5.2 弧度制（教学课件）--北师大版《数学 基础模块上册》《上好课》

5.2 弧度制 第五章 三角函数 北师大版 基础模块上册 学习目标 1．掌握弧度制的定义,明确1弧度制的几何意义； 2．能将弧长和扇形的面积与弧度制相互结合使用； 3．能区分角度制与弧度制,利用角度与弧度的换算关系将角度与弧度进行互化。 同学们，在上一章节的课程中，我们学习了角的概念的推广。接下来，让我们进行简单的回顾： 知识回顾 1.任意角包括哪些类型？ 2.如何用集合表示终边相同的角？ 与角α终边相同的所有角构成的集合为：S={β |β=α+ k360°, k∈Z} 2016年9月25日，具有我国自主知识产权的世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜“中国天眼”在贵州平塘落成启用。这个500m口径球面射电望远镜主要用于实现巡视宇宙中的中性氢、观测脉冲星等科学目标和空间飞行器测量与通信等应用目标。 教学引入 教学引入 思考： 在衡量天体之间的距离时，我们可以用光年、米的单位制来度量； 对于面积，我们可以用平方米、公顷等不同的单位制来度量； 质量可以用千克、吨等不同的单位制来度量。 那角的大小，我们是否也能用不同的单位制来度量？ 教学引入 【分析】 我们知道，角可以以度为单位进行度量，把周角的所对应的圆心角规定为1度的角，记为。这种以度为单位来度量角的单位制，叫作角度制。 在数学和其他科学研究中，经常使用另一种度量角的单位制——弧度制。 导入新知1 我们规定，长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度。1弧度的角就记作1 rad，读作“1弧度”，如图所示。 导入新知1 根据上述规定可知，在半径为r 的圆中，若弧长为l 的弧所对的圆心角为αrad，则α的大小为 . α的正负由α的始边到终边的旋转方向决定，逆时针方向旋转为正，顺时针方向旋转为负。 导入新知1 当一个圆的半径为r时： 若圆心角∠AOB所对的圆弧长为2r，则∠AOB的弧度数就是 rad，如图(1)所示；若圆心角∠AOB所对的圆弧长为整个圆周长2π，则∠AOB的弧度数就为 rad，如图(2)所示，即一个周角的弧度数是2rad。 导入新知1 为简便起见，以弧度为单位表示角的大小时，单位“弧度”或“rad”一般省略不写。例如，1rad，rad，0 rad可简写成1 ，，0 。 一般地，正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0。 注意 导入新知1 当形成角的射线旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于2或小于-2的角，这样就可以得到任意弧度数的角。 因此，每一个确定的角都有唯一确定的实数与它对应；反之，每一个确定的实数也都有唯一确定的角与它对应，如图所示。这样，角与实数之间就建立了一一对应的关系。 案例分析 案例分析 学以致用 学以致用 教学引入 想一想： 学习了弧度制后，你能推导出弧度制下的弧长和扇形的面积公式吗？ 教学引入 如图所示，已知半径为r的圆，设圆心角α = ， 且 <α< ，α对的长为，α所对应的扇形面 积为 S ，则: ,即= (的圆心角所对的弧长为)， =,即=(的圆心角所对应的扇形面积为)。 导入新知2 我们知道，弧长l与半径r的比值等于所对圆心角的弧度数，即α，r，l 三者之间满足关系式𝛂。所以，弧长公式为=α。 扇形的圆心角为0 <α< 2，圆周角为2，圆面积为，所以圆心角为α的扇形面积为 S = ,===。 案例分析 案例分析 学以致用 学以致用 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 师生交流 错题1：点A(2, -1)到直线l：2x - y + 3 = 0的距离——小明解答：d=(2×2 - (-1) + 3)/√(2²+(-1)²)=(4+1+3)/√5=8/√5=8√5/5 错题2：点B(3, 4)到直线l：y = -x + 1的距离——小明解答：d=|3 + 4 + 1|=8。 拓展思考互动 背景：某时钟分针长度（半径）为10cm，从12点转至3点。 任务：①将分针旋转的角度转化为弧度；②计算针尖走过的弧长（用弧度制公式）； ③若分针转1小时，针尖走过的路程比转3点多多少？ 答案：①3点对应旋转90°，即弧度； ②弧长cm； ③1小时转弧度，路程多cm 课堂小结 1.什么是弧度制？ 以“rad”(弧度)为单位来度量角的制度称为弧度制(可以省略单位“rad”)。 正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0. 2.弧长公式与扇形面积公式？ 弧长公式为=α； 扇形面积公式为 S = 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 【例题】把化为角度是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 将化为角度为， 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】下列说法正确的是（    ） A．等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角 B．等于半径长的圆弧所对的圆周角叫作1弧度的角 C．弦长等于半径的弦所对的圆心角叫作1弧度的角 D．弦长等于半径的弦所对的圆周角叫作1弧度的角 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 将等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由，则；由，则， 又，所以. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】将角转换为弧度为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由，所以. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】若扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 圆心角为，即，又扇形的弧长为，设该扇形的半径为 由弧长公式可得，，所以. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】若扇形的圆心角为240°，半径为6，则该扇形的弧长和面积分别是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为，所以由扇形的弧长公式得， 由扇形的面积公式得. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已若扇形的圆心角为，半径，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由扇形面积公式，可得该扇形的面积. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已若扇形的圆心角为，半径，则该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为， 由扇形弧长公式，可得该扇形的弧长为. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】已扇形半径为2，圆心角为弧度，则弧长为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由题意，弧长 . 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】已知为圆的半径，弧长为的圆弧所对的圆心角为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为圆的半径是R，弧长为， 所以圆弧所对的圆心角为 , 又. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：cm，cm，cm，若，，则璜身（即曲边四边形）面积近似为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 如图所示，过点作，因为，所以为中点，，所以，所以，，， ， 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】如图，李明同学加工了一种扇形工件，经测量该工件的圆心角为60°，弦AB的长度为30cm，则AB弧的长度为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为工件的圆心角为，且 ，所以三角形是等边三角形. 所以半径.所以弧长. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习5】下列正确的是（    ）． A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $