第3章 三视图与表面展开图（单元测试·基础卷）数学浙教版九年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第三章三视图与表面展开图·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 6 > 8 10 A D A D c B D D A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）》 11.中心 12.主，左 13.1800 14.9cm/9厘米 15.4 16.7,4 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(8分) 【详解】解：如图，线段AB即为所求： (8分) 18.(8分) 【详解】解：如图所示： (8分) 正面 从正面看 从左面看 从上面看 19.(8分) 【详解】(1)解：如图所示，连接AB,BC,作线段AB,BC的垂直平分线，两线的交点即为圆心， 1/5 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 ∴.P(2,0),AP=V22+42=25, 故答案为：(2,0)，2√5；(4分) (2)解：根据题意，PA=PC=2√5，AC=V22+62=2√10， ∴.PA2=PC2=20,AC2=40,则PA2+PC2=AC2, ∴.△PAC是等腰直角三角形，∠APC=90°， l 90×元x25-N5元， 180 设圆锥底面圆的半径为r, .2πr=√5π， 解得，r= 2 故答案为： 2.(8分) 2 20.(8分) 【详解】(1)解：这个几何体是直三棱柱；(4分) (2)解：主视图是一个直角三角形，直角三角形斜边是： √62+82=10(cm), 这个几何体的表面积为： 5=2xx6x88x4+10x4+6x4=14em. 即几何体的表面积为144cm2.(8分) 21.(8分) 【详解】解：由题意得，AB⊥BD,CD⊥DE,AD∥CE, ∴.∠ABD=∠CDE=90°，∠CED=∠ADB, '.AABD∽△CDE, 2/5 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BD=26m,DE=1.8m,CD=2.5m, .AB_BD CD DE 4B26 2.51.8 .AB≈36m, 答：该古塔的高度为36m.(8分) 22.(10分) 【详解】(1)如图所示：EF即为所求； (5分) B AB DE (2)由题意可得： BC EF' 解得：DE=6m, 答：DE的长为6m,(10分) 23.(10分) 【详解】解：过点C作PC⊥BC,交AD于点P,过点P作PQ1AB于点Q, E ∴.∠PQB=∠QBC=∠BCP=90°， .四边形PQBC为矩形， ∴.PQ=BC=14m,BQ=PC, ,PC∥EF,PD∥EG, .ZDCP=ZGFE,ZPDC LEGF ∴.△PCDw△EFG, 3/5 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .PC-EF CD FG' 即PC、1 8=2 解得PC=4m, .∴.BQ=4m. 在RteAPO中，∠AQP=90°，.∠APQ=45°， .∠QAP=45°=∠AP0, ∴.AQ=PQ=14m, .AB=AQ+BQ=14+4=18(m). 答：旗杆的高度为18m.(10分) 24.(12分) 【详解】解：(1)由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短； 故答案为两点之间线段最短；(4分) C2》剪开后，4B=2cm,BC-x8x=4a(cm AC=VAB2+BC2=22+(4r)2=2V1+4r2(cm), :蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线AC的长为2W1+4π2(cm，(8分) (3)设圆锥侧面展开图的圆心角度数为°， :圆锥的底面周长为2π×2=4π， .m×8 =4r, 180 解得：n=90, ·该圆锥的侧面展开图是圆心角为90°的扇形， 如解图，线段PP'的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在Rt△MOM'中， MM'=V0M2+0M2=V⑧2+82=8V2, 4/5 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :点P为OM的中点， PP'是OMM'的中位线， :.PP=IMM=42, :蚂蚁爬行的最短距离为4√2.(12分) 5/5………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第三章 三视图与表面展开图·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列立体图形中，主视图是圆的是（    ） A． B． C． D． 2．下列投影现象属于中心投影的是（   ） A．陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在日光下的影子 B．苏轼“把酒问青天”时，酒杯在月光下的影子 C．王维“大漠孤烟直”时，归雁在落日下的影子 D．匡衡“凿壁偷光”时，书卷在灯光下的影子 3．若一个立体图形的主视图与左视图都是长方形，俯视图是圆，则这个几何体是（    ） A．圆柱 B．三棱柱 C．四棱柱 D．球 4．如图，夜晚四个身高相同的小朋友站在路灯下，（    ）的影子最长． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．用一个圆心角为，半径为的扇形做一个圆锥的侧面，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？则竹竿的长为（    ） A．500寸 B．450寸 C．100寸 D．50寸 7．琪琪为玩具娃娃制作了一个圆锥形生日帽，如图所示，是圆锥的母线，为底面直径，已知母线，圆锥的侧面积为，则的长为（    ） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 8．把个棱长为厘米的正方体重叠起来拼成一个如图所示的立体图形，则这个立体图形的表面积是（    ）． A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 9．如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（   ） A． B． C． D． 10．如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知，则x的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．匡衡“凿壁借光”借灯光读书的影子属于 投影．（填“平行”或“中心”） 12．如图所示的是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中，完全相同的是 视图和 视图． 13．一个零件，从正面看、从左面看和从上面看到的零件的形状图如图所示(尺寸单位：厘米)，这个零件的体积为 立方厘米． 14．如图，在美术活动课上，小华用圆心角为、半径为的扇形彩纸做成一个圆锥形的纸帽，做成后这个圆锥形纸帽的底面半径是 ． 15．如图是一个底面为正方形的长方体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个长方体的体积为 ． 16．若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1． 如果塔形有2个正方体组成，则露在外面的面积是 ，如果露在外面的面积是超过8，则正方体的个数至少是 个． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）根据要求画出图形：如图，一根木棒竖直立在地面上，请你画出它在灯光下的影子． 18．（8分）如图，用若干个完全相同的小正方体搭一个几何体．请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 19．（8分）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，，该圆弧所在圆的圆心为点P． (1)点P的坐标为_____，的半径为_____． (2)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为_____． 20．（8分）已知一个几何体的三视图和有关的尺寸如图. (1)写出这个几何体的名称； (2)求出这个几何体的表面积． 21．（8分）数学实践活动课上，小辰所在的小组利用所学的知识测量当地一座古塔的高度（）．测量方法如下：在古塔（）的前方点D处直立一根长的竹竿，然后测得在阳光照射下古塔在地面上的影长，竹竿在地面上的影长 ．已知图上所有点均在同一平面内，均垂直于地面．根据以上测量方法，求出该古塔的高度（．（保留整数） 22．（10分）如图，和是直立在地面上的两根立柱（即均与地面垂直），已知，某一时刻在太阳光下的影子长． (1)在图中画出此时在太阳光下的影子； (2)在测量的影子长时，同时测量出的影长，计算的长． 23．（10分）广场上有一旗杆，某学校数学兴趣小组测量了该旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为，落在斜坡上的影长为，；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为，的标杆竖立在斜坡上的影长为，求旗杆的高度． 24．（12分）为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第三章 三视图与表面展开图·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列立体图形中，主视图是圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立体图形的三视图，从正面看得到的图形是主视图，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、主视图是圆，故该选项正确； B、主视图是长方形，故该选项错误； C、主视图是三角形，故该选项错误； D、主视图是正方形，故该选项错误， 故选：A． 2．下列投影现象属于中心投影的是（   ） A．陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在日光下的影子 B．苏轼“把酒问青天”时，酒杯在月光下的影子 C．王维“大漠孤烟直”时，归雁在落日下的影子 D．匡衡“凿壁偷光”时，书卷在灯光下的影子 【答案】D 【分析】本题考查投影，中心投影的光线从一点（投影中心）发出，平行投影的光线互相平行．根据选项描述的光源类型判断是否为中心投影即可．区分中心投影和平行投影的关键是看光源：点光源产生中心投影，平行光源产生平行投影． 【详解】解：∵ 日光、月光、落日阳光均为平行光，其投影为平行投影； ∵ 灯光为点光源，其投影为中心投影； ∴ 选项D中灯光下的影子属于中心投影． 故选：D． 3．若一个立体图形的主视图与左视图都是长方形，俯视图是圆，则这个几何体是（    ） A．圆柱 B．三棱柱 C．四棱柱 D．球 【答案】A 【分析】本题考查根据三视图还原几何体．根据几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，得到这个几何体是圆柱体． 【详解】解：∵几何体的主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆， ∴这个几何体是圆柱体； 故选：A． 4．如图，夜晚四个身高相同的小朋友站在路灯下，（    ）的影子最长． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影的性质，根据相同高度的物体，距离灯光越远，则影子越长解答即可． 【详解】解：由图可知，四个身高相同的小朋友站在路灯下，丁离路灯最远，则丁的影子最长， 故选：D． 5．用一个圆心角为，半径为的扇形做一个圆锥的侧面，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据扇形面积公式求出扇形面积，根据圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系解答即可，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键． 【详解】解：因为用一个圆心角为，半径为的扇形做一个圆锥的侧面， ∴该圆锥的侧面积为， 故选：． 6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？则竹竿的长为（    ） A．500寸 B．450寸 C．100寸 D．50寸 【答案】B 【分析】本题主要考查了考查平行投影，根据同一地点，同一时刻物高与影长对应成比例，通过建立比例方程求解竹竿长度即可． 【详解】解：设竹竿长为x寸． ∵竹竿影长150寸，标杆高15寸，标杆影长5寸， ∴ ∴ ∴ 故竹竿长为450寸， 故选B． 7．琪琪为玩具娃娃制作了一个圆锥形生日帽，如图所示，是圆锥的母线，为底面直径，已知母线，圆锥的侧面积为，则的长为（    ） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 【答案】C 【分析】本题考查圆锥的侧面积，，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题关键．根据圆锥的侧面积公式列方程即可得答案． 【详解】解：∵母线，圆锥的侧面积为， ∴， 解得． 故选：C． 8．把个棱长为厘米的正方体重叠起来拼成一个如图所示的立体图形，则这个立体图形的表面积是（    ）． A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的表面积，分别计算左视图、主视图以及俯视图的面积，再乘以即可． 【详解】解：组合体的主视图有五个正方形，那么面积为， 左视图有六个正方形，那么面积为， 俯视图有五个正方形，那么面积为， 所以表面积为：． 故选：D． 9．如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的周长公式和扇形的弧长公式，设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，根据圆锥侧面展开图的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得，解方程即可求出扇形圆心角的度数． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，母线的长为， 圆锥侧面展开图的扇形的弧长是， 圆锥底面圆的半径的长为， 圆锥底面圆的周长是， 由题意可得：， 解得：． 故选：D． 10．如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知，则x的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了三视图和一元二次方程的解法，解决此题的关键是根据三视图的面积得到长方体的长和宽用x表示出来，得到关于x的一元二次方程求解即可； 【详解】解：∵，， 又∵长方体的高为， ∴长方体的长为，宽为， ∴， 即， 解得：， ∵为正数， ∴取， 故选：A． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．匡衡“凿壁借光”借灯光读书的影子属于 投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【分析】本题考查投影，投影分为平行投影和中心投影，区别的关键是看光线是由一点发出的，还是平行的．熟练掌握由一点发出的光线，形成的投影是中心投影；由平行发出的光线，形成的投影是平行投影是解题的关键． 【详解】解：匡衡借用的灯光是从一点发出的，光线呈放射状，因此形成的影子属于中心投影． 故答案为：中心． 12．如图所示的是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中，完全相同的是 视图和 视图． 【答案】 主 左 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图中左视图、主视图的定义解题即可． 【详解】解：主视图：从正面观察，有两层，底层两个小正方形，上层左边一个小正方形； 左视图：从左面观察，有两层，底层两个小正方形，上层左边一个小正方形； 俯视图：从上面观察，有两行，第一行两个小正方形，第二行左边一个小正方形． 故答案为：①主②左． 13．一个零件，从正面看、从左面看和从上面看到的零件的形状图如图所示(尺寸单位：厘米)，这个零件的体积为 立方厘米． 【答案】 【分析】本题考查了三视图和长方体的体积公式．根据长方体的体积公式计算即可． 【详解】由三视图可知，该零件是一个长方体，且长方体的三边长分别为厘米、厘米和厘米， 故该零件的体积为（立方厘米）， 故答案为：． 14．如图，在美术活动课上，小华用圆心角为、半径为的扇形彩纸做成一个圆锥形的纸帽，做成后这个圆锥形纸帽的底面半径是 ． 【答案】/9厘米 【分析】本题主要考查圆锥侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥侧面展开图及弧长公式是解题的关键；因此此题可根据弧长公式可进行求解． 【详解】解：由圆锥侧面展开图是扇形可知：该扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长， ∴， ∴底面半径为； 故答案为． 15．如图是一个底面为正方形的长方体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个长方体的体积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查三视图，由三视图可得该长方体的底面正方形的对角线长为，高为，根据长方体的体积公式计算即可． 【详解】解：该长方体的底面正方形的面积为， 长方体的体积为． 故答案为：4． 16．若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1． 如果塔形有2个正方体组成，则露在外面的面积是 ，如果露在外面的面积是超过8，则正方体的个数至少是 个． 【答案】 7 4 【分析】本题考查了立体图形的表面积问题，解决本题的关键是得到上下所有正方体露在外面的上面面积之和为1，每增加一层相当于增加4个侧面． 若只有一层（即只有一个）时，每个面的面积是1，共露出5个面；若有两层，则第二层每个侧面的面积是，与一层相比，多了4个侧面；若有三层，则第三层的每个侧面的面积是，与两层相比，多了4个侧面；根据规律分别计算外露面积即可． 【详解】解：若只有一层（即只有一个）时，每个面的面积是1，共露出5个面，所以外露面积为：； 若有两层，则第二层每个侧面的面积是，与一层相比，多了4个侧面，所以外露面积为：； 若有三层，则第三层的每个侧面的面积是，与两层相比，多了4个侧面，所以外露面积为：； ∴塔形有2个正方体组成，则露在外面的面积是7；如果露在外面的面积是超过8，则正方体的个数至少是4个． 故答案为：7，4． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）根据要求画出图形：如图，一根木棒竖直立在地面上，请你画出它在灯光下的影子． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查中心投影的应用，通过理解中心投影的原理，即从同一点(点光源)发出的光线形成的投影，来画出木棒在灯光下的影子． 根据木棒把光线挡住，照不到的地方形成影子，即可作出图形． 【详解】解：如图，线段即为所求： 18．（8分）如图，用若干个完全相同的小正方体搭一个几何体．请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握立体图形和平面图形的关系是解题的关键，根据几何体的三视图求解． 【详解】解：如图所示： 19．（8分）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，，该圆弧所在圆的圆心为点P． (1)点P的坐标为_____，的半径为_____． (2)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为_____． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，弧长公式的运用，理解圆心的作图方法，掌握弧长公式的计算是关键． （1）根据圆心到圆弧各点距离相等，结合线段垂直平分线的性质，连接，作线段的垂直平分线，两线的交点即为圆心，结合图形求圆的半径即可； （2）根据网格与勾股定理得到是等腰直角三角形，运用弧长公式得到，由圆的周长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接，作线段的垂直平分线，两线的交点即为圆心， ∴，， 故答案为：，； （2）解：根据题意，， ∴，则， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 设圆锥底面圆的半径为， ∴， 解得，， 故答案为：． 20．（8分）已知一个几何体的三视图和有关的尺寸如图. (1)写出这个几何体的名称； (2)求出这个几何体的表面积． 【答案】(1)直三棱柱 (2) 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体以及几何体的表面积，几何体的表面积等于底面积加上侧面积． （1）根据几何体的三视图，可得出几何体是直三棱柱； （2）由图可得底面三角形的三边分别为6，8，10，正三棱柱的高为4，侧面积等于三个矩形的面积，表面积等于侧面积加上两个底面积． 【详解】（1）解：这个几何体是直三棱柱； （2）解：主视图是一个直角三角形，直角三角形斜边是： ， 这个几何体的表面积为： ， 即几何体的表面积为． 21．（8分）数学实践活动课上，小辰所在的小组利用所学的知识测量当地一座古塔的高度（）．测量方法如下：在古塔（）的前方点D处直立一根长的竹竿，然后测得在阳光照射下古塔在地面上的影长，竹竿在地面上的影长 ．已知图上所有点均在同一平面内，均垂直于地面．根据以上测量方法，求出该古塔的高度（．（保留整数） 【答案】该古塔的高度为 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，平行投影，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 证明即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 答：该古塔的高度为． 22．（10分）如图，和是直立在地面上的两根立柱（即均与地面垂直），已知，某一时刻在太阳光下的影子长． (1)在图中画出此时在太阳光下的影子； (2)在测量的影子长时，同时测量出的影长，计算的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】此题主要考查了平行投影，利用同一时刻物高与影长的比值相等列出比例式求解是解题关键． （1）利用平行投影的性质得出即可； （2）利用同一时刻物体影子与实际高度的比值相等进而得出答案． 【详解】（1）如图所示：即为所求； （2）由题意可得：， ∴ 解得：， 答：的长为． 23．（10分）广场上有一旗杆，某学校数学兴趣小组测量了该旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为，落在斜坡上的影长为，；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为，的标杆竖立在斜坡上的影长为，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为 【分析】本题主要考查了平行投影，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 过点C作，交于点P，过点P作于点Q，根据相似三角形的性质求出，在中利用等腰直角三角形的性质求出，根据即可解决问题． 【详解】解：过点C作，交于点P，过点P作于点Q， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 在中，，∵， ∴， ∴， ∴． 答：旗杆的高度为． 24．（12分）为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握勾股定理，圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解； （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，由题意易得，则有该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短； 故答案为两点之间线段最短； （2）剪开后，，， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为， （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 圆锥的底面周长为， ， 解得：， 该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 蚂蚁爬行的最短距离为． 学科网（北京）股份有限公司15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第三章 三视图与表面展开图·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列立体图形中，主视图是圆的是（    ） A． B． C． D． 2．下列投影现象属于中心投影的是（   ） A．陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在日光下的影子 B．苏轼“把酒问青天”时，酒杯在月光下的影子 C．王维“大漠孤烟直”时，归雁在落日下的影子 D．匡衡“凿壁偷光”时，书卷在灯光下的影子 3．若一个立体图形的主视图与左视图都是长方形，俯视图是圆，则这个几何体是（    ） A．圆柱 B．三棱柱 C．四棱柱 D．球 4．如图，夜晚四个身高相同的小朋友站在路灯下，（    ）的影子最长． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．用一个圆心角为，半径为的扇形做一个圆锥的侧面，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？则竹竿的长为（    ） A．500寸 B．450寸 C．100寸 D．50寸 7．琪琪为玩具娃娃制作了一个圆锥形生日帽，如图所示，是圆锥的母线，为底面直径，已知母线，圆锥的侧面积为，则的长为（    ） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 8．把个棱长为厘米的正方体重叠起来拼成一个如图所示的立体图形，则这个立体图形的表面积是（    ）． A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 9．如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（   ） A． B． C． D． 10．如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知，则x的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．匡衡“凿壁借光”借灯光读书的影子属于 投影．（填“平行”或“中心”） 12．如图所示的是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中，完全相同的是 视图和 视图． 13．一个零件，从正面看、从左面看和从上面看到的零件的形状图如图所示(尺寸单位：厘米)，这个零件的体积为 立方厘米． 14．如图，在美术活动课上，小华用圆心角为、半径为的扇形彩纸做成一个圆锥形的纸帽，做成后这个圆锥形纸帽的底面半径是 ． 15．如图是一个底面为正方形的长方体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个长方体的体积为 ． 16．若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1． 如果塔形有2个正方体组成，则露在外面的面积是 ，如果露在外面的面积是超过8，则正方体的个数至少是 个． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）根据要求画出图形：如图，一根木棒竖直立在地面上，请你画出它在灯光下的影子． 18．（8分）如图，用若干个完全相同的小正方体搭一个几何体．请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 19．（8分）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，，该圆弧所在圆的圆心为点P． (1)点P的坐标为_____，的半径为_____． (2)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为_____． 20．（8分）已知一个几何体的三视图和有关的尺寸如图. (1)写出这个几何体的名称； (2)求出这个几何体的表面积． 21．（8分）数学实践活动课上，小辰所在的小组利用所学的知识测量当地一座古塔的高度（）．测量方法如下：在古塔（）的前方点D处直立一根长的竹竿，然后测得在阳光照射下古塔在地面上的影长，竹竿在地面上的影长 ．已知图上所有点均在同一平面内，均垂直于地面．根据以上测量方法，求出该古塔的高度（．（保留整数） 22．（10分）如图，和是直立在地面上的两根立柱（即均与地面垂直），已知，某一时刻在太阳光下的影子长． (1)在图中画出此时在太阳光下的影子； (2)在测量的影子长时，同时测量出的影长，计算的长． 23．（10分）广场上有一旗杆，某学校数学兴趣小组测量了该旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为，落在斜坡上的影长为，；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为，的标杆竖立在斜坡上的影长为，求旗杆的高度． 24．（12分）为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $