24.6正多边形与圆(1) 课件 2025-2026学年 沪科版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦正多边形与圆的关系及利用等分圆周画正多边形，通过复习等边三角形、正方形的边和角性质引出正多边形定义，进而过渡到正多边形与圆的密切联系，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于结合定理探究与尺规作图，通过证明内接、外切正多边形培养推理能力，借助四等分、六等分圆及延伸作八边形、十二边形等发展几何直观与空间观念。练习巩固与课堂小结呼应，助力学生系统掌握，教师可通过清晰流程提升教学效率，学生能增强动手与探究能力。

24.6正多边形与圆(1) 课件说明 教学目标： 理解正多边形和圆的关系，会利用等分圆周的方法 画正多边形，会利用尺规作图的方法画一些特殊 的正多边形. 学习重点： 利用等分圆周画正多边形 1.等边三角形的边、角各有什么性质？ 2.正方形的边、角各有什么性质？ 3.什么是正多边形？ 复习旧知 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形. 正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形. 什么样的图形是正多边形？ 你知道正多边形与圆的关系吗？ 正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接或外切正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆或内切圆. 学习新知 定理 把圆分成n(n≥3)等份； (1)依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形； (2) 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形. · A B C D O 90° D O A B C E F · 60° 你还有什么方法画正四边形、正六边形？ 你能用以上方法画出正四边形、正六边形吗？ O A B C D 借助圆画出圆内接正四边形. · A B C D O 只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形…… 你能尺规作出正八边形吗？据此你还能作出哪些正多边形？ O A B C E D F 借助圆画出圆内接正六边形. 以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形. 先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形……… O A B C E D F G H K L J I 你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？ 定理 把圆分成n(n≥3)等份； (1)依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形； (2) 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形. 我们以五边形为例进行探究. 学习新知 已知：如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且 ，TP、PQ、QR、RS、ST 分别是以点A、B、C、D、E为切点的⊙O的切线. 求证:(1)五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形； AB=BC=CD=DE=EA ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ · A B C D E O T S R Q P 探究新知 · A B C D E O T S R Q P ∴AB=BC=CD=DE=EA. ∴ ∠1=∠2. 同理∠2=∠3=∠4=∠5. ∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上， ∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， 求证:(1)五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形； AB=BC=CD=DE=EA ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ 证明： ∴ BCE=CDA=3AB ︵ ︵ ︵ 3 2 1 5 4 ⊙O是五边形ABCD的外接圆. ∵ 已知：如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且 ，TP、PQ、QR、RS、ST 分别是以点A、B、C、D、E为切点的⊙O的切线. 求证:(2)五边形PQRST是⊙O的外切正五边形. AB=BC=CD=DE=EA ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ · A B C D E O T S R Q P 探究新知 证明:连接OA、OB、OC， ∵TP、PQ、QR分别是以点A、B、C 为切点的⊙O的切线， ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ， ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB. 求证:(2)五边形PQRST是⊙O的外切正五边形. · A B C D E O T S R Q P 则OA=OB=OC. ∴∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB. 证明:连接OA、OB、OC，则OA=OB=OC ∴∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB ∵TP、PQ、QR，为⊙O的切线 ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB 又∵AB=BC， ∴∠P=∠Q，PQ=2PA 同理可得∠Q=∠R=∠S=∠T， 又∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切 ︵ ︵ · A B C D E O T S R Q P ∴AB=BC. ∴△PAB≌△QBC QR=RS=ST=TP=2PA ∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形. 1. 求下列正多边形每个内角及其外角的度数： (1) 正五边形； (2) 正八边形； (3) 正十二边形. 解：(1) 正五边形每个内角的度数= 540° 5 =108°； 正五边形每个外角的度数= 360° 5 =72°； (2) 正八边形每个内角的度数= 1080° 8 =135°； 正八边形每个外角的度数= 360° 8 =45°； (3) 正十二边形每个内角的度数= 1800° 12 =150°； 正十二边形每个外角的度数= 360° 12 =30°. 练习巩固 在一个半径为2cm的圆中，做出它的内接 正六边形及内接正三角形. · O A B C E F D 解： 正六边形ABCDEF为已知圆的内接正六边形； 正三角形ACE为已知圆的内接正三角形. F A B C D E K N H G L M 1.如图，正六边形ABCDEF的周长为24cm， 连接这个六边形的各边中点G，H，K，L，M，N，则六边形GHKLMN的周长是 cm. 3 12 O 练习巩固 (1)正多边形与圆有什么关系？ (2)你会对圆进行四等分吗？六等分呢？ 课堂小结 谢谢 $