【北师大版压轴题】2024～2025年七年级上数学期末解答题真题汇编卷（上）

【北师大版压轴题】2024~2025年七年级上期末解答题真题汇编卷（上） 一．解答题（共25小题） 1．如图，在射线OM上有A，B，C三点，满足OA＝4cm，AB＝12cm，BC＝2cm．点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度运动；点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发． （1）当PA＝2PB（P在线段AB上）时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的中点，则点Q的运动速度为　 　 cm/s．（直接写出答案即可） （2）若点Q的运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距10cm？ （3）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，则　 　 ．（直接写出答案即可） 2．在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以记作|a﹣b|或|b﹣a|．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为AB．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为﹣10，0，12． （1）直接写出结果，OA＝　 　 ，AB＝　 　 ． （2）设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段AB的中点，则x＝　 　 ． ②若点P为线段AB上的一个动点，则|x+10|+|x﹣12|的化简结果是 　 　 ． （3）动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得OM＝ON？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 3．在数轴上A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，且a，b满足|a+2b|+（b﹣6）2＝0． （1）求a，b的值； （2）点P、Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向右运动，且点P的速度是点Q速度的2倍，经过6秒钟点P与点Q相遇，求点Q与点P的速度分别为每秒几个单位； （3）若P、Q两点同时以（2）中各自的速度相向而行，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向左运动，且点P运动到B点后原速返回，当点Q到达点A时，P、Q停止运动，经过几秒钟，P、Q两点相距6个单位长度． 4．【问题背景】 如图，已知∠AOB内部有三条互不重合的射线OD，OC，OE，且在同一个平面内，∠AOC＝2∠BOC，射线OD始终在射线OE的上方．若∠AOB＝108°，∠DOE＝36°． 【问题探究】 （1）①则∠BOC的度数为　 　 °； ②如图1，当OE平分∠BOC时，OC是否平分∠DOE，请说明理由； 【问题拓展】 （2）若∠AOD＝5∠COE，求∠BOE的度数． 5．（1）如图①，已知OE平分∠AOC，OB是∠COE内的一条射线，OF平分∠BOC． 【初步应用】①如果∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，求∠EOF的度数； 【类比探究】②如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，求∠EOF的度数； 【迁移探究】（2）如图②，已知点E是线段AC的中点，点B是线段CE上的一点，点D是线段BC的中点，试判断线段DE与线段AB的数量关系，并说明理由． 6．如图，∠AOB与∠COD都是直角． （1）若∠BOC＝113°，试求∠AOD的度数； （2）以OD为一边，作∠DOE＝∠DOB，且OE与OB不重合，（要求：尺规作图，保留作图痕迹）； （3）在（2）的条件下，如果∠AOD的度数比∠BOD度数的3倍还多10°，那么∠AOE的度数为　 　 °． 7．已知，直线l上线段AB＝6、线段CD＝2（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧）． （1）若线段BC＝1，则线段AD＝　 　 ； （2）如图2，点P、Q分别为AD、BC的中点，求线段PQ的长度； （3）若线段CD从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时，点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段BD的中点，若MN＝2DN，求线段CD运动的时间． 8．【问题背景】 如图，OB是∠AOC内部的一条射线，OM是∠AOB 内部的一条射线，ON是∠BOC内部的一条射线． 【初步探究】 （1）如图1，已知∠AOB＝30°，OM是∠AOB的角平分线． ①则∠AOM＝　 　 °； ②若∠MON＝70°，ON是∠BOC的角平分线，求∠BOC的度数； 【拓展提升】 （2）如图2，若∠AOC＝140°，∠AOB＝4∠AOM＝4∠CON，且，求∠MON的度数． 9．如图，在数轴上，O为原点，点A表示的数是单项式﹣5xy2的系数，OB＝4OA．若点M以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴运动，同时，点N以每秒3个单位长度的速度从点B出发沿数轴运动，设运动时间是t（t＞0）秒． （1）求出点B表示的数； （2）若点M，N沿相同的方向运动，当t＝2秒时，求出线段MN的长．（提示：分两种情况，向左或向右运动） 10．综合与实践 如图，在数轴上有A、B两点，点A表示的数为﹣8，点B表示的数为2．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）当t＝3时，求此时点P表示的数； （2）当t＝7时，数轴上有一点M，沿着点M折叠，点P与点A刚好重合，求点M表示的数； （3）点C为线段AB的中点，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，若点P、Q同时出发，求当点P与点Q相遇时，t的值． 11．综合与探究 【初步探究】 （1）如图①，已知线段AB＝16，C，D为线段AB上的两个动点，且CD＝4，M，N分别是AC和BD的中点，求线段MN的长； 【类比探究】 （2）如图②，直角∠COD与平角∠AOB如图摆放在一起，且OM和ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，则∠MON的度数； 【知识迁移】 （3）当∠AOB＝α，∠COD＝β时，如图③摆放在一起，且OM和ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，求∠MON的度数（用含α，β的代数式表示）．（0°＜α＜180°，0°＜β＜180°） 12．如图，点A，B，C在数轴上的位置如图所示，已知点A，B表示的数分别是﹣8，2，点B与点C相距4个单位长度． （1）点C表示的数为 　 　 ，A，B两点间的距离是 　 　 ； （2）若点D从点B出发，先向右平移2个单位长度，再向左平移6个单位长度，最后再向左平移3个单位长度，经过这三次运动后点D在数轴上表示的数是多少？ （3）一点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，同时一点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向右运动，经过多少秒，P，Q两点之间的距离为3个单位长度？ 13．【问题背景】 如图，点O是直线AB上的一点，∠COD＝90°． 【问题初探】 （1）如图1，射线OC和OD均位于直线AB的上侧，若∠AOC＝20°，OF平分∠AOD，则∠DOF＝ 　 　 °，∠BOF＝ 　 　 °； 【牛刀小试】 （2）如图2，射线OC和OD分别位于直线AB的两侧，若∠BOC＝128°，OF平分∠AOD，求∠BOF的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，射线OC和OD均位于直线AB的下侧，且OD在OC的左侧，求∠AOC+∠BOD的度数． 14．【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，AB＝6，AC＝4，中线AD的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长AD到E，使得DE＝AD； ②连接BE，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB﹣BE＜AE＜AB+BE，从而得到AD的取值范围是 　 　 ； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2）如图2，OA＝OB，OC＝OD，∠AOC与∠BOD互补，连接AC、BD，E是AC的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形． 解：如图，延长OE至H，使EH＝OE，连接CH． 因为E是AC的中点， 所以AE＝CE， 在△AEO和△CEH中， ， 所以△AEO≌△CEH（SAS）． ②根据①中的条件，可以得到OE＝EH，下面只需说明BD＝OH，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． （3）如图3，在（2）的条件下，若∠AOB＝90°，延长EO交BD于点F，OF＝3，OE＝6．那么△AOC的面积是 　 　 ．（请直接写出答案） 15．定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的，则这条射线叫原来角的“新生线”． （1）如图1，∠MOP＝2∠PON，射线OP　 　 ∠MON的“新生线”（填“是”或“不是”）； （2）点M、O、N在同一直线上， ①在图2中，∠AON＝72°，射线OC在∠AOM的内部，并且是∠AOM的“新生线”，OD平分∠COM，求∠DOM的大小； ②如图3，OA⊥MN，∠AOB＝44°，射线OC从OM出发绕点O以每秒6°的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分∠AOB．当射线OC与射线ON重合时，运动都停止．当射线OC是∠MOD的“新生线”时，直接写出t的值． 16．请阅读以下信息：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内半角”．如图①，若射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠COD∠AOB，则称∠COD是∠AOB的“内半角”． 请根据以上信息，解决下面的问题： （1）如图①，∠AOB＝50°30'，∠BOD＝10°．若∠COD是∠AOB的“内半角”，则∠AOC＝ 　 　 ． （2）如图②，已知∠AOB＝β，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜β）至∠COD，即∠COD＝∠AOB＝β，其中∠AOC＝∠BOD＝α．若∠COB是∠AOD的“内半角”，求α与β的数量关系． （3）把一块含60°的三角板COD按如图③方式放置，使OC边与OA边重合，OD边与OB边重合．如图④，将三角板COD绕顶点O以每秒5°的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒．当射线OA，OB，OC，OD构成“内半角”时，请直接写出t的值． 17．【特例感知】 （1）如图1，已知线段MN＝45cm，AB＝3cm，点A、B在线段MN上，点C和点D分别是AM和BN的中点，则CD＝ 　 　 cm； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内部（OA在OB的上方），射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON； ①若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD的度数； ②若∠MON＝α，∠AOB＝β，用含α、β的代数式表示∠COD． 18．如图，点A，B，C在数轴上的位置如图所示，已知点A，B表示的数分别是﹣8，2，点B与点C相距4个单位长度． （1）点C表示的数为 　 　 ，A，B两点间的距离是 　 　 ； （2）若点D从点B出发，先向右平移2个单位长度，再向左平移6个单位长度，最后再向左平移3个单位长度，经过这三次运动后点D在数轴上表示的数是多少？ （3）一点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，同时一点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向右运动，经过多少秒，P，Q两点之间的距离为3个单位长度？ 19．如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起． （1）如图（1），若∠DCE＝33°，则∠BCD＝ 　 　 ，∠ACB＝ 　 　 ． （2）如图（1），猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由． （3）如图（2），若是两个同样的直角三角板60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的数量关系为 　 　 ． 20．综合与实践 已知数轴上有A、B、C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足|a+50|+（b﹣30）2＝0点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解． （1）数轴上点A、B、C表示的数分别为　 　 、　 　 、　 　 ； （2）如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，当t为何值时，P、Q之间的距离恰好等于8个单位长度？ （3）如图2，若动点P、Q两点同时从A、B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒时，P、Q、R三点恰好有其中一点为其余两点的中点．请直接写出动点R的运动速度． 21．如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t（0≤t≤60，单位秒） （1）当t＝2时，求∠AOB的度数； （2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到63°时，求t的值； （3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角（指大于0°而小于等于180°的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 22．一副三角尺按照如图所示摆放在量角器上，边AB与量角器0刻度线重合，边AE与量角器180°刻度线重合，将三角尺ABC绕量角器中心点A以每秒3°的速度顺时针旋转，当边AB与180°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABC的运动时间为t秒． （1）当AC平分∠BAD时，求t的值； （2）若三角尺ABC开始旋转的同时，三角尺ADE也绕点A以每秒1°的速度逆时针旋转．当三角尺ABC停止旋转时，三角尺ADE也停止旋转． （ⅰ）当AD平分∠BAC时，求t的值； （ⅱ）在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得∠BAE＝4∠CAD？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 23．根据课堂所学知识我们知道：数轴上两点A、B对应的数分别为a，b（a＜b），那么A，B两点之间距离可以用代数式b﹣a来表示． 已知：如图，数轴上两点M、N对应的数分别为﹣8、4，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x． （1）M，N两点之间的距离是 　 　 ； （2）当点P到点M、点N的距离相等时，求x的值； （3）当点P到点M、点N的距离之和是16时，求出此时x的值． 24．【课本再现】以下是来源于七年级上册数学课本中的一个问题，请你利用所学知识完成以下探究．钟表是我们日常生活中常用的计时工具，如图，以下是巴黎、伦敦以及北京同一时刻的时钟． 【问题提出】 （1）①巴黎和北京时钟上时针与分针所成角的度数分别为 　 　 ，　 　 ； ②每经过一分钟，时针转过多少度？分针转过多少度？ 【问题推广】 （2）如图1，若此时为下午5：00，点A为下午4点钟的位置，OM平分∠AOP，ON平分∠AOQ，请你求出∠MON的角度． 【拓展提升】 （3）如图2，在（2）的条件下，从下午4点整开始，若t分钟（t＜60）后，∠MON＝45°，请你求出t的值． 25．许多历史故事蕴含着深邃的数学思想，如果我们用这些历史故事来启迪思维，就能获得数学的灵感，从而提升我们的数学素养和文化素养，比如鲁班造钢的故事，当鲁班的手不小心被丝茅草割破后，他仔细观察，发现丝茅草的叶子边缘布满小齿，由此产生了联想，发明了与丝茅草具有相同特征的锯子，本学期，我们学习了线段中点和角平分线这两个概念、接下来，我们将通过探究活动去探究线段中点和角平分线之间的联系，实现知识的横向迁移，并总结解题规律与经验． （1）探究一：如图，已知点C在线段AB上，M，N分别是线段AC、BC的中点． ①若AC＝8，BC＝4，求线段MN的长； ②若点C为线段AB上任意一点，且满足AC+BC＝a，求线段MN的长（用含a的代数式表示） （2）探究二：如图，已知∠AOB＝α°，射线OC在∠AOB内部，OM为∠AOC的角平分线，ON为∠BOC的角平分线，求∠MON的度数（用含α的代数式表示） 【北师大版压轴题】2024~2025年七年级上期末解答题真题汇编卷（上） 参考答案与试题解析 一．解答题（共25小题） 1．如图，在射线OM上有A，B，C三点，满足OA＝4cm，AB＝12cm，BC＝2cm．点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度运动；点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发． （1）当PA＝2PB（P在线段AB上）时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的中点，则点Q的运动速度为　　 cm/s．（直接写出答案即可） （2）若点Q的运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距10cm？ （3）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，则　2　 ．（直接写出答案即可） 【答案】（1）； （2）经过2秒，10秒，P、Q两点相距10cm； （3）2． 【解答】解：（1）∵点P在线段AB上时，PA＝2PB，AB＝12cm， ∴，而OA＝4cm， ∴OP＝OA+PA＝12（cm）， ∴， ∵点Q是线段AB的中点 ∴，而BC＝2cm， ∴CQ＝BC+BQ＝8（cm）， ∴点Q的运动速度为； （2）设运动时间为t秒 则OP＝t，CQ＝3t，OC＝OA+AB+BC＝18（cm），PQ＝10cm， ∵点Q运动到O点时停止运动 ∴点Q最多运动时间为， 依题意，分以下两种情况： ①当点P、Q相遇前， OP+CQ+PQ＝OC，即t+3t+10＝18， 解得t＝2（s） ②当点P、Q相遇后， OP+CQ＝OC+PQ， t+3t＝18+10， 解得：t＝7，经检验不符合题意，舍去； 当t＝6时，Q与O重合，停止运动， 此时OP＝6， 当P再运动4s时，P，Q相距10cm， 此时t＝10s， 综上，经过2秒，10秒，P、Q两点相距10cm； （3）如图，设OP＝xcm， 点P在线段AB上，则4≤x≤2+12，即4≤x≤16， OB﹣AP＝OA+AB﹣（OP﹣OA）＝4+12﹣（x﹣4）＝20﹣x， ∵点E、F分别为OP和AB的中点， ∴，， ∴， 则． 2．在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以记作|a﹣b|或|b﹣a|．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为AB．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为﹣10，0，12． （1）直接写出结果，OA＝　10　 ，AB＝　22　 ． （2）设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段AB的中点，则x＝　1　 ． ②若点P为线段AB上的一个动点，则|x+10|+|x﹣12|的化简结果是 　22　 ． （3）动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得OM＝ON？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）10，22；（2）①1，②22；（3）1，，7或11． 【解答】解：（1）OA＝|﹣10﹣0|＝10，AB＝|﹣10﹣12|＝22， 故答案为：10，22． （2）①∵点P为线段AB的中点， ∴AP＝BP， ∴x﹣（﹣10）＝12﹣x，解得x＝1． 故答案为：1． ②∵点P为线段AB上的一个动点， ∴|x+10|+|x﹣12|＝|x﹣（﹣10）|+|x﹣12|＝AB＝22， 故答案为：22． （3）点M表示的数为2t﹣10（0≤t≤11），OM＝|2t﹣10|； 当0≤t时，点N表示的数为﹣4t+12，ON＝|﹣4t+12|； 当t≤11时，点N表示的数为4（t）﹣10＝4t﹣32，ON＝|4t﹣32|． 当0≤t时，|2t﹣10|＝|﹣4t+12|，解得t＝1或； 当t≤11时，|2t﹣10|＝|4t﹣32|，解得t＝7或11． ∴存在t值，使得OM＝ON，t＝1，，7或11． 3．在数轴上A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，且a，b满足|a+2b|+（b﹣6）2＝0． （1）求a，b的值； （2）点P、Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向右运动，且点P的速度是点Q速度的2倍，经过6秒钟点P与点Q相遇，求点Q与点P的速度分别为每秒几个单位； （3）若P、Q两点同时以（2）中各自的速度相向而行，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向左运动，且点P运动到B点后原速返回，当点Q到达点A时，P、Q停止运动，经过几秒钟，P、Q两点相距6个单位长度． 【答案】（1）a＝﹣12，b＝6； （2）点Q的速度为每秒3个单位，点P的速度为每秒6个单位； （3）经过秒或秒或4秒，P、Q两点相距6个单位长度． 【解答】解：（1）∵|a+2b|+（b﹣6）2＝0， ∴a+2b＝0，b﹣6＝0， 解得a＝﹣12，b＝6，则a的值为﹣12，b的值为6； （2）∵点P的速度是点Q速度的2倍， 设点Q的速度为每秒x个单位，则点P的速度为每秒2x个单位， 依题意列一元一次方程得，6（2x﹣x）＝6﹣（﹣12）， 整理得，6x＝18， 解得x＝3， 答：点Q的速度为每秒3个单位，则点P的速度为每秒6个单位； （3）A点所表示的数是﹣12；B点所表示的数是6； ∴AB＝18， 当点Q到达点A时，需要秒； 设经过t秒钟，P、Q两点相距6个单位长度， 分情况讨论： ①点P没有到达B点， 当P、Q没有相遇，P、Q两点相距6个单位长度时， 由题意得：6t+3t＝18﹣6， 整理得，9t＝12， 解得：； 当P、Q相遇后，P、Q两点相距6个单位长度时， 由题意得：6t+3t＝18+6， 整理得，9t＝24， 解得：； ②点P到达B点后原速返回， 当点P还没有追上点Q时， 由题意得：3t﹣（6t﹣18）＝6， 解得：t＝4； 当点P超过点Q时， 由题意得：（6t﹣18）﹣3t＝6， 解得：t＝8（不合题意，舍去）； 综上所述，经过秒或秒或4秒钟，P、Q两点相距6个单位长度． 4．【问题背景】 如图，已知∠AOB内部有三条互不重合的射线OD，OC，OE，且在同一个平面内，∠AOC＝2∠BOC，射线OD始终在射线OE的上方．若∠AOB＝108°，∠DOE＝36°． 【问题探究】 （1）①则∠BOC的度数为　36　 °； ②如图1，当OE平分∠BOC时，OC是否平分∠DOE，请说明理由； 【问题拓展】 （2）若∠AOD＝5∠COE，求∠BOE的度数． 【答案】（1）①36°； ②OC平分∠DOE，理由见解答； （2）∠BOE的度数为42°或27°． 【解答】解：（1）①∠AOC＝2∠BOC，∠AOB＝108°， ∴，， 故答案为：36； ②OC平分∠DOE，理由如下： ∵OE平分∠BOC，∠BOC＝36°， ∴， ∵∠DOE＝36°， ∴∠DOC＝∠DOE﹣∠COE＝18°， ∴， ∴OC平分∠DOE； （2）由（1）知∠AOC＝72°，∠BOC＝36°， 设∠BOE＝x°， 当OE在OC的上方时，∠COE＝（x﹣36）°， ∴∠COD＝∠DOE+∠COE＝x°， ∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝（72﹣x）°， ∵∠AOD＝5∠COE， ∴（72﹣x）°＝5×（x﹣36）°， 解得x＝42， 即∠BOE＝42°； 当OE在OC的下方时，则∠COE＝（36﹣x）°， ∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝x°， ∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝（72﹣x）°， ∵∠AOD＝5∠COE， ∴（72﹣x）°＝5×（36﹣x）°， 解得x＝27， 即∠BOE＝27°； 综上，∠BOE 的度数为42°或27°． 5．（1）如图①，已知OE平分∠AOC，OB是∠COE内的一条射线，OF平分∠BOC． 【初步应用】①如果∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，求∠EOF的度数； 【类比探究】②如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，求∠EOF的度数； 【迁移探究】（2）如图②，已知点E是线段AC的中点，点B是线段CE上的一点，点D是线段BC的中点，试判断线段DE与线段AB的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①35°； ②； （2）DEAB；理由如下： ∵点E是AC的中点，点D是BC的中点， ∴ECAC，DCBC， ∴DE＝EC﹣DCACBCAB． 【解答】解：（1）①由条件可知∠EOC∠AOC，∠COF∠BOC， ∵∠EOF＝∠EOC﹣∠COF， ∴∠EOF∠AOC∠BOC（∠AOC﹣∠BOC）∠AOB70°＝35°； ②由条件可知∠EOC∠AOC，∠COF∠BOC， ∵∠EOF＝∠EOC﹣∠COF， ∴∠EOF∠AOC∠BOC（∠AOC﹣∠BOC）∠AOBαα； （2）DEAB；理由如下： ∵点E是AC的中点，点D是BC的中点， ∴ECAC，DCBC， ∴DE＝EC﹣DCACBCAB． 6．如图，∠AOB与∠COD都是直角． （1）若∠BOC＝113°，试求∠AOD的度数； （2）以OD为一边，作∠DOE＝∠DOB，且OE与OB不重合，（要求：尺规作图，保留作图痕迹）； （3）在（2）的条件下，如果∠AOD的度数比∠BOD度数的3倍还多10°，那么∠AOE的度数为　50　 °． 【答案】（1）∠AOD＝67°； （2）如图，∠DOE即为所求； ． （3）50． 【解答】解：（1）∵∠BOC＝113°，∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOC＝∠BOC﹣∠AOB＝23°， ∠AOD＝90°﹣23°＝67°； （2）如图，∠DOE即为所求； （3）设∠BOD＝α，则∠EOD＝α， ∴∠AOD＝3α+10， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOD+∠BOD＝3α+10+α＝90°， 解得α＝20°， ∴∠AOE＝90°﹣2∠BOD＝50°， 故答案为：50． 7．已知，直线l上线段AB＝6、线段CD＝2（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧）． （1）若线段BC＝1，则线段AD＝　7或9　 ； （2）如图2，点P、Q分别为AD、BC的中点，求线段PQ的长度； （3）若线段CD从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时，点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段BD的中点，若MN＝2DN，求线段CD运动的时间． 【答案】（1）7或9； （2）2； （3）2s或18s． 【解答】解：（1）①当点C在点B的左侧时， ∵AB＝6，BC＝1，CD＝2， ∴AC＝5， ∴AD＝AC+CD＝7， ②当点C在点B的右侧时， ∵AB＝6，BC＝1，CD＝2， ∴AD＝AB+BC+CD＝9， ∴线段AD＝7或9； 故答案为：7或9； （2）设BC＝x， 则AD＝AB+BC+CD＝8+x， ∵点P、Q分别为AD、BC的中点， ∴PDAD＝4x，CQx， ∴PQ＝PD﹣CD﹣CQ＝4x﹣2x＝2； （3）线段CD运动的时间为t， 则AM＝2t，BC＝t， ∴BM＝AB﹣AM＝6﹣2t或BM＝AM﹣AB＝2t﹣6，BD＝BC+CD＝t+2， ∵点N是线段BD的中点， ∴DN＝BNBDt+1， ∵MN＝2DN， ∴6﹣2tt+1＝2（t+1）或（2t﹣6）﹣（t+1）＝2（t+1）， 解得：t＝2或t＝18 故线段CD运动的时间为2s或18s． 8．【问题背景】 如图，OB是∠AOC内部的一条射线，OM是∠AOB 内部的一条射线，ON是∠BOC内部的一条射线． 【初步探究】 （1）如图1，已知∠AOB＝30°，OM是∠AOB的角平分线． ①则∠AOM＝　15　 °； ②若∠MON＝70°，ON是∠BOC的角平分线，求∠BOC的度数； 【拓展提升】 （2）如图2，若∠AOC＝140°，∠AOB＝4∠AOM＝4∠CON，且，求∠MON的度数． 【答案】（1）①15，②∠BOC＝110°； （2）∠MON＝100°． 【解答】解：（1）①∵∠AOB＝30°，OM是∠AOB的角平分线， ∴∠AOM∠AOB＝15°， 故答案为：15； ②∵∠AOB＝30°，OM是∠AOB 的平分线， ∴∠BOM＝∠AOM＝15°， ∵∠MON＝70°， ∴∠BON＝∠MON﹣∠BOM＝55°， ∵ON平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠BON＝110°； （2）设∠AOM＝∠CON＝α，则∠AOB＝4α， ∵∠BOM＝∠AOB﹣∠AOM， ∴∠BOM＝4α﹣α ＝3α， ∵， ∴∠BON＝2α， ∵∠AOC＝∠AOB+∠BON+∠CON＝140°， ∴4α+2α+α＝140°， ∴α＝20°， ∵∠MON＝∠BOM+∠BON， ∴∠MON＝3α+2α＝100°． 9．如图，在数轴上，O为原点，点A表示的数是单项式﹣5xy2的系数，OB＝4OA．若点M以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴运动，同时，点N以每秒3个单位长度的速度从点B出发沿数轴运动，设运动时间是t（t＞0）秒． （1）求出点B表示的数； （2）若点M，N沿相同的方向运动，当t＝2秒时，求出线段MN的长．（提示：分两种情况，向左或向右运动） 【答案】（1）20； （2）MN＝23或MN＝27． 【解答】解：（1）∵点A表示的数是单项式﹣5xy2的系数， ∴点A表示的数为﹣5， ∴OA＝|A|＝5， ∴OB＝4OA＝20，且B在原点的右侧， ∴点B表示的数为20； （2）当点M，N向左运动时， 当t＝2时，点M表示的数为：﹣5﹣2×2＝﹣9，点N表示的数为：20﹣2×3＝14， ∴MN＝14﹣（﹣9）＝23； 当点M，N向右运动时， 当t＝2时，点M表示的数为：﹣5+2×2＝﹣1，点N表示的数为：20+2×3＝26， ∴MN＝26﹣（﹣1）＝27； 故MN＝23或MN＝27． 10．综合与实践 如图，在数轴上有A、B两点，点A表示的数为﹣8，点B表示的数为2．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）当t＝3时，求此时点P表示的数； （2）当t＝7时，数轴上有一点M，沿着点M折叠，点P与点A刚好重合，求点M表示的数； （3）点C为线段AB的中点，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，若点P、Q同时出发，求当点P与点Q相遇时，t的值． 【答案】（1）﹣2； （2）﹣1； （3）． 【解答】解：（1）∵点A表示的数为﹣8，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动， ∴点P表示的数为﹣8+2t， 当t＝3时，﹣8+2t＝﹣8+2×3＝﹣2， ∴当t＝3时，点P表示的数为﹣2； （2）当t＝7时，AP＝2t＝2×7＝14， ∵沿着点M折叠，点P与点A刚好重合， ∴点M为AP的中点， ∴ ∴点M表示的数为：﹣8+7＝﹣1； （3）∵点A表示的数为﹣8，点B表示的数为2． ∴AB＝2﹣（﹣8）＝10． ∵点C为线段AB的中点， ∴． ∴2t+t＝5． ∴． ∴当点P与点Q相遇时，t的值为． 11．综合与探究 【初步探究】 （1）如图①，已知线段AB＝16，C，D为线段AB上的两个动点，且CD＝4，M，N分别是AC和BD的中点，求线段MN的长； 【类比探究】 （2）如图②，直角∠COD与平角∠AOB如图摆放在一起，且OM和ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，则∠MON的度数； 【知识迁移】 （3）当∠AOB＝α，∠COD＝β时，如图③摆放在一起，且OM和ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，求∠MON的度数（用含α，β的代数式表示）．（0°＜α＜180°，0°＜β＜180°） 【答案】（1）10； （2）135°； （3）． 【解答】解：（1）因为AB＝16，CD＝4， 所以AC+BD＝16﹣4＝12， 因为M，N分别是AC和BD的中点， 所以，， 所以． 所以MN＝MC+CD+DN＝6+4＝10． （2）因为∠AOB＝180°，∠COD＝90°， 所以∠AOC+∠BOD＝90°， 因为OM和ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线， 所以， 所以， 所以∠MON＝∠MOC+∠COD+∠DON＝90°+45°＝135°． （3）因为OM和ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线， 所以， 所以∠MON＝∠MOC+∠COB+∠BON ． 12．如图，点A，B，C在数轴上的位置如图所示，已知点A，B表示的数分别是﹣8，2，点B与点C相距4个单位长度． （1）点C表示的数为 　6　 ，A，B两点间的距离是 　10　 ； （2）若点D从点B出发，先向右平移2个单位长度，再向左平移6个单位长度，最后再向左平移3个单位长度，经过这三次运动后点D在数轴上表示的数是多少？ （3）一点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，同时一点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向右运动，经过多少秒，P，Q两点之间的距离为3个单位长度？ 【答案】（1）6，10； （2）经过这三次运动后点D在数轴上表示的数是﹣5； （3）设经过秒或秒，P，Q两点之间的距离为3个单位长度． 【解答】解：（1）∵点B与点C相距4个单位长度，A，B表示的数分别是﹣8，2， ∴4+2＝6，2﹣（﹣8）＝10， 故答案为：6，10； （2）∵点D从点B出发， ∴平移前点D表示的数是2， ∴2+2﹣6﹣3＝﹣5， ∴经过这三次运动后点D在数轴上表示的数是﹣5； （3）设经过t秒，P，Q两点之间的距离为3个单位长度， ∴P，Q两点表示的数分别为﹣8+3t，6+t， ∴|6+t﹣（﹣8+3t）|＝3， ∴或， ∴设经过秒或秒，P，Q两点之间的距离为3个单位长度． 13．【问题背景】 如图，点O是直线AB上的一点，∠COD＝90°． 【问题初探】 （1）如图1，射线OC和OD均位于直线AB的上侧，若∠AOC＝20°，OF平分∠AOD，则∠DOF＝ 　55　 °，∠BOF＝ 　125　 °； 【牛刀小试】 （2）如图2，射线OC和OD分别位于直线AB的两侧，若∠BOC＝128°，OF平分∠AOD，求∠BOF的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，射线OC和OD均位于直线AB的下侧，且OD在OC的左侧，求∠AOC+∠BOD的度数． 【答案】（1）55，125； （2）∵∠BOC＝128°，∠BOC+∠AOC＝180°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣128°＝52°， ∵∠COD＝90°， ∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝90°﹣52°＝38°， ∵OF平分∠AOD，∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠FODAOD＝19°，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝142°， ∴∠BOF＝∠BOD+∠FOD＝142°+19°＝161°， 答：∠BOF的度数为161°； （3）∵∠COD＝90°， ∴∠AOD+∠BOC＝180°﹣∠COD＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝∠AOD+90°+∠BOC+90°＝180°+90°＝270°， 答：∠AOC+∠BOD的度数270°． 【解答】解：（1）∵∠COD＝90°，∠AOC＝20°，∠AOC+∠COD+∠BOD＝180°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝180°﹣20°﹣90°＝70°，∠AOD＝∠AOC+∠COD＝110°， ∵OF平分∠AOD， ∴∠DOF∠AOD55°， ∴∠BOF＝∠BOD+∠DOF＝70°+55°＝125°， 故答案为：55，125； （2）∵∠BOC＝128°，∠BOC+∠AOC＝180°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣128°＝52°， ∵∠COD＝90°， ∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝90°﹣52°＝38°， ∵OF平分∠AOD，∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠FODAOD＝19°，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝142°， ∴∠BOF＝∠BOD+∠FOD＝142°+19°＝161°， 答：∠BOF的度数为161°； （3）∵∠COD＝90°， ∴∠AOD+∠BOC＝180°﹣∠COD＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝∠AOD+90°+∠BOC+90°＝180°+90°＝270°， 答：∠AOC+∠BOD的度数270°． 14．【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，AB＝6，AC＝4，中线AD的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长AD到E，使得DE＝AD； ②连接BE，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB﹣BE＜AE＜AB+BE，从而得到AD的取值范围是 　1＜AD＜5　 ； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2）如图2，OA＝OB，OC＝OD，∠AOC与∠BOD互补，连接AC、BD，E是AC的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形． 解：如图，延长OE至H，使EH＝OE，连接CH． 因为E是AC的中点， 所以AE＝CE， 在△AEO和△CEH中， ， 所以△AEO≌△CEH（SAS）． ②根据①中的条件，可以得到OE＝EH，下面只需说明BD＝OH，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． （3）如图3，在（2）的条件下，若∠AOB＝90°，延长EO交BD于点F，OF＝3，OE＝6．那么△AOC的面积是 　18　 ．（请直接写出答案） 【答案】（1）1＜AD＜5； （2）如图2，延长OE至点H，使得HE＝OE，连接CH， ∵E是AC的中点， ∴AE＝CE， 在△AEO和△CEH中， ， ∴△AEO≌△CEH（SAS）， ∴CH＝AO＝BO，∠HCE＝∠OAE， ∴AO∥CH， ∴∠HCO+∠AOC＝180°， ∵∠BOD+∠AOC＝180°， ∴∠HCO＝∠BOD， 在△HCO和△BOD中， ， ∴△HCO≌△BOD（SAS）， ∴OH＝BD， ∴； （3）18． 【解答】（1）解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC＝4， 在三角形ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴2＜2AD＜10， ∴1＜AD＜5， 故答案为：1＜AD＜5； （2）证明：如图2，延长OE至点H，使得HE＝OE，连接CH， ∵E是AC的中点， ∴AE＝CE， 在△AEO和△CEH中， ， ∴△AEO≌△CEH（SAS）， ∴CH＝AO＝BO，∠HCE＝∠OAE， ∴AO∥CH， ∴∠HCO+∠AOC＝180°， ∵∠BOD+∠AOC＝180°， ∴∠HCO＝∠BOD， 在△HCO和△BOD中， ， ∴△HCO≌△BOD（SAS）， ∴OH＝BD， ∴； （3）解：如图3，由（2）可得：BD＝HO＝2OE＝12，S△BOD＝S△HCO，S△HCE＝S△AOE， ∴S△HCE+S△CEO＝S△AOE+S△CEO， ∴S△HCO＝S△AOC＝S△BOD， ∵∠AOB＝90°，∠AOB+∠COD＝180°， ∴∠COD＝∠COE+∠DOF＝90°， ∵△HCO≌△BOD， ∴∠D＝∠COE， ∴∠D+∠DOF＝90°， ∴OF⊥BD， ∴， 故答案为：18． 15．定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的，则这条射线叫原来角的“新生线”． （1）如图1，∠MOP＝2∠PON，射线OP　是　 ∠MON的“新生线”（填“是”或“不是”）； （2）点M、O、N在同一直线上， ①在图2中，∠AON＝72°，射线OC在∠AOM的内部，并且是∠AOM的“新生线”，OD平分∠COM，求∠DOM的大小； ②如图3，OA⊥MN，∠AOB＝44°，射线OC从OM出发绕点O以每秒6°的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分∠AOB．当射线OC与射线ON重合时，运动都停止．当射线OC是∠MOD的“新生线”时，直接写出t的值． 【答案】（1）是； （2）①36°或18°；②27.2或或． 【解答】解：（1）∵∠MOP＝2∠PON，设∠PON＝x，则∠MOP＝2x， ∴∠MON＝∠MOP+∠PON＝3x， ∴， ∴∠PON是∠MON的， ∴OP是∠MON的新生线， 故答案为：是； （2）①射线OC在∠AOM的内部，并且是∠AOM的“新生线”， 当时，如图所示， ∵点M、O、N在同一直线上，∠AON＝72°， ∴∠AOM＝180°﹣∠AON＝108°． ∴， ∴∠COM＝∠AOM﹣∠AOC＝72°． ∵OD平分∠COM， ∴； 当时，如图所示， 同理，∠AOM＝180°﹣∠AON＝108°， ∴， ∵OD平分∠COM， ∴； 综上所述，∠DOM的大小为36°或18°； ②射线OC从OM出发绕点O以每秒6°的速度逆时针旋转，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转， ∴OC到ON的时间范围为：180°÷6°＝30s． ∵OA⊥MN，∠AOB＝44°， ∴∠BOM＝90°﹣44°＝46°， ∴当OC追上OB的时间为：46°+2°t＝6°t， 解得：t＝11.5s； 当OC追上OA的时间为：90°+2°t＝6°t， 解得：t＝22.5s． 第一种情况，当OC在OB右侧时，即0＜t＜11.5，如图， ∴∠COM＝6°t，∠MOA＝90°+2°t，∠BOM＝46°+2°t， ∵射线OD平分∠AOB， ∴． ∵∠MOD＝∠AOM﹣∠AOD＝90°+2°t﹣22°＝68°+2°t， 当时， ∴， 解得：； 当时， ∠COD＝∠BOD+∠BOC＝∠BOD+∠BOM﹣∠COM ＝22°+46°+2°t﹣6°t＝68°﹣4°t， ∴， 解得：； 第二种情况，当OC在∠AOB内部，且在OD左侧，即11.5≤t≤22.5，如图， 当时， ∵∠MOD＝∠BOM+∠BOD＝（90°﹣44°）+2°t+22°＝68°+2°t， ∴∠COD＝∠COM﹣∠MOD＝6°t﹣（68°+2°t）＝4°t﹣68°， ∴， 解得：t＝27.2s，不合题意，舍去； 第三种情况，当OC在OA左侧时，即22.5＜t＜30，如图， 当时， ∵∠MOD＝∠BOM+∠BOD＝（90°﹣44°）+2°t+22°＝68°+2°t， ∴∠COD＝∠COM﹣∠MOD＝6°t﹣（68°+2°t）＝4°t﹣68°， ∴， 解得：t＝27.2s； 第四种情况，当OC在∠AOB内部，且在OD右侧，即11.5≤t≤22.5，如图， 当时， ∵∠MOD＝∠BOM+∠BOD＝（90°﹣44°）+2°t+22°＝68°+2°t， ∴∠COD＝∠MOD﹣∠COM＝∠BOM+∠BOD﹣∠COM ＝46°+2°t+22°﹣6°t＝68°﹣4°t， ∵∠MOD＝∠BOM+∠BOD＝46°+2°t+22°＝68°+2°t， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 当时， ∴， 解得：，不合题意，舍去． 综上可知t的值为27.2或或． 16．请阅读以下信息：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内半角”．如图①，若射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠COD∠AOB，则称∠COD是∠AOB的“内半角”． 请根据以上信息，解决下面的问题： （1）如图①，∠AOB＝50°30'，∠BOD＝10°．若∠COD是∠AOB的“内半角”，则∠AOC＝ 　15°15′　 ． （2）如图②，已知∠AOB＝β，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜β）至∠COD，即∠COD＝∠AOB＝β，其中∠AOC＝∠BOD＝α．若∠COB是∠AOD的“内半角”，求α与β的数量关系． （3）把一块含60°的三角板COD按如图③方式放置，使OC边与OA边重合，OD边与OB边重合．如图④，将三角板COD绕顶点O以每秒5°的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒．当射线OA，OB，OC，OD构成“内半角”时，请直接写出t的值． 【答案】（1）15°15′； （2）β＝3α或； （3）4秒或36秒． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝50°30′， ∴， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOD﹣∠COD＝50°30﹣25°15′﹣10°＝15°15′， 故答案为：15°15′； （2）∵∠AOC＝∠BOD＝α，∠COD＝∠AOB＝β， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝α+β，∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝β﹣α， ∵∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠AOD＝2∠COB，即α+β＝2（β﹣α）， ∴α与β的数量关系是β＝3α或 （3）①如图④，此时∠COB是∠AOD的内半角， 由旋转性质可知：∠AOC＝∠BOD＝5t°，∠COD＝∠AOB＝60°， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝5t°+60°，∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝60°﹣5t°， ∵∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠AOD＝2∠COB，即5t+60＝2（60﹣5t）， 解得：t＝4； ②此时∠BOC是∠AOD的半角， ∵∠AOC＝∠BOD＝5t°，∠COD＝∠AOB＝60°， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝5t°+60°，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝5t°﹣60°， ∴∠AOD＝2∠BOC，即5t+60＝2（5t﹣60）， ∴t＝36； ∴t的值为4秒或36秒． 17．【特例感知】 （1）如图1，已知线段MN＝45cm，AB＝3cm，点A、B在线段MN上，点C和点D分别是AM和BN的中点，则CD＝ 　24　 cm； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内部（OA在OB的上方），射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON； ①若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD的度数； ②若∠MON＝α，∠AOB＝β，用含α、β的代数式表示∠COD． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵MN＝45cm，AB＝3cm，点C和点D分别是AM和BN的中点， ∴MC＝ACAM，BD＝NDBN， ∴CD＝AC+BD+AB AMBN+AB （AM+BN）+AB （MN﹣AB）+AB （MN+AB） （45+3） ＝24（cm）， 故答案为：24； （2）②∵∠AOB在∠MON内部，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON， ∴∠AOC＝∠COM∠AOM，∠BOD＝∠DON∠BON 又∵∠MON＝150°，∠AOB＝30°， ∴∠COD＝∠AOC+∠AOB+∠BOD ∠AOM∠BON+∠AOB （∠AOM+∠BON）+∠AOB （∠MON﹣∠AOB）+∠AOB （∠MON+∠AOB） （150°+30°） ＝90°； ②由①得， ∠COD（∠MON+∠AOB）， ∵∠MON＝α，∠AOB＝β， ∴∠COD（α+β）． 18．如图，点A，B，C在数轴上的位置如图所示，已知点A，B表示的数分别是﹣8，2，点B与点C相距4个单位长度． （1）点C表示的数为 　6　 ，A，B两点间的距离是 　10　 ； （2）若点D从点B出发，先向右平移2个单位长度，再向左平移6个单位长度，最后再向左平移3个单位长度，经过这三次运动后点D在数轴上表示的数是多少？ （3）一点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，同时一点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向右运动，经过多少秒，P，Q两点之间的距离为3个单位长度？ 【答案】（1）6，10； （2）经过这三次运动后点D在数轴上表示的数是﹣5； （3）设经过秒或秒，P，Q两点之间的距离为3个单位长度． 【解答】解：（1）∵点B与点C相距4个单位长度，A，B表示的数分别是﹣8，2， ∴点C表示的数为4+2＝6，A，B两点间的距离是2﹣（﹣8）＝2+8＝10， 故答案为：6，10； （2）∵点D从点B出发， ∴平移前点D表示的数是2， ∴2+2﹣6﹣3＝﹣5， ∴经过这三次运动后点D在数轴上表示的数是﹣5； （3）设经过t秒，P，Q两点之间的距离为3个单位长度， ∴P，Q两点表示的数分别为﹣8+3t，6+t， ∴根据题意列一元一次方程得，|6+t﹣（﹣8+3t）|＝3， 解得或， ∴设经过秒或秒，P，Q两点之间的距离为3个单位长度． 19．如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起． （1）如图（1），若∠DCE＝33°，则∠BCD＝ 　57°　 ，∠ACB＝ 　147°　 ． （2）如图（1），猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由． （3）如图（2），若是两个同样的直角三角板60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的数量关系为 　∠DAB＝120°﹣∠CAE ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得：∠ACD＝∠BCE＝90°， ∵∠DCE＝33°， ∴∠BCD＝∠BCE﹣∠DCE＝57°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°+57°＝147°， 故答案为：57°，147°； （2）∠ACB＝180°﹣∠DCE，理由如下： ∵∠ACD＝90°，∠BCD＝90°﹣∠DCE， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD ＝90°+90°﹣∠DCE ＝180°﹣∠DCE； （3）∠DAB＝120°﹣∠CAE，理由如下： ∵∠DAC＝60°，∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝60°﹣∠CAE， ∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC ＝60°+60°﹣∠CAE ＝120°﹣∠CAE． 故答案为：∠DAB＝120°﹣∠CAE． 20．综合与实践 已知数轴上有A、B、C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足|a+50|+（b﹣30）2＝0点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解． （1）数轴上点A、B、C表示的数分别为　﹣50　 、　30　 、　10　 ； （2）如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，当t为何值时，P、Q之间的距离恰好等于8个单位长度？ （3）如图2，若动点P、Q两点同时从A、B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒时，P、Q、R三点恰好有其中一点为其余两点的中点．请直接写出动点R的运动速度． 【答案】（1）﹣50，30，10； （2）22秒或18秒； （3）动点R的运动速度为个单位/秒或10个单位/秒或个单位/秒． 【解答】解：（1）∵|a+50|+（b﹣30）2＝0，且|a+50|≥0，（b﹣30）2≥0， ∴|a+50|＝0，（b﹣30）2＝0， ∴a＝﹣50，b＝30， ∴A表示的数是﹣50，B表示的数是30； 解方程得x＝10， ∴C表示的数为10； 故答案为：﹣50，30，10； （2）由题意得：P表示的数为﹣50+3t，Q表示的数为30﹣t， ∵P、Q之间的距离恰好等于8个单位长度， ∴|﹣50+3t﹣（30﹣t）|＝8， 即4t﹣80＝8或4t﹣80＝﹣8， 解得t＝22或t＝18； ∴经过22秒或18秒时，P、Q之间的距离恰好等于8个单位长度； （3）设动点R的运动速度为v个单位/秒，则P的速度是6v个单位/秒，Q的速度是（2v﹣5）个单位/秒，则有： 运动5秒后，P表示的数为﹣50+5×6v＝30v﹣50；Q表示的数为30+5（2v﹣5）＝10v+5，R表示的数为10﹣5v， 若P为QR中点，则2（30v﹣50）＝10v+5+10﹣5v， 解得； 若Q为PR的中点，则2（10v+5）＝30v﹣50+10﹣5v， 解得v＝10； 若R为PQ中点，则2（10﹣5v）＝30v﹣50+10v+5， 解得； ∴动点R的运动速度为个单位/秒或10个单位/秒或个单位/秒． 21．如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t（0≤t≤60，单位秒） （1）当t＝2时，求∠AOB的度数； （2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到63°时，求t的值； （3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角（指大于0°而小于等于180°的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当t＝2时，∠AOM＝3°×2＝6°，∠BON＝6°×2＝12°， 所以∠AOB＝180°﹣∠AOM﹣∠BON＝162°； （2）如图， 根据题意知：∠AOM＝3t，∠BON＝6t， 当∠AOB第二次达到63°时，∠AOM+∠BON﹣∠MON＝63°， 即3t+6t﹣180＝63，解得：t＝27． 故t＝27秒时，∠AOB第二次达到63°． （3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角（大于0°而小于等于180°）的平分线有以下两种情况： ①OB平分∠AON时， ∵∠BON∠AON， ∴6t（180﹣3t）， 解得：t＝12； ②OB平分∠AOM时， ∵∠AOM＝∠BOM， ∴t＝180﹣6t， 解得：t＝24； ③OB平分∠MON时， 6t＝180÷2，或6t＝270， 解得：t＝15或45． 综上，当t的值分别为12、15、24、45秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线． 22．一副三角尺按照如图所示摆放在量角器上，边AB与量角器0刻度线重合，边AE与量角器180°刻度线重合，将三角尺ABC绕量角器中心点A以每秒3°的速度顺时针旋转，当边AB与180°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABC的运动时间为t秒． （1）当AC平分∠BAD时，求t的值； （2）若三角尺ABC开始旋转的同时，三角尺ADE也绕点A以每秒1°的速度逆时针旋转．当三角尺ABC停止旋转时，三角尺ADE也停止旋转． （ⅰ）当AD平分∠BAC时，求t的值； （ⅱ）在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得∠BAE＝4∠CAD？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意：75﹣3t＝60， 解得t＝5． （2）（i）当AD平分∠BAC时，3t+t﹣75＝30，解得t． （ii）由题意180﹣4t＝4（75﹣4t）或180﹣4t＝4（4t﹣75）， 解得t＝10或24． 23．根据课堂所学知识我们知道：数轴上两点A、B对应的数分别为a，b（a＜b），那么A，B两点之间距离可以用代数式b﹣a来表示． 已知：如图，数轴上两点M、N对应的数分别为﹣8、4，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x． （1）M，N两点之间的距离是 　12　 ； （2）当点P到点M、点N的距离相等时，求x的值； （3）当点P到点M、点N的距离之和是16时，求出此时x的值． 【答案】（1）12； （2）﹣2； （3）﹣10或6． 【解答】解：（1）MN＝|﹣8﹣4|＝12； （2）PA＝PN， |x﹣（﹣8）|＝|x﹣4|， 当x＜﹣8时，﹣8﹣x＝4﹣x，无解； 当﹣8≤x≤4时，x﹣（﹣8）＝4﹣x，解得x＝﹣2； 当x＞4时，x﹣（﹣8）＝x﹣4，无解， 故x＝﹣2． （3）PM+PN＝16， ||x﹣（﹣8）|+|x﹣4|＝16 当x＜﹣8时[（﹣8﹣x）+（4﹣x）＝16，解得x＝﹣10； 当﹣8≤x≤4时，[x﹣（﹣8）]+（4﹣x），无解； 当x＞4时，【x﹣（﹣8）】+（x﹣4）＝16，解得x＝6， 故x＝﹣10或x＝6． 24．【课本再现】以下是来源于七年级上册数学课本中的一个问题，请你利用所学知识完成以下探究．钟表是我们日常生活中常用的计时工具，如图，以下是巴黎、伦敦以及北京同一时刻的时钟． 【问题提出】 （1）①巴黎和北京时钟上时针与分针所成角的度数分别为 　30°　 ，　120°　 ； ②每经过一分钟，时针转过多少度？分针转过多少度？ 【问题推广】 （2）如图1，若此时为下午5：00，点A为下午4点钟的位置，OM平分∠AOP，ON平分∠AOQ，请你求出∠MON的角度． 【拓展提升】 （3）如图2，在（2）的条件下，从下午4点整开始，若t分钟（t＜60）后，∠MON＝45°，请你求出t的值． 【答案】（1）①30°，120°；②每过一分钟时针转过0.5°，分针转过6°； （2）75°； （3）或． 【解答】解：（1）①巴黎时间时针与分针的夹角是30°×1＝30°； 夹角是30°×4＝120°； 故答案为：30°，120°； ②每经过一分钟，时针转过360÷（12×60）＝0.5°， 每经过一分钟，分针转过360÷60＝6°； （2）∵此时为下午5：00， ∴∠POQ＝150°， ∵点A为下午4点钟的位置， ∴∠POA＝120°， ∴∠QOA＝30°， ∴，， ∴∠MON＝∠MOA+∠NOA＝75°，； （3）①OM没追上ON之前，， ∴， ②OM超过ON之后，， ∴， ∴分钟或分钟后（t＜60），∠MON＝45°． 25．许多历史故事蕴含着深邃的数学思想，如果我们用这些历史故事来启迪思维，就能获得数学的灵感，从而提升我们的数学素养和文化素养，比如鲁班造钢的故事，当鲁班的手不小心被丝茅草割破后，他仔细观察，发现丝茅草的叶子边缘布满小齿，由此产生了联想，发明了与丝茅草具有相同特征的锯子，本学期，我们学习了线段中点和角平分线这两个概念、接下来，我们将通过探究活动去探究线段中点和角平分线之间的联系，实现知识的横向迁移，并总结解题规律与经验． （1）探究一：如图，已知点C在线段AB上，M，N分别是线段AC、BC的中点． ①若AC＝8，BC＝4，求线段MN的长； ②若点C为线段AB上任意一点，且满足AC+BC＝a，求线段MN的长（用含a的代数式表示） （2）探究二：如图，已知∠AOB＝α°，射线OC在∠AOB内部，OM为∠AOC的角平分线，ON为∠BOC的角平分线，求∠MON的度数（用含α的代数式表示） 【答案】（1）6； （2）①MNa．；②MNa； （3）MNα． 【解答】解：（1）①∵点M是AC的中点，点N是BC的中点，且AC＝8，BC＝4， ∴MCAC＝4，CNBC＝2， ∴MN＝MC+CN＝4+2＝6； ②∵点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MCAC，CNBC， ∴MN＝MC+CN（AC+BC）ABa； （2）∵OM为∠AOC的角平分线，ON为∠BOC的角平分线， ∴∠COM∠AOC，∠CON∠BOC， ∴∠MON＝∠COM+∠CON（∠AOC+∠BOC）∠AOBα． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $