5.4 同角三角函数的基本关系（教学设计）-北师大版《数学 基础模块上册》《上好课》

北师大版《数学基础模块上册》 第五章 三角函数 5.4 同角三角函数的基本关系 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（基础模块上册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 “同角三角函数的基本关系”是第五章三角函数的核心工具内容，是连接任意角三角函数定义与后续三角函数运算的关键纽带。教材先依托单位圆与三角函数定义，推导得出平方关系和商数关系，强化了基本关系的应用逻辑。这种设计既契合中职学生 “从定义推导关系、从关系解决问题” 的认知规律，又深化了“代数推导”“符号判断”的数学思想，帮助学生建立“用同角关系实现三角函数值互求”的思维。 五、学情分析 学生已掌握任意角三角函数的定义及象限符号规律，具备“三角函数是终边坐标比值” 的认知基础，但在同角基本关系学习中可能存在短板：对“基本关系的推导逻辑”理解模糊，易机械记忆公式；应用关系求函数值时，常忽略“结合象限确定符号” 的关键步骤，导致结果错误；同时，将基本关系与生活场景结合的能力不足，难以将实际问题转化为三角函数值的互求。因此，教学中需借助定义推导强化关系的本质理解，通过符号辨析训练规范解题步骤。 六、教学目标 1．理解并掌握同角三角函数基本关系式； 2．掌握通过一个三角函数值求出另外两个三角函数值的方法与步骤； 3．能应用同角三角函数基本关系式进行简单的化简与证明,并总结出化简与证明的一般规律． 七、教学重点 1.同角三角函数基本关系式的推导和理解。 2.运用同角三角函数基本关系式进行三角函数值的计算。 八、教学难点 1.同角三角函数基本关系的灵活运用。 2.涉及三角函数符号的确定。 九、教学方法 讲授法：通过清晰、准确的讲解，向学生传授同角三角函数基本关系的推导过程、公式的含义及应用方法，让学生系统地掌握知识。 探究法：引导学生回顾三角函数的定义，自主观察、分析三角函数值之间的关系，探究同角三角函数基本关系，培养学生的探究能力和创新思维。 练习法：通过课堂练习，让学生及时巩固所学知识，提高学生运用同角三角函数基本关系解决问题的能力，同时教师可以及时了解学生的学习情况，发现问题并进行针对性的指导。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 知识回顾 同学们，在上一节的课程中，我们学习了任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义在各象限的符号。接下来，让我们进行简单的回顾： 1.任意角的三角函数有哪些？ 正弦函数y=，x∈R； 余弦函数y=,x∈R； 正切函数y=，x≠(∈Z)。 2.正弦、余弦、正切在各象限的符号？ 通过回顾任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义在各象限的符号为同角三角函数的基本关系的学习做铺垫。 教学引入 问题提出:： 基于三角函数的定义以及在各个象限的符号，同一个角的三角函数值之间是否存在某种关系呢？ 举例特殊角的三角函数值，观察同角三角函数的关系，表格如下所示： 通过观察发现： 思考： 是否所有的角都满足都满足以上关系式呢？我们能否用三角函数的定义去证明呢？ 一般地,设点P (x,y)是角α的终边与单位圆O的交点,则 |OP|=1, x=, y=． 因为|OP|=r= , 所以 x²+y²=1，即 +=1 显然,当角α的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立． 而当α≠+2kπ（k∈Z） 时,有==． 通过举例特殊角的三角函数关系并进行推导来引出同角三角函数的基本关系式。 导入新知 由此得到同角三角函数的基本关系式： +=1 = “同角”的两层含义 一是：“角相同”； 二是：对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关。 注意事项 (1)是的简写，读作“的平方”，不能将写成，前者是α的正弦的平方，后者是的正弦； (2)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，即 ＋＝1对一切α∈R恒成立，而=仅对α≠＋2kπ(k∈Z)成立。 结合教学引入中的推导进行了同角三角函数基本关系式的总结，并分点列出了注意事项以及“同角”的含义，有助于学生理解。 案例分析 【例题】若，则等于（ ） A． B． C． D． 【解析】因为， 所以. 故选：C. 【例题】已知，则等于（ ） A． B． C． D． 【解析】根据同角三角函数的基本关系， . 故选：A. 通过案例分析来帮助学生更好地运用三角函数的基本关系式。 学以致用 【练习】化简:等于（ ） A． B． C． D． 【解析】因为. 故选：A. 【练习】下列关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为， 对于A，，故错误； 对于B，，故错误； 对于C，，故正确； 对于D，，故错误， 故选：C. 通过及时练习来进一步巩固两个基本关系式。 深入理解 同角三角函数的基本关系式的变形公式 通过推导向学生总结了同角三角函数的基本关系式的变形公式，为后续课堂练习打下基础。 案例分析 【例题】已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以. 进而. 故选：A. 【例题】若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【解析】因为，则根据平方关系. 故选：B. 通过案例分析来帮助学生构建使用变形公式的思路。 学以致用 【练习】已知，且在第四象限，则的值为（ ） A． B． C． D． 【解析】由平方关系； 因在第四象限，，故. 故选：B. 【练习】已知，且在第一象限，则的值为（ ） A． B． C． D． 【解析】根据平方关系，得， 因在第一象限，，故. 故选：A. 通过及时练习来加深学生对变形公式的理解与记忆。 课堂练习 【练习1】已知是第四象限角，且，则（ ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以， ， 将①代入②得，， ， 又是第四象限角，所以，则. 故选：A. 【练习2】若，且为第二象限角，则等于（ A． B． C． D． 【解析】因为，且为第二象限角， 所以. 故选：B. 【练习3】已知 是第三象限角，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【解析】由同角三角函数的基本关系式可得 因为是第三象限角 所以 所以 则 故选：B. 【练习4】在 中，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【解析】根据三角恒等式 ，代入 得： ，解得：， 又由于 是三角形的内角，所以，所以. 故选：B. 【练习5】已知 ，且 是第四象限角，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【解析】因为， 所以， 由①知，， 将③代入②得，， 解得， 又 是第四象限角，所以， 故. 故选：D. 滑板坡道的倾斜角为α，已知坡道的竖直高度与坡面长度的比值(即)为(α为锐角)。 任务： ①求和的值； ②若坡道水平长度为8m，计算坡道的竖直高度（用关联）；③说明对应的实际意义（水平长度与坡面长度的比值）。 答案：①=， =；②竖直高度= 8×3/4= 6m； ③是“水平长度/坡面长度”——同角关系关联了坡道的各边比值. 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺 知识梳理 同角三角函数的基本关系： sin²α+cos²α=1, = 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的题型； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 同角三角函数的基本关系 sin²α+cos²α=1 = 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注。 11、 教学反思 在本节课的教学过程中，通过 “定义推导关系→符号规律辨析→课堂练习” 的环节设计，帮助学生初步掌握了同角三角函数的基本关系，多数学生能完成基础的函数值互求。但教学中仍存在不足：少数学生在复杂象限场景中，仍遗漏符号判断步骤。后续教学中，需增加 “象限符号+关系应用”的分层练习，规范解题步骤，提升知识的实用性，帮助学生从“会计算”向“会应用”过渡。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 sin2α＋cos2α＝1⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin2α＝1－cos2α，,cos2α＝1－sin2α，,sinα＝±\r(1－cos2α)，,cosα＝±\r(1－sin2α)；)) tanα＝eq \f(sinα,cosα)⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sinα＝tanαcosα，,cosα＝\f(sinα,tanα).)) $