精品解析：广东省深圳实验学校、惠东高级中学2025-2026学年高二上学期第二阶段联考数学试题

深实高与惠东高级中学2025-2026学年度第一学期第二阶段联考 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 双曲线的离心率为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用给定的双曲线方程，直接求出离心率即可. 【详解】双曲线中，， 所以双曲线的离心率 故选：C 2. 已知直线l的方向向量，平面α的一个法向量为，则直线l与平面α所成的角为（　　） A. 120° B. 60° C. 30° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的夹角公式即可求解. 【详解】因为直线l的方向向量，平面α的一个法向量为， 设直线与平面α所成的角为，则， 所以直线l与平面α所成的角为， 故选：C. 3. 若直线与圆交于两点，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求圆心到直线的距离，再结合垂径定理求弦长. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 所以. 故选：D. 4. 设P是椭圆上一点，P到两焦点的距离之差为2，则是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：两焦点分别为：（2，0），（-2，0）． 根据椭圆的定义： P到两焦点的距离之和等于 4×2=8 ， 又因为 P到两焦点的距离之差为2， 可求得，P到两焦点距离分别为 5，3. 所以三角形边长分别为3，4，5.所以是直角三角形选B. 考点：本题主要考查椭圆的定义，标准方程及几何性质． 点评：常见题型，利用椭圆的定义及几何性质，确定三角形边长，以确定其形状． 5. 已知抛物线的准线平分圆，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】求出抛物线的准线方程，利用准线过圆心求出值. 【详解】抛物线的准线方程为， 依题意，直线经过圆的圆心，则， 所以. 故选：B 6. 圆上到直线的距离为的点共有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】 求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解. 【详解】圆可变为， 圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 圆上到直线的距离为的点共有个. 故选：C. 【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题. 7. 如图，已知二面角平面角的大小为，其棱上有、两点，、分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直.已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以、为邻边作平行四边形，连接，计算出、的长，证明出，利用勾股定理可求得的长. 【详解】如下图所示，以、为邻边作平行四边形，连接， 因为，，则， 又因为，，，故二面角的平面角为， 因为四边形为平行四边形，则，， 因为，故为等边三角形，则， ，则，，，故平面， 因为平面，则，故. 故选：C. 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P是上异于顶点的一个动点，记的内切圆圆心为M，则点P与点M的横坐标之比为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设出点，，利用椭圆的定义及圆与相切得出线段之间的关系即可求解. 【详解】 由题知，， 设，，与圆分别切于点D，E，H，，， 则， 又， 因为，则， 所以， 由切线性质可知，，， 所以 ， 所以， 又点H与点M的横坐标相同，所以点P与点M的横坐标之比为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错得0分． 9. 已知空间中三点，则（ ） A. B. 方向上的单位向量是 C. 是平面的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量的运算逐项判断即可. 【详解】由题意：，，. 对A：因为，故A正确； 对B：因为，即方向上的单位向量是，故B错误； 对C：因为，， 所以成立，故是平面的一个法向量，故C正确； 对D：由，故D正确. 故选：ACD 10. 若直线与圆C：相交于A，B两点，则的长度可能等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】CD 【解析】 【分析】首先找到直线所过定点，根据直线所截圆的弦长公式求出弦长的取值范围，进而求出的长度可能的取值. 【详解】已知直线恒过点，圆的圆心坐标为，半径. 当直线经过圆心时，所得弦长最大，； 当直线与所在直线垂直时，所得弦长最小，， 因此可得：，故的长度可能等于4或5. 故选：CD 11. 设曲线的方程为，下列选项中正确的有（ ） A. 由曲线围成的封闭图形的面积为 B. 满足曲线的方程的整点（横纵坐标均为整数的点）有5个 C. 若，是曲线上的任意两点，则，两点间的距离最大值为 D. 若是曲线上的任意一点，直线l：，则点到直线的距离最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，作出曲线的图象，再数形结合依次讨论各选项求解即可． 【详解】对于曲线，当，时，曲线表示，即， 表示以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分； 当，时，曲线表示，即， 表示以为圆心，半径为的圆在第四象限的部分； 当，时，曲线表示，即， 表示以为圆心，半径为的圆在第二象限的部分； 当，时，曲线表示，即， 表示以为圆心，半径为的圆在第三象限的部分； 当时，曲线表示坐标原点； 即其图象如图所示， 由图可知， 对于A，曲线围成的图形的面积为4个半圆与1个正方形的面积之和，其面积为，故A正确； 对于B，曲线恰好经过，，，，，，，，共9个整点，故B不正确； 对于C，曲线上两点之间最大距离为，故C正确； 对于D，由直线恒过定点，由知曲线上两点之间最大距离为，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知焦点在x轴上的椭圆离心率为，则实数m等于 _____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得＝，解之即可. 【详解】由题意焦点在x轴上的椭圆离心率为， 可得＝，解得m＝8． 故答案为：8． 13. 如图在平行六面体中，，，，则的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理把用表示出来，再利用向量数量积公式得到的长. 【详解】取，，， 已知，，， ， ， ， ， ， ，即. 故答案为： 14. 若对任意实数，直线与圆至少有一个交点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将原问题转换为直线所过的定点在圆内或者圆上，由此列出不等式即可求解. 【详解】由题意可知直线经过的定点为 则定点在圆内或者圆上的时候满足题意， 所以， 又表示圆， 所以，解得或； 综上，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆心为的圆经过这三个点． （1）求圆的标准方程； （2）直线过点，若直线被圆截得的弦长为10，求直线的一般式方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，代入三点坐标解方程组可得答案； （2）当直线的斜率不存在时，得直线方程求弦长；当直线的斜率存在时，设其方程为，利用圆心到直线的距离、圆的半径、弦的一半构成的直角三角形计算可得答案. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 因为过， 所以，解得， 所以圆的标准方程为 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，其方程为， 由，解得或， 所以直线被圆截得的弦长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 圆心到直线的距离为， 因为直线被圆截得的弦长为10，所以， 即，解得， 直线的方程为. 综上所述，直线的一般式方程为或. 16. 如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 依题意，得，，，，，, 则，， 设平面的法向量， ，所以，取，得. 因为，所以，所以. 又面，所以面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系．求出平面的法向量及，证明即可； （2）求出及平面的法向量，利用直线和平面所成角的向量求法求解； （3）求得平面与平面的法向量，利用平面与平面夹角的向量公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，，∴， ∵平面的法向量， 设直线和平面所成角为， ∴， ∴直线和平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 易知平面的法向量， 平面的法向量， ∴ ∴平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. （1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程； （2）过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 【答案】（1），； （2）1. 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及实轴长即可求解，即可求解方程， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据数量积的坐标运算求解. 【小问1详解】 由离心率，又，则， 又长轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； 其渐近线方程为. 【小问2详解】 直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， 的方程为； 设 由，得， 18. 如图所示，在四棱锥中，底面四边形ABCD是菱形，是边长为2的等边三角形，,. Ⅰ求证：底面ABCD； Ⅱ求直线CP与平面BDF所成角的大小； Ⅲ在线段PB上是否存在一点M，使得平面BDF？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】 Ⅰ∵四边形ABCD是菱形， ∴O为中点 又， ∴， 又， ∴底面 Ⅱ Ⅲ. 假设存在点M满足条件，且， 则. 若使平面BDF，需且仅需且平面BDF， 由，解得符合题意． ∴在线段PB上存在一点M，使得平面BDF，且 【解析】 【详解】试题分析： (Ⅰ) 由题意可得，从而可得底面ABCD． (Ⅱ)建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可得到所求的线面角．Ⅲ根据坐标法求解探索性问题，假设存在点M满足条件，并设且，求得点点M坐标后，根据与平面BDF的法向量垂直可得，从而得到符合题意的点M存在． 试题解析： Ⅰ略 Ⅱ解：由底面ABCD是菱形可得，又由Ⅰ可知． 建立如图所示的空间直角坐标系． 由是边长为2的等边三角形，，可得． 所以 ∴． 由已知可得， 设平面BDF的法向量为， 由，可得， 令，则． 设直线CP与平面BDF所成的角为， 则， 又， ∴． ∴直线CP与平面BDF所成角的大小为． Ⅲ略 19. 已知抛物线的准线过椭圆E：的左焦点，且椭圆E的上顶点与两个焦点构成一个正三角形. （1）求椭圆E的方程； （2）直线交椭圆E于A，B两点，点P在线段上移动，连接交椭圆于M，N两点，过P作的垂线交x轴于Q，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据抛物线的准线求得椭圆的焦点,根据一个焦点与短轴两端点构成正三角形可求得，即可得椭圆方程. (2)根据题意可判断直线斜率存在且不为0，设直线方程与椭圆联立求得，根据设出点坐标，用斜率公式求得坐标，再用点到直线的公式求得三角形高,用面积公式将面积写出，分离常数,变为积为定值的形式，再用的单调性计算即可. 【小问1详解】 由题知抛物线的准线为，, 因为椭圆的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形， , 故椭圆的标准方程为:； 【小问2详解】 由（1）得椭圆的方程为， 的垂线交轴于，的斜率存在， 连接交椭圆于两点，的斜率不为0, 不妨设, 因为与椭圆的交点为，所以， 则， 联立，即， , , 设，,， 解得:， 到直线的距离为:， ， 因为，所以， 因为函数在上是增函数， 所以的最小值为， 因此，当时，面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深实高与惠东高级中学2025-2026学年度第一学期第二阶段联考 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 双曲线的离心率为（ ） A. B. 3 C. D. 4 2. 已知直线l的方向向量，平面α的一个法向量为，则直线l与平面α所成的角为（　　） A. 120° B. 60° C. 30° D. 150° 3. 若直线与圆交于两点，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 设P是椭圆上一点，P到两焦点的距离之差为2，则是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 已知抛物线的准线平分圆，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 圆上到直线的距离为的点共有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 如图，已知二面角平面角的大小为，其棱上有、两点，、分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直.已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P是上异于顶点的一个动点，记的内切圆圆心为M，则点P与点M的横坐标之比为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错得0分． 9. 已知空间中三点，则（ ） A. B. 方向上的单位向量是 C. 是平面的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 10. 若直线与圆C：相交于A，B两点，则的长度可能等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11. 设曲线的方程为，下列选项中正确的有（ ） A. 由曲线围成的封闭图形的面积为 B. 满足曲线的方程的整点（横纵坐标均为整数的点）有5个 C. 若，是曲线上的任意两点，则，两点间的距离最大值为 D. 若是曲线上的任意一点，直线l：，则点到直线的距离最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知焦点在x轴上的椭圆离心率为，则实数m等于 _____． 13. 如图在平行六面体中，，，，则的长是___________． 14. 若对任意实数，直线与圆至少有一个交点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆心为的圆经过这三个点． （1）求圆的标准方程； （2）直线过点，若直线被圆截得的弦长为10，求直线的一般式方程． 16. 如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. （1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程； （2）过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 18. 如图所示，在四棱锥中，底面四边形ABCD是菱形，是边长为2的等边三角形，,. Ⅰ求证：底面ABCD； Ⅱ求直线CP与平面BDF所成角的大小； Ⅲ在线段PB上是否存在一点M，使得平面BDF？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由． 19. 已知抛物线的准线过椭圆E：的左焦点，且椭圆E的上顶点与两个焦点构成一个正三角形. （1）求椭圆E的方程； （2）直线交椭圆E于A，B两点，点P在线段上移动，连接交椭圆于M，N两点，过P作的垂线交x轴于Q，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $