【北师大版压轴题】2024～2025年七年级上数学期末解答题真题汇编卷（下）

【北师大版压轴题】2024~2025年七年级上期末解答题真题汇编卷（下） 一．解答题（共25小题） 1．某水果超市以每箱60元的价格从水果批发市场购进20箱苹果，若以每箱净重30kg为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表： 与标准质量的差值/kg ﹣0.5 ﹣0.25 0 0.25 0.5 箱数 3 3 7 5 2 （1）这20箱苹果的总质量是 　 　 kg； （2）需要将苹果从批发市场送到水果超市，现有两种取货方式： 方式一：批发市场送货上门，需另交200元送货费； 方式二：超市雇车自取，需支付租车费和装卸费： 租车费：80元 装卸费：300kg以内（包括300kg）40元，超出300kg的部分0.2元/kg． 请你通过计算说明超市应选择哪种取货方式，并直接写出此种取货方式下20箱苹果的总成本．（总成本＝总进价+取货费用） （3）在（2）的条件下，若水果超市按4元/kg出售苹果，售出400kg后，剩余的苹果全部打折销售，全部售出后，共盈利780元，请计算该水果超市剩余的苹果是打几折销售的？ 2．如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，边CD与BE交于点F，∠D＝30°． 【计算与观察】 （1）若∠ACB＝145°，求∠DCE的度数． 【猜想与证明】 （2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由． 【拓展与运用】 （3）若∠DCE：∠ACB＝2：7，求∠CFB的度数． 3．综合与实践： 实践操作：在综合与实践活动课上，老师将一副三角尺按图1所示的位置摆放，分别在∠AOC、∠BOD的内部作射线OM、ON，然后提出如下问题：先添加一个适当条件，再求∠MON的度数． 特例探究： （1）如图2所示，“启蒙小组”添加了“若OM、ON分别平分∠AOC、∠BOD”，小组内佳佳同学的做法是：由于图中∠AOC与∠BOD的和为90°，所以我们容易得到∠MOC与∠NOD的和，这样就能求出∠MON的度数．请你根据佳佳的做法，写出解答过程． （2）如图3所示，“睿智小组”添加了“若，”，小组内乐乐同学的做法是：设∠AOC的度数为x，我们就能用含有x的式子表示出∠COM和∠DON的度数，这样就能求出∠MON的度数，请你根据乐乐的做法，写出解答过程． 类比拓展： （3）受“启蒙小组”和“睿智小组”的启发，“创新小组”添加了“若，”．请你直接写出∠MON的度数． 4．先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：|2x|＝1． 解：讨论：①当x≥0时，原方程可化为2x＝1，它的解是； ②当x＜0时，原方程可化为﹣2x＝1，它的解是． 原方程的解为或． （1）依例题的解法，方程算的解是 　 　 ； （2）尝试解绝对值方程：2|x﹣2|＝6． 5．如图，在数轴上，点A表示数a，点B表示数b，a、b满足（a+9）2+|b﹣3|＝0． （1）点A表示的数为 　 　 ，点B表示的数为 　 　 ； （2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC＝2BC，则点C表示数为 　 　 ； （3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以每秒3个单位长度的速度向右运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动；同时另一小球乙从点B处以每秒2个单位长度的速度也向右运动．若运动的时间为t秒，试求：当t为何值时，甲、乙两小球之间的距离为10个单位长度． 6．综合与实践；制作一个无盖的长方体形纸盒 七年（1）班“综合与实践”小组计划利用一张边长为20cm的正方形的纸制成一个无盖的长方体形纸盒．他们经过讨论决定，按照如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小边长为xcm的小正方形，再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的长方体形纸盒，如图2．根据实践过程，请你完成以下的问题（纸张厚度及接缝处忽略不计）． 【问题一】 （1）制成的长方体形的盒子中，长方体的高（即减掉正方形的边长）为xcm，则长方体的容积为 　 　 cm3． 【问题二】 （2）为了使纸盒底面更加牢固且剪下的纸张不浪费，将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，既不重叠又恰好铺满．则减掉的小正方形的边长xcm的值为 　 　 cm； 【问题三】 （3）如果剪去的小正方形的边长xcm的值按整数值依次增大，制成的无盖的长方体形盒子的容积随之变化，其变化情况如表： 剪去的小正方形的边长/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 长方体的容积/cm3 324 512 m 576 n 384 252 128 36 ①计算表中的m与n的值，并补全折线统计图； ②观察折线统计图，说明随着剪去的小正方形的边长xcm的值增大，长方体的容积怎样变化；观察表格和折线统计图，说明当x为何值时，所得到的无盖长方体的容积最大． 7．（1）我们曾解决过这样的问题：如图1，点O在直线AB上，OC，OD分别平分∠AOE，∠BOE，可求得∠COD＝　 　 ． 【问题改编】点O在直线AB上，∠COD＝90°，OE平分∠BOC． （2）如图2，若∠AOC＝50°，求∠DOE的度数． （3）将图2中的∠COD按图3所示的位置进行放置，写出∠AOC与∠DOE度数间的等量关系，并写明理由． 8．对于数轴上不重合的两点A，B，给出如下定义：若数轴上存在一点M，通过比较线段AM和BM的长度，将较短线段的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．若线段AM和BM的长度相等，将线段AM或BM的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”． （1）当数轴上原点为O，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5时 ①点O到线段AB的“绝对距离”为　 　 ； ②点M表示的数为m，若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则m的值为　 　 ； （2）在数轴上，点P表示的数为﹣6，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为2．点P以每秒2个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点B同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动．设移动的时间为t（t＞0）秒，当点P到线段AB的“绝对距离”为2时，求t的值． 9．在数学实践活动课上，“卓越”小组准备研究如下问题：如图，EF为直尺的一条边，四边形ABCD为一正方形纸板（∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠D均为直角） （1）【操作发现】 如图①小组成员小方把正方形的一条边AB与EF重合放置，刘老师在与同学们交流研讨时又做出了∠DAF的平分线AQ，交正方形的边于点P． 则此时∠PAB的度数为 　 　 ；∠PAB与∠DAE的度数之间的关系为 　 　 ． （2）【问题探究】 受小方同学的启发，小组成员小丽将正方形纸板按如图②放置，若此时记∠DAE的度数为α，其他条件不变，请帮小丽同学探究：∠PAB与∠DAE的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由． （3）【拓展延伸】 组内其他同学也都继续探索，将正方形按如图③放置，刘老师同样做出了∠DAF的平分线AQ，请直接写出∠QAB与∠DAE的度数之间的关系． 10．【发现问题】数学活动课上，王老师出示了一个问题： （1）一张长方形纸片，长是宽的2倍，如图1和图2，若纸片宽是xcm，在纸片的四个角各剪去一个同样大小的边长为4cm的小正方形，折成一个无盖的长方体，则无盖长方体的底面宽为 　 　 cm；如图3，同样大小的长方形纸片剪去边长4cm的2个小正方形和2个大小和形状相同的宽为4cm的长方形，折成有盖的长方体，则其底面长是 　 　 cm（用含x的代数式表示）； 【提出问题】 （2）一张长方形纸片，长是宽的2倍，如图1和图2，在纸片的四个角各剪去一个同样大小边长为4cm的小正方形，折成一个无盖的长方体．若无盖长方体的底面长方形的长是宽的2.5倍，求折成的长方体的底面积； 【能力拓展】 （3）王老师带着同学们做进一步的探究： 如图3，一张长方形纸片，长是宽的2倍，在纸片的四周剪去边长为4cm的2个小正方形和2个大小和形状相同的宽为4cm的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子．若折出的有盖的长方体底面的长是宽的1.2倍，求折出的有盖长方体的体积； 【解决问题】 （4）数学活动小组的同学在上述条件不变的情况下对这个问题进一步研究： 把上面（3）折成的有盖的长方体的盒子装满水，倒入（2）中折成的无盖的长方体盒子里，请求出无盖长方体内水的高度（两个盒子都不漏水）． 11．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣1，0，3，点P为数轴上任意一点，共对应的数为x． （1）MN的长为 　 　 ； （2）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是 　 　 ； （3）如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动，设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值． 12．为庆祝元旦，某市统一组织文艺汇演．甲、乙两所学校共92人参加演出，甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人，现准备购买服装参加演出．下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 （1）如果甲校有50人参加演出，那么乙校单独购买服装应付多少元？ （2）如果两所学校分别单独购买服装一共应付5000元，那么甲、乙两所学校分别有多少人准备参加演出？ （3）在（2）的条件下，如果甲校有10人抽调去参加安全知识比赛，不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案． 13．问题引入 对于数轴上的线段AB和点C（点C不在线段AB上），给出如下定义：M为线段AB上任意一点，我们把C，M两点间距离的最小值称为点C关于线段AB的“最近距离”，记作d1；把C，M两点间距离的最大值称为点C关于线段AB的“最远距离”，记作d2． 已知点A表示的数为﹣7，点B表示的数为4． 若点C表示的数为5，如图，则d1＝1，d2＝12． 问题解决 （1）若点C表示的数为﹣10，则d1＝　 　 ，d2＝　 　 ． （2）若点C表示的数为n，且点C在点B的右侧，d1+d2＝17，求n的值． 拓展延伸 （3）若点P和点Q为数轴上的两点（点P和点Q均不在线段AB上），点P表示的数为x，点Q表示的数为x﹣2，t1表示点P关于线段AB的“最近距离”，t2表示点Q关于线段AB的“最远距离”，若t2是t1的2倍，求x的值． 14．对于数轴上的A、B、C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数如果分别为1，3，5，此时数轴上点B与点A之间的距离是2，点B与点C之间的距离是2，所以B是A，C的“联盟点”． （1）若点A表示数﹣2，点B表示的数4，下列各数﹣1，0，1，2所对应的点分别C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“联盟点”的是 　 　 ． （2）点A表示数﹣5，点B表示的数3，P为数轴上一个动点，若A、B、P中有一个点恰段好是其它两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数． （3）数轴上点A所表示的数为﹣12，点B所表示的数为28，一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，另一只电子蚂蚁Q从点A出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，P、Q、B三个点中恰有一个点为其余两点的“联盟点”？ 15．如图，MN∥PQ，直线AB交MN于点A，交PQ于点B，点E是线段AB上一点，C、D分别在射线AN、BQ上，连结CE、DE，∠ECN的平分线与∠BDE的平分线交于点F． （1）当CE⊥DE时，求∠ACE+∠BDE的度数； （2）试猜想∠CED与∠CFD的数量关系，并说明理由； （3）过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于H，将直线AB绕点A逆时针旋转，速度为每秒2°，旋转后的对应直线为AB′，同时，将△DFH绕点D顺时针旋转，速度为每秒4°，旋转后的对应三角形为△DF′H′，当直线AB′首次与直线MN重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若∠CAB＝80°，∠EDB＝40°，经过t秒后，直线AB′恰好与△DF′H′的一条边平行，请直接写出所有满足条件的t的值． 16．如图，已知∠AOB＝120°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC． 【解决问题】： （1）求∠MON的度数． 【迁移应用】： （2）若∠AOB＝α（α不超过150°），其他条件不变，求∠MON的度数． （3）若∠BOC＝β（β不超过60°），其他条件不变，求∠MON的度数． 【归纳总结】： （4）从上面的结果中你能归纳、总结出什么规律？ 17．【问题背景】 如图，已知点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠BOC＝104°． 【初步探究】 （1）如图1，则∠AOC的读数为 　 　 °； （2）如图2，过点O在AB下方作射线OE，使得∠COE＝90°，若OD平分∠AOC．求∠AOE和∠DOE的度数； 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，过点O作射线OP，若∠BOP与∠AOD互余，求∠COP的度数． 18．综合与实践 问题情境：中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉和文化基因．为了让学生在校园内就能接触到丰富多彩的传统文化，某校开展学习传统文化技艺的活动——制作手工扇子．现委派张老师和李老师到材料批发市场购买所需物品． 问题解决： （1）两位老师相约从学校出发共同前往材料批发市场，但张老师因有事耽搁，故李老师骑自行车先行出发，20分钟后，张老师骑电动车前往，又走了20分钟后两人同时到达，已知电动车的平均速度比自行车平均速度多15km/h，求学校到材料批发市场的距离； （2）按照计划采买完成后，李老师和张老师同时出发返回学校，且使用的交通工具和行驶的平均速度均不变．张老师在返程5分钟后忽然想起忘记采购手工扇子所需的流苏穗，便立即骑车原路折返，并在材料批发市场停留6分钟进行采购． ①请通过计算说明张老师能否在李老师到达之前赶回学校？ ②张老师返回批发市场前，请直接写出两人一起返程几分钟时两人之间相距1千米． 19．在数轴上，通常用“两数的差”来表示“数轴上两点的距离”如图1中三条线段的长度可表示为：AB＝4﹣2＝2，CB＝4﹣（﹣2）＝6，DC＝﹣2﹣（﹣4）＝2，…结论：数轴上任意两点表示的数为分别a，b（b＞a），则这两个点间的距离为b﹣a（即：用较大的数去减较小的数） 【理解运用】 根据阅读材料完成下列各题： （1）如图2，A，B分别表示数﹣1，7，求线段AB的长； （2）若在直线AB上存在点C，使得，求点C对应的数值； （3）M，N两点分别从A，B同时出发以每秒3个单位、每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，求当点M，N重合时，它们运动的时间． 20．春节临近，某电商平台需要定制一种上盖为双层的长方体外包装纸箱，纸箱的高度为h（如图1），上盖纸板面积等于下底面面积的2倍，并且每个外包装纸箱刚好能装人两个同样大小的小包装盒（如图2），纸箱厚度忽略不计．已知每个小包装盒的长宽、高分别为a，b，c． （1）若a＞b＞c，以图2的下底面为底面，用两个同样的小包装盒搭成一个大长方体． ①共有 　 　 种不同的摆放方式； ②请画出从上面看到的每种摆放方式的大长方体的形状图，画出的形状图中的每个小长方形（如图3），且在每个小长方形中标出该位置摆放的小包装盒的个数； （2）若a＝c＝20cm，b＝12cm，h＜2b时，求出电商平台所订制的长方体外包装纸箱所需纸板面积的最小值． 21．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发的速度为每秒2个单位，点N从点B出发的速度为M点的3倍，点P从原点出发的速度为每秒1个单位． （1）若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距54个单位？ （2）若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？ 22．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点O，点B，点C折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣8，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为44个单位长度，并表示为． 素材2动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点C后立刻恢复初始速度． 问题解决： （1）探索1：动点P从点A运动至点B需要多少时间？ （2）探索2：动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； （3）探索3：动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 23．如图，在数轴上点A表示的数是﹣4，点B表示的数是6，动点P、动点Q在数轴上运动． （1）AB的长为 　 　 个单位长度； （2）当点P到点A、点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是 　 　 ； （3）若动点P从点A出发，沿着数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．同时动点Q从点B出发，沿着数轴负方向以每秒1个单位长度的速度运动，设运动间为t秒，当点P、点Q间的距离为6个单位长度时，求t的值． （4）对于线段：AB，PA和PB．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点P是线段AB的“巧分点”，直接写出线段AB的“巧分点”的个数． 24．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）． （1）当t＝2时，①AB＝　 　 cm．②求线段CD的长度． （2）①点B沿点A→D运动时，AB＝　 　 cm； ②点B沿点D→A运动时，AB＝　 　 cm．（用含t的代数式表示AB的长） （3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化，若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由． 25．探索新知： 如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”． （1）一个角的平分线　 　 这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，若∠MPN＝α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ＝　 　 ；（用含α的代数式表示出所有可能的结果） 深入研究： 如图2，若∠MPN＝60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒． （3）当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”； （4）若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值． 【北师大版压轴题】2024~2025年七年级上期末解答题真题汇编卷（下） 参考答案与试题解析 一．解答题（共25小题） 1．某水果超市以每箱60元的价格从水果批发市场购进20箱苹果，若以每箱净重30kg为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表： 与标准质量的差值/kg ﹣0.5 ﹣0.25 0 0.25 0.5 箱数 3 3 7 5 2 （1）这20箱苹果的总质量是 　600　 kg； （2）需要将苹果从批发市场送到水果超市，现有两种取货方式： 方式一：批发市场送货上门，需另交200元送货费； 方式二：超市雇车自取，需支付租车费和装卸费： 租车费：80元 装卸费：300kg以内（包括300kg）40元，超出300kg的部分0.2元/kg． 请你通过计算说明超市应选择哪种取货方式，并直接写出此种取货方式下20箱苹果的总成本．（总成本＝总进价+取货费用） （3）在（2）的条件下，若水果超市按4元/kg出售苹果，售出400kg后，剩余的苹果全部打折销售，全部售出后，共盈利780元，请计算该水果超市剩余的苹果是打几折销售的？ 【答案】（1）600kg； （2）超市应该选择雇车自取，成本为1380元； （3）剩余的苹果是打7折销售的． 【解答】解：（1）20×30+[（﹣0.5）×3+（﹣0.25）×3+0×7+0.25×5+0.5×2]＝600（kg）， 故答案为：600； （2）方式二运费：80+0.2×（600﹣300）+40＝180（元）， 因为180元＜200元， 所以超市应该选择雇车自取， 成本为60×20+180＝1380（元）； （3）由（1）可知，20箱苹果的总质量是600kg，所以售出400kg后，剩余200kg， 设：剩余的苹果是打n折销售的， 则由题意得：， 解之得：n＝7， 因此剩余的苹果是打7折销售的． 2．如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，边CD与BE交于点F，∠D＝30°． 【计算与观察】 （1）若∠ACB＝145°，求∠DCE的度数． 【猜想与证明】 （2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由． 【拓展与运用】 （3）若∠DCE：∠ACB＝2：7，求∠CFB的度数． 【答案】（1）35°； （2）∠ACB+∠DCE＝180°，理由见解答过程； （3）85°． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝145°，∠ACD＝∠ECB＝90°， ∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝145°﹣90°＝55°， ∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝90°﹣55°＝35°； （2）猜想：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下： 设∠ACE＝α， ∵∠ACD＝∠ECB＝90°， ∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝α+90°， ∴∠ACB+∠DCE＝α+90°+90°﹣α＝180°； （3）∵∠DCE：∠ACB＝2：7， ∴设∠DCE＝2β，∠ACB＝7β， 由（2）可知：∠ACB+∠DCE＝180°， ∴7β+2β＝180°， 解得：β＝20°， ∴∠DCE＝2β＝40°， ∵∠E＝∠B＝45°， ∴∠CFB＝∠E+∠DCE＝45°+40°＝85°． 3．综合与实践： 实践操作：在综合与实践活动课上，老师将一副三角尺按图1所示的位置摆放，分别在∠AOC、∠BOD的内部作射线OM、ON，然后提出如下问题：先添加一个适当条件，再求∠MON的度数． 特例探究： （1）如图2所示，“启蒙小组”添加了“若OM、ON分别平分∠AOC、∠BOD”，小组内佳佳同学的做法是：由于图中∠AOC与∠BOD的和为90°，所以我们容易得到∠MOC与∠NOD的和，这样就能求出∠MON的度数．请你根据佳佳的做法，写出解答过程． （2）如图3所示，“睿智小组”添加了“若，”，小组内乐乐同学的做法是：设∠AOC的度数为x，我们就能用含有x的式子表示出∠COM和∠DON的度数，这样就能求出∠MON的度数，请你根据乐乐的做法，写出解答过程． 类比拓展： （3）受“启蒙小组”和“睿智小组”的启发，“创新小组”添加了“若，”．请你直接写出∠MON的度数． 【答案】（1）135°； （2）120°； （3）（90）°． 【解答】证明：（1）∵OM、ON分别平分∠AOC、∠BOD， ∴，， ∵∠AOC+∠BOD+∠COD＝180°，∠COD＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD＝90°， ∴， ∴∠MON的度数为135°； （2）设∠AOC的度数为x°，则∠BOD的度数为（90﹣x）°， ∵，， ∴， ∴∠MON＝∠MOC+∠COD+∠DON＝30°+90°＝120°， ∴∠MON的度数为120°； （3）设∠AOC的度数为x°，则∠BOD的度数为（90﹣x）°， ∵，， ∴∠MOC+∠DON（∠AOC+∠BOD）（x+90﹣x）， ∵∠MON＝∠MOC+∠DON+∠COD， ∴∠MON＝（90）°， 即∠MON的度数为（90）°． 4．先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：|2x|＝1． 解：讨论：①当x≥0时，原方程可化为2x＝1，它的解是； ②当x＜0时，原方程可化为﹣2x＝1，它的解是． 原方程的解为或． （1）依例题的解法，方程算的解是 　6和﹣6　 ； （2）尝试解绝对值方程：2|x﹣2|＝6． 【答案】（1）6和﹣6． （2）x＝5和﹣1． 【解答】解：（1）||＝3， ①当x≥0时，原方程可化为3，它的解是x＝6； ②当x＜0时，原方程可化为3，它的解是x＝﹣6； ∴原方程的解为x＝6和﹣6， 故答案为：6和﹣6． （2）2|x﹣2|＝6， ①当x﹣2≥0时，原方程可化为2（x﹣2）＝6，它的解是x＝5； ②当x﹣2＜0时，原方程可化为﹣2（x﹣2）＝6，它的解是x＝﹣1； ∴原方程的解为x＝5和﹣1． 5．如图，在数轴上，点A表示数a，点B表示数b，a、b满足（a+9）2+|b﹣3|＝0． （1）点A表示的数为 　﹣9　 ，点B表示的数为 　3　 ； （2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC＝2BC，则点C表示数为 　﹣1或15　 ； （3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以每秒3个单位长度的速度向右运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动；同时另一小球乙从点B处以每秒2个单位长度的速度也向右运动．若运动的时间为t秒，试求：当t为何值时，甲、乙两小球之间的距离为10个单位长度． 【答案】（1）﹣9，3； （2）﹣1或15； （3）当t为2秒或3.2秒时，甲、乙两小球之间的距离为10个单位长度． 【解答】解：（1）∵（a+9）2+|b﹣3|＝0， ∴a+9＝0，b﹣3＝0， ∴a＝﹣9，b＝3， 故答案为：﹣9，3； （2）设点C表示数为m， 当C在线段AB上时，m﹣（﹣9）＝2（3﹣m）， 解得m＝﹣1， 当C在B右侧时，m﹣（﹣9）＝2（m﹣3）， 解得m＝15； ∴C表示的数为﹣1或15； 故答案为：﹣1或15； （3）当0≤t≤3时，小球甲所在点表示的数为﹣9+3t，小球乙所在点表示的数为3+2t， ∴3+2t﹣（﹣9+3t）＝10， 解得t＝2； 当t＞3时，小球甲所在点表示的数为0﹣3（t﹣3）＝﹣3t+9，小球乙所在点表示的数为3+2t， ∴3+2t﹣（﹣3t+9）＝10， 解得t＝3.2； 综上所述，当t为2秒或3.2秒时，甲、乙两小球之间的距离为10个单位长度． 6．综合与实践；制作一个无盖的长方体形纸盒 七年（1）班“综合与实践”小组计划利用一张边长为20cm的正方形的纸制成一个无盖的长方体形纸盒．他们经过讨论决定，按照如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小边长为xcm的小正方形，再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的长方体形纸盒，如图2．根据实践过程，请你完成以下的问题（纸张厚度及接缝处忽略不计）． 【问题一】 （1）制成的长方体形的盒子中，长方体的高（即减掉正方形的边长）为xcm，则长方体的容积为 x（20﹣2x）2 cm3． 【问题二】 （2）为了使纸盒底面更加牢固且剪下的纸张不浪费，将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，既不重叠又恰好铺满．则减掉的小正方形的边长xcm的值为 　5　 cm； 【问题三】 （3）如果剪去的小正方形的边长xcm的值按整数值依次增大，制成的无盖的长方体形盒子的容积随之变化，其变化情况如表： 剪去的小正方形的边长/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 长方体的容积/cm3 324 512 m 576 n 384 252 128 36 ①计算表中的m与n的值，并补全折线统计图； ②观察折线统计图，说明随着剪去的小正方形的边长xcm的值增大，长方体的容积怎样变化；观察表格和折线统计图，说明当x为何值时，所得到的无盖长方体的容积最大． 【答案】（1）x（20﹣2x）2； （2）5； （3）①m＝588，n＝500， 补图见解答； ②当x从1到3时，容积随小正方形边长x的增大而增大； 当x从3到9时，容积随小正方形边长x的增大而减小； 当 x＝3 时，容积最大，最大值为 588cm3． 【解答】解：（1）∵长方体形的盒子底面积为（20﹣2x）2cm2，高为xcm， ∴长方体的容积为：x（20﹣2x）2， 故答案为：x（20﹣2x）2； （2）由题意，得2x＝20﹣2x， 解得x＝5， 故答案为：5； （3）①当x＝3 时，m＝（20﹣2×3）2×3＝196×3＝588； 当x＝5时，n＝（20﹣2×5）2×5＝100×5＝500， 补图如图： ②当x从1到3时，容积随小正方形边长x的增大而增大； 当x从3到9时，容积随小正方形边长x的增大而减小； 当 x＝3 时，容积最大，最大值为 588cm3． 7．（1）我们曾解决过这样的问题：如图1，点O在直线AB上，OC，OD分别平分∠AOE，∠BOE，可求得∠COD＝　90°　 ． 【问题改编】点O在直线AB上，∠COD＝90°，OE平分∠BOC． （2）如图2，若∠AOC＝50°，求∠DOE的度数． （3）将图2中的∠COD按图3所示的位置进行放置，写出∠AOC与∠DOE度数间的等量关系，并写明理由． 【答案】（1）90°； （2）25°； （3）∠DOE∠AOC． 【解答】解：（1）∵∠AOE+∠BOE＝180°，OC，OD分别平分∠AOE，∠BOE， ∴∠COE+∠EOD＝90°， ∴∠COD＝90°， 故答案为：90°； （2）∵∠COD＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝90°． ∵∠AOC＝50°， ∴∠BOD＝40°． ∴∠COB＝∠COD+∠BOD＝90°+40°＝130°． ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE． ∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣65°＝25°． （3）设∠AOC＝α． 则∠BOC＝180°﹣α． ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE． ∵∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣（180°﹣α）＝α﹣90°， ∴∠DOE＝∠DOB+∠BOE． ∴按图3所示的位置放置时，∠AOC与∠DOE度数间的等量关系为：∠DOE∠AOC． 8．对于数轴上不重合的两点A，B，给出如下定义：若数轴上存在一点M，通过比较线段AM和BM的长度，将较短线段的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．若线段AM和BM的长度相等，将线段AM或BM的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”． （1）当数轴上原点为O，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5时 ①点O到线段AB的“绝对距离”为　1　 ； ②点M表示的数为m，若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则m的值为　﹣4或2或8　 ； （2）在数轴上，点P表示的数为﹣6，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为2．点P以每秒2个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点B同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动．设移动的时间为t（t＞0）秒，当点P到线段AB的“绝对距离”为2时，求t的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①∵数轴上原点为O，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5， ∴OA＝1，OB＝5， 而1＜5， ∴点O到线段AB的“绝对距离”为1． 故答案为1； ②点M表示的数为m，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5， 若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则可分三种情况： Ⅰ）当点M在点A的左边时，MA＜MB， ∵点M到线段AB的“绝对距离”为3， ∴﹣1﹣m＝3， ∴m＝﹣4，符合题意； Ⅱ）当点M在点A、B之间时， ∵MA＝m+1，MB＝5﹣m， 如果m+1＝3，那么m＝2，此时5﹣m＝3，符合题意； Ⅲ）当点M在点B的右边时，MB＜MA， ∵点M到线段AB的“绝对距离”为3， ∴m﹣5＝3， ∴m＝8，符合题意； 综上，所求m的值为﹣4或2或8． 故答案为﹣4或2或8； （2）点P运动到点A时需要的时间为：秒，点B运动到点A时需要的时间为：5秒，点P、点B相遇需要的时间为：秒． 移动的时间为t（t＞0）秒，点P表示的数为﹣6+2t，点B表示的数为2﹣t． 分四种情况： ①当0＜t时，PA＜PB， ∵PA＝﹣3﹣（﹣6+2t）＝3﹣2t＝2， ∴t，符合题意； ②当t时， PA＝﹣6+2t﹣（﹣3）＝2t﹣3，PB＝2﹣t﹣（﹣6+2t）＝8﹣3t， 如果2t﹣3＝2，t，此时8﹣3t2，不合题意，舍去； 如果8﹣3t＝2，t＝2，此时2t﹣3＝1＜2，不合题意，舍去； ③当t≤5时，PB＜PA， ∵PB＝（﹣6+2t）﹣（2﹣t）＝3t﹣8＝2， ∴t，符合题意； ④当t＞5时，PA＜PB， ∵PA＝（﹣6+2t）﹣（﹣3）＝2t﹣3＝2， ∴t5，不合题意，舍去． 综上，所求t的值为或． 9．在数学实践活动课上，“卓越”小组准备研究如下问题：如图，EF为直尺的一条边，四边形ABCD为一正方形纸板（∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠D均为直角） （1）【操作发现】 如图①小组成员小方把正方形的一条边AB与EF重合放置，刘老师在与同学们交流研讨时又做出了∠DAF的平分线AQ，交正方形的边于点P． 则此时∠PAB的度数为 　45°　 ；∠PAB与∠DAE的度数之间的关系为 　∠PAB∠DAE ． （2）【问题探究】 受小方同学的启发，小组成员小丽将正方形纸板按如图②放置，若此时记∠DAE的度数为α，其他条件不变，请帮小丽同学探究：∠PAB与∠DAE的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由． （3）【拓展延伸】 组内其他同学也都继续探索，将正方形按如图③放置，刘老师同样做出了∠DAF的平分线AQ，请直接写出∠QAB与∠DAE的度数之间的关系． 【答案】（1）45°，∠PAB∠DAE； （2）没有变化； （3）∠QAB＝180°∠DAE． 【解答】解：（1）如图①， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DAB＝90°，∠PAB＝45°， ∴∠DAE＝90°， ∴∠PAB∠DAE； 故答案为：45°，∠PAB∠DAE； （2）∠PAB与∠DAE的度数之间的关系没有发生改变． 理由如下： 如图②， ∵∠DAE＝α， ∴∠DAF＝180°﹣α， ∵AQ平分∠DAF， ∴∠DAQ∠DAF＝90°α， ∴∠PAB＝∠DAB﹣∠DAQ＝90°﹣（90°α）α， 即∠PAB∠DAE； （3）如图③， ∵∠DAF的平分线为AQ， ∴∠QAD∠DAF， ∴∠QAB＝90°+∠QAD＝90°∠DAF， ∵∠DAE＝180°﹣∠DAF， ∴∠DAE＝90°∠DAF， ∴∠QAB∠DAE＝180°， 即∠QAB＝180°∠DAE． 10．【发现问题】数学活动课上，王老师出示了一个问题： （1）一张长方形纸片，长是宽的2倍，如图1和图2，若纸片宽是xcm，在纸片的四个角各剪去一个同样大小的边长为4cm的小正方形，折成一个无盖的长方体，则无盖长方体的底面宽为 　（x﹣8）　 cm；如图3，同样大小的长方形纸片剪去边长4cm的2个小正方形和2个大小和形状相同的宽为4cm的长方形，折成有盖的长方体，则其底面长是 　（x﹣4）　 cm（用含x的代数式表示）； 【提出问题】 （2）一张长方形纸片，长是宽的2倍，如图1和图2，在纸片的四个角各剪去一个同样大小边长为4cm的小正方形，折成一个无盖的长方体．若无盖长方体的底面长方形的长是宽的2.5倍，求折成的长方体的底面积； 【能力拓展】 （3）王老师带着同学们做进一步的探究： 如图3，一张长方形纸片，长是宽的2倍，在纸片的四周剪去边长为4cm的2个小正方形和2个大小和形状相同的宽为4cm的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子．若折出的有盖的长方体底面的长是宽的1.2倍，求折出的有盖长方体的体积； 【解决问题】 （4）数学活动小组的同学在上述条件不变的情况下对这个问题进一步研究： 把上面（3）折成的有盖的长方体的盒子装满水，倒入（2）中折成的无盖的长方体盒子里，请求出无盖长方体内水的高度（两个盒子都不漏水）． 【答案】（1）（x﹣8），（x﹣4）； （2）640cm2； （3）1920cm3； （4）无盖长方体内水的高度为3cm． 【解答】解：（1）因为长是宽的2倍， ∴长为2xcm， 由题意，得：无盖长方体底面的宽为：x﹣2×4＝（x﹣8）cm，长为：2x﹣2×4＝（2x﹣8）cm， 有盖长方体底面宽为：x﹣2×4＝（x﹣8）cm，长为：（x﹣4）cm， 故答案为：（x﹣8），（x﹣4）； （2）设纸片宽是xcm，由（1）知：无盖长方体底面的宽为：（x﹣8）cm，长为：（2x﹣8）cm， 由题意，得：2x﹣8＝2.5（x﹣8）， 解得：x＝24， ∴x﹣8＝16，2x﹣8＝40， ∴底面面积为：16×40＝640（cm2）； （3）设纸片宽是xcm，由（1）知：有盖长方体底面的宽为：（x﹣8）cm，长为：（x﹣4）cm， 由题意，得：x﹣4＝1.2（x﹣8）， 解得：x＝28， ∴x﹣8＝20，x﹣4＝24， ∴长方体的体积为：24×20×4＝1920（cm3）； （4）设无盖长方体内水的高度为ycm，由题意，得：640y＝1920， 解得：y＝3； 答：无盖长方体内水的高度为3cm． 11．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣1，0，3，点P为数轴上任意一点，共对应的数为x． （1）MN的长为 　4　 ； （2）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是 　1　 ； （3）如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动，设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值． 【答案】（1）4； （2）1； （3）t的值为或4． 【解答】（1）根据数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣1，0，3可得： MN的长为3﹣（﹣1）＝4； （2）x﹣（﹣1）＝3﹣x， 解得：x＝1； （3）设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即PM＝PN． 点P对应的数是﹣t，点M对应的数是﹣1﹣2t，点N对应的数是3﹣3t． ①当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合， 所以﹣1﹣2t＝3﹣3t，解得t＝4，符合题意． ②当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P的左侧，点N位于点P的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点M在点P左侧，且点M运动的速度大于点P的速度，所以点M永远位于点P的左侧）， 故PM＝﹣t﹣（﹣1﹣2t）＝t+1．PN＝（3﹣3t）﹣（﹣t）＝3﹣2t． 所以t+1＝3﹣2t，解得，符合题意． 综上所述，t的值为或4． 12．为庆祝元旦，某市统一组织文艺汇演．甲、乙两所学校共92人参加演出，甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人，现准备购买服装参加演出．下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 （1）如果甲校有50人参加演出，那么乙校单独购买服装应付多少元？ （2）如果两所学校分别单独购买服装一共应付5000元，那么甲、乙两所学校分别有多少人准备参加演出？ （3）在（2）的条件下，如果甲校有10人抽调去参加安全知识比赛，不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案． 【答案】（1）乙校单独购买服装应付2520元； （2）甲、乙两所学校准备参加演出的人数分别为52人和40人； （3）最省钱的购买方案是两校联合购买91套服装． 【解答】解：（1）甲校有50人参加演出，则乙校参加演出的人数为：92﹣50＝42（人）， ∴乙校单独购买服装应付：60×42＝2520（元）， 答：乙校单独购买服装应付2520元； （2）设甲校x人，则乙校（92﹣x）人， 依题意得，甲校的人数多于乙校的人数，则， ∴根据题意列一元一次方程得，50x+60×（92﹣x）＝5000， 解得x＝52， ∴92﹣x＝92﹣52＝40（人）， 答：甲、乙两所学校准备参加演出的人数分别为52人和40人； （3）甲校有52﹣10＝42人参加演出，乙校有40人参加演出， 两校联合：50×（40+42）＝50×82＝4100（元）， 而此时比各自购买节约了：（42×60+40×60）﹣4100＝4920﹣4100＝820（元）， 若两校联合购买了91套只需：40×91＝3640（元）， 此时又比联合购买每套节约：4100﹣3640＝460（元）， 因此，最省钱的购买方案是两校联合购买91套服装， 即比实际人数多买91﹣（40+42）＝91﹣82＝9（套）， 答：最省钱的购买方案是两校联合购买91套服装． 13．问题引入 对于数轴上的线段AB和点C（点C不在线段AB上），给出如下定义：M为线段AB上任意一点，我们把C，M两点间距离的最小值称为点C关于线段AB的“最近距离”，记作d1；把C，M两点间距离的最大值称为点C关于线段AB的“最远距离”，记作d2． 已知点A表示的数为﹣7，点B表示的数为4． 若点C表示的数为5，如图，则d1＝1，d2＝12． 问题解决 （1）若点C表示的数为﹣10，则d1＝　3　 ，d2＝　14　 ． （2）若点C表示的数为n，且点C在点B的右侧，d1+d2＝17，求n的值． 拓展延伸 （3）若点P和点Q为数轴上的两点（点P和点Q均不在线段AB上），点P表示的数为x，点Q表示的数为x﹣2，t1表示点P关于线段AB的“最近距离”，t2表示点Q关于线段AB的“最远距离”，若t2是t1的2倍，求x的值． 【答案】（1）3；14； （2）n＝7； （3）x的值为﹣20或13． 【解答】解：（1）由条件可知d1＝CA＝﹣7﹣（﹣10）＝﹣7+10＝3， d2＝CB＝4﹣（﹣10）＝4+10＝14． 故答案为：3；14； （2）∵点C在点B的右侧， ∴d1＝CB＝n﹣4，d2＝CA＝n﹣（﹣7）＝n+7， ∵d1+d2＝17， ∴n﹣4+n+7＝17， 解得：n＝7． （3）当点P在点A的左侧时， t1＝AP＝﹣7﹣x， t2＝BQ＝4﹣（x﹣2）＝6﹣x， 由条件可知6﹣x＝2（﹣7﹣x）， 解得：x＝﹣20； 当点Q在点B的右侧时， t1＝BP＝x﹣4， t2＝AQ＝x﹣2﹣（﹣7）＝x+5， 由条件可知x+5＝2（x﹣4）， x＝13； 综上所述：x的值为﹣20或13． 14．对于数轴上的A、B、C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数如果分别为1，3，5，此时数轴上点B与点A之间的距离是2，点B与点C之间的距离是2，所以B是A，C的“联盟点”． （1）若点A表示数﹣2，点B表示的数4，下列各数﹣1，0，1，2所对应的点分别C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“联盟点”的是 C3 ． （2）点A表示数﹣5，点B表示的数3，P为数轴上一个动点，若A、B、P中有一个点恰段好是其它两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数． （3）数轴上点A所表示的数为﹣12，点B所表示的数为28，一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，另一只电子蚂蚁Q从点A出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，P、Q、B三个点中恰有一个点为其余两点的“联盟点”？ 【答案】（1）C3； （2）点P表示的数为﹣13或﹣1或11或﹣5或3； （3）当t为8或20或或40时，P、Q、B三个点中恰有一个点为其余两点的“联盟点”． 【解答】解：（1）∵AC1＝﹣1﹣（﹣2）＝1，BC1＝4﹣（﹣1）＝5，AC1≠BC1， ∴C1不是点A，B的“联盟点”； ∵AC2＝0﹣（﹣2）＝2，BC2＝4﹣0＝4，AC2≠BC2， ∴C2不是点A，B的“联盟点”； ∵AC3＝1﹣（﹣2）＝3，BC3＝4﹣1＝3，AC3＝BC3 ∴C3是点A，B的“联盟点”； ∵AC4＝2﹣（﹣2）＝4，BC4＝4﹣2＝2，AC4≠BC4， ∴C4不是点A，B的“联盟点”； ∴是点A，B的“联盟点”的是C3， 故答案为：C3； （2）设点P表示的数为x， 当A是B，P的“联盟点”时，﹣5﹣x＝3﹣（﹣5）， 解得：x＝﹣13； 当P是A，B的“联盟点”时，x﹣（﹣5）＝3﹣x， 解得：x＝﹣1； 当B是A，P的“联盟点”时，3﹣（﹣5）＝x﹣3， 解得：x＝11； 当点P与点A、点B重合时，即x＝﹣5或3时，也符合题意， 综上所述，点P表示的数为﹣13或﹣1或11或﹣5或3； （3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为28﹣2t，点Q表示的数为﹣12+t， 当P是B，Q的“联盟点”时，28﹣2t﹣（﹣12+t）＝28﹣（28﹣2t）， 解得：t＝8； 当Q是B，P的“联盟点”时，﹣12+t﹣（28﹣2t）＝28﹣（﹣12+t）， 解得：t＝20； 当B是P，Q的“联盟点”时，28﹣（28﹣2t）＝﹣12+t﹣28， 解得：t＝﹣40（不合题意，舍去）； 当PQ重合，B是P，Q的“联盟点”时，2t＝28﹣（﹣12+t）， 解得：t； 当BQ重合，P是B，Q的“联盟点”时，﹣12+t＝28， 解得：t＝40； 当AP重合，Q是A，Q的“联盟点”时，28﹣2t＝﹣12， 解得：t＝20； 综上所述，当t为8或20或或40时，P、Q、B三个点中恰有一个点为其余两点的“联盟点”． 15．如图，MN∥PQ，直线AB交MN于点A，交PQ于点B，点E是线段AB上一点，C、D分别在射线AN、BQ上，连结CE、DE，∠ECN的平分线与∠BDE的平分线交于点F． （1）当CE⊥DE时，求∠ACE+∠BDE的度数； （2）试猜想∠CED与∠CFD的数量关系，并说明理由； （3）过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于H，将直线AB绕点A逆时针旋转，速度为每秒2°，旋转后的对应直线为AB′，同时，将△DFH绕点D顺时针旋转，速度为每秒4°，旋转后的对应三角形为△DF′H′，当直线AB′首次与直线MN重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若∠CAB＝80°，∠EDB＝40°，经过t秒后，直线AB′恰好与△DF′H′的一条边平行，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】（1）90°； （2）2∠CFD＝180°+∠CED，理由见解析； （3）t的值为或10或17.5或32.5或40；理由见解答过程． 【解答】解：（1）MN∥PQ，如图1，过点E作EG∥MN， ∴MN∥PQ∥EG， ∴∠ECA＝∠CEG，∠GED＝∠BDE， ∵CE⊥DE， ∴∠CED＝90°， ∴∠ACE+∠BDE＝∠CEG+∠GED＝90°； （2）2∠CFD＝180°+∠CED；理由如下： MN∥PQ，如图2，过点E作EG∥MN，过点F作FK∥PQ交ED于点K， ∴MN∥PQ∥EG∥FK， ∵CF平分∠ECN， ∴∠ECF＝∠NCF， 设∠ECF＝∠NCF＝x，∠EDF＝∠BDF＝y， ∵EG∥MN， ∴∠NCE+∠CEG＝180° 则∠CEG＝180°﹣2x， ∵MN∥FK， ∴∠NCF+∠CFK＝180° 则∠CFK＝180°﹣x， ∵PQ∥FK， ∴∠EDB＝∠EKF＝2x，∠FDB＝∠KFD＝x， ∵EG∥FK， ∴∠GED＝∠EKF＝2x ∴∠CED＝∠CEG+∠GED＝180°﹣2x+2y， ∴∠CFD＝∠CFK+∠KFD＝180°﹣x+y， ∴2∠CFD＝360°﹣2x+2y＝180°+180°﹣2x+2y， ∴2∠CFD＝180°+∠CED； （3）t的值为或10或17.5或32.5或40．理由如下： 由（1）得∠ACE+∠BDE＝90°，∠EDB＝40°， ∴∠ACE＝50°， ∴∠ECN＝130°， ∵CF平分∠ECN， ∴∠ECF＝∠NCF＝65°， ∵DF平分∠BDE，∠EDB＝40°， ∴∠BDF＝∠EDF＝20°， ∵MN∥PQ， ∴∠NCF＝∠BOF＝65°， ∴∠HFD＝∠BOF﹣∠BDF＝45°， ∵DH⊥CF， ∴∠HFD＝∠HDF＝45°， ∵直线AB绕点A逆时针旋转，速度为每秒2°， ∴∠CAB′＝∠BB′A＝80°﹣2t， ∵△DFH绕点D顺时针旋转，速度为每秒4°， ∴∠B′O′F′＝65°+4t， 当AB′∥F′H′时，如图3， ∠CAB′＝∠B′O′F′， ∴65°+4t＝80°﹣2t， 解得：； 当旋转到如图所示位置时，如图4， ∠FDF′＝4t，∠BDF′＝4t+20°， 同理得：180°﹣（20°+4t）80°﹣2t＝45°， 解得：t＝32.5； 当AB′∥F′D时，如图5， ∠BDF′＝20°+4t， ∴∠F′DB＝∠AB′B， ∴20°+4t＝80°﹣2t， 解得：t＝10； 当旋转到如图6所示位置： 同理得：20°+4t﹣180＝80°﹣2t， 解得：t＝40； 当AB′∥DH′时，如图7所示： 同理得：4t﹣25＝80°﹣2t， 解得：t＝17.5； 当旋转到如图8所示位置： 同理得：4t﹣25﹣180＝80°﹣2t， 解得：t＝47.5（不合题意，舍去）； 综上所述，t的值为或10或17.5或32.5或40． 16．如图，已知∠AOB＝120°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC． 【解决问题】： （1）求∠MON的度数． 【迁移应用】： （2）若∠AOB＝α（α不超过150°），其他条件不变，求∠MON的度数． （3）若∠BOC＝β（β不超过60°），其他条件不变，求∠MON的度数． 【归纳总结】： （4）从上面的结果中你能归纳、总结出什么规律？ 【答案】（1）∠MON＝60°； （2）∠MONα； （3）∠MON＝60°； （4）∠MON∠AOB，与∠BOC的大小无关． 【解答】（1）解：因为∠AOB＝120°，∠BOC＝30°， 所以∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+30°＝150°， 因为OM平分∠AOC， 所以∠MOC∠AOC150°＝75°， 因为ON平分∠BOC， 所以∠NOC∠BOC30°＝15°， 所以∠MON＝∠BOC﹣∠NOC＝75°﹣15°＝60°； （2）解：因为∠AOB＝α，∠BOC＝30°， 所以∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+30°， 因为OM平分∠AOC， 所以∠MOC∠AOC（α+30°）α+15°， 因为ON平分∠BOC， 所以∠NOC∠BOC30°＝15°， 所以∠MON＝∠MOC﹣∠NOCα+15°﹣15°α； （3）解：因为∠AOB＝120°，∠BOC＝β， 所以∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+β， 因为OM平分∠AOC， 所以∠MOC∠AOC（120°+β）＝60°β， 因为ON平分∠BOC， 所以∠NOC∠BOCβ， 所以∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝60°ββ＝60°； （4）解：归纳总结的规律：∠MON∠AOB，与∠BOC的大小无关． 17．【问题背景】 如图，已知点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠BOC＝104°． 【初步探究】 （1）如图1，则∠AOC的读数为 　76　 °； （2）如图2，过点O在AB下方作射线OE，使得∠COE＝90°，若OD平分∠AOC．求∠AOE和∠DOE的度数； 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，过点O作射线OP，若∠BOP与∠AOD互余，求∠COP的度数． 【答案】（1）76°； （2）38°； （3）52°或156°． 【解答】解：（1）∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣104°＝76°； （2）∵∠AOE＝∠COE﹣∠AOC＝90°﹣76°＝14°．为OD平分∠AOC， ∴∠AOD＝∠DOC∠AOC＝21×76°＝38°， ∠DOE＝∠COE﹣∠DOC＝90°﹣38°＝52°； （3）∵∠BOP与∠AOD互余，∠AOD＝38°， ∴∠BOP＝90°﹣∠AOD＝90°﹣38°＝52°， ∴OP在∠BOC内部时，∠COP＝∠BOC﹣∠BOP＝104°﹣52°＝52°， ∴OP在∠BOC外部时，∠COP＝∠BOP﹣∠BOC＝52°+104°＝156°． 18．综合与实践 问题情境：中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉和文化基因．为了让学生在校园内就能接触到丰富多彩的传统文化，某校开展学习传统文化技艺的活动——制作手工扇子．现委派张老师和李老师到材料批发市场购买所需物品． 问题解决： （1）两位老师相约从学校出发共同前往材料批发市场，但张老师因有事耽搁，故李老师骑自行车先行出发，20分钟后，张老师骑电动车前往，又走了20分钟后两人同时到达，已知电动车的平均速度比自行车平均速度多15km/h，求学校到材料批发市场的距离； （2）按照计划采买完成后，李老师和张老师同时出发返回学校，且使用的交通工具和行驶的平均速度均不变．张老师在返程5分钟后忽然想起忘记采购手工扇子所需的流苏穗，便立即骑车原路折返，并在材料批发市场停留6分钟进行采购． ①请通过计算说明张老师能否在李老师到达之前赶回学校？ ②张老师返回批发市场前，请直接写出两人一起返程几分钟时两人之间相距1千米． 【答案】（1）10km； （2）①张老师能在李老师之前赶回学校，理由见解析； ②4分钟或分钟或8分钟． 【解答】解：（1）设骑电动车的平均速度为xkm/h，则骑自行车的平均速度为（x﹣15）km/h， 根据题意：， 解得x＝30， ∴， 答：学校到材料批发市场的距离为10km； （2）①张老师能在李老师之前赶回学校，理由如下： 由（1）知学校到材料批发市场的距离为10km， 张老师的骑行速度为30km/h， 李老师的骑行速度为：30﹣15＝15（km/h）， 李老师回到学校的时间为：（小时）， 张老师回到学校的时间为：（小时）， ∵， ∴张老师能在李老师到达之前赶回学校； ②张老师返回批发市场前，分类讨论如下： 设返程y分钟时两人之间相距1千米， 张老师折回批发市场前，根据题意：， 解得y＝4， 张老师折回批发市场后与李老师相遇前，根据题意：， 解得； 张老师折回批发市场后与李老师相遇后， 根据题意：， 解得y＝8； 综上所述，两人一起返程4分钟或分钟或8分钟时两人之间相距1千米． 19．在数轴上，通常用“两数的差”来表示“数轴上两点的距离”如图1中三条线段的长度可表示为：AB＝4﹣2＝2，CB＝4﹣（﹣2）＝6，DC＝﹣2﹣（﹣4）＝2，…结论：数轴上任意两点表示的数为分别a，b（b＞a），则这两个点间的距离为b﹣a（即：用较大的数去减较小的数） 【理解运用】 根据阅读材料完成下列各题： （1）如图2，A，B分别表示数﹣1，7，求线段AB的长； （2）若在直线AB上存在点C，使得，求点C对应的数值； （3）M，N两点分别从A，B同时出发以每秒3个单位、每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，求当点M，N重合时，它们运动的时间． 【答案】（1）8； （2）5或9； （3）运动时间为8秒时，M，N重合． 【解答】解：（1）A，B分别表示数﹣1，7，则线段AB的长为：7﹣（﹣1）＝8； （2）设点C对应的数值为x， （ⅰ）当点C在点B左侧时，CB＝7﹣x， 因为， ， 则x＝5， （ⅱ）当点C在点B右侧时CB＝x﹣7， ∵， ∴， 解得x＝9， 答：时，点对应的数值为5或9； （3）设运动时间为t秒时，M，N重合， M点对应数值表示为﹣1+3t，N点对应数值表示为7+2t， ∴﹣1+3t＝7+2t， ∴t＝8， 答：运动时间为8秒时，M，N重合． 20．春节临近，某电商平台需要定制一种上盖为双层的长方体外包装纸箱，纸箱的高度为h（如图1），上盖纸板面积等于下底面面积的2倍，并且每个外包装纸箱刚好能装人两个同样大小的小包装盒（如图2），纸箱厚度忽略不计．已知每个小包装盒的长宽、高分别为a，b，c． （1）若a＞b＞c，以图2的下底面为底面，用两个同样的小包装盒搭成一个大长方体． ①共有 　3　 种不同的摆放方式； ②请画出从上面看到的每种摆放方式的大长方体的形状图，画出的形状图中的每个小长方形（如图3），且在每个小长方形中标出该位置摆放的小包装盒的个数； （2）若a＝c＝20cm，b＝12cm，h＜2b时，求出电商平台所订制的长方体外包装纸箱所需纸板面积的最小值． 【答案】（1）①3；②见解析； （2）电商平台所需纸板面积最小为3200cm2． 【解答】解：（1）①让a、b组成的面重合，a，c组成的面重合，b，c组成的面重合，因此共有3种不同的摆放方式； ②三种情况的图，如图： （2）当a＝20cm，b＝12cm，c＝20cm时，因为h＜2b，所以共有三种放进纸箱的方式． 如图： 2×20×20+2×2×12×20+3×2×20×12＝3200（cm2）， 如图： 2×2×20×20+2×12×20+3×2×20×12＝3520（cm2）． 如图： 3×2×20×20+2×12×20+2×2×20×12＝3840（cm2）． 因为3200＜3520＜3840， 所以电商平台所需纸板面积最小为3200cm2． 21．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发的速度为每秒2个单位，点N从点B出发的速度为M点的3倍，点P从原点出发的速度为每秒1个单位． （1）若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距54个单位？ （2）若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设经过x秒点M与点N相距54个单位． 依题意可列方程为：2x+6x+14＝54， 解方程，得x＝5． 答：经过5秒点M与点N相距54个单位．（算术方法对应给分） （2）设经过t秒点P到点M，N的距离相等． （2t+6）﹣t＝（6t﹣8）﹣t或（2t+6）﹣t＝t﹣（6t﹣8）， t+6＝5t﹣8或t+6＝8﹣5t t或t， 答：经过或秒点P到点M，N的距离相等． 22．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点O，点B，点C折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣8，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为44个单位长度，并表示为． 素材2动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点C后立刻恢复初始速度． 问题解决： （1）探索1：动点P从点A运动至点B需要多少时间？ （2）探索2：动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； （3）探索3：动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 【答案】（1）16秒； （2）4t﹣52； （3）13秒或20.5秒． 【解答】解：（1）探索1：∵点A表示﹣8，点B表示12， ∴OA＝8，OB＝12， ∵P在AO段初始速度为2个单位长度/秒，P在OB段速度为初始速度的一半， ∴P在OB段速度为1个单位长度/秒， ∴P从点A运动至点B的时间为：（秒）； （2）探索2：∵P的初始速度为2个单位长度/秒，P在BC段速度为初始速度的两倍， ∴P在BC段速度为4个单位长度/秒， 由探索1可得：P在BC段运动时间为：（t﹣16）秒， ∴BP＝4（t﹣16）＝4t﹣64， ∵点B表示12， ∴P表示的数为：12+（4t﹣64）＝4t﹣52； （3）探索3：设t秒后， ∵OB+BC＝24＞18，BC＝12＜18， ∴当P在BO上和当P在CD上，才满足， ①当P在BO上时， ∵， ∴PB+（PB+BC）＝18， ∵BC＝12， ∴PB＝3， ∴PO＝OB﹣BP＝12﹣3＝9， ∵OA＝8， ∴（秒）； ②当P在CD上时， ∵， ∴PC+（PC+BC）＝18， ∵BC＝12， ∴PC＝3， ∴（秒）． 综上：动点P运动的时间为13秒或20.5秒． 23．如图，在数轴上点A表示的数是﹣4，点B表示的数是6，动点P、动点Q在数轴上运动． （1）AB的长为 　10　 个单位长度； （2）当点P到点A、点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是 　1　 ； （3）若动点P从点A出发，沿着数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．同时动点Q从点B出发，沿着数轴负方向以每秒1个单位长度的速度运动，设运动间为t秒，当点P、点Q间的距离为6个单位长度时，求t的值． （4）对于线段：AB，PA和PB．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点P是线段AB的“巧分点”，直接写出线段AB的“巧分点”的个数． 【答案】（1）10； （2）1； （3）或； （4）9． 【解答】解：（1）AB＝6﹣（﹣4）＝10， 故答案为：10； （2）由题意得，点P为AB的中点， 设点P在数轴上表示的数为x，则x﹣（﹣4）＝6﹣x， 解得：x＝1． ∴点P在数轴上表示的数为1， 故答案为：1； （3）由题意得，t秒后，点P对应的数为﹣4+2t，点Q对应的数为6﹣t， ∴当点P、点Q间的距离为6个单位长度时， 得|6﹣t﹣（﹣4+2t）|＝6， 解得：或； （4）设P表示的数为x， 当点P在线段AB上时， ①AB＝2PA或AB＝2PB时，由上可知则点P表示的数为1； ②PA＝2PB时，x+4＝2（6﹣x），解得：； ③PB＝2PA时，6﹣x＝2（x+4），解得：； 点P在BA延长线上时， ④AB＝2AP时，则，P表示的数﹣4﹣5＝﹣9； ⑤PA＝2AB＝20时，P表示的数﹣4﹣20＝﹣24； ⑥PB＝2AB＝20时，P表示的数﹣4﹣10＝﹣14； 点P在AB延长线上时， ⑦PB＝2AB＝20，P表示的数6+20＝26； ⑧AB＝2PB＝10，则PB＝5，P表示的数6+5＝11； ⑨AP＝2AB或AP＝2BP时，P表示的数6+10＝16； ∴线段AB的“巧分点”有9个． 24．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）． （1）当t＝2时，①AB＝　4　 cm．②求线段CD的长度． （2）①点B沿点A→D运动时，AB＝　2t cm； ②点B沿点D→A运动时，AB＝　（20﹣2t ）　 cm．（用含t的代数式表示AB的长） （3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化，若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当t＝2时，①AB＝2×2＝4cm； ②BD＝AD﹣AB＝10﹣4＝6cm， 由C是线段BD的中点，得 CDBD6＝3cm； （2）①点B沿点A→D运动时，AB＝2tcm； ②点B沿点D→A运动时，AB＝（20﹣2t）cm； （3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长不变， 由AB中点为E，C是线段BD的中点，得 BEAB，BCBD． EC＝BE+BC（AB+BD）10＝5cm． 25．探索新知： 如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”． （1）一个角的平分线　是　 这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，若∠MPN＝α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ＝　α或α或α　 ；（用含α的代数式表示出所有可能的结果） 深入研究： 如图2，若∠MPN＝60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒． （3）当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”； （4）若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”） 故答案为：是 （2）∵∠MPN＝α， ∴∠MPQα或α或α； 故答案为α或α或α； 深入研究： （3）依题意有 ①10t＝6060， 解得t＝9； ②10t＝2×60， 解得t＝12； ③10t＝60+2×60， 解得t＝18． 故当t为9或12或18时，射线PM是∠QPN的“巧分线”； （4）依题意有 ①10t（5t+60）， 解得t＝2.4； ②10t（5t+60）， 解得t＝4； ③10t（5t+60）， 解得t＝6． 故当t为2.4或4或6时，射线PQ是∠MPN的“巧分线”． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $