第1章 解直角三角形（单元测试·提升卷）数学浙教版九年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第一章解直角三角形能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 6 个 8 9 10 B B A C c B D C B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）》 2 13.6 14.05 15.3v5 2 16. 2035 9’47 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(8分) 【详解】解：原式 2 2 -35+x1+6x5 =1-V5.(8分) 18.(8分) 【详解】解：过点A作AD⊥CB,垂足为D, D B C 77777六777777777 ,∠ABD是ABC的一个外角，∠ABD=60°，∠ACD=30°， ∴.LBAC=∠ABD-LACD=30°， 1/10 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 LBAC=∠ACD=30°， ∴.AB=BC=160米， 在R1△4BD中，AD=AB-sSin60=160xV5 80V5(米)， .该主塔的高度是80√5米.(8分) 19.(8分) 【详解】(1)解：连接OD,如图所示： D F M B CD∥AB,OE⊥AB, .0F⊥CD, :FD=CD=303cm. 2 .0F=30cm, .0D=V0F2+DF2=60em;(4分) (2)解：由(1)可知：0M=60cm, .ME 20cm .∴.0E=0M+ME=80cm, ,△0AB为等边三角形， .∠AOB=∠OBA=60°，AB=OB, OB=-OE=160 cm-4B, sin60°3 ∴.SA0B= x4BxE=5400 cm, 2 3 :S扇形408= 60° π×602=600πcm2, 360° ∴.阴影部分的面积=S4OB一S扇形AOB三 /64005-600元cm2(8分) 3 2/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 20.(8分) 【详解】(I)证明：，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线， .AD CD, ∴.∠CAB=∠ACH, :AE⊥CD, .∠ACB=∠AHC=90°， .△ABC∽△CAH, .AH_Ac ·BCAB .AH·AB=AC·BC;(4分) (2)解：，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线， ∴.CD=BD, ∴.∠B=LBCD, AE⊥CD, ∴.∠CAH+∠ACH=90°， LACB=90°， ∴.LBCD+∠ACH=90°， ∴.∠B=∠BCD=∠CAH, .AH =2CH 由勾股定理得AC=√AH'+CH2=V5CH, ∴.CH:AC=1:V5, sinB=sin∠CAH=CH-V AC 5 .(8分) 21.(8分) 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10, 'sinC=4=4B_4B Γ5AC10 .AB=8, :BC=AC2-AB2=6, 故答案为：6；(2分) (2)解：如图，过点B作BD⊥AC交AC于点D, 3/10 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 B PD :BC=6,∠ABC=90°，AC=10,AB=8, BD=AB×BC24 AC 5 .CD=BC2-BD =18 , 点P从点C出发，沿CA以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动， 复P从点C出发运动到点D的时间1+3=，到达点A用时14 5 :cos∠C= BC 3 3t AC5 CM' :CM =5t, 当0<1<9时，MN=2(6-50=12-10r, 当6 <1≤10时，MN=251-6)=101-12:5分) 3》解如图.此时0<1名， N/ B/ M A CM CO 当MQ/I PN时，M=PO .co=PO, :CM =MN, 51=12-10i,解有1-号 此时MN=12-10x4=4.(8分) 5 22.(10分) 【详解】(1)证明：：CD⊥AB, .∠ADC=90°， 4/10 西学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 :∠ACB=90°， ∠ADC=∠ACB, ∠A=∠A, △ACD∽△ABC, AC AD AB AC :AC2=ABAD;(3分) (2)①证明：：AB=AC,O是AC的中点， OB⊥AC, :∠ABC=90°，BF⊥CE, :由射影定理得：BC2=CF.CE=OCAC, CF OC AC CE :∠ACE=∠OCF, :AC0 FACEA;(5分) ②解：：BE=4,AB=BC=12,∠ABC=90°， :CE=VBE2+BC2=V√42+122=4V10,AC=V2AB=12N2,AE=8, :0是AC的中点， .0C=6, 由①得：△C0 FACEA, OF OC OE CE OF 62 84V10 0F=125,7分) 5 (3)如图， E B DG C 作AF⊥BC于F,作EG⊥BC于G, 5/10 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 ∠AFD=∠EGD=90°， :∠FAD+∠ADF=90°， :AD⊥DE, LADE=90°， ∠ADF+∠EDG=90°， :.∠EDG=∠FAD, △ADF∽△DEG, DE EG DG AD DF AF BA 1 ac-n :设BA=l,AC=n, :BC=Vn2+1, 由射影定理得，BF=g,CF=4C: BCn2+1 BC n2+1 :∠BAC=90°， :∠BAF+∠CAF=90°， :∠AFC=90°， ∠C+LCAF=90°， :ZBAF ZC, :∠BAD=2∠C, ∠BAD=2∠BAF, ∠BAF=∠DAF, :∠B=∠ADF, :AB=AD, .DF-BF 1 1 :SABc=AC·AF=)AB·AC 2 :AF=AB.AC n BC Vn2+1 tan C= EG AB 1 CG AC n 6/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设EG=x,CG=x n2 1 DG=CF-CG-DF=-DF=- -nx- n2+1 √n2+1 n2-1 .X= 2n√n2+1 n2 1 -x- =Vm+1 Vn2+1 1 n √m2+1 Vn2+1 n2-1 :EG= 2n.vn2+1 DE EG n2-1 AD DF (10分) 2n 23.(10分) 【详解】(I)解：如图：线段DC以及点E即为所求； D D H (3分) B E (2)解：如图，线段AM即为所求； X (6分) B R C (3)解：如图，点9即为所求： 7110 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (10分) 24.(12分) 【详解】(1)解：，点A6,0,∠AB0=30°，∠AOB=90°，tan∠AB0=tan30°= OA 3 OB 3 BO= 0A=6=6N5 tan30°√3 3 ,△BCO为等边三角形，作CD⊥y轴于点D,如图①所示， N --I1D 0 A 图① 则0D=)B0=3V5,∠Dc0=30,am∠Dc0=am30=D0-5 DC 3 CD=DO3V3 =9 tan30° 3 3 故B的坐标为(0,6W⑤)，C的坐标为(-9,35， 故作案为：(0,6⑤，（-9,33)；(6分) (2)解：①由平移的性质可得，BC‖B'C',BC=B0=B'C'=B'O'=6√5， 8/10 西学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 以 B B' E 0 O'A衣 ,∠CBA=∠CB0+∠AB0=60°+30°=90°， .LBFG=∠B'FE=90°， ∴.∠HO'0=30°，∠C'HG=∠O'H0=60°，LC'GH=∠CB0=60°， .aC'GH是等边三角形， 医R1a0H0中，00=1则H0=,0=2的 3 CH=c0-H0E652N31=239-)=cG=Gh 3 cm-9cm929=9 2 在R1aA0'E中，OA=6-t,0E=V3(6-1),B'E=B0-OE=63-5(6-t=V3t, cosZB'EF=cos30=EF= B'E 2 ∴Ef=gEas30=5xv=3,Br-号E=5,-5, 2 2 所以S=S.cBo-S.cGH-S.BgEF =SCBO-S.CGH-SREF -ORCD-GHCD-RFEF 6w5x92-9-*9号 2 -m5-2-6a9 8 175+65t 24 当点O,O重合时，t=0,此时B'C'0'与△AB0重叠部分不是五边形，当点A,O'重合时，t=6,此时 B'C'O与△AB0重叠部分不是五边形， ∴.t的取值范围是：0<t<6;(9分) ②如图所示，连接AB和OC', 9/10 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B D A 以AB'和B'C'为邻边构造平行四边形AB'CA',A(6,0),C'(-9+,35,B',6V5),设4'(m,n), .6+9+-+m,0+35_65+n,AB'=4C, 2 2 2 2 解得，m=-3,n=-35, 4r-3,-35 由(1)得，点0关于直线y=35的对称点为点B0,63), 故AB'+OC'=A'C'+C'B,当A'、C'、B三点共线时，A'C'+CB值最小，连接AB即为AB'+OC'的最小值， 设直线A'B的解析式为y=a+6W3(k≠0)， .-3k+6√5=-3V5, 解得，k=3√5， ∴.直线A'B的解析式为y=3V3x+6V5, 当y=3V5时，3√5x+65=35, 解得，x=-1, C的坐标为-1,3V3.(12分) 10/10………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第一章 解直角三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知α是锐角，，那么锐角α的度数是（    ） A． B． C． D． 3．在中，，，，那么的正切值是（   ） A． B． C． D． 4．如果把锐角的各边长都扩大到原来的4倍，那么锐角A的正切值（    ） A．扩大到原来的4倍 B．缩小到原来的 C．没有改变 D．无法判断是否发生改变 5．一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行到达点C处，然后沿北偏西方向航行到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（   ） A． B． C． D． 6．如图，是等边的外接圆，圆心为，半径为3．点，分别是边的三等分点，连接得到一六边形，则该六边形边长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，是线段上的动点（不含端点、）．若线段长为正整数，则点的个数共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 8．如图，24个形状大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为，点A、B、C、D都在格点上，且线段、相交于点，则为（    ） A． B． C． D． 9．如图，正方形的边长为2，是边的中点，把沿折叠得到（点的对应点为点），则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．如图，菱形的对角线、相交于点，为的中点，，，那么 . 13．如图，在中，，，，将绕点C旋转得到，当点D恰好落在射线上时，的长为 ． 14．如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为 ． 15．如图，四边形是正方形，点O为对角线的中点，点E为射线上一点，连接，将绕点O顺时针方向旋转，得到交于点M．若，，则的长为 ． 16．如图，四边形，，，，，，动点从点开始沿的方向向点匀速运动，运动速度为，动点从点开始沿的方向向点匀速运动，运动速度为．点和点同时出发． （1）当时，的值为 ； （2）当时，的值为 ； 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）计算：． 18．（8分）如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某初三学生为了测量该主塔的高度，站在处看塔顶，仰角为，然后向后走160米（米），到达处，此时看塔顶，仰角为，求该主塔的高度． 19．（8分）日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线上，为等边三角形，，与分别交于，两点，点，是上两点，，过作于点，交于点，交于点．已知，，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 20．（8分）如图，已知中，，是斜边上的中线，过点A作，分别与，相交于点H，E，． (1)求证：； (2)求的值； 21．（8分）如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作的垂线交射线于点M，当点M不和点B重合时，作点M关于的对称点N．设点P的运动时间为t秒． (1) ； (2)求的长；（用含t的代数式表示） (3)取的中点Q，连结、，当点M在边上，且时，求的长． 22．（10分）【问题情境】如图1，在中，，，垂足为，我们可以得到如下正确结论：①；②；③，这些结论是由古希腊著名数学家欧几里德在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”． （1）请证明“射影定理”中的结论②． 【结论运用】 （2）如图2，等腰直角的腰长为，点是斜边的中点，点在上，连接，过点作，垂足为，连接． ①求证：． ②若，求的长． （）如图，在中，已知，过点作，交于点，此时，若，请直接写出的值．（用含的代数式表示） 23．（10分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个任务的画线不得超过四条． (1)在图1中，点P在上，将线段沿方向平移，使点B与C重合，画出平移后的线段；再在上画点E，使； (2)在图2中，设，将绕点A逆时针旋转，得到线段，画出线段． (3)在图3中，点P在格线上，在上画点Q，． 24．（12分）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，，是等边三角形，点C在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第一章 解直角三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知α是锐角，，那么锐角α的度数是（    ） A． B． C． D． 3．在中，，，，那么的正切值是（   ） A． B． C． D． 4．如果把锐角的各边长都扩大到原来的4倍，那么锐角A的正切值（    ） A．扩大到原来的4倍 B．缩小到原来的 C．没有改变 D．无法判断是否发生改变 5．一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行到达点C处，然后沿北偏西方向航行到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（   ） A． B． C． D． 6．如图，是等边的外接圆，圆心为，半径为3．点，分别是边的三等分点，连接得到一六边形，则该六边形边长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，是线段上的动点（不含端点、）．若线段长为正整数，则点的个数共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 8．如图，24个形状大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为，点A、B、C、D都在格点上，且线段、相交于点，则为（    ） A． B． C． D． 9．如图，正方形的边长为2，是边的中点，把沿折叠得到（点的对应点为点），则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．如图，菱形的对角线、相交于点，为的中点，，，那么 . 13．如图，在中，，，，将绕点C旋转得到，当点D恰好落在射线上时，的长为 ． 14．如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为 ． 15．如图，四边形是正方形，点O为对角线的中点，点E为射线上一点，连接，将绕点O顺时针方向旋转，得到交于点M．若，，则的长为 ． 16．如图，四边形，，，，，，动点从点开始沿的方向向点匀速运动，运动速度为，动点从点开始沿的方向向点匀速运动，运动速度为．点和点同时出发． （1）当时，的值为 ； （2）当时，的值为 ； 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）计算：． 18．（8分）如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某初三学生为了测量该主塔的高度，站在处看塔顶，仰角为，然后向后走160米（米），到达处，此时看塔顶，仰角为，求该主塔的高度． 19．（8分）日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线上，为等边三角形，，与分别交于，两点，点，是上两点，，过作于点，交于点，交于点．已知，，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 20．（8分）如图，已知中，，是斜边上的中线，过点A作，分别与，相交于点H，E，． (1)求证：； (2)求的值； 21．（8分）如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作的垂线交射线于点M，当点M不和点B重合时，作点M关于的对称点N．设点P的运动时间为t秒． (1) ； (2)求的长；（用含t的代数式表示） (3)取的中点Q，连结、，当点M在边上，且时，求的长． 22．（10分）【问题情境】如图1，在中，，，垂足为，我们可以得到如下正确结论：①；②；③，这些结论是由古希腊著名数学家欧几里德在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”． （1）请证明“射影定理”中的结论②． 【结论运用】 （2）如图2，等腰直角的腰长为，点是斜边的中点，点在上，连接，过点作，垂足为，连接． ①求证：． ②若，求的长． （）如图，在中，已知，过点作，交于点，此时，若，请直接写出的值．（用含的代数式表示） 23．（10分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个任务的画线不得超过四条． (1)在图1中，点P在上，将线段沿方向平移，使点B与C重合，画出平移后的线段；再在上画点E，使； (2)在图2中，设，将绕点A逆时针旋转，得到线段，画出线段． (3)在图3中，点P在格线上，在上画点Q，． 24．（12分）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，，是等边三角形，点C在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第一章 解直角三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，然后根据特殊角的三角函数值，直接计算的值，熟练掌握等特殊角的三角函数值有助于快速解题． 【详解】解：． 故选：B． 2．已知α是锐角，，那么锐角α的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握相关数值是解题关键．根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵ ，且 ，α 是锐角， ∴， 故选：B． 3．在中，，，，那么的正切值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正切、勾股定理，熟练掌握正切的定义是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据正切的定义求解即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： ∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：A． 4．如果把锐角的各边长都扩大到原来的4倍，那么锐角A的正切值（    ） A．扩大到原来的4倍 B．缩小到原来的 C．没有改变 D．无法判断是否发生改变 【答案】C 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，在锐角中，是边上的高，根据正切的定义可得，设锐角的各边长都扩大到原来的4倍后得到的三角形为（其中A、B、C分别与对应），为的边上的高，证明，，可得，则可求出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，在锐角中，是边上的高， ∴； 设锐角的各边长都扩大到原来的4倍后得到的三角形为（其中A、B、C分别与对应），为的边上的高， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴锐角A的正切值没有改变， 故选：C． 5．一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行到达点C处，然后沿北偏西方向航行到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方向角，矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的知识是解答本题的关键． 过点作于点，过点作于点，得到四边形是矩形，，，在中，求出，，再根据锐角三角函数定义得到，由此得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ， 四边形是矩形， ，， 由题意得：， ∴，， ， 由题意得，， ， ∴． 故选：C． 6．如图，是等边的外接圆，圆心为，半径为3．点，分别是边的三等分点，连接得到一六边形，则该六边形边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆，等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，过点作于点M，根据是等边的外接圆，圆心为，可得，，解直角三角形求出，得到，进而得到，根据点，分别是边的三等分点，求出，，证明，得出，求出，同理可得，即可得解． 【详解】解：过点作于点M， ∵是等边的外接圆，圆心为，半径为3， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是边的三等分点， ∴， ∴， ∴，即， 同理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴六边形是正六边形，且边长为． 故选：B． 7．如图，在中，，是线段上的动点（不含端点、）．若线段长为正整数，则点的个数共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，垂线段最短求出AD的取值范围是解题关键． 过点作，求出的取值范围即可解答． 【详解】解：过点作，如图： ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵线段长为正整数， ∴为或或或，共4个数； 当为时，点D与重合，只有一条线段； 当为时，可在点的左右两边，有两条线段； 当为时，在点的左边，只有一条线段； 当为时，在点的左边，只有一条线段； ∴一共有条线段； 故选：C． 8．如图，24个形状大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为，点A、B、C、D都在格点上，且线段、相交于点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取格点，连额吉，不妨设小菱形的边长为1，先证明是的中位线，得到，接着利用菱形的性质，证明为等腰三角形，为等边三角形，接着证明为直角，过点作于点，利用勾股定理求得，最后求得答案． 【详解】解：取格点，连接，设小菱形的边长为1，如图所示： ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵菱形的一个内角为， ∴， ∵， ∴， 过点作于点，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 9．如图，正方形的边长为2，是边的中点，把沿折叠得到（点的对应点为点），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定，勾股定理，求正切值等，熟练掌握知识点是解题的关键．过点作，分别交于点，证明四边形是矩形和，再利用相似三角形的性质得出，再利用勾股定理求出的值，进而求解即可． 【详解】解：过点作，分别交于点， ∵四边形为正方形， ∵是边的中点，把沿折叠得到， ∴四边形是矩形， 设， 则， ， ， 在Rt中，，即，解得， ， 故选：C． 10．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移变换的性质，等边三角形的性质，解直角三角形的应用，二次函数的性质，三角形面积等，熟练掌握次函数的性质，三角形的面积的知识点是解题的关键．根据已知条件求出和的相关边长和角度等信息．然后，分不同阶段分析沿x轴平移过程中与重叠部分的形状和面积计算方法，进而得到S与x的函数关系，最后根据函数关系判断函数图象． 【详解】解：①当时，与重叠部分为，如图1， 由平移得：， ， ， 图象为开口向上的抛物线，A选项不符合题意； ②当时，与重叠部分为四边形，如图2， 由平移得：，，， ， ， ， 在中，， ； 图象为开口向下的抛物线；C选项不符合题意； ③当时，与重叠部分为，如图3， 则，且， 是等边三角形，作于， ， ， ， 图象为开口向上的抛物线，B选项符合题意； 故选：B． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值，直接求解即可． 【详解】解：． 故答案为： 12．如图，菱形的对角线、相交于点，为的中点，，，那么 . 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，求一个角的正弦值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由四边形是菱形，得，，再结合为的中点，得，，故，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵为的中点，， ∴， ∴，， 在中，， 故答案为：． 13．如图，在中，，，，将绕点C旋转得到，当点D恰好落在射线上时，的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了直角三角形的性质角所对直角边为斜边的一半）、图形旋转的性质（对应边相等）及勾股定理，解题的关键是通过作高构造直角三角形，利用勾股定理计算线段长度． 先在中，利用“角所对直角边为斜边的一半”得，再由勾股定理得；作，在中，结合（直角三角形两锐角互余），得、；由旋转性质知，在中用勾股定理求出，进而得；最后由，算出． 【详解】解：在中， ∵， ∴，； 过点C作于H，在中，， ∴，； 由旋转性质，得，在中， ， ∴， ∴． 故答案为：6． 14．如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了七巧板问题，正方形的判定和性质，三角函数． 在图1中连接，证明四边形是正方形，得到，，在图2中可得，，根据三角函数计算即可． 【详解】解：如图1，连接， 由七巧板可知，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴，， 如图2，连接、，则， ∴， 由七巧板可知，， 则， ∴． 故答案为：． 15．如图，四边形是正方形，点O为对角线的中点，点E为射线上一点，连接，将绕点O顺时针方向旋转，得到交于点M．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】作于点，证明，求出的长，进而求出的长，解直角三角形求出，同角的余角得到，设，则，勾股定理求出的值，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：作于点， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∵将绕点O顺时针方向旋转， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得，解得（负值舍去）； ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题的关键． 16．如图，四边形，，，，，，动点从点开始沿的方向向点匀速运动，运动速度为，动点从点开始沿的方向向点匀速运动，运动速度为．点和点同时出发． （1）当时，的值为 ； （2）当时，的值为 ； 【答案】 【分析】本题考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质、动点问题中的平行与垂直关系，解题的关键是通过作辅助线求出AD的长度，利用相似三角形的比例关系建立方程求解的值． （1） 先求AD长度，当时，利用的相似比列方程； （2） 作构造，利用与互余的正切关系列方程． 【详解】（1）解：过作于， ∵，， ∴四边形DEBC是矩形，， ∵， ∴， ∴. 当时，， ∴， 即，解得． 故答案为：． （2） 解：过作于， ∵，， ∴， ∴， 其中， 即， ∵， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∴ 在中，， 即， 化简得， 解得， 故答案为：. 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算；将特殊锐角的三角函数值代入、计算零指数幂、化简二次根式，再进一步计算即可． 【详解】解：原式， ， ． 18．（8分）如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某初三学生为了测量该主塔的高度，站在处看塔顶，仰角为，然后向后走160米（米），到达处，此时看塔顶，仰角为，求该主塔的高度． 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用–仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点A作，垂足为D，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵是的一个外角，，， ∴， ∵， ∴米， 在中，（米）， ∴该主塔的高度是米． 19．（8分）日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线上，为等边三角形，，与分别交于，两点，点，是上两点，，过作于点，交于点，交于点．已知，，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用垂径定理求值、求其他不规则图形的面积、三角函数等知识点，掌握相关结论是解题关键； （1）连接，推出，得，即可求解； （2）由（1）可知：,推出，根据为等边三角形，求出，，结合，即可求解； 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可知：, ∵． ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积 20．（8分）如图，已知中，，是斜边上的中线，过点A作，分别与，相交于点H，E，． (1)求证：； (2)求的值； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）证明，可得结论； （2）求出可得结论． 【详解】（1）证明：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 由勾股定理得， ∴， ∴． 21．（8分）如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作的垂线交射线于点M，当点M不和点B重合时，作点M关于的对称点N．设点P的运动时间为t秒． (1) ； (2)求的长；（用含t的代数式表示） (3)取的中点Q，连结、，当点M在边上，且时，求的长． 【答案】(1) (2)当时，，当时， (3) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解一元一次方程等知识，熟练掌握其性质并能灵活运用参数构建方程是解决此题的关键． 先解求出，再利用勾股定理求解即可； 如图，过点B作交于点D，分两种情形：当时，当时，分别求解即可； 由平行线分线段成比例定理证明，由此构建方程，可得结论． 【详解】（1）解：在中，， ∵ ∴, ， 故答案为：； （2）解：如图，过点B作交于点D， ，，，， ， ， ∵点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动， ∴点从点出发运动到点的时间，到达点用时， ∵， ， 当时，， 当时，； （3）解：如图，此时， 当时,， , , ,解得, 此时． 22．（10分）【问题情境】如图1，在中，，，垂足为，我们可以得到如下正确结论：①；②；③，这些结论是由古希腊著名数学家欧几里德在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”． （1）请证明“射影定理”中的结论②． 【结论运用】 （2）如图2，等腰直角的腰长为，点是斜边的中点，点在上，连接，过点作，垂足为，连接． ①求证：． ②若，求的长． （）如图，在中，已知，过点作，交于点，此时，若，请直接写出的值．（用含的代数式表示） 【答案】（1）见解析（2）①证明见解析；②（3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正切的定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． （1）证明，从而得出； （2）①由射影定理得，进而证得； ②根据勾股定理得出和的长，进而得出的长，根据得出，进而得出结果； （3）作于，作于，可证得，设，从而得出、、，可推出，根据面积法表示出，设，，从而表示出，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ； ①证明：，是的中点， ， ，， 由射影定理得：， ， ， ； ②解：，，， ， 是的中点， ， 由①得：， ， ； （3）如图， 作于，作于， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， 由射影定理得，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 23．（10分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个任务的画线不得超过四条． (1)在图1中，点P在上，将线段沿方向平移，使点B与C重合，画出平移后的线段；再在上画点E，使； (2)在图2中，设，将绕点A逆时针旋转，得到线段，画出线段． (3)在图3中，点P在格线上，在上画点Q，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平移的性质即可作出，取格点，连接并延长交即为点，由得到，而，再由对顶角相等即可证明，故； （2）取格点，连接交于点，连接，则即为所求；可得，则，那么，记交于，则，故，可得，则，然后根据互余关系可得，则由得到，故关于对称，故，则； （3）连接与格线交于点，取格点，连接并延长，与格线交于点，连接并延长与交点即为点；由得到，则，同理，则，那么可证明，再可得，则得到对应角相等，继而由互余关系可证明，那么． 【详解】（1）解：如图：线段以及点即为所求； （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：如图，点即为所求： 【点睛】本题考查了使用无刻度直尺作图，难度较大，涉及全等三角形的判定与性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，轴对称的性质等知识点． 24．（12分）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，，是等边三角形，点C在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1) ， (2)①，其中t的取值范围是：；② 【分析】（1）解直角三角形可得，，从而可得B、C坐标； （2）①由平移的性质可得， ，．利用三角函数表示出和和的面积，根据即可求重叠部分的面积； ②通过构造平行四边形转移边和轴对称化折为直，将折线段拼接起来后，利用两点之间线段最短求最值． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵为等边三角形，作轴于点D，如图①所示， 则，，， ∴， 故B的坐标为，的坐标为， 故作案为：，； （2）解：①由平移的性质可得，， ∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， 在中，，则，，， ∴， 在中，，， ∵， ∴，， 所以 ， 当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形，当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形， ∴t的取值范围是：； ②如图所示，连接和， 以和为邻边构造平行四边形，，设， ∴，，， 解得，， ∴， 由（1）得，点O关于直线的对称点为点， 故，当三点共线时，值最小，连接即为的最小值， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴的坐标为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，一次函数与坐标轴的交点，一次函数与几何图形面积的计算，解直角三角形的计算，平行四边形的性质，中点坐标的计算，待定系数法求一次函数解析式，最短路径的计算等知识的综合，掌握一次函数与几何图形的综合运用，合理作出辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $