精品解析：福建省武夷山第一中学2025-2026学年高一上学期期中质量检测数学试题

武夷山一中2025-2026学年第一学期高一年级期中质量检测 数学试题 考试时间150分钟，满分150分 审核：高一数学备课组 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定式全称量词命题分析判断. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：A. 2. 已知，，均为实数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】结合不等式的性质逐项分析即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，由题设，所以，故B错误； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，因为，，所以，故D错误. 故选：C. 3. 下列函数中在定义域内既是减函数，又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单调性、奇偶性的定义和性质逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为，，即， 可知函数不为减函数，故A错误； 对于选项B：因为函数的定义域为，且， 所以函数不为奇函数，故B错误； 对于选项C：因为，可知函数不为减函数，故C错误； 对于选项D：因为函数的定义域为， 且，可知函数为奇函数， 又因为在定义域内单调递减，则函数在定义域内单调递减， 所以函数在定义域内既是减函数，又是奇函数，故D正确； 故选：D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合待比较的三个数的指数，底数的特点，构造指数函数，幂函数，根据它们的单调性即可求解. 【详解】设，根据指数函数的单调性，在上单调递减，则，即； 设，根据幂函数的单调性，在上单调递增，则，即. 故. 故选：D 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由解析式求函数的定义域并判断奇偶性，结合上的单调性，应用排除法即可得. 【详解】由得的定义域为，又，故为偶函数，排除B，C； 当时，，则在上单调递增，排除D， 故选：A 6. 如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：周）的关系为（为常数），则下列说法中正确的是（ ） A. 浮萍每周的面积与上周面积之比不为定值 B. 时，浮萍面积就会超过 C. 浮萍每周增加的面积都相等 D. 若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，利用指数函数的性质与对数运算，结合图像逐一判断即可. 【详解】由图可得：函数过点， 则，解得，即. 对于选项A：浮萍每周的面积与上周面积之比为，为定值，故A错误； 对于选项B：若时，则， 所以浮萍面积不会超过，故B错误； 对于选项C：第二周比第一周增加，第三周比第二周增加， 即，所以浮萍每周增加的面积不一定相等，故C错误； 对于选项D：由题意可得：，则， 所以，故D正确. 故选：D. 7. 幂函数过点，，是其图象上任意两点．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据幂函数所过的点求出的解析式，进而逐项判断即可； 【详解】因为是幂函数，可设， 因为幂函数的图象经过点， 所以，即，解得：， 所以，定义域为， 对于A，设，定义域为，因为， 所以在上单调递增， 若，则有，即，故A正确； 对于B，设，定义域为，因为， 所以在上单调递减， 若，则有，即，故B正确； 对于CD，， 而，等号不成立， 所以， 又， 所以，C对，D错， 故选：D 【点睛】关键点点睛：判断CD的关键在于对进行平方，再由基本不等式比较大小. 8. 关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理可得，利用常数代换法，结合基本不等式可得. 【详解】因为不等式的解集为， 所以是方程的两根，且， 由韦达定理可得，所以，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分、4分，有选错的得0分. 9. 下列四组中的函数，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】CD 【解析】 【分析】根据函数的定义域和对应关系逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为的定义域为，的定义域为， 即两个函数的定义域不相同，即函数不相等，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为，的定义域为， 即两个函数的定义域不相同，即函数不相等，故B错误； 对于选项C：因为与的对应关系相同， 且两个函数的定义域均为，所以函数相等，故C正确； 对于选项D：因为与的对应关系相同， 且两个函数的定义域均为，所以函数相等，故D正确； 故选：CD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 已知“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 C. 函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：利用反证法以及作差法分析判断；对于B：根据充分不必要条件的定义求解判断；对于C：根据抽象函数定义域分析判断即可；对于D：根据不等式的性质分析判断． 【详解】对于选项A：假设，则， 因为，则，， 可得，即， 这与相矛盾，假设不成立，所以，故A正确； 对于选项B：因为是的充分不必要条件， 可知是的真子集， 则，所以的取值范围为，故B正确； 对于选项C：因为函数的定义域为， 令，解得， 所以函数的定义域为，故C错误； 对于选项D：因为，且， 则，可得， 即，故D正确． 故选：ABD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若为上的增函数，则a的值可以为1 C. 当时，函数的单调递增区间为和 D. 若的值域为，则a的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据分段函数的解析式，代入值，可得答案；对于B：根据一次函数以及二次函数单调性，结合分段函数的单调性，建立不等式组，可得答案；对于C：根据复合函数的单调性分析判断；对于D：根据分段函数的值域与一次函数的单调性，结合二次函数的单调性分情况求得指定区间上的最值，可得答案. 【详解】因为函数， 对于选项A：可得，则，解得，故A正确； 对于选项B：若在上单调递增，则，解得， 显然，故B错误； 对于选项C：若，则函数， 当时，令，解得，且在内单调递增； 当时，则，且在内单调递增； 则函数的定义域为，且在定义域内单调递增， 所以函数的单调递增区间为和，故C正确； 对于选项D：若的值域为，则，得在上单调递增． 当时，则在上单调递增， 可得，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，可得恒成立，符合题意； 综上所述：的取值范围为，D正确． 故选：ACD. 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据对数运算性质结合换底公式的结论运算求解即可. 【详解】原式. 故答案为：4. 13. 已知定义域为的函数满足，且，则________． 【答案】1026 【解析】 【分析】根据题意利用赋值法可得，，利用累加法运算求解即可. 【详解】因为，且， 令，可得，即，可得， 令，可得，即， 可得，，，， 累加可得， 所以. 故答案为：1026. 14. 已知定义域为的奇函数，，且对，总有成立，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】令，分析可知为偶函数，且上单调递减，在上单调递增，结合，把不等式转化为，分类讨论即可求解. 【详解】构造，且的定义域为， 且，可知为偶函数， 因为对，且，都有成立， 则，可得，即， 可知函数在上单调递增，可得函数在上单调递减， 由，可得， 对于不等式，显然， 当时，则，可得，符合题意； 当时，则，可得，不符合题意； 当时，则，可得，不符合题意； 当时，则，可得，符合题意； 所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）108；（2）5；（3） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂运算求解即可； （2）根据指数幂运算结合对数的定义和运算求解即可； （3）根据指数幂运算结合平方关系运算求解即可. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）因为，则，可得， 又因为，且，可得， 所以. 16. 已知函数的定义域为A，集合．集合． （1）求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式和根式的意义求函数定义域可得集合A，解指数不等式可得集合B，结合集合的交集、补集运算求解即可； （2）分和两种情况，结合交集运算求解即可. 【小问1详解】 令，解得， 可知函数的定义域为； 由可得，解得， 可得集合，则， 所以. 【小问2详解】 若，且集合，集合， 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：实数a的取值范围. 17. LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． （1）写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本) （2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元． 【解析】 【分析】(1)根据“年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本”，分和即可求出L(x)的解析式； (2)根据二次函数和基本不等式分别求出L(x)在和时的最大值，比较即可得到答案． 【小问1详解】 ∵每件产品售价为6元，∴万件产品的销售收入为万元， 依题意得，当时，， 当时，． ∴ 【小问2详解】 当时，，当时，取得最大值． 当时，，当且仅当，即时，取得最大值15． ∵，∴当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元． 18. 已知为奇函数，且定义域为，. （1）求的值，判断的单调性，并用定义法证明； （2）若，求的取值范围； （3）若存在两个不相等的实数，，使，且.求实数的取值范围. 【答案】（1）证明如下： 因为为奇函数，定义域为， 所以，得，经验证满足题设， 在定义域上为增函数，证明如下： 任取，，且，， ， 所以，在定义域上为增函数； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质求参数，进而判断函数的单调性，应用单调性定义证明即可； （2）由（1）所得单调性列不等式求参数范围； （3）由题设可得，且令，则能成立，结合二次函数的性质列不等式求参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，解得； 【小问3详解】 ， ， ，即， ， ，， 令，，， ， ，则存在一个实数，使成立， 只需或，解得或， 综上：. 19. 对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即，． （1）若函数，求的“不动点”和“稳定点”； （2）求证：； （3）若，且，求实数a的取值范围． 【答案】（1）函数的“不动点”为4，“稳定点”为4 （2） 若，则，显然成立； 若，即对任意，均有， 则，可知，所以； 综上所述：. （3） 【解析】 【分析】（1）由即可求出“不动点”，求方程中的值，即为“稳定点”； （2）分和两种情况，结合子集的定义分析证明； （3）先求出即存在“不动点”的条件，同理求得存在“稳定点”的条件，而两集合相等，即条件所求出的结果一致，对结果进行分类讨论. 【小问1详解】 令，解得； 令，则，解得； 所以函数的“不动点”为4，“稳定点”为4. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，则方程，有实根， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得且； 所以方程有解可得实数a的取值范围为； 令，整理可得， 因为，可知方程无实根或方程的根是方程的根， 当时，则有： 若方程无实根，则，解得且； 若方程的根是方程的根， 当方程只有一个实根，则，解得， 此时方程的根为，方程的根为或，符合题意； 当方程有两个不相等的实根，则，无解，不合题意； 所以实数a的取值范围为； 综上所述：实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武夷山一中2025-2026学年第一学期高一年级期中质量检测 数学试题 考试时间150分钟，满分150分 审核：高一数学备课组 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，均为实数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 3. 下列函数中在定义域内既是减函数，又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：周）的关系为（为常数），则下列说法中正确的是（ ） A. 浮萍每周的面积与上周面积之比不为定值 B. 时，浮萍面积就会超过 C. 浮萍每周增加的面积都相等 D. 若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，则 7. 幂函数过点，，是其图象上任意两点．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分、4分，有选错的得0分. 9. 下列四组中的函数，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 已知“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 C. 函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 若，则 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若为上的增函数，则a的值可以为1 C. 当时，函数的单调递增区间为和 D. 若的值域为，则a的取值范围为 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的值为________． 13. 已知定义域为的函数满足，且，则________． 14. 已知定义域为的奇函数，，且对，总有成立，则不等式的解集为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 16. 已知函数的定义域为A，集合．集合． （1）求； （2）若，求实数a的取值范围． 17. LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． （1）写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本) （2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 18. 已知为奇函数，且定义域为，. （1）求的值，判断的单调性，并用定义法证明； （2）若，求的取值范围； （3）若存在两个不相等的实数，，使，且.求实数的取值范围. 19. 对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即，． （1）若函数，求的“不动点”和“稳定点”； （2）求证：； （3）若，且，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $