第1章 解直角三角形（单元测试·基础卷）数学浙教版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第一章 解直角三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，则（   ） A． B． C． D． 3．若，则“□”表示的数是（） A．1 B． C． D． 4．计算的结果是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点A，再以点A为圆心，长为半径画弧，两弧交于点B，画射线，则的值为（    ）． A． B． C． D． 6．春秋时期，鲁班来到楚国为楚王制作了攻城用的云梯，如图所示，云梯与水平面的夹角为，若楚国欲攻打宋国，已知宋国城墙高为10丈，则云梯梯身长约为（   ） A．丈 B．丈 C．丈 D．丈 7．在中，，那么下列锐角三角比中，正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如果是锐角，且，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 9．如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，都在这些小正方形的格点上，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 10．如图，在中，延长斜边到点D，使，连接．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算： ． 12．若为锐角，，则 ． 13．沿一斜坡向上走3米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度 ． 14．如图，在中，，是高．若，则 = ． 15．在中，若，则 ． 16．如图，将矩形对折使与重合，得到折痕，再次折叠，使点落在折痕上，并使折痕经过点，得到折痕和线段，记与的交点为．若，则 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）计算：； 18．（8分）图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 19．（8分）如图，在中，于点，，，，求： (1)的长； (2)的值． 20．（8分）汾河是黄河的第二大支流，自北向南，纵贯山西，被山西人称为母亲河，对山西省的历史文化有着深远的影响．某项目学习小组的同学想要测量某段汾河的宽度，他们设计了如下测量方案：如图，在该段汾河的对岸岸边任取一点，再在河的这边取两点，在点处测得与河岸的夹角为，在点处测得与河岸的夹角为两点间的距离为． (1)求该段汾河的宽度（即中边上的高）；（结果精确到；参考数据：） (2)请再设计一种测量该段汾河宽度的方案．（要求：画出测量示意图，并简要说明测量方案及测量数据） 21．（8分）图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 22．（10分）如图1、图2均为的方格纸（每个小正方形的边长均为），在方格纸中各有一条线段，其中点、均在小正方形的顶点上，请按要求画图； (1)在图1中画一个直角，使得，点在小正方形的顶点上； (2)如图2中画一个平行四边形，使得平行四边形的面积为图1中面积的倍，点、在小正方形的顶点上； (3)图2中连接，直接写出的长度． 23．（10分）如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点的仰角为，且点与建筑物的水平距离为米． (1)求建筑物的高度； (2)驾驶员从点看地面的斑马线两端，的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算． 求出斑马线的宽度． 求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数． （参考数据：取，取，取）． 24．（12分）在中，，． 【知识学习】 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【探索发现】 （1）如图1，分别过、两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为、，若点恰好是线段的中点，求的值； 【类比迁移】 （2）如图2，是边延长线上一点，，请依据所学模型，求的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第一章解直角三角形基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 > 8 10 B B A C D A C B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.0 12.60°/60度 13.√2：4 14.6 15.750 16.4 三、解答题（共8小题，共72分）》 17.(8分) 【详解】解： -√27+2c0s30°-（π-2025）° =4-35+2x5-1 =4-3V5+√5-1 =3-25.(8分) 18.(8分) 【详解】解：如图，过点B作BH⊥MN,垂足为点H,分别过点C、A作直线BH的垂线CE、AG,垂 足分别为点E、G,则LEHD=LCEH=LCEB=LAGB=90°， CD⊥MN, ∴.∠CDH=90°， .CDHE是矩形， :EH=CD=6cm,∠DCE=90°， .∠BCD=150°， ∴.∠BCE=∠BCD-∠DCE=150°-90°=60°， 1/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G B MN D .LCBE=90°-∠BCE=90°-60°=30°， 在Rt△BCE中，∠BCE=60°， BE=BCsin∠BCE=20sin60°=10W3(cml, ,∠ABC=106°， ∠ABG=180°-∠CBE-∠ABC=180°-30°-106°=44°， 在Rt△ABG中，∠ABG=44°， :BG=AB cos∠ABG=25cos44°≈25×0.72=18.0cm), h=BG+BE+EH=1.0+10W3+6≈18.0+17.3+6≈41cm), 答：台灯的旋钮A到桌面MN的距离约为4lcm·(8分) 19.(8分) 【详解】(1)解：，CD⊥AB,tanA=2,CD=6, ∴.tanA CD=2, AD 63 .AD AB=11, ∴.BD=AB-AD=11-3=8;(4分) (2)解：CD=6,BD=8,CD⊥AB, .BC=CD2+BD2=V62+82=10, :'.sin B=CD-63 (8分) BC105 20.(8分) 【详解】(1)解：如图，过点A作AD⊥BC的延长线于点D, 2/7 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 B 设AD=xm, 由图可知，∠ABD=20°， 在Rt△ABD中， :∠ABD=20°，AD=xm ..BD=-x tan20°0.36 在Rt△ACD中， ,∠β=45°， ∴.AD=CD=xm, .'BC+CD BD, .300+x= 0.36 .x≈168.5m ∴.AD=CD=x≈168.5m, ∴.河的宽度约为168.5m: (2)如图2，过河对岸点A作AB⊥BC,在河这边任选一点C,作CE⊥BC, 图2 测量CE,CD,BD的长度，通过相似可得河宽AB的长度， 21.(8分) 【详解】(I)解：过点B作BF∥CD, CE D --------.F 3/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BCD+∠CBF=180°， ∠ABC=35°， .∠CBF=90°-35°=55°， .∴.∠BCD=180°-55°=125° 故答案为：125.(4分) (2)解：①当靠背AB可以绕点B旋转至与小桌板支架CB重合的位置， 由(1)知∠BCD=125°， .LACD=180°-∠BCD=55°， 故答案为：55.(6分) ②如图，过点E作CD的垂线交AB于点F, IA F C /B 在Rt△CEF中， tan∠FcE=EE CE .EF=CE tan∠FCE=10×tan55°≈10×l.43=14.3cm), 14.3+0.7=15cm. 答：乘客水杯的最大高度约为15cm.(8分) 22.(10分) 【详解】(1)解：如图所示，an∠B1C=2' B 故RtAABC即为所求；(3分) (2)解：如图所示，平行四边形ABEF的面积为图1中ABC面积的4倍， 4/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A 故平行四边形ABEF即为所求；(6分) (3)解：如上图，连接AE, AE=V62+42=23.(10分) 23.(10分) 【详解】(I)解：如图，过P作PD⊥MN于点D, M 建筑物 D53 D CB AN地面 ∴.四边形PCND是矩形， ∴.PC=DN=2米，PD=CN=20米， 在RtAPDM中，∠MPD=53°， MD=PDtan53°≈20×4≈80 33 (米)， MN=MD+DN=80+2=86 3 (米)， 答：建筑物MN的高度为86米，(4分) (2)解：①.∠PBC=76°， ∴BC= PC 21 =an76°*42 (米)， :∠PAC=20°， AC=PC82-50 tan20°0.369 (米)， 六AB=AC-BC=50-!-9(米)，(7分) 9218 ②AB=9!米， 18 0.5=10g' 、91 1 :8 5/7 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 答：行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数为10人.(10分) 24.(12分) 【详解】解：(1)如图1. C AM L MN,CN L MN, M B 图1 :∠M=∠=90°， .∠MAB+∠ABM=90°， :∠ABC=90°， :∠NBC+∠ABM=90°， ∴.∠MAB=∠NBC, :△AMB∽△BNC, BN BC AM AB BC 1 ,tan∠BAC= AB2 :点B是线段MN的中点， :BM =BN RtA4MB中，tan∠BAM三==号；C6分) (2)如图2，过点C作CD⊥AC交AP于点D,过点D作DE⊥BP于点E. D :tan∠BAC=2 1 E 图2 BC 1 AB2 :AB =2BC :∠APB=∠BAC, 6/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :tan∠APB=2' 1 AB 1 BP=2 :BP 2AB, 设BC=x,则AB=2x,BP=4x, .CP=BP-BC =4x-x=3x. 同理(1)中，可得LBAC=∠ECD, ∠APB=∠ECD. :DE⊥BP, :.CE-EP-1CP-3x. 3 2 2 同理(1)中，可得△ABC∽△CED, 3 CDCE23, AC AB 2x 4 在R△4CD中，an∠PAC=CD=3.(12分) 7/7………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第一章 解直角三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，则（   ） A． B． C． D． 3．若，则“□”表示的数是（） A．1 B． C． D． 4．计算的结果是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点A，再以点A为圆心，长为半径画弧，两弧交于点B，画射线，则的值为（    ）． A． B． C． D． 6．春秋时期，鲁班来到楚国为楚王制作了攻城用的云梯，如图所示，云梯与水平面的夹角为，若楚国欲攻打宋国，已知宋国城墙高为10丈，则云梯梯身长约为（   ） A．丈 B．丈 C．丈 D．丈 7．在中，，那么下列锐角三角比中，正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如果是锐角，且，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 9．如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，都在这些小正方形的格点上，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 10．如图，在中，延长斜边到点D，使，连接．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算： ． 12．若为锐角，，则 ． 13．沿一斜坡向上走3米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度 ． 14．如图，在中，，是高．若，则 = ． 15．在中，若，则 ． 16．如图，将矩形对折使与重合，得到折痕，再次折叠，使点落在折痕上，并使折痕经过点，得到折痕和线段，记与的交点为．若，则 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）计算：； 18．（8分）图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 19．（8分）如图，在中，于点，，，，求： (1)的长； (2)的值． 20．（8分）汾河是黄河的第二大支流，自北向南，纵贯山西，被山西人称为母亲河，对山西省的历史文化有着深远的影响．某项目学习小组的同学想要测量某段汾河的宽度，他们设计了如下测量方案：如图，在该段汾河的对岸岸边任取一点，再在河的这边取两点，在点处测得与河岸的夹角为，在点处测得与河岸的夹角为两点间的距离为． (1)求该段汾河的宽度（即中边上的高）；（结果精确到；参考数据：） (2)请再设计一种测量该段汾河宽度的方案．（要求：画出测量示意图，并简要说明测量方案及测量数据） 21．（8分）图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 22．（10分）如图1、图2均为的方格纸（每个小正方形的边长均为），在方格纸中各有一条线段，其中点、均在小正方形的顶点上，请按要求画图； (1)在图1中画一个直角，使得，点在小正方形的顶点上； (2)如图2中画一个平行四边形，使得平行四边形的面积为图1中面积的倍，点、在小正方形的顶点上； (3)图2中连接，直接写出的长度． 23．（10分）如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点的仰角为，且点与建筑物的水平距离为米． (1)求建筑物的高度； (2)驾驶员从点看地面的斑马线两端，的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算． 求出斑马线的宽度． 求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数． （参考数据：取，取，取）． 24．（12分）在中，，． 【知识学习】 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【探索发现】 （1）如图1，分别过、两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为、，若点恰好是线段的中点，求的值； 【类比迁移】 （2）如图2，是边延长线上一点，，请依据所学模型，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第一章 解直角三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值，进行求解即可． 【详解】解：； 故选B． 2．如图，在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的相关运算，根据相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、在中，，故该选项不符合题意； B、在中，，故该选项符合题意； C、在中，，故该选项不符合题意； D、在中，，故该选项不符合题意； 故选：B 3．若，则“□”表示的数是（） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，掌握知识点是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值，的值为，直接与给定等式比较即可得出答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 故选：A． 4．计算的结果是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．将特殊角的三角函数值代入求解即可． 【详解】解： ． 故选：C． 5．如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点A，再以点A为圆心，长为半径画弧，两弧交于点B，画射线，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求角的正切值，等边三角形的性质与判定，线段的尺规作图，根据作图方法可得，则可证明是等边三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由作图方法可知， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 6．春秋时期，鲁班来到楚国为楚王制作了攻城用的云梯，如图所示，云梯与水平面的夹角为，若楚国欲攻打宋国，已知宋国城墙高为10丈，则云梯梯身长约为（   ） A．丈 B．丈 C．丈 D．丈 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，明确题意，理解正弦的定义是解答本题的关键． 根据正弦的定义即可直接作答． 【详解】解：，高为10丈， ， ， 故选：A． 7．在中，，那么下列锐角三角比中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．先运用勾股定理求得第三边的长，再根据锐角三角函数的定义分别进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， A．，故此选项错误；     B．，故此选项错误；     C．，故此选项正确； D．，故此选项错误．     故选：C． 8．如果是锐角，且，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形；如图，中，，，设，则，根据勾股定理可得，进而根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：如图，在，，，则 ∵ 设，则 ∴ ∴ 故选：C． 9．如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，都在这些小正方形的格点上，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数，首先利用勾股定理求出三角形三边的长度，并利用勾股定理的逆定理判断其为直角三角形，最后根据正切的定义即可求得答案． 【详解】解：由图可知，，， ， ， ， 故选：C． 10．如图，在中，延长斜边到点D，使，连接．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握三角函数的定义． 如图，过点作交于点．设，则，求出可得结论． 【详解】解：如图，过点作交于点． 设，则， ，， ， ， ， ∴， ， ， 故选：B． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算： ． 【答案】0 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算．先计算的值，然后进行乘法和减法运算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：0． 12．若为锐角，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据角的余弦值是解答即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 13．沿一斜坡向上走3米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度 ． 【答案】 【分析】本题考查了求坡度． 根据坡度的定义，坡度是铅垂高度与水平距离的比，即． 设沿一斜坡向上走3米，水平距离为米，利用勾股定理可求水平距离，再计算坡度． 【详解】解：设沿一斜坡向上走3米，水平距离为米，根据勾股定理： （米） 坡度， 故答案为：． 14．如图，在中，，是高．若，则 = ． 【答案】6 【分析】本题考查了解直角三角形的计算，掌握锐角三角函数值的计算是关键． 根据锐角三角函数的计算得到，则，，由此即可求解． 【详解】解：在中，，是高， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6 ． 15．在中，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，特殊角的三角函数值，三角形内角和性质．根据绝对值的非负数的性质，得，再根据特殊角三角函数值确定和，最后利用三角形内角和定理求，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 则， ∴， 故答案为：． 16．如图，将矩形对折使与重合，得到折痕，再次折叠，使点落在折痕上，并使折痕经过点，得到折痕和线段，记与的交点为．若，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、解直角三角形等知识点，掌握解直角三角形成为解题的关键． 由折叠的性质可得：，在根据特殊角的三角函数值可得，进而得到、，再解直角三角形得到，，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为4． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了含特殊角的锐角三角函数的实数混合运算，解题的关键是熟练掌握以上的运算法则．先根据负整数指数幂、特殊角的锐角三角函数、零指数幂、算术平方根化简，再进行计算即可． 【详解】解： ． 18．（8分）图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 【答案】 【分析】过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，可得是矩形，即得，，得到，，，再分别解、，求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，则， ∵， ∴， ∴是矩形， ，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∵， ， 在中，， ， ， 答：台灯的旋钮到桌面的距离约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，解题关键是通过作垂直构造直角三角形求解． 19．（8分）如图，在中，于点，，，，求： (1)的长； (2)的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据题意可知，先求得，然后由，即可解答； （2）先用勾股定理求得，然后由直接计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴． 20．（8分）汾河是黄河的第二大支流，自北向南，纵贯山西，被山西人称为母亲河，对山西省的历史文化有着深远的影响．某项目学习小组的同学想要测量某段汾河的宽度，他们设计了如下测量方案：如图，在该段汾河的对岸岸边任取一点，再在河的这边取两点，在点处测得与河岸的夹角为，在点处测得与河岸的夹角为两点间的距离为． (1)求该段汾河的宽度（即中边上的高）；（结果精确到；参考数据：） (2)请再设计一种测量该段汾河宽度的方案．（要求：画出测量示意图，并简要说明测量方案及测量数据） 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）过点A作的延长线于点D，设,则，根据，即可列出方程； （2）过河对岸点A作，在河这边任选一点C，作，测量，，的长度，通过相似可得河宽的长度． 本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：如图，过点A作的延长线于点D， 设, 由图可知，， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴ ∴, ∴河的宽度约为； （2）如图2，过河对岸点A作，在河这边任选一点C，作， 测量，，的长度，通过相似可得河宽的长度． 21．（8分）图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识． （1）过点作，由平行线的性质得出，由已知条件得出，进而可求出． （2）①根据题意可知代入计算即可． ②过点作的垂线交于点F，通过解，求出，再加上即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． （2）解：①当靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置， 由（1）知， ∴， 故答案为：． ②如图，过点作的垂线交于点F， 在中， ． 答：乘客水杯的最大高度约为． 22．（10分）如图1、图2均为的方格纸（每个小正方形的边长均为），在方格纸中各有一条线段，其中点、均在小正方形的顶点上，请按要求画图； (1)在图1中画一个直角，使得，点在小正方形的顶点上； (2)如图2中画一个平行四边形，使得平行四边形的面积为图1中面积的倍，点、在小正方形的顶点上； (3)图2中连接，直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据中，进行作图即可； （2）根据图1中面积为4，可得平行四边形的面积为16，据此作图即可； （3）利用图象法及勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：如图所示，， 故即为所求； （2）解：如图所示，平行四边形的面积为图1中面积的4倍， 故平行四边形即为所求； （3）解：如上图，连接， ． 23．（10分）如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点的仰角为，且点与建筑物的水平距离为米． (1)求建筑物的高度； (2)驾驶员从点看地面的斑马线两端，的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算． 求出斑马线的宽度． 求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数． （参考数据：取，取，取）． 【答案】(1)建筑物的高度为米； (2)米；行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数为人． 【分析】本题主要考查解直角三角形——仰角俯角问题，矩形的判定与性质，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键． （1）过作于点，则有四边形是矩形，所以米，米，求出（米），然后通过线段和差即可求解； （2）①分别求出（米），（米），然后通过线段和差即可求解； ②利用即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作于点， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：建筑物的高度为米； （2）解：∵， ∴（米）， ∵， ∴（米）， ∴（米）； ∵米， ∴， 答：行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数为人． 24．（12分）在中，，． 【知识学习】 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【探索发现】 （1）如图1，分别过、两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为、，若点恰好是线段的中点，求的值； 【类比迁移】 （2）如图2，是边延长线上一点，，请依据所学模型，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，线段中点的定义，锐角三角函数的定义． （1）先证明，根据相似三角形对应边成比例得出，然后在中，利用正切函数的定义即可求解； （2）过点作交于点，过点作于点．根据正切函数的定义得出，那么可设，则，．同理（1）中，，根据相似三角形对应边成比例得出，然后在中，利用正切函数的定义即可求解． 【详解】解：（1）如图1． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 点是线段的中点， ， 在中，； （2）如图2，过点作交于点，过点作于点． ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ． 同理（1）中，可得， ． ， ， 同理（1）中，可得， ， 在中，． 学科网（北京）股份有限公司2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $