ） A．BC绳中的拉力FT越来越大 B．BC绳中的拉力FT越来越小 C．AC杆中的支撑力FN越来越大 D．AC杆中的支撑力FN越来越小 【模型六】应用单位圆或正弦定理法求解的动态态平衡模型。 1.模型情境联想 2.该类模型的基本特点 （1）三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变） （2）其余两个力方向、大小均在变 （3）有一个角恒定不变 【典例6】【多选】（2017·全国·高考真题）如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N．初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（）．现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　) A．MN上的张力逐渐增大 B．MN上的张力先增大后减小 C．OM上的张力逐渐增大 D．OM上的张力先增大后减小 【模型演练2】．【多选】如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定环上的M、N两点，O点下面悬挂一小球。细线OM、ON与竖直方向夹角分别为、。用、分别表示OM、ON的拉力，将两绳同时缓慢顺时针转过45°，并保持两绳之间的夹角始终不变，且小球始终保持静止状态，则在旋转过程中，下列说法正确的是（  ） A．在逐渐增大 B．先增大再减小 C．与的水平分量大小相等 D．与的竖直分量大小相等 【模型演练3】．【多选】粗糙水平地面上有一质量为M、倾角为30°的粗糙楔形物体C，斜面上有一个质量为的物块B，B与一轻绳连接，且绕过一固定在天花板上的定滑轮，另一端水平与一结点连接一个质量为m的小球A，右上方有一拉力F，初始夹角，如图所示。现让拉力F顺时针缓慢转动90°且保持α角大小不变，转动过程B、C始终保持静止。已知B与滑轮间的细绳与斜面平行，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．拉力F一直减小 B．BC间的摩擦力先减小再增大 C．物体C对地面的压力先减小再增大 D．物体C对地面的摩擦力的最大值为 【模型七】“衣钩”模型-----“Y”字型平衡模型。 1.模型情境联想 2.模型识别 (1).一根绳子绕过光滑的滑轮或者光滑挂钩下挂一个物体，呈现“Y”字型结构特征。 (2).物体处于平衡状态。 3.模型构建 (1).受力大小特征—无论绕过光滑的滑轮、圆环、挂钩，只要是一根绳子，张力大小处处相等。 (2).受力方向特征—“Y”字型平衡模型，等大的两个拉力关于竖直方向对称。 4.经典情景如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。 设两杆间距离为d，绳长为l，Oa、Ob段长度分别为la和lb，则l＝la＋lb，两部分绳子与竖直方向夹角分别为α和β，受力分析如图所示。 绳子中各部分张力相等，Fa＝Fb＝F，则α＝β。 平衡条件2Fcos α＝mg， d＝lasin α＋lbsin α＝lsin α，即sin α＝， F＝，绳的右端上移到b′，d和l均不变，则sin α为定值，α为定值，cos α为定值，绳子的拉力保持不变，将杆N向右移一些，d增大，则sin α增大，cos α减小，绳子的拉力增大；若换挂质量更大的衣服，d和l均不变，绳中拉力增大，但衣服的位置不变。 5.建模感悟 (1)该平衡模型首先形状上呈现Y字形，应用力学对称思想。对称思想是物理学习中最重要的思想方法之一，运动学中竖直上抛模型就具有空间的对称性，根据对称性我们研究其一半运动，就可以化繁为简。同理后边我们还要学习能量守恒、动量守恒，他们具有关系对称，掌握了对称性，就掌握了一把打开物理殿堂的金钥匙。另外大多数对称模型属于见“形”起“意”，见“形”思“迁”，学习画图，根据图形特征，选择对应的解题技巧，是学习物理的重要方法。 6.“Y”字型平衡模型解决问题的两个要点 ①绕过光滑的滑轮、圆环、挂钩，只要是一根绳子，张力大小处处相等 ②平衡条件： 【典例8】．如图所示，水平直杆OP右端固定于竖直墙上的O点，长为L＝2 m的轻绳一端固定于直杆P点，另一端固定于墙上O点正下方的Q点，OP长为d＝1.2 m，重为8 N的钩码由光滑挂钩挂在轻绳上处于静止状态，则轻绳的弹力大小为(　　) A.10 N B.8 N C.6 N D.5 N 【建模感悟】 该平衡模型首先形状上呈现Y字形，应用力学对称思想。对称思想是物理学习中最重要的思想方法之一，运动学中竖直上抛模型就具有空间的对称性，根据对称性我们研究其一半运动，就可以化繁为简。同理后边我们还要学习能量守恒、动量守恒，他们具有关系对称，掌握了对称性，就掌握了一把打开物理殿堂的金钥匙。另外大多数对称模型属于见“形”起“意”，见“形”思“迁”，学习画图，根据图形特征，选择对应的解题技巧，是同学们学习物理的重要方法。 【模型演练2】．某课外活动小组设计了如图所示的实验装置，光滑水平轻杆固定在竖直杆的O点，在水平轻杆上离O点为L处固定一个小的轻质定滑轮P，现将长为3L的光滑轻细线一端固定在O点，另一端通过轻质滑轮P与质量为m的滑块A相连，在轻细线上通过轻的光滑滑轮Q挂上滑块B，装置静止时，三角形OPQ刚好构成一个等边三角形，下列说法正确的是（　　） A．可求得滑块B的质量为mB=m B．若将O点处的线端沿水平杆向右缓慢移动L，则细线拉力大小减小，滑块A下降 C．若将O点处的线端沿竖直杆向下缓慢移动L，则细线拉力大小不变，滑块A上升 D．若将O点处的线端沿竖直杆向下缓慢移动L，则细线拉力大小不变，滑块A高度不变 【模型演练3】．如图，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球。在a和b之间的细线上悬挂一小物块。平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦。小物块的质量为（　　） A． B． C．m D．2m 【模型演练4】．有甲、乙两根完全相同的轻绳，甲绳A、B两端按图甲的方式固定，然后将一挂有质量为M的重物的光滑轻质动滑轮挂于甲轻绳上，当滑轮静止后，设甲绳子的张力大小为FT1；乙绳D、E两端按图乙的方式固定，然后将同样的定滑轮且挂有质量为M的重物挂于乙轻绳上，当滑轮静止后，设乙绳子的张力大小为FT2.现甲绳的B端缓慢向下移动至C点，乙绳的E端缓慢向右移动至F点，在两绳的移动过程中，下列说法正确的是(　　) A．FT1、FT2都变大 B．FT1变大、FT2变小 C．FT1、FT2都不变 D．FT1不变、FT2变大 一、单选题 1．在建筑工地上，把三个形状相同且质量都为的匀质圆形钢管按照如图所示放置在粗糙水平面上，钢管刚好接触且无挤压，系统处于静止状态，重力加速度为，钢管与水平地面之间的动摩擦因数为，，则水平面对钢管的摩擦力大小为（　　） A．0 B． C． D． 2．如图所示，竖直平面内有一固定的光滑支架，一质量为m的小球穿在支架的竖直杆上，一轻弹簧的一端与小球相连接，另一端固定在支架斜杆的A点。初始时刻小球静止在B点，现给小球施加竖直向上的作用力F使小球缓慢上升，直到小球到达与A点等高的C点，此时弹簧恰好恢复到原长。从小球离开B点运动到C点过程中（弹簧在弹性限度内）（　　） A．F一直变小 B．F一直变大 C．杆对球的弹力先变大后变小 D．小球可能受三个力作用 3．如图所示，内壁为光滑半圆的凹槽静止在粗糙水平地面上，为半圆圆心，为半圆最低点，为半圆水平直径的端点。凹槽内有一小球，用推力推动小球从点向点缓慢移动，推力的方向始终沿圆弧的切线方向，凹槽始终静止。则（　　） A．推力大小不变 B．推力先增大后减小 C．地面对凹槽的摩擦力先增大后减小 D．地面对凹槽的摩擦力先减小后增大 4．晾晒衣物常用的等腰三角形晾衣架顶角为。一件重为的裙子通过两根裙带对称地竖直挂在衣架两斜边棱上静止，每根裙带受到衣架斜边棱的摩擦力大小为（　　） A． B． C． D． 5．在学校大扫除中，某同学用如图所示拖把拖地，他站在原地不动，然后用手向前推动拖把，拖杆给拖把头的力F一直沿拖杆向下，拖杆与竖直方向的夹角θ逐渐变大，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．与拖把头相关的作用力共有3对 B．地面对拖把头的作用力始终沿拖杆向上 C．若F的大小恒定，则F做功的瞬时功率也恒定 D．若F的大小恒定，则离人站的位置越远的地面与拖把头间的摩擦力越小，地面越难拖干净 6．如图所示，用OA、OB两根轻绳将花盆悬于两竖直墙之间，开始时OB绳水平。现保持O点位置不变，改变OB绳长使绳右端由B点缓慢上移至点，此时与OA之间的夹角。设此过程中OA、OB绳的拉力分别为FOA、FOB，则下列说法中正确的是（　　） A．FOA一直增大 B．FOB一直减小 C．FOB先减小，后增大 D．当时，FOB最大 7．如图甲，一名登山爱好者正沿着竖直崖壁向上攀爬，绳的一端固定在较高处的点，另一端拴在人的腰间点（重心处），在人向上攀爬的过程中可以把人简化为图乙的物理模型：脚与崖壁接触点为点（可自由转动），人的重力全部集中在点，到点可简化为轻杆，为轻绳，已知长度不变，人向上攀爬过程中到达某位置后保持点不动，缓慢转动来调整姿势，某时刻构成等边三角形，则（　　） A．在此时刻，轻绳对人的拉力与人的重力的合力不一定沿杆 B．绳在虚线位置与实线位置承受的拉力大小相等 C．在虚线位置时，段承受的压力与在实线位置大小相等 D．在此时刻，轻绳承受的拉力大小为；当水平时，轻绳承受的拉力大小为，则 8．如图甲所示，餐具桶中放置一把质量为m的铲子，其简化图如图乙，若桶口边缘光滑，铲子与竖直筒壁的夹角为，与水平桶底之间的动摩擦因数为，两者恰好保持相对静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则桶底对铲子的摩擦力大小为（　　） A． B． C． D． 9．如图，一小球静止在竖直墙壁和木板之间。现将木板从图示位置沿顺时针方向缓慢旋转至水平位置，下列说法正确的是（　　） A．小球对墙壁的压力变大，对木板的压力变小 B．小球对墙壁的压力变小，对木板的压力变大 C．小球对墙壁的压力变小，对木板的压力变小 D．小球对墙壁的压力变大，对木板的压力变大 10．如图所示，悬挂衣服的绳子两端A、B分别固定在两根竖直杆上，A点高于B点，无风状态下衣服静止。一阵横风吹来，衣服受到水平向右的恒力而滑动，并在新的位置保持静止。不计绳子的质量及绳与衣架挂钩间的摩擦，绳子不可伸长。现将A点下移至与B点等高，则此过程中，细绳上的张力（　　） A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．始终不变 D．先变大后变小 二、多选题 11．如图，在测试一款汽车减震系统的性能时，工程师用了一个简化模型进行研究：用质量为m的小球代替汽车的某一部件，通过轻质弹簧连接于支架上的O点。一个特殊装置对小球施加一个模拟来自路面的作用力F（未画出）。当小球静止时，弹簧伸长，弹力T与小球重力大小相等，此时弹簧与竖直方向的夹角，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．F的大小为mg B．F的大小为2mg C．若保持T方向不变，将F顺时针缓慢旋转30°的过程中T逐渐减小 D．若保持T方向不变，将F顺时针缓慢旋转30°的过程中F逐渐增大 12．如图所示为一提升重物的装置。一根轻绳与重物相连，另一端系在A点，人在B点拉动轻绳使轻杆绕点在竖直平面内自由转动。当从图示位置缓慢转至竖直方向时，若轻绳不可伸长，则下列说法正确的是（　　） A．人对轻绳的拉力变小 B．人对轻绳的拉力不变 C．轻杆上的弹力大小不变 D．轻杆上的弹力变小 13．如图所示，质量均为m的小球A、B用劲度系数为的轻弹簧相连，B球用长为L的细绳悬挂于O点，A球固定在O点正下方。当小球B平衡时，细绳所受的拉力为，弹簧的弹力为；现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为（）的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时细绳所受的拉力为，弹簧的弹力为。下列关于与、与大小的比较，正确的是（　　） A． B． C． D． 14．如图，一轻绳绕过定滑轮C（半径可忽略）一端连接小球（可视为质点），另一端连接物体。物体放在粗糙水平地面上，受到水平向右的力的作用，使得小球沿光滑固定的半球面从图示位置缓慢向上移动，定滑轮C在半球面球心的正上方，已知的长度为，半球面的半径为。小球向上移动到球心正上方点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．轻绳的拉力减小 B．半球面对小球的支持力变大 C．地面对物体的摩擦力减小 D．地面对半球面的作用力增大 15．用三根细线a、b、c将两个小球1和2连接并悬挂，如图所示，两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，细线c水平。小球1和2的质量之比为2：1，下列说法正确的是（　　） A．细线a、c拉力之比为3∶1 B．细线a、b拉力之比为 C．细线b与竖直方向的夹角为60° D．若保持细线c水平，减小细线a与竖直方向的夹角，细线c的拉力增大 16．如图所示，倾角为θ = 30°的斜面体固定在水平面上，质量mb = 1kg的b置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与物体a相连接，连接b的一段细绳与斜面平行，a物体在方向可变的拉力F作用下静止在如图所示位置，已知F最小时，大小为5N，（重力加速度大小为g = 10m/s2）则（   ） A．a物体质量为1kg B．F最小时，方向水平向右 C．F最小时，绳中张力大小为 D．F最小时，b物体受斜面摩擦力大小为 17．如图，斜面光滑的楔形物体放置在粗糙水平面上，一轻质细线绕过滑轮1和滑轮2，两端分别与物体和轻环连接，轻环穿在粗糙水平横杆上，滑轮2下吊一物体。物体和滑轮1间的细线平行于斜面，系统静止。现在物体上轻放一个小质量物体（可视为质点），系统再次静止（即撤去外界干预后的新平衡，楔形物体始终在原来位置）。不计滑轮质量和滑轮与绳间的摩擦。则（   ） A．滑轮2两侧绳子之间的夹角不变 B．地面对楔形物体的支持力变大 C．地面对楔形物体的摩擦力不变 D．横杆对轻环的摩擦力变小 18．如图甲所示，工人用叉车拉石墩时，可简化为如图乙所示的模型，，叉车臂AC与水平方向夹角为。不计球形石墩表面摩擦，叉车和石墩始终保持相对静止，在叉车匀速运动的过程中，若从缓慢增加为，叉车臂对石墩的作用力和车把对石墩的作用力的大小变化为（　　） A．一直增加 B．先增加后减小 C．先减小后增加 D．一直在减小 19．如图所示，将一光滑轻杆固定在水平地面上，杆与地面间的夹角为，一光滑轻环套在杆上，一个大小和质量都不计的滑轮用轻绳悬挂在天花板上，用另一轻绳绕过滑轮系在轻环上，轻绳另一端系一质量为的小物块，用手扶住小物块使恰好在竖直方向。现用手扶着小物块使其缓慢向下运动，到达某位置时松手，小物块恰好可以保持静止，此时（已知重力加速度大小为，小物块未碰杆或地面）（　　） A．绳与水平方向的夹角为 B．绳的张力大小为 C．绳与水平方向的夹角为 D．绳的张力大小为 20．如图所示，送水工人用推车在水平路面运桶装水，水桶对板OA、OB的压力分别为F1、F2，运送过程中水桶与推车保持相对静止，∠AOB为锐角且保持不变。到达目的地后，另一工人将板OA由竖直转至水平即可将水桶卸下。全程车把手距地面的高度不变，忽略水桶与板间摩擦，下列说法正确的是（　　） A．推车由静止突然启动时，F1减小F2增大 B．推车由匀速突然减速时，F1增大F2不变 C．在OA由竖直缓慢转到水平过程中，F1先增大后减小 D．在OA由竖直缓慢转到水平过程中，F2先增大后减小 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平衡模型（七类） 目录 【模型一】 三个力中，有两个力互相垂直，第三个力角度（方向）已知的静态平衡模型 1 【模型二】三个力互相不垂直，但夹角（方向）已知的静态平衡模型 3 【模型三】三个力互相不垂直，且夹角（方向）未知但存在几何边长的变化关系的静态平衡模型。 7 【模型四】应用矢量三角形法类解的动态态平衡模型。 10 【模型五】应用相似三角形法求解的动态态平衡模型。 11 【模型六】应用单位圆或正弦定理法求解的动态态平衡模型。 14 【模型七】“衣钩”模型-----“Y”字型平衡模型。 18 【模型一】 三个力中，有两个力互相垂直，第三个力角度（方向）已知的静态平衡模型 1.模型情境联想 2.解决该类模型常用的方法有以下三种 ①力的合成法 ②力的正交分解法 ③正弦定理（力的三角形）法 【典例1】如图所示，重物的质量为m，轻细绳AO和BO的A端、B端是固定的，平衡时AO是水平的，BO与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小分别为多少？ 【解析】　法一　(合成法) 由力的平行四边形定则，作出F1、F2的合力F12，如图所示，又考虑到F12＝mg，由几何关系得F1＝，F2＝。 法二　(正交分解法) 将O点受的力沿水平方向、竖直方向正交分解，如图(a)所示。由力的平衡条件得F2cos θ－F1＝0，F2sin θ－mg＝0，解得F2＝，F1＝。 (也可以用效果分解法求解，同学们可以试一试。) 法三　(矢量三角形法) O点受到mg、F1和F2的作用处于平衡状态，画出受力分析示意图如图(b)所示。再将表示三个力的有向线段平移到一个三角形中，三力构成首尾相接的封闭的三角形，如图(c)所示。则由几何关系可知F1＝，F2＝。 【模型演练1】如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心，一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点。设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g。求：F、FN。 【解析】　(1)正交分解法 对小滑块进行受力分析，如图所示，将FN沿水平方向和竖直方向进行分解，根据平衡条件列方程。 水平方向有：FNcos θ＝F 竖直方向有：FNsin θ＝mg 联立解得F＝，FN＝。 (2)合成法 滑块受力如图， 由平衡条件知＝tan θ， ＝sin θ， 所以有F＝，FN＝。 (3)矢量三角形法 如图丙所示，滑块受到的三个力组成封闭的三角形，解直角三角形得 F＝， FN＝。 【模型二】三个力互相不垂直，但夹角（方向）已知的静态平衡模型 1.模型情境联想 2.解决该类模型常用的方法有以下二种 ①力的正交分解法 ②正弦定理（力的三角形）法 【典例2】（2025·海南·高考真题）如图所示，光滑圆弧竖直固定，用轻绳连接两个小球P、Q，两小球套在圆环上且均处于平衡状态，两小球与圆弧的圆心连线夹角分别为和，则两球质量之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一：以小球P和Q为系统，根据力矩平衡有 可得 方法二：对P受力分析，受重力、圆弧轨道的支持力和轻绳的拉力，将重力和绳子拉力沿着垂直半径方向分解，根据平衡条件可得 可得 同理可得 则 故选B。 【模型演练2】（2024·河北·高考真题）如图，弹簧测力计下端挂有一质量为的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为，挡板与斜面夹角为．若弹簧测力计位于竖直方向，读数为取,挡板对球体支持力的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对小球受力分析如图所示 由几何关系易得力与力与竖直方向的夹角均为，因此由正交分解方程可得 ， 解得 故选A。 【模型演练3】．（2024·湖北·高考真题）如图所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为f，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为（　　） A． B． C．2f D．3f 【答案】B 【详解】根据题意对S受力分析如图 正交分解可知 所以有 对P受力分析如图 则有 解得 故选B。 【模型三】三个力互相不垂直，且夹角（方向）未知但存在几何边长的变化关系的静态平衡模型。 1.模型情境联想 2.解决该类模型常用的方法有以下二种 ①相似三角形法法 ②解析法 【典例3】如图所示，质量分别为和的两个小球A、B都套在一个竖直大圆环上，大圆环固定在地面上。长为L的细绳的两端分别拴在小球A、B上，然后将细绳绕过小滑轮，位于大圆环环心O的正上方。所有摩擦都不计，当它们都静止时，求： (1)大圆环对A、B的作用力之比； (2)段绳长。 【解析】（1）设大圆环半径为R，距离为h，A、B都处于静止状态，对小球A、B进行受力分析，A、B分别所受的三个力，平移后均构成一个闭合三角形，如图所示。 由相似三角形对应边成比例可得 则 （2）由相似三角形对应边成比例可得 解得 【模型演练2】如图所示，表面光滑为R的半球固定在水平地面上，球心O的正上方Oˊ处有一个无摩擦定 滑轮，轻质细绳两端各系一个小球挂在定滑轮上，两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为，m2 m1 l2 l1 Oˊ O .则这两个小球的质量之比∶为(不计小球大小)m2 m1 l2 l1 Oˊ O A．24∶1 B．25∶1 C．24∶25 D．25∶24 【答案】：C． 【解析】先以左侧小球为研究对象，分析受力情况：重力、绳子的拉力T和半球的支持力N，作出受力图．由平衡条件得知，拉力T和支持力N的合力与重力mg大小相等、方向相反．设OO′=h，根据三角形相似得：得…① 同理，以右侧小球为研究对象，得…② 由①：②得   【模型演练3】如图所示，质量均为m的小球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B球用长为L的细绳悬于O点，A球固定在O点正下方L处，当小球B平衡时，绳子所受的拉力为FT1，弹簧的弹力为F1；现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k2(k2>k1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为FT2，弹簧的弹力为F2.下列关于FT1与FT2、F1与F2大小之间的关系，正确的是( ) A. FT1>FT2 B. FT1＝FT2 C. F1<F2 D. F1＝F2 【答案】BC 【解析】 【详解】以小球B为研究对象，进行受力分析．由平衡条件可知，弹簧的弹力F和绳子的拉力FT的合力F合与重力mg大小相等，方向相反，即F合＝mg，如图所示： 由三角形相似得： ， 又OA＝OB＝L，得FT=mg 故绳子的拉力FT只与小球B的重力有关，与弹簧的劲度系数无关，所以FT1=FT2，当弹簧的劲度系数变大时，弹簧的压缩量减小，故长度x增加，F2>F1，故BC正确，AD错误。 【模型四】应用矢量三角形法类解的动态态平衡模型。 1.模型情境联想 2.该类模型的基本特点 （1）、三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变） （2）、另一个力方向不变，大小可变， （3）、第三个力大小方向均可变， 方法：矢量三角形法分析第三个力的方向变化引起的物体受力的动态变化情况。 【典例3】(多选)如图，物体的重力为G，保持细绳AO的位置不变，让细绳BO的B端沿四分之一圆弧从D点缓慢向E点移动，在此过程中(　　) A.AO绳上的张力一直在增大 B.AO绳上的张力先减小后增大 C.BO绳上的张力先减小后增大 D.BO绳上的张力一直在减小 【答案】　AC 【解析】　对O点进行受力分析，O点处于静止状态，两绳子拉力的合力等于物体重力，由图可知 OB绳子上的拉力先减小后增大，OA绳子的拉力始终增大。 【典例4】 如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有一光滑挡板A，在挡板和斜面之间夹一质量为m的重球B，开始挡板A处于竖直位置，现使其下端绕O沿逆时针方向缓缓转至水平位置，分析重球B对斜面和对挡板压力的变化情况是(　　) A.对斜面的压力逐渐减小，对挡板的压力也逐渐减小 B.对斜面的压力逐渐变大，对挡板的压力则逐渐减小 C.对斜面的压力逐渐减小，对挡板的压力先变小后变大 D.对斜面的压力逐渐减小，对挡板的压力先变大后变小 【答案】　C 【解析】　分析球的受力，受到重力mg、挡板对球的弹力FA及斜面对球的支持力FB，如图所示 球处于静止状态，弹力FA与FB合力F的大小等于重力的大小，方向竖直向上。当挡板下端绕O沿逆时针方向缓慢转至水平位置的过程中，可以看出表示弹力FA的有向线段长度先变小后变大，即弹力FA先变小后变大；表示支持力FB的有向线段长度一直变短，即说明FB一直变小。由牛顿第三定律可知，球对挡板的压力先变小后变大，对斜面的压力逐渐减小。选项C正确。 【模型演练3】如图所示，一铁球用一轻绳悬挂于O点，用力F拉住小球，要使轻绳与竖直方向保持60°角不变，且F最小，则F与竖直方向的夹角θ应为(　　) A. 90° B. 60° C. 30° D. 0° 【答案】C 【解析】如图所示 小球受三个力而处于平衡状态，重力G的大小和方向都不变，绳子拉力T方向不变，因为绳子拉力T和外力F的合力等于重力，通过作图法知，当F的方向与绳子方向垂直时，由于垂线段最短，所以F最小，则由几何知识得，C正确． 【模型五】应用相似三角形法求解的动态态平衡模型。 1.模型情境联想 2.该类模型的基本特点 （1）三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变） （2）其余两个力方向、大小均在变 （3）有明显长度变化关系 方法：相似三角形法 【典例5】．如图所示，木板B放置在粗糙水平地面上，O为光滑铰链。轻杆一端与铰链O固定连接，另一端固定连接一质量为m的小球A。现将轻绳一端拴在小球A上，另一端通过光滑的定滑轮由力F牵引，定滑轮位于O的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力F的大小使小球A和轻杆从图示位置缓慢运动到正下方，木板始终保持静止，则在整个过程中（　　） A．外力F大小不变 B．轻杆对小球的作用力大小变小 C．地面对木板的支持力逐渐变小 D．地面对木板的摩擦力逐渐减小 【答案】D 【详解】A．对小球A进行受力分析，三力构成矢量三角形，如图所示 根据几何关系可知两三角形相似，因此 缓慢运动过程越来越小，则F逐渐减小，故A错误； B．由于OA长度不变，杆对小球的作用力大小不变，故B错误； CD．对木板，由于杆对木板的作用力大小不变，方向向右下，但杆的作用力与竖直方向的夹角越来越小，所以地面对木板的支持力逐渐增大，地面对木板的摩擦力逐渐减小，故C错误，D正确。 故选D。 【模型演练2】．如图所示，质量为100g的带电小球A和不带电滑环B用绕过光滑定滑轮的不可伸长的轻绳连接，滑环B套在与竖直方向成的粗细均匀的固定杆上，滑环和杆间的动摩擦因数，连接滑环B的绳与杆垂直并在同一竖直平面内，杆下端固定带电小球C，，由于空气潮湿小球带电量逐渐减小为零，滑环B始终静止。设滑环和杆间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，带电小球可看作点电荷。（）则（    ） A．绳子拉力逐渐变小 B．滑环B的质量不超过0.05kg C．固定杆给滑环B的弹力方向垂直于杆向上 D．滑环B受到的摩擦力逐渐变小 【答案】B 【详解】对小球A：根据三角形相似 可得 拉力不变； 滑环B：N方向向下 则要想静止N必须大于，则有 可得 故选B。 【模型演练3】如图所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物。现施加一拉力F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前，下列说法正确的是（ ） A．BC绳中的拉力FT越来越大 B．BC绳中的拉力FT越来越小 C．AC杆中的支撑力FN越来越大 D．AC杆中的支撑力FN越来越小 【答案】B 【解析】　以C点为研究对象，分析受力：重物的拉力T(等于重物的重力G)。 轻杆的支持力FN和绳子的拉力FT做出受力图如右图所示，由平衡条件知：FN与FT的合力与G大小相等，方向相反，根据三角形相似可得：＝＝ 解得：FN＝G，FT＝G 由于AC不变，所以FN不变，BC减小，FT减小，故选项B正确。 【模型六】应用单位圆或正弦定理法求解的动态态平衡模型。 1.模型情境联想 2.该类模型的基本特点 （1）三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变） （2）其余两个力方向、大小均在变 （3）有一个角恒定不变 【典例6】【多选】（2017·全国·高考真题）如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N．初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（）．现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　) A．MN上的张力逐渐增大 B．MN上的张力先增大后减小 C．OM上的张力逐渐增大 D．OM上的张力先增大后减小 【答案】AD 【详解】以重物为研究对象，受重力mg，OM绳上拉力F2，MN上拉力F1，由题意知，三个力合力始终为零，矢量三角形如图所示， 在F2转至水平的过程中，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以A、D正确；B、C错误． 【模型演练2】．【多选】如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定环上的M、N两点，O点下面悬挂一小球。细线OM、ON与竖直方向夹角分别为、。用、分别表示OM、ON的拉力，将两绳同时缓慢顺时针转过45°，并保持两绳之间的夹角始终不变，且小球始终保持静止状态，则在旋转过程中，下列说法正确的是（  ） A．在逐渐增大 B．先增大再减小 C．与的水平分量大小相等 D．与的竖直分量大小相等 【答案】AC 【分析】物体始终保持静止，合力为零，对物体受力分析，受到mg、F1、F2三个力，这三个力构成一个封闭的矢量三角，在旋转过程中，对矢量三角形动态分析即可。 【详解】AB．物体始终保持静止，合力为零，所以mg、F1、F2构成封闭的矢量三角形如图所示，由于重力不变，以及F1和F2夹角为90°不变，矢量三角形动态图如右图所示，mg始终为圆的直径，两绳同时缓慢顺时针转过45°过程中，F1一直增大，F2一直减小，故A正确，B错误； CD．与的水平分量大小相等，竖直分量的合力与重力大小相等，故C正确，D错误。 故选AC。 【点睛】题以共点力的平衡为命题背景考查学生的推理能力和分析综合能力，解题的关键的画出矢量三角，结合几何关系分析力的变化，难度适中。 【模型演练3】．【多选】粗糙水平地面上有一质量为M、倾角为30°的粗糙楔形物体C，斜面上有一个质量为的物块B，B与一轻绳连接，且绕过一固定在天花板上的定滑轮，另一端水平与一结点连接一个质量为m的小球A，右上方有一拉力F，初始夹角，如图所示。现让拉力F顺时针缓慢转动90°且保持α角大小不变，转动过程B、C始终保持静止。已知B与滑轮间的细绳与斜面平行，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．拉力F一直减小 B．BC间的摩擦力先减小再增大 C．物体C对地面的压力先减小再增大 D．物体C对地面的摩擦力的最大值为 【答案】AC 【详解】A．对题图右侧结点处受力分析，α角大小不变，可以使用辅助圆方法判断力的动态变化情况，如图所示 通过分析可得先增大再减小，F一直减小，A正确； B．初始状态，对A分析可得绳子拉力，对B分析，可发现 即一开始B与C间的静摩擦力为零，故当绳子拉力从先增大再减小到，B、C间的静摩擦力方向一直沿斜面向下且先增大再减小，B错误； CD．将B、C看成整体，竖直方向有 由于先增大再减小，故先减小再增大，故物体C对地面的压力先减小再增大，故C正确； D．水平方向上有 当最大时，即此时F水平，对A分析可计算得 所以 故D错误。 故选AC。 【模型七】“衣钩”模型-----“Y”字型平衡模型。 1.模型情境联想 2.模型识别 (1).一根绳子绕过光滑的滑轮或者光滑挂钩下挂一个物体，呈现“Y”字型结构特征。 (2).物体处于平衡状态。 3.模型构建 (1).受力大小特征—无论绕过光滑的滑轮、圆环、挂钩，只要是一根绳子，张力大小处处相等。 (2).受力方向特征—“Y”字型平衡模型，等大的两个拉力关于竖直方向对称。 4.经典情景如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。 设两杆间距离为d，绳长为l，Oa、Ob段长度分别为la和lb，则l＝la＋lb，两部分绳子与竖直方向夹角分别为α和β，受力分析如图所示。 绳子中各部分张力相等，Fa＝Fb＝F，则α＝β。 平衡条件2Fcos α＝mg， d＝lasin α＋lbsin α＝lsin α，即sin α＝， F＝，绳的右端上移到b′，d和l均不变，则sin α为定值，α为定值，cos α为定值，绳子的拉力保持不变，将杆N向右移一些，d增大，则sin α增大，cos α减小，绳子的拉力增大；若换挂质量更大的衣服，d和l均不变，绳中拉力增大，但衣服的位置不变。 5.建模感悟 (1)该平衡模型首先形状上呈现Y字形，应用力学对称思想。对称思想是物理学习中最重要的思想方法之一，运动学中竖直上抛模型就具有空间的对称性，根据对称性我们研究其一半运动，就可以化繁为简。同理后边我们还要学习能量守恒、动量守恒，他们具有关系对称，掌握了对称性，就掌握了一把打开物理殿堂的金钥匙。另外大多数对称模型属于见“形”起“意”，见“形”思“迁”，学习画图，根据图形特征，选择对应的解题技巧，是学习物理的重要方法。 6.“Y”字型平衡模型解决问题的两个要点 ①绕过光滑的滑轮、圆环、挂钩，只要是一根绳子，张力大小处处相等 ②平衡条件： 【典例8】．如图所示，水平直杆OP右端固定于竖直墙上的O点，长为L＝2 m的轻绳一端固定于直杆P点，另一端固定于墙上O点正下方的Q点，OP长为d＝1.2 m，重为8 N的钩码由光滑挂钩挂在轻绳上处于静止状态，则轻绳的弹力大小为(　　) A.10 N B.8 N C.6 N D.5 N 【答案】　D 【解析】　设挂钩所在处为N点，延长PN交墙于M点，如图所示： 同一条绳子上拉力大小处处相等，根据对称性可知两边的绳子与竖直方向的夹角相等，设为α，则根据几何关系可知NQ＝MN，即PM等于绳长；根据几何关系可得sin α＝＝＝0.6，则α＝37°，根据平衡条件可得2FTcos α＝G，解得FT＝5 N，故D正确，A、B、C错误。 【建模感悟】 该平衡模型首先形状上呈现Y字形，应用力学对称思想。对称思想是物理学习中最重要的思想方法之一，运动学中竖直上抛模型就具有空间的对称性，根据对称性我们研究其一半运动，就可以化繁为简。同理后边我们还要学习能量守恒、动量守恒，他们具有关系对称，掌握了对称性，就掌握了一把打开物理殿堂的金钥匙。另外大多数对称模型属于见“形”起“意”，见“形”思“迁”，学习画图，根据图形特征，选择对应的解题技巧，是同学们学习物理的重要方法。 【模型演练2】．某课外活动小组设计了如图所示的实验装置，光滑水平轻杆固定在竖直杆的O点，在水平轻杆上离O点为L处固定一个小的轻质定滑轮P，现将长为3L的光滑轻细线一端固定在O点，另一端通过轻质滑轮P与质量为m的滑块A相连，在轻细线上通过轻的光滑滑轮Q挂上滑块B，装置静止时，三角形OPQ刚好构成一个等边三角形，下列说法正确的是（　　） A．可求得滑块B的质量为mB=m B．若将O点处的线端沿水平杆向右缓慢移动L，则细线拉力大小减小，滑块A下降 C．若将O点处的线端沿竖直杆向下缓慢移动L，则细线拉力大小不变，滑块A上升 D．若将O点处的线端沿竖直杆向下缓慢移动L，则细线拉力大小不变，滑块A高度不变 【答案】D 【详解】A．对物块A受力分析可知细线上的拉力大小为 对滑轮Q受力分析可知 解得 A错误； B．若将O点处的线端沿水平杆向右缓慢移动L，物块A处于平衡状态，则细线拉力大小不变，B错误； CD．若将O点处的线端沿竖直杆向下缓慢移动L，物块A处于平衡状态，则细线拉力大小不变，由于细线拉力不变，则滑轮两侧细绳间的夹角不变，如图所示 根据几何关系知，PM的长度就代表了P轮左侧绳子的总长 因为夹角不变，MN之间的距离不变，则PM绳子总长不变，所以物体A的高度没有发生变化，C错误，D正确； 故选D。 【模型演练3】．如图，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球。在a和b之间的细线上悬挂一小物块。平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦。小物块的质量为（　　） A． B． C．m D．2m 【答案】C 【详解】设悬挂小物块的点为，圆弧的圆心为O，由于ab=R，所以三角形为等边三角形。 根据几何知识可得，而每一条绳子上的张力大小相等，故有 小物块受到两条绳子的拉力作用大小相等，夹角为120°，故小物块受到绳子拉力的合力等于mg，因为小物块受到绳子的拉力和重力作用，且处于平衡状态，故拉力的合力等于小物块的重力为mg，所以小物块的质量为m。 故选C。 【点睛】解决本题关键是能根据题目给出的几何关系确认拉小物块的两绳夹角为120°，再根据两个大小相等互成120°两力的合成结论求解即可。 【模型演练4】．有甲、乙两根完全相同的轻绳，甲绳A、B两端按图甲的方式固定，然后将一挂有质量为M的重物的光滑轻质动滑轮挂于甲轻绳上，当滑轮静止后，设甲绳子的张力大小为FT1；乙绳D、E两端按图乙的方式固定，然后将同样的定滑轮且挂有质量为M的重物挂于乙轻绳上，当滑轮静止后，设乙绳子的张力大小为FT2.现甲绳的B端缓慢向下移动至C点，乙绳的E端缓慢向右移动至F点，在两绳的移动过程中，下列说法正确的是(　　) A．FT1、FT2都变大 B．FT1变大、FT2变小 C．FT1、FT2都不变 D．FT1不变、FT2变大 【答案】　D 【解析】　设绳子总长为L，两堵竖直墙之间的距离为s，左侧绳长为L1，右侧绳长为L2.由于绳子上的拉力处处相等，所以两绳与竖直方向夹角相等，设为θ，则由几何知识，得：s＝L1sin θ＋L2sin θ＝(L1＋L2)sin θ，又L1＋L2＝L 得到sin θ＝；设绳子的拉力大小为FT，重物的重力为G.以滑轮为研究对象，根据平衡条件得2FTcos θ＝G， 解得：FT＝；可见，对题图甲，当绳子右端慢慢向下移时，s、L没有变化，则θ不变，绳子拉力FT1不变；对题图乙，当绳子的右端从E向F移动的过程中，由于绳子的长度不变，所以两个绳子之间的夹角θ增大，cos θ减小，则绳子拉力FT2增大，故A、B、C错误，D正确 一、单选题 1．在建筑工地上，把三个形状相同且质量都为的匀质圆形钢管按照如图所示放置在粗糙水平面上，钢管刚好接触且无挤压，系统处于静止状态，重力加速度为，钢管与水平地面之间的动摩擦因数为，，则水平面对钢管的摩擦力大小为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】对A钢管受力分析，如图 A钢管受到重力，以及B、C钢管对它的支持力（因为B、C与A接触且对称，所以两个支持力大小相等）。 由于A处于静止状态，竖直方向受力平衡。根据几何关系，A与B、C的圆心连线构成等边三角形，所以支持力F与竖直方向的夹角为。 对A进行竖直方向的受力分析有 解得 对B钢管受力分析，B钢管受到重力、地面的支持力、A对B的压力（大小等于），以及地面的静摩擦力。 将沿水平方向分解，根据平衡条件有水平分力 求得，故选C。 2．如图所示，竖直平面内有一固定的光滑支架，一质量为m的小球穿在支架的竖直杆上，一轻弹簧的一端与小球相连接，另一端固定在支架斜杆的A点。初始时刻小球静止在B点，现给小球施加竖直向上的作用力F使小球缓慢上升，直到小球到达与A点等高的C点，此时弹簧恰好恢复到原长。从小球离开B点运动到C点过程中（弹簧在弹性限度内）（　　） A．F一直变小 B．F一直变大 C．杆对球的弹力先变大后变小 D．小球可能受三个力作用 【答案】B 【详解】AB．设弹簧与竖直杆的夹角为θ，则对小球分析，竖直方向 当小球缓慢向上运动时减小，θ变大，可知F变大，A错误，B正确； C．水平方向 则θ变大时，FN一直减小，C错误； D．小球离开B点运动到C点过程中，小球受重力、力F、弹簧的拉力以及细杆的弹力，共4个力作用；到达C点时受力F和重力作用，D错误。 故选B。 3．如图所示，内壁为光滑半圆的凹槽静止在粗糙水平地面上，为半圆圆心，为半圆最低点，为半圆水平直径的端点。凹槽内有一小球，用推力推动小球从点向点缓慢移动，推力的方向始终沿圆弧的切线方向，凹槽始终静止。则（　　） A．推力大小不变 B．推力先增大后减小 C．地面对凹槽的摩擦力先增大后减小 D．地面对凹槽的摩擦力先减小后增大 【答案】C 【详解】AB．对小球进行受力分析，如图所示： 则F=mgsinθ，N=mgcosθ 当滑块由A点向B点缓慢移动时，θ增大，可知推力F逐渐增大，故AB错误； CD．根据上述可知，推力F与水平方向的夹角为θ，对凹槽与小球整体分析可知，在推力F的作用下，凹槽与小球整体有向右运动的趋势，则水平地面对凹槽的摩擦力方向向左，对凹槽与小球整体分析有f=Fcosθ=mgsinθcosθ=mgsin2θ θ增大，可知地面对凹槽的摩擦力先增大后减小，故C正确，D错误。 故选C。 4．晾晒衣物常用的等腰三角形晾衣架顶角为。一件重为的裙子通过两根裙带对称地竖直挂在衣架两斜边棱上静止，每根裙带受到衣架斜边棱的摩擦力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对裙子受力分析可知，每个裙带上的拉力的大小为 对裙带受力分析如图所示 根据几何知识可得 故选D。 5．在学校大扫除中，某同学用如图所示拖把拖地，他站在原地不动，然后用手向前推动拖把，拖杆给拖把头的力F一直沿拖杆向下，拖杆与竖直方向的夹角θ逐渐变大，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．与拖把头相关的作用力共有3对 B．地面对拖把头的作用力始终沿拖杆向上 C．若F的大小恒定，则F做功的瞬时功率也恒定 D．若F的大小恒定，则离人站的位置越远的地面与拖把头间的摩擦力越小，地面越难拖干净 【答案】D 【详解】A．拖把头受到重力、地面对其的支持力、拖杆给拖把头的力F、地面对其的摩擦力，故与拖把头相关的作用力有4对，A项错误； B．若拖把头匀速运动，则地面对拖把头的作用力与F和拖把头重力的合力等大反向，现在拖把头的运动状态不确定，故地面对拖把头的作用力不一定沿拖杆向上，B项错误； C．F做功的瞬时功率 夹角θ变大，sin θ变大，拖把头与地面间的弹力变小，则拖把头受到的摩擦力变小，拖把头做加速运动，v变大，故F做功的瞬时功率变大，C项错误； D．地面对拖把头的支持力为，拖把头离人站的位置越远θ越大，支持力越小，滑动摩擦力越小，地面越难拖干净，D项正确。 故选D。 6．如图所示，用OA、OB两根轻绳将花盆悬于两竖直墙之间，开始时OB绳水平。现保持O点位置不变，改变OB绳长使绳右端由B点缓慢上移至点，此时与OA之间的夹角。设此过程中OA、OB绳的拉力分别为FOA、FOB，则下列说法中正确的是（　　） A．FOA一直增大 B．FOB一直减小 C．FOB先减小，后增大 D．当时，FOB最大 【答案】C 【详解】以结点O为研究对象，其受重力G、绳OA的拉力FOA和绳OB的拉力FOB，如图所示 根据平衡条件知，两根绳子的拉力的合力与重力大小相等、方向相反，作出轻绳OB在不同位置时力的合成图，由图看出，FOA一直减小，FOB先减小，后增大，当时，FOB最小，故选C。 7．如图甲，一名登山爱好者正沿着竖直崖壁向上攀爬，绳的一端固定在较高处的点，另一端拴在人的腰间点（重心处），在人向上攀爬的过程中可以把人简化为图乙的物理模型：脚与崖壁接触点为点（可自由转动），人的重力全部集中在点，到点可简化为轻杆，为轻绳，已知长度不变，人向上攀爬过程中到达某位置后保持点不动，缓慢转动来调整姿势，某时刻构成等边三角形，则（　　） A．在此时刻，轻绳对人的拉力与人的重力的合力不一定沿杆 B．绳在虚线位置与实线位置承受的拉力大小相等 C．在虚线位置时，段承受的压力与在实线位置大小相等 D．在此时刻，轻绳承受的拉力大小为；当水平时，轻绳承受的拉力大小为，则 【答案】C 【详解】A．在此时刻，根据平衡条件可知，轻绳对人的拉力与人的重力的合力与杆的弹力大小相等，方向相反，则轻绳对人的拉力与人的重力的合力一定沿杆方向，故A错误； BC．对人受力分析，人受到重力G、轻绳的拉力T和轻杆的支持力F，构成力的三角形下图所示 由几何知识可知，该力的三角形与三角形AOC相似，则有 则根据上式可知，AC绳在虚线位置承受的拉力比实线位置承受的拉力大，轻杆在虚线位置与实线位置承受的压力相等，故B错误，C正确； D．在此时刻，由于AOC构成等边三角形，可知轻绳AC承受的拉力大小为 为当OC水平时，AOC为等腰直角三角形，则轻绳AC承受的拉力大小为 则有，故D错误。 故选C。 8．如图甲所示，餐具桶中放置一把质量为m的铲子，其简化图如图乙，若桶口边缘光滑，铲子与竖直筒壁的夹角为，与水平桶底之间的动摩擦因数为，两者恰好保持相对静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则桶底对铲子的摩擦力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，对铲子受力分析，受重力、桶底的支持力和摩擦力、筒壁的支持力，如图所示，由平衡条件有，，又 解得 故选D。 9．如图，一小球静止在竖直墙壁和木板之间。现将木板从图示位置沿顺时针方向缓慢旋转至水平位置，下列说法正确的是（　　） A．小球对墙壁的压力变大，对木板的压力变小 B．小球对墙壁的压力变小，对木板的压力变大 C．小球对墙壁的压力变小，对木板的压力变小 D．小球对墙壁的压力变大，对木板的压力变大 【答案】C 【详解】设墙壁和木板对小球的作用力分别为和。以小球为研究对象，根据受力情况作出力的示意图如图。 设木板与水平方向的夹角为。根据平衡条件得：， 将木板缓慢旋转至水平位置的过程中，减小，减小，增大，则得到、均减小，故选C。 10．如图所示，悬挂衣服的绳子两端A、B分别固定在两根竖直杆上，A点高于B点，无风状态下衣服静止。一阵横风吹来，衣服受到水平向右的恒力而滑动，并在新的位置保持静止。不计绳子的质量及绳与衣架挂钩间的摩擦，绳子不可伸长。现将A点下移至与B点等高，则此过程中，细绳上的张力（　　） A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．始终不变 D．先变大后变小 【答案】B 【详解】当在有风的情况下，重力与风力的合力为恒力，则两细绳拉力的合力也为恒力，将A点下移至与B点等高，根据图像可以看出，两细绳之间的夹角变小，则细绳上的张力变小，故选B。 二、多选题 11．如图，在测试一款汽车减震系统的性能时，工程师用了一个简化模型进行研究：用质量为m的小球代替汽车的某一部件，通过轻质弹簧连接于支架上的O点。一个特殊装置对小球施加一个模拟来自路面的作用力F（未画出）。当小球静止时，弹簧伸长，弹力T与小球重力大小相等，此时弹簧与竖直方向的夹角，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．F的大小为mg B．F的大小为2mg C．若保持T方向不变，将F顺时针缓慢旋转30°的过程中T逐渐减小 D．若保持T方向不变，将F顺时针缓慢旋转30°的过程中F逐渐增大 【答案】AC 【详解】AB．如图所示，设作用力F与竖直方向的夹角为 则， 解得，，故A正确，B错误； CD．如图所示，若保持T方向不变，将F顺时针缓慢旋转30°，F方向恰好和T方向垂直，故将F顺时针缓慢旋转30°的过程中，由图解法可知 T逐渐减小，F逐渐减小，故C正确，D错误。 故选AC。 12．如图所示为一提升重物的装置。一根轻绳与重物相连，另一端系在A点，人在B点拉动轻绳使轻杆绕点在竖直平面内自由转动。当从图示位置缓慢转至竖直方向时，若轻绳不可伸长，则下列说法正确的是（　　） A．人对轻绳的拉力变小 B．人对轻绳的拉力不变 C．轻杆上的弹力大小不变 D．轻杆上的弹力变小 【答案】AD 【详解】对A点受力分析，如图所示 过点作竖直线交于点，可知A点受力、、三个力作用，根据平衡条件可得 根据平行四边形定则作出、两个力的合力，根据平衡条件可得 由三角形相似，可得 将代入得， 人在点将轻杆拉至竖直方向的过程中，的长度不变，的长度变大，的长度变小，故轻杆的弹力变小，人对轻绳的拉力变小。 故选AD。 13．如图所示，质量均为m的小球A、B用劲度系数为的轻弹簧相连，B球用长为L的细绳悬挂于O点，A球固定在O点正下方。当小球B平衡时，细绳所受的拉力为，弹簧的弹力为；现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为（）的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时细绳所受的拉力为，弹簧的弹力为。下列关于与、与大小的比较，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】用劲度系数为的轻弹簧相连时，以小球B为研究对象，进行受力分析如图所示 由平衡条件可知，弹簧的弹力和绳子的拉力的合力与重力mg大小相等，方向相反；设弹簧的原长为，弹簧的压缩量为，由相似三角形相似可得 其中 用劲度系数为的轻弹簧相连时，同理可得， 由于、、不变，，可得弹簧的压缩量，可知变大；则有，。 故选BC。 14．如图，一轻绳绕过定滑轮C（半径可忽略）一端连接小球（可视为质点），另一端连接物体。物体放在粗糙水平地面上，受到水平向右的力的作用，使得小球沿光滑固定的半球面从图示位置缓慢向上移动，定滑轮C在半球面球心的正上方，已知的长度为，半球面的半径为。小球向上移动到球心正上方点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．轻绳的拉力减小 B．半球面对小球的支持力变大 C．地面对物体的摩擦力减小 D．地面对半球面的作用力增大 【答案】AD 【详解】AB．小球沿光滑半球面缓慢运动过程中，小球受到重力、轻绳的拉力、半球面对的支持力的作用，处于三力平衡状态，根据相似三角形法知 可得轻绳的拉力逐渐减小，支持力不变，故A正确、B错误； C．物体向右运动，受到轻绳的张力、重力、地面的支持力和滑动摩擦力、水平拉力的作用。因为轻绳的张力减小，轻绳与竖直方向的夹角增大，可知张力的竖直分力减小，则地面对物体的支持力增大，摩擦力增大，故C错误； D．小球对半球面的压力大小不变，其方向与竖直方向夹角变小，则压力与半球面的重力的合力增大，此合力与地面对半球面的作用力为一对平衡力，故地面对半球面的作用力增大，故D正确。 故选AD。 15．用三根细线a、b、c将两个小球1和2连接并悬挂，如图所示，两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，细线c水平。小球1和2的质量之比为2：1，下列说法正确的是（　　） A．细线a、c拉力之比为3∶1 B．细线a、b拉力之比为 C．细线b与竖直方向的夹角为60° D．若保持细线c水平，减小细线a与竖直方向的夹角，细线c的拉力增大 【答案】BC 【详解】A．两个小球1和2的质量分别为2m和m，选取1、2两球整体为研究对象，受力如图所示 利用正交分解法，得， 解得，，故A错误； B．选取球2为研究对象，由平衡条件可得 细线a、b拉力之比为，故B正确； C．对球2根据受力平衡有 解得细线b与竖直方向的夹角为，故C正确； D．对整体分析可知 若保持细线c水平，减小a与竖直方向的夹角，细线c的拉力减小，故D错误。 故选BC。 16．如图所示，倾角为θ = 30°的斜面体固定在水平面上，质量mb = 1kg的b置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与物体a相连接，连接b的一段细绳与斜面平行，a物体在方向可变的拉力F作用下静止在如图所示位置，已知F最小时，大小为5N，（重力加速度大小为g = 10m/s2）则（   ） A．a物体质量为1kg B．F最小时，方向水平向右 C．F最小时，绳中张力大小为 D．F最小时，b物体受斜面摩擦力大小为 【答案】AD 【详解】ABC．设绳中张力为T，物体a受力示意图如图，可知当拉力F斜向右上与绳子垂直时的拉力最小，根据平衡条件有， 解得，，故A正确、故BC错误； D．当F最小时绳中张力为，根据平衡条件可知，物体b的摩擦力为，故D正确。 故选AD。 17．如图，斜面光滑的楔形物体放置在粗糙水平面上，一轻质细线绕过滑轮1和滑轮2，两端分别与物体和轻环连接，轻环穿在粗糙水平横杆上，滑轮2下吊一物体。物体和滑轮1间的细线平行于斜面，系统静止。现在物体上轻放一个小质量物体（可视为质点），系统再次静止（即撤去外界干预后的新平衡，楔形物体始终在原来位置）。不计滑轮质量和滑轮与绳间的摩擦。则（   ） A．滑轮2两侧绳子之间的夹角不变 B．地面对楔形物体的支持力变大 C．地面对楔形物体的摩擦力不变 D．横杆对轻环的摩擦力变小 【答案】BD 【详解】A．对受力分析如图1所示 根据平衡条件有，所以在整个过程中，不变； 对滑轮2受力分析如图2所示 根据平衡条件有 放上小物体后，增大，减小，故A错误； BC．以和楔形物体整体为研究对象，受力分析如图3所示 根据平衡条件有 所以地面对楔形物体的支持力变大，摩擦力变小，故B正确，C错误； D．对轻环c受力分析，,横杆对轻环c的摩擦力变小，故D正确。 故选BD。 18．如图甲所示，工人用叉车拉石墩时，可简化为如图乙所示的模型，，叉车臂AC与水平方向夹角为。不计球形石墩表面摩擦，叉车和石墩始终保持相对静止，在叉车匀速运动的过程中，若从缓慢增加为，叉车臂对石墩的作用力和车把对石墩的作用力的大小变化为（　　） A．一直增加 B．先增加后减小 C．先减小后增加 D．一直在减小 【答案】AD 【详解】在叉车匀速运动的过程中，对石墩进行受力分析，并将石墩所受的三个力进行平移构成一个首尾相接的矢量三角形，在从增加为过程中，该矢量三角形的三个顶点应落在一个圆上，如图所示 重力为圆的直径，由图可知，一直增加，一直在减小。 故选AD。 19．如图所示，将一光滑轻杆固定在水平地面上，杆与地面间的夹角为，一光滑轻环套在杆上，一个大小和质量都不计的滑轮用轻绳悬挂在天花板上，用另一轻绳绕过滑轮系在轻环上，轻绳另一端系一质量为的小物块，用手扶住小物块使恰好在竖直方向。现用手扶着小物块使其缓慢向下运动，到达某位置时松手，小物块恰好可以保持静止，此时（已知重力加速度大小为，小物块未碰杆或地面）（　　） A．绳与水平方向的夹角为 B．绳的张力大小为 C．绳与水平方向的夹角为 D．绳的张力大小为 【答案】ABD 【详解】A．再次平衡时，以轻环为对象，根据平衡条件可知，绳与杆垂直，所以绳与水平方向的夹角为，故A正确； B．系统处于平衡状态，以小物块为对象，根据受力平衡可知，绳的张力大小为，故B正确； C．绳在绳和系小物块的绳夹角的角平分线上，所以绳与水平方向的夹角为，故C错误； D．根据平衡条件可得绳的张力大小为 故D正确。 故选ABD。 20．如图所示，送水工人用推车在水平路面运桶装水，水桶对板OA、OB的压力分别为F1、F2，运送过程中水桶与推车保持相对静止，∠AOB为锐角且保持不变。到达目的地后，另一工人将板OA由竖直转至水平即可将水桶卸下。全程车把手距地面的高度不变，忽略水桶与板间摩擦，下列说法正确的是（　　） A．推车由静止突然启动时，F1减小F2增大 B．推车由匀速突然减速时，F1增大F2不变 C．在OA由竖直缓慢转到水平过程中，F1先增大后减小 D．在OA由竖直缓慢转到水平过程中，F2先增大后减小 【答案】BC 【详解】A．推车由静止时F1、F2和重力三力平衡，F1水平向右，F2竖直方向分量与重力平衡，突然启动时即加速度水平向左，故F1减小F2不变，故A错误； B．推车由匀速突然减速时即加速度水平向右，F1增大F2不变，故B正确； CD．在OA由竖直缓慢转到水平过程中，F1、F2和重力三力平衡构成矢量三角形如图，根据，F1由先图示位置逆时针转，可知F1先增大后减小，F2一直减小，故C正确，D错误； 故选 BC。 1 学科网（北京）股份有限公司 $