专题03 三角函数综合七类题型（压轴题专项训练）数学浙教版九年级下册

专题03 三角函数综合题七类题型 典例详解 类型一、三角函数与三角形综合 类型二、三角函数与四边形综合 类型三、三角函数与正多边形综合 类型四、三角函数与圆形综合 类型五、三角函数与一次函数综合 类型六、三角函数与反比例函数综合 类型七、三角函数与二次函数综合 压轴专练 类型一、三角函数与三角形综合 例1．（2025·四川成都·三模）在中，，，点D，E分别在边，上（不与A，B，C重合），将线段绕点E顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点F与点C重合时，求证：； (2)如图2，当点F在边时，作，交于点G，试说明与有何数量关系，并证明； (3)如图3，若点E为中点，，，连接、，当为直角三角形时，求的面积． 变式1-1．（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）在等边中，过点A作． (1)如图1，点E在点A的左侧，点D是边上的中点，连接，过点D作交于点E，求证：． (2)如图2，点E在点A的右侧，连接，点G是的中点，连接并延长交于点F，过点G作交于点H，求证：． (3)若点E在点A的右侧，连接，点G是的中点，且，点P是直线上一动点，连接，将绕点G逆时针旋转得到，连接，在点P的运动过程中，当取得最小值时，请直接写出的值． 变式1-2．（2025九年级上·全国·专题练习）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比例互相唯一确定，因此，边长与角的大小之间可以互相转化类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的关系我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对如图，在中，，顶角的正对记作容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) (2)对于的正对值的取值范围是___________ (3)如图，已知，其中为锐角，试求的值． 变式1-3．（22-23九年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，在等腰中，，点为线段的中点，点、分别为线段和射线上一动点，连接．    (1)如图1，若，，，，求线段的长． (2)如图2，连接，线段分别交线段、于点、，若点为线段的中点，且，猜想线段和之间存在的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，若，，，为线段上一点，当取得最小值时，连接，将线段绕点逆时针方向旋转得线段，连接交于点且，记，，请直接写出的值． 类型二、三角函数与四边形综合 例2．（23-24九年级下·湖北·期末）如图，矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，若点在上，连接，，则值为 ． 变式2-1．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，在正方形中，点E在上，，连接，取中点F，过F作且使得，连接并延长，将绕点C旋转到，当A，G，三点共线且时， ． 变式2-2．（2025·湖北·一模）问题背景：如图1，在矩形中，，，点E是边的中点，过点E作交于点F． 实验探究： (1)在一次数学活动中，小明同学将图1中的绕点B按顺时针方向旋转，如图2所示，得到结论： ①__________； ②直线与所夹锐角的度数为__________．； (2)小明同学继续将绕点B按顺时针方向旋转，旋转至点D，E，F在一条直线上如图3所示位置时，求的面积； (3)在绕点B按顺时针方向旋转一周过程中，记的面积为S，直接写出S的取值范围． 变式2-3．（2025·山东青岛·一模）如图①，在菱形中，，．动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，线段（点M，N分别与点A，D重合）从点D出发，沿方向匀速平移，速度为；线段停止运动时，点P也随之停止运动．交于点E，连接，．设运动时间为t（s）（），解答下列问题： (1)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (2)是否存在某一时刻t，使点E在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (3)设四边形的面积为，求S与t的函数关系式； (4)如图②，点是点N关于直线的对称点，连接，，当t为何值时，点M，B，在同一条直线上？请说明理由． 变式2-4．（2020·湖北襄阳·二模）已知四边形中，，分别是，边上的点，与交于点，令． 特例解析：如图1，若四边形是矩形，且，求证：； 类比探究：如图2，若四边形是平行四边形，当与满足什么关系时，仍然成立？并证明你的结论； 拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，若，，，，求的长． 类型三、三角函数与正多边形综合 例3．（2024·山西忻州·二模）如图①，边长为的正方形的顶点C，D在正六边形的内部，如图②，将正方形沿向右平移一定距离，得到正方形 （顶点A，B，C，D平移后的对应点分别为，，，），此时点恰好落在边上，连接，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 变式3-1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，正六边形的边长为4，则线段的长为 ． 变式3-2．（2020·四川达州·中考真题）（1）【阅读与证明】 如图1，在正的外角内引射线，作点C关于的对称点E（点E在内），连接，、分别交于点F、G． ①完成证明：点E是点C关于的对称点， ，，． 正中，，， ，得． 在中，，______． 在中，，______． ②求证：． （2）【类比与探究】 把（1）中的“正”改为“正方形”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得： ①______； ②线段、、之间存在数量关系___________． （3）【归纳与拓展】 如图3，点A在射线上，，，在内引射线，作点C关于的对称点E（点E在内），连接，、分别交于点F、G．则线段、、之间的数量关系为__________． 类型四、三角函数与圆形综合 例4．（2025·上海·模拟预测）如图，线段的中点是点，以点为圆心，为半径作，点是上一点（不在直线上），连接、、． (1)求证：． (2)若，求的值． 变式4-1．（24-25九年级下·全国·期末）如图，为的弦，直径于点E，且，点F为上的一点． (1)求证：； (2)求的值． 变式4-2．（2020·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，以为直径的，交于点，且交直线于点，连接． 如图1，求证：； 如图2，为钝角时，过点作于点求证：； 如图3，在的条件下，在∠BDF的内部作，使分别交于点交于点，若，求的长． 变式4-3．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）已知为的直径，点C、D为上的两个点，交于点F，点E在上，交于点G，且． (1)如图．求证：； (2)如图，若平分，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，连接，若． ①求证； ②若，求的长． 类型五、三角函数与一次函数综合 例5．（2025·广东江门·一模）综合运用 如图，直线分别交x轴，y轴于点点分别在直线轴负半轴上运动，且始终满足.连接，交y轴于点E.以为斜边构造等腰直角三角形，且点按顺时针方向排列，连接点C的横坐标为． (1)分别求的长． (2)若点在线段上，当是直角三角形时，求点的坐标． 变式5-1．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，点在第一象限内，射线轴，且； (1)如图1，求的正切值； (2)如图2，点在线段上运动，过点作交线段于点，作直线交轴于点D，当为线段的中点时，求直线的解析式； (3)如图3，在（2）的条件下，点在第四象限内，，点、分别在线段、上，将绕点逆时针旋转得，若点在直线上，求点的坐标． 变式5-2．（23-24九年级上·上海·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点．    (1)求的余切值； (2)如果点为直线上第一象限内的点，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，直线上是否存在点，使与相似，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 变式5-3．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，直线与x轴相交于点C，且点C与点A关于y轴对称．    (1)求直线的解析式； (2)P为线段上一点，Q为线段上一点，，设点P的横坐标为t，的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，点R在第二象限内，且四边形为平行四边形，连接BR，，求点P的坐标． 类型六、三角函数与反比例函数综合 例6．（2022年山东省济宁市创新联盟第五次中考模拟数学试题）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形AOCB是平行四边形，点D为边AB的中点，反比例函数在第一象限的图像交边AB于点D，设，已知，则k的值为（    ） A． B． C． D． 变式6-1．（2025·江苏苏州·一模）如图，四边形是菱形，其中点，点在反比例函数的图像上，与轴正方向的夹角为，且，反比例函数的图像与线段交于点． (1)求的值； (2)点为反比例函数图像上的一个动点（点在点，之间运动，不与，重合），过点作，垂足为点，过点作，交于点，连接．若的面积为，求点的坐标． 变式6-2．（21-22九年级上·山东菏泽·期末）矩形中，，分别以所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)当点F为边的中点时，求点E的坐标； (2)连接，求的正切值． 变式6-3．（21-22九年级上·广东梅州·期末）已知反比例函数y=的图象经过点A（6，1）． (1)求该反比例函数的表达式； (2)如图，在反比例函数y=在第一象限的图象上点A的左侧取点C，过点A作x轴的垂线交x轴于点H，过点C作y轴的垂线CE，垂足为点E，交直线AH于点D． ①过点A、点C分别作y轴、x轴的垂线，两条垂线相交于点B，求证：O、B、D三点共线； ②若AC=2CO，求证：∠OCE=3∠CDO． 类型七、三角函数与二次函数综合 例7．（2025·江苏镇江·一模）如图①，已知点A，B，C，D在二次函数的图像上，且，分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足为F，G，E，H．    (1)若轴，则与的数量关系为 ，连接，直线与直线交于点K，点K的横坐标为 （用含a，b的代数式表示）． (2)若与x轴不平行，试判断与的数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图②，已知，抛物线的对称轴为直线，且与x轴存在唯一交点，点A在y轴上，且，直线与直线交于点K，且点K恰好落在抛物线的对称轴上． ① 补全图形，求二次函数的解析式； ②交对称轴于点M，若P，Q分别是线段上的点，求四边形周长的最小值． 变式7-1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，抛物线交轴于点，点交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，，点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值以及点的坐标； (3)将二次函数沿射线平移一定的单位长度，使得平移后的抛物线过点，记平移后的点对应点为，连接，点为平移后新抛物线上一动点，若满足，直接写出符合题意所有点的横坐标． 变式7-2．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，已知与x轴交于A、B两点，交y轴于C，连接，，过A作的平行线交抛物线于点D． (1)判断的形状； (2)点P是上方抛物线上的一点，过点P作于F，作轴交于点Q，交于E，当最大时，将沿射线平移得，当点与Q重合时停止运动，点M在上，点N在上，求的最小值； (3)如图2，将绕点A顺时针旋转得，当点落在抛物线的对称轴上时停止旋转，在x轴上有一动点H，连接，将翻折得到，是否存在点H，使得为等腰三角形？若存在，求出点H的坐标，若不存在，说明理由． 变式7-3．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交坐标轴于点，，抛物线过，两点，且与轴的另一交点为点．    (1)求抛物线解析式； (2)如图2，点是第二象限内抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，连接，将该抛物线沿射线方向平移后过点，点为平移后抛物线对称轴上的一个动点，连接，，若中有一个内角为，请写出所有符合条件的点坐标，并写出其中一个点的求解过程． 1．（2021·重庆九龙坡·三模）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，点C坐标为（﹣4，0），E为BC上靠近点C的三等分点，点B、E均在反比例函数y＝（k＜0，x＜0）的图象上，若tan∠OAD＝，则k的值为（　　） A．﹣2 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣4 2．（2022·浙江温州·一模）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在反比例函数（，）的图象上，且．将矩形OABC沿x轴正方向平移个单位得矩形，交反比例函数图象于点D，且，则k的值为 ． 3．（2025·广东韶关·二模）【问题背景】菱形的边长为，其中，是边上的一个动点，作射线，点关于直线的对称点为，连接，直线与射线交于点，连接． 【知识技能】 （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，连接，求证：； 【拓展探索】 （3）当在直线上运动时，求时，的长度是多少？ 4．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图1，点为上一点，轴，且，连接，设点的纵坐标为，的面积为，求与的函数解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，连接并延长交于点，将线段沿翻折交直线于点，若，求点的坐标． 5．（22-23九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，直线：分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线：交于点      (1)求直线和直线的解析式； (2)点E是射线上一动点，其横坐标为m，过点E作轴，交直线于点F，若以O、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求m值； (3)若点P为坐标轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（19-20九年级上·吉林长春·阶段练习）问题探究：如图①，在正方形中，点在边上，点在边上，且．线段与相交于点，是的中线．    （1）求证：． （2）判断线段与之间的数量关系，并说明理由． 问题拓展：如图②，在矩形中，，．点在边上，点在边上，且，，线段与相交于点．若是的中线，则线段的长为　 　． 7．（2023·辽宁·二模）已知抛物线，直线与y轴交于A，与x轴交于B．抛物线过A、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点M为抛物线第一象限一点，．若，求点M的横坐标； (3)如图2，，点P为中点，，且点E的横坐标为．，，作点A关于x轴的对称点F，，连接，．请直接写出的最小值（结果无需化简） ． 8．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）内接于，点在边上，射线交于点，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，作于点F，交于点G，，求证：为的直径； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，交边于点H，连接，若，求线段的长． 9．（2022·辽宁·中考真题）如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标； (3)P为抛物线上一点，连接，过点P作交抛物线对称轴于点Q，当时，请直接写出点P的横坐标． 10．（21-22九年级上·江西赣州·期末）已知，如图，将抛物线，，，，（n为正整数）称为“系列抛物线”，其分别与轴交于点，，，，，，． (1)①抛物线的顶点坐标为______； ②该“系列抛物线”的顶点在______上； ③与轴的两交点之间的距离是______． (2)是否存在整数，使以的顶点及该抛物线与轴两交点为顶点的三角形是等边三角形？ (3)以的顶点为一个顶点作该二次函数图象的内接等边△PMN（M，N两点在该二次函数的图象上），请问：的面积是否会随着的变化而变化？若不会，请求出这个等边三角形的面积；若会，请说明理由． 11．（2025·上海金山·一模）已知的顶点E在的内部，点D、点E在直线同侧． (1)如图1，联结，若和是等边三角形时，点C、点E、点D三点共线．，求的比值； (2)如图2，联结，，若求的值（用含n的代数式表示）； (3)在等腰三角形中，，，，点E在高上，点D在的延长线上，联结并延长交边于点F，联结，若，与相似时，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角函数综合题七类题型 典例详解 类型一、三角函数与三角形综合 类型二、三角函数与四边形综合 类型三、三角函数与正多边形综合 类型四、三角函数与圆形综合 类型五、三角函数与一次函数综合 类型六、三角函数与反比例函数综合 类型七、三角函数与二次函数综合 压轴专练 类型一、三角函数与三角形综合 例1．（2025·四川成都·三模）在中，，，点D，E分别在边，上（不与A，B，C重合），将线段绕点E顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点F与点C重合时，求证：； (2)如图2，当点F在边时，作，交于点G，试说明与有何数量关系，并证明； (3)如图3，若点E为中点，，，连接、，当为直角三角形时，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3)或或 【分析】（1）证明，从而； （2）以为圆心，长为半径圆弧，交于，取的中点，连接，可证得，从而，从而，进而得出，从而，从而得出结果； （3）作的垂直平分线，交于，连接，可求得，分两种情形：当时，即点在上时，作于，可得出，设，则，可得出，进而根据得方程，求得的值，进一步得出结果；当时，构造＂一线三等角＂得出，从而，，设，则，从而 ，根据得出的方程，根据勾股定理得方程，从而求得的值，进一步得出结果． 【详解】（1）如图，连接， 由题意得， ； （2） ，理由如下： 以为圆心，长为半径画弧，交于，取的中点，连接， ； （3）如图， 作的垂直平分线，交于，连接， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． （i）如图， 当时，即点在上时，作于， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由得，， ∴， ∴， ； （ii）当时， 作于，作于，作交于，作，交于， ∵， ∴， ∴， ，， ， ， ， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 由得，①， 取的中点，作于， 则，四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得，②， 由①②得，， 当时，， 当时，， 综上所述：或或． 变式1-1．（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）在等边中，过点A作． (1)如图1，点E在点A的左侧，点D是边上的中点，连接，过点D作交于点E，求证：． (2)如图2，点E在点A的右侧，连接，点G是的中点，连接并延长交于点F，过点G作交于点H，求证：． (3)若点E在点A的右侧，连接，点G是的中点，且，点P是直线上一动点，连接，将绕点G逆时针旋转得到，连接，在点P的运动过程中，当取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，平行线的性质，含角直角三角形的性质，解答证明即可． （2）过点F作于点M，根据等边三角形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质解答即可． （3）以边为边，在其右侧构造等边三角形，作直线，交于点K，交于点S， 证明，判定点Q的运动轨迹是直线，过点A作于点M，当点Q与点M重合时，取得最小值，过点G作于点O，并延长交于点S，过点B作交的延长线于点N， 过点A作于点T，连接，利用勾股定理，三角函数，等腰三角形的性质，垂线段最短解答即可． 【详解】（1）证明：∵等边三角形， ∴，， ∵，点D是边上的中点， ∴， ， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴． （2）解：过点F作于点M， ∵等边三角形， ∴，， ∵，点G是的中点，， ∴， ， ∵， ∴， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：以边为边，在其右侧构造等边三角形， 则，， 作直线，交于点K，交于点S， ∵绕点G逆时针旋转得到， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ∵； ∴ ∵， ∴， ∴点Q的运动轨迹是直线， 过点A作于点M， ∴当点Q与点M重合时，取得最小值， 过点G作于点O，并延长交于点S， ∵， ∴， ∴， 过点B作交的延长线于点N， ∵， ∴， 设， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点A作于点T， ∴， 连接， ∵，， ∴ ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角函数的应用，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角函数的应用，勾股定理，垂线段最短是解题的关键． 变式1-2．（2025九年级上·全国·专题练习）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比例互相唯一确定，因此，边长与角的大小之间可以互相转化类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的关系我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对如图，在中，，顶角的正对记作容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) (2)对于的正对值的取值范围是___________ (3)如图，已知，其中为锐角，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义、勾股定理等知识点，掌握“顶角的正对”的定义是解题的关键． （1）先说明是等边三角形可得，再根据“顶角的正对”的定义求解即可； （2）分别求得当无限接近 、无限接近两种情况，分别根据“顶角的正对”的定义求得的极值即可解答； （3）如图：在上取点，使，过点作于，连接，设，则、，再根据勾股定理可得，最后根据“顶角的正对”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：1． （2）解：当无限接近时，无限接近0，则无限接近0； 当无限接近时，等腰三角形的底无限接近于腰的二倍，故接近2． 所以的取值范围是． 故答案为． （3）解：如图：在上取点，使，过点作于，连接， 在中，， 设，则． ， 在中，， ． 变式1-3．（22-23九年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，在等腰中，，点为线段的中点，点、分别为线段和射线上一动点，连接．    (1)如图1，若，，，，求线段的长． (2)如图2，连接，线段分别交线段、于点、，若点为线段的中点，且，猜想线段和之间存在的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，若，，，为线段上一点，当取得最小值时，连接，将线段绕点逆时针方向旋转得线段，连接交于点且，记，，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作于点，根据等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理计算即可； （2）在上取，使得，连接，过点作交于点，利用．证，得，推出，利用证，推出，根据，即可证明； （3）先确定当取得最小值时， 、的位置，作作于，设，推出，当时，最小为，则最小为；连接、，作于，作于，作于，和交于，证点、、在同一条直线上，设，，根据“，”得，求出、的值，算出、、、的值，代入计算的值即可． 【详解】（1）如下图，过点作于点，    ∵，， ∴，， ∴，， ∵点为线段的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如下图，在上取，使得，连接，过点作交于点，    则，，，， ∵点为线段的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴设，则，， ， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∵，， ∴； ∴； （3）如下图，作于，    ∵，，， ∴是等边三角形， ， ， 设，则，，， ， 在中， ， 当时，最小为，则最小为， 此时，点、为、的中点， 如下图，连接、、，作于，作于，作于，和交于，    ∵将线段绕点逆时针方向旋转得线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴、、为等边三角形的三条中位线，都等于等边三角形边长的一半，、、将分为四个小的等边三角形， ∴，，， ， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ，即点、、在同一条直线上， 设，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， 得：， 解得：，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数计算、含角的直角三角形的性质，难度大，熟练掌握知识点，作辅助线推理证明是解题的关键． 类型二、三角函数与四边形综合 例2．（23-24九年级下·湖北·期末）如图，矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，若点在上，连接，，则值为 ． 【答案】 【分析】过作于点，交于点，由旋转和矩形的性质可得：，，，设，则，根据勾股定理求出，进而得到，根据同角的余角相等可得，推出，可求出，进而求出、和，证明四边形是矩形，得到，，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，交于点， 由旋转和矩形的性质可得：，，， ， 设，则， 在中，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，三角函数，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 变式2-1．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，在正方形中，点E在上，，连接，取中点F，过F作且使得，连接并延长，将绕点C旋转到，当A，G，三点共线且时， ． 【答案】 【分析】如图，过G作于T交于R，过G作于Q，交于N，连接，证明，设，求解，求解，，，证明，，过C作于S，求解，，，可得，过K作于V，可得，再解直角三角形可得答案． 【详解】解：如图，过G作于T交于R，过G作于Q，交于N，连接， 中点为F，，， ， 设， 正方形，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ∴， ， 于T交于R，过G作于Q，交于N， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， 过C作于S， 同理可得：，， ， ， ， ， ， ， 过K作于V， 由旋转可得：， 设， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，矩形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，锐角三角函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 变式2-2．（2025·湖北·一模）问题背景：如图1，在矩形中，，，点E是边的中点，过点E作交于点F． 实验探究： (1)在一次数学活动中，小明同学将图1中的绕点B按顺时针方向旋转，如图2所示，得到结论： ①__________； ②直线与所夹锐角的度数为__________．； (2)小明同学继续将绕点B按顺时针方向旋转，旋转至点D，E，F在一条直线上如图3所示位置时，求的面积； (3)在绕点B按顺时针方向旋转一周过程中，记的面积为S，直接写出S的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①利用矩形的性质、旋转的性质，以及特殊角的锐角三角函数值，证明，再结合相似三角形性质求解，即可解题； ②延长与交于点，记交于点，利用相似三角形性质和三角形内角和定理求解，即可解题； （2）过点作于点，利用线段中点特点和锐角三角函数求出，结合相似三角形性质，直角三角形性质，勾股定理求出，最后根据三角形面积公式求解，即可解题； （3）根据在绕点B按顺时针方向旋转一周过程中，的底边长度不变，找出高最大，以及最小的情况求解，即可解题． 【详解】（1）解：①四边形为矩形， ， ， ， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ； 故答案为：； ②延长与交于点，记交于点， ， ， ， ， 即直线与所夹锐角的度数为； 故答案为：； （2）解：过点作于点， 点E是边的中点，， ， ， ， 解得， 由①同理可证， ， ， ， ， ， ，解得， 在中，有， ， ， ， ， ， ； （3）解：在绕点B按顺时针方向旋转一周过程中，的底边长度不变， 当，，三点共线，面积最小，即， 记边上的高为，根据垂线段最短可知， 当，重合时，的高最大为，此时面积最大， ， ， ， ，即， 综上所述，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，锐角三角函数，垂线段最短，旋转的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 变式2-3．（2025·山东青岛·一模）如图①，在菱形中，，．动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，线段（点M，N分别与点A，D重合）从点D出发，沿方向匀速平移，速度为；线段停止运动时，点P也随之停止运动．交于点E，连接，．设运动时间为t（s）（），解答下列问题： (1)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (2)是否存在某一时刻t，使点E在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (3)设四边形的面积为，求S与t的函数关系式； (4)如图②，点是点N关于直线的对称点，连接，，当t为何值时，点M，B，在同一条直线上？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据菱形中，，．动点P从点B出发，速度为；同时，线段速度为，设运动时间为t，则，，，根据得到，列出比例式，当时，四边形是平行四边形，即可证； （2）根据，得，根据点E在的平分线上，得到，于是得到即，建立方程，解答即可； （3）连接与交于点O，求得，过点N作于点G，交于点H，则为菱形的高，根据，就可以得到，根据，得到，求得，后根据 解答即可． （4）连接与交于点O，设与交于点Q，求得，得到，证明，得，根据三角形中位线定理，得，故，解得． 【详解】（1）解：∵菱形中，，．动点P从点B出发，速度为；同时，线段速度为， 设运动时间为t，则，，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时，四边形是平行四边形，即可证， 于是，， 解得， 故当时，． （2）解：∵， ∴， ∵点E在的平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故当时，点E在的平分线上． ． （3）解：连接与交于点O， ∵菱形中，，． ∴，， ∴， 过点N作于点G，交于点H， 则为菱形的高， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ ． （4）解：连接与交于点O，设与交于点Q， ∵菱形中，，． ∴，， ∴， ∴， ∴， 根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握性质和三角函数的应用是阶梯的关键． 变式2-4．（2020·湖北襄阳·二模）已知四边形中，，分别是，边上的点，与交于点，令． 特例解析：如图1，若四边形是矩形，且，求证：； 类比探究：如图2，若四边形是平行四边形，当与满足什么关系时，仍然成立？并证明你的结论； 拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，若，，，，求的长． 【答案】特例解析：证明见解析；类比探究：与互补时，，证明见解析；拓展延伸：． 【分析】（1）由四边形是矩形，可知，根据，易证，则有； （2）根据，，得，，利用四边形为平行四边形，则有，，可得，，在的延长线上取一点，使，则有，可证，可得，根据，则有； （3）在（2）的条件下，可的结论：， ， 根据，得，作于 ，则为等腰直角三角形；根据，可令 ，则，；可得 ，解得；易证，则解得 ，由，代入值，解得 ． 【详解】（1）证明，如图1，四边形是矩形，可知 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）与互补时，，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴ 四边形为平行四边形，则有， ∴， 在的延长线上取一点，使，则有 ∴ ∴， ∵， ∴ （3）如图3，在（2）的条件下，可的结论： ， ， ∵ ∴ 作于， 则为等腰直角三角形； ∵，可令，则 ，； ∴ ，解得； ∴ 在与中，， ； ∴， ∴，即，解得 由，代入值，解得 ； 【点睛】本题主要考查了相似形综合题目、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角函数等知识；熟练掌握相关性质是解决问题的关键． 类型三、三角函数与正多边形综合 例3．（2024·山西忻州·二模）如图①，边长为的正方形的顶点C，D在正六边形的内部，如图②，将正方形沿向右平移一定距离，得到正方形 （顶点A，B，C，D平移后的对应点分别为，，，），此时点恰好落在边上，连接，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】连接，作，可推出四边形是平行四边形，得到；根据条件推出四边形是矩形，得即可求解． 【详解】解：连接，作，如图所示： 由题意得： 正六边形每一个内角度数为： ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∴ 解得： 故选：D 【点睛】本题考查了正多边形的性质、矩形积平行四边形的判定与性质、利用三角函数值求解边长等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础． 变式3-1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，正六边形的边长为4，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】过点C作于点G，根据正六边形的边长为2，得到，继而得到，，结合解答即可． 本题考查了正多边形的性质，特殊角的三角函数值，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】过点C作于点G， ∵正六边形的边长为4， ∴， ∴，， ∴， ∴, 故答案为：． 变式3-2．（2020·四川达州·中考真题）（1）【阅读与证明】 如图1，在正的外角内引射线，作点C关于的对称点E（点E在内），连接，、分别交于点F、G． ①完成证明：点E是点C关于的对称点， ，，． 正中，，， ，得． 在中，，______． 在中，，______． ②求证：． （2）【类比与探究】 把（1）中的“正”改为“正方形”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得： ①______； ②线段、、之间存在数量关系___________． （3）【归纳与拓展】 如图3，点A在射线上，，，在内引射线，作点C关于的对称点E（点E在内），连接，、分别交于点F、G．则线段、、之间的数量关系为__________． 【答案】（1）①60°，30°；②证明见解析；（2）①45°；②BF=(AF+FG)；（3）． 【分析】（1）①根据等量代换和直角三角形的性质即可确定答案；②在FB上取AN=AF，连接AN．先证明△AFN是等边三角形，得到 ∠BAN=∠2=∠1，然后再证明△ABN≌△AEF，然后利用全等三角形的性质以及线段的和差即可证明； （2）类比（1）的方法即可作答； （3）根据（1）（2）的结论，即可总结出答案． 【详解】解：（1）①∵，， ∴，即60°； ∵ ∴ 故答案为60°，30°； ②在FB上取FN=AF，连接AN ∵∠AFN=∠EFG=60° ∴△AFN是等边三角形 ∴AF=FN=AN ∵FN=AF ∴∠BAC=∠NAF=60° ∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2 ∴∠BAN=∠2 ∵点C关于的对称点E ∴∠2=∠1,AC=AE ∴∠BAN=∠2=∠1 ∵AB=AC ∴AB=AE 在△ABN和△AEF FN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE ∴△ABN≌△AEF ∴BN=EF ∵AG⊥CE，∠FEG=30° ∴EF=2FG ∴BN=EF=2FG ∵BF=BN+NF ∴BF=2FG+AF （2）①点E是点C关于的对称点， ，，． 正方形ABCD中，，， ，得． 在中，， 45． 在中，， 45． 故答案为45°； ②在FB上取FN=AF，连接AN ∵∠AFN=∠EFG=45° ∴△AFN是等腰直角三角形 ∴∠NAF=90°，AF=AN ∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2=90°,FN=AF ∴∠BAN=∠2 ∵点C关于的对称点E ∴∠2=∠1,AC=AE ∴∠BAN=∠2=∠1 ∵AB=AC ∴AB=AE 在△ABN和△AEF FN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE ∴△ABN≌△AEF ∴BN=EF ∵AG⊥CE，∠FEG=45° ∴EF=FG ∴BN=EF=FG ∵BF=BN+NF ∴BF=FG+AF （3）由（1）得：当∠BAC=60°时 BF=AF+2FG= ； 由（2）得：当∠BAC=90°时 BF=AF+2FG=； 以此类推，当当∠BAC= 60°时， ． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数的应用，灵活应用所学知识是解答本题的关键． 类型四、三角函数与圆形综合 例4．（2025·上海·模拟预测）如图，线段的中点是点，以点为圆心，为半径作，点是上一点（不在直线上），连接、、． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用角相等，角的两边对应成比例即可证明两三角形相似； （2）为求，则过点作，垂足为点，利用求解．为求，先求，故过点作，垂足为点，易求，设，根据几何关系依次计算即可． 本题考查了三角形相似的判定、等腰直角三角形的性质、三角函数的应用． 【详解】（1）证明：∵， ， 在与中， ， ∴． （2）解：过点作，垂足为点．过点作，垂足为点． ∴是等腰直角三角形， 根据勾股定理可知， 设， 则， 在中，∵， ． 变式4-1．（24-25九年级下·全国·期末）如图，为的弦，直径于点E，且，点F为上的一点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)设，的半径为r，则， 利用勾股定理解答即可． (2) 连接，根据直径于点E，得到，，根据正弦函数的定义解答即可． 本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，三角函数的应用，熟练掌握定理和三角函数是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵为的弦，直径于点E，且， ∴，. 设，的半径为r， 则， 连接， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）解：如上图，连接， ∵直径于点E，， ∴， ∴， ∴． 变式4-2．（2020·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，以为直径的，交于点，且交直线于点，连接． 如图1，求证：； 如图2，为钝角时，过点作于点求证：； 如图3，在的条件下，在∠BDF的内部作，使分别交于点交于点，若，求的长． 【答案】(1) 见解析；(2)见解析；(3) 【分析】（1）如下图，连接AD，将∠CBE转化为∠CAD，从而证明； （2）如下图，延长交于连接，先利用Rt△ECB得到，CD=DB=ED，再利用垂径定理得出DB=BK，进而得出BE与DF的关系； （3）如下图，先证，从而在中得出AB的长，结合、、可求得DG的长，最后利用推导出MG的长． 【详解】（1）证明：连接 为的直径 又 垂直平分 平分 （2）证明：延长交于连接 为的直径 且为的直径 （3）解：连接，连接 在中， ， 在中， 过作于， 则在中， 设， 在中， ， 在中， 连接， 即 【点睛】本题考查圆的性质、全等三角形、相似三角形和三角函数的计算，属于几何综合题，解题关键是利用几何图形的相关性质，进行线段长度转化求解． 变式4-3．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）已知为的直径，点C、D为上的两个点，交于点F，点E在上，交于点G，且． (1)如图．求证：； (2)如图，若平分，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，连接，若． ①求证； ②若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)①证明见解析；② 【分析】（1）因为是的直径，所以，即，证，可得，可得； （2）连接交于，连接，由平分，得，所以，，用面积法可证，可得； （3）①作于，于，证明，可得，由，可得，由，可得，根据，设，则，可得的值，从而可得结论． 【详解】（1）解：证明： 是的直径 （2）解：如图，连接交于，连接 平分 ， 由（1）可知 ， （3）①解：如图，作于，于 平分 设 ②， 设 【点睛】此题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，等腰三角形的判定，解题关键是灵活运用圆中的基本性质． 类型五、三角函数与一次函数综合 例5．（2025·广东江门·一模）综合运用 如图，直线分别交x轴，y轴于点点分别在直线轴负半轴上运动，且始终满足.连接，交y轴于点E.以为斜边构造等腰直角三角形，且点按顺时针方向排列，连接点C的横坐标为． (1)分别求的长． (2)若点在线段上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据直线分别交x轴，y轴于点得到，继而求得，． （2）过点C作于点G，作于点H，得四边形是矩形，再证明，借助，，分三种情况，列出等式解答即可． 【详解】（1）解：∵直线分别交x轴，y轴于点 当时，；当时，； ∴，， ∴，． （2）解：过点C作于点G，作于点H， 四边形是矩形， ∴，，， ∵点在线段上，且横坐标为，直线解析式为， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理，得， 解得或， ∵点在线段上， ∴， ∴舍去， ∴， 当， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵点在线段上， ∴， ∵在的内部，且是锐角， ∴小于， ∴是锐角， ∴此时不符合题意， 综上所述，符合题意的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，矩形的判定和性质，勾股定理的应用，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，解方程，熟练掌握性质，勾股定理，三角函数的应用，相似是解题的关键． 变式5-1．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，点在第一象限内，射线轴，且； (1)如图1，求的正切值； (2)如图2，点在线段上运动，过点作交线段于点，作直线交轴于点D，当为线段的中点时，求直线的解析式； (3)如图3，在（2）的条件下，点在第四象限内，，点、分别在线段、上，将绕点逆时针旋转得，若点在直线上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作于点，先求出点、的坐标，得到，，证明四边形为矩形，可求出、的长，即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，在、、、中利用锐角三角函数得出边的关系，求出的长，即可求解； （3）过点作于点，交轴于点，过点作于点，过点作于点，连接交轴于点，先证明，得出，，利用边角关系求出点、的坐标，可求出直线的解析式，再求出直线的解析式，则两条直线的交点即为点． 【详解】（1）过点作于点， 在中，当时，，当时，，解得： ， ，， 轴， ， 四边形为矩形， ，， 在中，， ， ， 在中，； （2）在图1中，在中，， 在图2中，过点作于点，过点作于点， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ， 为的中点， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， （3）过点作于点，交轴于点，过点作于点，过点作于点，连接交轴于点． ， 在中，， ， ， ， ， ， 由（2）知，在中，， 由勾股定理可得：，即， 解得：，， 由（2）知，， 在中，，， ， 在中，由勾股定理可得：，即， 解得：，， ， ， ， ， ， ， ， 线段绕着点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 在中,， ，， ， 设直线的解析式为 ， ， ， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得： 点的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数，三角函数，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，并正确作出辅助线． 变式5-2．（23-24九年级上·上海·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点．    (1)求的余切值； (2)如果点为直线上第一象限内的点，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，直线上是否存在点，使与相似，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据余切值的定义，即可求得． （2）画出图，根据相似三角形的性质即可求得． （3） 根据的角所对边的关系，从而分类讨论找出两个符合条件的点，利用相似即可求得坐标． 【详解】（1）解：根据题意得直线与轴交点的坐标为，与轴交点的坐标为． ，． 在中，，． （2）解：过点作轴交轴于点，则． ． ，． ，，． ．点的坐标为．    （3）解：如图所示： ，． ，．又， 满足题意的点在的延长线上，且 设点()，则． ，，． (ⅰ)当时，，即， 则． 解得． 点的坐标为． (ⅱ)当时，，即． 解得． 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或．    【点睛】本题考查余切值、一次函数综合、相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键 变式5-3．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，直线与x轴相交于点C，且点C与点A关于y轴对称．    (1)求直线的解析式； (2)P为线段上一点，Q为线段上一点，，设点P的横坐标为t，的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，点R在第二象限内，且四边形为平行四边形，连接BR，，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别令、，求得，，再由点C与点A关于y轴对称，可得，再利用待定系数法求解即可； （2）如图，过点A作于点D，过点P作于点N，过点P作轴于点G，由，即，求得，设点，则，，可得，求得，再由，求得，，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）过点P作交于点E，根据平行线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的性质和平行四边形的性质可证，从而证明，可得，再利用，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B， 当时，，即；当时，， ∴，， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：如图，过点A作于点D，过点P作于点N，过点P作轴于点G， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴， ∵点P为直线上， 设点， ∴，， 即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；    （3）解：过点P作交于点E， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴．    【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点、坐标轴上点的坐标特征、用待定系数法求一次函数解析式、锐角三角函数、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 类型六、三角函数与反比例函数综合 例6．（2022年山东省济宁市创新联盟第五次中考模拟数学试题）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形AOCB是平行四边形，点D为边AB的中点，反比例函数在第一象限的图像交边AB于点D，设，已知，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作轴于点M，过点D作轴于点N，再由得到，求出相似比，设，表示出线段、，继而求出（a，），（，），再代入解析式可得a的值，再求解即可得到k的值． 【详解】 如图，过点C作轴于点M，过点D作轴于点N 四边形AOCB是平行四边形 点D为边AB的中点 设，则 （a，），（，） 代入反比例函数解析式为 整理得 解得 （舍去） 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数、相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、三角函数等知识，准确地做出辅助线是解题的关键． 变式6-1．（2025·江苏苏州·一模）如图，四边形是菱形，其中点，点在反比例函数的图像上，与轴正方向的夹角为，且，反比例函数的图像与线段交于点． (1)求的值； (2)点为反比例函数图像上的一个动点（点在点，之间运动，不与，重合），过点作，垂足为点，过点作，交于点，连接．若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）延长交x轴于点Q，根据题意，得,结合已知得到,设，于是，确定，继而确定，求． （2）延长交于点F，过点N作于点G，得,，得到四边形是平行四边形即，得到，设，求得，过点E作轴于点H，则四边形是矩形，当时，，求解即可． 【详解】（1）解：延长交x轴于点Q， ∵四边形是菱形，点， ∴，， ∴， ∵与轴正方向的夹角为，且， ∴, 设， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， 解得． （2）解：延长交于点F，过点N作于点G， ∵四边形是菱形，点， ∴,， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 解得； ∴， 过点E作轴于点H， 则四边形是矩形， ∴， ∴， 故当时，， 故点． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形面积计算，三角函数的应用，熟练掌握待定系数法，三角函数的应用是解题的关键． 变式6-2．（21-22九年级上·山东菏泽·期末）矩形中，，分别以所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)当点F为边的中点时，求点E的坐标； (2)连接，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定出点A，B坐标，进而求出点C坐标，再用点F是中点，求出点F坐标，利用待定系数法求出k，最后将点E的纵坐标为3代入反比例函数解析式中即可求出点E坐标； （2）设出点，代入反比例函数中得出，进而用m表示出，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 四边形是矩形， ， ， 点F是的中点， 点F在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点E在反比例函数的图象上，且纵坐标为3， 点E的横坐标为， （2）解：如图，设点， 点E，F在反比例函数的图象上， ， ， ， 在中， 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，锐角三角函数，掌握反比例函数的性质是解题关键． 变式6-3．（21-22九年级上·广东梅州·期末）已知反比例函数y=的图象经过点A（6，1）． (1)求该反比例函数的表达式； (2)如图，在反比例函数y=在第一象限的图象上点A的左侧取点C，过点A作x轴的垂线交x轴于点H，过点C作y轴的垂线CE，垂足为点E，交直线AH于点D． ①过点A、点C分别作y轴、x轴的垂线，两条垂线相交于点B，求证：O、B、D三点共线； ②若AC=2CO，求证：∠OCE=3∠CDO． 【答案】(1)y= (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）利用待定系数法求出k即可． （2）①过点C作CM⊥x轴于M，过点A作AN⊥y轴于N，CM交AN于点B，连接OB，设C（t，），则B（t，1），D（6，），根据三角函数的定理得到∠BOM=∠DOH，于是得到O、B、D三点共线； ②设AC交BD于J．根据平行线的判定定理得到CD∥AB，CB∥AD，推出四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的性质得到四边形ABCD是矩形，求得CJ=JD．于是得到结论． 【详解】（1）解：∵反比例函数y=的图象经过点A（6，1）， ∴1=， ∴k=6， ∴反比例函数的解析式为y=． （2）证明：①过点C作CM⊥x轴于M，过点A作AN⊥y轴于N，CM交AN于点B，连接OB． ∵A（6，1），点C在y=的图象上， 设C（t，），则B（t，1），D（6，）， ∴tan∠BOM=，tan∠DOH=， ∴tan∠BOM=tan∠DOH， ∴∠BOM=∠DOH， ∴O、B、D三点共线． ②设AC交BD于J． ∵CD⊥y轴，AB⊥y轴， ∴CD∥AB， ∵CM⊥x轴，DH⊥x轴， ∴CB∥AD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ADC=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC=2CJ，BD=2JD，AC=BD， ∴CJ=JD． ∴∠JCD=∠CDO ∵AC=2CO， ∴CO=CJ， ∴∠COD=∠CJO， ∵∠CJO=∠JCD+∠CDO=2∠CDO， ∴∠COD=2∠CDO． ∴∠OCE=∠COD＋∠CDO=3∠CDO． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 类型七、三角函数与二次函数综合 例7．（2025·江苏镇江·一模）如图①，已知点A，B，C，D在二次函数的图像上，且，分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足为F，G，E，H．    (1)若轴，则与的数量关系为 ，连接，直线与直线交于点K，点K的横坐标为 （用含a，b的代数式表示）． (2)若与x轴不平行，试判断与的数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图②，已知，抛物线的对称轴为直线，且与x轴存在唯一交点，点A在y轴上，且，直线与直线交于点K，且点K恰好落在抛物线的对称轴上． ① 补全图形，求二次函数的解析式； ②交对称轴于点M，若P，Q分别是线段上的点，求四边形周长的最小值． 【答案】(1)， (2)不发生变化；理由见解析 (3)①，图见解析；② 【分析】（1）设，，，，根据轴易得点A与B，C与D关于该抛物线的对称轴对称，进而可知，即；由轴对称的性质可知直线与直线的交点K在该抛物线的对称轴上，即可确定点K的横坐标； （2）过点A，C分别作的垂线，垂足为S，T，设，，，，结合，易得，利用三角函数证明，进而可知，即； （3）①根据题意补画图形，进而确定，即可确定该函数解析式；②由①图，轴，易得，，，作点A关于的对称点，作点M关于的对称点，连接，则即为四边形周长的最小值，然后求解即可． 【详解】（1）解：如下图，    设，，，， ∵轴， ∴点A与B，C与D关于该抛物线的对称轴对称， ∴， ∴，即； ∵点A与B，C与D关于该抛物线的对称轴对称， ∴直线与直线的交点K在该抛物线的对称轴上， ∴点K的横坐标为． 故答案为：，； （2）不发生变化，证明如下： 如下图，过点A，C分别作的垂线，垂足为S，T，    设，，，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，即； （3）①如下图，    由，解得， ∴； ②由①图，轴， ∴， ∵， ∴，， 作点A关于的对称点，作点M关于的对称点，连接，    则即为四边形周长的最小值， ∵， ∴， ∴四边形周长的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 变式7-1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，抛物线交轴于点，点交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，，点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值以及点的坐标； (3)将二次函数沿射线平移一定的单位长度，使得平移后的抛物线过点，记平移后的点对应点为，连接，点为平移后新抛物线上一动点，若满足，直接写出符合题意所有点的横坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为， (3)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，设，则，，进而得到，，推出，即可求解； （3）根据，，可得，将二次函数沿射线平移一定的单位长度，相当于向右平移个单位，向下平移个单位，设平移后的新抛物线的解析式为，将新抛物线经过点代入可得到或，当时，新抛物线的解析式为，则，在轴上取点，连接交新抛物线于点，过点作于，则，利用待定系数法求出直线的解析式，再与新抛物线联立即可求出点的坐标；在轴上取点，连接交新抛物线于点，过点作于点，则，利用待定系数法求出直线的解析式，再与新抛物线联立即可求出点的坐标；当时，同理可求得点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线交轴于点，点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）抛物线交轴于点， ， 设直线的解析式为，将，分别代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 同理可得：直线的解析式为， 设，则， ， 轴， 点的纵坐标为，代入， 得， 解得：， ， ， ， ， 当时，取得最大值，此时，点； （3） ，， ，， ， ， ， 原抛物线的顶点坐标为， 将二次函数沿射线平移一定的单位长度，相当于向右平移个单位，向下平移个单位， 平移后的新抛物线的解析式为， 新抛物线经过点时， ， 解得：或， 当时，新抛物线的解析式为，则，如图， 在轴上取点，连接交新抛物线于点，过点作于，则， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 又， 是等腰直角三角形， , ， ， ， ， ， ，即， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ； 在轴上取点，连接交新抛物线于点，过点作于点， 则， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ； 当时，新抛物线的解析式为，则，如图， 在轴上取点，连接交新抛物线于点，过点作于点， 同理可得，直线的解析式为：， 联立， 解得：或（舍去）， ； 在轴上取点，连接交新抛物线于点，过点作于点， 同理可得，直线的解析式为：， 联立， 解得：或（舍去）， ； 综上所述，符合题意所有点的横坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及一次函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，三角函数，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的平移，解题的关键是正确作出辅助线，并灵活运用相关知识． 变式7-2．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，已知与x轴交于A、B两点，交y轴于C，连接，，过A作的平行线交抛物线于点D． (1)判断的形状； (2)点P是上方抛物线上的一点，过点P作于F，作轴交于点Q，交于E，当最大时，将沿射线平移得，当点与Q重合时停止运动，点M在上，点N在上，求的最小值； (3)如图2，将绕点A顺时针旋转得，当点落在抛物线的对称轴上时停止旋转，在x轴上有一动点H，连接，将翻折得到，是否存在点H，使得为等腰三角形？若存在，求出点H的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析； (2)； (3)存在，当 ，时，为等腰三角形． 【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、三角形相似的判定与性质、锐角三角函数等综合知识的运用，解决问题的关键是画出图形和分类． （1）由 得出进而得出结果； （2）先由最大时，得出点的位置，再得出平移后的位置，找出的最小时，的位置，进而求出； （3）为等腰三角形，分为三种情形，作出图形后，可以观察出两种，利用勾股定理列方程计算一种． 【详解】（1）解：如图， 由得， ， 又 ， ∴是直角三角形． （2）解：如图2， ∴共圆， 设 ∴的函数关系式是 ， 在 中， ∴当 时， 如图3， 连接交于， 交于， 则最小， ∵直线过 ∴的解析式是： ∴直线的解析式是： 由得， 在中， 在中， ， 则． （3）解：如图4， 当在的垂直平分线上时， 设 在中， ， 如图5， 当 如图6， 当时， 综上所述，当 ，时，为等腰三角形． 变式7-3．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交坐标轴于点，，抛物线过，两点，且与轴的另一交点为点．    (1)求抛物线解析式； (2)如图2，点是第二象限内抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，连接，将该抛物线沿射线方向平移后过点，点为平移后抛物线对称轴上的一个动点，连接，，若中有一个内角为，请写出所有符合条件的点坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】(1) (2)； (3)或或 【分析】（1）根据直线分别交坐标轴于点，，得到,代入抛物线的解析式中，计算即可． （2）设直线与直线的交点为点，计算，得即，设，则，，配方计算即可． （3）根据确定对称轴为，结合该抛物线沿射线方向平移后过点，需要将抛物线向右平移3个单位，向上平移个单位，此时新抛物线的对称轴为直线，分，，，计算即可． 【详解】（1）∵直线分别交坐标轴于点，， ∴, 把代入抛物线的解析式中，得 ， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）设直线与直线的交点为点， ∵直线分别交坐标轴于点，， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ， ∵, ∴有最大值，且当时，最大，最大值为， 当时，． 故点P的坐标为．    （3）∵， ∴对称轴为， ∵该抛物线沿射线方向平移后过点， ∴需要将抛物线向右平移3个单位，向上平移个单位， ∴新抛物线的对称轴为直线，设对称轴与x轴的交点为M， 则， ∴， 当时， 过点A作于点N， ∵， ∴，，    ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故； 当时，平行于对称轴，无解； 当时， 过点B作于点G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 以点G为圆心，以为半径作，交对称轴于点Q，点N， 根据题意，得, ∴， ∴，    ∴, 当点E与点Q，点N重合时，就是所求， 综上所述，满足条件的点E的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，构造二次函数求最值，利用定弦定角求坐标，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握待定系数法，准确构造二次函数，构造辅助圆是解题的关键． 1．（2021·重庆九龙坡·三模）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，点C坐标为（﹣4，0），E为BC上靠近点C的三等分点，点B、E均在反比例函数y＝（k＜0，x＜0）的图象上，若tan∠OAD＝，则k的值为（　　） A．﹣2 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣4 【答案】C 【分析】根据已知条件运用点B，E都在反比例函数图象上，再运用tan∠OAD＝即可求解． 【详解】如图所示，过点B作BN⊥轴，过点E作EM⊥轴 ∴EM∥BN ∴△ECM∽△BCN ∵E为BC三等分点 ∴EC=BC ∴ 设B点的坐标为：（-m，n） ∵C（-4,0） ∴OC=4 ∴ON=m，BN=n 则CN=4-m ∴EM=BN= CM=CN= OM=OC-CM=4-= ∴E（-，） ∵tan∠OAD= ∴tan∠OAD= 则OA=2OF ∴tan∠AFO=2 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC ∴∠ECM=∠AFO ∴tan∠ECM= 即÷=2 n=8-2m ∴B（-m，8-2m）E（-，），两点都在上 ∴-m（8-2m）=-× 解得m=1 ∴B（-1,6） ∴k=-1×6=-6 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数上点的坐标特征平行四边形的性质及解直角三角形，本题的解题关键是确定B，E点的坐标，利用tan∠OAD=的关系即可得出答案． 2．（2022·浙江温州·一模）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在反比例函数（，）的图象上，且．将矩形OABC沿x轴正方向平移个单位得矩形，交反比例函数图象于点D，且，则k的值为 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得出点B的纵坐标为．将代入反比例函数解析式，即可求出点A和B的横坐标为．再根据平移方式可得出点和D的横坐标为，再将代入反比例函数解析式，可求得点D的纵坐标．最后根据，结合锐角三角形函数和两点的距离公式即可求得k的值． 【详解】∵，四边形OABC为矩形， ∴点B的纵坐标为． 将代入反比例函数解析式，得：， 解得：， ∴点A和B的横坐标为． ∴点和D的横坐标为， 将代入反比例函数解析式，得：， ∴点D的纵坐标为． ∵， ∴，, ∴，即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角形函数和两点的距离公式．根据各知识点用k表示出各点坐标是解题关键． 3．（2025·广东韶关·二模）【问题背景】菱形的边长为，其中，是边上的一个动点，作射线，点关于直线的对称点为，连接，直线与射线交于点，连接． 【知识技能】 （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，连接，求证：； 【拓展探索】 （3）当在直线上运动时，求时，的长度是多少？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当在直线上运动，时，或 【分析】（1）根据对称得到垂直平分；得到，证出；得到，根据菱形性质得到，根据；得到；求出；即可证出结论． （2）结合（1）得到四点共圆，得到；结合菱形性质；证出，得到，得到；即可证出结论； （3）①当点在点右侧时，过点作的垂线，交的延长线于点；结合三角函数和勾股定理求出；②当点在点左侧时，过点作的垂线，交的延长线于点；结合三角函数和勾股定理，再证出，求出即可． 【详解】解：（1）证明：∵点关于直线对称； ∴垂直平分； ∴；          又∵； ∴； ∴；             ∵四边形为菱形； ∴； ∵； ∴； ∴； ∴              （2）证明：∵； 由（1）得：； ∴； ∴四点共圆；   ∵和是同弧所对圆周角； ∴； ∵在四边形中， ，且； ∴； ∵四边形为菱形； ∴，； ∴，； ∴； 又∵； ∴；     ∴，即；   ∵，； ∴； ∴； ∴                      （3）①当点在点右侧时，过点作的垂线，交的延长线于点； ∵； ∴； ∴，； ∴； ∴在中，； 由（2）得：，即； ∴；                        ②当点在点左侧时，过点作的垂线，交的延长线于点；如图所示： ∵； ∴，； ∴； ∴在中，； 同（1）可证：，且和都是同侧所对； ∴四点共圆； ∵和是同弧所对圆周角，和是同弧所对圆周角； ∴，； ∴； ∴；              ∴，即； ∴； 综上所得，当在直线上运动，时，或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，菱形性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握四点共圆及相似三角形的判定与性质是解答本题的关键. 4．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图1，点为上一点，轴，且，连接，设点的纵坐标为，的面积为，求与的函数解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，连接并延长交于点，将线段沿翻折交直线于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)与的函数解析式 (3) 【分析】（1）直线与轴交于点，与轴交于点，，可求出的坐标，用待定系数法求解即可； （2）用含的式子表示出，的长，点到的距离为，根据三角形的面积公式即可求解； （3）根据折叠的性质，角的正切，三角形相似的判定和性质，一次函数的解析式，两点间的距离公式，计算求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，， ∴，， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为． （2）解：点为上一点，设点的纵坐标为，， ∴，则， ∵轴，且， ∴，点到的距离为， ∴． ∴与的函数解析式． （3）过点C作于点Q， ∵， ∴， ， ∵点的纵坐标为，， ∴，， ∴，， ∴， ∵轴，且， ∴，点到的距离为， ∴， 设所在直线的解析式为，把点代入得， ， ∴所在直线的解析式为， ∵，，设所在直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴所在直线的解析式为， ∵交于点， ∴， 解得，， ∴， 过点E作于点F，交于点N， 则， ∵轴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，， ∵沿翻折交直线于点，设与交于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设的解析式是， ∴， 解得， ∴的解析式是， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的解析式和性质，折叠的性质，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，三角函数的综合运用，熟练掌握三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，三角函数的综合运用是解题的关键． 5．（22-23九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，直线：分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线：交于点      (1)求直线和直线的解析式； (2)点E是射线上一动点，其横坐标为m，过点E作轴，交直线于点F，若以O、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求m值； (3)若点P为坐标轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线：；直线： (2)或 (3)或或或 【分析】(1)把点分别代入和解答计算即可． (2)根据题意，得点，，，根据轴，得到，只需满足，以O、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，列式计算即可． (3)分点P在x轴的正半轴，负半轴，y轴的正半轴，负半轴，利用三角函数计算即可． 【详解】（1）把点分别代入和，得 ， 解得， 故直线：；直线：． （2）∵直线：与y轴的交点为B，且点E在直线上，横坐标为m，轴与直线：的交点为F, ∴点，，， ∴，， ∵， ∴，以O、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 解得或， 故m的值为或．    （3）如图，当位于x轴的正半轴时，构成矩形， 直线：与y轴交于点B，与x轴交于点A， ∴，， ∴，线段中点坐标为， ∴点C是线段中点， ∴， ∴，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，， ∴， 过点作轴于点E， 则 ， ∵， 解得， 故； 延长交x轴的负半轴于点，过点作，交的延长线于点， 则四边形是矩形， ∴， ∴， 过点作轴于点D， ∴， ∵， 解得， ∵， 解得， ∴， 故； 延长交y轴的负半轴于点，过点作，交的延长线于点，过点作轴于点F， 则四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得，， ∴，   故； 过点作轴的垂线段，交轴于点，作的垂线，交于点，此时四边形是矩形， ， ， 综上所述，存在这样的点Q，且坐标分别为或或或．    【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，矩形的判定和性质，三角函数，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，三角函数，勾股定理是解题的关键． 6．（19-20九年级上·吉林长春·阶段练习）问题探究：如图①，在正方形中，点在边上，点在边上，且．线段与相交于点，是的中线．    （1）求证：． （2）判断线段与之间的数量关系，并说明理由． 问题拓展：如图②，在矩形中，，．点在边上，点在边上，且，，线段与相交于点．若是的中线，则线段的长为　 　． 【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析，． 【分析】（1）根据正方形的性质得，由SAS可证； （2）由得从而可得根据直角三角形的性质，即可求解；问题拓展：根据锐角的正切函数可得从而得进而可得，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2），理由如下： ， ∵在中，是边的中线， ∴； 问题拓展： ∵，， ∵在中，是边的中线， ∴， ∵四边形是矩形， ， ∵， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形、矩形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理以及锐角三角函数的定义，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 7．（2023·辽宁·二模）已知抛物线，直线与y轴交于A，与x轴交于B．抛物线过A、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点M为抛物线第一象限一点，．若，求点M的横坐标； (3)如图2，，点P为中点，，且点E的横坐标为．，，作点A关于x轴的对称点F，，连接，．请直接写出的最小值（结果无需化简） ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，三角函数的计算，解方程组，线段和的最小值，熟练掌握待定系数法，三角函数是解题的关键． （1）把，点分别代入解析式，计算即可． （2）先证明，过点O作于点E，交的延长线于点G，确定点G的坐标，再计算直线的解析式，联立抛物线的解析式构造一元二次方程，求得x的值即可． （3）以点E为中心，将顺时针旋转到，过点P作于点P，交于点H，证明,，作交于点I，证明,得到，利用三角形不等式计算即可． 【详解】（1）∵直线与y轴交于A，与x轴交于B， ∴，点， 把，点分别代入解析式， 得， 解得，故抛物线的解析式为． （2）∵直线与y轴交于A，与x轴交于B， ∴，点， ∴, ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点O作于点E，交的延长线于点G， ∵ ∴， ∴， 过点E作于点F， 则 ，， ∴， ， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． 根据题意，得， 解得（舍去）， 故点M的横坐标为． （3）以点E为旋转中心，将顺时针旋转到，过点P作于点P，交于点H， ∵，点，点P为中点， ∴，, ∵，且点E的横坐标为,, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴,， ∵， ∴轴, ， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， 作交于点I， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 解得 ∴， ∴， ∴， ∴， 故当三点共线时，最小， ∵点A关于x轴的对称点F，且， ∴ ∵， ∴， 的最小值， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）内接于，点在边上，射线交于点，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，作于点F，交于点G，，求证：为的直径； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，交边于点H，连接，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数； （1）根据圆周角定理求出，即可证出结论； （2）根据题意得到，求出，即可证出结论； （3）连接，连接交于点K，求出，得到，设，由勾股定理可求，，，再结合，求出，计算即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ． （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径． （3）解：连接，连接交于点K， ， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 设， 由勾股定理可求， ， ， ，， 由勾股定理得， ， ， ， ． 9．（2022·辽宁·中考真题）如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标； (3)P为抛物线上一点，连接，过点P作交抛物线对称轴于点Q，当时，请直接写出点P的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的横坐标为或或或 【分析】（1）把点和代入解析式求解即可； （2）过点D作DH∥y轴，交AC于点H，由（1）设，直线AC的解析式为，然后可求出直线AC的解析式，则有，进而可得，最后根据可进行求解； （3）由题意可作出图象，设，然后根据题意及k型相似可进行求解． 【详解】（1）解：把点和代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点D作DH∥y轴，交AC于点H，如图所示： 设，直线AC的解析式为， 由（1）可得：， ∴，解得：， ∴直线AC的解析式为， ∴， ∴， ∵DH∥y轴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大， ∴； （3）解：由题意可得如图所示： 分别过点C、Q作垂线，交过点P作y轴的平行线于点G、H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点，由题意可知：抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴， 当时，解得：， 当时，解得： 综上：点P的横坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合、三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的综合、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 10．（21-22九年级上·江西赣州·期末）已知，如图，将抛物线，，，，（n为正整数）称为“系列抛物线”，其分别与轴交于点，，，，，，． (1)①抛物线的顶点坐标为______； ②该“系列抛物线”的顶点在______上； ③与轴的两交点之间的距离是______． (2)是否存在整数，使以的顶点及该抛物线与轴两交点为顶点的三角形是等边三角形？ (3)以的顶点为一个顶点作该二次函数图象的内接等边△PMN（M，N两点在该二次函数的图象上），请问：的面积是否会随着的变化而变化？若不会，请求出这个等边三角形的面积；若会，请说明理由． 【答案】(1)①；②直线；③ (2)存在整数n，使以的顶点及该抛物线与轴两交点为顶点的三角形是等边三角形；理由见详解 (3)不会，这个等边三角形的面积为，理由见详解 【分析】（1）①利用二次函数的性质确定抛物线的顶点坐标； ②利用抛物线的顶点坐标特征，即顶点的横纵坐标相等可判断该“系列抛物线”的顶点在第一象限的角平分线上； ③通过解方程得到抛物线与轴的两点坐标，从而得到抛物线与轴的两交点之间的距离； （2）如图1，抛物线的顶点为，抛物线交轴于、两点，作轴于，则，根据等边三角形的性质得到，，再根据正切的定义可得，然后解方程即可； （3）如图2，作于，利用抛物线的对称性可得轴，设，，则，，再根据等边三角形的性质和正切的定义得到，则可求出，则，，然后根据三角形面积公式可计算出，于是可判断的面积不会随着的变化而变化． 【详解】（1）解：①抛物线的顶点坐标为； ②抛物线的顶点坐标为，即顶点的横纵坐标相等， 所以该“系列抛物线”的顶点在直线上； ③当时，，解得，，则抛物线与轴的两点坐标分别为，，，， 所以与轴的两交点之间的距离为； 故答案为，直线，； （2）解：存在． 如图1，抛物线的顶点为，抛物线交轴于、两点，作轴于，则， 为等边三角形， ，， 在中，， ，解得，（舍去）， 当为3时，使以的顶点及该抛物线与轴两交点为顶点的三角形是等边三角形； （3）解：的面积不会随着的变化而变化． 如图2，作于， 点为抛物线的顶点，为等边三角形， 点和点为对称点， 轴， 设，，则，， 为等边三角形， ，， 在中，， ， ，即， ，， ， 即的面积不会随着的变化而变化，它为定值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等边三角形的性质；会求抛物线与轴的交点坐标；理解坐标与图形性质． 11．（2025·上海金山·一模）已知的顶点E在的内部，点D、点E在直线同侧． (1)如图1，联结，若和是等边三角形时，点C、点E、点D三点共线．，求的比值； (2)如图2，联结，，若求的值（用含n的代数式表示）； (3)在等腰三角形中，，，，点E在高上，点D在的延长线上，联结并延长交边于点F，联结，若，与相似时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)EH或0 【分析】（1）过点A作于点H，可得，，根据勾股定理求出，根据，可以求出； （2）先证明，得到，再证明，即可求出； （3）先求出，，①当时，证明 ，进而证明，∴设，则，根据求出，﹒过点F作于点G，求出，，即可求出；②当时，则，证明，即可证明，即可得到E、H重合，C、F重合，从而得到﹒ 【详解】（1）解：如图，过点A作于点H， ∵是等边三角形， ∴， 设，则，， 在中，， ∵和是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ①如图， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 即， ∴， ∴﹒ 过点F作于点G， ， ∴﹒ ∵， ∴， 解得； ②如图， 当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴E、H重合，C、F重合， ∴﹒ 综上，或﹒ 【点睛】本题为相似三角形的综合应用，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数应用等知识，理解相关知识，根据题意正确添加辅助线，是解题关键，第（2）步注意分类思想运用． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $