5.1 直角三角形的性质定理（2） 课件 2025--2026学年湘教版八年级数学上册

这是一份初中数学同步教学课件，聚焦“直角三角形的性质定理（2）”，通过新知导入回顾旧知，设置折叠、测量等动手操作任务，引导学生探究30°角直角三角形边的关系，结合多种证明方法推导定理及逆定理，辅以分层课堂练习与作业布置构建完整学习支架。 资料特色鲜明，注重核心素养培养，如折叠操作发展几何直观（数学眼光），演绎推理与多证法提升推理能力（数学思维），触礁问题等实际应用强化模型意识（数学语言）。分层练习满足不同需求，为教师提供清晰教学路径，助力学生掌握定理并灵活应用，夯实几何基础。

第5章 直角三角形 5.1 直角三角形的性质定理（2） 01 教学目标 02 新知导入 03 新知探究 04 课堂练习 05 课堂小结 06 作业布置 Contents 目录 01 教学目标 通过折叠、测量等操作，直观感知含30°角的直角三角形的边的关系，抽象出“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质。 01 经历性质的证明过程，能运用全等三角形、等边三角形等知识完成演绎推理，能清晰表达证明思路，提升逻辑推理的严谨性和条理性。 02 能运用该性质进行直角三角形的边长计算，能解决“线段长度”“高度测量”等实际问题，在运算和应用中体会性质的实用价值。 03 3 02 新知导入 回顾 直角三角形的性质和判定定理是什么？ 直角三角形的性质1：直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. 直角三角形的性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 4 03 新知探究 任务一：画一个锐角为 30°的直角三角形用直尺分别测量斜边和直角边的长度. 任务二：将直角三角形剪裁下来，将直角三角形进行折叠，使点A与点B重合，找到AB的中点D. 任务三：将直角三角形进行折叠，使BC与BA所在直线重合. 5 03 新知探究 思考 在一个锐角为 30°的直角三角板中，这个锐角所对直角边的长度与斜边的长度存在怎样的数量关系？ BC=AB 思考：你能通过几何语言进行证明吗？ 6 03 新知探究 已知：如图 ，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°. 求证：BC=AB. 证明：取斜边AB的中点D，连接CD. 根据直角三角形的性质定理得，CD= AB=BD， 于是△DBC是等腰三角形. 由于∠ACB=90°，∠A=30°， 因此∠B = 60°. 于是△DBC是等边三角形， 因此BC=BD=AB. 7 03 新知探究 直角三角形的性质3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴ BC=AB. 03 新知探究 思考 可以运用轴对称知识证明结论成立吗？试一试. 答案:可以.下面我们用三角尺验证:如图所示，把两个含30°角的三角尺较长的直角边拼在一起，可以构成等边三角形，该等边三角形是轴对称图形，较长的直角边所在的直线为该等边三角形的一条对称轴。这时，两条较短的直角边之和为等边三角形的一边，而斜边也为等边三角形的一边，所以30°角所对的直角边等于斜边的一半. 9 03 新知探究 在A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，测得A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距30√("3" )海里，如图所示. 若该轮船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗?(已知√("3" )≈1. 732) 例2 思考：什么情况轮船会触礁？ 当点A到轮船航线所在直线的距离大于20海里时不会触礁. 03 新知探究 分析：如图，取轮船航向所在的直线为OB. 过点A作AD⊥OB，垂足为D。AD的长为A岛到轮船航道的最短距离，若AD大于20海里，则轮船由西向东航行不会有触礁的危险. 03 新知探究 解：如图，取轮船航向所在的直线为OB. 过点A作AD⊥OB，垂足为D. 在Rt△AOD中，AO=30海里，∠AOD=30°， ∴AD=AO=×30=15≈25. 98(海里). ∵AD ≈ 25. 98 > 20， ∴轮船由西向东航行不会有触礁的危险. 03 新知探究 如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，若BC=AB， 求证：∠A = 30°. 例3 证明:如图，取斜边AB的中点D，连接CD. ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴CD =AB=BD. ∵BC=AB，∴BC=BD=CD， 即△BDC为等边三角形. ∴∠B = 60°. ∵∠A+∠B=90°，∴∠A=90°∠B=30° 13 03 新知探究 如图，延长BC到F，使CF=BC，连接AF 因为∠BCA=90°，BC=CF， 所以AC垂直平分BF， 于是AB=AF(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等) 又BC=AB ，BC=CF=BF， 方法二 03 新知探究 所以BF=AB， 因此BF = AB = AF，即△ABF是等边三角形 所以∠B = 60°， 因此∠CAB = 90°- ∠B = 30° 方法二 03 新知探究 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 几何语言 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AB， ∴∠A=30°. 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4，则AB等于（　　） A．2　　　　B．8　　　　C．4　　　　D．6 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，D是边AC上一点，且AD=DB=4，则边BC的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 B B 17 04 课堂练习 3.如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．∠ABC=150°，BC的长是10，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　） A．7.5 B．5 C．10 D．5 D 18 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 4.在Rt△ABC中，若∠B=90°，AC=10cm，AB=5cm，则∠A=　 　度． 5.三角形三内角的度数之比为1：2：3，最大边的长是8cm，则最小边的长是　 　cm． 6.如图，△ABC中，AB=AC，∠B=75°，过点A，点C分别作AB，AC的垂线相交于点D，则=　 　． 60 4 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度?边AB与BC之间有什么关系? 解：设∠A的度数为x，则∠B=2x， ∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， 代入得：x+2x=90°，即3x=90°，解得x=30° 。 因此，∠A=30°，∠B=2×30°=60°。 ∴AB=2BC。 20 05 课堂小结 直角三角形的性质3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 06 作业布置 【知识技能类作业】 1.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边沿所在的直线成30°角，如图所示，则三角板的直角边的长为（　　） A．3cm　　　　 B．6cm　　　　 C．7cm　　　　 D．8cm B 06 作业布置 2.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AC，若CD＝2，则BD的长为（　　） A．3　　　　 B．4　　　　 C．5　　　　 D．6 B 06 作业布置 3.如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=1.5，则AB的长为（　　） A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 C 06 作业布置 【综合拓展类作业】 4.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=8，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，求ON的长. 06 作业布置 解：过P作PD⊥OB于点D， 在Rt△OPD中， ∵∠ODP=90°，∠POD=60°， ∴∠OPD=30°， ∴OD=OP= ×8=4， ∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2， ∴MD=ND=MN=1， ∴ON=OD+DN=4+1=5． 26 07 板书设计 直角三角形的性质3： 几何语言： 5.1 直角三角形的性质定理（2） 习题讲解书写部分 $