专题12 直线和圆（讲义）-2026版陕西省（职教单招）二轮复习《数学考纲专题练》.docx

编写说明：2026版陕西省职教单招二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及陕西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版陕西省职教单招二轮复习《数学考纲专题练》的第12个专题，内容为直线和圆。 2026版陕西省职教单招 二轮复习《数学考纲专题练》 专题12 直线和圆 · 一、课标解读 · 掌握直线的斜截式方程、点斜式方程和一般式方程，能够根据条件求出直线的方程； · 理解两条直线垂直和平行的条件； · 会求点到直线的距离及两平行线之间的距离； · 能够根据条件求出圆的标准方程； · 了解圆的一般方程的特点，会从一般方程中求出圆心坐标和半径长； 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2023 选择题 3 直线方程 5 陕西职教单招真题中，直线和圆考查呈现以下特点： （1）题型：集中在选择题。 （2）分值：几乎每年都有涉及，分值一般在10分左右。 （3）内容：本节考察知识点比较多，考生应多角度分析题型。 选择题 10 直线与圆相切 5 2022 选择题 3 平行线间的距离 5 选择题 10 圆的方程 5 2021 选择题 5 点关于直线对称的点 5 选择题 10 圆的切线方程 5 三、考点预测 预估2026年陕西省职教单招考试有2道选择题考查，分别考查“直线”“ 圆”等，共10分。 具体考点： · 直线方程。 · 直线与圆的位置关系。 · 圆的方程。 · 直线与圆、或圆与圆的位置关系。 四、知识梳理 一、直线的方程 1. 直线的基本概念 若直线过两点和 说明： 2. 直线方程的五种形式 方程形式 公式 适用条件 点斜式 已知直线上一点和斜率k 斜截式 已知斜率k和纵截距b 两点式 已知直线上两点 截距式 已知横截距a和纵截距b 一般式 所 3.两条直线的位置关系 平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况． (1)两条直线平行 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2． 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 说明：l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． (2)两条直线垂直 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． 说明：对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0． 4.三种距离公式 (1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝． (2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． (3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝． 二、圆的方程 1. 圆的标准方程为 说明：特点：直接体现圆心和半径，已知圆心和半径时优先使用。 特殊情况：圆心在原点时，方程简化为。 2. 圆的一般方程为常数，且满足半径存在条件： 说明：。 与标准方程的转化：配方过程：；因此，圆心为，半径为 三、直线与圆的位置关系 1. 位置关系 设圆的标准方程为，直线的一般方程为，圆心到直线的距离公式为：，则： 位置关系 数量关系d与r 几何特征 相离 直线与圆无交点 相切 直线与圆有且只有一个交点 相交 直线与圆有两个交点 2. 重要应用： （1）圆的切线 切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径 切线方程求法：若圆的标准方程为，且切线过圆上一点，则切线方程为： 。 （2）圆的弦长（直线与圆相交时） 圆心到直线的距离d、圆的半径r构成直角三角形，弦长公式为： 五、10分钟小测验 1.过点和点的直线在轴上的截距为(    ) A. B. C. D. 2.若直线与平行，则与间的距离为(    ) A. B. C. D. 3.过点的直线与圆相切，则直线的方程为(    ) A. B. C. D. 4.已知直线：，：，则，之间的距离为(    ) A. B. C. D. 5.圆与圆的位置关系为(    ) A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 外离 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查两点式方程，属于基础题． 先由直线的两点式方程写出直线方程，再求截距． 【解答】 解：由直线的两点式方程，得，即． 令，解得，即直线在轴上的截距为． 故选C． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查两直线的位置关系，两直线之间的距离公式，属于基础题． 根据直线平行求出的值，再根据两平行线的距离公式求解即可． 【解答】 解：因为，所以，所以解得：， 所以， 所以与之间的距离 ． 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆的切线方程，属于基础题． 根据题意，点在圆上，由切线性质即可得出结果． 【解答】 解：由已知得点在圆上，又由直线的斜率为， 因为直线与圆相切， 可得直线的斜率为，则直线的方程为． 故选B． 4.【答案】B  【解析】【分析】 本题给出两条直线互相平行，求平行线间的距离，着重考查了两条平行线的距离公式等知识，属于基础题． 利用两条平行直线之间的距离公式，即可算出与的距离． 【解答】 解：直线：化成 由平行两条直线之间的距离，得与的距离为 ， 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆的一般式方程及两圆位置关系的判断，属于基础题． 根据已知及圆的标准方程的计算，将圆，转化为标准方程，根据圆与圆的位置关系的判定，可知两圆的位置关系． 【解答】 解：圆：，即的圆心为，半径为， 圆：，即的圆心为，半径为， 所以， 因为， 所以两圆相交． 故选：． 六、经典例题解析 （一）直线 考点1直线的方程 【例1】（2023·陕西对口升学高考）若直线的斜率为，并且过点，则直线的方程是（ ） A. B. C D. 【解析】：已知斜过点 代入点斜式 整理得： 答案：A 核心方法：优先利用已知条件匹配直线方程的五种形式，再整理为目标形式。 具体步骤： 明确已知条件； 选择对应方程形式（斜率 + 定点用点斜式，两点用两点式，斜率 + 纵截距用斜截式）； 代入条件列式，化简为标准形式（一般式或题目要求的形式）。 考点2直线的对称问题 【例1】（2021·陕西对口升学高考）点关于直线的对称点的坐标为（ ） 【解析】求点关于直线的对称点，需满足两个条件： 两点连线与对称轴垂直（斜率乘积为）； 两点的中点在对称轴上。 设对称点为则： 条件 1：连线与对称轴垂直对称轴的斜率为1，故两点连线的斜率为，即： 条件 2：中点在对称轴上两点中点为，代入直线方程： 联立方程，即对称点为 最终答案：D 核心原理：对称点满足两个关键条件 —— 两点连线与对称轴垂直（斜率乘积为 - 1）、两点中点在对称轴上。 具体步骤： 设对称点坐标 根据垂直关系列方程：对称轴斜率 根据中点在对称轴列方程：中点入对称轴方程； 联立两个方程求解 考点3直线中的距离问题 【例1】（2022·陕西对口升学高考）两条平行直线与之间的距离是（ ） 1 B. C. 2 D. 【解析】：已知直线即与 代入公式 答案：A 【例2】（2022·陕西对口升学高考）过点，且圆心在轴上的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【解析】：设圆心，圆过，则圆心到两点的距离相等（均为半径）：平方后化简：展开得，解得。半径，故圆的方程为。答案：D 核心前提：将两条直线化为统一的一般式。 具体步骤： 统一直线方程的 A、B 系数 代入距离公式计算。 （二）圆 考点1圆的方程 【例1】圆关于直线对称的圆的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了求关于直线对称的圆的方程，点关于直线的对称点，属中档题． 根据两圆关于直线对称，得两圆圆心关于直线对称，由此求出对称圆圆心即可得到答案． 【解答】 解：设对称圆的圆心为，则依题意得： 解得：，，所求圆的方程为 故选：． 类型 1：已知圆心和半径 直接代入圆的标准方程； 特殊情况：圆心在原点时，方程简化。 类型 2：已知圆过定点，求圆的方程 设圆心坐标； 利用圆上点到圆心距离相等（均为半径），列方程 求解圆心坐标代入标准方程。 类型 3：圆关于直线的对称圆方程求解 核心原理：对称圆的半径不变，圆心关于直线对称； 步骤：先求原圆心的对称点，再以对称点为新圆心，原半径为半径写标准方程。 考点2直线与圆的位置关系 【例1】（2021·陕西对口升学高考）过点且与圆相切的直线的方程为（ ） 【解析】首先，判断点与圆的位置关系：圆的方程为圆心为，半径。计算点到圆心的距离：因此，点在圆上，故过该点的切线只有1条，且切线与圆心和该点的连线垂直。 接下来，求切线的斜率：圆心连线的斜率为：由于切线与该连线垂直，故切线的斜率k满足： 最后，用点斜式求切线方程：过点斜率为的直线方程为： 对应选项为D。 【例2】（2023·陕西对口升学高考）若直线与圆相切，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【解析】：圆的圆心为，半径。直线到圆心的距离：由相切条件，得，故答案：C 切线方程求解（过圆上一点） 具体步骤： 验证点在圆上（计算点到圆心距离是否等于半径）； 求圆心与切点连线的斜率； 切线斜率（轴的直线）； 用点斜式写切线方程，化简为标准形式。 切线方程求解（直线与圆相切，求参数） 利用相切条 代入圆和直线方程参数，求解参数值。 考点3圆与圆的位置关系 【例1】圆和的位置关系是(    ) A. 相交 B. 外离 C. 内切 D. 外切 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查圆和圆的位置关系及两点间的距离公式，属于基础题． 求出圆心坐标和圆的半径，然后求得两个圆的圆心距，即可得到结果． 【解答】 解：由题意，圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为， 又圆心距为， 故两个圆内切． 考点小结： 核心步骤： 分别求出两圆的圆心坐标 计算两圆圆心距 比较 的关系： 。 七、专题归纳小结 一、核心内容梳理 一、核心内容梳理 （一）直线部分 基础概念：斜率的定义与计算公式横 / 纵截距的定义，特殊直线的斜率特征。 方程形式：掌握点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式五种形式，明确每种形式的适用条件与转化方法。 位置关系：两条直线平行、垂直的判定条件。 距离公式：两点间距离、点到直线的距离、两平行线间距离的计算公式，尤其注意两平行线距离公式的适用前提（A、B 系数统一）。 （二）圆部分 方程形式：标准方程，一般方程，以及两种方程的互化（配方转化）。 位置关系：直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含），核心判定依据为距离与半径的数量关系。 重要应用：圆的切线方程（过圆上一点的切线方程公式，切线与半径垂直的性质），圆的弦长公式。 二、解题策略与方法 （一）直线相关问题解题策略 直线方程求解：“按需选式”—— 已知斜率 + 定点用点斜式，已知两点用两点式，已知斜率 + 纵截距用斜截式，最后统一化为一般式或题目要求的形式。 对称点求解：紧扣 “垂直 + 中点在对称轴上” 两大条件，设对称点坐标，联立方程求解，避免漏用任一条件。 距离问题求解：“先统一，再代入”—— 两平行线距离需先将直线化为形式，再代入公式计算。 （二）圆相关问题解题策略 圆的方程求解：“知圆心半径用标准式，知定点用待定系数法”—— 若圆心在特殊轴上，可简化圆心坐标设元，利用圆上点到圆心距离相等列方程。 直线与圆相切问题：“先判位置，再求方程 / 参数”—— 若点在圆上，利用切线与半径垂直求斜率；若直线与圆相切求参数，利用圆心到直线距离等于半径列方程。 圆与圆位置关系判断：“三步法”—— 求两圆圆心坐标→算圆心距→比较圆心距与两圆半径和 / 差的大小关系。 （三）通用解题方法 数形结合法：画图辅助分析直线与圆、圆与圆的位置关系，直观判断交点个数、切线条数等。 转化与化归法：将一般方程转化为标准方程，将复杂距离问题转化为统一形式后计算，降低解题难度。 方程思想：设未知参数，根据已知条件列方程（组）求解，是解决参数问题的核心方法。 三、易错点与避坑指南 1、直线方程易错点： 忽略直线方程的适用条件，避免用错形式导致漏解。 两直线平行判定时，仅考虑斜率相等，忘记验证截距不等，导致误判重合为平行。 计算两平行线距离时，未统一 A、B 系数直接代入公式，导致结果错误。 2、圆的方程易错点： 忽略圆的一般方程的存在条件，直接求解圆心和半径。 转化圆的一般方程为标准方程时，配方过程出错（尤其是符号错误），导致圆心坐标或半径计算错误。 3、位置关系易错点： 计算圆心到直线的距离时，代入直线一般式时符号错误。 判断圆与圆位置关系时，混淆 “半径和” 与 “半径差” 的关系，如将内切误判为外切。 4、计算易错点： 根式运算、分数运算过程中粗心出错，尤其是距离公式、弦长公式中的根号运算和平方运算。 求解参数时，忽略绝对值、平方等条件导致漏解。 四、复习建议 1、夯实基础，熟记公式：重点背诵直线的五种方程形式、三种距离公式、圆的两种方程及转化方法、位置关系判定条件，做到公式准确无误，明确适用场景。 2、分类刷题，专项突破：按 “直线方程→直线位置关系→距离问题→圆的方程→直线与圆的位置关系→圆与圆的位置关系” 分类刷题，结合真题（如陕西对口升学高考真题）强化高频考点训练，总结同类题型的解题规律。 3、数形结合，辅助分析：解题时养成画图习惯，通过图形直观判断位置关系、确定解题思路，减少逻辑漏洞。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $