专题13 概率与统计（讲义）-2026版陕西省（职教单招）二轮复习《数学考纲专题练》.docx

编写说明：2026版陕西省职教单招二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及陕西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版陕西省职教单招二轮复习《数学考纲专题练》的第13个专题，内容为概率与统计。 2026版陕西省职教单招 二轮复习《数学考纲专题练》 专题13 概率与统计 · 一、课标解读 · 了解古典概率模型的含义，理解古典概率公式。 · 并能运用它求出简单随机事件的概率。 · 理解不同抽样方法的原理与适用场景，能计算简单的抽样方案 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2023 选择题 12 古典概型 5 陕西职教单招真题中，概率与统计考查呈现以下特点： （1）题型：集中在选择题和填空题。 （2）分值：几乎每年都有涉及，分值一般在10分左右。 （3）内容：主要考查古典概型以及抽样方法，其中古典概型，学生需强化训练。 填空题 16 分层抽样 5 2022 选择题 12 古典概型 5 填空题 16 系统抽样 5 2021 选择题 12 古典概型 5 填空题 16 分层抽样 5 三、考点预测 预估2026年陕西省职教单招考试有2道选择题考查，分别考查“古典概型”“抽样方法”等，共10分。 具体考点： · 古典概型。 · 分层抽样。 四、知识梳理 知识点一 基本概念：从 “事件” 到 “概率” （1）事件的分类 根据事件发生的确定性，分为三类： 事件类型 定义 必然事件 在一定条件下，一定会发生的事件，概率为 1 不可能事件 在一定条件下，一定不会发生的事件，概率为 0 随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，概率0 < P < 1 （2）概率的定义 描述性定义：随机事件 A 发生的可能性大小，记为P(A)，范围是0 ≤ P(A) ≤ 1（必然事件P=1，不可能事件P=0）。 统计定义：在大量重复试验中，若事件 A 发生的频率（频率 = 发生次数 / 试验总次数）稳定在某个常数附近，则该常数即为P(A)。 说明：统计定义中，“大量重复试验” 是关键前提，仅通过少数几次试验得到的频率不能作为概率的估计值，避免以偏概全。概率是事件发生的固有属性，而频率是试验结果的统计量，频率会随试验次数变化，但最终会稳定在概率附近，不可混淆两者的概念。 知识点二古典概型 古典概型是中职阶段最常考的模型，满足两个条件： 有限性：试验的所有可能结果（称为 “基本事件”）是有限个； 等可能性：每个基本事件发生的概率相等。 古典概型的概率公式 若试验有n个等可能的基本事件，事件 A 包含其中m个基本事件，则： 解题步骤（三步法） 确定试验的基本事件总数n：明确 “一次试验所有可能的结果”； 确定事件 A 包含的基本事件个数m：找出 “事件 A 发生的所有结果”； 代入公式计算：。 说明：必须同时满足 “有限性” 和 “等可能性” 才是古典概型，缺一不可。判断 “等可能性” 时需结合实际场景，如从不同形状、大小的球中摸球，若未说明球的质地均匀、大小一致，则不能默认每个球被摸到的概率相等。 知识点三常见事件的概率计算：互斥事件与独立事件 除了单个事件，还需掌握 “多个事件组合” 的概率，重点是互斥事件和独立事件（中职阶段不考复杂的条件概率）。 （1）互斥事件：“不能同时发生” 的事件 定义：若事件A与事件B不能同时发生（即A发生时B一定不发生，反之亦然），则A与B为互斥事件。 概率公式（加法公式）：若 A 与 B 互斥，则记为。 推广：若两两互斥，则。 示例：袋中有 1 红、1 黄、1 蓝 3 个球，摸 1 个球，求 “摸到红球或黄球” 的概率：事件 A=“红球”，；事件 B=“黄球”，；A 与 B 互斥，故。 （2）独立事件：“互不影响” 的事件 定义：若事件 A 的发生与否不影响事件 B 的发生概率，反之亦然，则 A 与 B 为独立事件。 概率公式（乘法公式）：若 A 与 B 独立，则。 知识点四概率与统计的简单应用 一、 抽样调查：用 “样本” 估计 “总体” 理解抽样调查的前提是掌握以下关键术语，它们是后续方法与分析的基础： 概念 定义 总体 研究对象的全体，即所有符合研究条件的个体 / 单位的集合 样本 从总体中抽取的、用于实际调查的部分个体 / 单位 样本量 样本中包含的个体 / 单位数量，通常用 “n” 表示 抽样框 包含总体所有个体 / 单位的 “名单” 或 “载体”，是抽样的依据 总体参数 总体的真实特征值 样本统计量 样本数据计算出的特征值 抽样单元 抽样过程中被抽取的基本单位 二、抽样方法：概率抽样与非概率抽样的分类 抽样方法 核心逻辑 简单随机抽样 从抽样框中随机抽取 n 个个体， 每个个体被抽中概率相等 分层抽样 1先将总体按 “分层变量”分成若干层； 2从每层中独立随机抽样（可按比例或不等比例） 系统抽样 1将总体按顺序编号（如 1~N）； 2 计算抽样间隔； 3 随机选第 1 个样本，再按 说明：简单随机抽样要求 “每个个体被抽中概率相等”，常用方法有抽签法、随机数表法，适用于总体规模较小、个体差异不大的情况；若总体规模较大，简单随机抽样操作难度大，更适合用系统抽样或分层抽样。 分层抽样的关键是 “分层变量的选择”，需选择能体现总体差异的变量，确保每层内个体差异较小，层间差异较大，否则分层抽样失去意义。分层抽样中，若按比例抽样，每层抽取的样本量 = 该层总体数量 / 总总体数量 × 样本容量。 系统抽样中，抽样间隔 k=N/n（N 为总体规模，n 为样本量），若 N 不能被 n 整除，需先剔除部分个体使总体规模为 n 的整数倍，再进行抽样，避免抽样间隔不一致；抽取第一个样本后，需按 “r, r+k, r+2k…” 的规律抽取，不可随意更改间隔。 五、10分钟小测验 1.若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则甲、乙不相邻的概率为(    ) A. B. C. D. 2.采用随机数表法从编号为，，，，的个个体中选取个个体，指定从下面随机数表的第一行第列开始，由左向右选取两个数字作为应取个体的号码，则选取的第个个体号码是(    ) A. B. C. D. 3.甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为人的样本，应在这三校分别抽取学生(    ) A. 人，人，人 B. 人，人，人 C. 人，人，人 D. 人，人，人 4.某中学教务处采用系统抽样方法，从学校高一年级全体名学生中抽名学生做学习状况问卷调查．现将名学生从到进行编号．在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是号，则第组中应取的号码是(    ) A. B. C. D. 5.某年级有学生人，现用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本，把学生编号为，已知编号为的学生被抽中，则样本中编号最小的是(    ) A. B. C. D. 答案和解析 1、【答案】A  【解析】解：甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，共有种不同的方法， 甲、乙不相邻，可先排列其余三人，形成个空位，选个空位插入甲、乙， 故共有种不同的方法， 故甲、乙不相邻的概率为． 故选A． 2、【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，属于容易题． 根据随机数表，依次进行选择即可得到结论． 【解答】 解：从下面随机数表的第一行第列开始选取两个数字中小于或等于的编号依次为，，，，，， 则第个个体的编号为． 故选 C． 3、【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了分层抽样，属于基础题． 先计算各校学生数的比例，再根据分层比求各校应抽取的学生数． 【解答】 解：甲校、乙校、丙校的学生数比例为， 抽取一个容量为人的样本，应在这三校分别抽取学生人，人，人． 故选B． 4、【答案】C  【解析】解：从学校高一年级全体名学生中抽名学生做学习状况问卷调查． 现将名学生从到进行编号， 求得间隔数，即分组每组人． 在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是号， 第组中应取的号码：． 故选：． 现将名学生从到进行编号，求得间隔数，即分组每组人．由此能求出第组中应取的号码． 本题考查第组中应取的号码的求法，考查系统抽样的基础知识，是基础题． 5、【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查系统抽样的应用，属于基础题． 根据系统抽样的定义求出分段间隔即可求解． 【解析】 解：分段间隔为， 则，则样本中编号最小的是， 故选：． 六、经典例题解析 （一）古典概型 【例1】（2021·陕西对口升学高考）袋中装有2个白色和4个黄色乒乓球，有放回地从中取两次，每次任取一个球，则取到的两个球中至少有一个黄色乒乓球的概率为（） A． B． C． D． 【解析】（有放回摸球） 题目：袋中有 2 个白色和 4 个黄色乒乓球，有放回地取两次，每次取一个，求至少有一个黄色的概率。 方法：用对立事件法（先算 “没有黄色” 的概率，再用 1 减去）。 总球数： 一次取到白色的概率： 两次都取到白色（没有黄色）的概率： 至少有一个黄色的概率： 【例2】（2022·陕西对口升学高考） 将一颗质地均匀的骰子抛掷两次，则两次向上的点数之和等于9的概率是（ ） A. B. C. D. 【解析】（掷骰子两次） 题目：掷均匀骰子两次，求点数之和等于 9 的概率。 方法：古典概型（列举基本事件）。 总基本事件数： 点数和为 9 的情况：共 4 种 概率 答案：A 【例3】（2023·陕西对口升学高考） 袋中装有标号分别为，的两个红球和标号分别为，的两个黑球，现从袋中任取个球，则取到的两个球中恰有一个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【解析】（无放回摸球） 题目：袋中有个，求恰有一个红球的概率。 方法：古典概型（列举或组合数）。 总取法数： 恰有一个红球的情况： 概率： 答案：C 一、古典概型类 古典概型核心是满足 “有限性” 和 “等可能性”，解题围绕 “确定基本事件总数 n、事件 A 包含的基本事件个数 m、代入公式计算” 展开，具体方法如下： （一）有放回摸球问题 核心思路：因每次摸球后放回，前后两次摸球相互独立，可先计算对立事件概率，再用 “1 - 对立事件概率” 简化计算（尤其适用于 “至少” 类问题）。 （二）无放回摸球问题 核心思路：摸球后不放回，基本事件需通过列举法或组合数计算，重点统计 “符合目标条件的组合数”。 （三）多次抛掷均匀骰子问题 核心思路：骰子各面朝上概率相等，基本事件总数为 “每次抛掷结果数的乘积”，通过列举法找出符合点数条件的组合。 （二）抽样统计 考点1：简单随机抽样 【例1】.某班对一次实验成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将个同学按，，，，进行编号，然后从随机数表第行第列的数开始向右读，则选出的第个个体是   注：表为随机数表的第行和第行    A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查简单随机抽样，属于较易题． 从随机数表中第行第列开始向右读出符合条件的数，即可得到选出的第个个体号码． 【解答】 解：从随机数表中找出第行第列开始向右读， 符合条件的是，，，，，，， 故选出的第个个体是． 故选：． 解题步骤： 明确总体编号范围和起始读取位置； 按规定方向读取数字，每次取符合编号位数的数； 筛选出在编号范围内的数，剔除重复数，依次选取直到满足样本量需求。 考点2：分层抽样 【例1】（2021·陕西对口升学高考）．某职业学校有A、B、C三个专业，其中A专业有500名学生．现采用分层抽样法在 三个专业学生中抽取容量为60人的样本进行体质测试，已知在B专业学生中抽取了 24名学生，在C专业学生中抽取了16名学生，则B专业学生人数为 . 解析（分层抽样求总体数） 题目：A 专业 500 人，分层抽样抽取 60 人，B 抽 24 人、C 抽 16 人，求 B 专业人数。 方法：分层抽样按比例分配。 A 专业抽取人数 抽样比例：B 专业人数： 【例2】（2023·陕西对口升学高考） 某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品的数量之比为，现用分层抽样的方法抽出容量为的样本，样本中乙型号产品有件，那么样本容量的值为_________． 【解析】（分层抽样求样本量） 题目：产品数量比 4:5:6，分层抽样中乙产品抽 15 个，求样本量n。 方法：按比例分配。 乙产品占总体的比例： 样本量n 解题步骤（求某层样本量）： 计算各层总体数量之比，化简为最简整数比； 计算抽样比例（总样本量 ÷ 总总体数量）； 某层样本量 = 该层总体数量 × 抽样比例（或总样本量 × 该层占比）。 考点3：系统抽样 【例1】（2022·陕西对口升学高考） 从编号为1~1000的总体中用系统抽样的方法抽取100个样本，若抽取的第一个样本编号为9，则抽取的第100个样本编号为______. 【解析】（系统抽样） 题目：从 1-1000 的总体中系统抽样 100 个样本，第一个编号 9，求第 100 个编号。 方法：系统抽样间隔 编号规律： 第 100 个编号： 解题步骤： 计算抽样间隔 k = 总体规模 N÷ 样本量 n； 确定起始编号 r（随机抽取）； 第 n 个样本编号 = r+(n-1)×k。 七、专题归纳小结 一、核心内容梳理 （一）概率基础 事件与概率定义：事件分为必然事件（P=1）、不可能事件（P=0）和随机事件（0<P<1）；概率是随机事件发生可能性的度量，统计定义中需强调 “大量重复试验” 下频率的稳定性。 古典概型：满足 “有限性”（基本事件个数有限）和 “等可能性”（每个基本事件概率相等）的核心模型，概率公式为。 复合事件概率：重点掌握互斥事件和独立事件。 （二）统计应用 抽样调查核心概念：明确总体、样本、样本量、抽样框等关键术语，核心逻辑是用 “样本统计量” 估计 “总体参数”。 三大抽样方法： 简单随机抽样：个体被抽中概率相等，适用于总体规模小、差异小的场景； 分层抽样：按分层变量分组后独立抽样，按比例分配样本量，适用于总体差异大的场景； 系统抽样：先编号、算间隔 规律抽样，适用于总体规模大的场景。 二、解题策略与方法 （一）概率问题解题策略 古典概型解题三步法： 定总数n：通过列举法、树状图或分步计数原理，确定所有等可能基本事件的个数； 找个数m：筛选出事件A发生的所有基本事件，统计其个数； 代公式：代入计算，结果化为最简分数。 “至少”“至多” 类问题技巧：优先用 “对立事件法”，即，简化计算。 复合事件概率判断： 先判断事件关系：“不能同时发生”→互斥事件→用加法公式；“互不影响”→独立事件→用乘法公式； 注意 “有放回摸球” 为独立事件，“无放回摸球” 为互斥事件（非独立）。 （二）抽样问题解题策略 简单随机抽样（随机数表法）： 确定起始位置和读取方向（左向右、上向下）； 筛选符合条件的编号，跳过重复编号和超出范围的编号。 分层抽样： 第一步算比例：各层总体数量之比 = 各层样本量之比； 第二步求样本量： 系统抽样： 第一步算间隔：； 第二步写编号：。 （三）通用解题方法 数形结合法：用树状图、列举法梳理基本事件，避免计数遗漏； 公式法：牢记概率公式、抽样比例公式，确保公式应用条件匹配； 转化法：将复杂事件转化为对立事件或简单事件的组合，降低解题难度。 三、易错点与避坑指南 概率部分易错点： 混淆 “频率” 与 “概率”：频率是试验结果的统计量，概率是事件固有属性，不可用少数几次试验的频率代替概率； 忽略古典概型的 “等可能性”：如未说明球质地均匀、骰子均匀时，不能默认基本事件等可能； 误用互斥与独立事件公式：非互斥事件不能用加法公式，非独立事件不能用乘法公式； 计数时 “重漏”：列举基本事件时未考虑元素的差异性（如标号不同的球），导致m或n计算错误。 抽样部分易错点： 分层抽样比例计算错误：未先化简总体数量比，直接用复杂数值计算导致结果偏差； 系统抽样间隔计算失误：忘记剔除 N 不能被 n 整除时的多余个体，或编号规律写错； 随机数表法读取错误：跳过起始位置、重复读取同一编号或纳入超出范围的编号。 计算与表达易错点： 概率结果范围错误：出现概率大的情况，忘记概率的取值范围是 分数化简不彻底：概率结果未化为最简分数； 抽样编号书写不规范：未按题目要求保留位数。 四、复习建议 夯实基础，熟记公式：重点背诵古典概型概率公式、互斥 / 独立事件公式、抽样比例公式，明确每个公式的适用条件，避免死记硬背；结合简单例题理解公式推导逻辑。 分类刷题，专项突破：按 “古典概型→复合事件概率→简单随机抽样→分层抽样→系统抽样” 分类训练。 强化计数能力，避免重漏：针对古典概型的计数问题，多练习列举法、树状图法，复杂场景可尝试分步计数原理（乘法原理），确保m和n计数准确。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $