4.1.2象限角与终边相同的角（教学设计）-劳保版第8版《数学 上册》《上好课》

课程名称 劳保版第8版 《数学 上册》 4.1.2 象限角与终边相同的角 教材分析 象限角与终边相同的角是角的概念推广的延伸，承接上节任意角的动态定义，通过坐标系定位角明确象限角的分类规则，归纳终边相同的角的集合表达式，是后续判断三角函数符号、推导诱导公式的核心基础。象限角的判定、终边相同角的集合表示、0°~360°内对应角的求解，是三角函数板块的高频基础考点，必须熟练掌握。教材以坐标系定位→实例观察终边重合→抽象集合表达式编排，先定义象限角的判定规则，再通过30°、390°等角的画图实例归纳终边相同角的规律，适配学生从直观到抽象的认知逻辑；内容完整适配学情，仅需补充k取值练习强化集合书写规范，无需删减深拓。 学情分析 学生已掌握任意角（正/负/零角）的概念，能在坐标系画简单角，但对象限角的范围界定、终边相同角的化简逻辑（加减360°·k）认知空白；能力上，能完成基础角的绘制，但大角度、负角度的终边定位需强化，集合表达式的抽象表述接受度低；兴趣上，对画图观察终边的动手活动较积极，对纯符号集合易走神。预计的学习困难在于：①混淆象限角范围（如90°不属于任何象限）；②不会通过“加减360°·k”找对应角，集合漏写；③个体差异明显，空间想象强的学生能快速定位终边，抽象思维弱的学生在集合表示上进度慢。 教学目标 1. 知识与技能：理解象限角的概念，能根据角的终边位置判断其为第几象限角或非象限角。掌握终边相同的角的概念和表示方法，能写出与给定角终边相同的角的集合。能找出在0°～360°范围内与任意角终边相同的特定角，并判断其象限。能写出终边落在坐标轴（如x轴、y轴）上的角的集合。 1. 情感态度：通过角的推广，感受数学概念的严谨性和普适性。在解决与角相关的位置判断问题中获得成就感，增强学习信心。 教学重难点 教学重点：象限角的判定方法；终边相同的角的集合表示。 教学难点：终边相同的角的集合抽象；0°~360°内对应角的求解。 教学方法 讲授法、问答法、练习法 课前准备 多媒体课件、板书设计、课堂练习题 教学媒体 PPT课件 教学过程 教学环节 教师活动设计 学生活动设计 设计意图 导入 复习导入 提问1：任意角包括正角、负角和零角。请问一个角的大小由什么决定？ 答：由旋转方向和旋转角度决定。 提问2：30°、-120°的旋转方向和角度？ 答：30°是逆时针方向旋转得到的正角，-120°是顺时针旋转120°得到的负角 小组讨论：在平面直角坐标系中，如何规范地表示30°与-120°？ 学生回答：由旋转方向和旋转角度决定。 学生回答：30°是逆时针方向旋转得到的正角，-120°是顺时针旋转120°得到的负角 思考角在平面直角坐标系中的表示 复习任意角的概念 引出象限角课题 新课讲授 一、象限角 1、定义：将角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，此时角的终边落在坐标系中的第几象限，就称这个角是第几象限角；若角的终边落在坐标轴上，则称这个角不属于任何一个象限。 强调：①前提是顶点在原点，始边与x轴正半轴重合； ②终边在坐标轴上的角不是象限角。 2、 在0°～360°范围内，各象限角的范围 第一象限：0° < α < 90° 第二象限：90° < α < 180° 第三象限：180° < α < 270° 第四象限：270° < α < 360° 强调提示：在0°～360°范围内，角α满足 0° ≤ α < 360°。0°角终边在x轴正半轴，不是象限角。 提问：45°、120°、270°分别属于第几象限？ 答：第一象限、第二象限、不属于任何象限 二、终边相同的角 1、定义：在平面直角坐标系中，若两个角的终边完全重合，则称这两个角是终边相同的角。 2、小组讨论：在坐标系中画出30°, 390°, 750°, -330°，这些角的终边有什么关系，能总结出什么规律？ 代数表达： 30° = 30° + 0×360° 390° = 30° + 1×360° 750° = 30° + 2×360° -330° = 30° + (-1)×360° 归纳结论： ▪ 一般表达式：与α角终边相同的角（包括α）的集合为： ▪ 关键点：k是整数；α是任意角，通常取0°到360°范围内的一个角作为代表。 三、例题解析 例1：写出与48°、220°终边相同的角的集合。 解： (1) (2) 例2：找出0°～360°范围内与-120°、645°、-940°终边相同的角，并判断象限。 解析：通过加或减360°的整数倍，使角落在[0°, 360°)内。 解： (1) -120°：-120° + 360° = 240°。240°在180°~270°之间，是第三象限角。 (2) 645°：645° - 360° = 285°（因为645>360，用减法）。285°在270°~360°之间，是第四象限角。 (3) -940°：-940° + 3×360° = -940° + 1080° = 140°。140°在90°~180°之间，是第二象限角。 例3：写出终边在y轴上的角的集合。 解： 1. 找代表角：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角是90°和270°。 2. 分别写出集合：S1 = {β | β=90°+k·360°, k∈Z}； S2 = {β | β=270°+k·360°, k∈Z}。 3. 合并：终边在y轴上的角的集合 S = S1 ∪ S2。 4. 化简：观察规律，90°和270°相差180°，可以合并为 {β| β=90°+ k·180°, k∈Z}。 聆听 聆听，画图 学生回答：45°属于第一象限，120°属于第二象限，270°不属于任何象限 学生画图，根据图像得出这些角的终边完全重合，并发现这些角相差了360°的整数倍。 在教师的指导下解题 讲解象限角的定义 对定义做出解读 用简单的例子及时巩固象限角的含义 引导学生动手作图，自行找出规律 课堂练习 例1 判断下列说法的对错： （1）角的终边在第二象限，那么这个角就是第二象限角。（ ） （2）-90°角的终边在y轴负半轴上，所以它是第四象限角。（ ） 解：（1）对 （2） 错，终边在坐标轴上的角不属于任何象限 例2 写出与 -60°角终边相同的角的集合。 解：{β |β= -60°+ k·360°， k ∈ Z} 例3 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角： （1） 480° （2） -780° 解：（1）480°- 360°= 120°，第二象限角 （2）-780°+ 3×360° = 300°，第四象限角 例4 写出终边在x轴负半轴上的角的集合。 解：{β| β = 180° + k·360°， k ∈ Z} 例5 若角β与120°角终边相同，且-720°< β < 360°，求角β的所有可能值。 解：β = 120° + k·360°， k∈Z 分别令k=-2，-1， 0， 得β = -600°， -240°， 120° 例6已知角α是第一象限角，则角-α的终边在第____象限 解：α是第一象限角，即，则，终边落在第四象限，故填“四”。 课堂小结 1、象限角：顶点在原点、始边与x轴正半轴重合，按终边位置分类； 2、终边相同的角：表达式为，用集合表示； 3、解题技巧：找0°~360°内对应角，需通过加减调整范围。 课后作业 ①课本P123 知识巩固2第1~5题 ②见《同步练习》 板书设计 一、象限角 1、定义：顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，按终边位置分类；终边在坐标轴上→不属于任何象限 2、范围（0°~360°）： 一：； 二：； 三：； 四：° 二、终边相同的角 1、定义：终边完全重合的角 2、表达式： 集合： 教学反思 画图活动让学生直观感知象限角定位与终边重合规律，降低了抽象概念的理解难度；部分学生找对应角时，的取值判断不准确（如-940°的值计算）；少数空间想象弱的学生，标注终边需反复指导，进度较慢。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $