第7讲 法拉第电磁感应定律及其应用 讲义 -2025-2026学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

本讲义聚焦法拉第电磁感应定律及其应用核心知识点，通过实验结论建立磁通量变化率与感应电动势的联系，明确感应电动势的本质及与感应电流的区别，阐述定律公式及变形应用，过渡到导线切割磁感线的电动势计算，形成实验到理论再到应用的学习支架。 资料以实验探究为基础构建物理观念，通过对比表格和知识辨析深化科学思维，典例涵盖基础情境与创新题型（如莫比乌斯环、涡旋电场），结合实际应用培养科学态度。课中辅助教师突破重点，课后助力学生分层练习查漏补缺，强化知识应用能力。

物理冯老师 第7讲 法拉第电磁感应定律及其应用 ——夯基强化讲义 考点1：电磁感应定律 1.探究影响感应电流大小的因素 实验结论1：在用导线切割磁感线产生感应电流的实验中，导线切割磁感线的速度越快、磁体的磁场越强，产生的感应电流就越大。在向线圈中插入条形磁体的实验中，磁体的磁场越强、插入的速度越快，产生的感应电流就越大。 实验结论2：磁通量变化越快，感应电动势越大，在同一电路中，感应电流越大；反之越小。磁通量的变化快慢就是磁通量的变化率，用表示。 2.感应电动势 感应电动势 感应电流 概念 电磁感应现象中产生的电动势,产生感应电动势的那部分导体相当于电源（内部电流由负极到正极） 电磁感应现象中产生的电流 条件 磁通量变化 ①磁通量变化;②电路闭合 两者联系 在电磁感应现象中,既然有感应电流产生,那么电路中一定有感应电动势。 如果电路不闭合虽然没有感应电流，但电动势依然存在。所以产生感应电动势为电磁感应现象的本质。 3.法拉第电磁感应定律 (1)内容:闭合电路中感应电动势的大小,跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。 (2)公式: 若闭合电路是一个匝数为n的线圈,而且穿过每匝线圈的磁通量总是相同的,则整个线圈中的感应电动势E=n。 (3)单位:在国际单位制中,电动势E的单位是伏(V),且1 V=1 Wb/s。 注：感应电动势的大小和线圈匝数成正比,但磁通量和线圈的匝数无关。 知识储备 (1)Φ、ΔΦ、三者的大小没有必然联系,这一点可与运动学中的v、Δv、三者相类比。值得注意的是:Φ很大, 可能很小;Φ很小, 可能很大;Φ=0, 可能不为零(如线圈平面转到与磁感线平行位置时)。 (2)磁通量的变化率是Φ-t图像上某点切线的斜率。 知识辨析 公式E=n求出的电动势是瞬时值还是平均值? 利用E=n求得的电动势是整个回路在Δt时间内的平均感应电动势,当Δt趋近于0时,上式求的是电动势的瞬时值。类比、 重点1：对法拉第电磁感应定律的理解 研究对象 E=n的研究对象是一个回路,求得的电动势是整个回路的感应电动势 物理意义 E=n求得的电动势是整个回路的感应电动势,而不是回路中某段导体的感应电动势。整个回路的感应电动势为零,而回路中某段导体的感应电动势不一定为零 公式的三种变形应用 ①E=nS:当S不变、B随时间变化时,用公式E=nS求感应电动势,其中S为线圈在磁场内的有效面积。 ②E=nB:当磁场不变、回路面积S随时间变化时,用公式E=nB求解。 ③若回路中与磁场方向垂直的回路面积S及磁感应强度B均随时间变化,则Et=nSt+nBt,要特别注意题目要求的是哪个时刻的感应电动势 瞬时值与 平均值 E=n求的是Δt时间内的平均感应电动势;当Δt→0时,E为瞬时感应电动势。在磁通量均匀变化时,瞬时值等于平均值 求电荷量 q=IΔt=Δt=。可见,在一段时间内通过导线横截面的电荷量q仅由线圈的匝数n、磁通量的变化量ΔΦ和闭合电路的电阻R决定。因此,要快速求得通过导线横截面的电荷量q,关键是正确求得磁通量的变化量ΔΦ,在计算时,通常取其绝对值。线圈在匀强磁场中转动,在一个周期内穿过线圈的磁通量的变化量ΔΦ=0,故通过导线横截面的电荷量q=0 【典例1】如图甲所示,100匝的线圈两端A、B与一个理想电压表相连,线圈内有垂直纸面向里的磁场,线圈中的磁通量按图乙所示规律变化,则电压表的读数应为(　　) 　 A.25 V　　　　B.50 V　　　　C.75 V　　　　D.100 V 【典例2】如图1所示,一半径为r的单匝圆形铜线圈固定在纸面内,处于垂直纸面向外的匀强磁场中,磁场磁感应强度B的大小随时间t变化的规律如图2所示。在0~t0时间内,关于该线圈中感应电流方向与感应电动势大小的说法正确的是(　　) 　 A.顺时针方向,感应电动势由零增大至B.顺时针方向,感应电动势大小始终为 C.逆时针方向,感应电动势大小始终为D.逆时针方向,感应电动势由零增大至 【典例3】(创新题·新情境)(2024福建高考)拓扑结构在现代物理学中具有广泛的应用。现有一条绝缘纸带,两条平行长边镶有铜丝,将纸带一端扭转180°,与另一端连接,形成拓扑结构的莫比乌斯环,如图所示。连接后,纸环边缘的铜丝形成闭合回路,纸环围合部分可近似为半径为R的扁平圆柱。现有一匀强磁场从圆柱中心区域垂直其底面穿过,磁场区域的边界是半径为r的圆(r<R)。若磁感应强度大小B随时间t的变化关系为B=kt(k为常量),则回路中产生的感应电动势大小为(　　) A.0　　　　B.kπR2　　　　C.2kπr2　　　　D.2kπR2 【典例4】如图所示,边长为L的正方形金属回路(总电阻为R)与水平面的夹角为60°,虚线圆与正方形边界相切,虚线圆区域内(包括边界)存在竖直向下的匀强磁场,其磁感应强度与时间的关系式为B=kt(k>0且为常量),则金属回路产生的感应电流大小为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【典例5】如图甲所示,在竖直方向的匀强磁场中,水平放置一圆形导体环,磁场的磁感应强度B随时间t变化的关系如图乙所示。规定磁场竖直向上为正,导体环中电流沿顺时针方向(俯视)为正,导体环中感应电流随时间变化的图像正确的是(　　) 　 　 【典例6】(创新题·新考法)如图所示,一个半径为r的绝缘细圆环水平放置,环内存在竖直向上的匀强磁场,环上套一电荷量为+q的小球。现将磁感应强度随时间均匀增大,变化率为k,则小球在环上运动一周,涡旋电场对小球的作用力做功为(　　) A.0　　　　B.πrqk　　　　C.πr2qk　　　　D.πr 【典例7】如图所示,由两根完全相同的导线制作的单匝正方形和圆形闭合线圈固定在与线圈平面垂直的磁场中,当磁场的磁感应强度随时间均匀变化时,正方形线圈与圆形线圈中产生的感应电流大小之比为(　　) A.π　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【典例8】(多选)如图甲所示,轻质细线吊着一质量m=2 kg、边长L=1 m、匝数n=5的正方形线圈,线圈总电阻r=0.5 Ω。在线圈的中间位置以下区域分布着垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小随时间变化关系如图乙所示,重力加速度g=10 m/s2。下列说法正确的是(　　) 　 A.0~6 s内穿过线圈磁通量的变化量为3 Wb B.线圈中产生的感应电流的大小为1 A C.t=6 s时轻质细线的拉力大小为12 N D.0~6 s内线圈产生的焦耳热为15 J 【典例9】(多选)长、宽分别为2L和L的金属线框(电阻不计),右端接电阻R,a、b为金属线框的两端点,金属线框的左半部分在磁场中,规定磁场垂直纸面向里的方向为正方向,磁场的磁感应强度变化情况如图乙所示,在0~t0时间内,则(　　) 　 A.b点的电势高于a点的电势 B.金属线框中的电流方向为逆时针 C.流过R的电荷量为q=D.流过R的电荷量为q= 【典例10】如图所示,两根间距为1 m的平行光滑“匚”形导轨与水平面成30°角,磁感应强度大小为1 T的磁场垂直导轨平面向上。现将一导体棒垂直于导轨静止释放,其接入电路的电阻为1 Ω,经过2 s后达到最大速度2 m/s,导轨足够长且电阻忽略不计,取重力加速度g=10 m/s2,此过程通过导体棒的电荷量为(　　) A.2.4 C　　　　B.3.2 C　　　　C.4.0 C　　　　D.4.8 C 【典例11】如图所示的实验装置中,线圈的两端与电压传感器相连,强磁体从长玻璃管上端口位置由静止下落,穿过线圈。重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　) A.强磁体在线圈上方下落过程中加速度大于g B.若仅将线圈匝数增加,电压的最大值保持不变 C.强磁体磁性越强,电压的最大值越大 D.若仅将线圈到玻璃管上端口位置的距离加倍,电压的最大值也将加倍 考点2：导线切割磁感线时的感应电动势 1.导线垂直于磁场运动,B、l、v两两垂直时,如图,E=Blv。 2.导线的运动方向与导线本身是垂直的,但与磁感线方向有一个夹角θ时,如图所示,可将导线 的速度v沿垂直于磁感线和平行于磁感线两个方向分解,则分速度v2=v cos θ不使导线切割磁 感线,使导线垂直切割磁感线的分速度为v1=v sin θ,从而使导线产生的感应电动势为E=Blv1= Blv sin θ。 易错警示 导线运动速度越大,产生的感应电动势不一定越大。因为导线切割磁感线时,产生的感应电动势的大小与垂直于磁感线方向的速度有关,而速度大,垂直于磁感线方向的速度不一定大。 知识辨析 长度相同、材料不同的两根导线,若先后分别放在U形金属导轨上,以同样的速度在同一匀强磁场中垂直切割磁感线,则两导线产生的电动势相同还是不同? 相同。导线垂直切割磁感线时产生的感应电动势E=Blv,可知两导线产生的电动势相同。 重点1：对导体切割磁感线时产生感应电动势的理解 1.对公式E=Blv 的理解 (1)在公式E=Blv中,l是指导体的有效切割长度（导线垂直于运动方向上的投影）,即导体在垂直于速度v方向上的投影长度,如图所示的几种情况中,感应电动势都是E=Blv。 (2)公式中的v应理解为导体和磁场间的相对速度,当导体不动而磁场运动时,也有感应电动势产生。 (3)当v与l或v与B的夹角为θ时,公式E=Blv仍可用来求解导体切割磁感线时产生的感应电动势,但应注意的是其中的l或v应用有效切割长度或有效切割速度。当B、l、v三个量的方向相互垂直时,θ=90°,感应电动势最大;当有任意两个量的方向平行时,θ=0°,感应电动势为0。 (4)该公式可看成法拉第电磁感应定律的一个推论,通常用来求导线运动速度为v时的瞬时感应电动势,随着v的变化,E也相应变化;若v为平均速度,则E就为平均感应电动势。 (5)转动切割磁感线情境:如图所示,长为l的导体棒在垂直于匀强磁场的平面内,绕O点以角速度ω匀速转动,磁感应强度为B。 2.公式E=n与E=Blv的区别与联系 E＝n E＝Blvsin θ 区别 研究对象 整个闭合回路 回路中做切割磁感线运动的那部分导体 适用范围 各种电磁感应现象 只适用于匀强磁场导体切割磁感线运动的情况 计算结果 平均感应电动势 瞬时或平均感应电动势 联系 E＝Blvsin θ是由E＝n在一定条件下推导出来的，当Δt➝0时,E为瞬时感应电动势，该公式可看作法拉第电磁感应定律的一个推论 【典例12】如图所示,在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中,将一水平放置的长为l的金属棒ab以某一水平速度v0抛出,金属棒在运动过程中始终保持水平。不计空气阻力,关于金属棒在运动过程中产生的感应电动势,下列判断正确的是(　　) A.ab棒不会产生电动势 B.ab棒产生的电动势越来越大 C.ab棒产生的电动势保持不变,且a端电势低于b端电势 D.ab棒产生的电动势保持不变,且a端电势高于b端电势 【典例13】将长为2L、粗细均匀的导线ab,从中点O处折成如图所示形状,aO⊥Ob,ab连线与水平方向成45°角,导线所在位置处有范围足够大方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。现导线在纸面内以相同的速度大小v,分别沿垂直ab斜向上和水平向左两个方向运动,则两种情况下a、b两点间的电势差之比为(　　) A.1∶　　　　B.∶1　　　　C.1∶2　　　　D.2∶1 【典例14】(多选)如图所示,单匝矩形线圈在匀强磁场中可绕OO'轴转动,线圈的两个边长分别是l1和l2,转动时角速度是ω,磁场的磁感应强度为B,则(　　) A.矩形线圈在转动时,感应电动势是变化的 B.线圈在图示位置时,感应电流沿逆时针方向 C.线圈在与纸面垂直的平面内时,线圈中的感应电动势为0 D.线圈在图示位置时,线圈中的感应电动势为Bl1l2ω 【典例15】如图,相距为d的固定平行光滑金属导轨与阻值为R的电阻相连,处在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中,长度为L的导体棒ab沿导轨向右做匀速直线运动,速度大小为v。则导体棒ab所受的安培力为(　　) A.,方向向左　 　B.,方向向右 C.,方向向左　　 　D.,方向向右 【典例16】如图所示,半圆形闭合回路半径为a,电阻为R,虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场,方向垂直于半圆形回路所在的平面。回路以速度v向右匀速进入磁场,直径CD始终与MN垂直。从D点到达边界开始到C点进入磁场为止,下列结论正确的是(　　) A.感应电流沿顺时针方向 B.半圆形闭合导线所受安培力方向向右 C.感应电动势最大值为2Bav D.感应电动势平均值=πBav 【典例17】(多选)如图所示为我国民众应对高温天气所用的吊扇,此时固定于天花板上的吊扇正在顺时针旋转(仰视),转速为n。已知叶片ab的长度为L,忽略转轴的大小,吊扇所在位置的地磁场的磁感应强度大小为B,方向与竖直方向的夹角为θ,则下列说法正确的是(　　) A.a、b两端的电势差大小为nπBL2 cos θ B.a、b两端的电势差大小为nπBL2 sin θ C.a端的电势高于b端的电势 D.a端的电势低于b端的电势 【典例18】（多选） (创新题·新情境)动圈式扬声器的结构如图甲所示,图乙为磁铁和线圈部分从右往左看的剖面图,有指向圆心内部的辐射形磁场。当人对着纸盆说话,纸盆带着线圈左右运动(在乙图中垂直剖面上下运动)能将声信号转换为电信号。已知线圈有n匝,线圈半径为R,总电阻为r,线圈所在位置的磁感应强度大小为B,则(　　) A.纸盆向左运动时,图乙的线圈中产生逆时针方向的感应电流 B.纸盆向左运动时,图乙的线圈中产生顺时针方向的感应电流 C.纸盆向右运动速度为v时,线圈所受安培力大小为 D.纸盆向右运动速度为v时,线圈所受安培力大小为 【典例19】如图为法拉第圆盘实验的示意图,金属铜圆盘下侧处在匀强磁场中,其磁感应强度大小为B、方向水平向右,电刷C与铜盘边缘接触良好,O、C两端与电阻R相连,其余电阻不计。已知圆盘的半径为r,金属圆盘沿图示方向绕金属轴匀速旋转,其角速度为ω。下列说法正确的是(　　) A.若圆盘按照图示方向转动,则C点电势比O点电势低 B.圆盘O、C点间产生的感应电动势为E感=Br2ω C.电阻R中会有变化的电流流过 D.若将电刷C向O靠近一小段距离,流过电阻R的电流会变大 【典例20】（多选）如图所示,abcd为水平固定的光滑金属导轨,ab、cd相互平行且间距l=4 m,导轨电阻不计,导轨间有垂直于导轨平面的匀强磁场,磁感应强度大小为1 T。金属杆MN倾斜放置,与导轨cd的夹角为θ=53°,金属杆的质量为2 kg,每米金属杆的电阻r=2 Ω,在外力F作用下金属杆以速度v=10 m/s沿平行于ab的方向匀速滑动(滑动过程中与导轨接触良好,已知sin 53°=0.8,g取10 m/s2)。则下列说法中正确的是(　　) A.电路中感应电动势的大小为50 V B.外力F的大小可能为20 N C.外力F的大小可能为50 N D.金属杆的热功率为250 W 【典例21】如图所示,空间内有竖直向下的有界匀强磁场,磁感应强度大小B=0.1 T。边长L=0.1 m的正方形金属线框abcd放置在光滑水平桌面上,线框在水平外力F作用下以水平向右的速度v=4 m/s匀速进入磁场区域。已知线框的电阻R=0.4 Ω,线框运动过程中ab、cd两边始终与磁场边界平行。在线框进入磁场过程中,求: (1)线框中电流I的大小; (2)c、d两点间的电势差Ucd; (3)外力F的大小; (4)线框中产生的焦耳热Q。 【典例22】如图所示,足够长的固定平行金属导轨MN、PQ与水平面间的夹角θ=37°,其宽度L=1 m,导轨下端M、P之间连接R1=1.5 Ω的电阻,上端N、Q之间连接R2=3 Ω的电阻,整个装置处于垂直导轨平面向下的匀强磁场中。一根质量m=1 kg、电阻r=1 Ω、长度L=1 m的金属杆ab在导轨上由静止释放,下滑距离x=20 m前已达到稳定速度vm=4 m/s。已知金属杆运动过程中始终与导轨接触良好,导轨电阻不计,金属杆与导轨间的动摩擦因数μ=0.5,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度大小取g=10 m/s2。 (1)求磁感应强度B的大小; (2)当金属杆的速度v1=2 m/s时,求金属杆的加速度大小; (3)在金属杆从静止释放到下滑距离x=20 m的过程中,求电路产生的总焦耳热。 为则易 行则至 第 12 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $物理冯老师 第7讲 法拉第电磁感应定律及其应用 ——夯基强化讲义 考点1：电磁感应定律 1.探究影响感应电流大小的因素 实验结论1：在用导线切割磁感线产生感应电流的实验中，导线切割磁感线的速度越快、磁体的磁场越强，产生的感应电流就越大。在向线圈中插入条形磁体的实验中，磁体的磁场越强、插入的速度越快，产生的感应电流就越大。 实验结论2：磁通量变化越快，感应电动势越大，在同一电路中，感应电流越大；反之越小。磁通量的变化快慢就是磁通量的变化率，用表示。 2.感应电动势 感应电动势 感应电流 概念 电磁感应现象中产生的电动势,产生感应电动势的那部分导体相当于电源（内部电流由负极到正极） 电磁感应现象中产生的电流 条件 磁通量变化 ①磁通量变化;②电路闭合 两者联系 在电磁感应现象中,既然有感应电流产生,那么电路中一定有感应电动势。 如果电路不闭合虽然没有感应电流，但电动势依然存在。所以产生感应电动势为电磁感应现象的本质。 3.法拉第电磁感应定律 (1)内容:闭合电路中感应电动势的大小,跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。 (2)公式: 若闭合电路是一个匝数为n的线圈,而且穿过每匝线圈的磁通量总是相同的,则整个线圈中的感应电动势E=n。 (3)单位:在国际单位制中,电动势E的单位是伏(V),且1 V=1 Wb/s。 注：感应电动势的大小和线圈匝数成正比,但磁通量和线圈的匝数无关。 知识储备 (1)Φ、ΔΦ、三者的大小没有必然联系,这一点可与运动学中的v、Δv、三者相类比。值得注意的是:Φ很大, 可能很小;Φ很小, 可能很大;Φ=0, 可能不为零(如线圈平面转到与磁感线平行位置时)。 (2)磁通量的变化率是Φ-t图像上某点切线的斜率。 知识辨析 公式E=n求出的电动势是瞬时值还是平均值? 利用E=n求得的电动势是整个回路在Δt时间内的平均感应电动势,当Δt趋近于0时,上式求的是电动势的瞬时值。类比、 重点1：对法拉第电磁感应定律的理解 研究对象 E=n的研究对象是一个回路,求得的电动势是整个回路的感应电动势 物理意义 E=n求得的电动势是整个回路的感应电动势,而不是回路中某段导体的感应电动势。整个回路的感应电动势为零,而回路中某段导体的感应电动势不一定为零 公式的三种变形应用 ①E=nS:当S不变、B随时间变化时,用公式E=nS求感应电动势,其中S为线圈在磁场内的有效面积。 ②E=nB:当磁场不变、回路面积S随时间变化时,用公式E=nB求解。 ③若回路中与磁场方向垂直的回路面积S及磁感应强度B均随时间变化,则Et=nSt+nBt,要特别注意题目要求的是哪个时刻的感应电动势 瞬时值与 平均值 E=n求的是Δt时间内的平均感应电动势;当Δt→0时,E为瞬时感应电动势。在磁通量均匀变化时,瞬时值等于平均值 求电荷量 q=IΔt=Δt=。可见,在一段时间内通过导线横截面的电荷量q仅由线圈的匝数n、磁通量的变化量ΔΦ和闭合电路的电阻R决定。因此,要快速求得通过导线横截面的电荷量q,关键是正确求得磁通量的变化量ΔΦ,在计算时,通常取其绝对值。线圈在匀强磁场中转动,在一个周期内穿过线圈的磁通量的变化量ΔΦ=0,故通过导线横截面的电荷量q=0 【典例1】如图甲所示,100匝的线圈两端A、B与一个理想电压表相连,线圈内有垂直纸面向里的磁场,线圈中的磁通量按图乙所示规律变化,则电压表的读数应为(　　) 　 A.25 V　　　　B.50 V　　　　C.75 V　　　　D.100 V 【答案】B 【详解】Φ-t图像切线的斜率等于磁通量的变化率,则有k=,所以磁通量的变化率为= Wb/s=0.5 Wb/s,根据法拉第电磁感应定律得E=n=50 V,则电压表读数为50 V,故选B。 方法技巧：(1)=·S,其中为Φ-t图像切线的斜率,为B-t图像切线的斜率。 (2)根据E=n=n·S计算电动势大小时,ΔΦ、ΔB取绝对值,不涉及正、负。 【典例2】如图1所示,一半径为r的单匝圆形铜线圈固定在纸面内,处于垂直纸面向外的匀强磁场中,磁场磁感应强度B的大小随时间t变化的规律如图2所示。在0~t0时间内,关于该线圈中感应电流方向与感应电动势大小的说法正确的是(　　) 　 A.顺时针方向,感应电动势由零增大至B.顺时针方向,感应电动势大小始终为 C.逆时针方向,感应电动势大小始终为D.逆时针方向,感应电动势由零增大至 【答案】B 【详解】在0~t0时间内,穿过线圈的磁通量向外增加,根据楞次定律结合安培定则可知,线圈中感应电流沿顺时针方向;由于磁感应强度B随时间t均匀增大,所以感应电动势大小始终为E=S=·πr2=,故选B。 【典例3】(创新题·新情境)(2024福建高考)拓扑结构在现代物理学中具有广泛的应用。现有一条绝缘纸带,两条平行长边镶有铜丝,将纸带一端扭转180°,与另一端连接,形成拓扑结构的莫比乌斯环,如图所示。连接后,纸环边缘的铜丝形成闭合回路,纸环围合部分可近似为半径为R的扁平圆柱。现有一匀强磁场从圆柱中心区域垂直其底面穿过,磁场区域的边界是半径为r的圆(r<R)。若磁感应强度大小B随时间t的变化关系为B=kt(k为常量),则回路中产生的感应电动势大小为(　　) A.0　　　　B.kπR2　　　　C.2kπr2　　　　D.2kπR2 【答案】C 【详解】铜丝形成了两匝(n=2)线圈串联的闭合回路,穿过回路的磁场有效面积为S=πr2(易错点),根据法拉第电磁感应定律可知,回路中产生的感应电动势大小为E=n=nS=2kπr2,故选C。 易混易错:解答此类题目要注意,E=n·S中的S是线圈在磁场内的有效面积,不一定等于线圈的面积。 【典例4】如图所示,边长为L的正方形金属回路(总电阻为R)与水平面的夹角为60°,虚线圆与正方形边界相切,虚线圆区域内(包括边界)存在竖直向下的匀强磁场,其磁感应强度与时间的关系式为B=kt(k>0且为常量),则金属回路产生的感应电流大小为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【答案】D 【详解】虚线圆在垂直于磁场方向的投影面积S'=S圆 cos 60°,磁通量Φ=BS'=ktS圆 cos 60°,感应电动势E==kS圆 cos 60°。根据法拉第电磁感应定律得,回路产生的感应电动势E=S圆·cos 60°=kπ=,由闭合电路欧姆定律得,金属回路产生的感应电流大小为I==,故选D。 【典例5】如图甲所示,在竖直方向的匀强磁场中,水平放置一圆形导体环,磁场的磁感应强度B随时间t变化的关系如图乙所示。规定磁场竖直向上为正,导体环中电流沿顺时针方向(俯视)为正,导体环中感应电流随时间变化的图像正确的是(　　) 　 　 【答案】D 【详解】在0~2 s内,根据楞次定律结合安培定则可知导体环中电流沿顺时针方向,即正方向;根据法拉第电磁感应定律可得感应电动势大小为E0=S=,感应电流大小为I0==,可见感应电流大小恒定不变;在2~4 s内,导体环中电流沿逆时针方向,即负方向;感应电流大小为I===I0,可见感应电流大小恒定不变。故选D。 【典例6】(创新题·新考法)如图所示,一个半径为r的绝缘细圆环水平放置,环内存在竖直向上的匀强磁场,环上套一电荷量为+q的小球。现将磁感应强度随时间均匀增大,变化率为k,则小球在环上运动一周,涡旋电场对小球的作用力做功为(　　) A.0　　　　B.πrqk　　　　C.πr2qk　　　　D.πr 【答案】C 【详解】环中产生的感应电动势E=πr2=kπr2,小球在环上运动一周,涡旋电场对小球的作用力做功的大小是W=qU=qE(破题关键),解得W=πr2qk,故选C。 【典例7】如图所示,由两根完全相同的导线制作的单匝正方形和圆形闭合线圈固定在与线圈平面垂直的磁场中,当磁场的磁感应强度随时间均匀变化时,正方形线圈与圆形线圈中产生的感应电流大小之比为(　　) A.π　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【答案】C 【详解】由两根完全相同的导线制作的单匝正方形和圆形闭合线圈,设导线的总长度为l,电阻为R,则正方形线圈边长为L=,正方形线圈中产生的感应电流大小为I1====;圆形线圈的半径为r=,圆形线圈中产生的感应电流大小为I2====,联立可得=,选C。 【典例8】(多选)如图甲所示,轻质细线吊着一质量m=2 kg、边长L=1 m、匝数n=5的正方形线圈,线圈总电阻r=0.5 Ω。在线圈的中间位置以下区域分布着垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小随时间变化关系如图乙所示,重力加速度g=10 m/s2。下列说法正确的是(　　) 　 A.0~6 s内穿过线圈磁通量的变化量为3 Wb B.线圈中产生的感应电流的大小为1 A C.t=6 s时轻质细线的拉力大小为12 N D.0~6 s内线圈产生的焦耳热为15 J 【答案】BC 【详解】0~6 s内,穿过线圈磁通量的变化量为ΔΦ=ΔB×L2=0.6 Wb,A错误;线圈中产生的感应电动势E=n·L2=0.5 V,感应电流的大小为I==1 A,B正确;t=6 s时,线圈受安培力方向向上,则轻质细线的拉力大小为T=mg-F安,且F安=nB6IL=8 N(易错点),解得T=12 N,C正确;0~6 s内,线圈产生的焦耳热为Q=I2rt=12×0.5×6 J=3 J,D错误。 【典例9】(多选)长、宽分别为2L和L的金属线框(电阻不计),右端接电阻R,a、b为金属线框的两端点,金属线框的左半部分在磁场中,规定磁场垂直纸面向里的方向为正方向,磁场的磁感应强度变化情况如图乙所示,在0~t0时间内,则(　　) 　 A.b点的电势高于a点的电势 B.金属线框中的电流方向为逆时针 C.流过R的电荷量为q=D.流过R的电荷量为q= 【答案】ABD 【详解】 由图乙可知磁通量逐渐增大,根据楞次定律结合安培定则可知感应电流沿逆时针方向,则b点的电势高于a点的电势,故A、B正确;根据=、=及q=Δt可知q==(解题技法),故C错误,D正确。 【典例10】如图所示,两根间距为1 m的平行光滑“匚”形导轨与水平面成30°角,磁感应强度大小为1 T的磁场垂直导轨平面向上。现将一导体棒垂直于导轨静止释放,其接入电路的电阻为1 Ω,经过2 s后达到最大速度2 m/s,导轨足够长且电阻忽略不计,取重力加速度g=10 m/s2,此过程通过导体棒的电荷量为(　　) A.2.4 C　　　　B.3.2 C　　　　C.4.0 C　　　　D.4.8 C 【答案】B 【详解】导体棒达到最大速度时,受力平衡,有mg sin 30°=,解得导体棒的质量为m=0.4 kg,根据动量定理有mg sin 30°·t-BLt=mv,且q=t,(解题技法),解得通过导体棒的电荷量为q=3.2 C,故选B。  规律总结:电磁感应中电荷量的计算 (1)由于q=Δt,且==n,因此q=Δt=Δt=n。 (2)导体棒或金属框在安培力作用下做非匀变速直线运动时,安培力的冲量大小I安=LB·Δt,由于q=Δt,因此I安=LB·Δt=BL·q,得出q=。 【典例11】如图所示的实验装置中,线圈的两端与电压传感器相连,强磁体从长玻璃管上端口位置由静止下落,穿过线圈。重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　) A.强磁体在线圈上方下落过程中加速度大于g B.若仅将线圈匝数增加,电压的最大值保持不变 C.强磁体磁性越强,电压的最大值越大 D.若仅将线圈到玻璃管上端口位置的距离加倍,电压的最大值也将加倍 【答案】C 【详解】 强磁体在线圈上方下落过程中,线圈中产生感应电流,根据楞次定律可知,线圈中感应电流的磁场阻碍它们的相对运动,则强磁体受到的线圈的作用力向上,加速度小于g,故A错误;根据法拉第电磁感应定律有E=n,可见仅将线圈匝数增加,电压的最大值增大,故B错误;强磁体磁性越强,下落过程中,穿过线圈的磁通量的变化率越大,线圈中产生的感应电动势越大,电压的最大值越大,故C正确;根据楞次定律可知,线圈中感应电流的磁场阻碍强磁体与线圈的相对运动,强磁体下落越快,受到阻力作用越大,设阻力的平均值为,根据动能定理有(mg-)h=mv2,解得v=,可见若仅将线圈到玻璃管上端口的距离加倍,强磁体受到的阻力的平均值也会变大,则速度不会增加到原来的2倍,电压的最大值不会加倍,故D错误。 名师点津　本题由教材P30“做一做”栏目内容演变而来,考查楞次定律、法拉第电磁感应定律在动力学问题中的应用。在分析本题D选项时,要分析强磁体的受力特点,结合动能定理定性讨论增加的高度与增加的速度的关系。 考点2：导线切割磁感线时的感应电动势 1.导线垂直于磁场运动,B、l、v两两垂直时,如图,E=Blv。 2.导线的运动方向与导线本身是垂直的,但与磁感线方向有一个夹角θ时,如图所示,可将导线 的速度v沿垂直于磁感线和平行于磁感线两个方向分解,则分速度v2=v cos θ不使导线切割磁 感线,使导线垂直切割磁感线的分速度为v1=v sin θ,从而使导线产生的感应电动势为E=Blv1= Blv sin θ。 易错警示 导线运动速度越大,产生的感应电动势不一定越大。因为导线切割磁感线时,产生的感应电动势的大小与垂直于磁感线方向的速度有关,而速度大,垂直于磁感线方向的速度不一定大。 知识辨析 长度相同、材料不同的两根导线,若先后分别放在U形金属导轨上,以同样的速度在同一匀强磁场中垂直切割磁感线,则两导线产生的电动势相同还是不同? 相同。导线垂直切割磁感线时产生的感应电动势E=Blv,可知两导线产生的电动势相同。 重点1：对导体切割磁感线时产生感应电动势的理解 1.对公式E=Blv 的理解 (1)在公式E=Blv中,l是指导体的有效切割长度（导线垂直于运动方向上的投影）,即导体在垂直于速度v方向上的投影长度,如图所示的几种情况中,感应电动势都是E=Blv。 (2)公式中的v应理解为导体和磁场间的相对速度,当导体不动而磁场运动时,也有感应电动势产生。 (3)当v与l或v与B的夹角为θ时,公式E=Blv仍可用来求解导体切割磁感线时产生的感应电动势,但应注意的是其中的l或v应用有效切割长度或有效切割速度。当B、l、v三个量的方向相互垂直时,θ=90°,感应电动势最大;当有任意两个量的方向平行时,θ=0°,感应电动势为0。 (4)该公式可看成法拉第电磁感应定律的一个推论,通常用来求导线运动速度为v时的瞬时感应电动势,随着v的变化,E也相应变化;若v为平均速度,则E就为平均感应电动势。 (5)转动切割磁感线情境:如图所示,长为l的导体棒在垂直于匀强磁场的平面内,绕O点以角速度ω匀速转动,磁感应强度为B。 2.公式E=n与E=Blv的区别与联系 E＝n E＝Blvsin θ 区别 研究对象 整个闭合回路 回路中做切割磁感线运动的那部分导体 适用范围 各种电磁感应现象 只适用于匀强磁场导体切割磁感线运动的情况 计算结果 平均感应电动势 瞬时或平均感应电动势 联系 E＝Blvsin θ是由E＝n在一定条件下推导出来的，当Δt➝0时,E为瞬时感应电动势，该公式可看作法拉第电磁感应定律的一个推论 【典例12】如图所示,在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中,将一水平放置的长为l的金属棒ab以某一水平速度v0抛出,金属棒在运动过程中始终保持水平。不计空气阻力,关于金属棒在运动过程中产生的感应电动势,下列判断正确的是(　　) A.ab棒不会产生电动势 B.ab棒产生的电动势越来越大 C.ab棒产生的电动势保持不变,且a端电势低于b端电势 D.ab棒产生的电动势保持不变,且a端电势高于b端电势 【答案】C 【详解】将一水平放置的长为l的金属棒ab以某一水平速度v0抛出,金属棒在运动过程中始终保持水平,由右手定则可知a端电势低于b端电势。金属棒做平抛运动,水平方向速度不变(破题关键),金属棒产生的电动势E=Blv0,保持不变。故选C。 【典例13】将长为2L、粗细均匀的导线ab,从中点O处折成如图所示形状,aO⊥Ob,ab连线与水平方向成45°角,导线所在位置处有范围足够大方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。现导线在纸面内以相同的速度大小v,分别沿垂直ab斜向上和水平向左两个方向运动,则两种情况下a、b两点间的电势差之比为(　　) A.1∶　　　　B.∶1　　　　C.1∶2　　　　D.2∶1 【答案】B 【详解】垂直ab斜向上匀速运动时,导线切割磁感线的有效长度为Lab=L(破题关键),产生的感应电动势为E1=BLabv=BLv;水平向左匀速运动时,导线切割磁感线的有效长度为LOa=L,产生的感应电动势为E2=BLOav=BLv,a、b两点间的电势差之比==,故B正确。 方法技巧　切割磁感线的有效长度的确定 　　如图甲、乙、丙,E=Blv中的l为导体两端点连线在垂直于速度方向上的投影长度,均为a、b间的距离。 　　 【典例14】(多选)如图所示,单匝矩形线圈在匀强磁场中可绕OO'轴转动,线圈的两个边长分别是l1和l2,转动时角速度是ω,磁场的磁感应强度为B,则(　　) A.矩形线圈在转动时,感应电动势是变化的 B.线圈在图示位置时,感应电流沿逆时针方向 C.线圈在与纸面垂直的平面内时,线圈中的感应电动势为0 D.线圈在图示位置时,线圈中的感应电动势为Bl1l2ω 【答案】ACD 【详解】矩形线圈在匀强磁场中绕OO'轴匀速转动时,线圈与轴线平行的边切割磁感线的速度不断变化,则线圈中的感应电动势不断变化,故A正确;线圈在图示位置时,根据右手定则可知,线圈中的感应电流沿顺时针方向,故B错误;线圈在图示位置时,感应电动势为E=Bl2v,其中v=ωl1,解得E=Bl1l2ω,线圈在与纸面垂直的平面内时,切割速度为0,感应电动势为0,则C、D正确。 【典例15】如图,相距为d的固定平行光滑金属导轨与阻值为R的电阻相连,处在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中,长度为L的导体棒ab沿导轨向右做匀速直线运动,速度大小为v。则导体棒ab所受的安培力为(　　) A.,方向向左　 　B.,方向向右 C.,方向向左　　 　D.,方向向右 【答案】A 【详解】导体棒ab产生的感应电动势为E=Bdv,回路中感应电流为I=,导体棒ab所受的安培力为F=BId=,根据右手定则可知导体棒ab中的电流方向为b到a,根据左手定则可知导体棒ab所受的安培力方向向左。故选A。 【典例16】如图所示,半圆形闭合回路半径为a,电阻为R,虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场,方向垂直于半圆形回路所在的平面。回路以速度v向右匀速进入磁场,直径CD始终与MN垂直。从D点到达边界开始到C点进入磁场为止,下列结论正确的是(　　) A.感应电流沿顺时针方向 B.半圆形闭合导线所受安培力方向向右 C.感应电动势最大值为2Bav D.感应电动势平均值=πBav 【答案】D 【详解】在闭合回路进入磁场的过程中,通过闭合回路所围面积垂直纸面向里的磁通量逐渐增大,根据楞次定律结合安培定则可知感应电流的方向为逆时针方向,根据“来拒去留”可知半圆形闭合导线所受安培力方向向左,故A、B错误;当半圆形闭合回路进入磁场一半时,切割磁感线的长度最大,为a(破题关键),则感应电动势的最大值为E=Bav,故C错误; 由法拉第电磁感应定律可得感应电动势平均值为===πBav(解题技法),故D正确。 【典例17】(多选)如图所示为我国民众应对高温天气所用的吊扇,此时固定于天花板上的吊扇正在顺时针旋转(仰视),转速为n。已知叶片ab的长度为L,忽略转轴的大小,吊扇所在位置的地磁场的磁感应强度大小为B,方向与竖直方向的夹角为θ,则下列说法正确的是(　　) A.a、b两端的电势差大小为nπBL2 cos θ B.a、b两端的电势差大小为nπBL2 sin θ C.a端的电势高于b端的电势 D.a端的电势低于b端的电势 【答案】AC 【详解】地磁场的磁感应强度垂直于叶片向下的分量为B1=B cos θ(破题关键),由法拉第电磁感应定律有E=B1L=B1L2ω;角速度和转速关系为ω=2πn,又因为U=E,可得a、b两端的电势差大小为U=nπBL2 cos θ,由右手定则可知,a端的电势高于b端的电势。故选A、C。 【典例18】（多选） (创新题·新情境)动圈式扬声器的结构如图甲所示,图乙为磁铁和线圈部分从右往左看的剖面图,有指向圆心内部的辐射形磁场。当人对着纸盆说话,纸盆带着线圈左右运动(在乙图中垂直剖面上下运动)能将声信号转换为电信号。已知线圈有n匝,线圈半径为R,总电阻为r,线圈所在位置的磁感应强度大小为B,则(　　) A.纸盆向左运动时,图乙的线圈中产生逆时针方向的感应电流 B.纸盆向左运动时,图乙的线圈中产生顺时针方向的感应电流 C.纸盆向右运动速度为v时,线圈所受安培力大小为 D.纸盆向右运动速度为v时,线圈所受安培力大小为 【答案】AD 【详解】模型建构 　　线圈切割辐向磁场模型 纸盆向左运动时,由图乙情境结合右手定则可知线圈中产生逆时针方向的感应电流,故A正确,B错误;纸盆向右运动速度为v时,每匝线圈切割磁感线的长度为2πR(破题关键),线圈中产生的感应电动势为E=nB·2πR·v=2πnBRv,则线圈中感应电流大小为I==,线圈所受的安培力大小F=nBI·2πR=,故C错误,D正确。 【典例19】如图为法拉第圆盘实验的示意图,金属铜圆盘下侧处在匀强磁场中,其磁感应强度大小为B、方向水平向右,电刷C与铜盘边缘接触良好,O、C两端与电阻R相连,其余电阻不计。已知圆盘的半径为r,金属圆盘沿图示方向绕金属轴匀速旋转,其角速度为ω。下列说法正确的是(　　) A.若圆盘按照图示方向转动,则C点电势比O点电势低 B.圆盘O、C点间产生的感应电动势为E感=Br2ω C.电阻R中会有变化的电流流过 D.若将电刷C向O靠近一小段距离,流过电阻R的电流会变大 【答案】B 【详解】若圆盘按照图示方向转动,将圆盘看作无数细小金属棒,根据右手定则可知C点电势较高,A错误;圆盘在转动时可看作无数相同的并联的金属棒在转动切割磁感线,所产生的感应电动势满足E感=BL,代入得E感=Br·=Br2ω,B正确;电阻R中的电流方向始终不变,由于感应电动势大小恒定,则感应电流的大小也不变,C错误;根据产生的感应电动势E感=Br2ω,若将C向O靠近一小段距离,有效切割长度变小,回路中产生的感应电动势变小,流过电阻R的电流会变小,D错误。 【典例20】（多选）如图所示,abcd为水平固定的光滑金属导轨,ab、cd相互平行且间距l=4 m,导轨电阻不计,导轨间有垂直于导轨平面的匀强磁场,磁感应强度大小为1 T。金属杆MN倾斜放置,与导轨cd的夹角为θ=53°,金属杆的质量为2 kg,每米金属杆的电阻r=2 Ω,在外力F作用下金属杆以速度v=10 m/s沿平行于ab的方向匀速滑动(滑动过程中与导轨接触良好,已知sin 53°=0.8,g取10 m/s2)。则下列说法中正确的是(　　) A.电路中感应电动势的大小为50 V B.外力F的大小可能为20 N C.外力F的大小可能为50 N D.金属杆的热功率为250 W 【答案】BC 【详解】计算感应电动势时,金属杆切割磁感线的有效长度为l=4 m(易错点),电路中感应电动势的大小为E=Blv=40 V,A错误;金属杆的电阻R=r=10 Ω,电路中的电流I==4 A,金属杆的热功率为P=I2R=160 W,D错误;计算安培力时,金属杆的有效长度为L==5 m(易错点),则所受的安培力为F安=BIL=20 N,金属杆匀速运动,受力平衡,当金属杆所受外力F与安培力在同一平面内时,外力F的大小为20 N,当金属杆所受外力F与安培力不在同一平面内时,外力F的大小可能为50 N,B、C正确。  易混易错　本题中,用公式E=BLv计算感应电动势时,L是指金属杆的有效切割长度,即金属杆在垂直于速度v方向上的投影长度;用公式F=BIL计算安培力时,L是指金属杆在垂直于磁场方向上投影的长度,如图所示。 【典例21】如图所示,空间内有竖直向下的有界匀强磁场,磁感应强度大小B=0.1 T。边长L=0.1 m的正方形金属线框abcd放置在光滑水平桌面上,线框在水平外力F作用下以水平向右的速度v=4 m/s匀速进入磁场区域。已知线框的电阻R=0.4 Ω,线框运动过程中ab、cd两边始终与磁场边界平行。在线框进入磁场过程中,求: (1)线框中电流I的大小; (2)c、d两点间的电势差Ucd; (3)外力F的大小; (4)线框中产生的焦耳热Q。 【答案】(1)0.1 A　(2)0.03 V　(3)1×10-3 N　(4)1×10-4 J 【详解】(1)由cd边切割磁感线可得感应电动势E=BLv,根据闭合电路欧姆定律得感应电流I=,联立可得I=,代入数据解得I=0.1 A (2)c、d两点间的电势差Ucd为路端电压,Ucd=E,代入数据解得Ucd=0.03 V (3)线框所受安培力FA=BIL,根据平衡条件有F=FA,可得F=1×10-3 N (4)根据焦耳定律,可知Q=I2Rt,其中t=,解得Q=1×10-4 J 一题多解　第(4)问,根据动能定理,FL+W安=0,W克安=-W安=Q,解得Q=1×10-4 J 【典例22】如图所示,足够长的固定平行金属导轨MN、PQ与水平面间的夹角θ=37°,其宽度L=1 m,导轨下端M、P之间连接R1=1.5 Ω的电阻,上端N、Q之间连接R2=3 Ω的电阻,整个装置处于垂直导轨平面向下的匀强磁场中。一根质量m=1 kg、电阻r=1 Ω、长度L=1 m的金属杆ab在导轨上由静止释放,下滑距离x=20 m前已达到稳定速度vm=4 m/s。已知金属杆运动过程中始终与导轨接触良好,导轨电阻不计,金属杆与导轨间的动摩擦因数μ=0.5,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度大小取g=10 m/s2。 (1)求磁感应强度B的大小; (2)当金属杆的速度v1=2 m/s时,求金属杆的加速度大小; (3)在金属杆从静止释放到下滑距离x=20 m的过程中,求电路产生的总焦耳热。 【答案】(1)1 T　(2)1 m/s2　(3)32 J 【详解】(1)当金属杆的速度为v时,有E=BLv,I=,F安=BIL 外电阻为R外==1 Ω 联立可得安培力大小为F安= 当金属杆ab达到稳定速度vm=4 m/s时,金属杆达到平衡状态,根据平衡条件可得 mg sin θ=μmg cos θ+,解得B=1 T (2)当金属杆的速度v1=2 m/s时,安培力大小为F1= 根据牛顿第二定律有mg sin θ-μmg cos θ-=ma 解得a=1 m/s2 (3)在金属杆从静止释放到下滑距离x=20 m的过程中,根据能量守恒可得mgx sin θ=m+μmg cos θ·x+Q总 解得电路产生的总焦耳热为Q总=32 J 为则易 行则至 第 12 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $