专题11 立体几何（讲义）-2026版陕西省（职教单招）二轮复习《数学考纲专题练》.docx

编写说明：2026版陕西省职教单招二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及陕西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版陕西省职教单招二轮复习《数学考纲专题练》的第11个专题，内容为立体几何。 2026版陕西省职教单招 二轮复习《数学考纲专题练》 专题11 立体几何 · 一、课标解读 · 了解常见立体图形的侧面积及体积公式。 · 了解立体几何图形的位置关系的符号语言。 · 了解直线和直线以及平面的位置关系。 · 了解平面和平面的位置关系。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2023 选择题 8 球的表面积 5 陕西职教单招真题中，立体几何考查呈现以下特点： （1）题型：集中在选择题与解答题，本节介绍小题计算题型。 （2）分值：几乎每年都有涉及，分值一般在5分左右。 （3）内容：学生需熟记空间几何体的面积及体积公式，需了解空间几何体的位置关系及符号语言。 2022 选择题 8 球的体积 5 2021 选择题 8 线面的位置关系符号语言 5 三、考点预测 预估2026年陕西省职教单招考试有2道选择题考查，分别考查“球的体积和面积”“空间几何位置关系符号语言”等，共10分。 具体考点： · 球的体积和面积。 · 线面位置关系符号语言。 四、知识梳理 知识点一、空间基本概念 立体几何的研究对象是 “空间图形”（由点、线、面构成，存在于三维空间中），需先掌握空间中最基本的元素及关系： 1. 空间中的基本元素 空间由点、直线、平面三个基本元素构成，三者的关系是： 1、点：空间中最基本的图形，无大小，用大写字母表示（）。 2、直线：由无数个点组成，无粗细，向两端无限延伸，用小写字母或两个端点字母表示 （）。 3、平面：由无数条直线组成，无厚度，向四周无限延展，通常用平行四边形表示（标注字母如平面）。 说明：符号语言规范：“∈” 仅用于点与直线、点与平面的从属关系（如 A∈l、A∈α）；“⊂” 仅用于直线与平面、平面与平面的包含关系（如 l⊂α、α⊂β），不可混淆使用（如不能写成 A⊂l、l∈α）。 2. 空间中元素的位置关系 元素组合 位置关系 定义与说明 点与直线 点在直线上 点是直线的一个元素，记为 点在直线外 点不在直线上，记为 点与平面 点在平面内 点是平面的一个元素，记为 点在平面外 点不在平面内，记为 直线与直线 平行直线 空间中不相交、不重合，且方向相同的直线（需在同一平面内） 相交直线 空间中只有一个公共点的直线（需在同一平面内） 异面直线 空间中既不平行也不相交的直线（不在同一平面内） 直线与平面 直线在平面内 直线上所有点都在平面内，记为 直线与平面平行 直线与平面无公共点，记为 直线与平面相交 直线与平面只有一个公共点（交点），记为 平面与平面 平面与平面平行 两个平面无公共点，记为 平面与平面相交 两个平面有一条公共直线（交线），记为 说明：直线与平面平行：“无公共点” 是核心定义，需注意直线与平面平行时，直线与平面内的直线可能平行或异面，并非一定平行。 平面与平面平行：“无公共点” 意味着两个平面内的直线可能平行或异面，不存在相交直线，且一个平面内的所有直线都与另一个平面平行。 3. 空间中的特殊位置关系 线面垂直：直线与平面内的任意一条直线都垂直，这条直线叫做平面的 “垂线”，平面叫做直线的 “垂面”，交点叫做 “垂足”，记为。 面面垂直：两个平面相交，若其中一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则这两个平面互相垂直，记为。 说明：线面垂直：“直线与平面内的任意一条直线都垂直” 是严格定义，不可简化为 “与平面内的一条或两条直线垂直”，需注意 “任意一条”≠“无数条”（若直线仅垂直于平面内一组平行直线，不能判定线面垂直）。 面面垂直：判定的关键是 “一个平面内有一条直线垂直于另一个平面”，这条直线必须在其中一个平面内，且垂直于另一个平面的 “任意一条直线”，而非仅垂直于交线。 知识点二、常见几何体 1. 棱柱（多面体） 1）定义：有两个面（底面）互相平行，其余各面（侧面）都是平行四边形，且相邻侧面的公共边（侧棱）互相平行的几何体。 2）分类：按底面边数分（三棱柱、四棱柱、五棱柱…），重点是长方体和正方体： 长方体：底面是矩形，侧棱与底面垂直（所有面都是矩形，对棱相等，对角线相等）。 正方体：长方体的特殊情况，所有棱长都相等（所有面都是正方形）。 说明：侧棱与高的关系：只有 “直棱柱”（侧棱垂直底面）的侧棱长等于高，斜棱柱的侧棱长大于高，不可默认所有棱柱的侧棱都等于高。 长方体的对角线：长方体对角线长度公式为，需注意对角线是 “空间对角线”，而非面的对角线，避免与矩形对角线混淆。 2. 棱锥（多面体） 1）定义：有一个面（底面）是多边形，其余各面（侧面）都是有公共顶点（顶点）的三角形的几何体。 2）分类：按底面边数分（三棱锥、四棱锥、五棱锥…），重点是正棱锥（底面是正多边形，顶点在底面的投影是底面中心，所有侧面都是全等的等腰三角形）。 3）关键元素：底面（多边形）、侧面（等腰三角形，公共顶点叫棱锥顶点）、侧棱（顶点到底面顶点的线段，正棱锥的侧棱长度相等）、高（顶点到底面的垂线段，垂直于底面）。 说明：棱锥的高：高是顶点到底面的垂线段，必须垂直于底面，若仅连接顶点与底面顶点的线段（侧棱），不一定是高（仅正棱锥的侧棱在底面的投影等于底面正多边形的外接圆半径）。 3. 圆柱（旋转体） 1）定义：以矩形的一条边为轴，将矩形旋转一周所形成的几何体（轴的对边旋转成 “侧面”，另外两条边旋转成 “底面”）。 说明：底面：两个互相平行的圆（半径相等，记为）； 轴：垂直于底面的线段（长度为圆柱的 “高”，记为h）； 侧面：曲面（展开后是一个长方形，长为底面圆的周长，宽为圆柱的高h）。 4. 圆锥（旋转体） 1）定义：以直角三角形的一条直角边为轴，将直角三角形旋转一周所形成的几何体（另一条直角边旋转成 “底面”，斜边旋转成 “侧面”）。 说明：底面：一个圆（半径记为r）； 高：顶点到底面的垂线段（长度记为h，垂直于底面圆心）； 母线：顶点到底面圆周上任意一点的线段（记为l，所有母线长度相等，满足勾股定理； 侧面：曲面（展开后是一个扇形，弧长为底面圆的周长，半径为母线长l）。 知识点三、几何体的表面积与体积计算 1. 多面体的表面积与体积（棱柱、棱锥） 几何体 表面积 体积 备注 长方体 分别为长、宽、高 正方体 为棱长 直棱柱（侧棱垂直底面） 正棱锥 说明：体积计算的共性：棱柱和圆柱的体积公式均为，棱锥和圆锥的体积公式均为，需牢记 “棱锥 / 圆锥体积是同底同高棱柱 / 圆柱体积的，避免遗漏系数。 2. 旋转体的表面积与体积（圆柱、圆锥） 几何体 侧面积 全面积 体积V 备注 圆柱 圆锥 知识点四、直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄α，a∥b a∥α a∥α，a⊂β，α∩β＝b 结论 a∥α b∥α a∩α＝∅ a∥b 2.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 α∩β＝∅ a⊂β，b⊂β， a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b_ α∥β，a⊂β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α 五、10分钟小测验 1.已知圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的表面积为(    ) A. B. C. D. 2.圆台的上，下底面半径分别为和，母线长为则其表面积等于(    ) A. B. C. D. 3.已知、、是三个不同的平面，、、是互不相同的三条直线，下列结论错误的是(    ) A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 4.设，是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5.已知四面体中，，，则四面体的体积为          ． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：根据题意，圆锥的母线长为， 所以圆锥的表面积． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆台的表面积，属于基础题． 利用圆台的表面积公式即可求解． 【解答】 解：由题意，得该圆台的表面积为． 故答案选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查线面、面面平行的性质和判断，属于基础题． 根据相关的性质逐项进行判断即可． 【解答】 解：由空间点、线及面的位置关系易知ABC错误， 因为，，，所以，同理可得，所以，故D正确． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查线面位置关系的判断，考查空间想象能力，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．属基础题． 根据线面平行和面面平行的判定方法和性质验证每一个选项即可 【解答】 解：在选项A中，，由线面平行判定定理得，，故A项正确； 在选项B中，，则与平行或异面，故B项错误； 在选项C中，，则与相交或平行，故C项错误； 在选项D中，由面面平行的性质定理得项正确． 故选： 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查三棱锥的体积求法，关键是由题中条件得到合适的底面和高， 选取的中点，的中点，连接，，，得到底面，根据线面垂直的判定得到高线把一个四面体分成两个体积相等的三棱锥，进而求解即可． 【解答】 解：取中点，中点，连接，，， 四面体中，，， ，， ， 平面， 又， ， ． 六、经典例题解析 （一）空间几何的位置关系 【例1】（2021·陕西对口升学高考）若a，b，c为不同的直线，为不同的平面，下列说法正确的是（ ） 若且则 若且，则 若且，则 D. 若且，则 【解析】逐一分析选项： 选项 A：若内的两条直线，且都平行于平面，但需满足 “a与b相交” 才能推出。若，则可能相交，故 A 错误。 选项 B：根据 “垂直于同一平面的两条直线平行” 的定理，若，故 B 正确。 选项 C：若，但需满足 “b与c相交” 才能推出可能不垂直，故 C 错误。 选项 D：若可能相交（例如墙角的三个平面），故 D 错误。 最终答案：B 【例2】.已知，是相异两个平面，，是相异两直线，则下列命题中正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，属于基础题目． 根据空间中线线，线面及面面的位置关系，逐一判断即可． 【解答】 解：若，，则或，不正确； B.若，则，B正确； C.若，，，则与若相交平行都有可能，不正确； D.若，，则可能在内，不正确． 故选B． 考点小结 定理对照法：线面平行判定、面面平行判定、线面垂直判定、面面垂直判定。 反例排除法： 对于选项中未明确关键条件的命题，可构造反例推翻。 符号语言转化法： 先将文字描述转化为符号语言，再结合定理分析，避免文字表述的歧义。 （二）空间几何的的面积与体积 考点1：球的面积与体积 【例1】（2022·陕西对口升学高考）已知球的体积为，则该球的直径是（ ） A.3 B. C. 6 D. 【解析】球的体积公式为（R为球的半径）。 已知体积，代入公式：，化简得：，对应选项C。 【例2】（2023·陕西对口升学高考）已知球的表面积为，则该球的半径为（ ） A. B. C. D. 【解析】球的表面积公式为（R为球的半径）。 已知表面积，代入公式：两边约去，化简得：对应选项D。 直接代入法：已知体积或表面积，直接代入公式求解半径 R，再根据题意求直径（2R）等衍生量。 关键步骤：先约去 π 简化计算，再通过开方（立方根求半径，平方根求半径）得出结果，避免计算失误。 考点2：柱体的面积与体积 【例1】.圆柱的侧面展开图是长，宽的矩形，则这个圆柱的体积为(    ) A. B. C. 或 D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查求圆柱体的体积，考查圆柱体的结构特征，是基础题． 讨论圆柱体的高为或高为求解即可． 【解答】 解：设圆柱的体积为， 当圆柱的高为时，， 当圆柱的高为时， 故选C． 【例2】.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是，那么圆柱的体积等于(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：设圆柱高为，则底面半径为． 由题意知，， ， ． 故选：． 考点小结： 解题方法分类讨论法（圆柱侧面展开图问题）： 圆柱侧面展开图的矩形，一边为圆柱的高 h，另一边为底面圆的周长，需分两种情况讨论： 当矩形长为底面周长时，； 当矩形宽为底面周长时， 条件转化法：若已知侧面积等间接条件，先转化为核心参数r、h。 考点3：锥体的面积与体积 【例1】.已知某圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则该圆锥的体积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了圆锥的体积根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，则不难得到本题的答案． 【解答】 解：如图所示： 为边长为的正三角形，所以，取中点为，则， 所以圆锥的体积， 故选C． 【例2】.正四棱锥底面边长为，高为，则此正四棱锥的侧面积等于(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查棱锥的侧面积，棱锥的结构特征，其中根据已知求出棱锥的侧面的高是解答的关键，属于基础题． 由已知正四棱锥底面边长为，高为，求出棱锥侧面的高，代入棱锥侧面积公式，可得答案． 【解答】 解：因为正四棱锥底面边长为，高为， 则侧面的高， 故此正四棱锥的侧面积， 故选D． 考点小结： 轴截面分析法（圆锥问题）： 圆锥轴截面为等腰三角形，边长与圆锥的底面直径、母线长相关。 斜高求解法（正棱锥侧面积）： 正棱锥的斜高、高与底面中心到边的距离构成直角三角形，需先求斜高。 考点4：台体的面积与体积 【例1】.圆台的上、下底面半径和高的比为，若母线长为，则圆台的表面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查圆台的表面积的求法，利用圆台的两底面的半径、高、母线构成一个直角梯形． 【解答】 解：设圆台的上底半径为，则下底半径与高都是，如图所示： 又母线长为，所以，解得， 所以圆台的上底面半径是，下底面半径是，侧棱长为， 所以它的表面积是． 故选C． 【例2】.已知圆台的上、下底面半径分别为和，其侧面积等于上、下底面积之和，则该圆台的体积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：设母线长为，高为， 根据，可得，解得， 进一步可得， 根据圆台的体积公式可知． 故选：． 考点小结： 解题方法 母线与高的关系转化： 圆台的母线 l、高 h 与上下底面半径差构成直角三角形，即 侧面积与底面积关系转化： 若已知 “侧面积等于上、下底面积之和”，先列等式求出母线长 l，再求高 h，最后代入体积公式。 七、专题归纳小结 一、核心内容梳理 （一）空间基本概念与位置关系 核心元素：空间由点、直线、平面构成，明确各元素的表示方法及符号语言规范。 位置关系：涵盖点与直线、点与平面、直线与直线、直线与平面、平面与平面的定义及表示方法，重点掌握线面垂直、面面垂直的特殊判定条件。 （二）常见几何体性质 多面体：棱柱、棱锥的定义、分类及关键元素特征。 旋转体：圆柱、圆锥的构成原理及核心参数关系。 （三）表面积与体积计算 多面体公式：长方体、正方体、直棱柱的表面积与体积公式，正棱锥的侧面积（含斜高）与体积公式，牢记 “棱锥体积是同底同高棱柱体积的 1/3”。 旋转体公式：圆柱、圆锥的侧面积、全面积及体积公式，球的体积与表面积公式，圆台的表面积与体积公式。 （四）判定与性质定理 线面平行：判定定理、性质定理。 面面平行：判定定理、性质定理。 二、解题策略与方法 （一）位置关系判定题 定理对照法：严格依据线面、面面平行或垂直的判定定理，逐一核对题目条件，避免遗漏。 反例排除法：对不确定的选项，构造反例验证，快速排除错误选项。 符号转化法：先将文字描述转化为规范符号语言，借助符号直观分析元素关系。 （二）表面积与体积计算题 公式定位法：根据几何体类型，快速锁定对应公式，明确公式中各参数的含义。 参数转化法：当已知条件为间接参数时，先转化为核心参数，再代入公式计算。 图形辅助法：绘制几何体直观图或关键截面，利用图形分析参数关系。 分类讨论法：针对多解情况，全面考虑所有可能性，避免漏解。 （三）综合应用题 分割转化法：将复杂几何体分割为熟悉的简单几何体，利用 “整体体积 = 部分体积之和” 求解。 垂线构造法：通过取中点、连接线段等方式构造高线（如利用线面垂直判定定理确定四面体的高），突破 “无直接高” 的解题难点。 三、易错点与避坑指南 1、符号语言混淆：误将 “点在直线上” 写成 “A⊂l”，或 “直线在平面内” 写成 “l∈α”，牢记 “∈” 仅用于从属关系，“⊂” 仅用于包含关系。 2、定理条件遗漏：判定面面平行时忽略 “两条相交直线”，仅用一条直线平行即判定；判定线面垂直时，将 “任意一条直线” 简化为 “无数条直线”，导致误判。 公式应用错误： 3、遗漏体积公式系数； 混淆 “侧面积” 与 “全面积”； 4、误用几何体参数。 5、多解问题漏解：处理圆柱侧面展开图、圆台参数计算等问题时，未考虑不同情况，导致只算单一解。 6、空间想象偏差：判断异面直线、线面平行时，受平面几何思维局限，忽略空间中 “异面” 的情况。 四、复习建议 1、夯实基础，牢记核心： 熟练背诵所有几何体的表面积、体积公式及符号语言规范，制作公式卡片随时记忆； 梳理线面、面面平行 / 垂直的判定与性质定理，用 “条件→结论” 的形式整理成清单，避免定理混淆。 2、聚焦高频考点，针对性练习： 重点练习 “球的体积与表面积”“线面位置关系符号语言” 两类高频题型强化训练； 针对圆台、正棱锥等易错题，集中练习参数转化与公式应用，总结解题规律。 3、重视错题复盘，规避陷阱： 建立错题本，标注错题类型，分析错误原因； 定期回顾错题，重做同类题目，强化对易错点的敏感度。 4、强化空间想象，辅助解题： 练习绘制简单几何体的直观图，借助图形理解参数关系； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $