大题专题05 立体几何（讲义）-2026版陕西省（职教单招）二轮复习《数学考纲专题练》.docx

编写说明：2026版陕西省职教单招二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及陕西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版陕西省职教单招二轮复习《数学考纲专题练》的第1个大题专题，内容为立体几何。 2026版陕西省职教单招 二轮复习《数学考纲专题练》 大题专题05 立体几何 · 一、课标解读 · 了解平面性质的三个公理。 · 了解直线和直线以及平面的位置关系。 · 了解平面和平面的位置关系。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2023 解答题 20 线面平行与面面垂直证明 12 陕西职教单招真题中，立体几何的大题考查呈现以下特点： （1）题型：每年大题一个。 （2）分值：几乎每年都有涉及，分值一般在12分左右。 （3）内容：本节题型主要是对线面平行与垂直、面面平行与垂直定理的考察。学生应熟知定理，会用分析法进行分析题目。 2022 解答题 17 线面垂直证明 10 2021 解答题 20 三棱锥体积与面面垂直证明 12 三、考点预测 预估2026年陕西省职教单招考试有1道大题考查，主要考查“线面平行垂直或面面平行与垂直”等，共10-12分。 具体考点： · 三棱锥体积与面面垂直证明。 · 线面平行与面面垂直证明。 四、知识梳理 知识点一空间平面、直线的位置关系 1. 平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 2．空间两条直线的位置关系 (1)相交直线——同一平面内，有且只有一个公共点． (2)平行直线——同一平面内，没有公共点． (3)异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点． 3.异面直线所成角、平行公理及等角定理 (1)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角． ②范围：. (2)平行公理 平行于同一条直线的两条直线平行. (3)等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 说明：空间直线位置关系的易错区分： 异面直线的判定需紧扣 “不同在任何一个平面内”，不能仅凭 “没有公共点” 判定（平行直线也无公共点），可通过反证法或借助辅助平面判断。 等角定理中 “角的两边分别对应平行”，需注意 “对应” 二字，若两边平行方向不完全一致，两角互补；方向完全一致则两角相等，不可直接默认两角相等。 知识点二直线、平面平行的判定与性质 1.直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄α， _a∥b__ _a∥α__ a∥α，a⊂β， _α∩β＝b__ 结论 a∥α b∥α a∩α＝∅ _a∥b__ 2.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 _α∩β＝∅__ _a⊂β，b⊂β， a∩b＝P，a∥α，b∥α__ _α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b__ α∥β，a⊂β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α 说明：直线与平面平行的关键提醒： 性质定理的应用前提是 ，需注意直线a必须在第二个平且不能直接由内所有直线平行，仅与过a的平面与交线平行。 平面与平面平行的易错点： 判定定理中，需保证两条直线相交，若两条直线平行，则无法判定面面平行（可能存在两平面相交但有一组平行直线分别平行于另一平面的情况）。 知识点三直线、平面垂直的判定与性质 1. 直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直 ①定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直． ②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α. ③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)直线与平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角． 若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为0，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为. ②线面角θ的范围：θ∈. 2.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． ③二面角θ的范围：θ∈[0，π]． (2)平面与平面垂直 ①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. ③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒a⊥β.　 说明：平面与平面垂直的注意事项： 二面角的平面角必须满足 “以棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线”，缺少 “与棱垂直” 这一条件，所得角不是二面角的平面角。 判定定理中 “一个平面过另一个平面的垂线”，需明确垂线在其中一个平面内，若直线仅垂直于另一个平面但不在该平面内，无法判定面面垂直。 知识点四.柱体、锥体、台体和球体的表面积和体积 　　　名称 几何体　　　 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝ S底h　 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝ S底·h　 球 S＝ 4πR2　 V＝πR3 说明：锥体的表面积是 “”，圆锥的侧面积公式为（l为母线长），需注意母线长，不可与高h混淆；棱锥的侧面积是各侧面三角形面积之和，需根据三角形的高（斜高）计算。 涉及 “斜棱柱”“斜棱锥” 时，需先确定其垂直于底面的高，不可直接用侧棱长或底面边长作为高代入体积公式。 六、经典例题解析 （一）证明垂直或平行 【例1】（2022·陕西对口升学高考） 如图，为平面的斜线，，为在平面内的射影，直线，．证明：. 证明： 【例2】（2023·陕西对口升学高考）如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，，分别为中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面. (1) 证明： 【例3】如图，在三棱锥中，分别为的中点． 求证：平面；    若平面平面，且，，求证：平面平面． 【答案】证明：，分别为，的中点，． 又平面，平面， 平面． 证明：，为的中点，． 又平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，． 又为的中点，． ，． ，平面，平面． 又平面， 平面平面．   【解析】本题考查线面平行的判定、面面垂直的判定，属于基础题； 先证又平面，平面，即可证平面． 先证和，又，可得平面从而可得平面平面． 【例4】在三棱锥中，，分别为，的中点，且，平面平面． 证明：平面； 证明：． 【答案】证明：在中，，分别是，的中点， ， 平面，平面， 平面． 在中，，为的中点， ， 又平面平面，平面， 平面平面， 平面， 平面，．  【解析】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理证明的能力，是基础题． 推导出，由此能证明平面． 推导出，从而平面，进而可证． 【例5】. 已知菱形所在平面，点、分别为线段、的中点．     求证：； 求证：平面． 【答案】证明：平面，平面， ， 又是菱形， ， 又，平面，， 平面， 又平面， ． 取线段的中点，连结，， 又为线段的中点， 则，且， 又为线段的中点，则，且， ，， 四边形是平行四边形， ， 又平面，平面， 平面．  【解析】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定定理和性质定理，难度不大，属于中档题． 由平面，可得，又由是菱形，可得，进而由线面垂直的判定定理得到平面，进而． 取线段的中点，连结，，由中位线定理可得，且，又由，且，进而四边形是平行四边形，进而，再由线面平行的判定定理得到平面 【解析】本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于基础题． 取的中点，的中点，利用中位线定理和平行公理即可证明，得出平面； 计算到平面的距离和三角形的面积，代入棱锥的体积公式计算． 考点小结： （一）线线垂直证明 常用方法：利用线面垂直性质、利用勾股定理逆定理、利用面面垂直性质。 （二）线面平行证明 常用方法：中位线法、平行四边形法、平行公理法。 （三）面面垂直证明 常用方法：线面垂直推导面面垂直、利用面面垂直定义。 面面平行证明 常用方法：构造两组相交平行线、利用线面平行性质。 （二）体积问题+证明垂直 【例1】. （2021·陕西对口升学高考）如图，四棱锥P-ABCD ,底面ABCD是边长为2的菱形，且，PA=3，PA⟂平面ABCD． （1）求三棱锥P-BCD 的体积； （2）证明：平面PAC⟂平面PBD． （1）求三棱锥P - BCD的体积 【解析】（1）已知底面ABCD是边长为 2 的菱形，，因此是边长为 2 的等边三角形，其面积为：又因为 根据三棱锥体积公式（S为底面积，h为高），得： （2）证明 因为ABCD是菱形，所以对角线； 又 由于； 而 【例2】. 如图，四边形是边长为的正方形，为边的中点，沿把折起，使点到达点的位置，且． Ⅰ求证：平面； Ⅱ求三棱锥的表面积 【答案】解：Ⅰ证明：沿把折起，则， ，， ，，为等边三角形，， ，． ，、平面，平面． Ⅱ，，， ， ， ， 三棱锥的表面积．  【解析】本题考查线面垂直的判定和棱锥表面积，属于较易题． Ⅰ可得，，由此即证； Ⅱ三棱锥的表面有两个直角三角形，一个等边三角形，第四个三角形的底和高都已知，由此可得． （三）体积问题+证明平行 【例1】已知四棱锥，底面是菱形，，底面，且，点，分别是棱和的中点． Ⅰ求证：平面； Ⅱ求三棱锥的体积． 【答案】Ⅰ证明：取的中点，连接，． ，分别为，的中点， ，， 又是的中点， ，． ，． 四边形为平行四边形． ． 又平面，平面， 平面． Ⅱ解：底面，且，点到底面的距离为， 易知，，， 所以，即三棱锥的体积为．  【解析】本题考查线面平行的证明，三棱锥的体积的求法，属于常规题． Ⅰ取中点，连接，，由已知得，，得到四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面； Ⅱ使用作差法，由，分别计算出与的值即可． 【例2】.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，，分别是，的中点． 证明：平面； 求三棱锥的体积． 【答案】证明：取的中点，的中点，连接，， 四边形是正方形，是的中点， ，，三点共线，且是的中点， 又是的中点，，分别是，的中点， ，， ，又平面，平面， 平面． 解：平面，是的中点， 到平面的距离为， 四边形是正方形，，， 三棱锥的体积为：．  【例3】如图，正方体的棱长为分别是的中点． 求证：四点共面； 已知在棱上，求四面体的体积． 【答案】证明：连接，， 且，四边形是平行四边形， ， 又，分别为，中点，，， ，，，四点共面 解：由题意，得的面积， 由题意得平面，且， 四面体的体积．  【解析】本题考查四点共面的证明，考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 连接，，推导出四边形是平行四边形，从而，由三角形中位线定理得，从而，由此能证明，，，四点共面． 求出的面积，推导出平面，且，由此能求出四面体的体积． 考点小结： 常用方法：直接公式法：三棱锥体积公式、柱体体积公式，球体体积公式、等体积转换法： 七、专题归纳小结 一、核心内容梳理 1、基础公理与性质：平面的三个基本公理、空间直线的三种位置关系、平行公理及等角定理 2、平行关系判定与性质：线面平行的定义与判定定理、面面平行的判定定理及二者的性质定理，是证明平行问题的核心依据。 3、垂直关系判定与性质：线面垂直的定义、判定定理与性质定理，面面垂直的定义、判定定理与性质定理，是证明垂直问题的关键工具。 4、几何体体积计算：重点是三棱锥体积公，涉及菱形、正方形、等边三角形等特殊图形的面积计算，以及高的确定。 2、 解题策略与方法 （一）证明类题型解题策略 线面平行证明 “三步法”： 第一步：找 “目标线”（需证明平行的直线）对应的 “参照线”（目标平面内的直线）； 第二步：通过中位线定理（中点条件）、平行四边形性质（平行且相等线段）或平行公理，证明两直线平行； 第三步：注明 “目标线不在目标平面内”，应用线面平行判定定理得出结论。 面面垂直证明 “两步法”： 第一步：找 “垂线”（垂直于一个平面的直线）； 第二步：证明该垂线在另一个平面内，应用面面垂直判定定理得出结论。 线线垂直证明 “转化法”： 转化为线面垂直：先证明一条直线垂直于另一条直线所在平面，再由线面垂直性质得线线垂直； 转化为勾股定理逆用：通过计算线段长度，得出垂直关系。 （二）体积计算类题型解题策略 “一找二算三代入” 流程： 找高：通过线面垂直关系确定几何体的高（如直线垂直于底面，则直线长度为高；中点则高为原线段的一半）； 算底面积：根据底面图形类型（菱形、等边三角形、正方形等），套用对应面积公式计算； 代入公式：将底面积和高代入三棱锥体积公式，准确计算结果。 综合题（证明 + 体积）解题顺序： 先完成证明部分（多为线面垂直或面面垂直），为体积计算提供 “高” 的关键条件； 再进行体积计算，避免因条件缺失导致计算错误。 （三）辅助线构造技巧 遇 “中点” 优先构造中位线，利用中位线平行于第三边的性质搭建平行关系； 遇 “线面平行”“面面平行”，优先构造平行四边形，通过对边平行且相等验证平行关系； 遇 “面面垂直”，优先构造交线的垂线，利用面面垂直性质定理转化为线面垂直。 三、易错点与避坑指南 1、概念类易错点： 混淆 “异面直线” 与 “平行直线”：异面直线需满足 “不同在任何一个平面内”，不可仅凭 “无公共点” 判定； 误解 “等角定理”：两角两边分别平行时，需关注方向是否一致，方向一致则相等，不一致则互补，不可直接默认相等。 2、定理应用类易错点： 线面平行性质定理误用：忽略 “直线在第二个平面内” 的条件，直接由 “线面平行” 推出 “与平面内所有直线平行”； 面面平行判定定理误用：未保证 “两条直线相交”，仅由两条平行直线分别平行于另一平面，误判面面平行； 面面垂直判定定理误用：忽略 “垂线在平面内” 的条件，仅由直线垂直于平面，误判面面垂直。 3、体积计算类易错点： 高的误判：将 “侧棱长”“斜线段长度” 当作高，未验证线面垂直关系； 四、复习建议 1、夯实基础，牢记定理：熟练背诵线面平行、面面垂直等核心定理的条件和结论，明确定理应用的前提，避免因定理记忆不牢导致逻辑断层。 2、聚焦真题，专项突破：针对陕西省历年真题中 “线面平行 + 面面垂直”“体积 + 面面垂直” 两类高频题型，进行专项训练，总结真题的命题规律和解题套路，提升解题熟练度。 3、重视错题，规范步骤：整理错题本，重点标注 “定理误用”“辅助线构造不当”“体积计算失误” 等问题。 4、反复复盘；答题时严格遵循 “条件→推导→结论” 的逻辑，步骤清晰，避免因步骤不完整导致扣分。 5、强化空间想象，巧用图形：解题时结合题目给出的图形（或自行绘制简易图形），标注已知条件（中点、垂直关系、边长等），通过图形直观分析线面、面面关系，降低空间思维难度。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $