精品解析：江苏省南京市第十三中学2025-2026学年上学期九年级数学月考卷

2025-2026学年第一学期九年级数学月考卷(2025.12.9) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分） 1. 的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 2. 下列一元二次方程中，有实数根的是（ ） A. x2－x＋2＝0 B. x2+x－1＝0 C. x2－2x+3＝0 D. x2＋4＝0 【答案】B 【解析】 【详解】A．△=1-8=-7＜0，无实数根，故A错误； B．△=1+4=5＞0，有两个不相等的实数根，故B正确； C．△=4-12=-8＜0，无实数根，故C错误； D． △=0-16=-16＜0，无实数根，故D错误； 故选B． 3. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误； B、该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误； C、该方程中，当时，没有二次项，不是一元二次方程，故本选项错误； D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确． 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 5. 佳琪在处理一组数据“22，22，38，45，●”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在40～50之间，根据以上信息可以确定这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均数，中位数，众数和方差，根据各位的特点和计算方法，进行判断即可． 【详解】解：∵平均数和方差跟一组数据的每一个数据都有关系， ∴无法确定平均数和方差， ∵众数为一组数据中出现次数最多的数据，当●是45时，有两个众数，当●不是45时，有一个众数， ∴不能确定众数， ∵将这组数据排序后，位于中间的一个为38， ∴中位数为38； ∴能确定这组数据的中位数， 故选B． 6. 如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示： ∵正六边形内接于， ∴∠COD= =60°，则∠COE=120°， ∴∠CME= ∠COE=60°， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键． 7. 如图是二次函数的图象，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数，的符号由抛物线的开口方向决定，的符号由抛物线的对称轴与的符号确定，的符号由抛物线与轴交点的位置确定，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由图象知，抛物线开口向上，则， 对称轴在轴的左侧，即， ∴， 抛物线与轴的交点坐标为，在轴正半轴上， ∴， 综上所述， 故选：B． 8. 我们常用“y随x的增大而增大（或减小）”来表示两个变量之间的变化关系．有这样一个情境：如图，小王从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他与路灯C的距离y随他与点A之间的距离x的变化而变化．下列函数中y与x之间的变化关系，最有可能与上述情境类似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题探究函数的表达式，正确理解题意是关键； 由题意可知小王从点A到路灯C的正下方前他与路灯的距离越来越小，到路灯正下方时距离最小，从路灯沿直线走到点B的过程中他与路灯的距离越来越大，也就是先减小后增大，有最小值，结合函数的性质和选项即可判断. 【详解】解：由题意可知小王从点A到路灯C的正下方前他与路灯的距离越来越小，到路灯正下方时距离最小，从路灯沿直线走到点B的过程中他与路灯的距离越来越大，也就是先减小后增大，有最小值，观察所给函数，最符合的是D； 故选D． 9. 二次函数的图象与坐标轴有且只有两个交点，则的值为（　　） A. 或 B. 5或 C. 或3 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与x轴，轴的交点的个数与其所对应一元二次方程根的判别式之间的关系是解题的关键．由二次函数的图象坐标轴有两个交点，同时二次函数一定过，进而可得到二次函数与x轴有一个交点，再利用判别式进一步求解即可． 【详解】解：∵， 当时，， ∴二次函数与轴的交点为， 又∵二次函数的图象与坐标轴有且只有两个交点， 故二次函数与轴有且只有一个交点， 故， 解得或， 故选：B． 10. 如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上． 若A，C两点的横坐标分别为m，n（），下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，熟知二次函数的图象和性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．分别过，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， 所以，，，． 因为四边形是正方形， 所以，， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以，， 所以， 又因为， 所以， 即， 因为， 所以， 所以． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，17和18题第一空1分，第二空2分，共24分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 12. 已知，则代数式的值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．设，得出，，，再代入化简即可． 【详解】解：设， 则，，， 则， 故答案为：． 13. 一元二次方程配方，得，则是________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法，掌握配方步骤正确计算是本题的解题关键．将原方程进行配方，然后求解即可． 【详解】解： ， ，，即， ． 故答案为：9． 14. 如图，在5×6的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，求角的正切值，解题的关键是正确作出辅助线．取格点，连接，根据勾股定理逆定理可得，即可求解． 【详解】解：取格点，连接，如图所示： 由图可知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 15. 雪上项目占据了2022年北京冬奥会的大部分比赛项目，由自由式滑雪、越野滑雪、跳台滑雪、无舵雪橇、有舵雪橇、高山滑雪等．如图，某滑雪运动员在坡度为的雪道上下滑91米，则该滑雪运动员沿竖直方向下滑的高度为___________米． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了坡比的概念以及勾股定理的应用，理解坡比的概念是解题的关键．坡比是指坡面的垂直高度和水平距离的比值，已知坡比和下滑的斜边长度，设该滑雪运动员沿竖直方向下滑的高度为米，根据勾股定理建立方程求解竖直方向下滑的高度． 【详解】解：设该滑雪运动员沿竖直方向下滑的高度为米，因为雪道坡比为，所以水平方向移动的距离为米， 根据勾股定理，可列方程：， 解得或(长度不能为负舍去)， 因此，该滑雪运动员沿竖直方向下滑的高度为35米． 故答案为：35． 16. 如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意，画出示意图，易得，进而可得，即，代入数据可得答案． 【详解】解：根据题意，作，树高为，且，，； ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得 故答案为：． 17. 已知代数式（a，c是常数）中，x与该代数式的部分对应值如下表： 0.0142 0.0832 根据表中数据，可知关于x的方程的一个根约为_______，另一个根约为_______．（都精确到0.1） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，关键是观察表格，确定代数式值由负到正时，对应的的取值范围．由表格可知的值在之间，代数式的值由负到正，故可判断时，对应的的值在之间，然后利用根与系数的关系即可求得另一个根． 【详解】解：设方程的两个根、， ， 由表格可知的值在之间，代数式的值由负到正， 关于的方程的一个根约为， 则， 则另一个根约为， 故答案为：，0.7． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，顶点为，对称轴与轴交于点． （1）若该抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为_________； （2）当抛物线顶点在第二象限时，如果，的值为______． 【答案】 ①. ##0.125 ②. 或 【解析】 【分析】（1）依据题意，令，整理得，又因抛物线与直线有且只有一个交点，从而可得，解方程即可求出的值； （2）由“顶点在第二象限”可得，然后分两种情况讨论：①当点在轴的正半轴上时；②当点在轴的负半轴上时；分别画出图形，然后过点作于点，由可得，进而可得，然后依据该比例式列出关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：（1）依题意，令， 整理，得：， 又抛物线与直线有且只有一个交点， ， 解得：， 故答案为：； （2）顶点在第二象限， ， 然后分两种情况讨论： ①当点在轴的正半轴上时， 如图，过点作于点， 令，则， ， 令，则， ， ，， ， ， ， ， ， 解得：或（不符合题意，故舍去）； ②当点在轴的负半轴上时， 如图，过点作于点， 令，则， ， 令，则， ， ，， ， ， ， ， ， 解得：或（不符合题意，故舍去）； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求抛物线与轴的交点坐标，锐角三角函数的定义，根据判别式判断一元二次方程根的情况（逆用），因式分解法解一元二次方程，解一元一次方程等知识点，根据锐角三角函数的定义列出关于的方程是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. （1）计算： （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题关键． （1），据此即可求解； （2）由题意得，根据，据此即可求解； 【详解】解：（1）原式 （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）无解 （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程、解一元二次方程． （1）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程并检验，即可求解； （2）根据直接开平方法解方程即可． 【小问1详解】 解： 方程两边同时乘以，得 ∴ 解得： 当时， ∴是原方程的增根，原方程无解； 【小问2详解】 解： ∴ ∴ ∴，． 21. 如图，在中，D是边上一点，且． （1）求证：； （2）若，，的面积为9，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）36 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． （1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定即可证明，即得出； （2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 22. 某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组(每组20人)进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出下面的统计表和统计图． 甲组成绩统计表 成绩 7 8 9 10 人数 1 9 5 5 乙组成绩统计图 请根据上面的信息，解答下列问题： （1）甲组成绩的中位数是 ，乙组成绩的众数是 ； （2）请求出乙组成绩的平均数； （3）已知甲组成绩的方差为，请求乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定． 【答案】（1）；8 （2） （3）；乙组更加稳定些 【解析】 【分析】本题考查了众数，中位数，平均数，方差，熟练掌握公式是解题的关键． (1)根据中位数，众数的定义计算即可． (2)根据加权平均数的公式计算即可． (3)根据方差计算公式计算即可． 【小问1详解】 根据题意，甲组成绩的是中间两个数据8和9的平均数， 故中位数是， 故答案为：； 乙组中，成绩为8的数据出现了9次，次数最多， 故乙组数据的众数是8， 故答案为：8． 【小问2详解】 根据加权平均数的公式，得 【小问3详解】 ∵乙组的平均数是， ∴其方差为： ∵， 故乙组更加稳定些． 23. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文 化的根脉，小华在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母表示，正面文字依次是大、美、江、西，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同）， 现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小华从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“大”的概率为 ___________； （2）小华从中随机抽取一张卡片，不放回，小亮再从中随机抽取-张卡片，请用列表法或画树 状图法求两人抽取的卡片恰好组成"江西"词的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率． (1)直接利用概率公式计算即可； (2)通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两人抽取的卡片恰好组成“江西”一词一共有2种，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：一共有大、美、江、西，4张卡片，小华从中随机抽取一张卡片， 抽取卡片上的文字是“大”的概率为 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“江西”一词结果有2种， ∴（两人抽取的卡片恰好组成“江西”一词）． 24. 如图，是的直径，D是弦延长线上一点，且，的延长线交于点E，连接交于点F． （1）求证：； （2）若是的中点，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、垂径定理、等边三角形的判定与性质，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）连接，由是的直径，得，而，则垂直平分，所以，进而根据圆周角定理证明； （2）如图，连接，由是的中点，根据垂径定理得，证明是等边三角形，即可得解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴的度数是． 25. 图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上，点不在格点上，是与格线的交点．请你仅用无刻度的直尺，按下列要求作图． （1）在图1中作的高线； （2）在图2中的边上确定点，连接，使得． （3）在图3中的边上确定点，连结，使得． 【答案】（1）如图所示：即为所求； （2）如图所示：即为所求； （3）如图所示：即为所求： 【解析】 【分析】（1）找到的格点，连接交于点，则即为所求； （2）由得，进而得，找到格点，易得，推出；则即为所求； （3）找到格点，易得，推出；找到格点，易得，推出，进一步得，即可得到； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 26. 我市某企业安排20名工人生产甲、乙两种产品，根据生产经验，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品（每人每天只能生产一种产品）．甲产品生产成本为每件10元；若安排1人生产一件乙产品，则成本为38元，以后每增加1人，平均每件乙产品成本降低2元．规定甲产品每天至少生产20件．设每天安排人生产乙产品． （1）根据信息填表： 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品生产成本（元） 甲 10 乙 （2）为了增加利润，企业须降低成本，该企业如何安排工人生产才能使得每天的生产总成本最低？最低成本是多少？ 【答案】（1）根据信息填表： 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品生产成本（元） 甲 10 乙 x x （2）安排10名工人生产甲产品，10名工人生产乙产品才能使得每天的生产总成本最低，最低成本是400元【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，列代数式，正确理解题意列出W关于x的二次函数关系式是解题的关键． （1）先求出每天安排人生产甲产品，再根据每人每天生产2件甲产品求出每天生产甲产品的数量，据此填表即可； （2）设每天的生产总成本为W元，根据成本生产数量每件的生产成本列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设总成本为W元，根据题意得， ， ∵甲产品每天至少生产20件， ∴， 解得：， ， 当时，元， ∴安排10名工人生产甲产品，10名工人生产乙产品才能使得每天的生产总成本最低，最低成本是400元． 27. 如图，菱形中，，，点是线段上一点（不含端点），将沿翻折，的对应边与相交于点． （1）当时，求的长； （2）若是等腰三角形，求的长； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质以及折叠的性质可得是等边三角形，，，，，则，根据勾股定理求出，根据等腰直角三角形的性质可得，即可得的长； （2）分两种情况：①当时，②当时，根据等腰三角形的性质分别求解即可； （3）过点作于，作于，根据三角形的面积公式可得，则，由得，由点在上可得的最大值为4，当，即点与点重合时，的值最小为，可得，即可得的取值范围． 【小问1详解】 菱形中，， ∴是等边三角形，，， ∴， 由折叠得 ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 【小问2详解】 若是等腰三角形，分三种情况： ①当时 由（1）知，， ∴ ②当时，如图1， ∵ ∴ ∴ ∴ 综上，的长为或4或； 【小问3详解】 过点作于，作于 由折叠得 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵点在上 ∴的最大值为4，当 即点与点重合时，的值最小为 ∴ ∴ ∴的取值范围为 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，分类思想的运用是解题的关键． 28. 实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，男生小明同学进行了一次投掷，从投掷到落地的过程中，通过设备测得实心球与地面的竖直高度m与出发点的水平距离m的相关数据信息，如下所示： 信息1：小明投掷时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 2 6 竖直距离 信息2：无锡市初中生实心球得分标准． 水平最大距离 男生得分 9 8 7 水平最大距离 女生得分 9 8 7 （1）请你根据以上数据判断小明同学的得分，并说明理由； （2）实验小组研究发现：如图，在投掷实心球的运动中，会产生竖直向上的速度和水平向前的速度，设实心球出手时水平向前的速度为，竖直向上的速度为．出手速度满足．实心球在空中运动时，其水平距离与时间的关系为：．竖直高度与时间的关系为：． ①在小明同学的一次投掷中，测得，；根据以上信息，则与的函数表达式为___________；关于的函数表达式为___________； ②研究表明：当这两个速度相等时，投掷距离最远．小明同学在一次投掷中，测得，点为投掷点，实心球落在圆心角为的区域内时成绩有效，以实心球的落地点与投掷点的距离为学生的投掷距离，已知落地点在区域内且到边界的距离，，请求出小明投掷的距离，并求出投掷实心球的出手速度． 【答案】（1）分 （2）①，；②； 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，正确理解题意，构建二次函数模型是解题关键； （1）设运动轨迹所在的抛物线的解析式为：，代入，即可求解； （2）①将，代入，．即可求解； ②作，推出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ，求得；推出投掷距离； 联立，得：；代入点即可求解； 【小问1详解】 解：得分为10分； 理由如下： 设运动轨迹所在的抛物线的解析式为：， 将代入得： ，解得：， ∴； 令，解方程得：； ∴小明投掷时，最大水平距离为； ∴小明得分为分； 【小问2详解】 解：①由题意得：，； 联立，得：； 故答案为：，； ②连接，作于点，作于点，如图所示： 则四边形为矩形， ∴； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴； 即：投掷距离为； ∵， ∴，， 联立，得：； ∵投掷距离为； ∴经过点，即：，解得：（舍）， ∴， ∴出手速度 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级数学月考卷(2025.12.9) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分） 1. 的值是（　　） A. B. C. D. 2. 下列一元二次方程中，有实数根的是（ ） A. x2－x＋2＝0 B. x2+x－1＝0 C. x2－2x+3＝0 D. x2＋4＝0 3. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 佳琪在处理一组数据“22，22，38，45，●”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在40～50之间，根据以上信息可以确定这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 6. 如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是二次函数的图象，则（　　） A. B. C. D. 8. 我们常用“y随x的增大而增大（或减小）”来表示两个变量之间的变化关系．有这样一个情境：如图，小王从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他与路灯C的距离y随他与点A之间的距离x的变化而变化．下列函数中y与x之间的变化关系，最有可能与上述情境类似的是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象与坐标轴有且只有两个交点，则的值为（　　） A. 或 B. 5或 C. 或3 D. 以上都不对 10. 如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上． 若A，C两点的横坐标分别为m，n（），下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，17和18题第一空1分，第二空2分，共24分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 已知，则代数式的值为__________ 13. 一元二次方程配方，得，则是________． 14. 如图，在5×6的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为___________． 15. 雪上项目占据了2022年北京冬奥会的大部分比赛项目，由自由式滑雪、越野滑雪、跳台滑雪、无舵雪橇、有舵雪橇、高山滑雪等．如图，某滑雪运动员在坡度为的雪道上下滑91米，则该滑雪运动员沿竖直方向下滑的高度为___________米． 16. 如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________． 17. 已知代数式（a，c是常数）中，x与该代数式的部分对应值如下表： 0.0142 0.0832 根据表中数据，可知关于x的方程的一个根约为_______，另一个根约为_______．（都精确到0.1） 18. 在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，顶点为，对称轴与轴交于点． （1）若该抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为_________； （2）当抛物线顶点在第二象限时，如果，的值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. （1）计算： （2）已知，且，求的值． 20. 解方程： （1） （2） 21. 如图，在中，D是边上一点，且． （1）求证：； （2）若，，的面积为9，求的面积． 22. 某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组(每组20人)进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出下面的统计表和统计图． 甲组成绩统计表 成绩 7 8 9 10 人数 1 9 5 5 乙组成绩统计图 请根据上面的信息，解答下列问题： （1）甲组成绩的中位数是 ，乙组成绩的众数是 ； （2）请求出乙组成绩的平均数； （3）已知甲组成绩的方差为，请求乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定． 23. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文 化的根脉，小华在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母表示，正面文字依次是大、美、江、西，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同）， 现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小华从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“大”的概率为 ___________； （2）小华从中随机抽取一张卡片，不放回，小亮再从中随机抽取-张卡片，请用列表法或画树 状图法求两人抽取的卡片恰好组成"江西"词的概率． 24. 如图，是的直径，D是弦延长线上一点，且，的延长线交于点E，连接交于点F． （1）求证：； （2）若是的中点，求的度数． 25. 图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上，点不在格点上，是与格线的交点．请你仅用无刻度的直尺，按下列要求作图． （1）在图1中作的高线； （2）在图2中的边上确定点，连接，使得． （3）在图3中的边上确定点，连结，使得． 26. 我市某企业安排20名工人生产甲、乙两种产品，根据生产经验，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品（每人每天只能生产一种产品）．甲产品生产成本为每件10元；若安排1人生产一件乙产品，则成本为38元，以后每增加1人，平均每件乙产品成本降低2元．规定甲产品每天至少生产20件．设每天安排人生产乙产品． （1）根据信息填表： 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品生产成本（元） 甲 10 乙 （2）为了增加利润，企业须降低成本，该企业如何安排工人生产才能使得每天的生产总成本最低？最低成本是多少？ 27. 如图，菱形中，，，点是线段上一点（不含端点），将沿翻折，的对应边与相交于点． （1）当时，求的长； （2）若是等腰三角形，求的长； （3）若，求的取值范围． 28. 实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，男生小明同学进行了一次投掷，从投掷到落地的过程中，通过设备测得实心球与地面的竖直高度m与出发点的水平距离m的相关数据信息，如下所示： 信息1：小明投掷时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 2 6 竖直距离 信息2：无锡市初中生实心球得分标准． 水平最大距离 男生得分 9 8 7 水平最大距离 女生得分 9 8 7 （1）请你根据以上数据判断小明同学的得分，并说明理由； （2）实验小组研究发现：如图，在投掷实心球的运动中，会产生竖直向上的速度和水平向前的速度，设实心球出手时水平向前的速度为，竖直向上的速度为．出手速度满足．实心球在空中运动时，其水平距离与时间的关系为：．竖直高度与时间的关系为：． ①在小明同学的一次投掷中，测得，；根据以上信息，则与的函数表达式为___________；关于的函数表达式为___________； ②研究表明：当这两个速度相等时，投掷距离最远．小明同学在一次投掷中，测得，点为投掷点，实心球落在圆心角为的区域内时成绩有效，以实心球的落地点与投掷点的距离为学生的投掷距离，已知落地点在区域内且到边界的距离，，请求出小明投掷的距离，并求出投掷实心球的出手速度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $