专项提升训练：数学广角——数与形解决问题（考点梳理+例题讲解+考点练习）2025-2026学年六年级上册数学人教版

2025-2026学年六年级上册数学人教版 专项提升训练：数学广角——数与形解决问题 （考点梳理+例题讲解+考点练习） 专题预览 考点梳理 1 考点一、核心思想：数形结合 1 考点二、观察图形，发现规律并解决问题 (以形助数) 1 考点三、观察数列或算式，发现规律并用图形解释或验证 (以数解形) 2 考点四、利用数形结合思想解决实际问题 2 考点五、解题方法与策略 2 例题讲解 2 一、以数解形 2 二、以形助数 4 考点练习 8 一、以数解形 8 二、以形助数 17 考点梳理 考点一、核心思想：数形结合 1.定义： 指通过数（数量关系）与形（空间形式）的相互转化、相互利用来解决数学问题的一种思想方法。 2.作用： （1）以形助数： 利用图形的直观性帮助理解和解决与数、算式相关的问题，使抽象的数或数量关系具体化、形象化。 （2）以数解形： 利用数的精确性和规律性来描述、分析和解决与图形相关的问题，使图形的性质量化、精确化。 考点二、观察图形，发现规律并解决问题 (以形助数) 1.找出图形的变化规律： 如图形的个数、形状、颜色、方向、组成部分等的变化。 2.根据规律用数或算式表示： 用数表示第n个图形的某种数量（如小棒根数、小正方形个数、圆圈个数等）。 3.预测后续图形的数量或画出后续图形。 考点三、观察数列或算式，发现规律并用图形解释或验证 (以数解形) 1.找出数或算式的排列规律。 2.用图形直观地表示出这些数或算式的意义和规律。 3.利用规律进行计算或预测。 考点四、利用数形结合思想解决实际问题 1.在解决一些复杂的数学问题时，特别是涉及到数量关系比较抽象时，可以通过画线段图、示意图、列表格等方式（形），将抽象的数量关系直观化，从而找到解题思路。 2.典型例题：行程问题、工程问题、分数应用题等，通过画线段图帮助分析数量关系。 3.规律分析： 虽然不是本单元的重点，但体现了数形结合思想的广泛应用。本单元更侧重于探索规律本身。 考点五、解题方法与策略 1.仔细观察： 认真观察图形或数列的特点，包括数量、大小、方向、颜色、位置等的变化。 2.寻找共性与差异： 比较相邻图形或数之间的异同，找出重复出现的模式或变化趋势。 3.动手操作与尝试： 对于图形类问题，可以动手画一画、摆一摆，亲身体验变化过程。 4.归纳与猜想： 根据观察到的部分现象，大胆猜想一般性的规律，并用代数式或文字描述出来。 5.验证规律： 用发现的规律去检验前面已知的图形或数据是否符合，或预测后面的图形或数据，并进行验证。如果不符合，及时调整猜想。 6.从简单入手： 如果规律不明显，可以从最简单的情况开始分析，逐步递推，发现规律。 例题讲解 一、以数解形 【例题1】如借助下图，可以将算式＝ ＝ （横线上填算式转化过程和结果）。 【答案】 【分析】把整个正方形的面积看作单位“1”。观察图形可知，算式表示的是图中若干个小长方形（或正方形）面积之和，这些小图形面积之和等于单位“1”减去最后剩下的空白部分的面积，空白部分面积为。 【详解】由分析可知： 所以。 【例题2】如图，观察下面图与算式的规律并解决问题。 （1）根据前几幅图与算式的规律，第五幅图的等式（    ）。 （2）根据以上观察，n2－（n－1）2＝（    ）。 （3）利用上面发现的规律计算下面算式的结果。 102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12＝（    ）。 【答案】（1）62－52＝6＋5 （2）2n－1 （3）55 【分析】（1）观察前面的等式：第一幅图：22－12＝2＋1，是（1＋1）2－12＝（1＋1）＋1；第二幅图：32－22＝3＋2，是（2＋1）2－22＝（2＋1）＋2；第三幅图：42－32＝4＋3，是（3＋1）2－32＝（3＋1）＋3。则第四幅图：52－42＝5＋4。 由此可总结规律：第n幅图的等式为（n＋1）2－n2＝（n＋1）＋n。那么第五幅图，n＝5，对应的等式为62－52＝6＋5。 （2）根据前面的规律，（n）2－（n－1）2＝n＋（n－1），即2n－1。 （3）根据前面发现的规律a2－b2＝a＋b（其中a＝b＋1），对原式进行拆分计算：原式变为：（10＋9）＋（8＋7）＋（6＋5）＋（4＋3）＋（2＋1），然后计算即可。 【详解】 （1）由分析可知：第n幅图：（n＋1）2－n2＝（n＋1）＋n n＝5时： （5＋1）2－52 ＝62－52 ＝6＋5 第五幅图的等式是：62－52＝6＋5。 （2）（n）2－（n－1）2 ＝n＋（n－1） ＝2n－1 所以n2－（n－1）2＝2n－1 （3）102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12 ＝（10＋9）＋（8＋7）＋（6＋5）＋（4＋3）＋（2＋1） ＝19＋15＋11＋7＋3 ＝（19＋3）＋（15＋7）＋11 ＝22＋22＋11 ＝55 所以102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12＝55。 二、以形助数 【例题1】观察下列点阵，在□里面画出第六个点阵，并写出它的算式。 【答案】见详解；1＋2＋3＋4＋5＋6 【分析】根据图可知，第几个点阵，就在前一个点阵的基础上，在最下面加几个点即可，由此即可画出第六个点阵；第一个点阵：1个点；第二个点阵：1＋2＝3个点，第三个点阵：1＋2＋3＝6个点，第四个点阵：1＋2＋3＋4＝10个点，由此即可知道第n个点阵的点数：1＋2＋3＋……＋n，据此写出第六个点阵的算式。 【详解】由分析可得，第六个点阵如图如下： 1＋2＋3＋4＋5＋6＝21 【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。 【例题2】如图，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，按这样拼下去，10张餐桌可坐多少人？100张呢？n张呢？（写出思考过程及答案。） 【答案】22人；202人；（2n＋2）人；思考过程见详解 【分析】根据题意，一张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，每多一张餐桌多坐2人，第n张餐桌可以坐4＋2×（n－1）人，据此解答。 【详解】根据分析可知： 思考过程：观察可知，1 张桌子坐 4 人，2 张桌子坐 6 人，每多拼一张桌子，多增加 2 个座位。第n张餐桌可以坐（2n＋2）人。 2×10＋2 ＝20＋2 ＝22（人） 2×100＋2 ＝200＋2 ＝202（人） 4＋2×（n－1） ＝4＋2n－2 ＝ 2n＋2（人） 答：按这样拼下去，10张餐桌可坐22人，n张餐桌可坐2n＋2人。 【例题3】为庆祝国庆，某学校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如下图所示。 (1)按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要( )根火柴棒，摆n条“金鱼”需要( )根火柴棒。 (2)如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备( )根火柴棒。 (3)准备88根火柴棒最多能摆( )条这样的“金鱼”。 【答案】(1) 38 6n＋2 (2)200 (3)14 【分析】（1）根据题意分析可得：摆1条金鱼需8根火柴棒，此后，每条金鱼都比前一条金鱼多用6根，故按照上面的规律，摆n条“金鱼”需用火柴棒的根数为8＋（n－1）×6根；据此解答。 （2）根据（1）求出8条金鱼需要多少根火柴棒，即一组需要多少根火柴棒，进而求出4组需要的火柴棒。 （3）我们需要用88根火柴棒减去2根火柴棒，因为第一条金鱼用的是8根火荣棒。其余都是用的6根。所以减去第一条多的2根，再除以6，就可以得到88根火柴最多可以摆多少这样的金鱼。当剩下不足6根火柴棒是不能组成一条“金鱼”。 【详解】（1）8＋（6－1）×6 ＝8＋5×6 ＝8＋30 ＝38（根） 8＋（n－1）×6 ＝8＋（6n－6） ＝8＋6n－6 ＝（6n＋2）根 按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要38根火柴棒，摆n条“金鱼”需要（6n＋2）根火柴棒。 （2）当n＝8时， 6n＋2 ＝6×8＋2 ＝48＋2 ＝50（根） 50×4＝200（根） 如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备200根火柴棒。 （3）（88－2）÷6 ＝86÷6 ≈14（条） 准备88根火柴棒最多能摆14条这样的“金鱼”。 【例题4】用小棒摆六边形，按照下图所示的规律摆。 （1）摆4个六边形，需要几根小棒？摆n个呢？请写出思考过程。 （2）按这个规律摆80个六边形，需要几根小棒？ 【答案】（1）21根；（5n＋1）根；思考过程见详解 （2）401根 【分析】（1）由图可得：摆1个六边形需要6根小棒，摆2个六边形需要11根小棒，摆3个六边形需要16根小棒，由此可得：每多摆一个六边形，就会增加5根小棒，由此根据规律解答即可； （2）根据（1）中的规律，将数据代入求出答案即可。 【详解】（1）观察图形可知，摆1个六边形需要6根小棒， 摆2个六边形需要11根小棒，可以写作：11＝6＋5＝6＋5×1； 摆3个六边形需要16根小棒，可以写成：16＝6＋5＋5＝6＋5×2； 摆4个六边形需要小棒的根数，可以写成：6＋5＋5＋5＝6＋5×3； 6＋5×3 ＝6＋15 ＝21（根） …… 摆n个六边形需要小棒的根数，可以写成：6＋5＋5＋……＋5＝6＋5×（n－1）； 6＋5×（n－1） ＝6＋5n－5 ＝5n＋1 答：摆4个六边形，需要21根小棒。摆n个六边形，需要（5n＋1）根小棒。 （2）当n＝80时，代入得： 5n＋1 ＝5×80＋1 ＝400＋1 ＝401（根） 答：摆80个六边形，需要401根小棒。 考点练习 一、以数解形 1．11＋13＋15＋17＋…＋29＝( )     ( ) 【答案】 200 【分析】（1）观察算式发现是从11到29的10个连续奇数相加，给这个算式补上前面缺的奇数之和（1＋3＋5＋7＋9），这样算式变成（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋…＋29）－（1＋3＋5＋7＋9），前面括号里是15个连续奇数相加，后面括号里是5个连续奇数相加；根据“连续奇数的和等于奇数个数的平方”，可知括号里15个连续奇数的和是152，括号里5个连续奇数的和是52，再相减，即是原式的计算结果。 （2）观察算式，发现规律：，，…，据此规律把算式进行简算。 【详解】（1）11＋13＋15＋17＋…＋29 ＝（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋…＋29）－（1＋3＋5＋7＋9） ＝152－52 ＝225－25 ＝200 （2）＋＋＋…＋ ＝（1－）＋（－）＋（－）＋…＋（－） ＝1－＋－＋－＋…＋－ ＝1－ ＝ 2．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些性质直观地从图形中体现出来，是一种数与形的结合，如图，第4行第2个数是3，第7行第4个数是( )。 【答案】20 【分析】通过观察杨辉三角图可知：从第一行开始，每一行的两端都是1，其余的数是上一行相邻两个数的和，据此补全杨辉三角第7行的数字，再找到第7行第4个数。据此解答即可。 【详解】 如图所示，第7行第4个数是20。 3．普罗尼克数是数学中著名的数，指两个连续自然数之和的自然数。比如：，……。普罗尼克数在分数中也有体现，比如：，……，尝试用以上规律计算( )。 【答案】 【分析】根据题意可得，，，，代入，计算即可。 【详解】由题意可得，，，， 所以 所以计算的结果为。 4．计算。 【答案】 【分析】根据分数的意义作图如下：      图一                        图二                       图三 从图一可知： 从图二可知： 从图三可知： 根据此规律， 因此计算，只需即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ 5．观察下图，猜想算式1－－－－－…的结果会无限接近（    ），在方框里写出你的思考过程。 【答案】；减去的数无限接近，差就无限接近 【分析】根据减法性质，把原式化为：1－（＋＋＋＋…）；观察图形可知，＋＋＋…的和接近，＋＋＋＋…的和接近，所以1减去接近的数，差就越接近，据此解答。 【详解】1－－－－－…的结果会无限接近。 减去的数无限接近，差就无限接近。 6．“转化”是解决问题的常用策略之一，有时画图可以帮助我们找到转化的方法，例如借助如图，计算。 【答案】 【分析】由图可知，把正方形看成一个边长是1的正方形，那么先平均分成两份，那么另外一份占，再把第一份平均分成两份，其中一份占，再把分为两份，其中一份是，依次类推，可分到份，所以最终可得到：，即1－＝。 【详解】 ＝1－ ＝ 7．观察下面各式： （1）1×3＝22－1， 2×4＝32－1， 3×5＝42－1， 4×6＝　 　 …… 10×12＝　 　 （2）将你猜到的规律用只含有一个字母的式子表示出来。 【答案】（1）； （2）这个式子是： 【分析】（1）给出的等式左边为差为2的两个数相乘，等式右边为左侧两个数的一半的平方再减1，则，，整理即可得出结果； （2）根据所列出的算式，总结可知等式左侧为两个乘数与的乘积，等式右侧为左侧两个乘数和的一半的平方减1。 【详解】（1）； ； （2）这个式子是： 8．填一填，并探索规律。      （1）观察上面的图形和式子，你有什么发现？你能用字母表示你的发现吗？ （2）你能应用你发现的规律计算“”吗？ 【答案】；；； （1）发现见详解 （2） 【分析】观察算式与图形之间的联系，寻找出算式中各个分数的分子、分母之间的共同点和相互之间的关系，以及得数与加数之间的关系，从而归纳出规律，最后应用规律解决问题。 【详解】     （1）发现：后一个分数是前一个分数的一半，且每个分数的分子都是1，这样的3个分数相加的和等于最后一个分数乘7。用字母表示规律是：，其中n为非零自然数。 （2） 9．观察思考并计算。 (1)观察下面每个图形中小正方形的排列规律，并填空。         ( )    ( ) (2)根据上面的规律用简便方法计算。 ( )×( )＝( )。 【答案】(1) 4 5 (2) 10 11 110 【分析】（1）通过观察图形中小正方形的排列规律，发现了连续偶数相加的求和规律。 4 5 发现了连续偶数相加的求和规律：从2开始的连续n个偶数相加，其和为n×（n＋1） （2）在中，一共有10个偶数相加，然后运用发现的这个规律来计算即可。 【详解】（1）4，5 （2） ＝10×（10＋1） ＝10×11 ＝110 10．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组数： 1，1，2，3，5，8，13，21，… 计算：这样的算式时有简便方法吗？ 小桂遇到这个问题时，想到用“数形结合”的方法来探索，他以这组数中的各个数作为正方形的边长构造成正方形，再拼成下图中的长方形。 图形 … 算式 … 序号 ① ② ③ ④ … (1)观察上面的图形和算式，把下面的算式补充完整。                           ( )×( )。 ( )×( )。 (2)按此规律继续拼长方形，序号( )对应的长方形的面积数是1870。 【答案】(1) 5 8 8 13 (2)⑧ 【分析】（1）观察图形和算式可知，每个算式的和等于其所对应的长方形的面积，把算式的每个加数去掉平方后排成一组数，它所对应的长方形的宽等于这组数的末项，长方形的长等于这组数末项和前一项的和，所以长方形面积＝末项数×（末项数＋前一项数），据此解答。 （2）根据观察可以发现，①号长方形的面积数是题干中那组数的前2项的数的平方的和，且等于1×2；②号长方形的面积数是题干中那组数的前3项的数的平方的和，且等于2×3。 因为1870＝34×55＝34×（34＋21），34是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34…的第9项，所以序号⑧对应的长方形的面积数是1870。 【详解】（1）观察图形和算式可知，每个算式的和等于其所对应的长方形的面积，把算式的每个加数去掉平方后排成一组数，它所对应的长方形的宽等于这组数的末项，长方形的长等于这组数末项和前一项的和，所以长方形面积＝末项数×（末项数＋前一项数）。 因此：5×8；8×13。 观察上面的图形和算式，把下面的算式补充完整。                           5×8。 8×13。 （2）规律：①号长方形的面积数是题干中那组数的前2项的数的平方的和，且等于1×2；②号长方形的面积数是题干中那组数的前3项的数的平方的和，且等于2×3。 观察数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…，尝试计算发现： 34×55＝34×（34＋21）＝34×55＝1870 34是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34…的第9项，所以序号⑧对应的长方形的面积数是1870。 按此规律继续拼长方形，序号⑧对应的长方形的面积数是1870。 【点睛】解题关键是发现斐波那契数列与图形面积的规律，并利用这一规律推导和计算。 二、以形助数 1．观察下面三幅点阵图，按照这样的规律，第10幅图中有多少个点，第n幅图中有多少个点？请说明理由。 【答案】见详解 【分析】观察图形，第一个图形需要（1＋2＋3）个点，第二个图形需要（2＋3＋4）个点，第三个图形需要（3＋4＋5）个点，依次类推，算出第10个图形需要的点数。第n个图形需要n＋（n＋1）＋（n＋2）个点，据此解答。 【详解】10＋11＋12 ＝21＋12 ＝33（个） 第10幅图中有33个点，第n个这样的点阵图中有n＋（n＋1）＋（n＋2）＝（3n＋3）个点。 2．像下图那样用小棒摆三角形，请你算一算。摆10个三角形用多少根小棒？摆n个三角形呢？ 【答案】21根；（2n＋1）根 【分析】根据图示发现：摆1个三角形需要小棒：（1＋2）根；摆2个三角形需要小棒：（1＋2＋2）根；摆3个三角形需要小棒：（1＋2＋2＋2）根；依次类推……摆n个三角形需要小棒：（2×n＋1）根。据此解答。 【详解】摆n个三角形需要小棒：2×n＋1＝（2n＋1）根 当n＝10时， 2×10＋1 ＝20＋1 ＝21（根） 答：摆10个三角形用21根小棒；摆n个三角形用（2n＋1）根小棒。 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。 3．请你根据下面图形与数的规律完成下列各题： （1）接着画一画，填一填。 （2）如果不画，这样排列下去，第10个图的数是（    ），第n个图的数是（    ）（用含n的式子表示）。 【答案】（1）15；21；28；（2）55； 【分析】（1）通过观察，第1个图中有1个点，第2个图中有（1＋2）个点，第3个图中有（1＋2＋3）个点，第4个图中有（1＋2＋3＋4）个点，第几个图形的点数和等于前一个图形的点数和加几。 （2）通过（1）类推，第n个图中有（1＋2＋3＋…＋n）个点，然后通过首尾相加进行化简即可。 【详解】（1）第5个图形：10＋5＝15（个） 第6个图形：15＋6＝21（个） 第7个图形：21＋7＝28（个） （2）第n个图的数： 1＋2＋3＋…＋n ＝（1＋n）×n÷2 ＝（n＋n2）÷2 ＝ 当n＝10时， ＝ ＝ ＝ ＝55 第10个图的数是55；第n个图的数是。 4．下面是用牙签拼成的图形，观察下图的规律，按要求回答问题。 （1）看图填写下表中的相关数据。 图序 ① ② ③ ④ … 三角形的个数 1 2 … 正方形的个数 3 5 … 所用牙签总根数 12 20 … （2）根据（1）中信息，你发现了什么规律？ （3）按这种拼图方法拼出的第10个图中三角形和正方形各有多少个？共需要牙签多少根？ 【答案】（1）见详解 （2）第个图中，三角形有个，正方形有个，所用牙签总根数为根。 （3）三角形有10个，正方形有21个；牙签84根 【分析】（1）观察图形，三角形的个数：图①有1个三角形，图②有2个三角形，图③有3个三角形，图④有4个三角形，因此图序为时，三角形个数为；正方形的个数：图①有3个正方形，图②有5个正方形，图③有7个正方形，图④有9个正方形，通过观察可知正方形的个数比三角形个数的2倍还多1，因此图序为时，正方形个数为；牙签总数：图①有12根牙签，图②有20根牙签，图③有28根牙签，图④有36根牙签； （2）通过观察可知牙签的总数比三角形个数的8倍还多4，因此图序为时，牙签的总数为； （3）根据规律可以求出对应值。 【详解】（1） 图序 ① ② ③ ④ … 三角形的个数 1 2 3 4 … 正方形的个数 3 5 7 9 … 所用牙签总根数 12 20 28 36 … （2）第个图中，三角形有个，正方形有个，所用牙签总根数为根。 （3）； 答：第10个图中三角形有10个，正方形有21个，共需要牙签84根。 【点睛】本题考查了图形规律的探索，需要通过观察图形的变化，分析三角形的个数、正方形的个数、牙签总数随图序变化的规律，再用代数式表示规律并应用规律解决问题。 5．如下图，用完全一样的火柴棍按照一定的规律拼图形。 （1）拼第4个图形需要 根火柴棍；拼第n个图形需要 根火柴棍。 （2）拼第几个图形时，需要2026根火柴棍？ 【答案】（1）34；8n＋2 （2）253个 【分析】（1）根据已知的三个图形，第一个图形有8×1＋2＝10根火柴棍，第二个图形有8×2＋2＝18根火柴棍，第三个图形有8×3＋2＝26根火柴棍，据此可发现规律：第n个图形需要（8n＋2）根火柴棍，代入数据n＝4进行计算，即可得出答案。 （2）根据火柴棍的规律建立方程，解出n的值即可。 【详解】（1）8×4＋2 ＝32＋2 ＝34（根） 所以，拼第4个图形需要34根火柴棍；拼第n个图形需要（8n＋2）根火柴棍。 （2）解：设拼第n个图形时，需要2026根火柴棍。 8n＋2＝2026   8n＋2－2＝2026－2 8n＝2024 8n÷8＝2024÷8 n＝253 答：拼第253个图形时，需要2026根火柴棍。 6．图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图形②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③。以此类推，第20个图形有几个三角形？第几个图形里有197个三角形？ 【答案】77个；第50个图形 【分析】观察图形可知，第①个图形有4×1－3＝4－3＝1个三角形，第②个图形有4×2－3＝8－3＝5个小三角形，第③个图形有4×3－3＝12－3＝9个小三角形，……，则第n个图形有4×n－3＝4n－3个三角形，据此规律进行解答即可。 【详解】第n个图形有三角形：4×n－3＝4n－3（个） 当n＝20时，4n－3＝4×20－3＝80－3＝77 当4n－3＝197，则： 4n－3＋3＝197＋3 4n＝200 4n÷4＝200÷4 n＝50 答：第20个图形有77个三角形，第50个图形里有197个三角形。 7．古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常把数与形联系在一起，下图是用形来表示数，请你认真观察：第1幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，第3幅图的点数为9。 (1)按这个规律排下去，第5幅图的点数是( )。 (2)第20幅图的点数是( )。 (3)第幅图的点数是( )。 【答案】(1)17 (2)77 (3)4n－3 【分析】（1）（2）（3）通过观察图，发现规律： 第1幅图的点数为1＋0×4＝1＋0＝1 第2幅图的点数为1＋1×4＝1＋4＝5 第3幅图的点数为1＋2×4＝1＋8＝9 第4幅图的点数为1＋3×4＝1＋12＝13 …… 第n幅图的点数为：1＋（n－1）×4＝1＋4n－4＝4n－3 通过发现的规律，算出第5幅图和第20幅图的点数是多少，据此解答。 【详解】（1）4×5－3＝20－3＝17（个） 按这个规律排下去，第5幅图的点数是17。 （2）4×20－3＝80－3＝77（个） 第20幅图的点数是77。 （3）由分析得：第幅图的点数是4n－3。 8．一张长方形桌子可坐6人，按下列方式将桌子拼在一起。 （1）3张桌子拼在一起可坐（    ）人，5张桌子拼在一起可坐（    ）人。 （2）依据上面桌子的拼摆规律，如果是n张桌子拼在一起，那么可以坐多少人？ 【答案】（1）10；14 （2）（2n＋4）人 【分析】1张长方形桌子可坐6人，6＝2×1＋4；2张桌子拼在一起可坐8人，8＝2×2＋4；依此类推，每多一张桌子可多坐2人，所以n张桌子拼在一起可坐（2n＋4）人。据此解答即可。 【详解】（1）2×3＋4 ＝6＋4 ＝10（人） 2×5＋4 ＝10＋4 ＝14（人） 则3张桌子拼在一起可坐10人，5张桌子拼在一起可坐14人。 （2）n×2＋4＝（2n＋4）人 答：如果是n张桌子拼在一起，那么可以坐（2n＋4）人。 9．仔细观察，你有什么发现？把你的发现填在下表中。 正方形的个数 1 2 3 4 … （    ） 顶点个数 4 7 10 （    ） … 601 【答案】顶点个数＝正方形个数×3＋1；13；200 【分析】观察可知，顶点个数＝正方形个数×3＋1，正方形个数＝（顶点个数－1）÷3，据此分析。 【详解】将正方形个数看作n，顶点个数＝3n＋1 3n＋1 ＝3×4＋1 ＝12＋1 ＝13（个） （601－1）÷3 ＝600÷3 ＝200（个） 正方形的个数 1 2 3 4 … 200 顶点个数 4 7 10 13 … 601 10．用小棒摆五边形，如下图所示。 （1）填表。 五边形个数 1 2 3 4 … n 小棒根数 5 5＋4 5＋4＋4 … （2）照这样摆120个五边形，需要多少根小棒？ 【答案】（1）5＋4＋4＋4；4n＋1； （2）481根 【分析】（1）观察图形可知，摆1个五边形需要5根小棒，摆2个五边形需要（5＋4）根小棒，摆3个五边形需要（5＋4＋4）根小棒，摆4个五边形需要（5＋4＋4＋4）根小棒……则摆n个五边形需要[5＋4×（n－1）]根小棒，据此解答即可； （2）把n＝120代入（1）中所得出的规律中求值即可解答。 【详解】（1）5＋4×（n－1） ＝5＋4n－4 ＝（4n＋1）根 填表如下： 五边形个数 1 2 3 4 … n 小棒根数 5 5＋4 5＋4＋4 5＋4＋4＋4 … 4n＋1 （2）4×120＋1 ＝480＋1 ＝481（根） 答：需要481根小棒。 11．每2人之间握一次手，用画图和列表的方法发现握手次数的规律。 示意图 人数 2 3 4 5 6 相互握手次数 1 3 6 （1）将表格中的示意图和握手次数填写完整。 （2）若有n人相互握手，握手的次数是（     ）次，当n＝10时，握手次数是（    ）次。 【答案】（1）见详解 （2）n（n－1）÷2；45 【分析】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果数量比较少我们可以用枚举法解答，比如5个人握手求相互握手的次数；如果数量比较多，我们可以用公式 n（n－1）÷2解答。 【详解】（1）如下表所示： 示意图 人数 2 3 4 5 6 相互握手次数 1 3 6 10 15 （2）若有n人相互握手，握手的次数是n（n－1）÷2次； 当n＝10时，握手次数是： 10×（10－1）÷2 ＝10×9÷2 ＝90÷2 ＝45（次） 【点睛】每2人之间握一次手，相当于两两组合，根据握手问题的公式n（n－1）÷2解答。 12．图①是1个棱长为1厘米的小正方体，图②由5个棱长为1厘米的小正方体堆成，图③由14个棱长为1厘米的小正方体堆成，按照此规律： （1）那么，请你列式计算出图⑥由多少个棱长为1厘米的小正方体堆成？ （2）请你计算图⑩立体图形的表面积？ 【答案】（1）91个 （2）420平方厘米 【分析】（1）第1个图中有1个棱长为1厘米的小正方体，第2个图中有（1＋4）个棱长为1厘米的小正方体，第3个图中有（1＋4＋9）个棱长为1厘米的小正方体，第n个图中有（1＋4＋9＋…＋n2）个棱长为1厘米的小正方体，由此解答本题； （2）第1个图形的表面积是棱长是1厘米的正方体的表面积，第2个图形的表面积是长、宽都是（1×2）厘米，高是1厘米的长方体的表面积加上4个边长是1厘米的正方形的面积，第3个图形的表面积是长、宽都是（1×3）厘米，高是1厘米的长方体的表面积加上（4×2＋4×1）个边长是1厘米的正方形的面积，第n个图形的表面积是长、宽都是（1×n）厘米，高是1厘米的长方体的表面积加上[4×（1＋2＋…n－1）]个边长是1厘米的正方形的面积，由此解答本题。 【详解】（1）1＋4＋9＋42＋52＋62 ＝1＋4＋9＋16＋25＋36 ＝91（个） 答：图⑥由91个棱长为1厘米的小正方体堆成。 （2）（10×1＋10×1＋10×10）×2＋4×（1＋2＋3＋…＋9）×（1×1） ＝（10＋10＋100）×2＋4×45×1 ＝120×2＋180 ＝240＋180 ＝420（平方厘米） 答：图⑩立体图形的表面积是420平方厘米。 【点睛】本题考查的是数与形结合的规律的应用，解决本题的关键是找出题中规律。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级上册数学人教版 专项提升训练：数学广角——数与形解决问题 （考点梳理+例题讲解+考点练习） 专题预览 考点梳理 1 考点一、核心思想：数形结合 1 考点二、观察图形，发现规律并解决问题 (以形助数) 1 考点三、观察数列或算式，发现规律并用图形解释或验证 (以数解形) 2 考点四、利用数形结合思想解决实际问题 2 考点五、解题方法与策略 2 例题讲解 2 一、以数解形 2 二、以形助数 3 考点练习 4 一、以数解形 4 二、以形助数 7 考点梳理 考点一、核心思想：数形结合 1.定义： 指通过数（数量关系）与形（空间形式）的相互转化、相互利用来解决数学问题的一种思想方法。 2.作用： （1）以形助数： 利用图形的直观性帮助理解和解决与数、算式相关的问题，使抽象的数或数量关系具体化、形象化。 （2）以数解形： 利用数的精确性和规律性来描述、分析和解决与图形相关的问题，使图形的性质量化、精确化。 考点二、观察图形，发现规律并解决问题 (以形助数) 1.找出图形的变化规律： 如图形的个数、形状、颜色、方向、组成部分等的变化。 2.根据规律用数或算式表示： 用数表示第n个图形的某种数量（如小棒根数、小正方形个数、圆圈个数等）。 3.预测后续图形的数量或画出后续图形。 考点三、观察数列或算式，发现规律并用图形解释或验证 (以数解形) 1.找出数或算式的排列规律。 2.用图形直观地表示出这些数或算式的意义和规律。 3.利用规律进行计算或预测。 考点四、利用数形结合思想解决实际问题 1.在解决一些复杂的数学问题时，特别是涉及到数量关系比较抽象时，可以通过画线段图、示意图、列表格等方式（形），将抽象的数量关系直观化，从而找到解题思路。 2.典型例题：行程问题、工程问题、分数应用题等，通过画线段图帮助分析数量关系。 3.规律分析： 虽然不是本单元的重点，但体现了数形结合思想的广泛应用。本单元更侧重于探索规律本身。 考点五、解题方法与策略 1.仔细观察： 认真观察图形或数列的特点，包括数量、大小、方向、颜色、位置等的变化。 2.寻找共性与差异： 比较相邻图形或数之间的异同，找出重复出现的模式或变化趋势。 3.动手操作与尝试： 对于图形类问题，可以动手画一画、摆一摆，亲身体验变化过程。 4.归纳与猜想： 根据观察到的部分现象，大胆猜想一般性的规律，并用代数式或文字描述出来。 5.验证规律： 用发现的规律去检验前面已知的图形或数据是否符合，或预测后面的图形或数据，并进行验证。如果不符合，及时调整猜想。 6.从简单入手： 如果规律不明显，可以从最简单的情况开始分析，逐步递推，发现规律。 例题讲解 一、以数解形 【例题1】如借助下图，可以将算式＝ ＝ （横线上填算式转化过程和结果）。 【例题2】如图，观察下面图与算式的规律并解决问题。 （1）根据前几幅图与算式的规律，第五幅图的等式（    ）。 （2）根据以上观察，n2－（n－1）2＝（    ）。 （3）利用上面发现的规律计算下面算式的结果。 102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12＝（    ）。 二、以形助数 【例题1】观察下列点阵，在□里面画出第六个点阵，并写出它的算式。 【例题2】如图，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，按这样拼下去，10张餐桌可坐多少人？100张呢？n张呢？（写出思考过程及答案。） 【例题3】为庆祝国庆，某学校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如下图所示。 (1)按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要( )根火柴棒，摆n条“金鱼”需要( )根火柴棒。 (2)如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备( )根火柴棒。 (3)准备88根火柴棒最多能摆( )条这样的“金鱼”。 【例题4】用小棒摆六边形，按照下图所示的规律摆。 （1）摆4个六边形，需要几根小棒？摆n个呢？请写出思考过程。 （2）按这个规律摆80个六边形，需要几根小棒？ 考点练习 一、以数解形 1．11＋13＋15＋17＋…＋29＝( )     ( ) 2．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些性质直观地从图形中体现出来，是一种数与形的结合，如图，第4行第2个数是3，第7行第4个数是( )。 3．普罗尼克数是数学中著名的数，指两个连续自然数之和的自然数。比如：，……。普罗尼克数在分数中也有体现，比如：，……，尝试用以上规律计算( )。 4．计算。 5．观察下图，猜想算式1－－－－－…的结果会无限接近（    ），在方框里写出你的思考过程。 6．“转化”是解决问题的常用策略之一，有时画图可以帮助我们找到转化的方法，例如借助如图，计算。 7．观察下面各式： （1）1×3＝22－1， 2×4＝32－1， 3×5＝42－1， 4×6＝　 　 …… 10×12＝　 　 （2）将你猜到的规律用只含有一个字母的式子表示出来。 8．填一填，并探索规律。      （1）观察上面的图形和式子，你有什么发现？你能用字母表示你的发现吗？ （2）你能应用你发现的规律计算“”吗？ 9．观察思考并计算。 (1)观察下面每个图形中小正方形的排列规律，并填空。         ( )    ( ) (2)根据上面的规律用简便方法计算。 ( )×( )＝( )。 10．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组数： 1，1，2，3，5，8，13，21，… 计算：这样的算式时有简便方法吗？ 小桂遇到这个问题时，想到用“数形结合”的方法来探索，他以这组数中的各个数作为正方形的边长构造成正方形，再拼成下图中的长方形。 图形 … 算式 … 序号 ① ② ③ ④ … (1)观察上面的图形和算式，把下面的算式补充完整。                           ( )×( )。 ( )×( )。 (2)按此规律继续拼长方形，序号( )对应的长方形的面积数是1870。 二、以形助数 1．观察下面三幅点阵图，按照这样的规律，第10幅图中有多少个点，第n幅图中有多少个点？请说明理由。 2．像下图那样用小棒摆三角形，请你算一算。摆10个三角形用多少根小棒？摆n个三角形呢？ 3．请你根据下面图形与数的规律完成下列各题： （1）接着画一画，填一填。 （2）如果不画，这样排列下去，第10个图的数是（    ），第n个图的数是（    ）（用含n的式子表示）。 4．下面是用牙签拼成的图形，观察下图的规律，按要求回答问题。 （1）看图填写下表中的相关数据。 图序 ① ② ③ ④ … 三角形的个数 1 2 … 正方形的个数 3 5 … 所用牙签总根数 12 20 … （2）根据（1）中信息，你发现了什么规律？ （3）按这种拼图方法拼出的第10个图中三角形和正方形各有多少个？共需要牙签多少根？ 5．如下图，用完全一样的火柴棍按照一定的规律拼图形。 （1）拼第4个图形需要 根火柴棍；拼第n个图形需要 根火柴棍。 （2）拼第几个图形时，需要2026根火柴棍？ 6．图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图形②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③。以此类推，第20个图形有几个三角形？第几个图形里有197个三角形？ 7．古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常把数与形联系在一起，下图是用形来表示数，请你认真观察：第1幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，第3幅图的点数为9。 (1)按这个规律排下去，第5幅图的点数是( )。 (2)第20幅图的点数是( )。 (3)第幅图的点数是( )。 8．一张长方形桌子可坐6人，按下列方式将桌子拼在一起。 （1）3张桌子拼在一起可坐（    ）人，5张桌子拼在一起可坐（    ）人。 （2）依据上面桌子的拼摆规律，如果是n张桌子拼在一起，那么可以坐多少人？ 9．仔细观察，你有什么发现？把你的发现填在下表中。 正方形的个数 1 2 3 4 … （    ） 顶点个数 4 7 10 （    ） … 601 10．用小棒摆五边形，如下图所示。 （1）填表。 五边形个数 1 2 3 4 … n 小棒根数 5 5＋4 5＋4＋4 … （2）照这样摆120个五边形，需要多少根小棒？ 11．每2人之间握一次手，用画图和列表的方法发现握手次数的规律。 示意图 人数 2 3 4 5 6 相互握手次数 1 3 6 （1）将表格中的示意图和握手次数填写完整。 （2）若有n人相互握手，握手的次数是（     ）次，当n＝10时，握手次数是（    ）次。 12．图①是1个棱长为1厘米的小正方体，图②由5个棱长为1厘米的小正方体堆成，图③由14个棱长为1厘米的小正方体堆成，按照此规律： （1）那么，请你列式计算出图⑥由多少个棱长为1厘米的小正方体堆成？ （2）请你计算图⑩立体图形的表面积？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $