第3章 三视图与表面展开图（复习讲义）数学浙教版九年级下册

第3章 三视图与表面展开图（复习讲义） 一、基础目标 1. 能复述三视图的定义及基本概念：明确主视图、俯视图、左视图的观察方向（从正面、上面、左面看），能说出三视图中“长对正、高平齐、宽相等”的对应关系。 2. 会识别简单几何体（如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球）的三视图：能直接画出或选择给定几何体（单个或2个相同几何体的简单组合，如2个正方体叠放）的主视图、俯视图、左视图。 3. 能根据三视图判断几何体的形状：已知由正方体搭成的简单组合体（不超过3层、5个小正方体）的三视图，能描述或画出原几何体的结构。 4. 会识别常见几何体的表面展开图：能从给定图形中辨认正方体（11种展开图）、圆柱、圆锥的表面展开图，说出展开图中平面图形的构成（如圆柱展开图由2个圆和1个长方形组成）。 二、进阶目标 1. 理解并应用三视图解决简单计算问题：根据几何体（如长方体、圆柱）的三视图及尺寸标注，能计算几何体的棱长、表面积或体积（如已知长方体三视图的长、宽、高，求体积）。 2. 会推导组合体三视图的画法规则：能画出由正方体、圆柱、圆锥等2-3个基本几何体组合而成的简单组合体（如“圆柱+圆锥”“正方体+长方体”）的三视图，注意遮挡部分用虚线表示。 3. 能根据表面展开图计算几何体的相关量：已知正方体表面展开图中相对面的标记，能判断指定面的相对面；已知圆柱或圆锥展开图中扇形半径、弧长与底面圆半径的关系，计算母线长或底面半径（如已知圆锥侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥底面半径）。 4. 理解并应用“三视图与实物对应”的逆向思维：已知由小正方体组成的组合体的主视图和俯视图，能确定搭成该几何体所需小正方体的最多或最少个数。 三、拓展目标 1. 会综合运用三视图与表面展开图解决实际问题：结合生活中的不规则几何体（如“蒙古包”“粮仓”的近似模型），能画出其三视图并计算表面积（含底面积）或用料面积（如计算圆柱与圆锥组合体的外部涂漆面积）。 2. 能推导复杂展开图中的最值问题：在正方体表面展开图中，能计算两点之间沿表面爬行的最短路径长度（利用“化曲为直”思想，将展开图中两点连线，用勾股定理求解）。 3. 理解并应用三视图的投影原理：能解释“斜二测画法”与三视图在空间图形表示上的区别，初步体会正投影的性质（如平行投影中，平行线的投影仍平行）。 4. 能解决与三视图相关的动态问题：已知几何体（如正方体）的三视图，判断其在平面上滚动或旋转后新的三视图形状，或根据运动轨迹分析三视图的变化规律（如圆柱绕轴旋转一周后的三视图特征）。 分类 具体内容 完整分析 常见结论 主视图、俯视图、左视图分别从物体的正面、上面、左面观察得到，三者共同反映物体的形状和大小 主视图能体现物体的长和高，俯视图能体现物体的长和宽，左视图能体现物体的宽和高。通过这三个视图的组合，可以较为全面地了解一个立体图形的空间结构，是进行立体图形与平面图形转化的重要依据 三视图中，主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，俯视图与左视图的宽相等 这“长对正、高平齐、宽相等”是三视图绘制和阅读的基本规律。长对正意味着主视图和俯视图在水平方向上的长度尺寸是一致的；高平齐表示主视图和左视图在垂直方向上的高度尺寸相同；宽相等则说明俯视图和左视图在宽度方向上的尺寸相等，通常需要通过绘制辅助线（如45°斜线）来确保宽相等的准确性 正方体的三视图都是正方形；球体的三视图都是圆 正方体的六个面都是大小相同的正方形，无论从正面、上面还是左面观察，看到的都是正方形。球体是一个完全对称的几何体，任意方向观察到的平面图形都是半径相等的圆 圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆；圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆 圆柱由两个底面（圆）和一个侧面（曲面）组成，从正面和左面看，看到的是圆柱的轴截面，即矩形，其一边为圆柱的高，另一边为底面圆的直径；从上面看就是底面圆。圆锥由一个底面（圆）和一个侧面（曲面）组成，从正面和左面看，看到的是圆锥的轴截面，即等腰三角形，其底边为底面圆的直径，腰长为圆锥的母线长；从上面看是底面圆，由于圆锥的顶点在俯视图的中心，所以要画出圆心 简单组合体的三视图是组成它的各个基本几何体三视图的组合 在画简单组合体的三视图时，需要先分析组合体是由哪些基本几何体（如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等）组合而成的，以及它们之间的位置关系（如叠加、挖去等）。然后分别画出每个基本几何体的三视图，再根据它们的位置关系进行组合，注意视图中可见轮廓线用实线表示，不可见轮廓线用虚线表示 易错点 忽略三视图中的虚实线 在画三视图时，对于物体上被遮挡、看不见的轮廓线，应该用虚线表示，但很多学生容易遗漏虚线，导致三视图不能准确反映物体的形状。例如，一个正方体挖去一个小正方体后，从某个方向看，如果小正方体的轮廓被大正方体遮挡，那么在对应的视图中应该画出虚线来表示被遮挡部分的轮廓 对“长对正、高平齐、宽相等”的理解和应用错误 部分学生虽然知道这一规律，但在实际绘制或判断三视图时，容易出现长、宽、高对应不准确的情况。比如，在画俯视图和左视图的宽相等时，没有正确利用45°辅助线，导致宽度尺寸不一致；或者主视图和俯视图的长没有对齐，主视图和左视图的高没有平齐 由三视图还原立体图形时，空间想象能力不足，导致还原错误 根据三视图还原立体图形是一个难点，学生容易受到单个视图的影响，而忽略三个视图之间的联系。例如，给出一个物体的三视图都是矩形，学生可能会错误地认为是正方体，而实际上也可能是长方体 混淆圆柱和圆锥的三视图 圆柱和圆锥的俯视图都是圆，但圆柱的主视图和左视图是矩形，圆锥的是等腰三角形，部分学生容易将两者的主视图和左视图混淆。另外，圆锥俯视图中的圆心容易被遗忘不画 计算由三视图得到的立体图形的表面积或体积时，漏算或多算面 在根据三视图计算立体图形的表面积或体积时，学生需要先准确还原出立体图形，然后分析其表面组成。如果是组合体，要注意几何体之间是否有重叠部分，重叠部分的面积在计算表面积时需要减去（如果是两个几何体叠加，重叠的两个面不再是表面积的一部分）；计算体积时则是各部分体积之和（如果是挖去，则是大体积减去小体积）。学生容易出现漏算某个面或者没有减去重叠部分面积的错误 画组合体三视图时，各部分之间的位置关系表达错误 在画组合体的三视图时，需要准确体现各个基本几何体之间的相对位置。例如，一个圆柱放在一个长方体的上面，且圆柱的底面圆心与长方体上底面的中心重合，在俯视图中，圆应该画在矩形的中心位置，如果位置画偏，就会导致三视图不能正确反映组合体的结构 对“视图”概念理解偏差，误将看到的实物轮廓直接画成视图 视图是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的图形，它不是人眼直接看到的“视觉图形”，而是严格按照正投影的规则得到的。例如，看一个正方体，从某个角度可能会因为透视关系感觉它的面是平行四边形，但在三视图中，正方体的各个面的投影都是正方形 题型一 平行、中心、正投影 【例1】“明月团团高树影”出自宋代辛弃疾的《清平乐 ·谢叔良惠木犀》，释义为：团团明月投下了桂树的身影．在下列四幅图中，表示两棵桂树在同一时刻月光下影子图形的可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行投影，根据平行投影的特点解答即可，熟练掌握平行投影的特点是解此题的关键． 【详解】解：A．影子的方向不同，故本选项错误，不符合题意； B．影子的方向不同，故本选项错误，不符合题意； C．相同树高与影子是成正比的，而较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误，不符合题意； D．影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】如图①、图②所示，这两个图形的正投影分别是 ． 【答案】圆、矩形 【分析】本题考查了正投影的定义，解题的关键是掌握正投影的定义． 根据正投影的定义，确定圆锥和圆柱在平行光线下垂直投影的形状即可． 【详解】解： 因为圆锥的底面是圆，从顶点向底面作正投影， 得到的是圆，所以圆锥在平行光线的正投影下，其投影形状为圆； 因为圆柱的侧面展开图是矩形，从侧面作正投影，得到的是矩形，所以圆柱在平行光线的正投影下，其投影形状为矩形； 故答案为：圆、矩形． 【变式1-2】如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ (3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒； 【答案】(1)9.6米 (2)米 (3)①米；② 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，列代数式，一次函数中的实际意义，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由证，用相似比求高度； （2）由证，代入求长度； （3）①用相似比表示出、，相加得的表达式； ②计算的表达式，计算1秒内移动的距离即为在地面上移动的速度． 【详解】（1）解：由题意，可知， 米， 米， 米， ，， ， ∴，， ， ， ， ， 答：路灯的高度为米； （2）解：， 米， ∵米，米， ∴米，米， ， ， ∴，， ， ， ， ， ， 答：的长是米； （3）解：①由（1）（2）得，， 当运动秒后，米，则米， 设米，米， ， 解得：； ， 解得； 米， 故答案为：米； ②由题意可知：影子的顶端在地面上移动的距离是， 米， 当秒时， 米， 当秒时， 米， ∴1秒时间内移动的距离为： 米， 影子的顶端在地面上移动的速度是米秒． 故答案为：． 题型二 视点、视角和盲区 【例2】“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（    ） A．增大盲区 B．减少盲区 C．改变光点 D．增加亮度 【答案】B 【分析】根据站的越高，人的视角就越大，对于圆形地球可视面就越大，盲区越小进行判断即可． 【详解】解∶选项A，站的越高，人的视角就越大，不是增大盲区，错误； 选项B，减少盲区，正确； 选项C，不可能改变光点，错误； 选项D，不是增加亮度，选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了盲区的相关知识，正确理解盲区的概念是解决本题的关键，盲区是指视野盲区，视野盲区就是指人的视线达不到的地方，站得高可以减少盲区． 【变式2-1】电影院的座位排列时，后一排总比前一排高，并且每一横排呈圆弧形，这是为了 ． 【答案】增加视野，后面的观众看清屏幕，保证同一排上的人看屏幕的视角相等 【分析】从减小盲区角度可理解后一排总比前一排高，从满足有相同的视角可理解每一横排呈圆弧形． 【详解】电影院的座位排列时，后一排总比前一排高是为了增加视野，后面的观众看清屏幕，每一横排呈圆弧形是利用圆周角相等，保证同一排上的人看屏幕的视角相等． 故答案为增加视野，后面的观众看清屏幕，保证同一排上的人看屏幕的视角相等． 【点睛】本题考查了视点、视角和盲区：把观察者所处的位置定为一点，叫视点；人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角．视线到达不了的区域为盲区． 【变式2-2】如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区． （1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？ （2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见详解 【分析】（1）分别求出荣誉室面积和盲区面积，再利用概率公式，即可求解； （2）根据对称性，把摄像头安装线段上，计算出监控盲区的面积最小，即可得到结论． 【详解】解：（1）设小正方形的边长为1， ∴荣誉室面积=2×2+2×2+2×6=20，盲区面积=2×2-×2×1=3， ∴站在监控盲区的概率=3÷20=； （2）如图所示：根据对称性，摄像头安装在线段上时，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=2××1×2=2， 若摄像头不安装在线段PQ上，则监控盲区面积=×(CM+2)×2＞2． 【点睛】本题主要考查几何概率，掌握概率公式和方格纸的面积的计算，是解题的关键． 题型三 判断几何体中的三视图 【例3】如图所示，几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三视图．根据几何体，俯视图为矩形中间有一条实线，找出对应选项即可． 【详解】解：由几何体可知，俯视图为矩形中间有一条实线， 只有选项B符合题意， 故选：B． 【变式3-1】如图所示的是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中，完全相同的是 视图和 视图． 【答案】 主 左 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图中左视图、主视图的定义解题即可． 【详解】解：主视图：从正面观察，有两层，底层两个小正方形，上层左边一个小正方形； 左视图：从左面观察，有两层，底层两个小正方形，上层左边一个小正方形； 俯视图：从上面观察，有两行，第一行两个小正方形，第二行左边一个小正方形． 故答案为：①主②左． 【变式3-2】下图是一个机器零件的毛坯，请将这个机器零件的三视图补充完整． 【答案】图形见解析． 【分析】根据三视图的定义补全视图即可． 【详解】解：如图所示． 【点睛】此题主要考查了画几何体的三视图，注意三视图中实线与虚线的区别是解题的关键． 题型四 已知一种或两种三视图判断其它视图 【例4】如图是几个小立方块所搭的几何体俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据三视图还原几何体． 根据俯视图得出小立方块的行列分布，再根据数字即可得出主视图． 【详解】由俯视图可知，几何体有三列，第一列只有第一行有一个，第二列有二行，每行均有二个，第三列只有第二行有一个， 即这个几何体的主视图是， 故选：D． 【变式4-1】几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为 ． 【答案】4 【分析】根据该几何体的俯视图以及该位置小正方形的个数，可以画出左视图，从而求出左视图的面积； 【详解】解：由俯视图以及该位置小正方体的个数，左视图共有两列，第一列两个小正方形，第二列两个小正方形，可以画出左视图如图， 所以这个几何体的左视图的面积为4． 故答案为4 【点睛】本题考查了物体的三视图，解题的关键是根据俯视图，以及该位置小正方体的个数，正确作出左视图． 【变式4-2】一个几何体由大小相同的小立方块搭成，这个几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．（为便于观察，把需要的小方格涂上阴影，示例：）．    【答案】见解析 【分析】主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，4，2，左视图有2列，每列小正方数形数目分别为4，2，据此可画出图形． 【详解】解：如图所示：   ． 【点睛】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． 题型五 由三视图还原几何体 【例5】从三个方向看一个几何体得到的平面图形如图所示，则这个几何体摆放的位置是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，解决本题的关键是熟练掌握几何体的三视图；根据三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个视图确定其具体形状． 【详解】解：由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是三角形可判断出此几何体为三棱柱． ∵主视图和左视图都是长方形， ∴此几何体为柱体， ∵俯视图是一个三角形， ∴此几何体为三棱柱， 根据主视图中间是虚线可知其中一条棱看不见； 故选：A． 【变式5-1】如图为一机器零件的三视图，它的俯视图为正三角形，根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的体积是 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查三视图、正三角形的性质、勾股定理．根据三视图可知该几何体为三棱柱，底面为高是的正三角形，根据正三角形的几何性质及勾股定理求出正三角形的边长和面积，再根据三棱柱的体积公式即可求解． 【详解】解：由三视图可知该机器零件为三棱柱，如图： 三棱柱底面是高为的正三角形： 如图，正三角形，过A作， ∴，， ∴， 设，则， 则， ∴， ∴， ∴正三角形的面积为， 故这个几何体的体积是． 故答案为：． 【变式5-2】如图，这是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题． (1)直接写出上下两个长方体的长、宽、高分别是多少； (2)求这个立体图形的体积． 【答案】(1)上面的长方体长，宽，高，下面的长方体长，宽，高 (2)这个立体图形的体积 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图： （1）根据组合图形的主视图和左视图解答即可； （2）用上面长方体的体积加上下面长方体的体积，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：上面的长方体长，宽，高，下面的长方体长，宽，高； （2）解：此立体图形的体积是． 题型六 由三视图判断小立方体的个数 【例6】一个几何体由若干个大小相同的小立方体搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体最多的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了小立方体堆砌而成的几何体的三视图，正确记忆相关知识点是解题关键．结合主视图(从正面看的图形)和俯视图(从上面看的图形)，分析每一列、每一行小立方体的可能层数，从而确定小立方体的最多个数． 【详解】解：第列(主视图最高层) 俯视图中第列有个位置(第行)，每个位置最多叠层， 因此第列最多有个小立方体； 第列(主视图最高层) 俯视图中第列有个位置(第行)每个位置最多叠层， 因此第列最多有个小立方体； 第列(主视图最高层俯视图中第列有个位置(第行)，最多叠层， 因此第列最多有个小立方体； ∴总个数将三列的最多个数相加：． 故选：C． 【变式6-1】用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如下图所示，如果需要的小正方体个数最多为个，最少为个，则的值为 ． 【答案】22 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．根据从正面看到的图形易得这个几何体共有3层，由从上面看到的图形可得第一层立方体的个数，由从正面看到的图形可得第二层立方体的可能的个数，从而求出m、n的值，再相加即可． 【详解】解：综合从正面和上面看到的图形，这个几何体的底层有6个小正方体， 第二层最少有2个，第3层最少有1个， 因此搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为：， 第二层最多有5个，第3层最多有2个， 因此搭成这样的一个几何体至多需要小正方体木块的个数为：， ∴， 故答案为：22． 【变式6-2】如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)这个几何体由多少个小正方体搭成； (2)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加几个小正方体． 【答案】(1)10个小正方体搭成 (2)最多可以再添加4个小正方体 【分析】（1）按照从后到前的顺序，计算得，解答即可； （2）根据不同方向看得到几何形状图特点解答即可． 本题考查了从不同方向看，熟练掌握不同方向看几何形状是解题的关键． 【详解】（1）解：按照从后到前的顺序，得， 故这个几何体由10个小正方体搭成． （2）从三个不同方向看这个几何体，图形如下： 观察图形可知：如果从左面和从上面看到的形状图不变，可以在第二列添加3个小正方体， 在第三列添加1个小正方体． ∴最多可以再添加（个）小正方体． 题型七 已知三视图求边长、体积 【例7】如图是一个直三棱柱的立体图和左视图，则左视图中的值为（    ）． A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体、勾股数的应用等知识点，根据左视图的形状，求得左视图的宽成为解题的关键． 根据主视图、俯视图，根据立体图上的尺寸标注，求得左视图为长方形，其长为6，再根据底面运用等面积法求得长方形的长即可． 【详解】解：如图所示，根据俯视图中三角形的三边分别为3，4，5， ∴俯视图为直角三角形，且斜边为5， ∴斜边上的高为 ∴左视图为长方形，其长为6，宽为，即． 故选：Ａ． 【变式7-1】如图是一个底面为正方形的长方体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个长方体的体积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查三视图，由三视图可得该长方体的底面正方形的对角线长为，高为，根据长方体的体积公式计算即可． 【详解】解：该长方体的底面正方形的面积为， 长方体的体积为． 故答案为：4． 【变式7-2】长方体的主视图与俯视图如图所示， (1)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是___________（填序号）； ①三角形；②四边形；③六边形；④七边形； (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积． 【答案】(1)①②③ (2) 【分析】本题主要考查长方体的三视图、体积的计算方法及用平面截几何体的方法，熟练掌握长方体的基本性质是解题关键． （1）根据长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形即可得出结果； （2）由三视图确定长方体的长、宽、高，利用长方体的表面积计算公式及体积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵长方体有六个面， ∴用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴用一个平面去截长方体，截面的形状可能是三角形、四边形、六边形． 故答案为：①②③ （2）解：由主视图可知长方体的长为，高为， 由俯视图可知长方体的宽为， ∴该几何体的体积为． 题型八 已知三视图求侧面积、表面积 【例8】如图是一个几何体的三视图，根据图纸标注的数据，求得这个几何体的侧面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三视图，几何体侧面积的计算，解题的关键是根据三视图想象出该几何体的形状，由三视图可知，该几何体是一个圆锥，根据圆锥的侧面积公式求解． 【详解】解：由三视图可知，该几何体是一个圆锥，且底面圆的半径是，母线长是， 底面的周长是， 侧面积为：， 故选B． 【变式8-1】如图所示的是某几何体的三视图，则这个几何体的表面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确解答的前提． 先判断这个几何体的形状，再根据表面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体是截去了圆柱后的剩余部分，且圆柱的底面圆的半径为2，高为3． 故该几何体的表面积为． 故答案为：． 【变式8-2】（1）已知：线段，直线及直线外一点． 求作：矩形，使得边在直线上，，垂足为，对角线的长度为． （2）如图①是一个组合几何体，图②是它的两种视图． 1）在图②的横线上填写出两种视图的名称：________，_________； 2）根据两种视图中的数据（单位：cm），计算这个组合几何体的表面积是_________．（结果保留） 【答案】（1）作图见解析； （2）1）主，俯； 2） 【分析】本题考查矩形的尺规作图、几何体的表面积，熟练掌握圆柱体的表面积公式是解题的关键． （1）通过作垂线确定矩形的两个相邻顶点，通过作圆弧找到点，使得的长度等于线段的长度，再通过作圆弧找到点，使得四边形成为矩形即可； （2）1）根据根据三视图的定义来判断视图的类型即可； 2）组合几何体是由一个长方形和一个圆柱组成，根据组成几何体的表面积为长方体的表面积与圆柱的侧面积的总和，求出长方体的表面积和圆柱的侧面积即可． 【详解】（1）解：过点作直线的垂线，垂足为点，以点为圆心，以线段的长度为半径画弧，与直线相交于点，分别以点和点为圆心，以线段和的长度为半径画弧，两条弧在直线上方相交于点，连接点、、、，得到矩形，如下图： （2）1）解；根据三视图的定义得，第一个视图是从正面看到的，因此它是主视图， 第二个视图是从上方看到的，因此它是俯视图， 故答案为：主，俯； 2）解： 因此，这个组合几何体的表面积是， 故答案为：． 题型九 求圆锥侧面积、底面半径 【例9】用一个圆心角为，半径为的扇形做一个圆锥的侧面，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据扇形面积公式求出扇形面积，根据圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系解答即可，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键． 【详解】解：因为用一个圆心角为，半径为的扇形做一个圆锥的侧面， ∴该圆锥的侧面积为， 故选：． 【变式9-1】若圆锥的母线长为，其侧面积为，则圆锥底面半径为 【答案】4 【分析】本题考查圆锥侧面积公式的应用，解题关键是利用圆锥侧面积公式建立方程求解． 【详解】， 代入公式得： 解得： 故答案为：． 【变式9-2】如图（1），正方形纸片边长为是的中点，点E，F分别在边上，扇形纸片的半径．剪下该扇形纸片，将其围成一个如图（2）所示的圆锥形纸帽． (1)求该纸帽的底面半径． (2)如图（3），是母线的中点，现要在该纸帽的侧面绕两圈丝带，丝带的起点是，终点是，求丝带的最短长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的性质和锐角三角函数求出相关角的度数，利用弧长公式求出弧的长度，然后再利用圆的周长公式进行求解即可； （2）点与点重合，作点关于直线的对称点，连接交于点，取的中点，连接交于点，过点作于点，利用轴对称的性质确定最短路径，然后利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，，且点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为， 设该纸帽的底面半径为， ∴， 解得； （2）解：如图所示，点与点重合，作点关于直线的对称点，连接交于点，取的中点，连接交于点，过点作于点， 此时，，， ∴丝带的最短长度为的长度， ∵， ∴为等边三角形， ∴根据三线合一得，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴丝带的最短长度为． 【点睛】本题主要考查了扇形和圆锥的关系，弧长公式，线段和最小值，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数和勾股定理解直角三角形，解题的关键是掌握以上性质． 题型十 求圆锥高、圆心角 【例10】如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出，最后用勾股定理即可得出结论. 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r， ∵，， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 故选：B． 【变式10-1】圆锥的底面半径是，母线长为，则它的侧面展开图的圆心角的度数为 ． 【答案】150 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面展开图的圆心角度数，设圆锥侧面展开图的圆心角为，根据扇形弧长等于圆锥底面周长，列出方程求解． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为， 根据题意得 解得， 故答案为：150． 【变式10-2】圆锥的母线长为，底面圆的半径为． (1)侧面展开图的圆心角度数是 ． (2)如图①，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为，蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径是多少？（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥及圆锥的侧面展开图，弧长公式，理解圆锥底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长是解题的关键． （1）先求出侧面展开图的弧长，再根据弧长公式即可求出圆心角的度数； （2）如图2，连接，先证明为等边三角形，再证，最后根据勾股定理求得即可． 【详解】（1）解：设侧面展开图的圆心角度数为， ∵底面圆的半径为， ∴侧面展开图的弧长， ， ，解得：， 故答案为：； （2）解：如图2，连接，则线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 的长为，，令， ，解得， ， ， ∴为等边三角形，即， ， ， 在中，， 即蚂蚁爬行的最短距离为． 题型十一 画三视图 【例11】某几何体的示意图如图所示，请画出该几何体的三视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画几何体的三视图，根据主视图是从几何体的正面看到的图形，左视图是从几何体的左面看到的图形，俯视图是从几何体的上面看到的图形，进行逐个作图，即可作答． 【详解】解：该几何体的三视图如图所示． 【变式11-1】如图，是由5个大小相同的小正方体搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米．请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图——从不同方向看几何体，根据从不同方向看到的结果画出图形即可．良好的空间想象能力是解答本题的关键．本题考查作图—从三个不同方向看到的形状图.根据从三个不同方向看到的图形作出即可． 【详解】解：从三个不同方向看到的图形如图所示： 【变式11-2】小林所在的综合实验小组准备制作一些大小相同的正方体纸盒收纳班级讲台上的粉笔（盒盖单独制作）． (1)图是综合实践小组同学制作的图形，其中_____（填序号）经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)综合实践小组间学用制作的个正方体纸盒摆成如图所示的几何体． ①在图中画出从正面观察图几何体看到的形状图； ②如果在图几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加_____个正方体纸盒． 【答案】(1) ①③④ (2) ①见解析 ② 【分析】本题考查简单组合体，展开图折叠成几何体等知识． （）根据要求动手操作可得结论； （）①根据主视图的定义画出图形即可； ②根据要求作出判断即可． 【详解】（1）解：图是综合实践小组同学制作的图形，其中①③④经过折叠能围成无盖正方体纸盒； 故答案为：①③④； （2）①如图所示： ②如果在图的几何体上再添加一些大小相同的正方体形纸盒，如图 原几何体的俯视图：从上面看，左边一列有个正方体，中间一列有个正方体，右边一列有个正方体， 原几何体的左视图：从左面看，左边一列有个正方体，右边一列有个正方体， ∵保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，如图 最多可以再添加个正方体形纸盒． 故答案为：． 题型十二 圆锥侧面最短路径 【例12】如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】(1) (2)这根绳子的最短长度为 【分析】（1）结合侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为的距离． 本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题． 【详解】（1）解： 设的度数为， 底面圆的周长等于， 解得． （2）解：连接，过作于， ∴， ∵由（1）得 ∴ ∵ 则 由， ∴， ∴， ∴， 即这根绳子的最短长度是． 【变式12-1】【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，       (1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； (2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据扇形的两个面积公式可得，再代入求解即可； （2）连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值，根据等腰三角形性质及解直角三角形即可求解． 【详解】（1），， ， ， 扇形纸板的圆心角度数为； （2）如图所示．连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值， 由（1）得， , 彩带长度的最小值为． 【变式12-2】如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如． (1)　 　，　 　，的取值范围是 　 　； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，） 【答案】(1) (2)20.7 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； （2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图1， ，则， ∴， 如图2， ，作于D，则， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵圆锥的底面直径， ∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， 设扇形的圆心角为， 则，解得， ∵， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键． 基础巩固通关测 1．下列投影现象属于中心投影的是（   ） A．陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在日光下的影子 B．苏轼“把酒问青天”时，酒杯在月光下的影子 C．王维“大漠孤烟直”时，归雁在落日下的影子 D．匡衡“凿壁偷光”时，书卷在灯光下的影子 【答案】D 【分析】本题考查投影，中心投影的光线从一点（投影中心）发出，平行投影的光线互相平行．根据选项描述的光源类型判断是否为中心投影即可．区分中心投影和平行投影的关键是看光源：点光源产生中心投影，平行光源产生平行投影． 【详解】解：∵ 日光、月光、落日阳光均为平行光，其投影为平行投影； ∵ 灯光为点光源，其投影为中心投影； ∴ 选项D中灯光下的影子属于中心投影． 故选：D． 2．如图，夜晚四个身高相同的小朋友站在路灯下，（    ）的影子最长． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影的性质，根据相同高度的物体，距离灯光越远，则影子越长解答即可． 【详解】解：由图可知，四个身高相同的小朋友站在路灯下，丁离路灯最远，则丁的影子最长， 故选：D． 3．如图是一个长方体从中间去掉一个圆柱得到的几何体，则该几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单几何体的三视图， 判断这个几何体的俯视图即可． 【详解】解：这个几何体的俯视图为： 故选：C． 4．广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式：，进行计算即可． 【详解】解：由题意，该斗笠的侧面面积为； 故选：C． 5．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型（如图所示）摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池．类似的，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三视图的相关知识． 观察哪个几何体的三视图中有正方形，三角形及长方形即可． 【详解】解：A、三视图分别为正方形，三角形及长方形，故本选项符合题意； B、三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，故本选项不符合题意； C、三视图分别为长方形，长方形及圆，故本选项不符合题意； D、三视图分别为长方形，长方形及梯形，故本选项不符合题意； 故选：A． 6．在“霍童线狮”表演中，艺人操控“线狮”在舞台上呈现精彩姿态，舞台上方的灯光照射在“线狮”上，形成的影子属于 ，（填写“中心投影”或“平行投影”） 【答案】 中心投影 【分析】本题考查了中心投影，解题关键是掌握中心投影并能熟练运用求解． 舞台灯光是从点光源发出的光线，因此形成的影子是中心投影． 【详解】解：灯光从舞台上方的点光源发出，光线呈放射状照射到“线狮”上，形成的影子属于中心投影， 故答案为：中心投影． 7．圆锥的底面圆半径为，母线为，则圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求圆锥侧面积，解题关键是掌握圆锥的侧面积计算方法并能运用求解． 直接应用圆锥侧面积公式求解． 【详解】解：根据圆锥的侧面积公式，其中，， 代入得． 故答案为：． 8．某玩具厂生产配件，需要分别从棱长为a的正方体木块中，挖去一个棱长为的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为，那么这三者的大小关系是 （请用“<”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了正方体的表面积，整式加减的应用，能表示出所求几何体的表面积是解题的关键．；由正方体的表面积得，分别进行整式加减运算后，进行比较大小，即可求解； 【详解】解：由题意得， ， ， ， ， 故答案为：． 9．圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若该圆锥底面圆的半径是5，则其母线长是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的侧面积等于扇形的面积，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用弧长公式建立方程求解． 【详解】解：设圆锥的母线长为，则扇形的弧长为 ． 圆锥的底面周长为． 根据弧长相等，得， 解得． 故答案为：12． 10．一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若组成这个几何体的小正方体最少需要个，最多需要个，则    【答案】 【分析】本题考查了由两种视图判定该堆砌图形的小正方体的个数，结合主视图（正面看到的形状图）和俯视图（上面看到的形状图），分析每个位置小正方体的层数是解题的关键． 结合两种视图分别在俯视图上标注某个位置上放置的小正方体的个数，从而可得答案． 【详解】解：如图，（最小的情况的放置方式不唯一） 最多有：（个）， 最少有：（个）， ∴． 故答案为：． 11．根据要求画出图形：如图，一根木棒竖直立在地面上，请你画出它在灯光下的影子． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查中心投影的应用，通过理解中心投影的原理，即从同一点(点光源)发出的光线形成的投影，来画出木棒在灯光下的影子． 根据木棒把光线挡住，照不到的地方形成影子，即可作出图形． 【详解】解：如图，线段即为所求： 12．6个完全相同的正方体组成如图所示的几何体，画出该几何体的主视图和左视图（画在所给的方格中）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画几何体的三视图，熟练掌握几何体的特征是解题的关键．根据几何体的特征，分别画出从正面看和从左面看的图形，即可得出几何体的主视图和左视图． 【详解】解：如图所示，主视图和左视图即为所求： 13．如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱，形成的影子分别为与． (1)在图中画出光源的位置（用点P表示）； (2)此光源下形成的投影是__________（填“中心投影”或“平行投影”）； (3)在图中画出立柱此时在该光源下所形成的影子（用线段表示）． 【答案】(1)见解析 (2)中心投影 (3)见解析 【分析】本题考查了中心投影，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据在同一时刻同一光源下立柱形成的影子为与，连接并延长交于点P，即为所求； （2）因为所有光线均从同一个点P发出，呈发散状，且不同立柱的影子方向不平行，符合中心投影的特征，即可解答； （3）连接并延长交地面于点M，则为所求． 【详解】（1）解：如图，点P为光源的位置，点P即为所求： （2）解：此光源下形成的投影是中心投影． 故答案为：中心投影； （3）解：如图所示，线段为立柱在此光源下所形成的影子，则为所求． 14．如图，一个几何体是由几个同样大小的小正方体搭成的几何体． (1)该几何体由______个小正方形组成； (2)请分别画出该几何体的主视图、左视图； (3)若小正方形的边长为1，请求出该几何体的表面积（含下底面）？ 【答案】(1) (2)画图见详解 (3) 【分析】题考查组合体的三视图，发挥空间想象能力是解决问题的关键． （1）从上到下逐层数出小正方体的个数即可得到答案； （2）由组合体的构成，从正面看、从左面看即可得到其平面图形； （3）该几何体的表面积就是能看到的小正方体的各个面的面积之和，数出能看到的各个面求和即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 该几何体由个小正方形组成， 故答案为：； （2）解：如图所示： （3）解：小正方形的边长为1， 小正方体的每一个面的面积为1， 如图所示： 该几何体的表面积就是能看到的小正方体的各个面的面积之和， 则该几何体的表面积为：． 15．如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，小正方体的棱长为1厘米． 【探究】（1）在图①中，请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． 【应用】（2）请求出图①中的几何体的表面积（包括底面）是多少？ 【拓展】（3）在图②中的几何体中，若几何体的上表面（包括五角星）涂上黄色油漆，涂色的面积是多少？ 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】题目主要考查从不同方向看几何体，求几何体的表面积，理解题意，熟练掌握这些基础知识是解题关键． （1）根据从不同方向看几何题画图即可； （2）根据（1）中结果，求表面积即可； （3）根据图形求上表面面积即可． 【详解】解：（1）画出相应的图形如下： （2） 答：表面积是． （3） 答：上表面的涂色面积是． 能力提升进阶练 1．一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥侧面展开的扇形与底面圆之间的关系，掌握圆锥的侧面展开图是一个扇形且扇形的弧长等于圆锥底面周长、扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键． 利用圆锥侧面展开的扇形的弧长等于底面圆的周长，再结合圆的周长公式列方程求解即可． 【详解】解：设底面圆半径为r，则，解得：， 所以这个圆锥底面圆的半径为6． 故选A． 2．如图所示的是一个几何体零件，则该几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项． 根据左视图是从左面看到的图形判定即可． 【详解】解：该几何体的左视图是： 故选：B． 3．如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 【答案】A 【分析】本题考查三视图，根据几何体，确定其三视图，进行判断即可． 【详解】解：圆锥的主视图和左视图相同且均为三角形，俯视图为圆； 故选：A． 4．如图是一个由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单组合体三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中. 【详解】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有1个正方形. 故选：A. 5．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三视图的知识，解题的关键是掌握俯视图即为从上面看所得到的图形．注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 根据俯视图的定义观察图形即可求解． 【详解】解：这个组合体的俯视图为： 故选：D． 6．如图，圆锥的底面半径r为，高h为，则圆锥的侧面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式，是解题的关键．首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果． 【详解】解：由题意得：，， 设圆锥母线长为l，由勾股定理得： ， 圆锥的侧面积为： ． 故答案为：． 7．一个几何体的三视图如图所示（单位：mm），这个几何体的表面积是 ．       【答案】 【分析】由三视图可知，该几何体底面是直角边为的等腰直角三角形，高为的三棱柱，根据三棱柱的表面积公式求解即可． 【详解】解：这个几何体的表面积为： ； 故答案为． 8．如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，圆锥侧面积，先利用直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半计算出，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的面积公式计算圆锥的侧面积即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， ∴圆锥侧面展开图的面积为， 故答案为：． 9．如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．延长，交直线于点，设，则，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得的值，再根据平行线的性质可得，然后根据正切的定义计算即可得． 【详解】解：如图，延长，交直线于点， 由题意得：， 设，则， ∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为的斜坡上时，水的体积等于长为、宽为、高为的长方体的体积与长为、宽为、高为的长方体的体积的一半之和， ∴， 解得， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图是平行四边形纸片，，点M为的中点，若以M为圆心，为半径画弧交对角线于点N，则 度；将扇形纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 ． 【答案】 40 2 【分析】本题考查了平行四边形的性质、弧长公式、圆锥等知识，熟练掌握弧长公式是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的外角性质可得的度数；先利用弧长公式求出扇形的弧长，再根据圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， 由圆的性质可知，， ∴， ∴， ∴扇形的弧长为， ∴圆锥的底面圆半径为， 故答案为：40；2． 11．如图是由7个相同的小正方体组成的几何体．请在网格中画出图示几何体的三视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．根据三视图的作法，画图即可． 【详解】解：这个组合体的三视图如图所示： 12．如图，是的外接圆，点是延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点恰好是的中点，且的半径为，试求出优弧长； (3)若以优弧所围成的扇形面制作一个如图的圆锥，试求出该圆锥的表面积．（，结果精确到个位） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）利用圆周角定理可得，即得，又由垂直得，再根据等腰三角形的性质和余角性质可得，进而即可求证； （）由直角三角形的性质可得，即得，得到是等边三角形， 进而可得，再根据弧长公式计算即可求解； （）设圆锥底面圆的半径为，可得，求出的值，再根据圆锥的表面积侧面积底面积计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵点恰好是的中点，， ∴， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴优弧长为； （3）解：设圆锥底面圆的半径为， ∵优弧长为， ∴， ∴， ∴该圆锥的表面积为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，余角性质，相似三角形的判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式，圆锥的表面积，掌握以上知识点是解题的关键． 13．如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线． (1)结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义． (2)路灯的高度是____________m． (3)设的坡角为． ①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度． ②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 【答案】(1)横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处 (2)6 (3)①线段的倾斜程度更大；② 【分析】（1）横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处； （2）根据题意列出方程，求得路灯的高度是； （3）①根据，得出，根据三角函数，得出，再进行比较即可； ②：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，：小明走到灯下处，到达，当取不同的值时，影长可能随的增大而增大或随的增大而减小或随的增大先增大后减小． 本题考查了解直角三角形的应用，函数的图象等，掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：， 横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处． （2）解：由题意得：， 解得：， ∴路灯的高度是， 故答案为：6． （3）①解：∵，设直线的解析式为， 把代入，得， ∴． 为小明在坡上任意一点， ∴此时m，影长m，m， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∵， ∴， ∴线段的倾斜程度更大； ②如图， ：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，则， ：小明走到灯下处，到达，则， 对应图2中曲线的起点，，表示小明的高度， 设，其中，，表示小明在间，影长， 依题意，，则 ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， 同理可得 ∴ 由（2）可得，， 即 ∴ ∴ 设，其中， 当接近时，，则，则随的增大而增大 当接近时，，则，则随的增大而减小， 当取不同的值时，可能出现随的增大先减小后增大． 综上所述，当取不同的值时，可能出现的情况， 故答案为：． 14．综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留） 【答案】(1)能，见解析 (2) 【分析】本题考查了圆锥，解题的关键是： （1）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长求出圆锥展开图的扇形圆心角，即可判断； （2）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长，求出滤纸围成圆锥形底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求解即可． 【详解】（1）解：能， 理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为， 根据题意，得， 解得， ∴将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁； （2）解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为，高为， 根据题意，得， 解得， ∴， ∴圆锥的体积为． 15．为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2)旗杆高度为； (3)雕塑高度为． 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用． （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； （3）解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 2 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 三视图与表面展开图（复习讲义） 一、基础目标 1. 能复述三视图的定义及基本概念：明确主视图、俯视图、左视图的观察方向（从正面、上面、左面看），能说出三视图中“长对正、高平齐、宽相等”的对应关系。 2. 会识别简单几何体（如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球）的三视图：能直接画出或选择给定几何体（单个或2个相同几何体的简单组合，如2个正方体叠放）的主视图、俯视图、左视图。 3. 能根据三视图判断几何体的形状：已知由正方体搭成的简单组合体（不超过3层、5个小正方体）的三视图，能描述或画出原几何体的结构。 4. 会识别常见几何体的表面展开图：能从给定图形中辨认正方体（11种展开图）、圆柱、圆锥的表面展开图，说出展开图中平面图形的构成（如圆柱展开图由2个圆和1个长方形组成）。 二、进阶目标 1. 理解并应用三视图解决简单计算问题：根据几何体（如长方体、圆柱）的三视图及尺寸标注，能计算几何体的棱长、表面积或体积（如已知长方体三视图的长、宽、高，求体积）。 2. 会推导组合体三视图的画法规则：能画出由正方体、圆柱、圆锥等2-3个基本几何体组合而成的简单组合体（如“圆柱+圆锥”“正方体+长方体”）的三视图，注意遮挡部分用虚线表示。 3. 能根据表面展开图计算几何体的相关量：已知正方体表面展开图中相对面的标记，能判断指定面的相对面；已知圆柱或圆锥展开图中扇形半径、弧长与底面圆半径的关系，计算母线长或底面半径（如已知圆锥侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥底面半径）。 4. 理解并应用“三视图与实物对应”的逆向思维：已知由小正方体组成的组合体的主视图和俯视图，能确定搭成该几何体所需小正方体的最多或最少个数。 三、拓展目标 1. 会综合运用三视图与表面展开图解决实际问题：结合生活中的不规则几何体（如“蒙古包”“粮仓”的近似模型），能画出其三视图并计算表面积（含底面积）或用料面积（如计算圆柱与圆锥组合体的外部涂漆面积）。 2. 能推导复杂展开图中的最值问题：在正方体表面展开图中，能计算两点之间沿表面爬行的最短路径长度（利用“化曲为直”思想，将展开图中两点连线，用勾股定理求解）。 3. 理解并应用三视图的投影原理：能解释“斜二测画法”与三视图在空间图形表示上的区别，初步体会正投影的性质（如平行投影中，平行线的投影仍平行）。 4. 能解决与三视图相关的动态问题：已知几何体（如正方体）的三视图，判断其在平面上滚动或旋转后新的三视图形状，或根据运动轨迹分析三视图的变化规律（如圆柱绕轴旋转一周后的三视图特征）。 分类 具体内容 完整分析 常见结论 主视图、俯视图、左视图分别从物体的正面、上面、左面观察得到，三者共同反映物体的形状和大小 主视图能体现物体的长和高，俯视图能体现物体的长和宽，左视图能体现物体的宽和高。通过这三个视图的组合，可以较为全面地了解一个立体图形的空间结构，是进行立体图形与平面图形转化的重要依据 三视图中，主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，俯视图与左视图的宽相等 这“长对正、高平齐、宽相等”是三视图绘制和阅读的基本规律。长对正意味着主视图和俯视图在水平方向上的长度尺寸是一致的；高平齐表示主视图和左视图在垂直方向上的高度尺寸相同；宽相等则说明俯视图和左视图在宽度方向上的尺寸相等，通常需要通过绘制辅助线（如45°斜线）来确保宽相等的准确性 正方体的三视图都是正方形；球体的三视图都是圆 正方体的六个面都是大小相同的正方形，无论从正面、上面还是左面观察，看到的都是正方形。球体是一个完全对称的几何体，任意方向观察到的平面图形都是半径相等的圆 圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆；圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆 圆柱由两个底面（圆）和一个侧面（曲面）组成，从正面和左面看，看到的是圆柱的轴截面，即矩形，其一边为圆柱的高，另一边为底面圆的直径；从上面看就是底面圆。圆锥由一个底面（圆）和一个侧面（曲面）组成，从正面和左面看，看到的是圆锥的轴截面，即等腰三角形，其底边为底面圆的直径，腰长为圆锥的母线长；从上面看是底面圆，由于圆锥的顶点在俯视图的中心，所以要画出圆心 简单组合体的三视图是组成它的各个基本几何体三视图的组合 在画简单组合体的三视图时，需要先分析组合体是由哪些基本几何体（如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等）组合而成的，以及它们之间的位置关系（如叠加、挖去等）。然后分别画出每个基本几何体的三视图，再根据它们的位置关系进行组合，注意视图中可见轮廓线用实线表示，不可见轮廓线用虚线表示 易错点 忽略三视图中的虚实线 在画三视图时，对于物体上被遮挡、看不见的轮廓线，应该用虚线表示，但很多学生容易遗漏虚线，导致三视图不能准确反映物体的形状。例如，一个正方体挖去一个小正方体后，从某个方向看，如果小正方体的轮廓被大正方体遮挡，那么在对应的视图中应该画出虚线来表示被遮挡部分的轮廓 对“长对正、高平齐、宽相等”的理解和应用错误 部分学生虽然知道这一规律，但在实际绘制或判断三视图时，容易出现长、宽、高对应不准确的情况。比如，在画俯视图和左视图的宽相等时，没有正确利用45°辅助线，导致宽度尺寸不一致；或者主视图和俯视图的长没有对齐，主视图和左视图的高没有平齐 由三视图还原立体图形时，空间想象能力不足，导致还原错误 根据三视图还原立体图形是一个难点，学生容易受到单个视图的影响，而忽略三个视图之间的联系。例如，给出一个物体的三视图都是矩形，学生可能会错误地认为是正方体，而实际上也可能是长方体 混淆圆柱和圆锥的三视图 圆柱和圆锥的俯视图都是圆，但圆柱的主视图和左视图是矩形，圆锥的是等腰三角形，部分学生容易将两者的主视图和左视图混淆。另外，圆锥俯视图中的圆心容易被遗忘不画 计算由三视图得到的立体图形的表面积或体积时，漏算或多算面 在根据三视图计算立体图形的表面积或体积时，学生需要先准确还原出立体图形，然后分析其表面组成。如果是组合体，要注意几何体之间是否有重叠部分，重叠部分的面积在计算表面积时需要减去（如果是两个几何体叠加，重叠的两个面不再是表面积的一部分）；计算体积时则是各部分体积之和（如果是挖去，则是大体积减去小体积）。学生容易出现漏算某个面或者没有减去重叠部分面积的错误 画组合体三视图时，各部分之间的位置关系表达错误 在画组合体的三视图时，需要准确体现各个基本几何体之间的相对位置。例如，一个圆柱放在一个长方体的上面，且圆柱的底面圆心与长方体上底面的中心重合，在俯视图中，圆应该画在矩形的中心位置，如果位置画偏，就会导致三视图不能正确反映组合体的结构 对“视图”概念理解偏差，误将看到的实物轮廓直接画成视图 视图是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的图形，它不是人眼直接看到的“视觉图形”，而是严格按照正投影的规则得到的。例如，看一个正方体，从某个角度可能会因为透视关系感觉它的面是平行四边形，但在三视图中，正方体的各个面的投影都是正方形 题型一 平行、中心、正投影 【例1】“明月团团高树影”出自宋代辛弃疾的《清平乐 ·谢叔良惠木犀》，释义为：团团明月投下了桂树的身影．在下列四幅图中，表示两棵桂树在同一时刻月光下影子图形的可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图①、图②所示，这两个图形的正投影分别是 ． 【变式1-2】如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ (3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒； 题型二 视点、视角和盲区 【例2】“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（    ） A．增大盲区 B．减少盲区 C．改变光点 D．增加亮度 【变式2-1】电影院的座位排列时，后一排总比前一排高，并且每一横排呈圆弧形，这是为了 ． 【变式2-2】如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区． （1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？ （2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由． 题型三 判断几何体中的三视图 【例3】如图所示，几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图所示的是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中，完全相同的是 视图和 视图． 【变式3-2】下图是一个机器零件的毛坯，请将这个机器零件的三视图补充完整． 题型四 已知一种或两种三视图判断其它视图 【例4】如图是几个小立方块所搭的几何体俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为 ． 【变式4-2】一个几何体由大小相同的小立方块搭成，这个几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．（为便于观察，把需要的小方格涂上阴影，示例：）．    题型五 由三视图还原几何体 【例5】从三个方向看一个几何体得到的平面图形如图所示，则这个几何体摆放的位置是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】如图为一机器零件的三视图，它的俯视图为正三角形，根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的体积是 ．（结果保留根号） 【变式5-2】如图，这是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题． (1)直接写出上下两个长方体的长、宽、高分别是多少； (2)求这个立体图形的体积． 题型六 由三视图判断小立方体的个数 【例6】一个几何体由若干个大小相同的小立方体搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体最多的个数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如下图所示，如果需要的小正方体个数最多为个，最少为个，则的值为 ． 【变式6-2】如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)这个几何体由多少个小正方体搭成； (2)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加几个小正方体． 题型七 已知三视图求边长、体积 【例7】如图是一个直三棱柱的立体图和左视图，则左视图中的值为（    ）． A． B．3 C．4 D．5 【变式7-1】如图是一个底面为正方形的长方体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个长方体的体积为 ． 【变式7-2】长方体的主视图与俯视图如图所示， (1)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是___________（填序号）； ①三角形；②四边形；③六边形；④七边形； (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积． 题型八 已知三视图求侧面积、表面积 【例8】如图是一个几何体的三视图，根据图纸标注的数据，求得这个几何体的侧面积是（    ）    A． B． C． D． 【变式8-1】如图所示的是某几何体的三视图，则这个几何体的表面积为 ． 【变式8-2】（1）已知：线段，直线及直线外一点． 求作：矩形，使得边在直线上，，垂足为，对角线的长度为． （2）如图①是一个组合几何体，图②是它的两种视图． 1）在图②的横线上填写出两种视图的名称：________，_________； 2）根据两种视图中的数据（单位：cm），计算这个组合几何体的表面积是_________．（结果保留） 题型九 求圆锥侧面积、底面半径 【例9】用一个圆心角为，半径为的扇形做一个圆锥的侧面，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】若圆锥的母线长为，其侧面积为，则圆锥底面半径为 【变式9-2】如图（1），正方形纸片边长为是的中点，点E，F分别在边上，扇形纸片的半径．剪下该扇形纸片，将其围成一个如图（2）所示的圆锥形纸帽． (1)求该纸帽的底面半径． (2)如图（3），是母线的中点，现要在该纸帽的侧面绕两圈丝带，丝带的起点是，终点是，求丝带的最短长度． 题型十 求圆锥高、圆心角 【例10】如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】圆锥的底面半径是，母线长为，则它的侧面展开图的圆心角的度数为 ． 【变式10-2】圆锥的母线长为，底面圆的半径为． (1)侧面展开图的圆心角度数是 ． (2)如图①，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为，蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径是多少？（结果保留根号）． 题型十一 画三视图 【例11】某几何体的示意图如图所示，请画出该几何体的三视图． 【变式11-1】如图，是由5个大小相同的小正方体搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米．请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． 【变式11-2】小林所在的综合实验小组准备制作一些大小相同的正方体纸盒收纳班级讲台上的粉笔（盒盖单独制作）． (1)图是综合实践小组同学制作的图形，其中_____（填序号）经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)综合实践小组间学用制作的个正方体纸盒摆成如图所示的几何体． ①在图中画出从正面观察图几何体看到的形状图； ②如果在图几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加_____个正方体纸盒． 题型十二 圆锥侧面最短路径 【例12】如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【变式12-1】【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，       (1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； (2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 【变式12-2】如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如． (1)　 　，　 　，的取值范围是 　 　； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，） 基础巩固通关测 1．下列投影现象属于中心投影的是（   ） A．陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在日光下的影子 B．苏轼“把酒问青天”时，酒杯在月光下的影子 C．王维“大漠孤烟直”时，归雁在落日下的影子 D．匡衡“凿壁偷光”时，书卷在灯光下的影子 2．如图，夜晚四个身高相同的小朋友站在路灯下，（    ）的影子最长． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．如图是一个长方体从中间去掉一个圆柱得到的几何体，则该几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 4．广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 5．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型（如图所示）摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池．类似的，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（   ） A． B． C． D． 6．在“霍童线狮”表演中，艺人操控“线狮”在舞台上呈现精彩姿态，舞台上方的灯光照射在“线狮”上，形成的影子属于 ，（填写“中心投影”或“平行投影”） 7．圆锥的底面圆半径为，母线为，则圆锥的侧面积为 ． 8．某玩具厂生产配件，需要分别从棱长为a的正方体木块中，挖去一个棱长为的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为，那么这三者的大小关系是 （请用“<”连接）． 9．圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若该圆锥底面圆的半径是5，则其母线长是 ． 10．一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若组成这个几何体的小正方体最少需要个，最多需要个，则    11．根据要求画出图形：如图，一根木棒竖直立在地面上，请你画出它在灯光下的影子． 12．6个完全相同的正方体组成如图所示的几何体，画出该几何体的主视图和左视图（画在所给的方格中）． 13．如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱，形成的影子分别为与． (1)在图中画出光源的位置（用点P表示）； (2)此光源下形成的投影是__________（填“中心投影”或“平行投影”）； (3)在图中画出立柱此时在该光源下所形成的影子（用线段表示）． 14．如图，一个几何体是由几个同样大小的小正方体搭成的几何体． (1)该几何体由______个小正方形组成； (2)请分别画出该几何体的主视图、左视图； (3)若小正方形的边长为1，请求出该几何体的表面积（含下底面）？ 15．如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，小正方体的棱长为1厘米． 【探究】（1）在图①中，请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． 【应用】（2）请求出图①中的几何体的表面积（包括底面）是多少？ 【拓展】（3）在图②中的几何体中，若几何体的上表面（包括五角星）涂上黄色油漆，涂色的面积是多少？ 能力提升进阶练 1．一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（   ） A． B． C． D．2 2．如图所示的是一个几何体零件，则该几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 3．如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 4．如图是一个由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 5．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（   ） A． B． C． D． 6．如图，圆锥的底面半径r为，高h为，则圆锥的侧面积为 （结果保留）． 7．一个几何体的三视图如图所示（单位：mm），这个几何体的表面积是 ．       8．如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为 ． 9．如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 ． 10．如图是平行四边形纸片，，点M为的中点，若以M为圆心，为半径画弧交对角线于点N，则 度；将扇形纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 ． 11．如图是由7个相同的小正方体组成的几何体．请在网格中画出图示几何体的三视图． 12．如图，是的外接圆，点是延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点恰好是的中点，且的半径为，试求出优弧长； (3)若以优弧所围成的扇形面制作一个如图的圆锥，试求出该圆锥的表面积．（，结果精确到个位） 13．如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线． (1)结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义． (2)路灯的高度是____________m． (3)设的坡角为． ①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度． ②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 14．综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留） 15．为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 2 / 3 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