【北师大版压轴题】2024～2025年八年级上数学期末解答题真题汇编卷（上）

【北师大版压轴题】2024~2025年八年级上期末解答题真题汇编卷（上） 一．解答题（共25小题） 1．如图，已知函数y＝2x﹣1和y＝x﹣3的图象交于点P， （1）求出点P的坐标； （2）求两函数图象与y轴围成的图形面积． 2．观察下列运算： ①由，得； ②由，得； ③由，得； ④由，得； … （1）通过观察，请填空： 　 　 ． （2）利用你发现的规律，计算：． 3．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE． （1）如图1，当点D在△ABC的内部时，求证：BD＝CE； （2）如图2，∠BAC＝∠DAE＝120°，BC＝10，且点E落在BC边上．若M为BC上的一点，且∠BAM+∠CAE＝60°，求△BDM的周长； （3）如图3，∠BAC＝∠DAE＝120°，点H为底边BC的中点，过点H作DH的垂线HF（点F在直线BC下方），连接CF．当∠ACF＝∠CBD时，求∠EAF的度数． 4．综合与探究 问题情境： ∠DCA是△ABC的一个外角，过点C在射线BD的右侧作射线CE，使CE∥BA． （1）如果CF平分∠ECA，BF平分∠CBA． ①如图1，若∠A＝90°，∠ABC＝30°，求∠F的度数； ②如图2，若∠BCA＝50°，则∠F的度数为 　 　 °； 深入探究： （2）如图3，如果，试用含n和α的式子表示∠F（直接写出结果）． 5．在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连接BE． （1）若点D在线段AM上时（如图①），则AD　 　 BE（填“＞”“＜”或“＝”），∠CAM＝ 　 　 度； （2）设直线BE与直线AM的交点为O． ①当动点D在线段AM的延长线上时（如图②），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由； ②当动点D在线段AM的延长线上时（如图②），求∠AOB的度数； ③当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数． 6．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（其中k为常数，k≠0），则称点P′为点P的“k系友好点”；例如：P（3，2）的“3系友好点”为，即P′（9，3）． 请完成下列各题： （1）求点P（﹣2，1）的“2系友好点”P的坐标为　 　 ； （2）若点P（6，3）的“k系友好点”P′的坐标为（﹣3，n），求k和n的值； （3）若点P在y轴的正半轴上，点P的“k系友好点”为点P′，若在△OPP′中，PP'＝2OP，求k的值． 7．小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知MN∥PQ． （1）如图①，小明将含45°角的直角三角板ABC中的点A落在直线PQ上，若∠BAQ＝25°，则∠ADM的度数为 　 　 ； （2）如图②，小明将含30°角的直角三角板DEF中的点D，F分别落在直线MN，PQ上，若DE平分∠MDF，则EF是否平分∠DFP？请说明理由． （3）小明将三角板ABC与三角板DEF按如图③所示方式摆放，点B与点F重合，求∠BCN的度数． 8．综合与实践 【问题情境】数学课上，同学们探索三角形中角之间的关系．如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，P是线段DB上的一点，过点P作AB的垂线，垂足为E． 【特例分析】 （1）若∠BAC＝50°，求∠ADC与∠DPE的度数； 【类比探究】 （2）善思小组在（1）的基础上，改变∠B的大小，经过探究，他们发现∠ADC与∠DPE之间存在特定的等量关系．请你猜想∠ADC与∠DPE之间的数量关系，并证明； 【拓展探究】 （3）如图②，敏学小组画出了点P，E分别在线段DB，AB延长线上时的情形，其余条件不变，画出∠DPE 的平分线，交AD的延长线于点F．请在图②中补全图形，写出∠AFP的度数，并说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（0，4），点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． （1）AB的长为 　 　 ，点D的坐标是 　 　 ； （2）求点C的坐标； （3）点M是y轴上一动点，若S△MABS△OCD，求出点M的坐标； （4）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（1）发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，连结AD，且点A、D、E在同一直线上，连结BE，发现△ACD≌△BCE．请证明△ACD≌△BCE． （2）拓展：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，且点A、D、E在同一直线上，若AE＝12，DE＝7，求AB的长度． （3）应用：如图3，P为等边三角形ABC内一点，且∠APC＝150°，∠APD＝30°，AP＝8，CP＝6，DP＝9，求BD的长． 11．【发现问题】 如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P． 【提出问题】 小明提出：∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究． 【解决问题】 探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 探究二：如图②，∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系为 　 　 ；如图③，已知∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE∥CD，则∠BAE＝ 　 　 °（不需要写解答过程） 利用探究一得到的结论解决下列问题： 如图④，射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP，ME交直线CD于点E，NF与∠AMP内部的一条射线MF交于点F，若∠P＝2∠F，求∠FME的度数． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点B（﹣4，0），与y轴交于点A，直线y＝﹣2x+4过点A，且与x轴交于点C． （1）求直线AB的函数表达式； （2）若线段AC上有一点M，使得，求直线OM的函数表达式； （3）在直线AB上是否存在点P，使得S△PBC＝S△AOB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．A，B两地相距300km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发1h．如图是甲，乙行驶路程y甲（km），y乙（km）随行驶时间x（h）变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题： （1）填空：甲的速度为 　 　 km/h； （2）分别求出y甲，y乙与x之间的函数解析式； （3）求出点C的坐标，并写出点C的实际意义． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数l1：y＝kx+b的图象分别与x，y轴交于A（10，0），B两点，正比例函数l2：y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点C（m，4）． （1）求一次函数y＝kx+b的函数表达式； （2）在直线OC上是否存在点D，使得S△ACD＝6S△BOC？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，已知一次函数l1图象分别与x，y轴交于点A，B（0，4）两点，正比例函数y＝﹣2x图象与l1交于点M，已知点M的横坐标是﹣1． （1）求该一次函数l1的表达式； （2）y轴上有一动点Q，连接QM，QA，求当△QMA周长取最小值时点Q的坐标． 16．（1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD； 豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在AC上截取AE＝AB，连接DE，将线段AC，AB，BD之间的数量关系转化为CE与BD的数量关系； 点点同学从∠ABC＝2∠C这个条件出发给出另一种解题思路：延长AB至点E，使BE＝BD，连接DE，将∠ABC＝2∠C转化为∠C与∠E之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； （2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答． 如图2，△ABC中，∠A＝90°，平面内有点D（点D和点A在BC的同侧），连接DC，DB，∠D＝45°，∠ABD+2∠ABC＝180°，求证：； （3）【学以致用】如图3，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝3，DC＝2，∠CAD＝2∠ABC，CE平分∠ACB交AB于点E．求BE的长． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+b分别与x轴、y轴相交于点A、B．现将直线l绕原点O顺时针旋转90°，得到的直线l′称为直线l的“顺旋转垂线”． （1）若点A、B的坐标分别为A（2，0）、B（0，2），则直线l的“顺旋转垂线”l′的关系式为 　 　 ． （2）若直线l：y＝k1x+b1（k1＜0，b1≠0）的“顺旋转垂线”l′为：y＝k2x+b2．求证：k1•k2＝﹣1． （3）已知直线l的“顺旋转垂线”为l'：yx+2，点C是直线l与x轴、y轴交点A、B的中点，动点M的坐标为（0，m）．问当m为何值时，MA+MC取得最小值，并求出该最小值． 18．如图，△ABC是等边三角形，点D沿△ABC的边从点A运动到点B，再从点B运动到点C，点E是边BC上一点，运动过程中始终满足BD＝CE． （1）如图1，当点D在AB边上时，连接AE，CD相交于点G．①求证：AE＝CD． ②求∠CGE的度数． （2）如图2，当点D在BC边上时，延长AB至点F，使BF＝BE，连接AE，DF．判断AE与DF是否相等？并说明理由． 19．已知，四边形ABCD中，AD∥BC，连接BD，DE平分∠ADB交AB于点E，∠BDC＝∠BCD． （1）如图1，求证：∠EDC＝90°； （2）如图2，若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F，且∠F＝55°，求∠ABC； （3）如图3，若H是BC上一动点，F是BA延长线上一点，FH交BD于M，FG平分∠BFH交DE于N，交BC于G．当H在BC上运动时（不与B点重合），∠BAD＝100°，∠DNG＝95°，求∠DMH的度数． 20．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式． （2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值． （3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，四边形AODF的面积为S． ①求S与m的函数关系式． ②S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E的坐标，若不存在，请说明理由． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（0，4），点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． （1）AB的长为 　 　 ，点D的坐标是 　 　 ；直线BE与直线CD的位置关系是 　 　 ； （2）求点C的坐标； （3）点M是y轴上一动点，若S△MABS△OCD，求出点M的坐标； （4）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内，且使得AB＝4，OB＝3． （1）试判断△AOB的形状，并说明理由； （2）在第二象限内是否存在一点P，使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点C为线段OB上一动点，点D为线段BA上一动点，且始终满足OC＝BD．求AC+OD的最小值． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴，y轴分别交于点A，B，与直线交于点C（3，5）．直线与x轴交于点D．点P是射线DA上的一个动点，且点P从点D出发以每秒2个单位长度匀速运动．设点P的运动时间为ts． （1）求两条直线的关系式； （2）当△ACP的面积为15时，求t的值； （3）试探究，在点P运动过程中，是否存在t的值，使△ACP为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝7，∠B＝34°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝34°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝106°时，求∠AED的度数． （2）当线段DC的长度为何值时，AD＝DE？并说明理由． （3）若在点D的运动过程中，点E在AC上也随着运动，始终保持∠ADE＝34°，那么△ABD和△EDC同时为等腰三角形时，直接写出∠BDE的度数． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+1（k≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（3，0），点P是直线AB上方第一象限内的动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线AB于点D． （1）求直线AB的表达式； （2）点P是直线x＝2上一动点，当△ABP的面积与△ABO的面积相等时，求点P的坐标； （3）当△ABP为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 【北师大版压轴题】2024~2025年八年级上期末解答题真题汇编卷（上） 参考答案与试题解析 一．解答题（共25小题） 1．如图，已知函数y＝2x﹣1和y＝x﹣3的图象交于点P， （1）求出点P的坐标； （2）求两函数图象与y轴围成的图形面积． 【答案】（1）P点坐标为（﹣2，﹣5）． （2）2． 【解答】解：（1）联立， 解得， ∴P点坐标为（﹣2，﹣5）． （2）由y＝2x﹣1和y＝x﹣3可知两条直线与y轴的交点分别为（0，﹣1），（0，﹣3）， ∴两函数图象与y轴围成的图形面积为：2＝2． 2．观察下列运算： ①由，得； ②由，得； ③由，得； ④由，得； … （1）通过观察，请填空： 　（n为正整数）　 ． （2）利用你发现的规律，计算：． 【答案】（1）（n为正整数）； （2）． 【解答】解：（1）由题意可得：（n为正整数）， 故答案为：（n为正整数）； （2）由（1）可得（n为正整数）， ∴原式 ． 3．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE． （1）如图1，当点D在△ABC的内部时，求证：BD＝CE； （2）如图2，∠BAC＝∠DAE＝120°，BC＝10，且点E落在BC边上．若M为BC上的一点，且∠BAM+∠CAE＝60°，求△BDM的周长； （3）如图3，∠BAC＝∠DAE＝120°，点H为底边BC的中点，过点H作DH的垂线HF（点F在直线BC下方），连接CF．当∠ACF＝∠CBD时，求∠EAF的度数． 【答案】（1）证明见解答； （2）10； （3）60°． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：∵AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，∠ABC＝∠ACB＝30°， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠C＝∠ABD＝30°，∠BAD＝∠CAE， ∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∠BAM+∠CAE＝60°， ∴∠BAM+∠BAD＝∠DAM＝60°＝∠EAM， ∵AD＝AE，AM＝AM， ∴△ADM≌△AEM（SAS）， ∴DM＝EM， ∴△BDM的周长＝BM+DM+BD＝BM+EM+CE＝BC＝10； （3）解：如图，延长DH到点I，使IH＝DH，连接FD，FI，FE，CI， 由（2）知△ABD≌△ACE，∠ABC＝∠ACB＝30°， ∴∠ABD＝∠ACE，CE＝BD， ∵点H为底边BC的中点，FH⊥DH， ∴BH＝CH，FD＝FI， ∵∠BHD＝∠CHI， ∴△BHD≌△CHI（SAS）， ∴BD＝Cl，∠HBD＝∠HCI， ∵∠ACF＝∠CBD，∠ABD＝∠ACE， ∴∠ACF＝∠HCI，∠ACF﹣∠ACE＝∠CBD﹣∠ABD， 即∠ECF＝∠CBA＝30°， ∴∠ACF﹣∠HCF＝∠HCl﹣∠HCF， ∴∠ACB＝∠FCI＝30°， ∴∠ECF＝∠ICF＝30°， ∵BD＝CI，BD＝CE， ∴CE＝CI， ∵CF＝CF， ∴△CEF≌△CIF（SAS）， ∴FI＝FE＝FD， ∵AF＝AF，AD＝AE， ∴△AFD≌△AFE（SAS）， ∴． 4．综合与探究 问题情境： ∠DCA是△ABC的一个外角，过点C在射线BD的右侧作射线CE，使CE∥BA． （1）如果CF平分∠ECA，BF平分∠CBA． ①如图1，若∠A＝90°，∠ABC＝30°，求∠F的度数； ②如图2，若∠BCA＝50°，则∠F的度数为 　65　 °； 深入探究： （2）如图3，如果，试用含n和α的式子表示∠F（直接写出结果）． 【答案】（1）①60°；②65； （2）． 【解答】解：（1）①由题意可得： ∴∠BCA＝90°﹣30°＝60°， ∵CE∥BA， ∴∠ECA＝∠A＝90°， ∵，， ∴∠BCF＝∠BCA+∠ACF＝60°+45°＝105°， ∴∠F＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝180°﹣15°﹣105°＝60°； ②∵CE∥BA， ∴∠ECA＝∠A， ∵CF平分∠ECA，BF平分∠CBA， ∴，， ∵∠DCA是△ABC的一个外角，∠BCA＝50°， ∴∠DCA＝∠ABC+∠A＝180°﹣∠BCA＝130°， ∴， ∴∠F＝180°﹣（∠CBF+∠BCF）＝65°， 故答案为：65； （2）∵CE∥BA， ∴∠ECA＝∠A， ∵， ∴，， 由题意可得：∠DCA＝∠ABC+∠A＝180°﹣∠BCA＝180°﹣α， ∴∠CBF+∠BCF ＝∠CBF+∠BCA+∠ACF ， ∴． 5．在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连接BE． （1）若点D在线段AM上时（如图①），则AD　＝　 BE（填“＞”“＜”或“＝”），∠CAM＝ 　30　 度； （2）设直线BE与直线AM的交点为O． ①当动点D在线段AM的延长线上时（如图②），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由； ②当动点D在线段AM的延长线上时（如图②），求∠AOB的度数； ③当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数． 【答案】（1）＝，30°； （2）①AD＝BE．理由如下： ∵△ABC和△CDE是等边三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，CD＝CE， ∴∠ACB+∠DCB＝∠DCE+∠DCB， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE； ②60°； ③∠AOB是否为定值，∠AOB＝60°． 【解答】解：（1）∵等边△ABC中，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE； ∵△ABC是等边三角形， ∴∠CAB＝60°， ∵线段AM为BC边上的中线， ∴． 故答案为：＝，30； （2）①AD＝BE．理由如下： ∵△ABC和△CDE是等边三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，CD＝CE， ∴∠ACB+∠DCB＝∠DCE+∠DCB， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE； ②∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线， ∴，AM⊥BC， ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE＝30°， 在Rt△BMO中，∠AOB＝90°﹣∠CBE＝90°﹣30°＝60°； ③∠AOB是否为定值，∠AOB＝60°．理由如下： 当动点D在直线AM上时，分三种情况讨论： 当点D在线段AM上时，如图1， ∵线段AM为BC边上的中线，△ABC是等边三角形， ∴，AM⊥BC， ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE＝30°， 在Rt△BMO中，∠AOB＝90°﹣∠CBE＝90°﹣30°＝60°； 当点D在线段AM的延长线上时，如图4，由②知∠AOB＝60°； 当点D在线段MA的延长线上时，如图5， ∵△ABC和△CDE是等边三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，CD＝CE， ∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CAD＝∠CBE， ∴∠CAM＝∠CBO ∵线段AM为BC边上的中线，△ABC是等边三角形， ∴，AM⊥BC， ∴∠CAM＝∠CBO＝30°， 在Rt△BMO中，∠AOB＝90°﹣∠CBO＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AOB是否为定值，∠AOB＝60°． 6．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（其中k为常数，k≠0），则称点P′为点P的“k系友好点”；例如：P（3，2）的“3系友好点”为，即P′（9，3）． 请完成下列各题： （1）求点P（﹣2，1）的“2系友好点”P的坐标为　（0，0）　 ； （2）若点P（6，3）的“k系友好点”P′的坐标为（﹣3，n），求k和n的值； （3）若点P在y轴的正半轴上，点P的“k系友好点”为点P′，若在△OPP′中，PP'＝2OP，求k的值． 【答案】（1）点P′（0，0）； （2）k＝﹣3，n＝1； （3）k＝±2． 【解答】解：（1）由题意可得：P′的坐标为， ∴点P′（0，0）； 故答案为：（0，0）； （2）∵P′的坐标为（﹣3，n）， ∴6+3k＝﹣3， 解得k＝﹣3， ∴； （3）设点P（0，t），其中t＞0， ∴点，即点P′（kt，t）， ∵PP′∥x轴， ∴PP′＝|kt|， 又∵OP＝t，PP′＝2OP， ∴2t＝|kt|， 解得k＝±2． 7．小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知MN∥PQ． （1）如图①，小明将含45°角的直角三角板ABC中的点A落在直线PQ上，若∠BAQ＝25°，则∠ADM的度数为 　115°　 ； （2）如图②，小明将含30°角的直角三角板DEF中的点D，F分别落在直线MN，PQ上，若DE平分∠MDF，则EF是否平分∠DFP？请说明理由． （3）小明将三角板ABC与三角板DEF按如图③所示方式摆放，点B与点F重合，求∠BCN的度数． 【答案】（1）115°； （2）EF平分∠DFP，理由见解析； （3）∠BCN＝15°． 【解答】解：（1）∵∠BAQ＝25°，∠BAC＝90°， ∴∠QAC＝∠BAQ+∠BAC＝25°+90°＝115°， ∵MN∥PQ， ∴∠ADM＝∠QAC＝115° 故答案为：115°； （2）EF平分∠DFP，理由如下： ∵DE平分∠MDF，∠EDF＝30°， ∴∠MDF＝2∠EDF＝60°， ∵MN∥PQ， ∴∠MDF＝∠DFQ＝60°， ∵∠EFD＝60°， ∴∠EFP＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠EFP＝∠EFD， 即EF平分∠DFP； （3）延长EB交MN于点G，如图所示： ， 由题可得：∠DBE＝60°，∠ABC＝45°，∠DEG＝90°， ∴∠CBE＝∠ABC+∠DBE＝105°， ∴∠CBG＝180°﹣105°＝75°， ∵MN∥PQ， ∴∠MGE+∠DEG＝180°， ∴∠MGE＝180°﹣∠DEB＝90°， ∴∠BCG＝180°﹣∠CBG﹣∠MGE＝180°﹣75°﹣90°＝15°， 即∠BCN＝15°． 8．综合与实践 【问题情境】数学课上，同学们探索三角形中角之间的关系．如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，P是线段DB上的一点，过点P作AB的垂线，垂足为E． 【特例分析】 （1）若∠BAC＝50°，求∠ADC与∠DPE的度数； 【类比探究】 （2）善思小组在（1）的基础上，改变∠B的大小，经过探究，他们发现∠ADC与∠DPE之间存在特定的等量关系．请你猜想∠ADC与∠DPE之间的数量关系，并证明； 【拓展探究】 （3）如图②，敏学小组画出了点P，E分别在线段DB，AB延长线上时的情形，其余条件不变，画出∠DPE 的平分线，交AD的延长线于点F．请在图②中补全图形，写出∠AFP的度数，并说明理由． 【答案】（1）65°，130°； （2）∠DPE＝2∠ADC， 由（1）可知，∠DPE＝90°+∠B， ． ∴∠DPE＝2∠ADC．； （3）如图③，设PF交AE于点J， ∵PE⊥AE，∠C＝90°， ∴∠ACD＝∠E＝90°． ∵∠ABC＝∠PBE， ∴∠CAB＝∠BPE． ∵AD、PF分别平分∠CAB，∠BPE， ∴，． ∴∠FAJ＝∠EPJ． ∵∠AJF＝∠PJE， ∴∠AFP＝180°﹣∠FAJ﹣∠AJF＝180°﹣∠EPJ﹣∠PJE＝∠E＝90°． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝50°，∠C＝90°， ∴∠B＝90°﹣50°＝40°． ∵P是线段DB上的一点，过点P作AB的垂线，垂足为E， ∴∠PEB＝90°． ∴∠DPE＝∠PEB+∠B＝130°． ∵， ∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝65°． （2）∠DPE＝2∠ADC．证明如下： 由（1）可知，∠DPE＝90°+∠B， ． ∴∠DPE＝2∠ADC． （3）如图③，设PF交AE于点J， ∵PE⊥AE，∠C＝90°， ∴∠ACD＝∠E＝90°． ∵∠ABC＝∠PBE， ∴∠CAB＝∠BPE． ∵，． ∴∠FAJ＝∠EPJ． ∵∠AJF＝∠PJE， ∴∠AFP＝180°﹣∠FAJ﹣∠AJF＝180°﹣∠EPJ﹣∠PJE＝∠E＝90°． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（0，4），点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． （1）AB的长为 　5　 ，点D的坐标是 　（8，0）　 ； （2）求点C的坐标； （3）点M是y轴上一动点，若S△MABS△OCD，求出点M的坐标； （4）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5，（8，0）； （2）C（0，﹣6）； （3）M（0，12）或M（0，﹣4）； （4）（3.5，3.5）或（4，7）或（7，3）． 【解答】解：（1）∵点A（3，0），B（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∴AB5， ∵若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处， ∴AD＝AB＝5， ∴OD＝OA+AD＝8， ∴D（8，0）， 故答案为：5，（8，0）； （2）设C（0，a）（a＜0）， 由题意得：BC＝CD， ∴4﹣a， 解得：a＝﹣6， ∴C（0，﹣6）； （3）设M（0，b）， ∵S△MABS△OCD， ∴|4﹣b|×36×8， 解得：b＝12或b＝﹣4， ∴M（0，12）或M（0，﹣4）； （4）存在，（3.5，3.5）或（4，7）或（7，3）． 当AB＝AP，∠BAP＝90°时，过P作PF⊥x轴于F， ∵∠AOB＝∠OFP＝∠BAP＝90°， ∴∠OBA+∠OAB＝∠OAB+∠PAF＝90°， ∴∠OBA＝∠PAF， ∵AB＝AP， ∴△ABO≌△PAF， ∴PF＝OA＝3，AF＝OB＝4， ∴OF＝OA+AF＝7， ∴P（7，3）， 当AB＝AP′，∠P′BA＝90°时，过P′作P′G⊥y轴于G， 同理得：△ABO≌△BP′G， ∴P′G＝OB＝4，BG＝OA＝3， ∴OG＝OB+BG＝7， ∴P′（4，7）， 当BP″＝AP″，∠BP″A＝90°时，点P″是AP′和BP的交点， 设AP′的解析式为：y＝kx+b， 则：， 解得：， ∴AP′的解析式为：y＝7x﹣21， 设BP的解析式为：y＝ax+4， 则：7a+4＝3， 解得：a， ∴BP的解析式为：yx+4， 解方程组得：， ∴P″（3.5，3.5）， ∴点P的坐标为：（3.5，3.5）或（4，7）或（7，3）． 10．（1）发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，连结AD，且点A、D、E在同一直线上，连结BE，发现△ACD≌△BCE．请证明△ACD≌△BCE． （2）拓展：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，且点A、D、E在同一直线上，若AE＝12，DE＝7，求AB的长度． （3）应用：如图3，P为等边三角形ABC内一点，且∠APC＝150°，∠APD＝30°，AP＝8，CP＝6，DP＝9，求BD的长． 【答案】（1）∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∵△DCE为等边三角形， ∴CD＝CE，∠DCE＝60°， ∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD， 即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）； （2）AB的长为13； （3）BD的长为17． 【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∵△DCE为等边三角形， ∴CD＝CE，∠DCE＝60°， ∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD， 即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）； （2）解：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， 即∠ACD+∠DCB＝∠BCE+∠DCB＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠ADC＝∠BDC， ∴AD＝BE＝AE﹣DE＝5， ∵DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠CED＝∠CDE＝45°， ∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°， ∴∠BEC＝135°， ∴∠BEA＝∠BEC﹣∠CED＝90°， 由勾股定理可得，， ∴AB的长为13； （3）解：把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，如图所示， 由旋转的性质可知，△BEC≌△APC， ∴CE＝CP，BE＝AP＝8， ∠PCE＝60°，∠BEC＝∠APC＝150°， ∴△PCE是等边三角形， ∴∠EPC＝∠PEC＝60°，PE＝CP＝6， ∴∠BED＝∠BEC﹣∠PEC＝90°， ∵∠APD＝30°， ∴∠DPC＝150°﹣30°＝120°， ∵∠DPE＝∠DPC+∠EPC＝120°+60°＝180°， 即D、P、E在同一条直线上， ∴DE＝DP+PE＝9+6＝15， 由勾股定理可得，， ∴BD的长为：17． 11．【发现问题】 如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P． 【提出问题】 小明提出：∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究． 【解决问题】 探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 探究二：如图②，∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系为 　∠AMP＝∠P+∠CNP ；如图③，已知∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE∥CD，则∠BAE＝ 　145　 °（不需要写解答过程） 利用探究一得到的结论解决下列问题： 如图④，射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP，ME交直线CD于点E，NF与∠AMP内部的一条射线MF交于点F，若∠P＝2∠F，求∠FME的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：探究一：∠BPD＝∠ABP+∠CDP，理由如下： 如图①， ∵AB∥MN∥CD， ∴∠BPN＝∠ABP，∠DPN＝∠CDP， ∴∠BPN+∠DPN＝∠ABP+∠CDP， ∴∠BPD＝∠ABP+∠CDP． 探究二：如图②， ∠AMP＝∠P+∠CNP，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠MKP＝∠CNP， ∵∠AMP＝∠P+∠MKP， ∴∠AMP＝∠P+∠CNP． 如图③，延长EA交BC于L， ∵AE∥CD， ∴∠ALC＝∠C＝60°， ∴∠ALB＝180°﹣∠ALC＝120°， ∴∠BAE＝∠B+∠ALB＝25°+120°＝145°． 故答案为：∠AMP＝∠P+∠CNP，145． ∵射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP， ∴∠PME∠PMB，∠CNF＝∠PNF， 如图④， 由探究一的结论得：∠P＝∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF，∠F＝∠AMF+∠CNF， ∵∠P＝2∠F， ∴∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF＝2∠AMF+2∠CNF， ∵∠CNF＝∠PNF， ∴∠AMF+∠PMF＝2∠AMF， ∴∠PMF＝∠AMF∠AMP， ∴∠PMF+∠PME（∠AMP+∠PMB）， ∴∠FME∠AMB180°＝90°． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点B（﹣4，0），与y轴交于点A，直线y＝﹣2x+4过点A，且与x轴交于点C． （1）求直线AB的函数表达式； （2）若线段AC上有一点M，使得，求直线OM的函数表达式； （3）在直线AB上是否存在点P，使得S△PBC＝S△AOB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x+4； （2）y＝x； （3）存在，点P的坐标为或． 【解答】解：（1）在y＝﹣2x+4中，当x＝0时，y＝4， ∴A（0，4）， ∵直线y＝kx+b过点A（0，4），B（﹣4，0）， ∴， 解得：， ∴直线AB的函数表达式为y＝x+4； （2）∵直线AC的函数表达式为y＝﹣2x+4， 令y＝0，则﹣2x+4＝0，解得：x＝2， ∴C（2，0）， ∴OC＝2， ∵A（0，4）， ∴OA＝4， ∴， 设M（m，﹣2m+4）， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 设直线OM的函数表达式为y＝k1x，则， 解得：k1＝1， ∴直线OM的函数表达式为y＝x； （3）∵B（﹣4，0），A（0，4），C（2，0）， ∴OB＝4，OA＝4，OC＝2， ∴，BC＝6， 设P（n，n+4）， ∴， ∵S△PBC＝S△AOB， ∴3|n+4|＝8， 解得：或， ∴点P的坐标为或； 13．A，B两地相距300km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发1h．如图是甲，乙行驶路程y甲（km），y乙（km）随行驶时间x（h）变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题： （1）填空：甲的速度为 　60　 km/h； （2）分别求出y甲，y乙与x之间的函数解析式； （3）求出点C的坐标，并写出点C的实际意义． 【答案】（1）60；）（2）y甲＝60x（0＜x≤5）；y乙；（3）150km． 【解答】解：（1）甲的速度为：300÷5＝60（km/h）， 故答案为：60； （2）由（1）可知，y甲与x之间的函数解析式为y甲＝60x（0＜x≤5）； 设y乙与x之间的函数解析式为y乙＝kx+b，根据题意得： ， 解得， ∴y乙＝100x﹣100（1≤x≤4）， ∴y乙； （3）根据题意，得60x＝100x﹣100， 解得x＝2.5， 60×2.5＝150（km）， ∴点C的坐标为（2.5，150）， 故点C的实际意义是甲车出发2.5小时后被乙车追上，此时两车行驶了150km． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数l1：y＝kx+b的图象分别与x，y轴交于A（10，0），B两点，正比例函数l2：y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点C（m，4）． （1）求一次函数y＝kx+b的函数表达式； （2）在直线OC上是否存在点D，使得S△ACD＝6S△BOC？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）（5，10）或（﹣1，﹣2）． 【解答】解：（1）由条件可得：4＝2m， ∴m＝2， ∴C（2，4）， 由题意可得， 解得， ∴． （2）在中，当x＝0时，y＝5， ∴B（0，5）， ∴OB＝5． 由条件可知S△ACD＝6S△BOC， ∴S△ACD＝30． 当点D在AC上方时，S△AOD＝S△AOC+S△ACD＝20+30＝50， ∴， ∴yD＝10， 在y＝2x中，当y＝10时，x＝5， ∴D（5，10）； 点D在OA下方时，S△AOD＝S△ACD﹣S△AOC＝30﹣20＝10， ∴， ∴yD＝﹣2， 在y＝2x中，当y＝﹣2时，x＝﹣1， ∴D（﹣1，﹣2）， 综上所述，点D的坐标为（5，10）或（﹣1，﹣2）． 15．如图，已知一次函数l1图象分别与x，y轴交于点A，B（0，4）两点，正比例函数y＝﹣2x图象与l1交于点M，已知点M的横坐标是﹣1． （1）求该一次函数l1的表达式； （2）y轴上有一动点Q，连接QM，QA，求当△QMA周长取最小值时点Q的坐标． 【答案】（1）一次函数l1的解析式为y＝2x+4， （2）△QMA的周长最小值为，此时Q坐标为（0，）． 【解答】解：（1）∵M的横坐标是﹣1， ∴代入y＝﹣2x中得y＝2， ∴M（﹣1，2）， 设l1解析式为y＝kx+b，将B和M两点坐标代入得， ， 解得， ∴一次函数l1的解析式为y＝2x+4； （2）如图1，在y轴任找一点Q，连接AQ，MQ， 作点A关于y轴对称点A'，连接A'M交y轴于点Q'，则QA＝QA'， ∵一次函数y＝2x+4与x轴交于点A， ∴令y＝0，得x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， ∵M（﹣1，2）， ∴AM， 而△QMA的周长＝AM+AQ+QMQA′+QMA′M， 当A′、Q、M三点共线时取等，即当Q在点Q′处时，△QMA的周长＝+A′M，此时最小， ∵A（﹣2，0）， ∴A′（2，0）， ∴A′M， ∴△QMA的周长最小值为， 设直线 A′M的解析式为y＝mx+n，将M和A′坐标代入得， ， 解得，， ∴直线A'M的解析式为yx， ∵Q'是直线A'M与y轴交点， ∴令x＝0，得y， ∴Q'（0，）， 综上，△QMA的周长最小值为，此时Q坐标为（0，）； 16．（1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD； 豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在AC上截取AE＝AB，连接DE，将线段AC，AB，BD之间的数量关系转化为CE与BD的数量关系； 点点同学从∠ABC＝2∠C这个条件出发给出另一种解题思路：延长AB至点E，使BE＝BD，连接DE，将∠ABC＝2∠C转化为∠C与∠E之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； （2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答． 如图2，△ABC中，∠A＝90°，平面内有点D（点D和点A在BC的同侧），连接DC，DB，∠D＝45°，∠ABD+2∠ABC＝180°，求证：； （3）【学以致用】如图3，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝3，DC＝2，∠CAD＝2∠ABC，CE平分∠ACB交AB于点E．求BE的长． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）证明见解答过程； （3）． 【解答】（1）证明：方法一：如图1（1）：在AC上截取AE＝AB，连接DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠EAD， 在△BAD和△EAD中， ， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴BD＝ED，∠AED＝∠ABC＝2∠C， ∵∠AED＝∠C+∠EDC， ∴∠EDC＝∠C， ∴ED＝EC， ∴BD＝EC， ∴AC＝AE+EC＝AB+BD； 方法二，如图1（2）：延长AB至点E，使BE＝BD，连接DE， ∵BE＝BD， ∴∠E＝∠BDE， ∵∠ABC是△BED的外角， ∴∠ABC＝∠E+∠BDE＝2∠E， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠C＝∠E， 在△EAD和△CAD中， ， ∴△EAD≌△CAD（AAS）， ∴AE＝AC， ∴AE＝AB+BE ∴AC＝AB+BD； （2）证明：如图2，作CL⊥DB交DB的延长线于点L，则∠L＝∠A＝90°， ∵∠D＝45°， ∴∠LCD＝∠D＝45°， ∴CL＝DL， ∵∠ABD+∠ABC+∠LBC＝180°，∠ABD+2∠ABC＝180°， ∴∠ABD+∠ABC+∠LBC＝∠ABD+2∠ABC， ∴∠LBC＝∠ABC， 在△LBC和△ABC中， ， ∴△LBC≌△ABC（AAS）， ∴LB＝AB， ∵CDDLBDLB， ∴BDAB＝CD； （3）解：如图3，延长CA至F，使AF＝AD，连接BF，过C作CH⊥BA于点H， 则∠H＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 设∠ABC＝α，则∠CAD＝2α，∠BAD＝90°﹣α，∠ACB＝90°﹣2α， ∴∠BAF＝∠ABC+∠ACB＝α+90°﹣2α＝90°﹣α， ∴∠BAF＝∠BAD， 在△BAF和△BAD中， ， ∴△BAF≌△BAD（SAS）， ∴∠F＝∠ADB＝90°，BF＝BD＝3， 在Rt△BCF中，BC＝BD+CD＝3+2＝5， ∴CF4， 设AD＝AF＝x，则AC＝CF﹣AF＝4﹣x， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2， 即x2+22＝（4﹣x）2， 解得：x， ∴AF＝AD， ∴AB， ∵CE平分∠ACB， ∴∠BCE＝∠ACE∠ACB（90°﹣2α）＝45°﹣α， ∴∠AEC＝∠ABC+∠BCE＝α+45°﹣α＝45°， ∴△CHE是等腰直角三角形， ∴EH＝CH， ∵S△ABCAB•CHBC•AD， 即CH5， 解得：CH， ∴EH， ∴BH2， ∴BE＝BH﹣EH＝2， 即BE的长为． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+b分别与x轴、y轴相交于点A、B．现将直线l绕原点O顺时针旋转90°，得到的直线l′称为直线l的“顺旋转垂线”． （1）若点A、B的坐标分别为A（2，0）、B（0，2），则直线l的“顺旋转垂线”l′的关系式为 y＝x﹣2　 ． （2）若直线l：y＝k1x+b1（k1＜0，b1≠0）的“顺旋转垂线”l′为：y＝k2x+b2．求证：k1•k2＝﹣1． （3）已知直线l的“顺旋转垂线”为l'：yx+2，点C是直线l与x轴、y轴交点A、B的中点，动点M的坐标为（0，m）．问当m为何值时，MA+MC取得最小值，并求出该最小值． 【答案】（1）y＝x﹣2； （2）证明见解答过程； （3）m时MA+MC的值最小为5． 【解答】解：（1）由题知，A点旋转后的坐标为A'（0，﹣2），B点旋转后的坐标为B'（2，0）， 即直线l的“顺旋转垂线”l′过点A'和点B'， 设直线l的“顺旋转垂线”l′的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， 即直线l的“顺旋转垂线”l′的解析式为y＝kx﹣2， 故答案为：y＝x﹣2； （2）设直线l：y＝k1x+b1（k1＜0，b1≠0）分别与x轴、y轴相交于点A（a，0）、B（0，b）， 则“顺旋转垂线”l′：y＝k2x+b2分别与x轴、y轴相交于点C（b，0）、D（0，﹣a）， ∴将A、B点代入直线l的解析式，得 ， 解得k1， 将C、D点代入直线l'的解析式，得 ， 解得k2， ∴k1k21； （3）由题知直线l的“顺旋转垂线”l'：yx+2与x轴，y轴的交点分别为（﹣8，0），（0，2）， ∴B（0，﹣8），A（﹣2，0）， ∴C（﹣1，﹣4）， 作A点关于y轴的对称点A'，即A'（2，0）， 连接A'C交y轴于M， 此时MA+MC的值最小，即为A'C， ∴A'C5， 即MA+MC的值最小为5， 设直线A'C的解析式为y＝sx+t， 代入A'点，C点的坐标，得 ， 解得， ∴直线A'C的解析式为yx， 当x＝0时，y， 即m时MA+MC的值最小为5． 18．如图，△ABC是等边三角形，点D沿△ABC的边从点A运动到点B，再从点B运动到点C，点E是边BC上一点，运动过程中始终满足BD＝CE． （1）如图1，当点D在AB边上时，连接AE，CD相交于点G．①求证：AE＝CD． ②求∠CGE的度数． （2）如图2，当点D在BC边上时，延长AB至点F，使BF＝BE，连接AE，DF．判断AE与DF是否相等？并说明理由． 【答案】（1）①见解析过程； ②60°； （2）AE＝DF，理由见解析过程． 【解答】（1）证明：①如图1，∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BC＝AC， ∵BD＝CE， ∴△ACE≌△CBD（SAS）， ∴AE＝CD； ②解：∵△ACE≌△CBD， ∴∠CAE＝∠BCD， ∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝60°， ∴∠CGE＝∠ACD+∠CAE＝∠ACD+∠BCD＝60°； （2）AE＝DF，理由如下： 如图2，在AB上截取AH＝BF，连接DH，可得HF＝AB， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC＝HF， ∵BF＝BE，BD＝CE， ∴BH＝CE＝BD， ∴△BDH是等边三角形， ∴∠BHD＝∠ACB＝60°， ∴△ACE≌△FHD（SAS）， ∴AE＝DF． 19．已知，四边形ABCD中，AD∥BC，连接BD，DE平分∠ADB交AB于点E，∠BDC＝∠BCD． （1）如图1，求证：∠EDC＝90°； （2）如图2，若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F，且∠F＝55°，求∠ABC； （3）如图3，若H是BC上一动点，F是BA延长线上一点，FH交BD于M，FG平分∠BFH交DE于N，交BC于G．当H在BC上运动时（不与B点重合），∠BAD＝100°，∠DNG＝95°，求∠DMH的度数． 【答案】（1）见解析； （2）70°； （3）90°． 【解答】（1）证明：AD∥BC， ∠ADC+∠BCD＝180， ∵DE平分∠ADB， ∴∠BDC＝∠BCD， ∴∠ADE＝∠EDB， ∴∠BDC＝∠BCD， ∵∠ADC+∠BCD＝180°， ∴∠EDB+∠BDC＝90°， ∴∠DEC+∠DCE＝90°， ∴∠EDC＝90°； （2）解：∠FBD+∠BDE＝90°﹣∠F＝35°， ∵DE平分∠ADB，BF平分∠ABD， ∴∠ADB+∠ABD＝2（∠FBD+∠BDE）＝70°， 又∵四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DBC＝∠ADB， ∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ADB， 即∠ABC＝70°； （3）解：在△BMF中，∠BMF＝∠DMH＝180°﹣∠ABD﹣∠BFH， 又∵∠BAD＝180°﹣（∠ABD+∠ADB）， ∴∠DMH+∠BAD＝（180°﹣∠ABD﹣∠BFH）+（180°﹣∠ABD﹣∠ADB）＝360°﹣∠BFH﹣2∠ABD﹣∠ADB， ∴∠DNG＝∠FNE＝180°∠BFH﹣∠AED＝180°∠BFH﹣∠ABD∠ADB（∠DMH+∠BAD）， 即∠BAD+∠DMH＝2∠DNG， ∵∠BAD＝100°，∠DNG＝95°， ∴∠DMH＝90°． 20．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式． （2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值． （3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，四边形AODF的面积为S． ①求S与m的函数关系式． ②S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1）， 把C（0，3）代入得a×3×（﹣1）＝3，解得a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）， 即y＝﹣x2﹣2x+3； （2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴D（﹣1，4），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 连接AC交直线x＝﹣1于P，如图1，则PA＝PB， ∵PB+PC＝PC+PA＝AC， ∴此时PB+PC的值最小， ∴此时△PBC周长的最小值， △PBC周长的最小值＝AC+BC3； （3）①如图2， 设直线AD的解析式为y＝kx+b， 把A（﹣3，0），D（﹣1，4）代入得，解得， ∴直线AD的解析式为y＝2x+6， 设E（m，2m+6）（﹣3＜m＜﹣1），则F（m，﹣m2﹣2m+3）， ∴EF＝﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）＝﹣m2﹣4m﹣3， ∴S＝S△ADF+S△ADOEF×23×4＝EF+6＝﹣m2﹣4m﹣3+6＝﹣m2﹣4m+3（﹣3＜m＜﹣1）； ②存在． ∵S＝﹣（m+2）2+7， ∴当m＝﹣2时，S有最大值，最大值为7，此时E点坐标为（﹣2，2）． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（0，4），点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． （1）AB的长为 　5　 ，点D的坐标是 　（8，0）　 ；直线BE与直线CD的位置关系是 　垂直　 ； （2）求点C的坐标； （3）点M是y轴上一动点，若S△MABS△OCD，求出点M的坐标； （4）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5，（8，0），垂直； （2）点C的坐标为（0，﹣6）； （3）点M的坐标为（0，12）或（0，﹣4）； （4）存在，点P的坐标（7，3）或（4，7）或（，）． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB5， 由折叠的性质可知，AD＝AB＝5， ∴OD＝OA+AD＝3+5＝8， ∴点D的坐标是（8，0）， 设OC＝x，则BC＝OB+OC＝4+x， 由折叠的性质可知，CD＝BC＝4+x， 在Rt△COD中，由勾股定理得：OC2+OD2＝CD2， ∴x2+82＝（x+4）2， 解得：x＝6，即OC＝6， ∴点C的坐标为（0，﹣6）； 由C、D的坐标得，直线CD的表达式为：yx﹣8， 同理可得：直线AB的表达式为：yx+4， 故直线BE与直线CD的位置关系是垂直， 故答案为：5，（8，0），垂直； （2）由（1）得，点C的坐标为（0，﹣6）； （3）∵C（0，﹣6），D（8，0）， ∴OC＝6，OD＝8， 则S△COD24， 则S△MAB＝12， ∵点M是y轴上一动点， ∴设点M的坐标为（0，m）， ∴BM＝|m﹣4|， 则S△MABBM•OA|m﹣4|×3＝12， ∴m＝12或﹣4， ∴点M的坐标为（0，12）或（0，﹣4）； （4）在第一象限内存在点P，使△PAB为等腰直角三角形；理由如下： ①当∠BAP＝90°，AB＝AP，则△PAB为等腰直角三角形， 如图1，过点P作PG⊥x轴于点G， ∴∠PGA＝∠AOB＝90°， ∵∠BAP＝90°， ∴∠BAO+∠PAG＝90°， ∵∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠ABO＝∠PAG， 在△AOB和△PGA中，∠ABO＝∠PAG，∠AOB＝∠PGA，AB＝PA， ∴△AOB≌△PGA（AAS）， ∴OA＝PG＝3，OB＝AG＝4， ∴OG＝OA+AG＝7， ∴点P的坐标为（7，3）； ②当∠ABP＝90°，BA＝BP，则△PAB为等腰直角三角形， 如图2，过点P作PH⊥y轴于点H， 同理 可证，△AOB≌△BHP（AAS）， ∴OA＝BH＝3，PH＝OB＝4， ∴OH＝OB+BH＝7， ∴点P的坐标为（4，7）； ③当∠APB＝90°，PA＝PB，则△PAB为等腰直角三角形， 如图3，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N， ∴∠PNB＝∠PMA＝∠MPN＝90°， ∴∠APN+∠APM＝90°， ∵∠APB＝90°， ∴∠BPN+∠APN＝90°， ∴∠APM＝∠BPN， 在△APM和△BPN中，∠APM＝∠BPN，PA＝PB，∠PMA＝∠PNB， ∴△APM≌△BPN（ASA）， ∴AM＝BN，PM＝PN， ∴设点P的坐标为（p，p）， ∴OM＝ON＝p， ∴BN＝OB﹣ON＝4﹣p，AM＝OM﹣OA＝p﹣3， ∴4﹣p＝p﹣3， 解得：p， 则点P的坐标为（，）， 综上可知，第一象限内存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，点P的坐标（7，3）或（4，7）或（，）． 22．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内，且使得AB＝4，OB＝3． （1）试判断△AOB的形状，并说明理由； （2）在第二象限内是否存在一点P，使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点C为线段OB上一动点，点D为线段BA上一动点，且始终满足OC＝BD．求AC+OD的最小值． 【答案】（1）直角三角形，理由见解析；（2）存在，（）或（）；（3）． 【解答】解：（1）△AOB是以B为直角顶点的直角三角形，理由如下： ∵A（5，0）， ∴OA＝5， ∴AB2+OB2＝42+32＝25＝52＝OA2， ∴△AOB是以OA为斜边的直角三角形； （2）存在，如图，当∠POB＝90°，分别过点B，P作BE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F， ∴OB＝OP＝3， ∵S△AOBOA•BE， ∴BE， ∴OE， ∵∠PFO＝∠PDB＝∠OEB＝90°， ∴∠POF+∠OPF＝90°，∠POF+∠BOE＝90°， ∴∠OPF＝∠BOE， 在△OPF与△BOE中， ， ∴△OPF≌△BOE（AAS）， ∴OF＝BE，PF＝OE， ∵P在第二象限， ∴P（）； 如图，当∠PBO＝90°，分别过点B，P作BE⊥x轴于E，PF⊥BE的延长线于F，交y轴于D， 同理可求出BE，OE， 同理可证明△PFB≌△BEO（AAS）， ∴BF＝OE，PF＝BE， ∴EF＝BE+BF，PD＝PF﹣DF＝PF﹣OE， ∵P在第二象限， ∴P（）， 综上，存在点P，使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形，P（）或（）； （3）如图，过点O作以OB为腰，∠BOH＝90°的等腰直角三角形， ∴HO＝BO，∠HOC＝∠OBD＝90°， 又∵OC＝DB， ∴△HOC≌△OBD（SAS）， ∴OD＝HC， ∴AC+OD＝AC+HC， ∴要使AC+OD最小，则AC+CH最小， ∴当A、C、H三点共线时，AC+CH最小，即AC+OD有最小值为AH的长， 由（2）知，H（）， ∴AH， 即AC+OD有最小值为． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴，y轴分别交于点A，B，与直线交于点C（3，5）．直线与x轴交于点D．点P是射线DA上的一个动点，且点P从点D出发以每秒2个单位长度匀速运动．设点P的运动时间为ts． （1）求两条直线的关系式； （2）当△ACP的面积为15时，求t的值； （3）试探究，在点P运动过程中，是否存在t的值，使△ACP为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x+2和y；（2）t的值为4.5s或10.5s；（3）在点P运动过程中，存在t的值，使△ACP为直角三角形，t的值为2.5或5． 【解答】解：（1）∵直线y＝x+b与直线交于点C（3，5）， ∴， ∴， ∴两条直线的关系式为y＝x+2和y； （2）过点C作CH⊥AD于点H，如图， ∵C（3，5）， ∴CH＝5． 令y＝0，则x+2＝0， ∴x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， ∴OA＝2． 令y＝0，则0， ∴x＝13， ∴D（13，0）， ∴OD＝13， ∴AD＝OA+OD＝15． ∵点P是射线DA上的一个动点，且点P从点D出发以每秒2个单位长度匀速运动，运动时间为ts， ∴PD＝2t， ∴AP＝15﹣2t或2t﹣15． ∵△ACP的面积为15， ∴， ∴15或15， ∴t＝4.5或t＝10.5． ∴当△ACP的面积为15时，t的值为4.5s或10.5s． （3）在点P运动过程中，存在t的值，使△ACP为直角三角形，t的值为2.5或5．理由： 由题意知：∠CAP＜90°． ①当∠APC＝90°时，如图， ∵C（3，5）， ∴OP＝3． 由（2）知：OD＝13， ∴PD＝OD﹣OP＝10， ∴t5； ②当∠ACP＝90°时，过点C作CH⊥AD于点H，如图， ∵C（3，5）， ∴CH＝5，OH＝3， ∴AH＝OA+OH＝5， ∴AH＝CH＝5， ∴△ACH为等腰直角三角形， ∴∠CAH＝45°， ∵∠APC＝90°， ∴∠CPA＝45°， ∴△PCH为等腰直角三角形， ∴PH＝CH＝5， ∴PD＝OD﹣OH﹣PH＝13﹣5﹣3＝5， ∴t2.5． 综上，在点P运动过程中，存在t的值，使△ACP为直角三角形，t的值为2.5或5． 24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝7，∠B＝34°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝34°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝106°时，求∠AED的度数． （2）当线段DC的长度为何值时，AD＝DE？并说明理由． （3）若在点D的运动过程中，点E在AC上也随着运动，始终保持∠ADE＝34°，那么△ABD和△EDC同时为等腰三角形时，直接写出∠BDE的度数． 【答案】（1）74°； （2）当线段DC的长度等于7时，AD＝DE；理由如下： 在△ABC中，AB＝AC＝7，∠B＝34°， ∴∠C＝∠B＝34°． ∵AD＝DE， ∴， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAE﹣∠C＝180°﹣34°﹣73°＝73°， ∴∠ADC＝∠DAE， ∴AC＝DC＝AB＝7； （3）146°或107°． 【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC＝7，∠B＝34°， ∴∠C＝∠B＝34°， ∵∠BDA+∠ADE+∠EDC＝180°，∠BDA＝106°，∠ADE＝34°， ∴∠EDC＝180°﹣（106°+34°）＝40°． ∴∠AED＝∠EDC+∠C＝40°+34°＝74°； （2）当线段DC的长度等于7时，AD＝DE；理由如下： 在△ABC中，AB＝AC＝7，∠B＝34°， ∴∠C＝∠B＝34°． ∵AD＝DE， ∴， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAE﹣∠C＝180°﹣34°﹣73°＝73°， ∴∠ADC＝∠DAE， ∴AC＝DC＝AB＝7； （3）∠BDE的度数为146°或107°．理由如下： 当△ABD和△EDC同时为等腰三角形时，分三种情况讨论： ①如图1，当DE＝CE时， ∵∠C＝∠B＝34°， 则∠EDC＝∠C＝34°， ∴∠BDA＝180°﹣∠EDC﹣∠ADE＝180°﹣34°﹣34°＝112°． ∴∠BDE＝∠BDA+∠ADE＝112°+34°＝146°． ②如图2，当EC＝DC时， 则∠CDE＝∠CED， ∴， ∴∠BDA＝180°﹣∠CDE﹣∠ADE＝180°﹣73°﹣34°＝73°， 此时∠BDE＝∠BDA+∠ADE＝73°+34°＝107°． ③当DE＝CD时，∠CED＝∠C＝34°， ∵∠CED＝∠ADE+∠DAE，∠ADE＝34°， ∴∠DAE＝0°，不符合题意，舍去； 综上所述，△ABD和△EDC同时为等腰三角形时，∠BDE的度数为146°或107°． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+1（k≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（3，0），点P是直线AB上方第一象限内的动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线AB于点D． （1）求直线AB的表达式； （2）点P是直线x＝2上一动点，当△ABP的面积与△ABO的面积相等时，求点P的坐标； （3）当△ABP为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）点P的坐标为（2，2）或（1，4）或（4，3）． 【解答】解：（1）∵直线AB：y＝kx+1（k≠0）交x轴于点B（3，0），将点B的坐标代入得： 0＝3k+1， 解得， ∴直线AB的解析式是； （2）将x＝0代入， 解得y＝1， ∴A（0，1）， ∵B（3，0）， ∴， ∵点P是直线x＝2上一动点，D点在上， 令x＝2，则， 则， 设P（2，y）， ∴， ∵△ABP的面积与△ABO的面积相等， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴； （3）点P的坐标为（2，2）或（1，4）或（4，3）．理由如下： 当∠APB＝90°，AP＝BP时，过点P作PN⊥y轴，PM⊥BM，如图1， ∵PN⊥y轴，PM⊥BM， ∴∠ANP＝∠PMB＝90°， ∴∠NAP+∠APN＝90°， ∵∠APB＝90°， ∴∠MPB+∠APN＝90°， ∴∠NAP＝∠MPB， 在△ANP和△PMB中， ， ∴△ANP≌△PMB（AAS）， ∴AN＝MP，NP＝BM， ∵B（3，0），A（0，1）， 设P（p，p）， ∴AN＝p﹣1，NP＝p，MP＝3﹣p，BM＝p， ∴（p﹣1）2+p2＝（3﹣p）2+p2， 解得：p＝2， ∴P（2，2）； 当∠PAB＝90°，AP＝BA时，过点P作PK⊥y轴，如图2， 同理可得：△AKP≌△BOA（AAS）， AO＝KP，AK＝BO， ∵B（3，0），A（0，1）， 设P（m，n）， ∴KP＝m，AK＝n﹣1，OA＝1，OB＝3， ∴m＝1，n﹣1＝3， 解得：n＝4， ∴P（1，4）； 当∠ABP＝90°，BP＝BA时，过点P作PR⊥x轴，如图3， 同理可得：△AOB≌△BRP（AAS）， ∴AO＝BR，PR＝BO， ∵B（3，0），A（0，1）， 设P（e，f）， ∴BR＝e﹣3，PR＝f，OA＝1，OB＝3， ∴e﹣3＝1，f＝3， 解得：e＝4， ∴P（4，3）； 综上所述：点P的坐标为（2，2）或（1，4）或（4，3）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $