26.1二次函数 教学设计2025-2026学年华东师大版九年级数学下册

该初中数学教学设计聚焦二次函数的概念及应用，通过果园产量、储蓄本息等实际问题导入，引导学生从现实情境中抽象数量关系，对比一次函数、反比例函数，梳理知识脉络，搭建学习支架。 此设计以情境化问题培养学生抽象能力（数学眼光），通过辨析练习发展推理意识（数学思维），结合实例确定自变量范围渗透建模思想（数学语言）。学生能提升用数学解决实际问题的能力，教师可借助清晰环节与分层练习高效教学，夯实二次函数基础。

嵩县城关镇中 九 年级 数学 学科教学设计 课 题 26．1 二次函数 时 间 12.16 编 号 设 计 者 刘利宾 执 教 者 【课标要求】 会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义。 【教材分析】 本节课是在学生学完一次函数、反比例函数后，对初中函数知识体系的补充与拓展，教材特意引导学生对比已学函数与二次函数的表达式差异，降低新知识的接受难度。同时，它为后续学习二次函数的图象、性质，以及二次函数与一元二次方程的联系奠定基础，是整个二次函数章节的知识基石，起到承上启下的关键作用。 【教学目标】 1.理解二次函数的定义，能准确辨识形如 y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c 为常数）的函数，明确二次项系数 a≠0 的核心条件，区分二次函数与一次函数、反比例函数的差异。 2掌握由实际问题（如图形面积、储蓄本息、产量变化等）提炼等量关系的方法，能正确列出二次函数关系式。 3.会结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义。 【教学重点】 理解二次函数的有关概念 【教学难点】 二次函数的有关概念的应用 【教学过程】 （一）导入新课 问题1：某果园现有100棵橙子树，每棵树平均结600个橙子，若每增种1棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，设增种x棵树，果园总产量为y个，试写出y与x的关系式。 问题2：小明将1000元存入银行，年利率为r，按复利计算（每年的利息计入下一年的本金），两年后本息和为y元，写出y与r的关系式。 请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． （2） 探究新知 探究活动一: 1. 整理关系式，抽象特征 将上述两个关系式展开整理： .y=(100+x)(600-5x)= -5x² + 100x + 60000 .y=1000(1+r)²=1000r² + 2000r + 1000 展示教材中其他实例（如矩形面积问题）的函数关系式，引导学生观察共同点： 2.获取新知 明确：一般地，形如y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c是常数）的函数，叫做二次函数。 其中x是自变量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 强调核心条件：a≠0（若a=0，则函数变为一次函数或常数函数），结合例子辨析：y=3x²、y=2x²+5x、y=4x+1、y=5x³+2x²中哪些是二次函数？ 探究活动二： 确定自变量取值范围 结合导入的“增种橙子树”问题，提问：x的取值可以是任意实数吗？引导学生思考： • x≥0（增种的树数量不能为负）； • 每棵树结果量600-5x≥0，即x≤120，因此x的取值范围是0≤x≤120且x为整数。 总结：二次函数自变量取值范围一般是全体实数，但实际问题中需结合情境确定。 （三）例题讲解 例题1：判断下列函数是否为二次函数，若是，指出二次项系数、一次项系数和常数项。 (1) y=3x² - 2x + 5；(2) y= -x²；(3) y=2x + 3；(4) y=(x-2)² - x²。 师生共同分析：先化简函数表达式，再根据定义判断。如(4)化简后为y=-4x+4，是一次函数，不是二次函数。 例题2：用长为20m的篱笆围成一个矩形菜园，设矩形的一边长为xm，面积为ym²，写出y与x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围。 学生独立完成，教师巡视指导，订正时强调：矩形另一边长为(10 - x)m，面积y=x(10 - x)= -x² + 10x；自变量x>0且10 - x>0，即0<x<10。 （四）课堂练习 1. 下列函数中，是二次函数的有（） ①y=5x² + 1；②y= -x²；③y=√x²+ 2x；④y=(x+2)²- x² A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 一个正方形的边长为xcm，若边长增加2cm，则面积增加ycm²，写出y与x的函数关系式，并求当x=3时，y的值。 3. 某商品原价为每件20元，现在每件涨价x元，销售量为(100 - 2x)件，设总销售额为y元，写出y与x的函数关系式，并确定x的取值范围。 学生独立完成，同桌互查，教师点评共性错误。 （五）课堂小结 1.二次函数的定义及核心条件（a≠0）； 2.如何根据实际问题列二次函数关系式； 3.实际问题中自变量取值范围的确定方法。 4.解题思想方法总结 思想：1.数学建模思想2.类比思想3.抽象概括思想 （六）巩固练习 1.教材课后练习题1-4题； 2.拓展题：观察生活中的二次函数实例，写出一个函数关系式并标注自变量取值范围。 （七）作业设计 1.（必做）学生能力提升手册本节基础作业 2.（选做）学生能力提升手册本节提升作业 （八）教学反思 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $