专题06 一元一次方程（期末真题汇编，山西专用）七年级数学上学期

专题06 一元一次方程 6大高频考点概览 考点01 等式的性质 考点02 一元一次方程概念及方程的解 考点03 解一元一次方程 考点04 一元一次方程的实际应用 考点05 一元一次方程中的新定义问题 考点06 一元一次方程中的动点动线问题 地 城 考点01 等式的性质 一、 单选题 1．（24-25七年级上·山西大同期末）若，则下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山西临汾·期末）下列等式的变形，错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25七年级上·山西大同·期末）下列应用等式的性质的变形，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那 C．如果，那么 D．如果，那么 4．（24-25七年级上·山西运城·期末）下列运用等式基本性质的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）根据等式的性质，下列各式变形一定正确的是（   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（24-25七年级上·山西大同·期末）已知，则下列式子错误的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）已知，根据等式的性质，下列变形错误的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·山西运城·期末）如图，若天平保持平衡，且每根铅笔的质量相等，每块橡皮的质量也相等，则一块橡皮的质量是一根铅笔质量的（   ） A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 二、填空题 9．（24-25七年级上·山西太原·期末）设“、、”分别表示三种不同的物体，它们的质量分别为a，b，c，现用天平称了两次，情况如图1所示（天平均平衡），并由此得到如图2的结论．这一过程反映的代数基本事实用含字母a，b，c的式子可表示为 地 城 考点02 一元一次方程概念及方程的解 一、 单选题 1．（24-25七年级下·山西临汾·期末）关于的方程，当取不同值时，欣欣得到方程的解如下表所示，其中错误的解是（   ） 2 3 A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山西晋城·期末）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山西晋中·期末）下列各式中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25七年级上·山西晋中·期末）如果关于的方程的解为，那么k的值是 ． 5．（24-25七年级上·山西太原·期末）整式的值随x取值的不同而不同，下表是当x取不同值时所对应的整式的值，则关于x的一元一次方程的解为 ． x ﹣2 ﹣1 0 1 2 ax+b ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 地 城 考点03 解一元一次方程 一、 单选题 1．（24-25七年级下·山西临汾·期末）方程的解是（   ） A． B． C．1 D． 2．（24-25七年级下·山西临汾·期末）一元一次方程的解是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山西朔州·期末）已知关于的方程的解是，则的值是（   ） A． B． C．1 D．5 4．（24-25七年级上·山西运城·期末）已知关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级下·山西临汾·期末）当 时，代数式与的值相等． 三、解答题 6．（24-25七年级上·山西大同·期末）下面是小敏解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 任务一：（1）解答过程中，第______步开始出现了错误，产生错误的原因是______； （2）第三步变形的依据是______； 任务二：（1）该一元一次方程正确的解是______； （2）请写出两条解一元一次方程时应注意的事项． 任务三：小敏改正错误后，挑选了同类题型进行了巩固，请你和她一起解所选的方程：． 7．（24-25七年级上·山西大同·期末）解方程 (1)； (2)． 8．（24-25七年级上·山西运城·期末）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道题，甲，乙两位同学的解答过程分别如下： 甲同学： 乙同学： 解方程 解方程 解： ．．．第①步 解： ．．．第①步 ．．．第②步 ．．．第②步 ．．．第③步 ．．．第③步 ．．．第④步 ．．．第④步 ．．．第⑤步 ．．．第⑤步 . ．．．第⑥步 . ．．．第⑥步 老师发现这两位同学的解答过程都有错误．请根据两位同学的解答过程回答下面问题： (1)甲同学完成第①步的依据是_______； (2)甲同学是第_______步出错的，具体的错误是_______；乙同学是第_______步出错的，具体的错误是_______； (3)请直接写出该方程的正确解_______． 9．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）解下列方程： (1)； (2)． 10．（24-25七年级上·山西晋中·期末）（1） （2） （3）下面是小爱同学错题本上的一道题，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母得：，第一步 去括号得：，第二步 ________得：，第三步 合并同类项得：，第四步 系数化为1得：．第五步 ①以上解方程步骤中第三步进行的是______，这一步的依据是________； ②以上解题过程中，小爱从第_______步开始出错，错误的原因是______； ③请直接写出该方程正确的解______． 11．（24-25七年级上·山西大同·期末）用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是小严同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务． 解方程：． 解：去分母，得……………………第一步 去括号，得……………………第二步 移项，得……………………第三步 合并同类项，得……………………第四步 系数化为1，得……………………第五步 任务： ①以上解题过程中，第一步是依据________________________进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是____________________________； ②从第________步开始出错，这一步错误的原因是__________________________； ③请直接写出该方程正确的解． 12．（23-24七年级上·河南新乡·期末）解方程： (1)； (2)． 13．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）（）解方程：． （）下面是小雅同学解一元一次方程的过程，请同学们仔细阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．……第一步 去括号，得．……第二步 移项，得．……第三步 合并同类项，得．……第四步 系数化为，得．……第五步 任务： ①以上求解过程中，第一步变形的依据是__________；第二步去括号时依据的运算律是__________． ②从第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________． ③该方程的正确解为__________． 14．（24-25七年级上·山西大同·期末）解方程： (1)； (2)． 15．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）下面是小亮解方程的过程： 解：    （第一步）     （第二步）     （第三步）     （第四步）     （第五步） (1)以上求解步骤中，第一步进行的是_______，这一步的依据是_______． (2)以上求解步骤中，第_______步开始出现错误，错误的原因是_______． (3)请写出方程正确的解________． 16．（24-25七年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关于“美好方程”的研究报告研究人员：博学小组 研究对象：美好方程 研究思路：利用解一元一次方程的知识解每个方程，根据“美好方程”的定义，判断两个方程是否为“美好方程”． 研究内容： 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程的解为___▲ ，方程的解为___■ ，故这两个方程为“美好方程”． 任务： (1)材料中“▲”处应填______，“■”处应填______； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值． 17．（24-25七年级上·山西朔州·期末）（1）计算：； （2）下面是小颖同学解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：________，得．        第一步 去括号，得．        第二步 移项，得．        第三步 合并同类项，得．        第四步 方程两边同除以2，得        第五步 任务： ①以上求解步骤中，第一步进行的是________，这一步的依据是________________________________； ②以上求解步骤中，第________步开始出现错误，具体的错误是________________________________； ③该方程正确的解为________． 18．（24-25七年级上·山西太原·期末）（1）解方程：； （2）下面是小慧同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：解方程： ． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 任务一； ①以上步骤中，第 步是移项，移项的依据是 ； ②该同学的解答过程从第 步开始出错，错误的原因是 ； 任务二： 请写出正确的解答过程； 任务三： 除纠正上述错误外，请根据平时的学习经验，就解方程过程中还需注意的事项给其他同学提一条建议． 19．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程   解： ，得     …………第一步 去括号，得．         …………第二步 移项，得．           …………第三步 合并同类项，得．          …………第四步 方程两边同除以2，得       …………第五步 (1)任务一： ①以上求解步骤中，第一步进行的是 ，依据是 ． ②以上求解步骤中，第 步开始出现错误，具体的错误是 ． ③请你帮小彬同学写出正确解该方程的过程． (2)任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时得学习经验，就解一元一次方程过程中要注意的事项给其他同学提出一条建议． 20．（24-25七年级上·山西运城·期末）课堂上，老师设计了“接力游戏”，规则：一列同学每人只完成解方程的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出方程的解．请根据下面的“接力游戏”回答问题． 接力游戏 老师： 甲同学： 乙同学： 丙同学： 丁同学： 戊同学： 任务一：①在“接力游戏”中，甲同学是依据_____________进行变形的． ②在“接力游戏”中，出现错误的是_____同学，这一步的错误是_____________________． 任务二：在“接力游戏”中该方程的正确解是__________________． 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，针对解方程时还需要注意的事项给同学们提一条建议． 地 城 考点04 一元一次方程的实际应用 一、 单选题 1．（24-25七年级下·山西临汾·期末）超市里的每一件商品的包装盒（袋）上都印有条形码，每个条形码表示一个13位数，示意图如下：从左起，前3位是国家代码，接下来的5位代表厂商代码，再接下来的4位代表产品代码，最后一位是校验码，条形码的13位数符合这样的规则，将（左起）偶数位上所有数的和乘3后，与奇数位上所有数的和相加，总和为10的倍数．若一个商品的条形码为693698380010X，其中X表示待求的校验码，则X的值为（   ） A．3 B．5 C．2 D．0 2．（24-25七年级下·山西临汾·期末）如图，1个中国结由1个结体和2个流苏构成．某工厂生产一批中国结，已知该工厂有30名工人，每名工人一天可生产500个结体或2000个流苏，并且要使每天生产的结体和流苏刚好配套．设应安排名工人生产结体．由题意，可得方程_____________．横线处应填（   ） A． B．2000x C． D． 3．（24-25七年级下·山西忻州·期末）我省某地落实乡村振兴政策，开设乡村民宿业务，李经理统计了近一周民宿预定数量（预定渠道为团购和平台直播），其中总订单为500单，通过团购预定单量比平台直播预定单量的2倍少100单，则平台直播预定单量为（   ） A．150单 B．200单 C．250单 D．300单 4．（24-25七年级下·山西临汾·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竿．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿”．甲、乙两位同学分别给出自己的理解和做法： 甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程 则下列判断正确的是（　　） A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误 5．（24-25七年级上·山西大同·期末）《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作，全书共分为九章，其中“盈不足”一章记载了一道数学问题，题目大意：有人合伙买狗，每人出5钱，还差90钱；每人出50钱，刚好够．问合伙人数有多少？若设有x人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·山西运城·期末）如图，在大长方形（是宽）中放入6个长，宽都相同的小长方形，求小长方形的宽．解决这个问题时可设．小宇说：根据小长方形的长相等可列方程；小颖说：根据大长方形的宽相等可列方程．则小宇和小颖的说法正确的是（    ） A．小宇、小颖都正确 B．小宇、小颖都不正确 C．小宇正确，小颖不正确 D．小宇不完全正确，小颖正确 二、填空题 7．（24-25七年级下·山西晋中·期末）根据统计，某公交车每月支出费用为2200元，每月利润（利润=票款收入-支出费用）与每月的乘车人数的变化关系如表（票价固定不变）： 每月乘车人数/人 700 900 1100 1300 … 每月利润/元 400 … 观察表中的数据可推断出该公交车的单价或单人票价为 元． 8．（24-25七年级上·山西大同·期末）整理一批数据，由1人完成需要．先安排一些人整理，再增加4人一起整理，可完成这项工作的，假设这些人的工作效率相同，则先安排整理的人数为 人． 9．（24-25七年级上·山西运城·期末）“跟着悟空游山西”活动带火了一系列文创产品．如图，金属书签每个9元，煤炭挂件每个18.5元，张老师为奖励班里的42名学生，花606元为每名学生各挑选了两种文创产品中的一种，则这些礼物中煤炭挂件的数量为 个． 三、解答题 10．（24-25七年级上·山西运城·期末）综合与实践 问题情境：中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉和文化基因．为了让学生在校园内就能接触到丰富多彩的传统文化，某校开展学习传统文化技艺的活动——制作手工扇子．现委派张老师和李老师到材料批发市场购买所需物品． 问题解决： (1)两位老师相约从学校出发共同前往材料批发市场，但张老师因有事耽搁，故李老师骑自行车先行出发，20分钟后，张老师骑电动车前往，又走了20分钟后两人同时到达，已知电动车的平均速度比自行车平均速度多，求学校到材料批发市场的距离； (2)按照计划采买完成后，李老师和张老师同时出发返回学校，且使用的交通工具和行驶的平均速度均不变．张老师在返程5分钟后忽然想起忘记采购手工扇子所需的流苏穗，便立即骑车原路折返，并在材料批发市场停留6分钟进行采购． ①请通过计算说明张老师能否在李老师到达之前赶回学校？ ②张老师返回批发市场前，请直接写出两人一起返程几分钟时两人之间相距1千米． 11．（24-25七年级上·山西运城·期末）春节临近，运城市各商场掀起购物狂潮，现有甲、乙、丙三个商场开展的促销活动如下表所示： 商场 优惠活动 甲 全场按标价6折销售 乙 实行“满500元送500元购物券”的优惠，购物券可以在再购买时冲抵现金 （比如：顾客购物560元，赠券500元再次购买商品时可冲抵现金，不再送券） 丙 实行“充550抵1000”的优惠（比如：顾客购物1100元，他除充值550元外， 还需付款100元） 根据表中信息，解决问题： (1)三个商场同时出售一件标价680元的上衣、一条标价350元的裤子和一双标价340元的鞋，王阿姨想在一个商场同时购买这三件商品，实际付款请填表： 商场 甲商场 乙商场 丙商场 实际付款（元） ________ ________ ________ (2)张叔叔发现在甲、乙商场同时出售一件标价570元的上衣和一双标价超出500元的皮鞋，最后付款额也一样，请问这双皮鞋的标价是多少元？ 12．（24-25九年级上·山西大同·期末）在活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆上的点处用一根细线悬挂，左端处挂一重物，质量为，右端处挂有3个钩码，每个钩码质量是．已知，若使轻质木杆水平位置平衡，则动力臂的长是多少？（温馨提示：动力动力臂阻力阻力臂） 13．（24-25七年级上·山西大同·期末）某中学准备组织七年级学生参观冰雪大世界，学生门票为120元，冰雪大世界经营方为学校推出两种优惠方案． 方案一：所有学生门票打九折． 方案二：如果学生总人数超过100人，则超出部分打八折． 若该校参观学生人数为人，请解决下列问题： (1)请在下列表格中填写按两种方案购买门票分别需要支付的费用．（用含x的代数式表示） 方案 方案一 方案二 费用/元 ______ ______ (2)求参观学生人数为多少时，两种方案购买门票支付的费用一样． (3)若该中学七年级共有300名学生参观冰雪大世界，学校采用哪种方案购买门票更省钱？ 14．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 活动情境： 数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 问题情境： （1）老师将三角尺和三角尺按如图所示摆放在直线上，边落在直线上，，已知，则______°； 合作探究： （2）奋进小组将图中三角尺绕点C按逆时针方向进行旋转，当边首次落在直线上时则停止旋转．若三角尺以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒，请你帮忙解答下列问题： ①当______秒时，边落在边上； ②当平分时，_____秒； ③当______秒时，停止旋转． 深度探究： （3）腾飞小组受奋进小组的启发，继续在上图的基础上进行旋转探究：同时将三角尺和三角尺绕点C旋转，三角尺以每秒的速度逆时针旋转，三角尺以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时，两三角尺都停止旋转． 提出问题：求t为何值时，？ 15．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）为鼓励居民节约用电，某市试行阶梯电价按月收费制度，具体执行方案如下： 档次 每月每户用电量（单位） 电价（元/） 第一档 0.5 第二档 0.7 第三档 450以上 1 (1)若欣欣家3月份用电量为，则需缴电费______元； (2)若欣欣家4月份用电量为（其中x大于450），则应交电费多少元？（用含x的式子表示并化简） (3)某户居民5，6两个月份共用电，交电费290元．已知该户居民6月份用电量大于5月份，且5，6月份的用电量均小于，求该户居民5，6月份的用电量各是多少？ 16．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）如图，这是我国的传统家具八仙桌，一张八仙桌需配四条凳子．某工厂安排28名工人制作八仙桌和配套的凳子，平均每人每天能制作6张八仙桌或8条凳子（每人每天只制作一种）．为了使每天制作的八仙桌和凳子恰好配套，则应安排几人制作八仙桌？ 17．（24-25七年级上·山西晋中·期末）国产单机游戏《黑神话：悟空》的爆火，带火了山西文旅，为山西吸引了大量来自世界各地的游客，某景区为吸引外地游客，推出了两款精致的古建筑冰箱贴，该景区用1380元定制了A款和B款冰箱贴共100个，这两款冰箱贴的成本、标价如下表所示： 有关量 A款 B款 成本/（元/个） 13 15 标价/（元/个） 18 22 (1)A款冰箱贴和B款冰箱贴各定制了多少个？ (2)该景区将这两款冰箱贴打折出售，全部售出后，共获利252元，已知A款冰箱贴按标价的九折出售，则B款冰箱贴按标价的几折出售？ 18．（24-25七年级上·山西大同·期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答对一题得5分，可以选择不答，下表记录的是5名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 不答题数 答错题数 得分 A 15 3 2 79 B 19 0 1 94 C 18 1 1 91 D 16 2 2 82 E 18 2 0 94 (1)由表格知，不答一题得________分，答错一题扣________分． (2)某参赛者答错题数比不答题数的2倍少1，最后得分为76分，他答对了几道题？（请用方程作答） 19．（24-25七年级上·山西大同·期末）甲、乙两家超市以相同的价格出售同种商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市一次性购买商品满300元，超出300元的部分打八折；在乙超市一次性购买商品满200元，超出200元的部分打八五折．设某顾客一次性购物x元（x大于300）． (1)顾客去甲超市购物，需付款________元；去乙超市购物，需付款________元． (2)如果顾客在两家超市一次性购物相同且付款相同，求该顾客购物多少元． 20．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）下面是学习一元一次方程的应用时，老师出示的问题和两名同学所列的方程． 一元一次方程的应用问题：货车和客车从A，B两地同时相向而行，货车的平均速度为，客车的平均速度为，两车在离中点处相遇，求A，B两地相距多少千米？ 乐乐同学：． 丽丽同学：． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)乐乐同学所列方程中x表示的实际意义是__________；丽丽同学所列方程中y表示的实际意义是__________． (2)请你选择其中一名同学的解法完成上面的问题． (3)完成上述问题后，结合你平时的学习经验，就如何利用一元一次方程解决实际问题给同学们提一条建议． 21．（24-25七年级上·山西大同·期末）综合与实践 问题情境：财源滚滚随春到，喜气洋洋伴福来．春节来临之际，某实践活动小组对甜蜜水果店某天甲、乙两种水果的购进和销售情况进行了调查分析． 信息获取： 信息一，该水果店用元购进甲、乙两种水果共千克； 信息二．这两种水果的进价、售价如下表所示： 进价（元千克） 售价（元千克） 甲 乙 问题解决： (1)该水果店这一天购进甲、乙两种水果各多少千克？ (2)若该水果店按售价销售完甲种水果和部分乙种水果，剩余乙种水果按其售价的六折出售，共获利元，求按原售价售出乙种水果多少千克． 22．（24-25七年级上·山西大同·期末）问题情境： 如图是一块白色长方形纸板，宽是长的，将其四个角各剪去一个边长为的正方形，剩余部分可折成高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．    问题解决： (1)这个无盖长方体盒子有下列性质：纸质，白色，长方体形状，摸上去光滑，高为，质量为，等等．几何研究其中的哪些性质? (2)从前面观察这个长方体盒子，得到的平面图形的形状是__________． (3)已知得到的长方体盒子的底面长是宽的2倍，求这块长方形纸板的长和宽． 拓展延伸： (4)在（3）的条件下，若用这样的一块长方形纸板能折成高为的无盖长方体盒子，求这个长方体盒子底面的周长．（用含的代数式表示） 23．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 数学课堂上，李老师出示了如下信息： 信息一：某服装厂计划用布料加工成学生校服，已知每布料可以加工2件上衣或3条裤子，2件上衣需要配1条裤子． 信息二：一人整理这批校服需要完成，现计划由一部分人先整理，然后增加2人与他们一起整理，完成这项工作（假设这些人的工作效率相同）． 任务一：根据信息一李老师提出问题：应如何安排布料加工上衣和裤子才能刚好配套？能加工成多少套校服？ 小颖和小彬分别列出了尚不完整的方程如下： 小颖列的方程是“” 小彬列的方程是“” ①小颖同学所列方程中的x表示________，方程中？处应填________； ②小彬同学所列方程中的x表示________，方程中的表示________． 任务二：小亮根据信息二提出了问题：应安排多少人先整理？请你解决这个问题，并写出解答过程． 24．（24-25七年级上·山西朔州·期末）阅读与理解 下面是一篇关于日历的相关内容，请认真阅读并完成相应的任务： 如图是大家非常熟悉的日历，在日历中，横向相邻的两个数相差1，纵向相邻的两个数相差7．我们选择不同的方式框住日历中的数，所得到的规律是不一定相同的．现在用一个“十”字模型框住了5个数，由此可知，所框住的5个数的和是正中间的数的5倍． 任务一：勤奋小组在上面阅读的启发下，设计如图所示的框，框住日历中的4个数，如图左上角的数用表示． (1)用含的代数式分别表示出另外三个数； (2)求最大数与最小数的和减去另外两个数的和的结果． 任务二： (3)小亮说：“他的父亲12月出差6天，这6天的日期和为57．”请用方程写出小亮的父亲是哪一天出差走的． 25．（24-25七年级上·山西朔州·期末）项目化学习 【项目主题】探究冰箱的综合费用．（综合费用空调的售价电费） 【项目情境】王师傅准备购买一台当年生产的1.5匹空调，下面是王师傅经过比对后，最后选中的两款空调的部分基本信息．已知当地的电价是0.5元． 类别 能效等级 售价/元 平均每年耗电量 甲 1级 3000 640 乙 3级 2600 800 【驱动任务】 (1)分别求出这两种空调使用6年后的综合费用； (2)请说明这两款空调使用多少年后的综合费用相同； (3)空调一般的使用年限为10~12年，请根据空调的使用年限和综合费用，直接写出王师傅应选的空调． 地 城 考点05 一元一次方程中的新定义问题 一、解答题 1．（24-25七年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关于“美好方程”的研究报告研究人员：博学小组 研究对象：美好方程 研究思路：利用解一元一次方程的知识解每个方程，根据“美好方程”的定义，判断两个方程是否为“美好方程”． 研究内容： 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程的解为___▲ ，方程的解为___■ ，故这两个方程为“美好方程”． 任务： (1)材料中“▲”处应填______，“■”处应填______； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值． 2．（24-25七年级上·山西运城·期末）用“#”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：． (1)求的值． (2)，求m的值． 3．（23-24七年级上·吉林松原·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程 是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值． 4．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）对于两个整式A和B，我们定义一种新运算“@”：．例如：若，，则．根据以上定义，解答下列问题： (1)若，求． (2)若（其中k为常数），且的运算结果不含x的一次项，求k的值． 5．（24-25七年级上·山西长治·期末）阅读与思考 阅读下面的内容，并完成相应任务． 美好方程定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么我们就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以方程与互为“美好方程”． 任务： (1)请判断方程与是否互为“美好方程”，并说明理由． (2)若关于的方程与互为“美好方程”，求的值． 地 城 考点06 一元一次方程中的动点动线问题 一、填空题 1．（24-25七年级上·山西运城·期末）已知数轴上、两点位于原点两侧（点在点的左侧），点到原点的距离是点到原点距离的3倍，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度运动，、均沿轴正方向运动，当等于10时，运动时间为 秒． 二、解答题 2．（25-26七年级上·山西·期末）综合与探究 【背景知识】数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律，如：数轴上点、点表示的数分别为，且，则两点之间的距离可表示为，若，则两点之间的距离可表示为；线段的中点表示的数为，利用这些规律可以解决许多数学问题． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： ①两点间的距离__________，线段的中点表示的数为__________； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为__________；点表示的数为__________． (2)求当为何值时，两点相遇，并求出相遇点所表示的数； (3)求当为何值时，，并请你直接写出此时的中点表示的数． 3．（24-25七年级上·山西晋中·期末）综合与实践 已知数轴上有A、B、C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解 (1)数轴上点A、B、C表示的数分别为________、________、________； (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，当t为何值时，P、Q之间的距离恰好等于8个单位长度？ (3)如图2，若动点P、Q两点同时从A、B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒时，P、Q、R三点恰好有其中一点为其余两点的中点．请直接写出动点R的运动速度． 4．（24-25七年级上·山西朔州·期末）综合与实践 如图，数轴上有，，三点，分别表示数，，10．甲，乙两只电子蚂蚁分别从，两点同时出发相向而行，甲的速度为2个单位长度/秒，乙的速度为3个单位长度/秒． (1)求甲，乙运动多少秒相遇，并直接写出相遇点在数轴上对应的数是多少． (2)当甲运动到位于，两点之间，且甲到，，三点的距离之和为32个单位长度时，甲立即调头沿原路返回，速度不变且掉头的时间忽略不计．问：甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由． (3)若电子蚂蚁从点处出发，沿数轴向右运动，在运动过程中，蚂蚁到点和点的距离的中点分别记为点和点，请说明点和点的距离是否会发生变化． 5．（24-25七年级上·山西太原·期末）数轴上点，分别对应的数为，，且，满足． (1)直接写出 ， ； (2)甲蚂蚁从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，乙蚂蚁从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，运动秒时两只蚂蚁相距个单位长度，求的值； (3)若数轴上点在点的左侧，甲、乙两只蚂蚁分别从、两点同时相向而行，在点处相遇后，甲蚂蚁继续向点爬行，乙蚂蚁休息了秒再继续向点爬行，甲、乙两只蚂蚁到达点、后立即折返且仍在点处相遇．已知甲蚂蚁每秒爬个单位长度，乙蚂蚁每秒爬个单位长度，甲、乙两只蚂蚁第一次相遇用了秒，则 秒，此时 ． 6．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 已知在数轴上有，两点，点表示的数为，点在点的左边，且．若有一动点从数轴上点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向点匀速运动，动点从点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向点匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． 【建立模型】 （1）点表示的数是 ． （2）设运动时间为秒，则 ， ． （3）当 秒时，、停止运动． 【探索问题】 （4）求为何值时，点与点重合？ （5）问点运动多少秒与点相距个单位长度？ 7．（24-25七年级上·山西晋中·期末）综合与探究 【背景知识】数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律，如：数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，且，则A，B两点之间的距离可表示为，若，则A，B两点之间的距离可表示为；线段AB的中点表示的数为，利用这些规律可以解决许多数学问题． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离__________，线段的中点表示的数为__________； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为__________；点Q表示的数为__________． (2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并求出相遇点所表示的数； (3)求当t为何值时，，并请你直接写出此时的中点表示的数． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一元一次方程 6大高频考点概览 考点01 等式的性质 考点02 一元一次方程概念及方程的解 考点03 解一元一次方程 考点04 一元一次方程的实际应用 考点05 一元一次方程中的新定义问题 考点06 一元一次方程中的动点动线问题 地 城 考点01 等式的性质 一、 单选题 1．（24-25七年级上·山西大同期末）若，则下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查等式的基本性质．根据等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则两边同时乘以得。只有当时，才有。由于的值不确定，所以该等式不一定成立，故本选项符合题意； D、若，则，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级下·山西临汾·期末）下列等式的变形，错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等式的基本性质． 根据等式性质逐一分析选项，判断其变形是否正确即可． 【详解】解：A．若，则，符合等式两边同加减同一数仍成立，正确； B．若，则，符合等式两边同乘同一数仍成立，正确； C．若，则，但选项仅给出，未考虑的情况，因此结论不一定成立，错误； D．若，则，符合等式两边同除同一非零数仍成立，正确； 故选：C． 3．（24-25七年级上·山西大同·期末）下列应用等式的性质的变形，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． 【详解】解：A、如果，那么，正确； B、因为不知道是否为零，故不正确； C、如果，那么，正确； D、如果，那么，正确； 故选：B． 4．（24-25七年级上·山西运城·期末）下列运用等式基本性质的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的性质，掌握等式的基本性质成为解题的关键． 利用等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A． 如果，那么，故本选项错误，不符合题意； B． 如果，那么，故本选项正确，符合题意； C． 如果，那么，故本选项错误，不符合题意； D． 如果，那么，故本选项错误，不符合题意． 故选B． 5．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）根据等式的性质，下列各式变形一定正确的是（   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式性质1：等式两边加（或减）同一个数或式子，结果仍相等；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 根据等式的性质逐项判断，可得答案． 【详解】A. 若，当时，不成立，式子原变形不正确； B. 若，则，式子原变形正确； C. 若，则，式子原变形不正确；     D. 若，则，式子原变形不正确． 故选：B． 6．（24-25七年级上·山西大同·期末）已知，则下列式子错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．利用等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等，依次进行判断即可． 【详解】解：A中，，故选项正确，故选项不符合题意； B中，利用等式的性质2，两边都乘以，得，故选项正确，故选项不符合题意； C中，利用等式的性质2，两边都乘以，得，故选项正确，故选项不符合题意； D中，利用等式的性质1，两边都加上，得，故选项错误，故选项符合题意； 故选：D． 7．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）已知，根据等式的性质，下列变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质“性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等”，熟练掌握等式的基本性质是解题关键．根据等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、（等式的两边同时加1，结果仍相等），则此项正确，不符合题意； B、，则此项错误，符合题意； C、（等式的两边同时乘以，结果仍相等），则此项正确，不符合题意； D、（等式的两边同时减，结果仍相等），则此项正确，不符合题意； 故选：B． 8．（24-25七年级上·山西运城·期末）如图，若天平保持平衡，且每根铅笔的质量相等，每块橡皮的质量也相等，则一块橡皮的质量是一根铅笔质量的（   ） A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 【答案】B 【分析】本题考查等式，设每根铅笔的重量为x克，每块橡皮的重量为y克，根据天平保持平衡得到，然后得到即可解题． 【详解】解：设每根铅笔的重量为x克，每块橡皮的重量为y克． 由题意列方程得：， 解得：． 故选：B． 二、填空题 9．（24-25七年级上·山西太原·期末）设“、、”分别表示三种不同的物体，它们的质量分别为a，b，c，现用天平称了两次，情况如图1所示（天平均平衡），并由此得到如图2的结论．这一过程反映的代数基本事实用含字母a，b，c的式子可表示为 【答案】如果，，那么 【分析】本题考查了等式的性质，解题关键是熟练掌握等式的基本性质．先观察图形可知：，，然后根据等式的传递性得到a=c即可． 【详解】解：观察图1可知：，， ∴， ∴图2的结论用含字母a，b，c的式子可表示为：如果，，那么， 故答案为：如果，，那么． 地 城 考点02 一元一次方程概念及方程的解 一、 单选题 1．（24-25七年级下·山西临汾·期末）关于的方程，当取不同值时，欣欣得到方程的解如下表所示，其中错误的解是（   ） 2 3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程化简为关于的一元一次方程，代入各值计算对应的解，对比选项即可判断错误解． 【详解】原方程可化简为，解得（）． 当时，，与一致，正确． 当时，，但表中，矛盾，错误． 当时，，与一致，正确． 当时，，与一致，正确． 综上，错误的解为选项B． 故选B． 2．（24-25七年级下·山西晋城·期末）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了方程解的定义．方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，理解定义是关键．根据方程解的定义，将代入各选项方程，验证是否成立． 【详解】A. 方程左边：，右边为6，，不成立． B. 方程左边：，右边为，，不成立． C. 方程左边：，右边为，，成立． D. 方程左边：，右边为0，，不成立． 故选：C． 3．（24-25七年级上·山西晋中·期末）下列各式中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，理解“含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程叫做一元一次方程”是解题的关键． 【详解】解：A.未知数的次数是2，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； B.没有未知数，不是方程，故此选项不符合题意； C.是一元一次方程，故此选项符合题意； D.不是方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题 4．（24-25七年级上·山西晋中·期末）如果关于的方程的解为，那么k的值是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，把方程的解代入方程求解即可． 【详解】解：是方程的解， ， 解得， 故答案为：13． 5．（24-25七年级上·山西太原·期末）整式的值随x取值的不同而不同，下表是当x取不同值时所对应的整式的值，则关于x的一元一次方程的解为 ． x ﹣2 ﹣1 0 1 2 ax+b ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程得解，正确得出一元一次方程是解题的关键．一元一次方程为，根据图表求得即可得解． 【详解】 由表可知：， 故答案为： 地 城 考点03 解一元一次方程 一、 单选题 1．（24-25七年级下·山西临汾·期末）方程的解是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 解一元一次方程，通过去分母、移项、合并同类项等步骤求解即可． 【详解】解： 两边同乘6得：， 展开得：， 移项得：， 即：， 系数化为1得：， 故选：B． 2．（24-25七年级下·山西临汾·期末）一元一次方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，移项即可得到答案. 【详解】解：， ∴， 故选：C 3．（24-25七年级上·山西朔州·期末）已知关于的方程的解是，则的值是（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次方程解的应用，将方程的解代入方程进行求解即可. 【详解】解：把代入方程可得：， 解得：. 故选：D． 4．（24-25七年级上·山西运城·期末）已知关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解一元一次方程；先对关于的一元一次方程进行变形为，再根据关于x的方程的解为，得出，然后求解即可． 【详解】解：把方程变形为： ， ∵关于x的方程的解为， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 5．（24-25七年级下·山西临汾·期末）当 时，代数式与的值相等． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程． 根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵代数式与的值相等， ∴ 解得 故答案为： 三、解答题 6．（24-25七年级上·山西大同·期末）下面是小敏解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 任务一：（1）解答过程中，第______步开始出现了错误，产生错误的原因是______； （2）第三步变形的依据是______； 任务二：（1）该一元一次方程正确的解是______； （2）请写出两条解一元一次方程时应注意的事项． 任务三：小敏改正错误后，挑选了同类题型进行了巩固，请你和她一起解所选的方程：． 【答案】任务一：（1）去分母时，1漏乘了6；（2）等式的基本性质；任务二：；（3）答案不唯一，见解析；任务三： 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． 任务一：（1）根据去分母法则判断即可； （2）根据等式的基本性质求解即可； 任务二：（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （3）根据解一元一次方程的方法求解即可； 任务三：方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：任务一：（1）解答过程中，第一步开始出现了错误，产生错误的原因是去分母时，1漏乘了6； （2）第三步变形的依据是等式的基本性质； 任务二：（1） 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （3）移项要变号（答案不唯一）； 任务三：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 7．（24-25七年级上·山西大同·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法． （1）根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母（方程两边乘6），得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 8．（24-25七年级上·山西运城·期末）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道题，甲，乙两位同学的解答过程分别如下： 甲同学： 乙同学： 解方程 解方程 解： ．．．第①步 解： ．．．第①步 ．．．第②步 ．．．第②步 ．．．第③步 ．．．第③步 ．．．第④步 ．．．第④步 ．．．第⑤步 ．．．第⑤步 . ．．．第⑥步 . ．．．第⑥步 老师发现这两位同学的解答过程都有错误．请根据两位同学的解答过程回答下面问题： (1)甲同学完成第①步的依据是_______； (2)甲同学是第_______步出错的，具体的错误是_______；乙同学是第_______步出错的，具体的错误是_______； (3)请直接写出该方程的正确解_______． 【答案】(1)等式的基本性质2 (2)②；约分时“”中的分子“”没有加括号；①；去分母时，方程右边的“1”这一项没有“” (3) 【分析】（1）第①步去分母是在等式两边同时乘（或除以）相等的非零的数或式子，利用等式的性质2； （2）按照解一元一次不等式的步骤，检查甲同学和乙同学的解答过程即可解答； （3）去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1即可求解． 【详解】（1）解：甲同学完成第①步的依据是等式的性质2， 故答案为：等式的性质2； （2）解：甲同学是第②步出错的，具体的错误是约分时“”中的分子“”没有加括号；乙同学是第步①出错的，具体的错误是去分母时，方程右边的“1”这一项没有“”； 故答案为：②；约分时“”中的分子“”没有加括号；①；去分母时，方程右边的“1”这一项没有“”； （3）解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（24-25七年级上·山西晋中·期末）（1） （2） （3）下面是小爱同学错题本上的一道题，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母得：，第一步 去括号得：，第二步 ________得：，第三步 合并同类项得：，第四步 系数化为1得：．第五步 ①以上解方程步骤中第三步进行的是______，这一步的依据是________； ②以上解题过程中，小爱从第_______步开始出错，错误的原因是______； ③请直接写出该方程正确的解______． 【答案】（1）；（2）；（3）①移项，等式的基本性质1；②一，去分母时，1漏乘12；③ 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算及一元一次方程的解法，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据有理数的乘法分配律可进行求解； （2）先算乘方，然后再进行有理数的运算即可； （3）根据解一元一次方程的去分母的步骤可依次进行求解 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）①以上解方程步骤中第三步进行的是移项，依据是等式的性质1； ②以上解题过程中，小爱从第一步开始出错，错误的原因是1漏乘12； ③ 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 故答案为． 11．（24-25七年级上·山西大同·期末）用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是小严同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务． 解方程：． 解：去分母，得……………………第一步 去括号，得……………………第二步 移项，得……………………第三步 合并同类项，得……………………第四步 系数化为1，得……………………第五步 任务： ①以上解题过程中，第一步是依据________________________进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是____________________________； ②从第________步开始出错，这一步错误的原因是__________________________； ③请直接写出该方程正确的解． 【答案】①等式的性质2，乘法分配律；②三，从等号左边移项至等号右边未变号；③ 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． ①根据等式的基本性质、乘法分配律即可得； ②根据解一元一次方程的步骤中，移项法则即可得； ③根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤写出正确过程即可得． 【详解】①以上解题过程中，第一步是依据等式的性质2进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是乘法分配律； 故答案为：等式的性质2，乘法分配律； ②从第三步开始出错，这一步错误的原因是从等号左边移项至等号右边未变号； 故答案为：三，从等号左边移项至等号右边未变号 ③从第三步开始移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 12．（23-24七年级上·河南新乡·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键． （1）根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为1，得． 13．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）（）解方程：． （）下面是小雅同学解一元一次方程的过程，请同学们仔细阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．……第一步 去括号，得．……第二步 移项，得．……第三步 合并同类项，得．……第四步 系数化为，得．……第五步 任务： ①以上求解过程中，第一步变形的依据是__________；第二步去括号时依据的运算律是__________． ②从第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________． ③该方程的正确解为__________． 【答案】（）；（）①等式的性质；乘法分配律；②三，移项没有变号；③ 【分析】（）根据解一元一次方程的步骤解答即可求解； （）①根据等式的性质和乘法运算律即可求解；②根据移项要变号即可判定求解；③根据解一元一次方程的步骤求出方程的解即可； 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：（）移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； （）①第一步变形的依据是等式的性质；第二步去括号时依据的运算律是乘法分配律， 故答案为：等式的性质；乘法分配律； ②从第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项没有变号， 故答案为：三，移项没有变号； ③解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·山西大同·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，解一元一次方程的步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． 首先移项，把未知项移到等号的左边，常数项移到等号的右边，得到：，然后再合并同类项、系数化为，即可求出方程的解； 首先把方程的两边同时乘以，去掉分母，得到：，然后再去括号、移项、合并同类项、系数化为，即可求出方程的解． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 15．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）下面是小亮解方程的过程： 解：    （第一步）     （第二步）     （第三步）     （第四步）     （第五步） (1)以上求解步骤中，第一步进行的是_______，这一步的依据是_______． (2)以上求解步骤中，第_______步开始出现错误，错误的原因是_______． (3)请写出方程正确的解________． 【答案】(1)去分母；等式的基本性质（等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立） (2)二；等号右边的括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，等式的基本性质． （1）根据等式的基本性质即可作答； （2）结合解一元一次方程的基本方法逐步核算，即可作答； （3）按照解一元一次方程的基本方法解答即可． 【详解】（1）解：第一步进行的是去分母，依据是等式的基本性质（等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立）， 故答案为：去分母；等式的基本性质（等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立）； （2）解：第二步开始出现错误，原因是：等号右边的括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号， 故答案为：二；等号右边的括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； （3）解：原式去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为一得， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关于“美好方程”的研究报告研究人员：博学小组 研究对象：美好方程 研究思路：利用解一元一次方程的知识解每个方程，根据“美好方程”的定义，判断两个方程是否为“美好方程”． 研究内容： 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程的解为___▲ ，方程的解为___■ ，故这两个方程为“美好方程”． 任务： (1)材料中“▲”处应填______，“■”处应填______； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练进行计算是解题的关键． （1）解一元一次方程，即可得到； （2）把和的解求出，两个相加等于1，列方程，即可解答． 【详解】（1）解：，解得； ，解得， 故答案为：； （2）解：， 可得； ， 可得， 关于x的方程与方程是“美好方程”， ， 解得． 17．（24-25七年级上·山西朔州·期末）（1）计算：； （2）下面是小颖同学解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：________，得．        第一步 去括号，得．        第二步 移项，得．        第三步 合并同类项，得．        第四步 方程两边同除以2，得        第五步 任务： ①以上求解步骤中，第一步进行的是________，这一步的依据是________________________________； ②以上求解步骤中，第________步开始出现错误，具体的错误是________________________________； ③该方程正确的解为________． 【答案】（1）；（2）①去分母，等式的性质；②三，移项没变号；③ 【分析】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握计算法则是解题的关键： （1）根据乘法分配律计算； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解答． 【详解】解：（1） ； （2）①以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式的性质； 故答案为：去分母，等式的性质； ②以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项没变号； 故答案为：三，移项没变号； ③解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 方程两边同除以2，得， 故答案为： ． 18．（24-25七年级上·山西太原·期末）（1）解方程：； （2）下面是小慧同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：解方程： ． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 任务一； ①以上步骤中，第 步是移项，移项的依据是 ； ②该同学的解答过程从第 步开始出错，错误的原因是 ； 任务二： 请写出正确的解答过程； 任务三： 除纠正上述错误外，请根据平时的学习经验，就解方程过程中还需注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】（1） （2）任务一：①三；等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立； ②一；去分母后未加括号 任务二：详见解析 任务三：详见解析 【分析】（1）利用去括号，移项，合并同类项，系数化为1得步骤解方程即可； （2）任务一：①根据移项的定义及等式的性质即可求得答案； ②根据解题步骤即可求得答案； 任务二：利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1得步骤解方程即可； 任务三：根据解方程中易错点给出一条建议即可． 本题考查解一元一次方程，等式的性质，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：（1）原方程去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）任务一：①由解题步骤可得第三步是移项，依据为等式两边加（或减）同一个数（或式子）， 故答案为：三；等式两边加（或减）同一个数（或式子）； ②该同学的解答过程从第一步开始出错，错误的原因是去分母后未加括号， 故答案为：一；去分母后未加括号； 任务二：原方程去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得： ； 任务三：给出的建议为：去分母时注意原方程中的每一项（包括常数项）都要乘各分母的最简公分母（答案不唯一）． 19．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程   解： ，得     …………第一步 去括号，得．         …………第二步 移项，得．           …………第三步 合并同类项，得．          …………第四步 方程两边同除以2，得       …………第五步 (1)任务一： ①以上求解步骤中，第一步进行的是 ，依据是 ． ②以上求解步骤中，第 步开始出现错误，具体的错误是 ． ③请你帮小彬同学写出正确解该方程的过程． (2)任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时得学习经验，就解一元一次方程过程中要注意的事项给其他同学提出一条建议． 【答案】(1)①去分母；等式的性质2；②二；去括号时，括号前面是负号，括号里的每一项都要变号，这一步运算中有一项没有变号；③见解析 (2)去分母时，注意不要漏乘不含分母的项（答案不唯一） 【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）①根据一元一次方程的步骤即可得出答案；②根据一元一次方程的步骤即可得出答案；③根据一元一次方程的步骤即可得出答案； （2）根据解一元一次方程的方法即可得出答案． 【详解】（1）任务一： ①①以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，依据是：等式的性质2 ②以上求解步骤中，第二步开始出现错误，具体的错误是：去括号时，括号前面是负号，括号里的每一项都要变号，这一步运算中有一项没有变号； ③ 解：去分母，得     去括号，得 移项，得        合并同类项，得 方程两边同除以2，得 （2）任务二（答案不唯一） 如：Ⅰ.去分母时，注意不要漏乘不含分母的项（或正确运用等式的基本性质）； Ⅱ.移项时，注意变号（或正确运用等式的基本性质）； Ⅲ.去括号时，括号前面是“－”时，括号内各项都要变号； 20．（24-25七年级上·山西运城·期末）课堂上，老师设计了“接力游戏”，规则：一列同学每人只完成解方程的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出方程的解．请根据下面的“接力游戏”回答问题． 接力游戏 老师： 甲同学： 乙同学： 丙同学： 丁同学： 戊同学： 任务一：①在“接力游戏”中，甲同学是依据_____________进行变形的． ②在“接力游戏”中，出现错误的是_____同学，这一步的错误是_____________________． 任务二：在“接力游戏”中该方程的正确解是__________________． 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，针对解方程时还需要注意的事项给同学们提一条建议． 【答案】任务一：①等式的基本性质2 ②乙，去括号忘记变号 任务二：  任务三：去分母时没有分母的项也要乘以最小公倍数（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的一般步骤是解决本题的关键． 任务一：①根据去分母得依据等式的基本性质2进行解答即可； ②按照解方程的过程得到错误地方； 任务二：按解方程的步骤解题即可； 任务三：根据解方程的步骤提出建议即可． 【详解】解：任务一：①在“接力游戏”中，甲同学是依据等式的基本性质2进行变形的， 故答案为：等式的基本性质2． ②在“接力游戏”中，出现错误的是乙同学，这一步的错误是去括号忘记变号， 故答案为：乙，去括号忘记变号． 任务二： 在“接力游戏”中该方程的正确解是 故答案为：． 任务三：建议：去分母时没有分母的项也要乘以最小公倍数． 地 城 考点04 一元一次方程的实际应用 一、 单选题 1．（24-25七年级下·山西临汾·期末）超市里的每一件商品的包装盒（袋）上都印有条形码，每个条形码表示一个13位数，示意图如下：从左起，前3位是国家代码，接下来的5位代表厂商代码，再接下来的4位代表产品代码，最后一位是校验码，条形码的13位数符合这样的规则，将（左起）偶数位上所有数的和乘3后，与奇数位上所有数的和相加，总和为10的倍数．若一个商品的条形码为693698380010X，其中X表示待求的校验码，则X的值为（   ） A．3 B．5 C．2 D．0 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 根据题意得到，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得， ， 为10的倍数， ， ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·山西临汾·期末）如图，1个中国结由1个结体和2个流苏构成．某工厂生产一批中国结，已知该工厂有30名工人，每名工人一天可生产500个结体或2000个流苏，并且要使每天生产的结体和流苏刚好配套．设应安排名工人生产结体．由题意，可得方程_____________．横线处应填（   ） A． B．2000x C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意一天可生产个结体和个流苏，结合1个中国结由1个结体和2个流苏构成．列方程即可． 【详解】解：∵设应安排名工人生产结体，该工厂有30名工人， ∴安排名工人生产流苏， ∵每名工人一天可生产500个结体或2000个流苏， ∴一天可生产个结体和个流苏， ∵1个中国结由1个结体和2个流苏构成， ∴， 故选：D 3．（24-25七年级下·山西忻州·期末）我省某地落实乡村振兴政策，开设乡村民宿业务，李经理统计了近一周民宿预定数量（预定渠道为团购和平台直播），其中总订单为500单，通过团购预定单量比平台直播预定单量的2倍少100单，则平台直播预定单量为（   ） A．150单 B．200单 C．250单 D．300单 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题关键是要选择合适的量设为未知数． 设平台直播预定的单量为，根据题意建立方程并求解即可． 【详解】解：设平台直播预定的单量为单，则团购预定的单量为单，根据总订单量可列方程： ， 解得：， 所以平台直播预定单量为200单． 故选：B． 4．（24-25七年级下·山西临汾·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竿．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿”．甲、乙两位同学分别给出自己的理解和做法： 甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程 则下列判断正确的是（　　） A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误 【答案】A 【详解】本题考查一元一次方程的应用，读懂题意找到等量关系是解题的关键．分别根据人数或竹竿数作为未知数，建立方程并判断是否正确． 【分析】甲：设牧童人数为人， 根据竹竿总数相等，每人5竿多12竿时总数为，每人8竿少3竿时总数为， 故方程为，正确． 乙：设竹竿数为竿， 根据人数相等，每人5竿多12竿时人数为，每人8竿少3竿时人数为， 故方程为，正确． 综上，甲、乙均正确． 故选：A． 5．（24-25七年级上·山西大同·期末）《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作，全书共分为九章，其中“盈不足”一章记载了一道数学问题，题目大意：有人合伙买狗，每人出5钱，还差90钱；每人出50钱，刚好够．问合伙人数有多少？若设有x人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设有x人，根据狗的总价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程即可． 【详解】解：设有x人， 依题意，得：． 故选：A． 6．（24-25七年级上·山西运城·期末）如图，在大长方形（是宽）中放入6个长，宽都相同的小长方形，求小长方形的宽．解决这个问题时可设．小宇说：根据小长方形的长相等可列方程；小颖说：根据大长方形的宽相等可列方程．则小宇和小颖的说法正确的是（    ） A．小宇、小颖都正确 B．小宇、小颖都不正确 C．小宇正确，小颖不正确 D．小宇不完全正确，小颖正确 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据小长方形的长相等或大长方形的宽相等，即可得出关于x的一元一次方程，据此即可解答． 【详解】解：依题意找小长方形的长作为相等关系得：或找大长方形的宽做相等关系得． 所以小宇正确，小颖不正确． 故选：A． 二、填空题 7．（24-25七年级下·山西晋中·期末）根据统计，某公交车每月支出费用为2200元，每月利润（利润=票款收入-支出费用）与每月的乘车人数的变化关系如表（票价固定不变）： 每月乘车人数/人 700 900 1100 1300 … 每月利润/元 400 … 观察表中的数据可推断出该公交车的单价或单人票价为 元． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设单人票价为元，根据“利润=票款收-支出费用”列方程求解即可． 【详解】解：设单人票价为元，根据题意得： 解得：， 即单人票价为2元， 故答案为：2． 8．（24-25七年级上·山西大同·期末）整理一批数据，由1人完成需要．先安排一些人整理，再增加4人一起整理，可完成这项工作的，假设这些人的工作效率相同，则先安排整理的人数为 人． 【答案】2 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 设先安排人进行整理数据，把总工作量设为1，则人均效率（一个人完成的工作量）为，人先整理完成的工作量为，增加4人后再整理完成的工作量为，这两个工作量之和应等于总工作量的，据此列出方程求解． 【详解】解：设先安排整理的人数为x人，根据题意，得 ， 解得：， ∴先安排整理的人数为2人． 故答案为：2 9．（24-25七年级上·山西运城·期末）“跟着悟空游山西”活动带火了一系列文创产品．如图，金属书签每个9元，煤炭挂件每个18.5元，张老师为奖励班里的42名学生，花606元为每名学生各挑选了两种文创产品中的一种，则这些礼物中煤炭挂件的数量为 个． 【答案】24 【分析】本题主要考查一元一次方程和应用，设这些礼物中煤炭挂件的数量为x个，金属书签有个，根据总钱数为606元列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这些礼物中煤炭挂件的数量为x个，金属书签有个，根据题意得， ， 解得，， 所以，这些礼物中有24个煤炭挂件， 故答案为：24． 三、解答题 10．（24-25七年级上·山西运城·期末）综合与实践 问题情境：中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉和文化基因．为了让学生在校园内就能接触到丰富多彩的传统文化，某校开展学习传统文化技艺的活动——制作手工扇子．现委派张老师和李老师到材料批发市场购买所需物品． 问题解决： (1)两位老师相约从学校出发共同前往材料批发市场，但张老师因有事耽搁，故李老师骑自行车先行出发，20分钟后，张老师骑电动车前往，又走了20分钟后两人同时到达，已知电动车的平均速度比自行车平均速度多，求学校到材料批发市场的距离； (2)按照计划采买完成后，李老师和张老师同时出发返回学校，且使用的交通工具和行驶的平均速度均不变．张老师在返程5分钟后忽然想起忘记采购手工扇子所需的流苏穗，便立即骑车原路折返，并在材料批发市场停留6分钟进行采购． ①请通过计算说明张老师能否在李老师到达之前赶回学校？ ②张老师返回批发市场前，请直接写出两人一起返程几分钟时两人之间相距1千米． 【答案】(1) (2)①张老师能在李老师之前赶回学校，理由见解析；②4分钟或分钟或8分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数四则运算的实际应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． （1）设骑电动车的平均速度为，则骑自行车的平均速度为，根据路程相等建立方程求解即可； （2）①由（1）知学校到材料批发市场的距离和张老师的骑行速度及李老师的骑行速度，分别算出两人回到学校的时间，比较即可解答；②设返程分钟时两人之间相距1千米，根据题意，分张老师折回批发市场前，和折回批发市场后与李老师相遇前及相遇后，三种情况列出方程求解即可解答． 【详解】（1）解：设骑电动车的平均速度为，则骑自行车的平均速度为， 根据题意：， 解得：， 则， 答：学校到材料批发市场的距离为； （2）解：①张老师能在李老师之前赶回学校，理由如下： 由（1）知学校到材料批发市场的距离为，张老师的骑行速度为，李老师的骑行速度， 李老师回到学校的时间为：（小时）， 张老师回到学校的时间为：（小时）， ∵， ∴张老师能在李老师到达之前赶回学校； ②设返程分钟时两人之间相距1千米， 张老师折回批发市场前，根据题意：， 解得：， 张老师折回批发市场后与李老师相遇前，根据题意：， 解得：； 张老师折回批发市场后与李老师相遇后， 根据题意：， 解得：； 综上，两人一起返程4分钟或分钟或8分钟时两人之间相距1千米． 11．（24-25七年级上·山西运城·期末）春节临近，运城市各商场掀起购物狂潮，现有甲、乙、丙三个商场开展的促销活动如下表所示： 商场 优惠活动 甲 全场按标价6折销售 乙 实行“满500元送500元购物券”的优惠，购物券可以在再购买时冲抵现金 （比如：顾客购物560元，赠券500元再次购买商品时可冲抵现金，不再送券） 丙 实行“充550抵1000”的优惠（比如：顾客购物1100元，他除充值550元外， 还需付款100元） 根据表中信息，解决问题： (1)三个商场同时出售一件标价680元的上衣、一条标价350元的裤子和一双标价340元的鞋，王阿姨想在一个商场同时购买这三件商品，实际付款请填表： 商场 甲商场 乙商场 丙商场 实际付款（元） ________ ________ ________ (2)张叔叔发现在甲、乙商场同时出售一件标价570元的上衣和一双标价超出500元的皮鞋，最后付款额也一样，请问这双皮鞋的标价是多少元？ 【答案】(1)822；870；920 (2)680元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键． （1）按照不同的优惠方案算出实际花的钱数，然后填表即可； （2）设这双皮鞋的标价为x元，按照优惠方案算出实际付款数，根据付款额一样，列方程求解即可． 【详解】（1）解：选甲商城需付费用为（元）． 选乙商城需付费用为（元）． 选丙商城需付费用为（元）； 故答案为：822；870；920． （2）解：设这双皮鞋的标价为x元，根据题意得： ． 解得：． 答：这双皮鞋的标价为680元． 12．（24-25九年级上·山西大同·期末）在活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆上的点处用一根细线悬挂，左端处挂一重物，质量为，右端处挂有3个钩码，每个钩码质量是．已知，若使轻质木杆水平位置平衡，则动力臂的长是多少？（温馨提示：动力动力臂阻力阻力臂） 【答案】动力臂的长为 【分析】设的长为，则的长为，根据杠杆平衡条件，构建一元一次方程，解答即可． 本题考查了数学与物理的跨学科综合，一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设的长为，则的长为． 根据题意，得， 整理，得， 解得， 即． 答：动力臂的长为． 13．（24-25七年级上·山西大同·期末）某中学准备组织七年级学生参观冰雪大世界，学生门票为120元，冰雪大世界经营方为学校推出两种优惠方案． 方案一：所有学生门票打九折． 方案二：如果学生总人数超过100人，则超出部分打八折． 若该校参观学生人数为人，请解决下列问题： (1)请在下列表格中填写按两种方案购买门票分别需要支付的费用．（用含x的代数式表示） 方案 方案一 方案二 费用/元 ______ ______ (2)求参观学生人数为多少时，两种方案购买门票支付的费用一样． (3)若该中学七年级共有300名学生参观冰雪大世界，学校采用哪种方案购买门票更省钱？ 【答案】(1)，； (2)当参观学生人数为200人时，两种方案购买门票支付的费用一样； (3)学校采用方案二购买门票更省钱． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式以及代数式求值等知识，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系． （1）依据题意列出代数式并将代数式化简即为答案． （2）依据两种方案费用一样，列一元一次方程，解出的值即是所求答案． （3）分别求出两种方案的费用，再将费用进行比较即可求出哪个方案省钱． 【详解】（1）解：方案一：， 方案二：， 填写表格如下： 方案 方案一 方案二 费用/元 （2）解：根据题意得当时， ， 解得． 答：当参观学生人数为200人时，两种方案购买门票支付的费用一样． （3）解：当时，方案一应付（元）， 方案二应付（元）． 答：学校采用方案二购买门票更省钱． 14．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 活动情境： 数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 问题情境： （1）老师将三角尺和三角尺按如图所示摆放在直线上，边落在直线上，，已知，则______°； 合作探究： （2）奋进小组将图中三角尺绕点C按逆时针方向进行旋转，当边首次落在直线上时则停止旋转．若三角尺以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒，请你帮忙解答下列问题： ①当______秒时，边落在边上； ②当平分时，_____秒； ③当______秒时，停止旋转． 深度探究： （3）腾飞小组受奋进小组的启发，继续在上图的基础上进行旋转探究：同时将三角尺和三角尺绕点C旋转，三角尺以每秒的速度逆时针旋转，三角尺以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时，两三角尺都停止旋转． 提出问题：求t为何值时，？ 【答案】（1）75；（2）①5②10.5③12；（3）t为3秒或4.5秒时， 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算、与角平分线有关的角度的计算、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键． （1）由计算即可得到答案； （2）由（1）得，，当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数，因此；先求出旋转的角度，再根据时间路程速度，进行计算即可求解；③根据题意列式计算即可； （3）分两种情况：边与边相遇前；边与边相遇后，列方程进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ， 故答案为：； （2）解：由（1）得，， 当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数， 三角尺绕点逆时针旋转的速度为以每秒， ， 故答案为：5； 当边平分时，画出图如图所示， 边平分， ， 旋转角度为， ， 故答案为：10.5； ③由题意可得，， 故答案为：； （3）解：由（1）可知，两个三角尺旋转前，，边旋转的角度为，边旋转的角度为， 边与边相遇前，可得：， 解得：； 边与边相遇后，可得：， 解得：， 为3或4.5秒时，． 15．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）为鼓励居民节约用电，某市试行阶梯电价按月收费制度，具体执行方案如下： 档次 每月每户用电量（单位） 电价（元/） 第一档 0.5 第二档 0.7 第三档 450以上 1 (1)若欣欣家3月份用电量为，则需缴电费______元； (2)若欣欣家4月份用电量为（其中x大于450），则应交电费多少元？（用含x的式子表示并化简） (3)某户居民5，6两个月份共用电，交电费290元．已知该户居民6月份用电量大于5月份，且5，6月份的用电量均小于，求该户居民5，6月份的用电量各是多少？ 【答案】(1)170 (2) (3)该户居民5月份用电，6月份用电 【分析】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程，分类讨论是解题的关键． （1）根据表格列出算式进行计算即可求解； （2）根据表格列代数式即可； （3）设该户居民5月份用电为，则6月份用电为．该户居民6月份用电量大于5月份，且5，6月份的用电量均小于，得,分当时，当时，分类讨论，列出一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意： （元）； （2）解：根据题意： （元）； （3）解：设该户居民5月份用电为，则6月份用电为． 该户居民6月份用电量大于5月份，且5，6月份的用电量均小于， ∴解得, 当x小于或等于200时，根据题意，得， 解方程，得． 所以． 所以该户居民5月份用电，6月份用电． 当x大于200且小于250时， 根据题意，得， 该方程无解． 综上，该户居民5月份用电，6月份用电． 16．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）如图，这是我国的传统家具八仙桌，一张八仙桌需配四条凳子．某工厂安排28名工人制作八仙桌和配套的凳子，平均每人每天能制作6张八仙桌或8条凳子（每人每天只制作一种）．为了使每天制作的八仙桌和凳子恰好配套，则应安排几人制作八仙桌？ 【答案】应安排7人制作八仙桌 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设安排x人制作八仙桌，则有人制作配套的凳子，根据4条凳子和一张桌子配套，结合平均每人每天能制作6张八仙桌或8条凳子，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设安排x人制作八仙桌，则有人制作配套的凳子，根据题意得： ， 解得， 答：应安排7人制作八仙桌． 17．（24-25七年级上·山西晋中·期末）国产单机游戏《黑神话：悟空》的爆火，带火了山西文旅，为山西吸引了大量来自世界各地的游客，某景区为吸引外地游客，推出了两款精致的古建筑冰箱贴，该景区用1380元定制了A款和B款冰箱贴共100个，这两款冰箱贴的成本、标价如下表所示： 有关量 A款 B款 成本/（元/个） 13 15 标价/（元/个） 18 22 (1)A款冰箱贴和B款冰箱贴各定制了多少个？ (2)该景区将这两款冰箱贴打折出售，全部售出后，共获利252元，已知A款冰箱贴按标价的九折出售，则B款冰箱贴按标价的几折出售？ 【答案】(1)A款冰箱贴定制了60个，B款冰箱贴定制了40个 (2)七五折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设A款冰箱贴定制了x个，则B款冰箱贴定制了个，根据“A款和B款冰箱贴总成本为1380元”列方程求解即可； （2）设B款冰箱贴按标价的m折出售，根据“共获利252元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设A款冰箱贴定制了x个，则B款冰箱贴定制了个． 根据题意，得 解这个方程，得 ． 答：A款冰箱贴定制了60个，B款冰箱贴定制了40个． （2）解：设B款冰箱贴按标价的m折出售． 根据题意，得 ． 解这个方程，得． 答：B款冰箱贴按标价的七五折出售． 18．（24-25七年级上·山西大同·期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答对一题得5分，可以选择不答，下表记录的是5名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 不答题数 答错题数 得分 A 15 3 2 79 B 19 0 1 94 C 18 1 1 91 D 16 2 2 82 E 18 2 0 94 (1)由表格知，不答一题得________分，答错一题扣________分． (2)某参赛者答错题数比不答题数的2倍少1，最后得分为76分，他答对了几道题？（请用方程作答） 【答案】(1)2，1 (2)15道 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用、一元一次方程的应用等知识点，明确题意、正确列出算式和方程是解答本题的关键． （1）根据题意和表格中的数据可以计算出不答一题的得分和答错一题的得分； （2）设参赛者不答的题目有道，则答错的题目有道，答对的题目有（道）．然后根据最后得分为76分列一元一次方程求出x的值，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：（1）由E可得，不答一题的得分为：（分）， 由B可得，答错一题的得分为：（分），即答错一题扣1分． 故答案为：2，1． （2）解：设参赛者不答的题目有道，则答错的题目有道，答对的题目有（道）． 根据题意，得，解得：． 所以． 答：他答对了15道题． 19．（24-25七年级上·山西大同·期末）甲、乙两家超市以相同的价格出售同种商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市一次性购买商品满300元，超出300元的部分打八折；在乙超市一次性购买商品满200元，超出200元的部分打八五折．设某顾客一次性购物x元（x大于300）． (1)顾客去甲超市购物，需付款________元；去乙超市购物，需付款________元． (2)如果顾客在两家超市一次性购物相同且付款相同，求该顾客购物多少元． 【答案】(1)， (2)600元 【分析】本题主要考查了列代数式、一元一次方程的应用等知识点，正确列出代数式和方程成为解题的关键． （1）根据在甲超市一次购买的商品超出300元，超出部分按原价的八折优惠；在乙超市一次购买的商品超出200元，超出部分按原价的八五折优惠；据此分别列出代数式即可； （2）根据“两家超市一次性购物相同且付款相同”列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：在甲家超市购物所付的费用：（元）， 在乙家超市购物所付的费用：． 故答案为：，． （2）解：由题意可得：， 解得：元． 答：该顾客购物600元． 20．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）下面是学习一元一次方程的应用时，老师出示的问题和两名同学所列的方程． 一元一次方程的应用问题：货车和客车从A，B两地同时相向而行，货车的平均速度为，客车的平均速度为，两车在离中点处相遇，求A，B两地相距多少千米？ 乐乐同学：． 丽丽同学：． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)乐乐同学所列方程中x表示的实际意义是__________；丽丽同学所列方程中y表示的实际意义是__________． (2)请你选择其中一名同学的解法完成上面的问题． (3)完成上述问题后，结合你平时的学习经验，就如何利用一元一次方程解决实际问题给同学们提一条建议． 【答案】(1)x是两车相遇时间；y是A、B两地到中点的路程 (2)；；A、B两地间的路程为540千米 (3)尝试一题多种解法 【分析】本题主要考查了一元 一次方程的应用——行程问题．熟练掌握路程与进度和时间的关系，一题多解，是解决问题的关键． （1）x是两车相遇时间；y是A、B两地到中点的路程； （2）分别解两个方程求出AB两地的路程； （3）尝试一题多种解法． 【详解】（1）解：乐乐同学所列方程：中的x是两车相遇时间； 丽丽同学所列方程：中的y是A、B两地到中点的路程； 故答案为：x是两车相遇时间；y是A、B两地到中点的路程； （2）解：乐乐同学解法： 设两车x小时相遇， 则， 解得，， ∴A、B两地的路程为：（千米）； 丽丽同学解法： 设A、B两地到中点的路程为y千米， 则， 解得， ∴A、B两地间的路程为：（千米）； （3）解：尝试一题多种解法． 21．（24-25七年级上·山西大同·期末）综合与实践 问题情境：财源滚滚随春到，喜气洋洋伴福来．春节来临之际，某实践活动小组对甜蜜水果店某天甲、乙两种水果的购进和销售情况进行了调查分析． 信息获取： 信息一，该水果店用元购进甲、乙两种水果共千克； 信息二．这两种水果的进价、售价如下表所示： 进价（元千克） 售价（元千克） 甲 乙 问题解决： (1)该水果店这一天购进甲、乙两种水果各多少千克？ (2)若该水果店按售价销售完甲种水果和部分乙种水果，剩余乙种水果按其售价的六折出售，共获利元，求按原售价售出乙种水果多少千克． 【答案】(1)该水果店这一天购进甲种水果千克，乙种水果千克 (2)按原售价售出乙种水果千克 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键． （1）设该水果店这一天购进甲种水果千克，则购进乙种水果千克，利用购进甲、乙两种水果共千克列式求解即可； （2）设按原售价售出乙种水果千克，利用卖出后共获利元列式求解即可． 【详解】（1）解：设该水果店这一天购进甲种水果千克，则购进乙种水果千克， 根据题意，得：， 解方程，得：， ， 答：该水果店这一天购进甲种水果千克，乙种水果千克； （2）解：设按原售价售出乙种水果千克， 根据题意，得：， 解方程，得：． 答：按原售价售出乙种水果千克． 22．（24-25七年级上·山西大同·期末）问题情境： 如图是一块白色长方形纸板，宽是长的，将其四个角各剪去一个边长为的正方形，剩余部分可折成高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．    问题解决： (1)这个无盖长方体盒子有下列性质：纸质，白色，长方体形状，摸上去光滑，高为，质量为，等等．几何研究其中的哪些性质? (2)从前面观察这个长方体盒子，得到的平面图形的形状是__________． (3)已知得到的长方体盒子的底面长是宽的2倍，求这块长方形纸板的长和宽． 拓展延伸： (4)在（3）的条件下，若用这样的一块长方形纸板能折成高为的无盖长方体盒子，求这个长方体盒子底面的周长．（用含的代数式表示） 【答案】(1)长方体形状，高为 (2)长方形 (3)这块长方形纸板的长为，宽为 (4)这个长方体盒子底面的周长为 【分析】本题考查了数学常识，从不同方向立体图形，一元一次方程的应用，列代数式． （1）根据几何研究的内容判断即可； （2）从前面看这个长方体得到平面图形，即可得出答案； （3）设长方体盒子底面的宽为，则底面的长为，根据长方体盒子的底面长是宽的2倍建立方程即可解决问题； （4）用含h的代数式依次表示出长方体盒子底面的长和宽即可解决问题． 【详解】（1）解：几何研究：长方体形状，高为； （2）解：从前面观察这个长方体盒子，得到的平面图形的形状是长方形， 故答案为：长方形； （3）解：设长方体盒子底面的宽为，则底面的长为， 根据题意，得， 解方程，得， ， 答：这块长方形纸板的长为，宽为； （4）解：因为无盖长方体盒子的高为， 所以长方体盒子底面的长为，宽为， 所以， 答：这个长方体盒子底面的周长为． 23．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 数学课堂上，李老师出示了如下信息： 信息一：某服装厂计划用布料加工成学生校服，已知每布料可以加工2件上衣或3条裤子，2件上衣需要配1条裤子． 信息二：一人整理这批校服需要完成，现计划由一部分人先整理，然后增加2人与他们一起整理，完成这项工作（假设这些人的工作效率相同）． 任务一：根据信息一李老师提出问题：应如何安排布料加工上衣和裤子才能刚好配套？能加工成多少套校服？ 小颖和小彬分别列出了尚不完整的方程如下： 小颖列的方程是“” 小彬列的方程是“” ①小颖同学所列方程中的x表示________，方程中？处应填________； ②小彬同学所列方程中的x表示________，方程中的表示________． 任务二：小亮根据信息二提出了问题：应安排多少人先整理？请你解决这个问题，并写出解答过程． 【答案】任务一：①校服的套数，；②加工上衣的布料长度，加工的裤子的数量的2倍；任务二：2人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 任务一：①表示加工一件上衣所需的布料，表示套校服中上衣的总数，则表示校服的套数，据此可得？处应填加工套校服中的裤子所需的布料； ②表示加工上衣的布料长度，方程中的表示加工的裤子的数量的2倍； 任务二：设应安排人先整理，将整理这批校服的工作总量看作为“1”，则每个人的工作效率为，根据一部分人先整理，然后增加2人与他们一起整理，完成这项工作建立方程，解方程即可得． 【详解】解：任务一：①小颖同学所列方程中的表示校服的套数，方程中？处应填， 故答案为：校服的套数，． ②小彬同学所列方程中的表示加工上衣的布料长度，方程中的表示加工的裤子的数量的2倍， 故答案为：加工上衣的布料长度，加工的裤子的数量的2倍． 任务二：设应安排人先整理， 将整理这批校服的工作总量看作为“1”，则每个人的工作效率为， 由题意得：， 解得， 答：应安排2人先整理． 24．（24-25七年级上·山西朔州·期末）阅读与理解 下面是一篇关于日历的相关内容，请认真阅读并完成相应的任务： 如图是大家非常熟悉的日历，在日历中，横向相邻的两个数相差1，纵向相邻的两个数相差7．我们选择不同的方式框住日历中的数，所得到的规律是不一定相同的．现在用一个“十”字模型框住了5个数，由此可知，所框住的5个数的和是正中间的数的5倍． 任务一：勤奋小组在上面阅读的启发下，设计如图所示的框，框住日历中的4个数，如图左上角的数用表示． (1)用含的代数式分别表示出另外三个数； (2)求最大数与最小数的和减去另外两个数的和的结果． 任务二： (3)小亮说：“他的父亲12月出差6天，这6天的日期和为57．”请用方程写出小亮的父亲是哪一天出差走的． 【答案】(1)，， (2) (3)小亮的父亲是号出差走的． 【分析】本题考查代数式表示式，整式加减的运用，一元一次方程的实际应用，解题的关键在于根据题意找出对应的数量关系． （1）根据题干所给日历规律直接表示出另外三个数，即可解题； （2）根据题意列式计算，即可解题； （3）设小亮的父亲是号出差走的．根据“6天的日期和为57”建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：根据题意可得另外三个数为：， ，； （2）解：根据题意得， 答：最大数与最小数的和减去另外两个数的和为； （3）解：设小亮的父亲是号出差走的． 根据题意得：， 整理得， 解得， 答：小亮的父亲是号出差走的． 25．（24-25七年级上·山西朔州·期末）项目化学习 【项目主题】探究冰箱的综合费用．（综合费用空调的售价电费） 【项目情境】王师傅准备购买一台当年生产的1.5匹空调，下面是王师傅经过比对后，最后选中的两款空调的部分基本信息．已知当地的电价是0.5元． 类别 能效等级 售价/元 平均每年耗电量 甲 1级 3000 640 乙 3级 2600 800 【驱动任务】 (1)分别求出这两种空调使用6年后的综合费用； (2)请说明这两款空调使用多少年后的综合费用相同； (3)空调一般的使用年限为10~12年，请根据空调的使用年限和综合费用，直接写出王师傅应选的空调． 【答案】(1)甲、乙两种空调使用6年后的综合费用分别为元和元； (2)这两款空调使用年后的综合费用相同； (3)见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、有理数的四则运算的实际应用等知识点，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）先根据两款空调的部分基本信息分别计算出使用6年后的综合费用，即可解题； （2）根据两款空调的部分基本信息列出一元一次方程求解，即可解题； （3）根据年限和综合费用的不同进行讨论求解，即可解题． 【详解】（1）解：甲种空调使用6年后的综合费用为：（元）， 乙种空调使用6年后的综合费用为：（元）， 答：甲、乙两种空调使用6年后的综合费用分别为元和元； （2）解：设这两款空调使用年后的综合费用相同， 根据题意得：， 解得， 答：这两款空调使用年后的综合费用相同； （3）解：由（2）知，两款空调使用年时综合费用相同，由（1）知，空调使用年限超过年时甲种空调综合费用小于乙种空调综合费用， 所以若王师傅空调使用年限低于年，则选择购买乙种空调， 若王师傅空调使用年限为年，则选择购买甲，乙空调皆可， 若王师傅空调使用年限超过年，则选择购买甲种空调． 地 城 考点05 一元一次方程中的新定义问题 一、解答题 1．（24-25七年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关于“美好方程”的研究报告研究人员：博学小组 研究对象：美好方程 研究思路：利用解一元一次方程的知识解每个方程，根据“美好方程”的定义，判断两个方程是否为“美好方程”． 研究内容： 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程的解为___▲ ，方程的解为___■ ，故这两个方程为“美好方程”． 任务： (1)材料中“▲”处应填______，“■”处应填______； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练进行计算是解题的关键． （1）解一元一次方程，即可得到； （2）把和的解求出，两个相加等于1，列方程，即可解答． 【详解】（1）解：，解得； ，解得， 故答案为：； （2）解：， 可得； ， 可得， 关于x的方程与方程是“美好方程”， ， 解得． 2．（24-25七年级上·山西运城·期末）用“#”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：． (1)求的值． (2)，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的运算法则． （1）根据新运算的法则，进行计算即可． （2）根据新运算的法则，得到一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵， ∴， 解得：． 3．（23-24七年级上·吉林松原·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程 是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和应用一元一次方程的根求参数的值，理解新定义是解题的关键．根据题意，分别解一元一次方程，根据“美好方程”的定义验证即可求解；分别解一元一次方程，根据“美好方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 由解得； 由解得：． 方程与方程是“美好方程”． （2）解：由解得； 由解得． 方程与方程是“美好方程” ， 解得． 4．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）对于两个整式A和B，我们定义一种新运算“@”：．例如：若，，则．根据以上定义，解答下列问题： (1)若，求． (2)若（其中k为常数），且的运算结果不含x的一次项，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算及解一元一次方程， （1）根据新定义运算进行整式的加减运算求解即可； （2）根据新定义运算，以及整式加减运算进行化简，然后求解解一元一次方程即可． 【详解】（1）解： ， （2）解：， 因为运算结果不含x的一次项，则x的一次项系数为零，即， 解得 所以，k的值为． 5．（24-25七年级上·山西长治·期末）阅读与思考 阅读下面的内容，并完成相应任务． 美好方程定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么我们就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以方程与互为“美好方程”． 任务： (1)请判断方程与是否互为“美好方程”，并说明理由． (2)若关于的方程与互为“美好方程”，求的值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解“美好方程”的定义是解题的关键． （1）分别求出两个方程的解，再根据“美好方程”的定义求解即可； （2）分别求出两个方程的解，再根据“美好方程”的定义得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：方程与不互为“美好方程”，理由如下： 解方程，得， 解方程，得， ， 方程与不互为“美好方程”； （2）解：解方程，得， 解方程，得， 关于的方程与互为“美好方程”， 解得． 地 城 考点06 一元一次方程中的动点动线问题 一、填空题 1．（24-25七年级上·山西运城·期末）已知数轴上、两点位于原点两侧（点在点的左侧），点到原点的距离是点到原点距离的3倍，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度运动，、均沿轴正方向运动，当等于10时，运动时间为 秒． 【答案】或/13或3 【分析】本题考查本题考查数轴、一元一次方程的应用，先根据题意得到点A、B两点表示的数，然后根据运动得到点P、Q表示的数，再列方程解题即可． 【详解】解：点到原点的距离是点到原点距离的3倍，且， ∴点表示的数为，点表示的数为， 设运动时间为，则点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 解得：或， 故答案为：或． 二、解答题 2．（25-26七年级上·山西·期末）综合与探究 【背景知识】数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律，如：数轴上点、点表示的数分别为，且，则两点之间的距离可表示为，若，则两点之间的距离可表示为；线段的中点表示的数为，利用这些规律可以解决许多数学问题． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： ①两点间的距离__________，线段的中点表示的数为__________； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为__________；点表示的数为__________． (2)求当为何值时，两点相遇，并求出相遇点所表示的数； (3)求当为何值时，，并请你直接写出此时的中点表示的数． 【答案】(1)①，；②； (2) (3)当为或时，，此时的中点表示的数分别为和 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间距离，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （）①根据题意解答即可得到答案；②根据题意列出代数式即可； （）当两点相遇时，两点表示的数相等，列方程求解即可； （）秒后，点表示的数，点表示的数为，然后分两种情况求解：①当点在点右侧时；②当点在点左侧时，根据题意列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：①∵点表示的数为，点表示的数为， ∴两点间的距离，线段的中点表示的数为， 故答案为：，； ②由题意可得，点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：；； （2）解：秒后，点表示的数，点表示的数为， ，两点相遇时，， 解得， ∴此时相遇点所表示的数为：； （3）解：秒后，点表示的数，点表示的数为， 分两种情况：①当点在点右侧时，， ∵， ∴， 解得， 此时点表示的数，点表示的数为， ∴此时的中点表示的数为； ②当点在点左侧时，， ∵， ∴， 解得， 此时点表示的数，点表示的数为， ∴此时的中点表示的数为； 综上，当为或时，，此时的中点表示的数分别为和． 3．（24-25七年级上·山西晋中·期末）综合与实践 已知数轴上有A、B、C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解 (1)数轴上点A、B、C表示的数分别为________、________、________； (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，当t为何值时，P、Q之间的距离恰好等于8个单位长度？ (3)如图2，若动点P、Q两点同时从A、B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒时，P、Q、R三点恰好有其中一点为其余两点的中点．请直接写出动点R的运动速度． 【答案】(1)，30，10 (2)22秒或18秒 (3)动点R的运动速度为个单位/秒或10个单位/秒或个单位/秒 【分析】（1）由，得，解得，即可得到答案； （2）由题意易得P表示的数为，Q表示的数为，可得，即可解得答案； （3）设动点R的运动速度为v个单位/秒，则P的速度是个单位/秒，Q的速度是个单位/秒，运动5秒后，P表示的数为；Q表示的数为，R表示的数为，分三种情况列方程可解得答案． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴A表示的数是，B表示的数是30； 解方程得， ∴C表示的数为10； 故答案为：，30，10； （2）解：由题意得：P表示的数为，Q表示的数为， ∵P、Q之间的距离恰好等于8个单位长度， ∴， 即或， 解得或； ∴经过22秒或18秒时，P、Q之间的距离恰好等于8个单位长度； （3）解：设动点R的运动速度为v个单位/秒，则P的速度是个单位/秒，Q的速度是个单位/秒，则有： 运动5秒后，P表示的数为；Q表示的数为，R表示的数为， 若P为中点，则， 解得； 若Q为的中点，则， 解得； 若R为中点，则， 解得； ∴动点R的运动速度为个单位/秒或10个单位/秒或个单位/秒． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用及数轴上的动点问题，解题的关键是读懂题意，列出方程及分类讨论思想的应用． 4．（24-25七年级上·山西朔州·期末）综合与实践 如图，数轴上有，，三点，分别表示数，，10．甲，乙两只电子蚂蚁分别从，两点同时出发相向而行，甲的速度为2个单位长度/秒，乙的速度为3个单位长度/秒． (1)求甲，乙运动多少秒相遇，并直接写出相遇点在数轴上对应的数是多少． (2)当甲运动到位于，两点之间，且甲到，，三点的距离之和为32个单位长度时，甲立即调头沿原路返回，速度不变且掉头的时间忽略不计．问：甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由． (3)若电子蚂蚁从点处出发，沿数轴向右运动，在运动过程中，蚂蚁到点和点的距离的中点分别记为点和点，请说明点和点的距离是否会发生变化． 【答案】(1)甲、乙两只电子蚂蚁运动6秒，在数轴上的相遇 (2)甲调头5秒后甲、乙在数轴上再次相遇，相遇点为：； (3)点和点的距离不会发生变化，值为11． 【分析】本题考查数轴的综合应用，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式、一元一次方程的应用是解题关键． （1）可设x秒后甲与乙相遇，根据甲与乙的路程和为30，可列出方程求解即可； （2）设t秒后甲到A，B，C三点的距离之和为32个单位，求出调头时间，秒后甲、乙两只电子蚂蚁相遇，列方程即可求解； （3）分点D在点B、C之间和点D在点C右侧两种情况，结合中点意义讨论求解即可． 【详解】（1）解：设x秒后甲，乙两只电子蚂蚁相遇，根据题意得： ， 解得， ， ． ∴甲、乙两只电子蚂蚁运动6秒，在数轴上的相遇； （2）解：t秒时，甲在之间时：， 解得； 所以5秒后甲到A、B、C三点的距离之和为32个单位； 此时甲开始调头，秒后甲、乙两只电子蚂蚁相遇，根据题意得， 解得，， 即甲又回到点A， 所以甲调头5秒后甲、乙在数轴上再次相遇，相遇点为：； （3）解：①当点D在点B、C之间时，如图， ∵到点和点的距离的中点分别记为点和点， ∴， ∴ 又 ∴； ②点D在点C右侧时，如图， ∵到点和点的距离的中点分别记为点和点， ∴， ∴ ∵， ∴， 综上，点和点的距离不会发生变化，值为11． 5．（24-25七年级上·山西太原·期末）数轴上点，分别对应的数为，，且，满足． (1)直接写出 ， ； (2)甲蚂蚁从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，乙蚂蚁从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，运动秒时两只蚂蚁相距个单位长度，求的值； (3)若数轴上点在点的左侧，甲、乙两只蚂蚁分别从、两点同时相向而行，在点处相遇后，甲蚂蚁继续向点爬行，乙蚂蚁休息了秒再继续向点爬行，甲、乙两只蚂蚁到达点、后立即折返且仍在点处相遇．已知甲蚂蚁每秒爬个单位长度，乙蚂蚁每秒爬个单位长度，甲、乙两只蚂蚁第一次相遇用了秒，则 秒，此时 ． 【答案】(1)；； (2)的值为或； (3)，． 【分析】本题考查一元一次方程的应用、数轴上的点表示的数，解决本题的关键是根据蚂蚁运动的方向和时间列代数式表示出蚂蚁到达的点表示的数，再根据相等关系方程． 根据绝对值和平方的非负性可得：，，解方程求得：，； 表示出运动后，甲蚂蚁所在点表示的数是，乙蚂蚁所在点表示的数是，可得，即可解得的值为或； 第一次相遇时，甲蚂蚁走的路程是，乙蚂蚁走的路程是，然后继续行走，甲蚂蚁再走到达点，乙蚂蚁继续行走到达点，从第一次相遇到第二次相遇之间，甲走的路程是，乙走的路程是，所以从第一次相遇到第二次相遇甲用的时间是，乙用的时间是，因为乙休息了秒，所以可得：，解出的值即可． 【详解】（1）解：， ，， ，； 故答案为：，； （2）解：甲蚂蚁从点A出发以每秒个单位长度的速度向左运动，乙蚂蚁从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动， 两只蚂蚁相距个单位长度， ， 或， 解得或； 的值为或； （3）解：根据题意得：， 解得:， ， ； 故答案为：，． 6．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 已知在数轴上有，两点，点表示的数为，点在点的左边，且．若有一动点从数轴上点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向点匀速运动，动点从点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向点匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． 【建立模型】 （1）点表示的数是 ． （2）设运动时间为秒，则 ， ． （3）当 秒时，、停止运动． 【探索问题】 （4）求为何值时，点与点重合？ （5）问点运动多少秒与点相距个单位长度？ 【答案】（1）；（2），；（3）；（4）当时，点和点重合；（5）点运动秒或秒时与点相距个单位长度 【分析】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，列代数式； （1）点A表示的数为8，点B在A点的左边，且，即可求解； （2）根据路程等于速度乘以时间，即可求解； （3）根据路程除以速度，即可求解； （4）当时，点和点重合，根据题意列出方程，解方程，即可求解； （5）分当点在点的右侧时，当点在点的左侧时，分别列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）∵点A表示的数为8，点B在A点的左边，且 ∴点表示的数是： 故答案为：． （2）设运动时间为秒，依题意，，． 故答案为：，； （3） 故答案为： （4）当时，点和点重合． 由此可得： 解得 当时，点和点重合． （5）当点在点的右侧时， 解得 当点在点的左侧时， 解得 点运动秒或秒时与点相距个单位长度． 7．（24-25七年级上·山西晋中·期末）综合与探究 【背景知识】数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律，如：数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，且，则A，B两点之间的距离可表示为，若，则A，B两点之间的距离可表示为；线段AB的中点表示的数为，利用这些规律可以解决许多数学问题． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离__________，线段的中点表示的数为__________； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为__________；点Q表示的数为__________． (2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并求出相遇点所表示的数； (3)求当t为何值时，，并请你直接写出此时的中点表示的数． 【答案】(1)①10，3；②， (2)，4 (3)当时，此时的中点表示的数为；当时，此时PQ的中点表示的数为 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点间距离，熟练掌握点的移动以及点所表示的数之间的关系是解题的关键． （1）①根据题意即可得到答案；②根据题意即可得到答案； （2）当P、Q两点相遇时，P、Q两点表示的数相等，列方程求解即可； （3）t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，然后分两种情况求解：①当P点在Q右侧时，②当P点在Q左侧时． 【详解】（1）解：①，线段AB的中点表示的数为； ②由题意可得点P表示的数为，点Q表示的数为， 故答案为：①10，3；②，； （2）解：秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ，Q两点相遇时，， 解得：， 此时相遇点所表示的数为：； （3）解：秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， 分两种情况：①当P点在Q右侧时，， 又， ，解得：； ②当P点在Q左侧时，， 又， ，解得：； 当或时，； 当时，此时的中点表示的数为； 当时，此时的中点表示的数为． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $