5.1 直角三角形的性质定理（2） 学案 2025--2026学年湘教版八年级数学上册

该初中数学学案以“直角三角形”为单元核心，聚焦含30°角直角三角形性质，设定探究证明、应用计算等学习目标。通过复习回顾、动手操作、例题精讲、课堂练习的课时递进，关联折叠测量任务与演绎推理，构建“感知-归纳-应用”的完整学习路径。 亮点在于“动手操作+演绎证明”的深度探究设计，学生通过折叠测量直观感知性质，运用全等三角形、等边三角形知识完成证明，发展几何直观与逻辑推理素养。例2轮船触礁问题解决，强化数学运算与应用意识，为教师单元教学提供系统指导，助力学生深度学习与能力提升。

第5章 直角三角形 5.1 直角三角形的性质定理（2） ► 学习目标与重难点 学习目标： 1.通过折叠、测量等操作，直观感知含30°角的直角三角形的边的关系，抽象出“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，能在图形中准确识别对应边的关系，发展几何直观和数学抽象素养。 2.经历性质的证明过程，能运用全等三角形、等边三角形等知识完成演绎推理，能清晰表达证明思路，提升逻辑推理的严谨性和条理性。 3.能运用该性质进行直角三角形的边长计算，能解决“线段长度”“高度测量”等实际问题，在运算和应用中体会性质的实用价值，发展数学运算和应用意识。 学习重点： 含30°角的直角三角形的性质的探究与证明；性质在边长计算和实际问题中的应用。 学习难点： 性质的演绎证明思路的形成。 ► 学习过程 一、复习回顾 【回顾】直角三角形的性质和判定定理是什么？ 2、 探究新知 3、 探究：直角三角形的性质 教材第159页 【动手操作】 任务一：画一个锐角为 30°的直角三角形用直尺分别测量斜边和直角边的长度. 任务二：将直角三角形剪裁下来，将直角三角形进行折叠，使点A与点B重合，找到AB的中点D. 任务三：将直角三角形进行折叠，使BC与BA所在直线重合. 思考：在一个锐角为 30°的直角三角板中，这个锐角所对直角边的长度与斜边的长度存在怎样的数量关系？你能通过几何语言进行证明吗？ 【归纳】直角三角形的性质3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【思考】可以运用轴对称知识证明结论成立吗？试一试. 三、例题精讲 例2在A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，测得A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距30海里，如图所示. 若该轮船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗？(已知≈1. 732) 例3如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，若BC=AB，求证：∠A = 30°. 四、课堂练习 【知识技能类作业】 必做题 1.在中，，，，则等于（　　） A．2 B．8 C．4 D．6 2.如图，在中，，，是边上一点，且，则边的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．的长是10，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　） A． B． C．10 D．5 选做题 4.在中，若，，，则　 　度． 5.三角形三内角的度数之比为1：2：3，最大边的长是8cm，则最小边的长是　 　cm． 6.如图，中，，，过点，点分别作，的垂线相交于点，则　 　． 【综合拓展类作业】 7.在中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？ 五、课堂小结 这节课你收获了什么，在运用过程中需注意什么？ 六、作业布置 1.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边沿所在的直线成30°角，如图所示，则三角板的直角边的长为（　　） A． B． C． D． 2.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AC，若CD＝2，则BD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3.如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为（　　） A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 4.如图，已知，点在边上，，点M，N在边上，，若，求的长. 答案解析 课堂练习： 1.【答案】B 【解析】】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 故选：B 2.【答案】B 【解析】解∶∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 故答案为∶B． 3.【答案】D 【解析】解：作交的延长线于E，则， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 4.【答案】60． 【解析】解：∵AC=10cm，AB=5cm，∠B=90° ∴∠C=30° ∴∠A=180°-∠C-∠B=180°-30°-90°=60° 故答案为：60. 5.【答案】4． 【解析】解：三角形三内角的度数之比为1：2：3， 则最小的角是30度，最大角是直角， 因而最小边是30°的锐角所对的边，等于斜线的一半是4cm． 故答案为：4. 6.【答案】． 【解析】解：，， ，， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 7.【答案】解：设∠A的度数为x，则∠B=2x， ∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， 代入得：x+2x=90°，即3x=90°，解得x=30° 。 因此，∠A=30°，∠B=2×30°=60°。 ∴AB=2BC。 作业布置： 1.【答案】B 【解析】解：如图所示，过点C作CD⊥AD，CD=3cm， 在直角三角形ADC中，∵∠CAD=30°， ∴AC=2CD=2×3=6cm． 故选：B． 2.【答案】B 【解析】连接AD，如图所示： ∵AB=AC，∠A=120°， ∴∠B=∠C=30°， ∵DE垂直平分AC，CD=2，∠C=30°， ∴∠DAC=∠C=30°，AD=CD=2， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-30°=90°， ∵∠B=30°， ∴BD=2AD=2×2=4， 故答案为：B. 3.【答案】C 【解析】解：是等边三角形， ，， ， ， ， 在等边中，BD平分交于点， ， ． 故答案为：C． 4．【答案】解：过作于点， 在中， ，， ， ， ，，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $