第3章 三视图与表面展开图（单元测试·提升卷）数学浙教版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第三章 三视图与表面展开图·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图所示的几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 2．某校的校本课程——皮影，是中国民间古老的非物质文化遗产传统艺术．在古代，皮影戏的光源通常使用一盏煤油灯，因此其投影属于（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定 3．如图，冰淇淋蛋筒呈圆锥形，则蛋筒包装纸的面积（接缝忽略不计）是（   ） A． B． C． D． 4．广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 5．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型（如图所示）摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池．类似的，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（   ） A． B． C． D． 6．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小铭站在距离路灯8米的B处（即米），此时在地面留下的影子为，小铭从点B处沿所在的直线行走到点A时（即米），人影长度会比（    ）    A．变长 B．变长 C．变短 D．变短 7．把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等、形状相同的两部分后，表面积增加了平方厘米．圆锥的高是厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米． A． B． C． D． 8．如图，两同心圆的圆心为O，一个宽度为的刻度尺一边与大圆相切于点P，另一边与小圆相切于点Q，与大圆交于C，D两点，P，Q均在圆O的同侧，，若用阴影部分围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 9．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的正面、上面看到的形状图，则搭成这样的几何体最多需要小立方块的个数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 10．如图所示的是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，则容器中水面的高度随时间变化的图象可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在“霍童线狮”表演中，艺人操控“线狮”在舞台上呈现精彩姿态，舞台上方的灯光照射在“线狮”上，形成的影子属于 ，（填写“中心投影”或“平行投影”） 12．某圆锥形零件的尺寸如图所示，若给该零件侧面涂漆，则需涂漆部分的面积为 ．（结果保留） 13．如图，小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1的竹竿的影长是1.5，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），她先测得留在墙壁上的影高为2，又测得地面的影长为6，请你帮她算一下，树高 ． 14．一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若组成这个几何体的小正方体最少需要个，最多需要个，则    15．如图是由若干个小正方体组成的．阴影部分是空缺的通道，一直通到对面．这个立体图形由 个小正方体组成． 16．如图，在矩形中，，，扇形的圆心在边上，点在边上，与边相切，切点为．若用图中扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出了此工件的三视图，如图所示．求该工件的体积． 18．（8分）一个如下的立体图形，其中每个小正方体的大小相同． (1)请画出这个立体图形从正面看和从左面看得到的平面图形； (2)如果这个立体图形是由棱长为的小正方体搭成的，那么这个立体图形的表面积是多少？ 19．（8分）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 20．（8分）如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱，形成的影子分别为与． (1)在图中画出光源的位置（用点P表示）； (2)此光源下形成的投影是__________（填“中心投影”或“平行投影”）； (3)在图中画出立柱此时在该光源下所形成的影子（用线段表示）． 21．（8分）如图，已知圆锥母线长，底面圆的半径， (1)求圆锥的侧面积； (2)该圆锥侧面展开扇形的半径___________；扇形的弧长___________； (3)若一只小虫从点A出发，绕圆锥的侧面爬行到点B，则小虫爬行的最短路线的长为___________； 22．（10分）如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面． (1)该圆锥的底面圆的半径为______cm； (2)已知矩形纸片的边长分别为， （i）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上． ①当时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由； ②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值． （ii）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围． 23．（10分）综合与实践 学习完《对称图形——圆》这一章节后，小明同学对圆的相关知识产生了浓厚的兴趣，他打算通过“裁剪扇形、制作圆锥”等实践操作，深化理解圆的相关知识．为此，他准备了若干张半径均为8、材质均匀的圆形纸片用于下面的探究（每张纸片如图①所示，圆心记为O）． 【初步探究】 （1）如图②，小明用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为的扇形． ①请求出扇形的面积． ②他打算用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，你觉得小明能否从剪下的3块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？试说明理由． 【深入探究】 （2）小明继续探究，他发现存在如图③的情况：的半径仍是8，扇形的圆心角．点E在圆内，点M，N在上，与扇形的公共弦．求图中点O与点E的距离，并计算扇形的面积． 【拓展探究】 （3）若小明想用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为的扇形（点M，N在上），请直接写出所剪扇形的面积S的取值范围． 24．（12分）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ (3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒； 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第三章 三视图与表面展开图·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图所示的几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握几何体的空间结构特点是关键．根据从上面看到的平面图形即可求解． 【详解】 解：几何体的俯视图为：． 故选：C． 2．某校的校本课程——皮影，是中国民间古老的非物质文化遗产传统艺术．在古代，皮影戏的光源通常使用一盏煤油灯，因此其投影属于（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的知识，根据由太阳光形成的投影是平行投影、由灯光形成的投影是中心投影判断即可． 【详解】解：∵皮影戏的光源是一盏煤油灯，属于点光源， ∴光线从一点发出，形成中心投影． 故选：B． 3．如图，冰淇淋蛋筒呈圆锥形，则蛋筒包装纸的面积（接缝忽略不计）是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积，解决问题的关键是熟练掌握圆的周长公式和扇形面积公式．先根据直径求出圆的周长，再根据母线长求圆锥的侧面积，圆锥的侧面展开图是扇形，运用扇形面积公式计算，即圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 【详解】解：由图知，底面直径为，母线长为， 则底面周长为， 所以蛋筒圆锥部分包装纸的面积． 故选：A． 4．广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式：，进行计算即可． 【详解】解：由题意，该斗笠的侧面面积为； 故选：C． 5．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型（如图所示）摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池．类似的，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三视图的相关知识． 观察哪个几何体的三视图中有正方形，三角形及长方形即可． 【详解】解：A、三视图分别为正方形，三角形及长方形，故本选项符合题意； B、三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，故本选项不符合题意； C、三视图分别为长方形，长方形及圆，故本选项不符合题意； D、三视图分别为长方形，长方形及梯形，故本选项不符合题意； 故选：A． 6．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小铭站在距离路灯8米的B处（即米），此时在地面留下的影子为，小铭从点B处沿所在的直线行走到点A时（即米），人影长度会比（    ）    A．变长 B．变长 C．变短 D．变短 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是正确利用相似三角形的性质解决问题． 证明，，即可解决问题． 【详解】解：如图，由题意得，，    ∴， ∴，， 设， ∴，， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 7．把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等、形状相同的两部分后，表面积增加了平方厘米．圆锥的高是厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆锥的体积计算，掌握 “沿底面直径分割圆锥后增加的表面积是两个三角形的面积” 是解题的关键．圆锥沿底面直径分割后，增加的表面积是两个等腰三角形的面积，每个三角形的底等于圆锥底面直径，高等于圆锥的高．据此可求出底面直径，再计算圆锥体积． 【详解】解：∵表面积增加，为两个等腰三角形面积之和， ∴每个三角形面积（平方厘米）， ∵圆锥的高是6厘米， ∴截面的三角形的高为6厘米， ∴底面直径为（厘米）， ∴底面半径（厘米）， ∵圆锥体积（立方厘米）， 故圆锥的体积为立方厘米． 故选：B． 8．如图，两同心圆的圆心为O，一个宽度为的刻度尺一边与大圆相切于点P，另一边与小圆相切于点Q，与大圆交于C，D两点，P，Q均在圆O的同侧，，若用阴影部分围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小圆半径为厘米，则大圆半径为厘米， 利用垂径定理结合勾股定理列方程求出两圆半径， 利用三角函数可求出，则阴影部分半径和圆心角都可知，计算阴影部分对应的弧长，利用圆锥底面圆周长=侧面展开弧长求出底面半径． 【详解】解：连接，， ∵刻度尺一边与大圆相切于点P，另一边与小圆相切于点Q， ∴，， ∵直尺两边平行， ∴， 则三点共线， 设小圆半径为厘米， ∵刻度尺宽度为厘米， 则大圆半径厘米， 由垂径定理得： 厘米， 在中，由勾股定理： ， 即 ∴厘米，大圆半径厘米， 在中， ∴， ∴， ， 则阴影部分对应的圆心角为， 则阴影部分（扇形）的弧长为： 厘米 设圆锥底面半径为， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的切线性质，垂径定理，勾股定理，圆锥侧面展开图与底面圆的关系，垂直的性质，锐角三角函数，掌握相关知识是解决问题的关键． 9．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的正面、上面看到的形状图，则搭成这样的几何体最多需要小立方块的个数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，应分别根据从前面、上面和左侧面的形状，综合起来考虑整体形状．根据题意可以得到该几何体从正面和上面看最有多少个小立方体，综合考虑即可解答本题． 【详解】解：根据从上面看到的图可得，第一层有5个小立方体； 根据从正面看到的图可知：共有2层，第二层最多有4个小立方体， ∴搭成该几何体最多需要小立方块的个数是（个）， 故选：B． 10．如图所示的是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，则容器中水面的高度随时间变化的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体、利用函数的图象解决实际问题等知识点，正确理解函数的图象表示的意义是解题的关键． 该三视图表示的容器上面是圆台、上面细、下面粗，圆台下面是圆柱分两部分讨论水面上升情况即可解答． 【详解】解：该三视图表示的容器上面是圆台，上面细，下面粗，圆台下面是圆柱，随着时间的增加，水面高度逐渐增加，开始时是匀速增加。上面细，高度增加得越来越快，即B选项符合题意． 故选B． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在“霍童线狮”表演中，艺人操控“线狮”在舞台上呈现精彩姿态，舞台上方的灯光照射在“线狮”上，形成的影子属于 ，（填写“中心投影”或“平行投影”） 【答案】 中心投影 【分析】本题考查了中心投影，解题关键是掌握中心投影并能熟练运用求解． 舞台灯光是从点光源发出的光线，因此形成的影子是中心投影． 【详解】解：灯光从舞台上方的点光源发出，光线呈放射状照射到“线狮”上，形成的影子属于中心投影， 故答案为：中心投影． 12．某圆锥形零件的尺寸如图所示，若给该零件侧面涂漆，则需涂漆部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积的计算，牢记圆锥的侧面积计算公式是解答本题的关键． 先根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，圆锥的母线长是扇形的半径，最后求扇形的面积即可． 【详解】解：圆锥的底面周长为， ∵圆锥的底面圆周长是侧面展开得到的扇形的弧长， ∴扇形的弧长为， ∴扇形的面积为， 答：需要涂漆的面积为． 故答案为：． 13．如图，小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1的竹竿的影长是1.5，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），她先测得留在墙壁上的影高为2，又测得地面的影长为6，请你帮她算一下，树高 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行投影，解题的关键要知道竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高． 【详解】解：如图所示，过点D作于点C，连接， 由题意可得，，， 一根长为1的竹竿的影长是1.5， ， ， ， 故答案为：6． 14．一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若组成这个几何体的小正方体最少需要个，最多需要个，则    【答案】 【分析】本题考查了由两种视图判定该堆砌图形的小正方体的个数，结合主视图（正面看到的形状图）和俯视图（上面看到的形状图），分析每个位置小正方体的层数是解题的关键． 结合两种视图分别在俯视图上标注某个位置上放置的小正方体的个数，从而可得答案． 【详解】解：如图，（最小的情况的放置方式不唯一） 最多有：（个）， 最少有：（个）， ∴． 故答案为：． 15．如图是由若干个小正方体组成的．阴影部分是空缺的通道，一直通到对面．这个立体图形由 个小正方体组成． 【答案】38 【分析】本题考查几何体的展开图，由题意，阴影部分是空缺的通道，一直通到对面，即中间有重复，因此可分层计数，从前往后分为4层，画出每层的示意图进行计数即可． 【详解】解：从前往后分层数，如图所示： 共有个， 答：这个立体图形由38个小正方体组成． 故答案为：38． 16．如图，在矩形中，，，扇形的圆心在边上，点在边上，与边相切，切点为．若用图中扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径为 ． 【答案】 【分析】先证明四边形是矩形，再利用矩形的性质求得，然后利用线段差求得，再利用含有30度角的直角三角形的性质求出，接着利用邻补角的意义求得，再利用弧长公式求得圆锥的底面的半径． 【详解】解：连结，设该圆锥的底面圆半径为， ∵与边相切，切点为， ∴，， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了切线的性质，求圆锥底面半径，含有30度角的直角三角形的性质，弧长公式等知识点，根据切线性质利用含有30度角的直角三角形的性质求出是解题关键． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出了此工件的三视图，如图所示．求该工件的体积． 【答案】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，圆柱体体积的计算，正确得到几何体的形状是解题关键． 根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，体积是两个圆柱体的体积的和，利用圆柱体体积的计算公式即可求解． 【详解】解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起， 底面直径分别是和， 高分别是和， 体积为：． 答：该工件的体积是． 18．（8分）一个如下的立体图形，其中每个小正方体的大小相同． (1)请画出这个立体图形从正面看和从左面看得到的平面图形； (2)如果这个立体图形是由棱长为的小正方体搭成的，那么这个立体图形的表面积是多少？ 【答案】(1) (2)． 【分析】此题考查了从不同方向观察物体和几何体以及规则立体图形表面积的求法，锻炼了学生的空间想象力和运算能力． （1）把从正面、左面看到的小正方形的个数、层数画出来即可； （2）根据三视图，求出表面积即可． 【详解】（1）解：从正面看，看到的是两层，最下一层为2个，最上一层为1个；从左边看，看到的是两层，最下一层3个，最上一层为1个； 如下图所示： ； （2）解：从正面看有3个小正方形，从上面看有5个小正方形，从左面看有4个小正方形，所以表面积为：； 19．（8分）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查勾股定理求圆锥的高、圆的周长公式、扇形面积公式等知识，熟记圆锥相关概念、勾股定理及扇形面积公式是解决问题的关键． （1）根据题意，如图所示，由勾股定理求值即可得到高；再由扇形面积公式代值计算即可得到面积； （2）由（1）知侧面积为，设所需扇形卡纸的圆心角的度数，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 在中，，，， 则由勾股定理可得； 圆锥底面圆的周长为， 圆锥侧面积为； 故答案为：，； （2）解：由（1）知侧面积为， 设所需扇形卡纸的圆心角的度数， ， 解得， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为． 20．（8分）如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱，形成的影子分别为与． (1)在图中画出光源的位置（用点P表示）； (2)此光源下形成的投影是__________（填“中心投影”或“平行投影”）； (3)在图中画出立柱此时在该光源下所形成的影子（用线段表示）． 【答案】(1)见解析 (2)中心投影 (3)见解析 【分析】本题考查了中心投影，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据在同一时刻同一光源下立柱形成的影子为与，连接并延长交于点P，即为所求； （2）因为所有光线均从同一个点P发出，呈发散状，且不同立柱的影子方向不平行，符合中心投影的特征，即可解答； （3）连接并延长交地面于点M，则为所求． 【详解】（1）解：如图，点P为光源的位置，点P即为所求： （2）解：此光源下形成的投影是中心投影． 故答案为：中心投影； （3）解：如图所示，线段为立柱在此光源下所形成的影子，则为所求． 21．（8分）如图，已知圆锥母线长，底面圆的半径， (1)求圆锥的侧面积； (2)该圆锥侧面展开扇形的半径___________；扇形的弧长___________； (3)若一只小虫从点A出发，绕圆锥的侧面爬行到点B，则小虫爬行的最短路线的长为___________； 【答案】(1) (2)8， (3) 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图、弧长公式及勾股定理，熟练掌握圆锥的侧面展开图、弧长公式及勾股定理是解题的关键； （1）根据圆锥的侧面积公式可进行求解； （2）根据弧长公式及圆锥的侧面展开图的特征可进行求解； （3）根据圆锥的侧面展开图及两点之间线段最短可进行求解． 【详解】（1）解：根据圆锥侧面积公式可得：； （2）解：由圆锥侧面展开图可知：圆锥侧面展开图所在扇形的半径即为圆锥母线长，即为8； 弧长为底面圆的周长，即为； 故答案为8，； （3）解：圆锥侧面展开图如下所示： 连接，交于点C，连接，如图所示： ∴即为小虫从点A出发，绕圆锥的侧面爬行到点B的最小路径长， 设侧面展开图的圆心角为，根据（2）可得：， 解得：， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点B是的中点， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 22．（10分）如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面． (1)该圆锥的底面圆的半径为______cm； (2)已知矩形纸片的边长分别为， （i）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上． ①当时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由； ②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值． （ii）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)5 (2)（i）①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，理由见解析；②作图见解析，；（ii） 【分析】（1）根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长求解即可； （2）（i）①由（1）知底面圆的半径为，求出剩余纸片的长和宽，再与直径比较即可； ②当底面圆形纸片与边相切，据此求解即可； （ii）分情况讨论，情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切，据此求出的值，再进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， 解得 故答案为：； （2）（i）①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片， 理由：作，垂足为C，延长，交于点D，交于点 ， 是等边三角形 在中， 在四边形中， 四边形是矩形 、 能剪出作为圆锥底面的圆形纸片； ②示意图如图所示，此时； 如图，设底面圆圆心为O，连接交切点为K，过N作于点G， 则，， 在中， ； （ii）情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，如图， 此时， 此时； 情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切时，如图， 、 此时 ． 【点睛】本题考查圆锥的性质、扇形的性质、圆的性质、矩形的性质，熟练扇形弧长公式、相关性质是解题的关键． 23．（10分）综合与实践 学习完《对称图形——圆》这一章节后，小明同学对圆的相关知识产生了浓厚的兴趣，他打算通过“裁剪扇形、制作圆锥”等实践操作，深化理解圆的相关知识．为此，他准备了若干张半径均为8、材质均匀的圆形纸片用于下面的探究（每张纸片如图①所示，圆心记为O）． 【初步探究】 （1）如图②，小明用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为的扇形． ①请求出扇形的面积． ②他打算用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，你觉得小明能否从剪下的3块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？试说明理由． 【深入探究】 （2）小明继续探究，他发现存在如图③的情况：的半径仍是8，扇形的圆心角．点E在圆内，点M，N在上，与扇形的公共弦．求图中点O与点E的距离，并计算扇形的面积． 【拓展探究】 （3）若小明想用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为的扇形（点M，N在上），请直接写出所剪扇形的面积S的取值范围． 【答案】（1）①扇形的面积为；②能，理由见详解 （2）点O与点E的距离为，扇形的面积为 （3）扇形的面积S的取值范围 【分析】本题主要考查扇形面积、弧长公式的计算，垂径定理，圆周角定理等知识的综合，掌握其计算公式，数形结合分析是关键． （1）①根据题意得到线段是过圆心的直径，则，，是等腰直角三角形，由勾股定理得到，结合扇形面积公式即可求解； ②根据题意得到剪后剩余的面积，再算出扇形底面圆的面积，由此即可求解； （2）如图所示，过点作，连接，得到，即点共线，，，由扇形面积公式得到面积，在中，由勾股定理得到，由此得到点O与点E的距离； （3）根据（1）（2）的提示分类讨论即可求解． 【详解】解：（1）①如图所示，连接， ∵， ∴线段是过圆心的直径，则，， ∵是扇形， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，则， 解得，（负值舍去）， ∴扇形的面积； ②能，理由如下， 已知扇形的面积，， ∴剪下后剩余的面积为， ∵扇形的半径为， ∴扇形的弧长， ∴底面圆的周长， ∴底面圆的半径，底面圆的面积， ∵， ∴能从剪下的3块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面； （2）如图所示，过点作，连接， ∴，即点是的中点， ∵是等腰直角三角形， ∴，即点共线， ∴，， ∴扇形的面积， 在中，， ∴， ∴； （3）∵剪出一个圆心角为的扇形（点M，N在上），是等腰三角形， ∴， ∴的圆心角为，劣弧所对的圆心角为， 由（1）得到当剪出一个圆心角为的扇形时，， ∴当扇形的弦在直径外时，如图所示，连接， ∴， ∴，且， ∴是等边三角形， ∴， ∴扇形的面积； 当扇形的弦在直径上时，如图所示，连接，且点是的中点， ∴，，， ∴， 在中，，即， 解得，， ∴， ∴扇形的面积； 综上所述，扇形的面积S的取值范围． 24．（12分）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ (3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒； 【答案】(1)9.6米 (2)米 (3)①米；② 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，列代数式，一次函数中的实际意义，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由证，用相似比求高度； （2）由证，代入求长度； （3）①用相似比表示出、，相加得的表达式； ②计算的表达式，计算1秒内移动的距离即为在地面上移动的速度． 【详解】（1）解：由题意，可知， 米， 米， 米， ，， ， ∴，， ， ， ， ， 答：路灯的高度为米； （2）解：， 米， ∵米，米， ∴米，米， ， ， ∴，， ， ， ， ， ， 答：的长是米； （3）解：①由（1）（2）得，， 当运动秒后，米，则米， 设米，米， ， 解得：； ， 解得； 米， 故答案为：米； ②由题意可知：影子的顶端在地面上移动的距离是， 米， 当秒时， 米， 当秒时， 米， ∴1秒时间内移动的距离为： 米， 影子的顶端在地面上移动的速度是米秒． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第三章三视图与表面展开图·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 6 个 8 10 c B A C A A B B B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.中心投影 12.72元 13.6 14.-4 15.38 16号 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(8分) 【详解】解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起， 底面直径分别是2cm和4cm, 高分别是4cm和1cm, 2 :体积为： 4π× +π× ×1=17元(cm). 答：该工件的体积是17πcm3,(8分) 18.(8分) 【详解】(1)解：从正面看，看到的是两层，最下一层为2个，最上一层为1个；从左边看，看到的是两 层，最下一层3个，最上一层为1个； 如下图所示： 1/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (4分) 从正面看 从左面看 (2)解：从正面看有3个小正方形，从上面看有5个小正方形，从左面看有4个小正方形，所以表面积 为：(3+4+5)×2×1×1=24(cm2);(8分) 19.(8分) 【详解】(1)解：如图所示： B ○ 在RtaB0C中，∠B0C=90°，OC=15cm,BC=25cm, 则由勾股定理可得B0=√BC2-0C2=√252-152=20(cm): 圆锥底面圆的周长为2π×15=30πcm), :圆锥侧面积为)×30元×25=375π(cm2): 故答案为：20,375π；(4分) (2)解：由(1)知侧面积为375πcm2, 设所需扇形卡纸的圆心角的度数n°， .”×πx252=375, 360 解得n=216, 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216°，(8分) 20.(8分) 【详解】(1)解：如图，点P为光源的位置，点P即为所求： 2/10 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P E C (2分) 1 G BHD F (2)解：此光源下形成的投影是中心投影. 故答案为：中心投影；(5分)》 (3)解：如图所示，线段FM为立柱EF在此光源下所形成的影子，则FM为所求. A (8分) G BHD M 21.(8分) 【详解】(1)解：根据圆锥侧面积公式可得：πrl=π×2×8=16π；(2分) (2)解：由圆锥侧面展开图可知：圆锥侧面展开图所在扇形的半径即为圆锥母线长，即为8； 弧长为底面圆的周长，即为2πr=2π×2=4π； 故答案为8,4π；(5分) (3)解：圆锥侧面展开图如下所示： >A' B 连接OB,交AA'于点C,连接AB,如图所示： .AB即为小虫从点A出发，绕圆锥的侧面爬行到点B的最小路径长， 设侧面展开图的圆心角为n°，根据(2)可得：4红=m×8 180 解得：n=90, .∠A0A'=90°， .△OAA'是等腰直角三角形， .AA'=V0A2+0A2=8V2, 3/10 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,点B是AA的中点， 平0 BLAA.AC=0CAA=42 .BC=0B-0C=8-42, AB=BC2+AC2=822 故答案为8√2-√2.(8分) 22.(10分) 【详解】(1)解：由题意可知，2πr= 300°π×6 180° 解得r=5cm 故答案为：5；(2分) (2)()①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片， 理由：作MC⊥AB,垂足为C,延长CM,交OO于点D,交RS于点E P a S M D 12:AM=BM,∠AMB=60 “AAMB是等边三角形 .AB=AM =6 :CM⊥AB 4c8=3 在Rt△AMC中，∠ACM=90 :CM=VAM2-AC2=62-32=3V5 在四边形JKRS中，∠J=∠S=90° .∠JCE=∠J=∠S=90° :四边形JKRS是矩形 :CE JS=22 .DE=CE-CM-DM=22-35-6=16-3V5 :16-3V3>10、12>10 4/10 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 :能剪出作为圆锥底面的圆形纸片；(4分) ②示意图如图所示，此时a=3√5+2√30+5； -●W 如图，设底面圆圆心为O,连接MN交切点为K,过N作NG⊥PQ于点G, 则MK=6,NK=5,MN=11 ∴.MG=MQ-GQ=6-5=1 在RtAMNG中，NG=VMN2-MG2=2V30 MC=3√5 .a=3V3+2V30+5;(6分) ()情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，如图， a 6 M 此时ML=√AM2-AL2=3V5,NL=√AN2-AL=4 :MN ML+NL=33+4 此时a=6+3V5+4+5=15+3V5; 情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切时，如图， 力 6M. 5 12:MN=ML+N=33+4、MW=6-5=1 W :.NW=VMW2-1=V42+24V5=2√6+3√2 此时a=26+3V2+11 5/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :a=2V6+3v2+11<15+3V5 .a≥2V6+3V2+11.(10分) 23.(10分) 【详解】解：(1)①如图所示，连接MN, :∠MEN=90°， ∴.线段MN是过圆心的直径，则OM=ON=8,MN=16, 是扇形， .ME=NE,即aMEN是等腰直角三角形， .ME2+EN2=MN2,则2ME2=162, 解得，ME=MN=8√2（负值舍去）， ∴.扇形EMN的面积 90×元×(8V2 =32π；(2分) 360 ②能，理由如下， 己知扇形EMN的面积=32π，So0=元×82=64元， .剪下后剩余的面积为64π-32π=32π， ,扇形EMN的半径为8√2， :扇形EMN的弧长-90×元x8√2=42元， 180 ∴.底面圆的周长=42π， :底面圆的半径=42π-22，底面圆的面积=元×2=8x, 2π .8元<32π， .能从剪下的3块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面；(4分) (2)如图所示，过点0作0F⊥MN,连接OE, 6/10 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 M MF=NF=MW=x8V3=45,即点F是MN的中点， ,△MEN是等腰直角三角形， ∴.EF⊥MN,即点E,O,F共线， MF=EF=NF=IMN=43,ME=MF=4x=46 .扇形EMN的面积 90×π×4v6 =24π 360 在RtaM0F中，OM2=OF2+MF2, 0F=0f-MF-V82-(45=4, .0E=EF-0F=43-4;(7分) (3),剪出一个圆心角∠MEN为120°的扇形EMN(点M,N在⊙0上)，aMEN是等腰三角形， 六∠EMW=∠BM=180-120)=30, .∠MEN的圆心角为2×120°=240°，劣弧N所对的圆心角为360°-240°=120°=∠MEN, 由(1)得到当剪出一个圆心角为90°的扇形EMN时，∠EMN=∠ENM=45°， .当扇形EMN的弦MN在直径外时，如图所示，连接OM,ON,OE, 20N=∠oM=180°-∠woN=30r, .∠EM0=60°，且0M=0E, .aOEM是等边三角形， 7/10 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 ..ME =OM=8, 扇形EMN的面积=120×π×8_6 360 3 当扇形EMN的弦MN在直径上时，如图所示，连接OE,且点O是MN的中点， ∴.OM=ON=8,∠0ME=∠ONE=30°，OE⊥MN, .ME=20E, 在Rta0EM中，ME2=OE2+OM2,即(2OE)2+OE2=82, 解得，OE=8 3 ME=165 3 120×π× 1652 .扇形EMN的面积 3 256π 360 9 综上所述，扇形EMN的面积S的取值范围64不≤S≤256 3 9 .(10分) 24.(12分) 【详解】(1)解：由题意，可知，BP=3米，BD=18米，PQ=1.6米， PQ⊥BD,CD⊥BD, ∴PQ∥CD, ∴.LBPQ=LBDC=90°，∠PBQ=∠DBC, :△BPQO△BDC, BP OP BD CD 31.6 18 CD CD=9.6, 答：路灯CD的高度为9.6米；(3分) (2)解：“1=4， 8/10 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 BF=1.5×4=6米， BD=18米，CD=9.6米， ∴.AB=9.6-1.6=8米，FD=18-6=12米， :EF⊥BD,CD⊥BD ∴.EF‖CD, ,∴.∠NFE=∠NDC=90°，∠FNE=∠DNC, :ANFEA NDC, NF EF ND CD NF EF NF+FD CD' NF1.6 :NF+129.6' N、2 答：FN的长是2米：(6分) 5 (3)解：①由(1)(2)得=，F=1 MB5’ND6' 当运动t秒后，BF=多1米，则FD=18-1米， 2 设NF=a米，FM=b米， a =1 a+18-376, 2 183t 解得：a=510 6+375, 2 解得b= 8: MN=a+b -183130 5108 14+3米， 40 故答案为：144+3米；(9分) 40 ②由题意可知：影子的顶端N在地面上移动的距离是BN, 9/10 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 BN=BF-FN =(1.81-3.6)米， 当t=m秒时， BN=(1.8m-3.6米， 当t=m+1秒时， BN=1.8m+1-3.6=(1.8m-1.8米， ∴.1秒时间内N移动的距离为： 1.8m-1.8-(1.8m-3.6)=1.8米， :影子的顶端N在地面上移动的速度是1.8米/秒 故答案为：1.8.(12分) 10/10………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第三章 三视图与表面展开图·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图所示的几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 2．某校的校本课程——皮影，是中国民间古老的非物质文化遗产传统艺术．在古代，皮影戏的光源通常使用一盏煤油灯，因此其投影属于（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定 3．如图，冰淇淋蛋筒呈圆锥形，则蛋筒包装纸的面积（接缝忽略不计）是（   ） A． B． C． D． 4．广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 5．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型（如图所示）摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池．类似的，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（   ） A． B． C． D． 6．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小铭站在距离路灯8米的B处（即米），此时在地面留下的影子为，小铭从点B处沿所在的直线行走到点A时（即米），人影长度会比（    ）    A．变长 B．变长 C．变短 D．变短 7．把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等、形状相同的两部分后，表面积增加了平方厘米．圆锥的高是厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米． A． B． C． D． 8．如图，两同心圆的圆心为O，一个宽度为的刻度尺一边与大圆相切于点P，另一边与小圆相切于点Q，与大圆交于C，D两点，P，Q均在圆O的同侧，，若用阴影部分围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 9．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的正面、上面看到的形状图，则搭成这样的几何体最多需要小立方块的个数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 10．如图所示的是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，则容器中水面的高度随时间变化的图象可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在“霍童线狮”表演中，艺人操控“线狮”在舞台上呈现精彩姿态，舞台上方的灯光照射在“线狮”上，形成的影子属于 ，（填写“中心投影”或“平行投影”） 12．某圆锥形零件的尺寸如图所示，若给该零件侧面涂漆，则需涂漆部分的面积为 ．（结果保留） 13．如图，小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1的竹竿的影长是1.5，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），她先测得留在墙壁上的影高为2，又测得地面的影长为6，请你帮她算一下，树高 ． 14．一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若组成这个几何体的小正方体最少需要个，最多需要个，则    15．如图是由若干个小正方体组成的．阴影部分是空缺的通道，一直通到对面．这个立体图形由 个小正方体组成． 16．如图，在矩形中，，，扇形的圆心在边上，点在边上，与边相切，切点为．若用图中扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出了此工件的三视图，如图所示．求该工件的体积． 18．（8分）一个如下的立体图形，其中每个小正方体的大小相同． (1)请画出这个立体图形从正面看和从左面看得到的平面图形； (2)如果这个立体图形是由棱长为的小正方体搭成的，那么这个立体图形的表面积是多少？ 19．（8分）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 20．（8分）如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱，形成的影子分别为与． (1)在图中画出光源的位置（用点P表示）； (2)此光源下形成的投影是__________（填“中心投影”或“平行投影”）； (3)在图中画出立柱此时在该光源下所形成的影子（用线段表示）． 21．（8分）如图，已知圆锥母线长，底面圆的半径， (1)求圆锥的侧面积； (2)该圆锥侧面展开扇形的半径___________；扇形的弧长___________； (3)若一只小虫从点A出发，绕圆锥的侧面爬行到点B，则小虫爬行的最短路线的长为___________； 22．（10分）如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面． (1)该圆锥的底面圆的半径为______cm； (2)已知矩形纸片的边长分别为， （i）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上． ①当时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由； ②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值． （ii）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围． 23．（10分）综合与实践 学习完《对称图形——圆》这一章节后，小明同学对圆的相关知识产生了浓厚的兴趣，他打算通过“裁剪扇形、制作圆锥”等实践操作，深化理解圆的相关知识．为此，他准备了若干张半径均为8、材质均匀的圆形纸片用于下面的探究（每张纸片如图①所示，圆心记为O）． 【初步探究】 （1）如图②，小明用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为的扇形． ①请求出扇形的面积． ②他打算用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，你觉得小明能否从剪下的3块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？试说明理由． 【深入探究】 （2）小明继续探究，他发现存在如图③的情况：的半径仍是8，扇形的圆心角．点E在圆内，点M，N在上，与扇形的公共弦．求图中点O与点E的距离，并计算扇形的面积． 【拓展探究】 （3）若小明想用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为的扇形（点M，N在上），请直接写出所剪扇形的面积S的取值范围． 24．（12分）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ (3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒； 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $