大题专题06 概率与统计（讲义）-2026版陕西省（职教单招）二轮复习《数学考纲专题练》.docx

编写说明：2026版陕西省职教单招二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及陕西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版陕西省职教单招二轮复习《数学考纲专题练》的第6个大题专题，内容为概率与统计。 2026版陕西省职教单招 二轮复习《数学考纲专题练》 大题专题06 概率与统计 · 一、课标解读 · 理解不同抽样方法的原理与适用场景，能设计简单的抽样方案 · 能对数据进行初步整理，并用恰当的统计图表展示数据，会计算数据。 · 理解各特征量的统计意义，能用样本特征估计总体特征 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2023 解答题 21 频率分布直方图 12 陕西职教单招真题中，概率与统计的大题考查呈现以下特点： （1）题型：每年大题一个。 （2）分值：分值一般在12分左右。 （3）内容：本节题型较少、但是运用场景很多，学生因先了解基本的样本统计知识点以及频率分布直方图的基本概念。 2022 解答题 22 频率分布直方图 12 2021 解答题 22 频率分布直方图 12 三、考点预测 预估2026年陕西省职教单招考试有1道大题考查，主要考查“频率分布直方图”等，共12分。 具体考点： · 数据的集中趋势与离散程度 · 抽样与总体估计 四、知识梳理 1. 数据的收集 直接收集：通过调查、实验、观察获取第一手数据； 间接收集：从文献、报表、网络等获取第二手数据。 2. 数据的整理：统计图表 将原始数据转化为直观的图表，是统计分析的关键步骤，中职阶段重点掌握 3 种核心图表： 图表类型 绘制要点与注意事项 频数分布表 1. 分组原则：组距一致； 2. 频数：该组数据的个数； 3. 频率 = 频数 / 总数据个数（频率之和为 1）. 条形图 1. 横轴：数据类别； 2. 纵轴：频数 / 频率； 3. 条形之间有间隔，宽度一致。 扇形图 1. 每个扇形面积 = 该组频率 ×360°（所有扇形角度和为 360°）； 2. 适用于 “总体分类不超过 6 组” 的情况，否则图形拥挤。 说明：分组时需避免 “遗漏” 或 “重叠”，如数据为整数时，组距为 5 的分组可设为 [10,15)、[15,20)，不可设为 [10,14]、[15,19]（遗漏 14.5 等非整数，若数据为整数则遗漏 14 和 19）。 当数据中存在极端值时，可适当设置 “开口组”，但需在表格中注明，避免分组不合理导致信息失真。 计算频率时，需确保总数据个数统计准确，若存在缺失数据，需明确说明是否剔除，剔除后需重新计算总个数。 3. 数据的特征量：描述数据的 “集中趋势” 与 “离散程度” 通过图表只能直观观察，需计算特征量量化数据规律，中职阶段重点掌握 4 个核心量： （1）集中趋势：数据 “聚集的中心” 平均数（算术平均数）：最常用的集中趋势指标，反映数据的 “平均水平”。公式：若数据为，则平均数 中位数：将数据从小到大排列后，“中间位置的数”（若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数），反映数据的 “中等水平”，不受极端值影响。 步骤：1. 数据排序； 2. 找中间位置（，n为数据个数）。 众数：数据中 “出现次数最多的数”，反映数据的 “最常见水平”，可多个或无。（2）离散程度：数据 “偏离中心的程度” 方差与标准差：反映数据的 “波动大小”—— 方差越小，数据越稳定；方差越大，数据越分散。 公式：若数据为平均数为，则： 方差： 标准差：}（与原数据单位一致，更易解释） 说明：（一）集中趋势指标 平均数易受极端值影响，当数据中存在异常大或异常小的值时，需结合中位数或众数综合分析。 计算中位数时，必须先对数据进行排序，若数据个数为偶数，需严格取中间两个数的算术平均数，不可随意选取其中一个。 众数仅反映数据中出现次数最多的数值，若所有数据出现次数相同，则无众数；若多个数据出现次数相同且均为最多，则存在多个众数，需全部列出，不可遗漏。 （二）离散程度指标 方差和标准差的计算需基于平均数，因此平均数计算错误会直接导致方差和标准差出错，计算时需先验证平均数的准确性。 比较两组数据的稳定性时，需确保两组数据的计量单位一致、平均数相近，否则无法直接通过方差 / 标准差对比。 4、概率与统计的简单应用 1）抽样调查：用 “样本” 估计 “总体” 概念 定义 总体 研究对象的全体，即所有符合研究条件的个体 / 单位的集合 样本 从总体中抽取的、用于实际调查的部分个体 / 单位 样本量 样本中包含的个体 / 单位数量，通常用 “n” 表示 抽样框 包含总体所有个体 / 单位的 “名单” 或 “载体”，是抽样的依据 总体参数 总体的真实特征值（未知，需推断） 样本统计量 样本数据计算出的特征值（已知，用于估计参数） 抽样单元 抽样过程中被抽取的基本单位（可与 “个体” 一致，也可不同） 2）抽样原则：确保样本的 “代表性” 与 “可靠性” 抽样调查的核心目标是让样本能 “反映总体”，需遵循两大基本原则： 1. 随机性原则（核心原则） 定义：总体中的每个个体被抽中为样本的概率是已知且非零的，排除人为主观选择。 作用：避免 “抽样偏差”（如样本过度偏向某一群体），保证样本的客观性，是后续统计推断的数学基础。 2. 代表性原则 定义：样本的结构（如年龄、性别、职业比例）与总体结构尽可能一致，确保样本能 “缩影” 总体。 实现方式：通过合理的抽样方法（如分层抽样）匹配总体结构，或通过样本量调整（如加权）修正偏差。 3）抽样方法：概率抽样与非概率抽样的分类 根据 “是否遵循随机性原则”，抽样方法分为两大类，其中概率抽样是推断总体的主要方法，非概率抽样仅用于探索性研究（无法推断总体）。 概率抽样的每个个体被抽中概率可计算，结果可通过统计方法估计总体误差，是学术研究和正式调查的首选。 抽样方法 核心逻辑 适用场景 简单随机抽样 从抽样框中随机抽取 n 个个体（如抽签、随机数表）， 每个个体被抽中概率相等 总体规模小、个体差异小 分层抽样 1先将总体按 “分层变量”（如年龄、性别）分成若干层； 2从每层中独立随机抽样（可按比例或不等比例） 总体内个体差异大 系统抽样 1将总体按顺序编号（如 1~N）； 2 计算抽样间隔； 3 随机选第 1 个样本（）， 再按 说明：简单随机抽样适用于总体规模小、个体差异小的情况，当总体规模较大时（如超过 1000），简单随机抽样的操作难度较大，可选择系统抽样。 分层抽样的关键是合理选择分层变量（如年龄、性别、专业等），分层变量需能反映总体的主要差异，分层后每层内部的个体差异应尽可能小。 系统抽样中，抽样间隔 k=N/n 需为整数，若 N 不能被 n 整除，可先剔除部分个体使总体规模变为 n 的整数倍，或采用随机起点、循环抽样的方式，避免抽样间隔不合理导致样本偏差；同时需确保总体编号无周期性，否则会影响随机性。 五、10分钟小测验 1.某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示． 求这名学生中参加实践活动时间在小时内的人数； 估计这名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数 【答案】解：依题意，名学生中参加实践活动的时间在小时内的人数为： ， 即这名学生中参加实践活动时间在小时内的人数为． 由频率分布直方图可以看出最高矩形横轴上的中点为， 故这名学生参加实践活动时间的众数的估计值为小时， 由，解得， 则， 即这名学生参加实践活动时间的中位数为小时， 这名学生参加实践活动时间的平均数为： 小时．  【解析】本题考查频率分布直方图的应用，频数、中位数、众数、平均数等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，属于基础题． 利用频率分布直方图能求出名学生中参加实践活动的时间在小时内的人数；由频率分布直方图可以看出最高矩形横轴上的中点为，由此能求出这名学生参加实践活动时间的众数的估计值；由，求出，由此利用频率分布直方图能求出这名学生参加实践活动时间的中位数和平均数． 六、经典例题解析 （一） 数据的集中趋势与离散程度 【例1】（2021·陕西对口升学高考）对甲乙两组学生检测某一健康指标，测得指标值整理如下： 甲组：17 18 19 20 22 22 23 23 24 25 25 26 乙组：18 20 20 21 22 22 22 22 23 24 24 26 分别计算两组学生指标值在[18.5 24.5]内的频率； 分别计算两组学生指标值的平均数和方差； 比较说明两组学生指标值的稳定情况. 【解析】（1）指标值在内的频率 甲组：数据共 12 个，在区间内的数为 19、20、22、22、23，共 5 个，频率为 乙组：数据共 12 个，在区间内的数为 20、21、22、22、22、22、23、24、24，共 9 个，频率为 （2）平均数和方差 甲组：平均数； 乙组：平均 （3）稳定性比较 两组平均数相同，但乙组方差更小，说明乙组指标值的稳定性更好。 【例2】某健康社团为调查居民的运动情况，统计了某小区名居民平均每天的运动时长单位：小时，并根据统计数据分为，，，，，六个小组所调查的居民平均每天运动时长均在内，得到频率分布直方图如图所示． 求出图中的值，并估计这名居民平均每天运动时长的平均值及中位数同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替； 为了分析该小区居民平均每天的运动量与职业、年龄等的关系，该社团按小组用分层抽样的方法抽出名居民进一步调查，试问在时间段内应抽出多少人？ 【答案】解：由， 解得， 这名居民运动时长的平均值为， 由图可知中位数在内， 因为，解得． 由题知，时间段的频率为，则应抽出人．  【解析】本题考查了频率分布直方图，分层抽样，是基础题． 利用频率分布直方图计算平均数与中位数即可． 由题知，时间段的频率为，即可求解此题． 【例3】某班同学利用春节进行社会实践，对本地岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图． 序号 分组 本组“低碳族”的人数 “低碳族”人数在本组中所占的比例 一人数统计表： 二各年龄段人数频率分布直方图： Ⅰ在给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出、、的值； Ⅱ根据所得各年龄段人数频率分布直方图，估计在本地岁的人群中“低碳族”年龄的中位数． 【答案】解：Ⅰ第二组的频率为， 高为． 频率直方图如下： 第一组的人数为，频率为， ． 由题可知，第二组的频率为， 第二组的人数为， ． 第四组的频率为， 第四组的人数为， ． Ⅱ前两组的累积频率， 所以面积相等的分界线为， 即中位数为．   【解析】本题考查频率分步直方图，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查等可能事件的概率，考查利用列举法来得到题目要求的事件数，本题是一个概率与统计的综合题目 Ⅰ根据频率分步直方图的面积是这组数据的频率，频率除以组距得到高，画出频率分步直方图的剩余部分，根据频率，频数和样本容量之间的关系，求出、、的值．   Ⅱ根据在频率分布直方图中，中位数是所有小长方形的面积相等的分界线，可得答案． 本题考查频率分步直方图，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查等可能事件的概率，考查利用列举法来得到题目要求的事件数，本题是一个概率与统计的综合题目． 【例4】某班主任利用周末时间对该班级年最后一次月考的语文作文分数进行统计，发现分数都位于∽之间，现将所有分数情况分为，，，，，，共七组．其频率分布直方图如图所示，已知． 求频率分布直方图中，的值； 求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数．每组数据用该组区间中点值作为代表 【答案】解：由频率分布直方图得： ， 解得，． 该班级这次月考语文作文分数的平均数为： ， 因为， 所以该班级这次月考语文作文分数的中位数为．  【解析】本题考查平均数、中位数，频率分布直方图，属于较易题． 由频率分布直方图结合，列出关于，的方程组，即可求出，的值． 根据频率分布直方图估计平均数、中位数的方法，即可求出该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数． 平均数计算 步骤：① 确定每组区间的中点值；② 读取每组的 “频率 / 组距”，结合组距计算每组频率（频率 = 频率 / 组距 × 组距）；③ 加权平均数 = 各组中点值 × 对应频率之和。 中位数计算 核心逻辑：找到使累计频率达到 0.5 的区间，该区间即为中位数所在组； 步骤：① 计算前几组的累计频率，确定中位数所在组；② 设中位数为x，套用公式：\(x = 中位数所在组左边界 + \frac{0.5 - 前几组累计频率}{中位数所在组频率}×组距\)； 注意事项：组距需统一，累计频率计算需逐组累加，避免跳组或计算错误。 （二） 抽样与总体估计 【例1】（2022·陕西对口升学高考）某市为了研究某种传染病患者的年龄结构，现从该市的此种传染病患者中随机抽取500个样本，他们的年龄的频率分布直方图如图： （1）求直方图中值； （2）这500个样本中有多少名40-80岁之间的传染病患者？ 【解析】（1）求直方图中的值 频率分布直方图中，所有组的 “频率 / 组距 × 组距” 之和为 1（即频率和为 1）。本题组距为20，因此： （2）求 40~80 岁之间的患者数 40~80 岁对应两组 【例2】（2023·陕西对口升学高考）某职业学校组织了“我对职业教育知多少”的知识竞赛，从参加竞赛的学生中抽出80名学生，将其成绩(均为整数)分成六组，，......，，其频率分布直方图如图所示．观察图形，回答下列问题． （1）求频率分布直方图中的值； （2）求抽取的80名学生中竞赛成绩及格的人数，并估计这次竞赛的及格率(60分及以上为及格)． 【解析】（1）求直方图中的值 组距为10，频率和为 1， 因此： （2）求及格人数及及格率 及格为 60 分及以上，对应组 先算及格的频率 及格人数（样本量为 8 及格率： 【例3】某厂家为了了解某新产品使用者的年龄情况，现随机调査位使用者的年龄整理后画出的频率分布直方图如图所示． Ⅰ求名使用者中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计所有使用者的平均年龄； Ⅱ若已从年龄在，的使用者中利用分层抽样选取了人，再从这人中选出人，求这人在不同的年龄组的概率． 【答案】解：Ⅰ由图可得，各组年龄的人数分別为：，，，． 估计所有使用者的平均年龄为：岁 Ⅱ由题意可知抽取的人中，年龄在范围内的人数为，记为，，，；年龄在范围内的人数为，记为，． 从这人中选取人，结果共有种： ，，，，，， ，，，，，， ，，． 设“这人在不同年龄组“为事件． 则事件所包含的基本事件有种，故， 所以这人在不同年龄组的概率为．  【解析】本题考查频率分布直方图以及古典概型，属于基础题． Ⅰ由直方图可得各组年龄的人数，由直方图计算平均值的方法可得平均年龄； Ⅱ在的人数为人，记为，，，；在的人数为人，记为，列举可得总的情况共有种，“这两人在不同年龄组”包含种，由古典概型概率公式可得． 【例4】某商场亲子游乐场由于经营管理不善突然倒闭。在进行资产清算时发现有名客户办理的充值会员卡上还有余额为了了解客户充值卡上的余额情况，从中抽取了名客户的充值卡余额进行统计其中余额分组区间为，，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：   求的值； 求余额不低于元的客户大约为多少人？ 根据频率分布直方图，估计客户人均损失多少？用组中值代替各组数据的平均值． 【答案】解：由，解得． 余额在之间的频率为，故可估计余额不低于元的客户大约为人． 客户人均损失的估计值为：元．  【解析】本题考查频率分布直方图，平均数的计算，属于基础题． 根据频率和为，即可求出的值； 根据余额在之间的频率为，求出余额不低于元的客户人数； 根据平均数计算公式即可求得估计客户人均损失． （一）频率分布直方图中 “频率 / 组距” 参数计算 关键注意：先确认所有区间的组距是否统一，若有不同需分别计算每组频率； 方程列写时需确保所有组的 “频率 / 组距” 均被包含，不遗漏任何一组。 （二）指定区间内的频数（人数）计算 关键注意：若题目给出样本量，可直接计算样本中该区间的频数；若给出总体量，可通过样本频率估计总体中该区间的频数； 多个区间时，需分别计算每个区间的频率再求和，避免漏算或错算区间。 （三）分层抽样相关计算 关键注意：先明确分层的依据，准确计算各层的频率； 若后续需计算概率，需先确定分层抽样后各层的具体样本数，再用列举法或组合数计算事件概率。 七、专题归纳小结 一、核心内容梳理 本专题围绕概率与统计的核心考点展开，主要涵盖四大核心模块，构成完整的知识体系： 1、数据收集与整理：包括直接收集（调查、实验、观察）和间接收集（文献、报表、网络）两种数据获取方式，以及频数分布表、条形图、扇形图三种核心统计图表的绘制与应用，重点掌握分组原则、频数与频率的计算逻辑。 2、数据特征量分析：聚焦描述数据 “集中趋势” 的平均数、中位数、众数，以及描述 “离散程度” 的方差、标准差，明确各特征量的计算公式、统计意义及适用场景，如平均数反映平均水平、中位数不受极端值影响、方差越小数据越稳定。 3、抽样调查与总体估计：理解总体、样本、样本量等核心概念，遵循随机性和代表性两大抽样原则，掌握简单随机抽样、分层抽样、系统抽样三种概率抽样方法的核心逻辑与适用场景，能通过样本特征估计总体特征。 4、概率与统计综合应用：结合频率分布直方图，解决参数计算、指定区间频数统计、平均数与中位数估计等问题，同时涉及分层抽样与古典概型结合的概率计算。 二、核心考点提炼 1、统计图表应用：频数分布表的分组与频率计算、条形图与扇形图的绘制规范及数据解读。 2、数据特征量计算：平均数、中位数、众数、方差、标准差的精准计算，以及特征量的实际意义分析。 3、抽样方法应用：根据总体特点选择合适的抽样方法，分层抽样中样本数的计算。 4、频率分布直方图综合问题：图表参数求解、指定区间频数 / 频率计算、总体平均数与中位数估计。 5、概率计算：古典概型与抽样结合的概率求解，通过列举法或组合数分析基本事件。 三、解题策略与方法 （一）数据整理与图表相关问题 频数与频率计算：牢记 “频率 = 频数 / 总数据个数”“频率之和为 1”，分组时确保组距一致、无遗漏无重叠，极端值数据可设 “开口组” 并注明。 统计图表解读：条形图关注横轴类别与纵轴频数 / 频率，扇形图注意 “扇形面积与频率成正比”（适用于不超过 6 组的分类），优先通过图表提取关键数据再进行计算。 （二）数据特征量计算问题 平均数：直接数据用算术平均数公式，频率分布直方图用 “加权平均数 = 各组中点值 × 对应频率之和”，计算前核对数据个数或频率总和。 中位数：直接数据需先排序，奇数个数据取中间值，偶数个数据取中间两数平均；频率分布直方图先找累计频率达 0.5 的区间，再用公式 “中位数 = 左边界 + (0.5 - 前几组累计频率)/ 本组频率 × 组距”。 方差：先准确计算平均数，再分步计算每个数据与平均数的差值平方，求和后除以数据个数，比较稳定性时需保证数据计量单位一致、平均数相近。 （三）抽样与总体估计问题 抽样方法选择：总体规模小、个体差异小用简单随机抽样；总体个体差异大用分层抽样；总体规模大用系统抽样（注意抽样间隔合理性）。 频率分布直方图参数求解：根据 “所有组（频率 / 组距 × 组距）之和 = 1” 列方程，代入已知数据求解未知参数。 总体估计：用样本频率估计总体频率，再结合总体量计算总体中指定区间的频数；用样本加权平均数估计总体平均数。 （四）概率计算问题 古典概型结合分层抽样：先根据分层抽样比例确定各层抽取的样本数，再用列举法列出所有基本事件，筛选符合条件的事件数，最后用 “概率 = 符合条件的基本事件数 / 总基本事件数” 求解。 四、易错点与避坑指南 1、数据分组错误：分组时出现遗漏或重叠，需严格遵循 “组距一致、区间连续” 原则，非整数数据优先用左闭右开区间。 2、特征量计算失误：计算中位数未排序、偶数个数据未取中间两数平均；方差计算时漏算平方或平均数错误；频率分布直方图中误将 “频率 / 组距” 当作频率直接使用。 3、抽样方法应用不当：分层抽样未按比例抽取样本，系统抽样忽略总体编号的周期性或抽样间隔非整数的处理。 4、概率计算遗漏基本事件：列举基本事件时重复或遗漏，可按规律列举，确保不重不漏。 5、单位与范围混淆：计算时忽略数据单位一致性，或混淆区间边界。 五、复习建议 1、夯实基础：熟记核心公式（平均数、方差、频率、中位数等）、抽样方法适用场景及统计图表绘制规范，通过基础题强化公式应用和概念理解。 2、聚焦高频考点：重点突破频率分布直方图综合题（参数求解、特征量估计、频数计算）、分层抽样与概率。 3、规范解题步骤：计算类题目分步书写，频率分布直方图问题明确组距、中点值、频率的关系，概率题列举基本事件时条理清晰，避免因步骤疏漏导致错误。 4、错题复盘：整理典型错题，分析错误原因，总结避坑技巧，同类题目反复练习巩固。 5、强化应用意识：结合实际场景理解统计量的意义，提升从题目中提取数据、转化为数学问题的能力，适应大题的综合考查形式。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $