专题08 正余弦定理、解三角形（讲义）--2026版江苏省（职教高考）《数学考纲专题练》

编写说明：2026版江苏省（职教高考）二轮复习《数学考纲专题练》依据《江苏省中职职教高考公共基础知识考试大纲（数学）》及江苏省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版江苏省（职教高考）二轮复习《数学考纲专题练》的第8个专题，。 2026版江苏省（职教高考）《数学考纲专题练》 专题08 正余弦定理、解三角形 一、课标解读 理解正弦定理、余弦定理，并能运用定理解斜三角形． 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 解答题 19 解三角形 第一问：正弦定理和余弦定理的应用 第二问：求三角形的面积及高 12 （1）题型：集中在解答题。 （2）分值：几乎每年都有涉及，分值一般在6分或者12分。 2024 解答题 19 第一问：正弦定理和余弦定理的应用 6 2023 解答题 19 解三角形 第一问：正弦定理与两角和与差的应用 6 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情以及最新的江苏省职教高考考试大纲，预估2026年江苏省对口招生考试依然有1道题目分别考查正余弦定理和解三角形，题型均设置为解答题，分值12分。 具体考点可能涉及如下内容： 1. 正余弦定理的应用 2. 求三角形的面积及高 四、知识梳理 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝　＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) a2＝ b2＋c2－2bccos A b2＝ a2＋c2－2accos B c2＝ a2＋b2－2abcos C 常见 变形 ①a＝ 2Rsin A ， b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ②sin A＝ 　，sin B＝ 　，sin C＝ 　 ③a：b：c＝ sin A：sin B：sin C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝ cos B＝ cos C＝ 解决解 斜三角 形的问 题 (1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求各角 (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 2.在△ABC中，常有以下结论 1．∠A＋∠B＋∠C＝π. 2．在三角形中，大边对大角，大角对大边． 3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 4．sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C 5．∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B． 3.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)． (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 五、10分钟小测验 1．在中，若，，则外接圆面积为（   ） A． B． C． D． 2．在中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论中正确的是（    ） A．若，则最大角为 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（    ） A． B． C． D． 5．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则最小内角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 6．已知边长为的菱形，，将菱形沿对角线折成的二面角，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．在中，若，则等于（    ） A． B． C． D． 8．在中，，，且的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D．2 9．在中，已知，则（   ） A． B． C． D． 10．在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．D 【分析】根据三角形的射影定理求出，结合正弦定理求出外界圆半径，带圆的面积公式即可得解. 【详解】在中，，所以， 因为，，所以， 由正弦定理可知，（为外接圆半径）， 则，解得， 所以外接圆的面积为， 故选：. 2．B 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得， ∴. 故选：B. 3．C 【分析】由余弦定理、正弦定理和同角三角函数的基本关系式逐项分析即可. 【详解】对于A，易知角C最大，由余弦定理得 ， 因为，∴A不正确； 对于B，由正弦定理得， 或， ，∴B不正确； 对于C，根据正弦定理和条件可得， 即， ，∴C正确； 对于D，由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， ，∴D不正确． 故选：C. 4．B 【分析】根据题意结合余弦定理即可得解. 【详解】，即， 由余弦定理，， 因为，所以， 故选：. 5．D 【分析】先由题目已知可得a与b，a与c之间的关系，再由余弦定理和同角三角函数的平方关系求解即可. 【详解】因为，所以，则， 即边a最短，可知的最小内角为角A， 所以， 又，所以． 故选：D. 6．C 【分析】先找到的二面角，再由边的关系求解即可. 【详解】取的中点，连接、，如图， 在菱形中，，， 所以，，即， 又因为，为等边三角形，且， 所以，即， 所以，解得，同理，， 而在中由余弦定理得， ， 解得. 故选：C. 7．C 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由题意知，， 因为是三角形内角，所以. 故选：C. 8．B 【分析】由三角形的面积公式和余弦定理即可得解. 【详解】因为在中，，，且的面积为， 所以， 即，解得， 由余弦定理，得， 即，解得. 故选：B. 9．C 【分析】根据正弦定理求出，再由三角形内角和为即可求值. 【详解】已知， 由正弦定理得， 即，解得， 因为，所以， 即． 故选：C. 10．B 【分析】根据题意，结合正弦定理，即可求解. 【详解】在中，， 由正弦定理得， 所以 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 六、经典例题解析 【考试题型1】正余弦定理和面积问题 【例1】（24-25高三·全国·模拟预测）已知、、分别为内角、、的对边，的周长为且． (1)求边长的值； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理把转化为边的关系，进而根据的周长求出a的值； （2）通过面积公式求出的值，代入余弦定理即可求出的值． 【详解】（1）根据正弦定理，可化为， 联立方程组，解得． （2）∵， ∴，又，可得：， 又由（1）可知，， ∴由余弦定理得． 【例2】（23-24高三下·全国·对口/高职单招）在三角形ABC中 ，， . (1)求AC； (2)点D在边BC上，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由同角三角函数的平方关系求解，再由正弦定理即可求解AC的长. （2）先由正弦定理求解边BC，再由三角形面积公式即可求解. 【详解】（1），， 所以， 所以， 根据正弦定理，， 解得. （2）由正弦定理，， 即，解得， 因为，所以， 所以 【例3】（24-25高三下·江苏·职教高考）在中，角对应的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的面积和边上的高． 【答案】(1) (2)的面积为边上的高为 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理，对式子化简解得角C； （2）首先利用余弦定理解得a，进而求得的面积和边上的高. 【详解】（1）在中，， 所以 已知， 则． 由正弦定理(为外接圆半径)， 可得． 将其代入上式可得，化简得， 即，移项得． 根据余弦定理，把代入可得． 因为，所以． （2）已知， 由余弦定理，可得， 即，整理为，因式分解得， 解得或(边长不能为负舍去)． 可得． 设边上的高为，因为，又， 即，解得． 【例4】（24-25高三下·江苏盐城·三模）中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，． (1)求A； (2)若面积为，求边上中线的长． 【答案】(1). (2)． 【分析】（1）根据正弦定理以及题目条件求解即可. （2）根据三角形的面积公式以及余弦定理求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 所以， 因为A，B，C的为三角形内角，所以或， 又，所以，即， 又因为，所以. （2）依题意，因为，所以， 则，解得， 设边的中点为，所以，， 所以在中，由余弦定理知 ， 所以边上中线的长． 【考试题型2】考查边角互化问题 【例1】（24-25高三下·江苏·二模）已知在中，. (1)判断的形状，并说明理由； 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求得角，继而根据三角恒等变换可得角，即可判断三角形的形状； 【详解】（1）直角三角形； 理由： 由和正弦定理得： ， 所以， 因为为内角，所以； 又因为， 即， 化简得. 因为为内角，所以， 所以是直角三角形. 【例2】（24-25高三·全国·模拟预测）中，角、、的对边分别是、、，且． 求的大小； 【答案】 【分析】（1）根据正弦定理以及余弦定理求解即可. （2）根据三角形的面积公式以及两角和的正弦公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，进而. 则. 【例3】（24-25高三下·江苏·模拟预测）已知的角、、的对边分别为、、，且. 求角； 【答案】 【分析】（1）根据题意，结合正弦定理边角互化，及余弦定理，即可求解； （2）根据题意，结合正弦定理可得，结合三角形面积公式，即可求得的长，结合余弦定理，可求得边的长，继而求解. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 因为， 所以，即， 所以， 所以， 又，所以； 七、专题归纳小结 （1） 专题核心内容总结 1. 正弦定理与余弦定理 工具 核心公式 适用题型 正弦定理 ＝＝　＝2R ① 已知两角及一边（AAS/ASA） ② 已知两边及对角（SSA，注意多解） 余弦定理 c2＝ a2＋b2－2abcos C ① 已知三边（SSS）求角 ② 已知两边及夹角（SAS） 面积公式 S＝absin C 求△ABC 面积 （2） 解题策略与技巧 正弦定理“两角一边”型（AAS/ASA） 策略：直接代公式求边，注意比例统一 步骤： 1. 利用内角和求第三角（ASA需先求未知角） 2. 代入＝求边 3. 余弦定理“两边夹角”型（SAS） 策略：优先求第三边，再用正弦定理求角 口诀：“两边夹一角，余弦求对边” （三）易错点总结 易错类型 错因分析 纠错方案 不能正确合并三角函数式 忽略辅助角公式 针对辅助角公式多做练习 利用正弦定理求角丢掉钝角 忽略可能有两个解的情况 求出钝角验证是否成立 （四）复习建议 专题训练侧重：学生能力培养重点： 公式逆用训练：每日3题 高频考向精练：解三角形综合(已知a:b:c=2:3:4，判断三角形形状) 真题演练方向：近三年高考题中正弦定理求角时两个解、余弦定理变形求角等问题。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $